(完整版)全等三角形常见辅助线作法

4．翻折法
▪ 沿角平分线翻折构造全等三角形 ▪ 沿高线翻折构造全等三角形 ▪ 绕点旋转构造全等三角形
问题：
如何利用三角形的角平分线来构
造全等三角形？
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。
3．倍长中线法
▪ 如果题中条件有中线，可将中线延长一倍， 以构造全等三角形，从而将分散条件集中 在一个三角形内角形？
可以利用倍长中线法，即把中线 A
延长一倍，来构造全等三角形。
如图，若AD为△ABC的中线，
1
延长AD到E，使DE=AD， 连结BE（也可连结CE）。
A E
D
B
C
▪ 练习2、已知，如图：在△ABC中，∠C=2∠B， ∠1=∠2，求证：AB=AC+CD.
A
C D B
2．平行线法（或平移法）
▪ 如果题目中含有中点，可以通过中点作平 行线或中位线
▪ 对于Rt△,有时可作出斜边的中线．
▪ 例2、如图，△ABC中，AB＝AC。E是AB上异于A、 B的任意一点，延长AC到D，使CD＝BE，连接DE 交BC于F。求证：EF＝FD。
如不能，请说明理由。
▪ （2）本题中E点是否是CD的中点，如是，请证明。 ▪ （3）本题的大前提AC∥BD不变，而在以下四个条件：EA是∠BAC的平分线，
EB是∠ABD的平分线，E是CD的中点，AB=AC+BD中，任取两个作为已知条件， 另外两个作为结论，命题是否成立？请你说明理由。
例1 已知：如图，在四边形ABCD中，BD是 ∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：
分析过程： 要证：AB=AC+BD 需证：AC=AF、BD=BF 要证： AC=AF、BD=BF 需证：△BFE≌△BDE 要证：△BFE≌△BDE 需证： ∠D=∠BFE 要证： ∠D=∠BFE 需证： ∠C=∠AFE 要证：∠C=∠AFE 需证： △CAE≌△FAE
▪ 注： ▪ （1）若分别延长AC和BE，相交于点G，能否证明结论成立？如能，请你证明，
AD=DE（全等三角形的对应边相等）
1
2 ∵ AD=CD（已知），AD=DE（已证） 3 ∴DE=DC（等量代换）
*
∴∠4=∠C（等边对等角）
∵ ∠3+ ∠4＝180° （平角定义）， ∠A＝∠3（已证） ∴∠A+ ∠C＝180°
（等量代换）
例2 已知：如图，在四边形ABCD中，BD是 ∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：
必有结论： △ABD≌△ECD，
B
D
2C
∠1=∠E， ∠B=∠2，
EC=AB，CE∥AB。
E
▪ 例1、如图1，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD
▪ 例2、如图，AD为△ABC的中线，∠ADB、∠ADC的 平分线交AB、AC于E、F。求证：BE+CF＞EF
分析：本题中已知D为BC的中点，要证BE、CF、EF间的不等关系，可利用点D 将BE旋转，使这三条线段在同一个三角形内。
▪ 例1、如图AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、 ∠DBA，CD过点E，求证：AB=AC+BD.
分析：本题是线段和差问题的证明，基本方法是截长补短法，即在AB上截取AF，使AF=AC， 这样，只要证明FB=BD即可，于是将问题转化为证明两线段相等。
答案
▪ 证明： ▪ 在AB上取点F，使AF=AC，连接EF ▪ ∵EA平分∠CAB ▪ ∴∠CAE=∠FAE ▪ ∴△CAE≌△FAE（SAS） ▪ ∴∠C=∠AFE ▪ ∵AC∥BD ▪ ∴∠C+∠D=180° ▪ 又∵∠AFE+∠BFE=180° ▪ ∴∠D=∠BFE ▪ ∵EB平分∠ABD ▪ ∴∠EBF=∠EBD ▪ ∴△BFE≌△BDE（AAS） ▪ ∴BD=BF ▪ ∵AB=AF+BF ▪ ∴AB=AC+BD
证明：在∠BAC上+截∠取CB=E，1使8B0E°=AB，连结DE。
∵ BD是∠ABC的角平分线（已知） ∴∠1=∠2（角平分线定义） 在△ABD和△EBD中
A D
∵ AB=EB（已知） ∠1=∠2（已证）
1 2
34
BD=BD（公共边）
B
E
C
∴△ABD≌△EBD（S.A.S） ∴ ∠A＝∠3（全等三角形的对应角相等）
∵ ∠F＝∠C（已证） ∴∠4=∠C（等量代换）
DF=DC（全等三角形的对应边相等） ∵ ∠3+ ∠4＝180°
1
2 ∵ AD=CD（已知），DF=DC（已证）
（平角定义）
3 ∴DF=AD（等量代换）
∴∠A+ ∠C＝180°
* ∴∠4=∠F（等边对等角）
（等量代换）
▪ 练习1、在RT△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC， BD平分∠ABC，CE⊥BD，求证BD=2CE.
知识要点：
▪ 判断三角形全等公理有SAS、ASA、AAS、 SSS和HL
▪ 如果题目给出的条件不全，就需要根据已知的 条件结合相应的公理来进行分析，先推导出所 缺的条件然后再证明。
▪ 一些较难的证明题要添加适当的辅助线构造合 适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进 行等量代换，就可以化难为易了。
证明: 延∠长AB+A到∠FC，=使B1F8=B0C°，连结DF。
F
∵ BD是∠ABC的角平分线（已知） ∴∠1=∠2（角平分线定义）
A 4
在△BFD和△BCD中
3
D
∵ BF=BC（已知）
∠1=∠2（已证）
1 2
BD=BD（公共边）
B
C
∴△BFD≌△BCD（S.A.S） ∴ ∠F＝∠C（全等三角形的对应角相等）
构造辅助线的方法：
▪ 1．截长补短法。 ▪ 2．平行线法（或平移法）：若题设中含有中
点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt△, 有时可作出斜边的中线。
▪ 3．倍长中线法：题中条件若有中线，可延长 一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集 中在一个三角形内。
▪ 4．翻折法：若题设中含有垂线、角的平分线 等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图 形来构造全等三角形。
1．截长补短法（通常用来证明线段和差相等）
▪ “截长法”即把结论中最大的线段根据已知条 件分成两段，使其中一段与较短线段相等，然 后证明余下的线段与另一条线段相等的方法．
▪ “补短法”为把两条线段中的一条补长成为一 条长线段，然后证明补成的线段与较长的线段 相等，或是把一条较短的线段加长，使它等于 较长的一段，然后证明加长的那部分与另一较 短的线段相等。