2018届高三理科数学一轮复习 导数与函数的极值、最值
考点12 导数与函数的极值与最值-2018版典型高考数学试题解读与变式(解析版)
考点十二：导数与函数的极值与最值【考纲要求】（1）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 【命题规律】利用导数研究函数的极值与最值是高考的热点问题，近2年在高考中大批量的出现，常常会考查利用导数研究含参函数的单调性，极值综合考查，有时出现在做题过程中.预计2018年的高考将会在大题中考查利用导数研究函数的极值与最值，命题形式会更加灵活、新颖． 【典型高考试题变式】 （一）函数的极值的意义例1.【2017全国2卷（理）】若2x =-是函数()()21`1e x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）.A.1-B.32e -- C.35e - D.1 【答案】A【方法技巧归纳】对于可导函数，导数为0的点不一定是极值点.函数)(x f y =在0x x =处取极值的充要条件应为（1）)('0=x f ，（2）在x x =左右两侧的导数值的符号相反.从解题的规范性和正确性角度出发，求类似问题最后都要进行检验.【变式1】【改编例题的问法，辨别极值与零点的不同】【2015陕西卷理科】对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ） A ．1-是()f x 的零点 B ．1是()f x 的极值点 C ．3是()f x 的极值 D ．点(2,8)在曲线()y f x =上 【答案】A【解析】若选项A 错误时，选项B 、C 、D 正确，()2f x ax b'=+，因为1是()f x 的极值点，3是()f x 的极值，所以()()1013f f '=⎧⎪⎨=⎪⎩，即203a b a b c +=⎧⎨++=⎩，解得：23b a c a =-⎧⎨=+⎩，因为点()2,8在曲线()y f x =上，所以428a b c ++=，即()42238a a a +⨯-++=，解得：5a =，所以10b =-，8c =，所以()25108f x x x =-+，因为()()()21511018230f -=⨯--⨯-+=≠，所以1-不是()f x 的零点，所以选项A 错误，选项B 、C 、D 正确，故选A ．【变式2】【改变例题的问法，通过极值问题求参数的范围】【2014全国2卷理科】设函数()3sin xf x m π=.若存在()f x 的极值点x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）A.()(),66,-∞-⋃∞B.()(),44,-∞-⋃∞C.()(),22,-∞-⋃∞ D.()(),11,-∞-⋃∞【答案】C（二）求函数的极值例2.【2017全国2卷理】已知函数()2ln f x ax ax x x=--，且()0f x（1）求a ； （2）证明：()f x 存在唯一的极大值点x ，且()220e 2f x --<<.【答案】（1）1a =；（2）答案见解析. 【解析】（1）因为()()ln 0f x x ax a x =--，0x >，所以ln 0ax a x --．令()ln g x ax a x=--，则()10g =，()11ax g x a x x -'=-=，当0a 时，()0g x '<，()g x 单调递减，但()10g =，1x >时，()0g x <；当0a >时，令()0g x '=，得1x a =．当10x a <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x a >时，()0g x '>，()g x 单调递增．若01a <<，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单递调递减，()110g g a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭； 若1a >，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，()110g g a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭； 若1a =，则()()min 110g x g g a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()0g x ≥．综上，1a =． （2）()2ln f x x x x x=--，()22ln f x x x'=--，0x >．令()22ln h x x x=--，则()1212x h x x x -'=-=，0x >．令()0h x '=得12x =，当102x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减；当12x >时，()0h x '>，()h x 单调递增．所以()min 112ln 202h x h ⎛⎫==-+< ⎪⎝⎭．因为()22e2e 0h --=>，()22ln 20h =->，21e 02-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，122⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，， 所以在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上，()h x 即()f x '各有一个零点． 设()f x '在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上的零点分别为02x x ，，因为()f x '在102⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，所以当00x x <<时，()0f x '>，()f x 单调增；当012x x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减．因此，0x 是()f x 的极大值点．因为，()f x '在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调增，所以当212x x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，当2x x >时，()f x 单调递增，因此2x 是()f x 的极小值点．所以()f x 有唯一的极大值点0x ．由前面的证明可知，201e 2x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则()()24220e e e e f x f ---->=+>．因为()00022ln 0f x x x '=--=，所以00ln 22x x =-，又()()22000000022f x x x x x x x =---=-，因为0102x <<，所以()014f x <．因此，()201e 4f x -<<．即()220e 2f x --<<.【方法技巧归纳】求函数极值的步骤：①求函数的定义域；②求出函数的导函数)('x f ；③解方程0)('=x f ，求出x 的值；④判定在定义域内导函数为0的点两侧的单调性，并求出在该点的原函数值；⑤先增后减位极大值点，先减后增为极小值点，两侧单调性相同，则该点不是极值点.【变式1】【改变例题的问法，通过极值求参数范围】【2017江苏卷】已知函数()()3210,f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：²3b a >； （3）若()f x ，()f x ' 这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围.【答案】（1）2239a b a =+，定义域为(3,)+∞；（2）答案见解析；（3）(]36，.【解析】（1）由32()1f x x ax bx =+++，得222()32333a a f x x ax b x b ⎛⎫'=++=++- ⎪⎝⎭.当3ax =-时，()f x '有极小值23a b-. 因为()f x '的极值点是()f x 的零点.所以331032793a a a ab f ⎛⎫-=-+-+= ⎪⎝⎭，又0a >，故2239a b a =+. 因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而()23127039a b a a -=-，即3a .3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；3a >时，()=0f x '有两个相异的实根213=3a a b x ---，223=3a a b x -+-.列表如下x1(,)x -∞1x12(,)x x2x2(,)x +∞()f x ' + 0– 0+ ()f x极大值极小值故()f x 的极值点是12,x x.从而3a >，因此2239a b a =+，定义域为(3,)+∞.（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=.从而()()32321211122211f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++=()()()()2222121122121212323223333x x x ax b x ax b a x x b x x ++++++++++=346420279a ab ab --+=.记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a -=-+，所以()213=9h a a a -+，3a >. 因为()223=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减.因为()76=2h -，于是()()6h a h ，故6a .因此a 的取值范围为(]36，.【变式2】【改编例题条件和问题，求解含参函数的极值】【2017山东理】已知函数()22cos f x x x=+，()()e cos sin 22x g x x x x =-+-，其中e 2.71828=是自然对数的底数.（1）求曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程；（2）令()()()()h x g x af x a =-∈R ，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.【答案】（1）222y x =π-π-；（2）当0a 时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增， 函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，极小值是()021h a =--；当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值， 极大值是()021h a =--；极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.【解析】（1）由题意()22f π=π-，又()22sin f x x x'=-，所以()2f ππ'=，因此曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为()()222y x -π-=π-π，即222y x =π-π-. （2）由题意得2()e (cos sin 22)(2cos )x h x x x x a x x =-+--+， 因为()()()()e cos sin 22e sin cos 222sin x x h x x x x x x a x x '=-+-+--+--=()()2e sin 2sin x x x a x x ---()()2e sin x a x x =--，令()sin m x x x=-，则()1cos 0m x x '=-，所以()m x 在R 上单调递增.因为(0)0m =，所以当0x >时，()0m x >，当0x <时，()0m x <.（i ）当0a 时，e xa -0>当0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减， 当0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以 当0x =时()h x 取得极小值，极小值是()021h a =--；（ii ）当0a >时，()()()ln 2e e sin x ah x x x '=--由()0h x '=得 1ln x a =，2=0x①当01a <<时，ln 0a <， 当(),ln x a ∈-∞时，ln e e 0x a -<，()0h x '>，()h x 单调递增；当()ln ,0x a ∈时，ln e e 0x a ->，()0h x '<，()h x 单调递减； 当()0,x ∈+∞时，ln e e 0x a ->，()0h x '>，()h x 单调递增.所以 当ln x a =时()h x 取得极大值.极大值为()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，当0x =时()h x 取到极小值，极小值是()021h a =--；②当1a =时，ln 0a =， 所以当(),x ∈-∞+∞时，()0h x '，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；③当1a >时，ln 0a >所以 当(),0x ∈-∞时，ln e e 0x a -<，()0h x '>，()h x 单调递增；当()0,ln x a ∈时，ln e e 0x a -<，()0h x '<，()h x 单调递减； 当()ln ,x a ∈+∞时，ln e e 0x a ->，()0h x '>，()h x 单调递增；所以 当0x =时()h x 取得极大值，极大值是()021h a =--；当ln x a =时()h x 取得极小值.极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.综上所述：当0a 时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，极小值是()021h a =--；当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值， 极大值是()021h a =--；极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.【变式3】【根据函数在某处取得极值求参数范围】【2016山东文】设()()2ln 21f x x x ax a x =-+-，a ∈R.（1）令()()'g x f x =，求()g x 的单调区间；（2）已知()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0≤a 时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞；当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）12a >.（2）由（1）知，()'10f =.①当0≤a 时， ()'f x 单调递增所以当()0,1x ∈时，()'0f x <，()f x 单调递减.当()1,x ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增.所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意.②当102a <<时，112a >，由（1）知()'f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，可得当()0,1x ∈时，()'0f x <，11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >， 所以()f x 在()0,1内单调递减，在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意.③当12a =时，即112a =时，()'f x 在()0,1内单调递增，在()1,+∞内单调递减， 所以当()0,x ∈+∞时，()'0f x ，()f x 单调递减，不合题意.④当12a >时，即1012a << ，当1,12x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，()f x 单调递增,当()1,x ∈+∞时，()'0f x <，()f x 单调递减，所以()f x 在1x =处取得极大值，合题意.综上可知，实数a 的取值范围为12a >.【变式4】【根据极值点的关系证明等式】【2016天津文】设函数b ax x x f --=3)(，x ∈R ，其中,a b ∈R . （1）求)(x f 的单调区间；（2）若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：0201=+x x ；（3）设0>a ，函数|)(|)(x f x g =，求证：)(x g 在区间]1,1[-上的最大值不小于41.【答案】答案见解析【解析】（1）由3()f x x ax b =--，可得2()3f x x a '=-，下面分两种情况讨论： ①当0a时，有2()30f x x a'=-恒成立，所以()f x 在R 上单调递增.②当0a >时，令()0f x '=，解得3x =或3x =-.当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示.所以()f x 的单调递减区间为⎛ ⎝⎭，单调递增区间为,⎛-∞ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭.（3）证明：设()g x 在区间[1,1]-上的最大值为M ，max{,}x y 表示x ，y 两数的最大值，下面分三种情况讨论：①当3a 时，3311,33a a --<由()1知()f x 在区间[]1,1-上单调递减，所以()f x 在区间[]1,1-上的取值范围为[](1),(1)f f -，因此()(){}{}max 1,1max 1,1M f f a b a b =-=---+-={}max 1,1a b a b -+--1,01,0a b b a b b -+⎧=⎨--<⎩，所以1 2.M a b=-+②当334a <时，23332311a a aa-<-<<，由（1）和（2） 知233(1)a a f f f ⎛--= ⎝⎭⎝⎭，233(1)a a f f f ⎛⎛= ⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在区间[1,1]-上的取值范围为33,33a a f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以33max ,33a a M f f ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-= ⎪ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭22max 3399a a a b a b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭2222331max 333||39999444a a a a b a b a b ⎧⎫=⨯⨯⨯=⎨⎬⎩⎭. ③当304a <<时，23332311a a a a -<<<<<，由（1）和（2）知，(1),f f f ⎛-<= ⎝⎭⎝⎭(1)f f f ⎛>= ⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在区间[]1,1-上的取值范围为()()1,1f f -⎡⎤⎣⎦， 因此()(){}=max 1,1M f f -={}max 1,1a b a b ---+-={}1max 1,114a b a b a b ---+=-+>.综上所述，当0a >时，()g x 在区间[]1,1-上的最大值不小于14.（三）求不含参函数的最值 例3.【2017北京卷理】已知函数()e cos x f x x x=-.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（1）1y =；（2）()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ22f ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 【解析】（1）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1xf x x x '=--，(0)0f '=. 又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =.（2）设()e (cos sin )1x h x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x xh x x x x x x '=---=-. 当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 所以对任意π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦有()(0)0h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ22f ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 【方法技巧归纳】在],[b a 上连续的函数)(x f 在],[b a 上必有最大值与最小值的步骤：①讨论单调区间；②判断极值；③极值与闭区间端点的函数值比较，最大的为最大值，最小的是最小值.【变式1】【在给定区间上求函数的最值】【2018河北石家庄二中八月模考】已知函数()()21xf x xe x=-+.（Ⅰ）当[]1,2x∈-时，求()f x的最大值与最小值；（Ⅱ）讨论方程()1f x ax=-的实根的个数.【答案】(1)最小值是()2ln21--,最大值是229e-;(2) 1a<-时，方程()1f x ax=-有1个实根；1a>-时，方程()1f x ax=-有3个实根.【解析】试题分析：(1)()()()12xf x x e=+-',明确函数的单调性，求出极值与端点值，比较后得最值；（2）方程()1f x ax=-的实根的个数即()2xg x e x a=---的图象与x轴的交点个数，分类讨论函数()g x的单调性，借助极值与0的关系确定交点个数. 试题解析：（Ⅰ）因为()()21xf x xe x=-+，所以()()()()()12112x xf x x e x x e=+-+=+-'，令()0f x'=得121,ln2x x=-=，()(),f x f x'的变化如下表：() f x在[]1,2-上的最小值是()2ln21--，因为2211 290,0,29e ee e->---，所以()f x在[]1,2-上的最大值是229e-.（ⅰ）当10a -->时，即1a <-时， ()0g x =没有实根，方程()1f x ax =-有1个实根；（ⅱ）当10a --=时，即1a =-时， ()0g x =有1个实根为零，方程()1f x ax =-有1个实根；（ⅲ）当10a --<时，即1a >-时，()0g x =有2不等于零的实根，方程()1f x ax =-有3个实根.综上可得， 1a <-时，方程()1f x ax =-有1个实根； 1a >-时，方程()1f x ax =-有3个实根.求含参函数的最值例4.【2016全国2卷理】（1）讨论函数2()e 2xx f x x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20;xx x -++>（2） 证明：当[0,1)a ∈ 时，函数()2e =(0)x ax a g x x x --> 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.【答案】答案见解析【解析】（1）证明：由已知得，函数的定义域为由已知得， 2x ≠-.因为()2e 2xx f x x -=+，所以()()()22224e e 222xxx x f x x x x ⎛⎫-' ⎪=+= ⎪+++⎝⎭.因为当x ∈()()22-∞--+∞，，时，()0f x '>，所以()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增， 所以当0x >时，()2e 0=12xx f x ->-+，所以()2e 20x x x -++>.（2）由已知得，()()()24e2e xxa x x ax a g x x ----'=()4e 2e 2=xxx x ax a x -++=()322e 2x x x a x x -⎛⎫+⋅+⎪+⎝⎭，[)01a ∈，.解法一：记()2e 2xx h x a x -=++，因为()()01020h a h a =-<=，，所以由（1）知()h x 在[)02，上存在唯一零点.记零点为0x ，即()00h x =，则()g x 在()00x ，上单调递减，在()02x ，上单调递增. 故0x 为()g x 的极小值，此时极小值为()0g x .因为0002e 02x x a x -+=+，所以[)(]00002e 0022x x a x x -=-∈⇒∈+，1，. 所以()()()000000000220002e e 1e 12e =2x x x x x x a x x x x x x ⎛⎫---+ ⎪-++⎝⎭==+ｇ. 记()000e 2x P x x =+,，则()()()()00002200e +2e 1=e 0+2+2x xx x x P x x x -+'=>，所以()0P x 在(]002x ∈，上单调递增，所以()201e 24P x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，.解法二：由(1)知，当0x >时，()2e 2x x f x x -=⋅+的值域为()1-+∞，，只有一解，使得2e 2tt a t -⋅=-+，(]02t ∈，. 当(0,)x t ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(,)x t ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增..()()()222e 1ee 1e 22t ttt t t a t t h a t t t -++⋅-++===+.记()e 2tk t t =+，在(]0,2t ∈时，()()()2e 102t t k t t +'=>+，所以()k t 单调递增，所以()()21e 24h a k t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，． 【方法技巧归纳】超越函数（指数函数、对数函数、三角函数）的最值一般都是利用导函数求单调性或极值得到的.函数在区间上的最大（小）值，若不是区间端点值就是极大（小）值. 【变式1】【由最大值存在的不等关系求参数的取值范围】【2015全国2卷文】已知函数()()ln 1f x x a x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时,求a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）0a ≤, ()f x 在()0,+∞是单调递增； 0a >, ()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；（Ⅱ）()0,1.【解析】试题分析：（Ⅰ）由()1f x ax'=-,可分0a≤, 0a>两种情况来讨论；（II）由（I）知当0a≤时()f x在()0,+∞无最大值,当0a>时()f x最大值为1ln 1.f a aa⎛⎫=-+-⎪⎝⎭因此122ln10f a a aa⎛⎫>-⇔+-<⎪⎝⎭.令()ln1g a a a=+-,则()g a在()0,+∞是增函数,当01a<<时, ()0g a<,当1a>时()0g a>,因此a的取值范围是()0,1.试题解析：（Ⅰ）()f x的定义域为()0,+∞,()1f x ax'=-,若0a≤,则()0f x'>,()f x在()0,+∞是单调递增；若0a>,则当10,xa⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x'>,当1,xa⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时()0f x'<,所以()f x在10,a⎛⎫⎪⎝⎭单调递增,在1,a⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递减.【变式2】【求函数取得最值时自变量的取值】【2014安徽卷理】设函数23()1(1)f x a x x x=++--,其中0a>.（1）讨论()f x在其定义域上的单调性；（2）当[0,1]x∈时，求()f x取得最大值和最小值时的x的值.【答案】（1）()f x在1(,)x-∞和2(,)x+∞内单调递减，在12(,)x x内单调递增；（2）所以当01a<<时，()f x在1x=处取得最小值；当1a=时，()f x在x=和1x=处同时取得最小只；当14a<<时，()f x在x=处取得最小值.【解析】试题分析：（1）对原函数进行求导，2'()123f x a x x =+--，令'()0f x =，解得1212143143,,33a ax x x x --+-++==<，当1x x <或2x x >时'()0f x <；从而得出，当12x x x <<时，'()0f x >.故()f x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞内单调递减，在12(,)x x 内单调递增.（2）依据第（1）题，对a 进行讨论，①当4a ≥时，21x ≥，由（1）知，()f x 在[0,1]上单调递增，所以()f x 在0x =和1x =处分别取得最小值和最大值.②当04a <<时，21x <.由（1）知，()f x 在2[0,]x 上单调递增，在2[,1]x 上单调递减，因此()f x 在21433ax x -++==处取得最大值.又(0)1,(1)f f a ==，所以当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值；当1a =时，()f x 在0x =和1x =处同时取得最小只；当14a <<时，()f x 在0x =处取得最小值.（1）()f x 的定义域为R ，2'()123f x a x x =+--.令'()0f x =，得1212143143,,33a ax x x x --+-++==<，所以12'()3()()f x x x x x =---.当1x x <或2x x >时'()0f x <；当12x x x <<时，'()0f x >.故()f x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞内单调递减，在12(,)x x 内单调递增. 因为0a >，所以120,0x x <>.①当4a ≥时，21x ≥，由（1）知，()f x 在[0,1]上单调递增，所以()f x 在0x =和1x =处分别取得最小值和最大值.②当04a <<时，21x <.由（1）知，()f x 在2[0,]x 上单调递增，在2[,1]x 上单调递减，因此()f x 在21433ax x -++==处取得最大值.又(0)1,(1)f f a ==，所以当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值；当1a =时，()f x 在0x =和1x =处同时取得最小只；当14a <<时，()f x 在0x =处取得最小值.【数学思想】 分类讨论思想1.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．2.分类讨论思想的常见类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的. 【处理导数的极值与最值问题注意点】对参数的讨论要做到不重不漏.至于如何分类的思想是将导函数零点之间的大小以及区间端点值的大小进行比较，将区间端区限定不动，变动零点位置. 【典例试题演练】1．【2018广东广州珠海区高三检测（一）理】已知函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.()0,1 C. (),0-∞ D. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 【答案】A2．【2018海南八校联盟开学考试理】已知函数()213ln 2f x x x a x⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭在区间()1,3上有最大值，则实数a 的取值范围是( )A.1,52⎛⎫-⎪⎝⎭B.111,22⎛⎫-⎪⎝⎭ C.111,22⎛⎫⎪⎝⎭ D.1,52⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为()3122f x x ax'=-+-，所以由题设()3122f x x ax'=-+-在()1,3只有一个零点且单调递减，则问题转化为()()10{30ff><，即11112{11222aaa+>⇒-<<-<，应选答案B。
2018版高考数学人教A版(全国)一轮复习课件 第三章 导数及其应用 第2讲 第2课时
考点突第破十一页，编辑于星期课六：堂二总十二结点 三十分。
(2)因为 f′(x)＝（10x＋a2）（x 2x＋a），a＜0，由 f′(x)＝0 得 x＝ －1a0或 x＝－a2. 当 x∈0，－1a0时，f(x)单调递增. 当 x∈－1a0，－a2时，f(x)单调递减； 当 x∈－a2，＋∞时，f(x)单调递增. 易知 f(x)＝(2x＋a)2 x≥0，且 f－a2＝0.
考点突第破五页，编辑于星期六课：二堂十总二点结三十分。
规律方法 函数极值的两类热点问题 (1)求函数f(x)极值这类问题的一般解题步骤为： ①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数 定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的 符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正， 那么f(x)在x0处取极小值.
一般根据区间与极值点的位置关系来分类讨论.
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【训练2】 已知函数f(x)＝(ax－2)ex在x＝1处取得极值. (1)求a的值； (2)求函数在区间[m，m＋1]上的最小值. 解 (1)f′(x)＝(ax＋a－2)ex， 由已知得 f′(1)＝(a＋a－2)e＝0， 解得 a＝1，经检验 a＝1 符合题意， 所以 a 的值为 1. (2)由(1)得 f(x)＝(x－2)ex，f′(x)＝(x－1)ex. 令 f′(x)>0 得 x>1，令 f′(x)<0 得 x<1. 所以函数 f(x)在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增.
高考数学(理科)一轮复习限时规范训练第二章第三节导数与函数的极值、最值(含解析)
限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A级基础夯实练1．(2018·聊城二模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是() A．y＝x3B．y＝ln(－x)C．y＝x e－x D．y＝x＋2 x解析：选D.由题可知，B，C选项中的函数不是奇函数；A选项中，函数y ＝x3单调递增(无极值)；D选项中的函数既为奇函数又存在极值．2．(2018·南京模拟)函数f(x)＝x2－5x＋2e x的极值点所在的区间为()A．(0，1) B．(－1，0)C．(1，2) D．(－2，－1)解析：选A.∵f′(x)＝2x－5＋2e x为增函数，f′(0)＝－3＜0，f′(1)＝2e－3＞0，∵f′(x)＝2x－5＋2e x的零点在区间(0，1)上，∴f(x)＝x2－5x＋2e x的极值点在区间(0，1)上．3．(2018·南昌调研)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k ＝1，2)，则()A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取得极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取得极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取得极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取得极大值解析：选C.当k＝1时，f′(x)＝e x·x－1，f′(1)≠0，∴x＝1不是f(x)的极值点．当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(x e x＋e x－2)，显然f′(1)＝0，且在x＝1附近的左侧f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0，∴f (x )在x ＝1处取得极小值．故选C.4．(2018·佛山调研)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)．若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )图象的是( )解析：选D.因为[f (x )e x ]′＝f ′(x )e x ＋f (x )(e x )′＝[f (x )＋f ′(x )]e x ，且x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，所以f (－1)＋f ′(－1)＝0；选项D 中，f (－1)＞0，f ′(－1)＞0，不满足f ′(－1)＋f (－1)＝0.5．(2018·山东临沂模拟)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0，2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＞12，当x ∈(－2，0)时，f (x )的最小值为1，则a ＝( ) A.14 B ．13C.12D ．1解析：选D.因为f (x )是奇函数，所以f (x )在(0，2)上的最大值为－1.当x ∈(0，2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0，得x ＝1a ，又a ＞12，所以0＜1a ＜2.当x ＜1a 时，f ′(x )＞0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增；当x ＞1a 时，f ′(x )＜0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上单调递减，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝ln 1a －a ·1a＝－1，解得a ＝1.6．(2018·南通调研)已知函数f (x )＝2f ′(1)ln x －x ，则f (x )的极大值为________． 解析：因为f ′(x )＝2f ′（1）x －1，所以f ′(1)＝2f ′(1)－1，所以f ′(1)＝1，故f (x )＝2ln x －x ，f ′(x )＝2x －1＝2－x x ，则f (x )在(0，2)上为增函数，在(2，＋∞)上为减函数，所以当x ＝2时f (x )取得极大值，且f (x )极大值＝f (2)＝2ln 2－2.答案：2ln 2－27．(2018·大同模拟)f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________．解析：f (x )＝x 3－2cx 2＋c 2x ，f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2，f ′(2)＝0⇒c ＝2或c ＝6，若c ＝2，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4，令f ′(x )＞0⇒x ＜23或x ＞2，f ′(x )＜0⇒23＜x ＜2，故函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23及(2，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2上单调递减，所以x ＝2是极小值点，故c ＝2(不合题意，舍去)，c ＝6.答案：68．(2018·遵义模拟)不等式e x ≥kx 对任意实数x 恒成立，则实数k 的最大值为________．解析：(1)不等式e x ≥kx 对任意实数x 恒成立，即为f (x )＝e x －kx ≥0恒成立，即有f (x )min ≥0，由f (x )的导数为f ′(x )＝e x －k ，当k ≤0时，e x ＞0，可得f ′(x )＞0恒成立，f (x )递增，无最值；当k ＞0时，x ＞ln k 时f ′(x )＞0，f (x )递增；x ＜ln k 时f ′(x )＜0，f (x )递减． 即在x ＝ln k 处取得最小值，且为k －k ln k ， 由k －k ln k ≥0，解得k ≤e ，即k 的最大值为e. 答案：e9．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c e x (a ＞0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0.(1)求f (x )的单调区间．(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值． 解：(1)f ′(x )＝（2ax ＋b ）e x －（ax 2＋bx ＋c ）e x（e x ）2＝－ax 2＋（2a －b ）x ＋b －c e x ，令g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ，因为e x ＞0，所以y ＝f ′(x )的零点就是g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c 的零点，且f ′(x )与g (x )符号相同．又因为a ＞0，所以－3＜x ＜0时， g (x )＞0，即f ′(x )＞0，当x ＜－3或x ＞0时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，所以f (x )的单调增区间是(－3，0)，单调减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)． (2)由(1)知，x ＝－3是f (x )的极小值点，所以有⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋ce－3＝－e 3，g （0）＝b －c ＝0，g （－3）＝－9a －3（2a －b ）＋b －c ＝0，解得a ＝1，b ＝5，c ＝5， 所以f (x )＝x 2＋5x ＋5e x.因为f (x )的单调增区间是(－3，0)，单调减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)， 所以f (0)＝5为函数f (x )的极大值，故f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大者．而f (－5)＝5e －5＝5e 5＞5＝f (0)，所以函数f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e 5. 10．已知常数a ≠0，f (x )＝a ln x ＋2x . (1)当a ＝－4时，求f (x )的极值；(2)当f (x )的最小值不小于－a 时，求实数a 的取值范围． 解：(1)由已知得f (x )的定义域为x ∈(0，＋∞)， f ′(x )＝ax ＋2＝a ＋2x x .当a ＝－4时，f ′(x )＝2x －4x .∴当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，即f (x )单调递减； 当x ＞2时，f ′(x )＞0，即f (x )单调递增．∴f (x )只有极小值，且在x ＝2时，f (x )取得极小值f (2)＝4－4ln 2，无极大值． (2)∵f ′(x )＝a ＋2x x，∴当a ＞0，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0， 即f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，没有最小值； 当a ＜0时，由f ′(x )＞0得，x ＞－a2，∴f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增；由f ′(x )＜0得，0＜x ＜－a2，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2上单调递减．∴当a ＜0时，f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2＝a ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2＋2×⎝⎛⎭⎪⎫－a 2.根据题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2≥－a ，即a [ln(－a )－ln 2]≥0.∵a ＜0，∴ln(－a )－ln 2≤0，解得－2≤a ＜0， ∴实数a 的取值范围是[－2，0)．B 级 能力提升练11．设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( )A ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．－x 0是f (－x )的极小值点C ．－x 0是－f (x )的极小值点D ．－x 0是－f (－x )的极小值点解析：选D.函数f (x )的极大值f (x 0)不一定是最大值，故A 错误；f (x )与－f (－x )关于原点对称，故x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点时，－x 0是－f (－x )的极小值点，故选D.12．(2018·武汉模拟)若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内存在最小值，则实数k 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 C ．[1，2)D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 解析：选B.因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，又因为f ′(x )＝4x －1x ，所以由f ′(x )＝0解得x ＝12，由题意得⎩⎨⎧k －1＜12＜k ＋1，k －1≥0，解得1≤k ＜32.13．(2018·江苏卷)若函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________．解析：f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )(x ＞0)． ①当a ≤0时，f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上递增， 又f (0)＝1，∴f (x )在(0，＋∞)上无零点． ②当a ＞0时，由f ′(x )＞0解得x ＞a 3，由f ′(x )＜0解得0＜x ＜a3，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3上递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞上递增． 又f (x )只有一个零点，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－a 327＋1＝0，∴a ＝3.此时f (x )＝2x 3－3x 2＋1，f ′(x )＝6x (x －1)，当x ∈[－1，1]时，f (x )在[－1，0]上递增，在[0，1]上递减．又f (1)＝0，f (－1)＝－4，∴f (x )max ＋f (x )min ＝f (0)＋f (－1)＝1－4＝－3. 答案：－314．(2018·北京卷)设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ； (2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ，所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a ＞12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )＜0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2＜0，ax －1≤12x －1＜0，所以f ′(x )＞0.所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫12，＋∞.15．(2017·浙江卷)已知函数f (x )＝(x －2x －1)·e －x ⎝⎛⎭⎪⎫x ≥12.(1)求f (x )的导函数；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上的取值范围．解：(1)因为(x －2x －1)′＝1－12x －1，(e －x )′＝－e －x，所以f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12x －1e －x －(x －2x －1)e －x ＝（1－x ）（2x －1－2）e －x 2x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＞12. (2)由f ′(x )＝（1－x ）（2x －1－2）e －x2x －1＝0，解得x ＝1或x ＝52.因为x 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，5252 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞ f ′(x ) － 0 ＋ 0 －f (x )12e －1212e －52又f (x )＝12(2x －1－1)2e －x ≥0，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12e －12. C 级 素养加强练16．(2018·辽宁省五校联考)已知函数f (x )＝2ln x ＋x 2－2ax (a ＞0)． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，且f (x 1)－f (x 2)≥32－2ln 2恒成立，求a 的取值范围．解：(1)由题意知，函数f (x )的定义域是(0，＋∞)， f ′(x )＝2（x 2－ax ＋1）x ，令x 2－ax ＋1＝0，则Δ＝a 2－4，①当0＜a ≤2时，Δ≤0，f ′(x )≥0恒成立， 函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a ＞2时，Δ＞0，方程x 2－ax ＋1＝0有两个不同的实根，分别设为x 3，x 4，不妨令x 3＜x 4，则x 3＝a －a 2－42，x 4＝a ＋a 2－42，此时0＜x 3＜x 4，因为当x ∈(0，x 3)时，f ′(x )＞0，当x ∈(x 3，x 4)时，f ′(x )＜0，当x ∈(x 4，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递减，在(a ＋a 2－42，＋∞)上单调递增．(2)由(1)得f (x )在(x 1，x 2)上单调递减，x 1＋x 2＝a ，x 1·x 2＝1，则f (x 1)－f (x 2)＝2ln x 1x 2＋(x 1－x 2)(x 1＋x 2－2a )＝2ln x 1x 2＋x 22－x 21x 1x 2＝2ln x 1x 2＋x 2x 1－x 1x 2，令t ＝x 1x 2，则0＜t ＜1，f (x 1)－f (x 2)＝2ln t ＋1t －t ，令g (t )＝2ln t ＋1t －t (0＜t ＜1)，则g ′(t )＝－（t －1）2t 2＜0，故g (t )在(0，1)上单调递减且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32－2ln 2，故g (t )＝f (x 1)－f (x 2)≥32－2ln 2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即0＜t ≤12，而a 2＝(x 1＋x 2)2＝x 1x 2＋x 2x 1＋2＝t ＋1t ＋2，其中0＜t ≤12，令h (t )＝t ＋1t ＋2，t ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12，所以h ′(t )＝1－1t 2＜0在t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，故h (t )＝t ＋1t ＋2在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减，从而a 2≥92，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，＋∞.。
2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2导数与函数的单调性极值最值课件理新人教A版
[题点发散4] 如何求解？
在本例(3)中，若函数g(x)在R上为单调函数，
解：∵g′(x)＝x2－ax＋2， ∴要使g(x)在R上为单调函数，则g′(x)≥0恒成立， ∴Δ＝a2－8≤0，即a2≤8， ∴－2 2≤a≤2 2. 即实数a的取值范围为[－2 2，2 2 ]．
[点石成金]
1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确
(3)∵g′(x)＝f′(x)＋2＝x2－ax＋2，且g(x)在(－2，－1)上 为减函数， ∴g′(x)≤0，即x2－ax＋2≤0在(－2，－1)上恒成立，
g′－2≤0， ∴ g′－1≤0， 4＋2a＋2≤0， 即 1＋a＋2≤0，
解得a≤－3， 即实数a的取值范围为(－∞，－3]．
(ln 2，＋∞) ． ___________
(2)[教材习题改编]求f(x)＝x＋cos x， x∈R的单调区间．
解：f′(x)＝1－sin x≥0， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增， 即(－∞，＋∞)是f(x)的单调递增区间．
导数符号与单调性． 已知函数f(x)＝x3－ax2＋ax是R上的增函数，则实数a的取值 [0,3] 范围为__________ ．
a －2<2<－1， 由Δ>0， g′－2>0， g′－1>0，
－4<a<－2， a2－8>0， 得 6＋2a>0， 3＋a>0，
－4<a<－2， 即a>2 2或a<－2 2， a>－3
解得－3<aБайду номын сангаас－2 2，
即实数a的取值范围为(－3，－2 2)．
[题点发散1] －1)，如何求解？
最新-2018届高考数学一轮复习 导数的应用 极值与最值调研课件 文 新人教A版 精品
• 4.已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函 数在[－2,2]上的最小值是( )
• A．－37
B．－29
• C．－5
D．以上都不对
• 答案 A
• 解析 f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2) • ∴f(x)在(－2,0)增(0,2)减∴x＝0为极大值点，也为最大值点，∴f(0)＝m＝
称为极值．
• (2)当函数f(x)在x0处连续时，判别f(x0)是极大(小)值的方法： • 如果x<x0有f′(x)__>__0，x>x0有f′(x)__<__0，则f(x0)是极大值； • 如果x<x0有f′(x)__<__0，x>x0有f′(x)__>__0，则f(x0)是极小值． • 2．求可导函数f(x)极值的步骤 • (1)求导数f′(x)； • (2)求方程f′(x)＝0的根． • (3)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的值的符号，如果在根的左侧附近
3 2
ax2＋
b，
x∈
[－
1,1]的
6 最大值为1，最小值为－ 2 ，求f(x)． 【解析】 f′(x)＝3x2－3ax＝3x(x－a)，
由 f′ (x)＝ 0， 即 3x(x－ a)＝ 0， 得 x＝ 0或 a，
调递减；当x∈ (1,2]时，f′ (x)>0，故f(x)在(1,2]
上单调递增．
1 ∴f(x)在区间[2， 2]上有唯一极小值点，
故f(x)min＝ f(x)极小值＝f(1)＝0.
又 f(12)＝ 1－ ln2， f(2)＝ －12＋ ln2， f(12)－ f(2)＝
3
ln e3－ ln 16
2018高中数学理人教A版一轮参考课件：3-2 导数的应用——单调性、极值、最值问题
主干梳理
要点梳理
考点自测
1
2
3
4
5
5.函数 f(x)=x3+ax-2 在(1,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围 是 .
解析:f'(x)=3x2+a,f'(x)在区间(1,+∞)上是增函数, 则 f'(x)=3x +a≥0 在(1,+∞)上恒成立, 即 a≥-3x2 在(1,+∞)上恒成立.故 a≥-3. 答案:[-3,+∞)
3 x
x
x
考向1
考向2
考向3
创新题型解析
考向1
考向2
考向3
创新题型解析
(2014 吉林长春二调) 设函数 f(x)是定义在(-∞,0)上的可导函数,其导函 数为 f'(x),且有 2f(x)+xf'(x)>x2,则不等式(x+2 014)2f(x+2 014)-4f(-2)>0 的解 集为( )
x
k
)
主干梳理
要点梳理
考点自测
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
3
4
5
解析:当 k=1 时,f'(x)=ex· x-1,f'(1)≠0. 所以 x=1 不是 f(x)的极值点. 当 k=2 时,f'(x)=(x-1)(xex+ex-2). 显然 f'(1)=0,且 x 在 1 的左边附近 f'(x)<0, x 在 1 的右边附近 f'(x)>0, 所以 f(x)在 x=1 处取到极小值.故选 C. 答案:C
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要点梳理
考点自测
2018高考数学考点突破——函数与导数、定积分：导数与函数的极值、最值 Word版含解析
导数与函数的极值、最值【考点梳理】1．函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．2．函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【考点突破】考点一、利用导数研究函数的极值问题【例1】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)[答案] D[解析] 由题图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．【例2】求函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R)的极值． [解析] 由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax ，x ＞0知：(1)当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； (2)当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .又当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值.【例3】(1)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ．(0，1)D ．(0，＋∞)(2)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，若x ＝－3是函数f (x )的一个极值点，则实数a ＝________.[答案] (1)B (2)5[解析] (1)∵f (x )＝x (ln x －ax )， ∴f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，故f ′(x )在(0，＋∞)上有两个不同的零点，令f′(x)＝0，则2a＝ln x＋1x，设g(x)＝ln x＋1x，则g′(x)＝－ln xx2，∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，又∵当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，而g(x)max＝g(1)＝1，∴只需0＜2a＜1⇒0＜a＜1 2.(2)f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意知x＝－3为方程3x2＋2ax＋3＝0的根，∴3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，解得a＝5.【类题通法】利用导数研究函数极值的一般流程【对点训练】1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为()A．1B．2C．3D．4[答案] A[解析]导函数f′(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x 轴上方的只有一个，所以f (x )在区间(a ，b )内有一个极小值点．2．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R.(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)设g (x )＝f ′(x )e －x ，求函数g (x )的极值． [解析] (1)由于f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝2a ，f ′(2)＝12＋4a ＋b ＝－b ，解得⎩⎨⎧b ＝－3，a ＝－32.所以f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，f ′(x )＝3x 2－3x －3.于是有f (1)＝－52.又f ′(1)＝－3，故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.(2)由(1)知g (x )＝(3x 2－3x －3)e －x ， 则g ′(x )＝(－3x 2＋9x )e －x ， 令g ′(x )＝0得x ＝0或x ＝3， 当x ≤0或x ≥3时，g ′(x )≤0， 当0≤x ≤3时，g ′(x )≥0，于是函数g (x )在(－∞，0]上单调递减，在[0，3]上单调递增，在[3，＋∞)上单调递减．所以函数g (x )在x ＝0处取得极小值g (0)＝－3， 在x ＝3处取得极大值g (3)＝15e －3.3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A．(－1,2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C．(－3,6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)[答案] B[解析]∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4a2－4×3(a＋6)＞0，即a2－3a－18＞0，∴a＞6或a＜－3.4．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝()A．－4 B．－2C．4 D．2[答案] D[解析] 由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x<－2或x>2时，f′(x)>0；当－2<x<2时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f(x)在x＝2处取得极小值，∴a＝2.考点二、利用导数解决函数的最值问题【例4】已知函数f(x)＝(x－k)e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值．[解析] (1)由f(x)＝(x－k)e x，得f′(x)＝(x－k＋1)e x，令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的变化情况如下：单调递减单调递增所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞).(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝－k，当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1，1]上单调递增，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1.当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0，1]上单调递减，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.综上可知，当k≤1时，f(x)min＝－k；当1＜k＜2时，f(x)min＝－e k－1；当k≥2时，f(x)min＝(1－k)e.【类题通法】求函数f(x)在[a，b]上的最大值、最小值的步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值．【对点训练】若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，若t＝ab，则t的最大值为()A ．2B ．3C ．6D ．9[答案] D[解析] f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，则f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，a ＋b ＝6，又a ＞0，b ＞0，则t ＝ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，故选D. 考点三、利用导数研究生活中的优化问题【例5】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．[解析] (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10(x －6)2 ＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)， 于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4时，函数f (x )取得极大值，也是最大值，所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【类题通法】利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y＝f(x)，并确定其定义域；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．【对点训练】某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间有关系y＝13x3－392x2－40x(x＞0)，为使耗电量最小，则速度应定为________.[答案] 40[解析] 由y′＝x2－39x－40＝0，得x＝－1或x＝40，由于0＜x＜40时，y′＜0；x＞40时，y′＞0.所以当x＝40时，y有最小值．。
2018一轮北师大版(理)数学教案：第2章 第12节 导数与函数的极值、最值 Word版含解析
第十二节导数与函数的极值、最值[考纲传真] 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．1．导数与函数的极值(1)函数的极大值与导数的关系x (a，x0)极大值点x0(x0，b) f′(x)＋0－y＝f(x)增加极大值减少图示(2)函数的极小值与导数的关系x (a，x0)极小值点x0(x0，b) f′(x)－0＋y＝f(x)减少极小值增加图示(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，最大的为最大值，最小的为最小值．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的极大值一定比极小值大．()(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．()(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．()(4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图2-12-1所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为()【导学号：57962113】图2-12-1A．1B．2C．3D．4A[导函数f′(x)的图像与x轴的交点中，左侧图像在x轴下方，右侧图像在x轴上方的只有一个，所以f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点．] 3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件C[y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9或x＝－9(舍去)．当x∈(0,9)时，y′＞0，当x∈(9，＋∞)时，y′＜0，则当x＝9时，y有最大值．即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]4．(2016·四川高考)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝() A．－4B．－2C．4D．2D [由题意得f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0得x ＝±2，∴当x <－2或x >2时，f ′(x )>0；当－2<x <2时，f ′(x )<0，∴f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f (x )在x ＝2处取得极小值，∴a ＝2.]5．函数y ＝2x 3－2x 2在区间[－1,2]上的最大值是________． 8 [y ′＝6x 2－4x ，令y ′＝0， 得x ＝0或x ＝23.∵f (－1)＝－4，f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－827，f (2)＝8，∴最大值为8.]利用导数研究函数的极值问题设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图像如图2-12-2所示，则下列结论中一定成立的是( )图2-12-2A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)D [由题图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．]☞角度2 求函数的极值求函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )的极值．[解] 由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax ，x ＞0知：(1)当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值；5分(2)当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .又当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，9分 从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值.12分☞角度3 已知极值求参数(1)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )【导学号：57962114】A ．(－∞，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(0,1)D ．(0，＋∞)(2)设f (x )＝ln(1＋x )－x －ax 2，若f (x )在x ＝1处取得极值，则a 的值为________．(1)B (2)－14 [(1)∵f (x )＝x (ln x －ax )， ∴f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，故f ′(x )在(0，＋∞)上有两个不同的零点，令f ′(x )＝0，则2a ＝ln x ＋1x ， 设g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝－ln xx 2， ∴g (x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，又∵当x →0时，g (x )→－∞，当x →＋∞时，g (x )→0， 而g (x )max ＝g (1)＝1， ∴只需0＜2a ＜1⇒0＜a ＜12.(2)由题意知，f (x )的定义域为(－1，＋∞)， 且f ′(x )＝11＋x －2ax －1＝－2ax 2－(2a ＋1)x 1＋x ，由题意得，f ′(1)＝0，则－2a －2a －1＝0， 得a ＝－14，又当a ＝－14时， f ′(x )＝12x 2－12x 1＋x ＝12x (x －1)1＋x ，当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0； 当x ＞1时，f ′(x )＞0， ∴f (1)是函数f (x )的极小值， ∴a ＝－14.][规律方法] 利用导数研究函数极值的一般流程利用导数解决函数的最值问题ax (1)求函数f (x )的单调区间； (2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2a 上的最大值．[解] (1)f (x )＝x －e ax (a ＞0)，则f ′(x )＝1－a e ax ， 令f ′(x )＝1－a e ax ＝0，则x ＝1a ln 1a .3分 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a ln 1a 1a ln 1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ln 1a ，＋∞ f ′(x ) ＋ 0 － f (x )↗极大值↘ 故函数f (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a ln 1a ；减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ln 1a ，＋∞.6分(2)当1a ln 1a ≥2a ，即0＜a ≤1e 2时，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝2a －e 2；9分当1a ＜1a ln 1a ＜2a ，即1e 2＜a ＜1e 时，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ln 1a ＝1a ln 1a －1a ；当1a ln 1a ≤1a ，即a ≥1e 时，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1a －e.12分[规律方法] 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值、最小值的步骤： (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值．[变式训练1] (2017·石家庄质检(二))若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，若t ＝ab ，则t 的最大值为( )【导学号：57962115】A ．2B ．3C ．6D ．9D [f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，则f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，a ＋b ＝6，又a ＞0，b ＞0，则t ＝ab ≤＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，故选D.]利用导数研究生活中的优化问题克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．[解] (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2. 5分(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10(x －6)2 ＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.7分从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)， 于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.12分[规律方法] 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y ＝f (x )，并确定其定义域； (2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．[变式训练2] 某品牌电动汽车的耗电量y 与速度x 之间有关系y ＝13x 3－392x 2－40x (x ＞0)，为使耗电量最小，则速度应定为________.【导学号：57962116】40 [由y ′＝x 2－39x －40＝0， 得x ＝－1或x ＝40，由于0＜x＜40时，y′＜0；x＞40时，y′＞0.所以当x＝40时，y有最小值．][思想与方法]1．可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．2．求闭区间上可导函数的最值时，对函数的极值是极大值还是极小值可不作判断，直接与端点的函数值比较即可．3．如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．4．若函数f(x)在定义域A上存在最大值与最小值，则：(1)对任意x∈A，f(x)＞0⇔f(x)min＞0；(2)存在x∈A，f(x)＞0⇔f(x)max＞0.[易错与防范]1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能．2．导数为零的点不一定是极值点．对含参数的求极值问题，应注意分类讨论．3．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．4．利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义．。
2018一轮北师大版理数学教案：第2章 第12节 导数与函数的极值、最值 含解析 精品
第十二节导数与函数的极值、最值[考纲传真] 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．1．导数与函数的极值(1)函数的极大值与导数的关系增加减少减少增加(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，最大的为最大值，最小的为最小值．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的极大值一定比极小值大．()(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．()(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．()(4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图2-12-1所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为()【导学号：57962113】图2-12-1A．1B．2C．3D．4A[导函数f′(x)的图像与x轴的交点中，左侧图像在x轴下方，右侧图像在x轴上方的只有一个，所以f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点．] 3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件C[y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9或x＝－9(舍去)．当x∈(0,9)时，y′＞0，当x∈(9，＋∞)时，y′＜0，则当x＝9时，y有最大值．即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]4．(2016·四川高考)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝() A．－4B．－2C．4D．2D[由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x<－2或x>2时，f′(x)>0；当－2<x<2时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f(x)在x＝2处取得极小值，∴a＝2.]5．函数y＝2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值是________．8 [y ′＝6x 2－4x ，令y ′＝0， 得x ＝0或x ＝23.∵f (－1)＝－4，f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－827，f (2)＝8，∴最大值为8.]设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图像如图2-12-2所示，则下列结论中一定成立的是( )图2-12-2A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)D [由题图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．]☞角度2 求函数的极值求函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )的极值．[解] 由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax ，x ＞0知：(1)当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值；5分(2)当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .又当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0， 9分从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值.12分☞角度3 已知极值求参数(1)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )【导学号：57962114】A ．(－∞，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(0,1)D ．(0，＋∞)(2)设f (x )＝ln(1＋x )－x －ax 2，若f (x )在x ＝1处取得极值，则a 的值为________．(1)B (2)－14 [(1)∵f (x )＝x (ln x －ax )， ∴f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，故f ′(x )在(0，＋∞)上有两个不同的零点， 令f ′(x )＝0，则2a ＝ln x ＋1x ，设g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝－ln xx 2，∴g (x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，又∵当x →0时，g (x )→－∞，当x →＋∞时，g (x )→0， 而g (x )max ＝g (1)＝1， ∴只需0＜2a ＜1⇒0＜a ＜12.(2)由题意知，f (x )的定义域为(－1，＋∞)， 且f ′(x )＝11＋x －2ax －1＝－2ax 2－(2a ＋1)x 1＋x ，由题意得，f ′(1)＝0，则－2a －2a －1＝0， 得a ＝－14，又当a ＝－14时，f ′(x )＝12x 2－12x 1＋x ＝12x (x －1)1＋x ，当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0； 当x ＞1时，f ′(x )＞0， ∴f (1)是函数f (x )的极小值， ∴a ＝－14.][规律方法] 利用导数研究函数极值的一般流程(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2a 上的最大值．[解] (1)f (x )＝x －e ax (a ＞0)，则f ′(x )＝1－a e ax ， 令f ′(x )＝1－a e ax ＝0，则x ＝1a ln 1a .3分 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： 故函数f (x )的增区间为⎝ ⎭⎪⎫－∞，1a ln 1a ；减区间为⎝ ⎛⎭⎪1a ln 1a ，＋∞.6分(2)当1a ln 1a ≥2a ，即0＜a ≤1e 2时，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝2a －e 2；9分当1a ＜1a ln 1a ＜2a ，即1e 2＜a ＜1e 时，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ln 1a ＝1a ln 1a －1a ；当1a ln 1a ≤1a ，即a ≥1e 时，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1a －e.12分[规律方法] 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值、最小值的步骤： (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值．[变式训练1] (2017·石家庄质检(二))若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，若t ＝ab ，则t 的最大值为( )【导学号：57962115】A ．2B ．3C ．6D ．9D [f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，则f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，a ＋b ＝6，又a ＞0，b ＞0，则t ＝ab ≤＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，故选D.]克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．[解] (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2. 5分(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.7分从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)， 于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.12分[规律方法] 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y ＝f (x )，并确定其定义域； (2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．[变式训练2] 某品牌电动汽车的耗电量y 与速度x 之间有关系y ＝13x 3－392x 2－40x (x ＞0)，为使耗电量最小，则速度应定为________.【导学号：57962116】40 [由y ′＝x 2－39x －40＝0， 得x ＝－1或x ＝40， 由于0＜x ＜40时，y ′＜0； x ＞40时，y ′＞0.所以当x ＝40时，y 有最小值．][思想与方法]1．可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f′(x)的符号不同．2．求闭区间上可导函数的最值时，对函数的极值是极大值还是极小值可不作判断，直接与端点的函数值比较即可．3．如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．4．若函数f(x)在定义域A上存在最大值与最小值，则：(1)对任意x∈A，f(x)＞0⇔f(x)min＞0；(2)存在x∈A，f(x)＞0⇔f(x)max＞0.[易错与防范]1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能．2．导数为零的点不一定是极值点．对含参数的求极值问题，应注意分类讨论．3．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．4．利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义．。
2018高考数学(理)专题突破—导数与函数的单调性、极值、最值问题
导数与函数的单调性、极值、最值问题【考点梳理】1.导数的几何意义函数f(x) 在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).2.四个易误导数公式(1)(sin x)′＝cos x；(2)(cos x)′＝－sin x；(3)(a x)′＝a x ln a(a>0，且a≠1)；(4)(log a x)′＝1x ln a(a>0，且a≠1，x>0).3.利用导数研究函数的单调性(1)导数与函数单调性的关系.①f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.②f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数函数.(2)利用导数研究函数单调性的方法.①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解.4.利用导数研究函数的极值、最值(1)若在x0附近左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)为函数f(x)的极小值.(2)设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.【题型突破】题型一、导数与定积分的几何意义【例1】(1)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是________.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x 6展开式的中间项系数为20，如图阴影部分是由曲线y ＝x 2和圆x 2＋y 2＝a 及x 轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积S ＝________.【答案】(1)2x －y ＝0 (2)π4－16【解析】(1)设x >0，则－x <0，因为x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，所以f (－x )＝e x －1＋x .又因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝e x －1＋x ，f ′(x )＝e x －1＋1，f ′(1)＝e 1－1＋1＝2. 所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.(2)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x 6展开式的中间项系数为20，中间项为第四项，系数为C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫a 23＝20，解得a ＝2，所以曲线y ＝x 2和圆x 2＋y 2＝2在第一象限的交点为(1，1)，所以阴影部分的面积为π4－⎠⎛01(x －x 2)d x ＝π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3⎪⎪⎪10＝π4－16. 【类题通法】1.利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化，其中关键是确定切点的坐标.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.2.利用定积分求平面图形的面积的两个关键点(1)正确画出几何图形，结合图形位置，准确确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值.(2)根据图形的特征，选择合适的积分变量.在以y 为积分变量时，应注意将曲线方程变为x ＝φ(y )的形式，同时，积分上、下限必须对应y 的取值.【对点训练】(1)已知函数y ＝f (x )的图象为如图所示的折线，则⎠⎛－11[(x ＋2)f (x )]d x ＝()A.1B.－1C.2D.－2(2)设曲线y ＝2－cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2处的切线与直线x ＋ay ＋1＝0垂直，则a ＝______.【答案】(1)C (2)1【解析】(1)由y ＝f (x )图象，易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，－x ＋1，x ∈（0，1].所以原式＝⎠⎜⎛－1(x ＋2)(x ＋1)d x ＋⎠⎛01(－x ＋1)(x ＋2)d x ＝⎠⎜⎛－10(x 2＋3x ＋2)d x ＋⎠⎛01(－x 2－x ＋2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋32x 2＋2x ⎪⎪⎪⎪0－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3－12x 2＋2x ⎪⎪⎪10 ＝56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－56＋2＝2. (2)y ′＝（2－cos x ）′sin x －（2－cos x ）（sin x ）′sin 2x＝1－2cos x sin 2x ，则曲线y ＝2－cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2处的切线的斜率为k 1＝1.因为直线x ＋ay ＋1＝0的斜率k 2＝－1a ，又该切线与直线x ＋ay ＋1＝0垂直，所以k 1k 2＝－1，解得a ＝1.题型二、利用导数研究函数的单调性【例2】已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋4k ln x ＋4－x 2x ，其中常数k >0， (1)讨论f (x )在(0，2)上的单调性；(2)若k ∈[4，＋∞)，曲线y ＝f (x )上总存在相异两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)使得曲线y ＝f (x )在M ，N 两点处切线互相平行，求x 1＋x 2的取值范围.【解析】(1)因为f ′(x )＝k ＋4k x －4x 2－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋4k x －4－x 2x 2＝－（x －k ）⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4k x 2(x >0，k >0). ①当0<k <2时，4k >k >0，且4k >2，所以x ∈(0，k )时，f ′(x )<0，x ∈(k ，2)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(0，k )上是减函数，在(k ，2)上是增函数；②当k ＝2时，4k ＝k ＝2，f ′(x )<0在(0，2)上恒成立，所以f (x )在(0，2)上是减函数，③当k >2时，0<4k <2，k >4k ，所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4k 时，f ′(x )<0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ，2时，f ′(x )>0， 所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4k 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ，2上是增函数. (2)由题意，可得f ′(x 1)＝f ′(x 2)(x 1，x 2>0，且x 1≠x 2)，则k ＋4k x 1－4x 21－1＝k ＋4k x 2－4x 22－1，化简得4(x 1＋x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋4k x 1x 2， 又x 1x 2<⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222， ∴4(x 1＋x 2)<⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋4k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222， 即x 1＋x 2>16k ＋4k对k ∈[4，＋∞)恒成立，令g (k )＝k ＋4k ，则g ′(k )＝1－4k 2>0.∴g (k )＝k ＋4k 在[4，＋∞)上是增函数，所以g (k )≥g (4)＝5，所以16k ＋4k≤165，所以x 1＋x 2>165，故x 1＋x 2的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫165，＋∞. 【变式1】若将本例中的条件“k >0”变为“k <0”，其他条件不变，f (x )在(0，2)上的单调性如何？【解析】由例2解析知f ′(x )＝－（x －k ）⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4k x 2在(0，2)上f ′(x )<0，故f (x )在(0，2)上为减函数.【变式2】在本例(1)中，将“(0，2)”改为(0，＋∞)，其他条件不变，求函数f (x )的单调区间.【解析】由例题知f ′(x )＝－（x －k ）⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4k x 2. ①当0<k <2时，k <4k ，f (x )的单调减区间为(0，k )，⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ，＋∞，增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ，4k . ②当k ＝2时，k ＝4k ＝2，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)上为减函数.③当k >2时，k >4k ，f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4k 和(k ，＋∞)，增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ，k .【例3】已知函数f (x )＝12x 2－2a ln x ＋(a －2)x .(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使函数g (x )＝f (x )－ax 在(0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.【解析】(1)当a ＝－1时，f (x )＝12x 2＋2ln x －3x ，则f ′(x )＝x ＋2x －3＝x 2－3x ＋2x ＝（x －1）（x －2）x. 当0<x <1或x >2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当1<x <2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减.∴f (x )的单调增区间为(0，1)与(2，＋∞)，单调减区间为(1，2).(2)假设存在实数a ，使g (x )＝f (x )－ax 在(0，＋∞)上是增函数，∴g ′(x )＝f ′(x )－a ＝x －2a x －2≥0恒成立.即x 2－2x －2a x≥0在x ∈(0，＋∞)上恒成立. ∴x 2－2x －2a ≥0当x >0时恒成立，∴a ≤12(x 2－2x )＝12(x －1)2－12恒成立.又φ(x )＝12(x －1)2－12，x ∈(0，＋∞)的最小值为－12.∴当a ≤－12时，g ′(x )≥0恒成立.又当a ＝－12，g ′(x )＝（x －1）2x当且仅当x ＝1时，g ′(x )＝0. 故当a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12时，g (x )＝f (x )－ax 在(0，＋∞)上单调递增. 【类题通法】1.求函数的单调区间，只需在函数的定义域内解(证)不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0.2.解答例2容易出现以下错误：(1)忽略函数的定义域，在函数解析式中含有对数必须满足x >0.(2)对k分类讨论不全，题目中已知k>0，对k分类讨论时容易对标准划分不准确，讨论不全面.3.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围.4.若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解.【对点训练】已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x(x∈R，e为自然对数的底数).(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(－1，1)上单调递增，求a的取值范围；(3)函数f(x)是否为R上的单调减函数？若是，求出a的取值范围？若不是，请说明理由.【解析】(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)·e x，所以f′(x)＝(－2x＋2)e x＋(－x2＋2x)e x＝(－x2＋2)e x.令f′(x)＞0，即(－x2＋2)e x＞0，因为e x＞0，所以－x2＋2＞0，解得－2＜x＜ 2.所以函数f(x)的单调递增区间是(－2，2).(2)因为函数f(x)在(－1，1)上单调递增，所以f′(x)≥0对x∈(－1，1)都成立.因为f′(x)＝(－2x＋a)e x＋(－x2＋ax)e x＝[－x2＋(a－2)x＋a]e x，所以[－x2＋(a－2)x＋a]e x≥0对x∈(－1，1)都成立.因为e x＞0，所以－x2＋(a－2)x＋a≥0，则a≥x2＋2xx＋1＝（x＋1）2－1x＋1＝(x＋1)－1x＋1对x∈(－1，1)都成立.令g(x)＝(x＋1)－1x＋1，则g′(x)＝1＋1（x＋1）2＞0.所以g (x )＝(x ＋1)－1x ＋1在(－1，1)上单调递增. 所以g (x )＜g (1)＝(1＋1)－11＋1＝32. 所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. (3)若函数f (x )在R 上单调递减，则f ′(x )≤0对x ∈R 都成立，即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≤0对x ∈R 都成立.因为e x ＞0，所以x 2－(a －2)x －a ≥0对x ∈R 都成立.所以Δ＝(a －2)2＋4a ≤0，即a 2＋4≤0，这是不可能的.故函数f (x )不可能在R 上单调递减.题型三、利用导数研究函数的极值和最值【例4】已知函数f (x )＝e x cos x －x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值. 【解析】(1)∵f (x )＝e x ·cos x －x ，∴f (0)＝1，f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，∴f ′(0)＝0，∴y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线方程为y －1＝0·(x －0)，即y ＝1.(2)f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，令g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝－2sin x ·e x ≤0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上恒成立，且仅在x ＝0处等号成立， ∴g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减， ∴g (x )≤g (0)＝0，∴f ′(x )≤0且仅在x ＝0处等号成立，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减， ∴f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2. 【例5】已知a ∈R ，函数f (x )＝a e x －x －1，g (x )＝x －ln(x ＋1)(e ＝2.718 28…是自然对数的底数).(1)讨论函数f (x )极值点的个数；(2)若a ＝1，且命题“∃x ∈[0，＋∞)，f (x )<kg (x )”是真命题，求实数k 的取值范围.【解析】(1)因为f(x)＝a e x－x－1，所以f′(x)＝a e x－1，当a≤0时，对∀x∈R，f′(x)＝a e x－1<0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，此时函数不存在极值，所以函数f(x)没有极值点.当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝－ln a.若x∈(－∞，－ln a)，则f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，－ln a)上是减函数，若x∈(－ln a，＋∞)，则f′(x)>0，所以f(x)在(－ln a，＋∞)上是增函数.当x＝－ln a时，f(x)取得极小值为f(－ln a)＝ln a，函数f(x)有且仅有一个极小值点x＝－ln a.所以当a≤0时，f(x)没有极值点，当a>0时，f(x)有1个极小值点.(2)命题“∃x∈[0，＋∞)，f(x)<kg(x)”是真命题，即不等式f(x)<kg(x)在区间[0，＋∞)内有解.若a＝1，则设F(x)＝f(x)－kg(x)＝e x＋k ln(x＋1)－(k＋1)x－1，所以F′(x)＝e x＋kx＋1－(k＋1)，设h(x)＝e x＋kx＋1－(k＋1)，则h′(x)＝e x－k（x＋1）2，且h′(x)是增函数，所以h′(x)≥h′(0)＝1－k.①当k≤1时，h′(x)≥0，所以h(x)在[0，＋∞)上是增函数，h(x)≥h(0)＝0，即F′(x)≥0，所以F(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以F(x)≥F(0)＝0，即f(x)<kg(x)在[0，＋∞)内无解.②当k>1时，因为h′(x)＝e x－k（x＋1）2在[0，＋∞)是增函数，因为h′(0)＝1－k<0，h′(k－1)＝e k－1－1 k>0.所以h′(x)在(0，k－1)上存在唯一零点x0，当x∈[0，x0)时，h′(x)<h′(x0)＝0，h(x)在[0，x0)上单调递减，从而h(x)≤h(0)＝0，即F′(x)≤0，所以F(x)在[0，x0)上单调递减，所以当x∈(0，x0)时，F(x)<F(0)＝0，即f(x)<kg(x).所以不等式f (x )<kg (x )在区间[0，＋∞)内有解.综上所述，实数k 的取值范围为(1，＋∞).【类题通法】1.求函数f (x )的极值，则先求方程f ′(x )＝0的根，再检查f ′(x )在方程根的左右附近函数值的符号.2.若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′(x )＝0根的大小或存在情况来求解.3.求函数f (x )在闭区间[a ，b ]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值.【对点训练】已知函数f (x )＝ax 2＋(1－2a )x －ln x .(1)当a >0时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)当a <0时，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上的最小值. 【解析】(1)由函数f (x )＝ax 2＋(1－2a )x －ln x ，可得f ′(x )＝2ax ＋(1－2a )－1x ＝（2ax ＋1）（x －1）x， 令f ′(x )>0，因为a >0，x >0，∴2ax ＋1x >0，∴x －1>0，得x >1，∴f (x )的单调递增区间为(1，＋∞).(2)由(1)可得f ′(x )＝2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－2a （x －1）x，因为a <0，令f ′(x )＝0，得x 1＝－12a ，x 2＝1，①当－12a >1，即－12<a <0时，f ′(x )<0，因此f (x )在(0，1)上是减函数，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上的最小值为f (1)＝1－a . ②当12≤－12a ≤1，即－1≤a ≤－12时，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，－12a 时，f ′(x )≤0，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12a ，1时，f ′(x )≥0， 因此f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，－12a 上是减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12a ，1上是增函数， ∴f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝1－14a ＋ln(－2a ). ③当－12a <12，即a <－1时，f ′(x )>0，因此f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是增函数， ∴f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12－34a ＋ln 2.综上，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上的最小值为：f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧12－34a ＋ln 2，a <－1，1－14a ＋ln （－2a ），－1≤a ≤－12，1－a ，－12<a <0.。