7.三角恒等变换复习与习题课
三角函数恒等变换课后习题
三角恒等变换1.计算1tan151tan15+-tan 20tan 403tan 20tan 40++2。
已知一元二次方程20(0,)ax bx c a a c ++=≠≠的两个根是tan ,tan αβ，求tan()αβ+的值 3.已知：11tan ,tan 23θφ==，且,θφ是锐角，求证：45θφ+= 4.已知：44cos(),cos(),()55ππαβαβαβπαβπ-=-+=-∈+∈3且（）（，），（，2）22 求cos 2,cos 2αβ的值5.111cos ,cos(),,(0,)7142πααβαβ=+=-∈且，求cos β的值 6.如图：在,,ABC AD BC D ∆⊥∠中，垂足是且BD:DC:AD=2:3:6,求BAC 的度数。
7.已知：2tan ,tan 670sin()cos()x x αβαβαβ++=+=+是方程的两个根，求证：8.已知n αβγπ++=,求证:tan tan tan tan tan tan αβγαβγ++=9.已知11sin sin ,cos cos ,32αβαβαβ-=--=求cos(-)的值 已知:21sin(),sin()35αβαβ+=-=,求tan tan αβ的值. 10.求证:tan()tan()tan()tan()tan()tan()x y y z z x x y y z z x -+-+-=--- 11.化简:sin 50(13tan10)+12.(1)已知等腰三角形一个底角的正弦值等于513,求这个三角形的顶角的余弦及正切值. (2)已知等腰三角形ABC 的腰为底的2倍,求顶角A 的正弦、余弦、正切值.13.已知3cos 180270,sin 2,cos 2,tan 2ϕϕϕϕϕ=<<且且的值.14.求证:(1)1sin 2sin cos sin cos ϕϕϕϕϕ+=++ (2)2sin()sin()cos 244ππααα+-= (3)1sin 2cos 2tan 1sin 2cos 2θθθθθ+-=++ 15.已知93cos ,,tan()1424ππαπαα=-<<-且求的值 16.已知,αβ都是锐角,510sin .4παβαβ==+=求证17.如图,三个相同的正方形相接,求证:45αβ+=18.已知αβγ，，都是锐角,且它们的正切分别为111258，，，求证45αβγ++=19.(1)已知443cos(2),sin cos 5ααα=-求的值 (2)已知7tan ,cos 224x x =求的值 (3)已知2sin cos ,sin 23θθθ+=求的值 (4)已知60sin cos ,,sin ,cos 16942ππϕϕϕϕϕ=<<且求的值. 20.求下列函数的定义域 (1)11tan y x=- (2)tan 2x y = (3)lg cos(2)3tan 1x y x π-=- 21.求下列函数的最大值、最小值（1）sin 3,y x x x R =∈（2）sin cos ,y x x x R =+∈22.已知02,x π≤≤求适合下列条件的角x 的集合（1）角x 的正弦函数、余弦函数都是增函数（2）角x 的正弦函数、余弦函数都是减函数（3）角x 的正弦函数是增函数，而余弦函数是减函数（4）角x 的正弦函数是减函数，而余弦函数是增函数23.下列函数是奇函数的是（1）2cos y x x =+，x R ∈（2）2sin ,y x x R =∈ （3）2tan ,)y x x k N =≠∈ （4）2sin ,y x x x R =∈24.（1）已知3sin sin(2),tan()2tan βαβαβα=++=求证：（2）已知sin sin(2),1,,(),22k m m k k Z ππβαβααβπ=+≠≠+≠+∈ 求证:1tan()tan 1m m αβα++=- 25.已知函数22sin 2sin cos 3cos ,y x x x x x R =++∈(1)函数的最小正周期是？(2)函数在什么区间上是增函数？(3)函数的图像可以由函数2y x =的图像经过怎样变换得出？26.已知23177sin 22sin cos(),,451241tan x x x x x πππ++=<<-求的值? 已知23sin 22sin cos(),451tan x x x x π++=+求的值? 已知3sin(),sin 245x x π-==则 已知33cos(),,cos(2)45224x x x ππππ-=-<<--求的值？ 已知5cos(),0,4134x x πππ+=<<cos2x 则sin(-x)4的值？ 27.求证(1)2221tan 1tan ()1cot 1cot A A A A+-=-- (2)tan tan tan cot cot tan A B B B A A-=- 28.已知α为第二象限角，化简：cos sin上述都是老版教材的的题下面的是新版教材的题如果,αβ都是锐角，且sin 510αβ==，求αβ+ 如果,,tan 0.5,tan 0.2,tan 0.125,?A B C A B C A B C ===++=都是锐角，且求 已知11tan ,tan ,0<<<<,2-372παβαβπαβ==-且求 已知2sin cos ,sin 23ααα+=求的值 在斜,:tan tan tan tan tan tan ABC A B C A B C ∆++=中求证 已知31sin ,(,),tan()522πααππβ=∈-=，tan(2)αβ-求 已知2tan()3,sin 22cos 4πθθθ+=-求 求证：sin(2)sin (1)2cos()sin sin αββαβαα+-+= （2）sin (1tan tan )tan 2x x x x += （3）1sin tan()cos 42απαα-=- 求值： (1)sin15sin 30sin 75（2）5cos cos 88ππ （3）sin 7cos15sin 8cos 7sin15sin 8+- （4）cos 20cos 40cos80求下列函数的周期和最值（1）24cos cos y x x =-（2）44cos sin y x x =-等腰三角形的顶角的余弦等于720，求这个三角形一个底角的正弦与余弦 已知等腰三角形的顶角的余弦值等于725，求它的底角的正弦、余弦、正切 证明下列恒等式：（1）1sin 2sin cos sin cos ϕϕϕϕϕ+=++ （2）sin (1cos 2)sin 2cos θθθθ+=（3）221tan 2cos 1tan 2ααα-=+（4）22tan2sin 1tan 2ααα=+（5）1cos 2tan sin 2θθθ-= （6）sin 2tan 1cos 2θθθ=+把一段半径为R 的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法才能使横截面的面积最大？圆心角为60的扇形AOB 的半径为1，C AB 是弧上任一点，作矩形CDEF,如图，当C 点在什么位置时，这个矩形面积最大？这时AOC ∠等于多少度？。
高中数学 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 习题课—三角恒等变换素养练(含解析)新人教B版必修第三
习题课——三角恒等变换课后篇巩固提升基础巩固1.(多选)函数f (x )=sin x cos x+√32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是() A .πB .2C .1D .2πf (x )=sin x cos x+√32cos2x=12sin2x+√32cos2x=sin (2x +π3), 得最小正周期为π,振幅为1.2.已知A (1,sinαsin (α+2β)),B (sinαsin (α-2β)-2,1),且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,sin β≠0,sin α-k cos β=0,则k=()A .√2B .-√2C .√2或-√2D .以上都不对 由题意sinαsin (α-2β)-2+sinαsin (α+2β)=0,化简得sin α=±√2cos β,易知k=±√2,所以选C .3.若函数f (x )=sin x 3cos φ3+cos x 3sin φ3(φ∈[0,2π])是偶函数,则φ的值为()A .π2B .2π3C .3π2D .5π3(x )=sin x3cos φ3+cos x3sin φ3=sin (x3+φ3).由题意,知函数f (x )=sin (x3+φ3)(φ∈[0,2π])为偶函数,所以φ3=π2+k π,k ∈Z ,所以φ=3π2+3k π,k ∈Z .又φ∈[0,2π],故当k=0时,φ=3π2,选C .4.定义行列式运算|a 1 a 2a 3 a 4|=a 1a 4-a 2a 3.将函数f (x )=|√3 sinx 1 cosx|的图像向左平移n (n>0)个单位,所得图像对应的函数g (x )为奇函数,则n 的最小值为() A .π6B .π3C .5π6D .2π3 解析∵f (x )=√3cos x-sin x=2√32cos x-12sin x =2cos (x +π6),又平移后图像对应函数g (x )=2cos (x +n +π6)为奇函数,∴n+π6=k π+π2(k ∈Z ),即n=k π+π3(k ∈Z ),又n>0,∴n 的最小值为π3,故选B .5.(多选)已知函数f (x )=(sin x+cos x )cos x ,则下列说法错误的为() A .函数f (x )的最小正周期为2π B .f (x )的最大值为√2C .f (x )的图像关于直线x=-π8对称D .将f (x )的图像向右平移π8个单位,再向下平移12个单位后会得到一个奇函数的图像f (x )=(sin x+cos x )cos x ,得f (x )=√22sin (2x +π4)+12, 所以f (x )最小正周期为π,A 错; 所以f (x )的最大值为√22+12,B 错; f (x )的对称轴为x=π8+kπ2,k ∈Z ,所以x=-π8不是f (x )的对称轴,C 错;将f (x )的图像向右平移π8个单位得y=√22sin2x+12,再向下平移12个单位后会得到y=√22sin2x 为奇函数.6.若cos α=-45,α是第三象限的角,则1+tanα21-tanα2=.α是第三象限的角,∴k π+π2<α2<k π+3π4,k ∈Z , ∴tan α2<0. ∵cos α=-45,∴cos α=cos 2α2-sin 2α2=cos 2α2-sin 2α2cos 2α2+sin 2α2=1-tan 2α21+tan 2α2=-45,解得tan α2=-3,∴tan (α2+π4)=tan α2+tanπ41-tan α2tanπ4=-3+11+3=-12. -127.函数f (x )=√3sin 23x-2sin 213x (π2≤x ≤3π4)的最小值是.f (x )=√3sin 23x-2sin 213x=√3sin 23x+cos 23x-1=2sin (23x +π6)-1,又π2≤x ≤3π4,所以23x+π6∈[π2,2π3].所以当2x+π6=2π3时,f (x )取得最小值√3-1.√3-18.已知向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,-sin β),α,β均为锐角,且|a -b |=√105, (1)求cos(α+β)的值; (2)若cos α=1213,求cos β的值.由题意可得a -b =(cos α-cos β,sin α+sin β),∵|a -b |=√105= √(cosα-cosβ)2+(sinα+sinβ)2=√2-2cos (α+β),∴cos(α+β)=45.(2)∵cos(α+β)=45,α,β均为锐角,∴α+β仍为锐角,sin(α+β)=√1-cos 2(α+β)=35.∵cos α=1213,∴sin α=√1-cos 2α=513,∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=45×1213+35×513=6365.9.已知函数f (x )=sin 2ωx+√3sin ωx ·sin (ωx +π2)(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值;(2)求函数f (x )在区间[0,2π3]上的取值X 围.f (x )=1-cos2ωx2+√32sin2ωx=√32sin2ωx-12cos2ωx+12=sin (2ωx -π6)+12. 因为函数f (x )的最小正周期为π,且ω>0, 所以2π2ω=π,解得ω=1.(2)由(1)得f (x )=sin (2x -π6)+12, 因为0≤x ≤2π3,所以-π6≤2x-π6≤7π6,所以-12≤sin (2x -π6)≤1.因此0≤sin (2x -π6)+12≤32,所以f (x )的取值X 围是[0,32].能力提升1.设当x=θ时,函数f (x )=2sin x-cos x 取得最大值,则cos θ=() A .2√55B .-2√55C .√55D .-√55(x )=2sin x-cos x=√5sin(x-φ)=√5sin x ·cos φ-√5cos x sin φ;其中cos φ=√5,sin φ=√5;由题意得θ-φ=2k π+π2(k ∈Z ), 即θ=φ+2k π+π2(k ∈Z );所以cos θ=cos (φ+2kπ+π2)=cos (φ+π2)=-sin φ=-√5=-√55.2.若函数f (x )=sin ωx+√3cos ωx (x ∈R ),又f (α)=-2,f (β)=0,且|α-β|的最小值为3π4,则正数ω的值是() A .13B .32C .43D .23(x )=sin ωx+√3cos ωx=2sin (ωx +π3),又f (α)=-2,f (β)=0,从而当x=α时函数有最小值,x=β为平衡点,|α-β|的最小值是14T ,因此14×2πω=3π4,解得ω=23.3.已知函数f (x )=√3cos (π2+2x)+2sin 2(π2+x),x ∈[0,π2],则f (x )的最小值为() A .-1B .2C .3D .1-√3(x )=-√3sin2x+2cos 2x=-√3sin2x+1+cos2x=2cos (2x +π3)+1,因为0≤x ≤π2,所以π3≤2x+π3≤4π3,所以当2x+π3=π,即cos (2x +π3)=-1时,函数f (x )取最小值为-1.4.已知函数f (x )=cos x (sin x-√3cos x ),则() A .f (x )的周期为2π B .f (x )在区间[-π6,π6]上单调C .f (x )的图像关于直线x=-π12对称D .f (x )的图像关于点(π6,0)对称(x )=cos x sin x-√3cos 2x=12sin2x-√32·cos2x-√32=sin (2x -π3)−√32,所以T=2π2=π,排除A;令2k π-π2≤2x-π3≤2k π+π2(k ∈Z ),解得k π-π12≤x ≤k π+5π12(k ∈Z ),所以f (x )在区间[-π12,5π12]上单调,排除B;sin (-2π12-π3)=-1,所以f (x )的图像关于直线x=-π12对称,C 正确;f (π6)=sin (π3-π3)−√32≠0,所以f (x )的图像关于点(π6,0)不对称,排除D .5.已知向量a =(cos 2α,sin α),b =(1,2sin α-1),α∈(π2,π),若a ·b =25,则tan (α+π4)=() A .13B .27C .17D .23a ·b =25,得cos2α+sin α(2sin α-1)=25,求得sin α=35,又α∈(π2,π),则cos α=-45,所以tan α=-34,于是tan (α+π4)=tanα+tanπ41-tanαtanπ4=17.6.已知ω>0,a>0,f (x )=a sin ωx+√3a cos ωx ,g (x )=2cos (x +π6),h (x )=f (x )g (x ),这三个函数在同一直角坐标系中的部分图像如图所示,则函数g (x )+h (x )的图像的一条对称轴方程可以为()A .x=π6B .x=13π6C .x=-23π12D .x=-29π12f (x )=a sin ωx+√3a cos ωx=2a sin (ωx +π3),由题图可得2a=2,即a=1,f (x )=2sin (ωx +π3);而g (π3)=2cos (π3+π6)=0,h (x )=f (x )g (x )中,x ≠π3,所以{f (π3)=2sin (π3ω+π3)=0,f (0)=g (0);而ω>0,解得ω=2,即f (x )=2sin (2x +π3),所以F (x )=g (x )+h (x )=g (x )+f (x )g (x )=2cos (x +π6)+2sin(2x+π3)2cos(x+π6)=2cos (x +π6)+2sin (x +π6)=2√2sin (x +π6+π4)=2√2sin (x +5π12),而F (π6)≠±2√2,排除A;F (13π6)≠±2√2,排除B;F (-23π12)=2√2,即x=-23π12,即g (x )+h (x )的一条对称轴.7.(双空)已知向量a =(cos θ,sin θ),向量b =(√3,-1),则|2a -b |的最大值为,最小值为.2a -b =(2cos θ-3,2sin θ-1),则|2a -b |=√(2cosθ-√3)2+(2sinθ-1)2=√8-4√3cosθ-4sinθ=√8-8sin (θ+π3),当sin (θ+π3)=-1时,上式取最大值4,当sin (θ+π3)=1时,上式取最小值0.8.设f (x )=√3sin 3x+cos 3x ,若对任意实数x 都有m ≤f (x ),则实数m 的取值X 围是.(x )=√3sin3x+cos3x=2(√32sin3x +12cos3x)=2sin (3x +π6),所以f (x )min =-2,于是若对任意实数x 都有m ≤f (x ),则m ≤-2.-∞,-2]9.已知函数f (x )=sin (x -π6)+cos (x -π3),g (x )=2sin 2x2. (1)若α是第一象限角,且f (α)=3√35,求g (α)的值;(2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合.(x )=sin (x -π6)+cos (x -π3)=√32sin x-12cos x+12cos x+√32sin x=√3sin x , g (x )=2sin 2x2=1-cos x , (1)由f (α)=3√35,得sin α=35,又α是第一象限角, 所以cos α>0.从而g (α)=1-cos α=1-√1-sin 2α=1-45=15. (2)f (x )≥g (x )等价于√3sin x ≥1-cos x , 即√3sin x+cos x ≥1.于是sin (x +π6)≥12. 从而2k π+π6≤x+π6≤2k π+5π6,k ∈Z ,即2k π≤x ≤2k π+2π3,k ∈Z ,故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2kπ≤x ≤2kπ+2π3,k ∈Z}.10.若函数f (x )=sin x+√3cos x+a 在(0,2π)内有两个不同的零点α,β. (1)某某数a 的取值X 围; (2)求tan(α+β)的值.由题意得sin x+√3cos x=212sin x+√32cos x =2sin (x +π3), ∵函数f (x )=sin x+√3cos x+a 在(0,2π)内有两个不同的零点, ∴关于x 的方程sin x+√3cos x+a=0在(0,2π)内有相异二解, ∴方程sin (x +π3)=-a2在(0,2π)内有相异二解. ∵0<x<2π,∴π3<x+π3<7π3.结合正弦函数的图像可得若方程有两个相异解, 则满足-1<-a2<1,且-a2≠√32, 解得-2<a<2,且a ≠-√3.∴实数a 的取值X 围是(-2,-√3)∪(-√3,2).(2)∵α,β是方程的相异解,∴sin α+√3cos α+a=0,① sin β+√3cos β+a=0,②①-②,得(sin α-sin β)+√3(cos α-cos β)=0, ∴2sinα-β2cosα+β2-2√3sinα+β2sinα-β2=0.又sinα+β2≠0, ∴tanα+β2=√33,α+β21-tan2α+β2=√3.∴tan(α+β)=2tan。
三角恒等变换与解三角形课件-2023届高三数学二轮专题复习
.
解析:由题意得 S△ABC= acsin B= ac=
,则 ac=4,所以 a2+c2=3ac=3×4=12,
所以 b2=a2+c2-2accos B=12-2×4× =8,则 b=2
答案:2
,B=60°,
.
5. △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 B=150°.
=
( cos α- sin α)=
cos(α+ )=
sin( -α)=
得 sin( -α)= .
所以 sin(α+
答案:-
)=-sin[2π-(α+
)]=-sin( -α)=- .
,
(1)三角恒等变换的基本思路:统一名称,统一角度.一个流程:一角、二名、
三结构,即一看角的变化(已知角和所求角之间的联系),二看函数名称的变化,
D.473
解析:如图所示,根据题意过 C 作 CE∥C′B′,交 BB′于 E,过 B 作 BD∥A′B′,交 AA′于 D,
则 BE=100,C′B′=CE=
°
.
′′× °
在△A′C′B′中,∠C′A′B′=75°,则 BD=A′B′=
角为 45°,所以 AD=BD=
,
结合 A= 知 bc=12.
又 b+c=4
,
所以由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-2bc-2bccos =(4
所以 a=2
.故选 A.
)2-3bc=48-3×12=12,
在自主学习中渗透系统学习理论——对“三角恒等变换习题课”的点评
学生有些疑惑， 于是 执 教 者 建 议 用 给 出了正 确 的答 案 ， 提 供 了正 确 解题 方法 ， 是周 老 师并 没有 就 此放 过 ， 但 而
露端 倪 ， 是一个 好 的开 始 ． 这 片段 三 ： 已知 ＝１ 。求 ５，
的学习过程的机会 ， 这样的小结颇有新意 ， 也体现了
公式 ， 这样 能 够较 容易 地求 出． 生 三 ： 式子 进行 平 方 ， 将 然后 逆用 二倍 角公 式得 ’ 到 ３。 Ｏ 的特殊 角 ， 计算 求值 ．
要进行数学知识归纳感到茫然 ， 似有被 老师牵着鼻 子走 的感 觉． 老师 本 堂课别 出新意 ， 一 堂普 通 的 周 在 习题 课 中融 人 了新课 程 教学 的理念 ， 有 所创 新． 并
，
忆 和思 考来 完成 ， 贵 之处 在 于 本 节课 一 开 始 就 注 可 人 了充 分相 信 学生 和依 靠 学 生 的精 神 ． 为 本 节 课 这
的教学 风格 埋 下 了伏笔 ， 也让 学生 有 了心理 准备 ．
一
ｃｆ： ｏ ｓ ｌ
然后刺用 ｌ （ Ｊ ： 。 ｃ ｃ ＋ ） ｃｓ 。 。 ｓ Ｂ
本 节 课 教 学 过 程 可 简 略 归 纳 为 如 下 的 循 环 系统 ：
基 础 知 识 体 系
再 现基 础 知识 夯实 双 基
一的 ］鼢 亚一 问 题
——下 ＿
这个例题 的探究 很好地体 现 了学 生思维 的梯 度 ， 样 的 回答 显 然 是 令 人 满 意 的． 然 这 与 周 老 这 当 师 恰 到 好 处 的 处 理 策 略 是 分 不 开 的． 个 问 题 能 一 不 能 反 映 班 级 学 生 思 维 的基 本 面 ， 不 能 提 供 多 能
2024版高考复习A版数学考点考法PPT练习：三角恒等变换
4
α
=
5 ,则sin 2α=
5
(
)
A. 1 B.- 1 C.- 2 D.- 3
5
5
5
5
答案 D
3.(2022新高考Ⅱ,6,5分)若sin(α+β)+cos(α+β)=2
2
cos
α
4
sin β,则(
)
A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1
C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1
=cos(α+β)cos
β-sin(α+β)sin
β=
5
×
63
-
1×2
16
=
12.3
13 65 13 65 845
6.(2018江苏,16,14分)已知α,β为锐角,tan α= 4,cos(α+β)=- 5 .
3
5
(1)求cos 2α的值;
(2)求tan(α-β)的值.
解析 (1)因为tan α= 4 ,tan α= sin α ,所以sin α= 4 cos α.因为sin2α+cos2α=1,
0,
2
,cos
α=
3 5
,cos(α+β)=
5.
13
(1)求sin β的值;
(2)求cos(α+2β)的值.
解析 (1)因为α,β均为锐角,cos α= 3,所以0<α+β<π,sin α= 1 cos2 α = 4,又
5
5
cos(α+β)= 5 >0,所以0<α+β< ,sin(α+β)= 1 cos2 (α β) =12 .
三角恒等变换
三角恒等变换考点1 三角函数公式的基本应用1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝________________； cos(α∓β)＝________________； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.答案：sin αcos β±cos αsin β cos αcos β±sin αsin β 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝________________；cos 2α＝______________＝______________＝______________； tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 答案：2sin αcos α cos 2α－sin 2α 2cos 2α－1 1－2sin 2α[典题1] (1)[2017·江西新余三校联考]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝－78，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的值为( )A.14B.78 C ．±14 D ．±78 [答案] C[解析] 因为cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝78，所以有sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－78＝116，从而求得sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的值为±14，故选C.(2)已知cos θ＝－513，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6的值为________．[答案]5－12326[解析] 由cos θ＝－513，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2得sin θ＝－1－cos 2θ＝－1213，故sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝sin θcos π6－cos θsin π6＝－1213×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×12＝5－12326.(3)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________．[答案]3[解析] ∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－12.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝32，tan α＝－3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－－32＝ 3.[点石成金] 三角函数公式的应用策略(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．练习(1)[教材习题改编]计算：sin 108°cos 42°－cos 72°sin 42°＝________. 答案：12(2)[教材习题改编]已知cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值是________． 答案：4－3310(3)(2016·全国丙卷)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α等于( )A.6425B.4825 C ．1 D.1625(4)计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( )A ．－12B.12C.32D ．－32答案 (1)A (2)B解析 (1)tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋2sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425. (2)sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310° ＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.逆用公式与辅助角公式一般地，函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝________⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f (α)＝________⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b .答案：a 2＋b 2sin(α＋φ)a 2＋b 2cos(α－φ)[典题2] (1)[2017·贵州贵阳监测]已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C.45 D ．－45[答案] D[解析] ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，∴sin π3cos α＋cos π3sin α＋sin α＝435，∴32sin α＋32cos α＝435，即32sin α＋12cos α＝45. 故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝sin αcos 7π6＋cos αsin 7π6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＋12cos α＝－45.(2)在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值为( ) A ．－22 B.22 C.12 D ．－12[答案] B[解析] 由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，又A ＋B ∈(0，π)，所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22. 练习(1)[教材习题改编]计算：sin 43°cos 13°－sin 13°cos 43°＝________. 答案：12(2)函数f (x )＝sin x ＋cos x 的最大值为________． 答案： 2考点2 三角函数式的求值[考情聚焦] 研究三角函数式的求值，解题的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的特点，选择适当的公式进行求解，在高考中是一个热点考查方向．主要有以下几个命题角度：角度一 给值求值[典题3] 设θ为第二象限角，若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________. [答案] －105[解析] tan θ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π4＝12－11＋12＝－13，∴sin θ＝－13cos θ，将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，得109cos 2θ＝1，∴cos 2θ＝910，又易知cos θ<0，∴cos θ＝－31010，∴sin θ＝1010，故sin θ＋cos θ＝－105. 角度二 给值求角[典题4] [2017·山东济南模拟]已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值；(2)求β的值． [解] (1)因为tan α2＝12，所以sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2＝2sin α2cos α2＝2sin α2cos α2sin 2α2＋cos 2α2＝2tan α21＋tan 2α2＝2×121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝45.(2)因为0<α<π2，sin α＝45，所以cos α＝35.又0<α<π2<β<π，所以0<β－α<π.由cos (β－α)＝210，得0<β－α<π2.所以sin(β－α)＝9810＝7210，所以sin β＝sin [(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos (β－α)sin α＝7210×35＋210×45＝25250＝22.由π2<β<π，得β＝3π4. [点石成金] 三角函数式求值的常见题型及求解策略 (1)给值求值已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路： ①先化简所求式子；②观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)； ③将已知条件代入所求式子，化简求值． (2)给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解．(3)给值求角通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则： ①已知正切函数值，则选正切函数．②已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则选正弦较好(1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( ) A.2525 B.255 C.2525或255D.55或525(2)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是 ．答案 (1)A (2)－45解析 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45. 又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)．因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.于是cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525.(2)∵cos(α－π6)＋sin α＝453，∴32cos α＋32sin α＝453，(12cos α＋32sin α)＝453，3sin(π6＋α)＝453，∴sin(π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45. 考点3 三角函数式的化简与证明[典题3] (1)化简：(1＋sin θ＋cos θ)(sin θ2－cos θ2)2＋2cos θ (0<θ<π)；(2)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(1tan 5°－tan 5°)．解 (1)由θ∈(0，π)，得0<θ2<π2，∴cos θ2>0，∴2＋2cos θ＝4cos 2θ2＝2cos θ2.又(1＋sin θ＋cos θ)(sin θ2－cos θ2)＝(2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2)(sin θ2－cos θ2)＝2cos θ2(sin 2θ2－cos 2θ2)＝－2cos θ2cos θ.故原式＝－2cos θ2cos θ2cosθ2＝－cos θ.(2)原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°(cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5°)＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2(12cos 10°－32sin 10°)2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32.(1)(2016·宿州模拟)若sin(π4＋α)＝13，则cos(π2－2α)等于( )A.429 B ．－429 C.79 D ．－79(2)(2016·青岛模拟)化简(tan α＋1tan α)·12sin 2α－2cos 2α等于( )A ．cos 2αB ．sin 2αC ．cos 2αD ．－cos 2α(3)计算：sin 50°(1＋3tan 10°)＝ . 答案 (1)D (2)D (3)1解析 (1)∵sin(π4＋α)＝13，∴cos(π4－α)＝13，∴cos(π2－2α)＝cos 2(π4－α)＝2×19－1＝－79.(2)原式＝1sin αcos α·12sin 2α－2cos 2α＝1－2cos 2α＝－cos 2α.(3)sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°(1＋3sin 10°cos 10°)＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2(12cos 10°＋32sin 10°)cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.[点石成金] 三角函数式化简的原则与方法 (1)三角函数式的化简遵循的三个原则①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．②二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”． ③三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”等．(2)三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．(3)化简三角函数式的常用技巧①注意特殊角的三角函数与特殊值的互化；②对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分； ③对于二次根式，注意倍角公式的逆用； ④注意利用角与角之间的隐含关系； ⑤注意利用“1”的恒等变形.1．(2015·课标全国Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( ) A ．－32 B.32 C ．－12 D.12答案 D解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12.2．(2016·全国甲卷)若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin 2α等于( ) A.725 B.15 C ．－15 D ．－725 答案 D解析 因为sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1，又因为cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，所以sin 2α＝2×925－1＝－725，故选D.3．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.16 B.13 C.12 D.23答案 A解析 因为cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2，所以cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－sin 2α2＝1－232＝16，故选A. 4．(2016·东北三省三校联考)已知sin α＋cos α＝13，则sin 2(π4－α)等于( )A.118 B.1718 C.89 D.29答案 B解析 由sin α＋cos α＝13，两边平方得1＋sin 2α＝19，解得sin 2α＝－89，所以sin 2(π4－α)＝1－cos (π2－2α)2＝1－sin 2α2＝1＋892＝1718.5.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( )A.12B.32C. 3D. 2答案 C解析 原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.6．(2016·江西九校联考)已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是( ) A ．α<π4<βB ．β<π4<αC.π4<α<β D.π4<β<α 答案 B解析 ∵α为锐角，sin α－cos α＝16>0，∴α>π4.又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，∴α＋β＝π3，又α>π4，∴β<π4<α.7．化简2tan (45°－α)1－tan 2(45°－α)·sin αcos αcos 2α－sin 2α＝ . 答案 12解析 原式＝tan(90°－2α)·12sin 2αcos 2α＝sin (90°－2α)cos (90°－2α)·12·sin 2αcos 2α ＝cos 2αsin 2α·12·sin 2αcos 2α＝12. 8．已知tan(π4＋θ)＝3，则sin 2θ－2cos 2θ的值为 ．答案 －45解析 ∵tan(π4＋θ)＝3，∴1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12.∵sin 2θ－2cos 2θ＝sin 2θ－cos 2θ－1 ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ－cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ－1 ＝2tan θ1＋tan 2θ－1－tan 2θ1＋tan 2θ－1 ＝45－35－1＝－45. 9．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin(β＋5π4)＝ .答案7210解析 依题意可将已知条件变形为 sin [(α－β)－α]＝－sin β＝35，sin β＝－35.又β是第三象限角，因此有cos β＝－45.sin(β＋5π4)＝－sin(β＋π4)＝－sin βcos π4－cos βsin π4＝7210.*10.(2016·宝鸡模拟)已知cos(π4＋θ)cos(π4－θ)＝14，则sin 4θ＋cos 4θ的值为 ．答案 58解析 因为cos(π4＋θ)cos(π4－θ)＝(22cos θ－22sin θ)(22cos θ＋22sin θ) ＝12(cos 2θ－sin 2θ)＝12cos 2θ＝14. 所以cos 2θ＝12.故sin 4θ＋cos 4θ＝(1－cos 2θ2)2＋(1＋cos 2θ2)2＝116＋916＝58. 11．已知α∈(0，π2)，tan α＝12，求tan 2α和sin(2α＋π3)的值．解 ∵tan α＝12，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－14＝43，且sin αcos α＝12，即cos α＝2sin α， 又sin 2α＋cos 2α＝1，∴5sin 2α＝1， 而α∈(0，π2)，∴sin α＝55，cos α＝255.∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×255＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝45－15＝35，∴sin(2α＋π3)＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310.12．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值． 解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π， 所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2. 又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45. cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35 ＝－43＋310. *13.(2017·合肥质检)已知cos(π6＋α)cos(π3－α)＝－14，α∈(π3，π2)． (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值． 解 (1)cos(π6＋α)·cos(π3－α) ＝cos(π6＋α)·sin(π6＋α) ＝12sin(2α＋π3)＝－14， 即sin(2α＋π3)＝－12. ∵α∈(π3，π2)，∴2α＋π3∈(π，4π3)， ∴cos(2α＋π3)＝－32， ∴sin 2α＝sin[(2α＋π3)－π3] ＝sin(2α＋π3)cos π3－cos(2α＋π3)sin π3＝12. (2)∵α∈(π3，π2)，∴2α∈(2π3，π)， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin2α－cos2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.。
三角恒等变换知识点和例题
三角恒等变换基本解题方法三角函数公式：三倍角公式：θθθ3sin4sin 33sin -=；θθθcos 3cos 43cos 3-=；五、三角恒等变换：三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4α的二倍；α3是23α的二倍；3α是6α的二倍；απ22±是απ±4的二倍。
②2304560304515o ooooo=-=-=；问：=12sin π ；=12cos π；③ββαα-+=)(；④)4(24αππαπ--=+；⑤)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=；等等（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。
如在三角函数中正余弦是基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。
（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： o o 45tan 90sin cot tan tan sec cos sin12222===-=+=αααααα（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。
常用降幂公式有： ； 。
降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ；（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。
如：_______________tan 1tan 1=-+αα； ______________tan 1tan 1=+-αα；____________tan tan =+βα；___________tan tan 1=-βα； ____________tan tan =-βα；___________tan tan 1=+βα；=αtan 2 ；=-α2tan 1 ；=++o o o o 40tan 20tan 340tan 20tan ；=+ααcos sin = ； =+ααcos sin b a = ；（其中=ϕtan ；）=+αcos 1 ；=-αcos 1 ；（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；基本规则是：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化。
简单的三角恒等变换
第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第6课时 简单的三角恒等变换1. (必修4P 115复习题7(2)改编)函数y ＝3cos4x ＋sin4x 的最小正周期为________．答案：π2解析：y ＝3cos4x ＋sin4x ＝2(32cos4x ＋12sin4x)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6cos4x ＋sin π6sin4x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6，故T ＝2π4＝π2. 2. 在△ABC 中，若cosA ＝45，cosB ＝513，则cosC ＝________.答案：1665解析：在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，cosA ＝45＞0，cosB ＝513＞0，得0＜A ＜π2，0＜B ＜π2，从而sinA ＝35，sinB ＝1213，所以cosC ＝cos[π－(A ＋B)]＝－cos(A ＋B)＝sinA·sinB－cosA·cosB＝35×1213－45×513＝1665.3. (必修4P 113练习3(2)改编)已知cos θ＝45，且270°＜θ＜360°，则sin θ2＝________，cos θ2＝________．答案：1010 －31010解析：∵ 270°＜θ＜360°， ∴ 135°＜θ2＜180°.∴ sin θ2＝1－cos θ2＝1－452＝1010；cos θ2＝－1＋cos θ2＝－1＋452＝－31010. 4. (必修4P 115复习题5改编)已知sin α＝35，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tan2β＝________．答案：－724解析：由sin α＝35且α是第二象限角，得tan α＝－34，∵ (α＋β)－α＝β，∴ tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝7.∴ tan2β＝2tan β1－tan 2β＝－724. 5. (必修4P 115复习题1(1)改编)已知sin2α＝55，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin 4α－cos4α＝________．答案：－255解析：sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝ －cos2α＝－1－sin 22α＝－255.三角函数的最值问题(1) 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式 ① y ＝asinx ＋bcosx ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中cos φ＝aa 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b2. ② y ＝asin 2x ＋bsinxcosx ＋ccos 2x 可先降次，整理转化为上一种形式．③ y ＝asinx ＋b csinx ＋d ⎝ ⎛⎭⎪⎫或y ＝acosx ＋b ccosx ＋d 可转化为只有分母含sinx 或cosx 的函数式或sinx ＝f(y)(cosx ＝f(y))的形式，由正、余弦函数的有界性求解．(2) 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式① y ＝asin 2x ＋bcosx ＋c 可转化为cosx 的二次函数式．② y ＝asinx ＋c bsinx (a 、b 、c>0)，令sinx ＝t ，则转化为求y ＝at ＋cbt (－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解．[备课札记]题型1 三角形中的恒等变换例1 已知△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2sin 2C2＋cos C 2＝2，求角C 的大小．解：由2sin 2C2＋cos C 2＝2，得2⎝⎛⎭⎪⎫1－cos 2C 2＋cos C 2＝2，整理得cos C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos C 2－1＝0.因为在△ABC 中，0<C<π，所以0<C 2<π2.所以cos C 2＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫舍去cos C 2＝0，从而C 2＝π4，即C ＝π2.备选变式（教师专享）在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB ＝3b .求角A 的大小．解：由已知，得2sinAsinB ＝3sinB ，且B∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴ sinB ≠0，∴ sinA ＝32，且A∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴ A ＝π3.题型2 角的构造技巧与公式的灵活运用例2 求sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°的值．解：(解法1)因为40°＝30°＋10°，于是原式＝sin 210°＋cos 2(30°＋10°)＋sin10°cos(30°＋10°)＝sin 210°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos10°－12sin10°2＋sin10°·(32cos10°－12sin10°)＝ 34(sin 210°＋cos 210°)＝34. (解法2)设x ＝sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°，y ＝cos 210°＋sin 240°＋cos10°sin40°.则x ＋y ＝1＋1＋sin10°cos40°＋cos10°sin40°＝2＋sin50°＝2＋cos40°，x －y ＝cos80°－cos20°－12＝－sin50°－12＝－cos40°－12.因此2x ＝32，故x＝34. 变式训练求sin 220°＋cos 280°＋3sin20°cos80°的值．解：sin 220°＋cos 280°＋3sin20°cos80°＝12(1－cos40°)＋12(1＋cos160°)＋3sin20°cos(60°＋20°) ＝1－12cos40°＋12(cos120°cos40°－sin120°sin40°)＋3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)＝1－12cos40°－14cos40°－34sin40°＋34sin40°－32sin 220°＝1－34cos40°－34(1－cos40°)＝14.题型3 三角函数的综合问题例3 函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋3sinxcosx(x ∈R )． (1) 求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值；(2) 在△ABC 中，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，求sinB ＋sinC 的最大值． 解：(1) f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋3sinxcosx ＝ 12cos2x ＋32sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1.(2) 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1.因为0＜A ＜π，所以A ＋π6＝π2，即A ＝π3.sinB ＋sinC ＝sinB ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B＝32sinB ＋32cosB ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6.因为0＜B ＜2π3，所以π6＜B ＋π6＜5π6，所以12＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤1， 所以sinB ＋sinC 的最大值为 3.备选变式（教师专享）已知a ＝(cosx ＋sinx ，sinx)，b ＝(cosx －sinx ，2cosx)，设f(x)＝a·b . (1) 求函数f(x)的最小正周期；(2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f(x)的最大值和最小值．解：(1) f(x)＝a·b＝(cosx ＋sinx)·(cosx－sinx)＋sinx·2cosx＝cos 2x －sin 2x ＋2sinxcosx ＝cos2x ＋sin2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos2x ＋22sin2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. ∴f(x)的最小正周期T ＝π.(2) ∵0≤x≤π2，∴π4≤2x ＋π4≤5π4，∴当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f(x)有最大值2；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f(x)有最小值－1.1. (2013·苏州期末)已知θ为锐角，sin(θ＋15°)＝45，则cos(2θ－15°)＝________．答案：17250解析：因为θ为锐角，且sin(θ＋15°)＝45∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，32，所以θ＋15°∈(45°，60°)，2θ＋30°∈(90°，120°)，所以cos(2θ＋30°)＝1－2sin 2(θ＋15°)＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－725，从而sin(2θ＋30°)＝1－cos 2（2θ＋30°）＝2425，所以cos(2θ－15°)＝cos[(2θ＋30°)－45°]＝cos(2θ＋30°)cos45°＋sin(2θ＋30°)sin45°＝－725×22＋2425×22＝17250. 2. 函数f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2·cos(x ＋π6)的最小正周期为________．答案：π解析：∵ f(x)＝－sinx ·(32cosx －12sinx)＝ 14－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴ T ＝π.3. 计算：sin47°－sin17°cos30°cos17°＝________．答案：12解析：sin47°－sin17°cos30°cos17°＝sin （30°＋17°）－s in17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.4. 设α、β∈(0，π)，且sin(α＋β)＝513，tan α2＝12，则cos β＝________．答案：－1665解析：∵ tan α2＝12，∴ tan α＝2tan α21－tan 2α2＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43，而α∈(0，π)，∴ α∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2.由tan α＝sin αcos α＝43及sin 2α＋cos 2α＝1得sin α＝45，cos α＝35；又sin(α＋β)＝513<22，∴ α＋β∈(3π4，π)，cos(α＋β)＝－1213.∴ cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1213×35＋513×45＝－1665.1. 已知函数f(x)＝sin x 2cos x 2＋cos 2x2－12.(1) 若f(α)＝24，α∈(0，π)，求α的值； (2) 求函数f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π上最大值和最小值． 解：(1) f(x)＝12sinx ＋1＋cosx 2－12＝12(sinx ＋cosx)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.由题意知：f(α)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝24，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12.∵α∈(0，π)，即α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4，∴α＋π4＝5π6，即α＝7π12. (2) ∵ －π4≤α≤π， 即0≤α＋π4≤5π4，∴f(x)max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22，f(x)min ＝f(π)＝－12.2. 已知ω＞0，a ＝(2sin ωx ＋cos ωx ，2sin ωx －cos ωx)，b ＝(sin ωx ，cos ωx)．f(x)＝a·b .f(x)图象上相邻的两个对称轴的距离是π2.(1) 求ω的值；(2) 求函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解：f(x)＝a ·b＝(2sin ωx ＋cos ωx)sin ωx ＋(2sin ωx －cos ωx)cos ωx＝2sin 2ωx ＋3sin ωxcos ωx －cos 2ωx ＝1－cos2ωx ＋32sin2ωx －12(1＋cos2ωx)＝32(sin2ωx －cos2ωx)＋12＝322sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π4＋12.(1) 因为函数f(x)的图象上相邻的两个对称轴间的距离是π2，所以函数f(x)的最小正周期T ＝π，则ω＝1.(2) ω＝1，f(x)＝322sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋12.∴ x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴ 2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，则当2x －π4＝－π4，即x ＝0时，f(x)取得最小值－1；当2x －π4＝π2，即x ＝3π8时，f(x)取得最大值32＋12.3. 设函数f(x)＝(sin ωx ＋cos ωx)2＋2cos 2ωx(ω＞0)的最小正周期为2π3.(1) 求ω的最小正周期；(2) 若函数y ＝g(x)的图象是由y ＝f(x)的图象向右平移π2个单位长度得到，求y ＝g(x)的单调增区间．解：(1) f(x)＝(sin ωx ＋cos ωx)2＋2cos 2ωx＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋sin2ωx ＋1＋cos2ωx＝sin2ωx ＋cos2ωx ＋2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋2， 依题意得2π2ω＝2π3，故ω的最小正周期为32.(2) 依题意得g(x)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋π4 ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －5π4＋2，由2k π－π2≤3x －5π4≤2k π＋π2(k∈Z )，得23k π＋π4≤x ≤23k π＋7π12(k∈Z )， 故y ＝g(x)的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23k π＋π4，23k π＋7π12(k∈Z )．4. 设函数f(x)＝3sinxcosx ＋cos 2x ＋a.(1) 写出函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，函数f(x)的最大值与最小值的和为32，求a 的值． 解：(1) f(x)＝32sin2x ＋1＋cos2x 2＋a ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋12，∴ T ＝π.由π2＋2k π≤2x＋π6≤3π2＋2k π，得π6＋kx≤x≤2π3＋k π.故函数f(x)的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k∈Z )．(2) ∵ －π6≤x ≤π3，∴ －π6≤2x ＋π6≤5π6.∴ －12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1.当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，原函数的最大值与最小值的和为⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋a ＋12＝32，∴ a ＝0.1. (1) 三角函数式的化简原则一是统一角，二是统一函数名．能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分．(2) 三角函数化简的方法主要是弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂． 2. 三角恒等式的证明主要从两方面入手：(1) 看角：分析角的差异，消除差异，向结果中的角转化． (2) 看函数：统一函数，向结果中的函数转化．请使用课时训练(A)第6课时(见活页)．[备课札记]。
高考数学一轮总复习第四章三角函数与解三角形 3三角恒等变换第1课时简单的三角恒等变换课件
4
1
4
即cos cos + sin sin = .故cos − = .
故选C.
D.−
)
7
8
【点拨】和、差、倍角公式的综合应用，关键在于把握式子的结构特点，灵活应用
整体思想求解，尤其是对于含两个不相关联角的问题.
变式3（1） （2023年新课标Ⅰ卷）已知sin − =
5
π
(0， )，tan
2
2 =
C.
5
3
cos
，则tan
2−sin
=(
D.
)
15
3
cos
sin 2
2sin cos
cos
π
解：因为tan 2 =
,所以tan 2 =
=
=
.因为 ∈ (0， )，
2−sin
cos 2
1−2sin2
2−sin
2
2sin
1
cos 45∘ =
2
，D不符合.故选AC.
2
【点拨】和、差、倍角公式对使公式有意义的任意角都成立，使用中要注意观察角之
间的和、差、倍、互补、互余等关系.
变式1 【多选题】下列化简正确的是(
√
tan 48 +tan 72
C.
√1−tan 48 tan 72
A.cos 82∘ sin 52∘ − sin 82∘ cos 52∘ = −
tan 48∘ +tan 72∘
对于C，
1−tan 48∘ tan 72∘
1
sin
2
∘
15 cos 15 =
1
sin
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高中数学(人教A版)必修一课后习题：三角恒等变换的应用(课后习题)【含答案及解析】
三角恒等变换的应用课后篇巩固提升合格考达标练1.(2021济宁高一期末)若tan α=2,则sin2α1+cos 2α=( )A.16 B .13C .23D .1tan α=2,则sin2α1+cos 2α=2sinαcosα2cos 2α+sin 2α=2tanα2+tan 2α=2×22+22=23.故选C .2.化简sin α2+cos α22+2sin 2π4−α2得( )A.2+sin α B .2+√2sin α-π4 C .2 D .2+√2sin α+π4解析原式=1+2sin α2cos α2+1-cos 2π4−α2=2+sin α-cos π2-α=2+sin α-sin α=2. 3.函数f (x )=sin x cos x+cos 2x-1的值域为( ) A.[-√2+12,√2-12] B.[√2-12,√2+12] C.[-1,0] D.[0,12](x )=sin x cos x+cos 2x-1=12sin 2x+1+cos2x 2-1=12sin 2x+12cos 2x-12=√22sin (2x +π4)−12, 因为-1≤sin (2x +π4)≤1,所以y ∈[-√2+12,√2-12].4.函数f (x )=sin 2x-π4-2√2sin 2x 的最小正周期是 .解析f (x )=√22sin 2x-√22cos 2x-√2(1-cos 2x )=√22sin 2x+√22cos 2x-√2=sin 2x+π4-√2,所以T=2π2=π. 5.若3sin x-√3cos x=2√3sin(x+φ),φ∈(-π,π),则φ= . -π6解析因为3sin x-√3cos x=2√3√32sin x-12cos x =2√3sin x-π6,因为φ∈(-π,π),所以φ=-π6. 6.化简:sin4x 1+cos4x ·cos2x 1+cos2x ·cosx1+cosx = .tan x2=2sin2xcos2x 2cos 22x ·cos2x 1+cos2x ·cosx1+cosx=sin2x 1+cos2x ·cosx1+cosx=2sinxcosx 2cos 2x ·cosx1+cosx=sinx 1+cosx =tan x2. 7.已知函数f (x )=4cos 4x -2cos2x -1sin (π4+x )sin (π4-x ). (1)求f (-11π12)的值; (2)当x ∈[0,π4)时,求函数g (x )=12f (x )+sin 2x 的最大值和最小值.f (x )=(1+cos2x )2-2cos2x -1sin (π4+x )sin (π4-x )=cos 22xsin (π4+x )cos (π4+x )=2cos 22x sin (π2+2x )=2cos 22xcos2x=2cos 2x , 所以f (-11π12)=2cos (-11π6)=2cos π6=√3.(2)g (x )=cos 2x+sin 2x=√2sin (2x +π4).因为x ∈[0,π4),所以2x+π4∈[π4,3π4), 所以当x=π8时,g (x )max =√2, 当x=0时,g (x )min =1.等级考提升练8.已知α满足sin α=13,则cos (π4+α)cos (π4-α)= ( )A.718B.2518C.-718D.-2518解析cos (π4+α)cos (π4-α)=cosπ2-π4-α·cosπ4-α=sinπ4-αcosπ4-α=12sinπ2-2α=12cos 2α=12(1-2sin 2α)=12(1-2×19)=718,故选A .9.(2021黑龙江哈尔滨道里高一期末)已知函数f (x )=sin 2x+2√3sin x cos x-cos 2x ,x ∈R ,则( ) A.f (x )的最大值为1B .f (x )在区间(0,π)上只有1个零点C .f (x )的最小正周期为π2 D .x=π3为f (x )图象的一条对称轴 解析函数f (x )=sin 2x+2√3sin x cos x-cos 2x=√3sin 2x-cos 2x=2√32sin 2x-12cos 2x =2sin 2x-π6,可得f (x )的最大值为2,最小正周期为T=2π2=π,故A,C 错误;由f (x )=0,可得2x-π6=k π,k ∈Z ,即为x=kπ2+π12,k ∈Z ,可得f (x )在(0,π)内的零点为π12,7π12,故B 错误;由fπ3=2sin2π3−π6=2,可得x=π3为f (x )图象的一条对称轴,故D 正确.故选D .10.设a=2sin 13°cos 13°,b=2tan13°1+tan 213°,c=√1-cos50°2,则有( )A.c<a<bB.a<b<cC.b<c<aD.a<c<ba=2sin 13°cos 13°=sin 26°,b=2tan13°1+tan 213°=tan 26°,c=√1-cos50°2=sin 25°,且正弦函数y=sin x 在区间[0,π2]上单调递增,所以a>c ;在区间[0,π2]上tan α>sin α,所以b>a ,所以c<a<b ,故选A . 11.已知函数f (x )=sin x+λcos x 的图象的一个对称中心是点(π3,0),则函数g (x )=λsin x cos x+sin 2x 的图象的一条对称轴是直线( ) A.x=5π6B.x=4π3C.x=π3D.x=-π3f (x )=sin x+λcos x 的图象的一个对称中心是点(π3,0),所以f (π3)=0,即sin π3+λcos π3=0,解得λ=-√3,故g (x )=-√3sin x cos x+sin 2x ,整理得g (x )=-sin (2x +π6)+12,所以对称轴直线方程为2x+π6=k π+π2(k ∈Z ),当k=-1时,一条对称轴是直线x=-π3.12.(多选题)(2020福建福州一中高一期末)以下函数在区间0,π2上单调递增的有( ) A.y=sin x+cos x B.y=sin x-cos x C .y=sin x cos xD .y=sinxcosx解析对于A 选项,y=sin x+cos x=√2sin x+π4,当x ∈0,π2时,x+π4∈π4,3π4,所以函数在区间0,π2上不单调;对于B 选项,y=sin x-cos x=√2sin x-π4,当x ∈0,π2时,x-π4∈-π4,π4,所以函数在区间0,π2上单调递增;对于C 选项,y=sin x cos x=12sin 2x ,当x ∈0,π2时,2x ∈(0,π),所以函数在区间0,π2上不单调;对于D 选项,当x ∈0,π2时,y=sinxcosx=tan x ,所以函数在区间0,π2上单调递增.13.(多选题)(2020山东枣庄高一期末)设函数f (x )=sin 2x+π4+cos 2x+π4,则f (x )( ) A.是偶函数B.在区间0,π2单调递减 C .最大值为2D .其图象关于直线x=π2对称解析f (x )=sin 2x+π4+cos 2x+π4=√2sin 2x+π4+π4=√2cos 2x.f (-x )=√2cos(-2x )=√2cos 2x=f (x ),故f (x )是偶函数,A 正确;∵x ∈0,π2,所以2x ∈(0,π),因此f (x )在区间0,π2上单调递减,B 正确;f (x )=√2cos 2x 的最大值为√2,C 不正确;当x=π2时,f (x )=√2cos 2×π2=-√2,因此当x=π2时,函数有最小值,因此函数图象关于x=π2对称,D 正确.14.已知cos θ=-725,θ∈(π,2π),则sin θ2+cos θ2的值为 .解析因为θ∈(π,2π),所以θ2∈π2,π,所以sin θ2=√1-cosθ2=45,cos θ2=-√1+cosθ2=-35, 所以sin θ2+cos θ2=15.15.化简:tan 70°cos 10°(√3tan 20°-1)= .1 解析原式=sin70°cos70°·cos 10°·√3sin20°cos20°-1=sin70°cos70°·cos 10°·√3sin20°-cos20°cos20°=sin70°cos70°·cos 10°·2sin (-10°)cos20°=-sin70°cos70°·sin20°cos20°=-1. 16.已知函数f (x )=4tan x sin (π2-x)cos (x -π3)−√3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期; (2)讨论f (x )在区间[-π4,π4]上的单调性.f (x )的定义域为{x |x ≠π2+kπ,k ∈Z}.f (x )=4tan x cos x cos (x -π3)−√3 =4sin x cos (x -π3)−√3 =4sin x (12cosx +√32sinx)−√3 =2sin x cos x+2√3sin 2x-√3=sin 2x+√3(1-cos 2x )-√3 =sin 2x-√3cos 2x=2sin (2x -π3). 所以f (x )的最小正周期T=2π2=π.(2)令z=2x-π3,函数y=2sin z 的单调递增区间是[-π2+2kπ,π2+2kπ],k ∈Z .由-π2+2k π≤2x-π3≤π2+2k π,k ∈Z ,得-π12+k π≤x ≤5π12+k π,k ∈Z . 设A=[-π4,π4],B=x -π12+k π≤x ≤5π12+k π,k ∈Z ,易知A ∩B=[-π12,π4].所以,当x ∈[-π4,π4]时,f (x )在区间[-π12,π4]上单调递增,在区间[-π4,-π12]上单调递减.新情境创新练17.如图,某污水处理厂要在一个矩形ABCD 的池底水平铺设污水净化管道(Rt △EFG ,E 是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好,设计要求管道的接口E 是AB 的中点,F ,G 分别落在AD ,BC 上,且AB=20 m,AD=10√3 m,设∠GEB=θ.(1)试将污水管道的长度l 表示成θ的函数,并写出定义域; (2)当θ为何值时,污水净化效果最好,并求此时管道的长度.由题意,∠GEB=θ,∠GEF=90°,则∠AEF=90°-θ.∵E 是AB 的中点,AB=20 m,AD=10√3 m . ∴EG=10cosθ,EF=10cos (90°-θ)=10sinθ. ∴FG=√EG 2+EF 2=10cosθsinθ. 则l=10sinθ+10cosθ+10sinθcosθ,定义域θ∈π6,π3.(2)由(1)可知,l=10sinθ+10cosθ+10sinθcosθ,θ∈π6,π3.化简可得l=10(sinθ+cosθ)+10sinθcosθ.令t=sin θ+cos θ=√2sin θ+π4.∵θ∈π6,π3,∴θ+π4∈5π12,7π12,可得sin θ+π4∈√6+√24,1,则t ∈√3+12,√2.可得sin θcos θ=t 2-12,且t ≠1, 那么l=10+10t t 2-12=20(1+t )t 2-1=20t -1. 当t=√3+12时,l 取得最大值为20(1+√3).此时t=√2sin θ+π4=√3+12,即θ+π4=5π12或7π12,∴θ=π6或π3.故当θ=π6或π3时,污水净化效果最好,此时管道的长度为20(1+√3)m .。