三角恒等变换练习题一
三角恒等变形-练习题
三角恒等变形-练习题(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--3-1-1两角差的余弦公式一、选择题1．cos39°cos9°＋sin39°sin9°等于( )C ．－12D ．－32 2．cos555°的值为( ) B ．－6＋243．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝45，则cos ⎝⎛⎭⎫π4－α等于( )2C ．－210D ．－254．若sin α·sin β＝1，则cos(α－β)的值为( ) A ．0 B ．1 C ．±1 D ．－1 5．cos75°＋cos15°的值是( )6．化简sin(x ＋y )sin(x －y )＋cos(x ＋y )cos(x －y )的结果是( )A ．sin2xB ．cos2yC ．－cos2xD ．－cos2y7．若sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( ) A ．－558．cos π12＋3sin π12的值为( ) A ．－ 29．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝35，π3<α<5π6，则cos α的值是( )10．已知sin α＋sin β＝45，cos α＋cos β＝35，则cos(α－β)的值为( ) D ．－12 二、填空题11．cos α＝35，cos β＝513，sin α＝－45，sin β＝1213，则cos(α－β)＝________.12．cos(61°＋2α)cos(31°＋2α)＋sin(61°＋2α)sin(31°＋2α)＝________.13．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos α，则tan α＝________.14．化简2cos10°－sin20°cos20°＝________. 三、解答题 15．求值：(1)sin285°；(2)sin460°sin(－160°)＋cos560°cos(－280°)． 16．已知sin α＝13，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos β＝27，β是第四象限角，求cos(α－β)的值．17．设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos α＋β2.18．若α，β为锐角，且cos α＝45，cos(α＋β)＝－1665，求cos β的值．3-1-2-1两角和与差的正弦、余弦一、选择题1．下列等式成立的是( )A ．cos80°cos20°－sin80°sin20°＝12 B ．sin13°cos17°－cos13°sin17°＝12 C ．sin70°cos25°＋sin25°sin20°＝22 D ．sin140°cos20°＋sin50°sin20°＝32 2．cos 5π12的值等于( )3．在△ABC 中，已知sin(A －B )·cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰非直角三角形sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋6sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的化简结果是( ) A ．22sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋x B ．22sin ⎝⎛⎭⎫x －5π12C ．22sin ⎝⎛⎭⎫7π12＋xD ．22sin ⎝⎛⎭⎫x －7π12 5．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝62，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．b <c <a6．已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，则cos αcos β的值为( )A ．0 C ．0或45 D ．0或±457．若α、β均为锐角，sin α＝255，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( )或2525 D ．－2525 8．若α、β为两个锐角，则( )A ．cos(α＋β)>cos α＋cos βB ．cos(α＋β)<cos α＋cos βC ．cos(α＋β)>sin α＋sin βD ．cos(α＋β)<sin α＋sin β9．若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝－12，则cos(α－β)的值是( )D ．110．(2012·重庆)sin47°－sin17°cos30°cos17°( ) A ．－32 B ．－12 二、填空题11．化简：cos(35°－x )cos(25°＋x )－sin(35°－x )sin(25°＋x )＝________.12．若cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45，且450°<β<540°，则sin(60°－β)＝________.13．已知α、β为锐角，且tan α＝23，tan β＝34，则sin(α＋β)＝________. 的值是________． 三、解答题15．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin2α的值．16．已知sin α＝23，cos β＝－14，且α，β为相邻象限的角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值． 17．求证：sin?2α＋β?sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.18．（暂时不做）已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255.(1)求cos(α－β)的值；(2)若－π2<β<0<α<π2，且sin β＝－513，求sin α的值．3-1-2-2两角和与差的正切一、选择题1．若α、β∈(0，π2)且tan α＝12，tan β＝13，则tan(α－β)( )A ．－17 B ．1 C ．17 D ．152．tan(α＋β)＝25，tan(α－β)＝14，则tan2α＝( )3．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)的值等于( )A ．－7B ．7C ．－174．在△ABC 中，若0<tan B tan C <1，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．形状不能确定5．化简tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°的值等于( )A ．1B ．2C ．tan10°D ．3tan20°6．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，则α＋β的值为( )B ．－2π3 或－2π3 D ．－π3或2π37．(2011～2012·长春高一检测)tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)的值是( )C ．2 3 的值为( )A ．2＋ 3 C ．2－ 39．已知α、β为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，则tan β的值为( )10．在△ABC 中，若tan B ＝cos?C －B ?sin A ＋sin?C －B ?，则这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 二、填空题11．若tan α＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为____．12．化简3－tan18°1＋3tan18°＝________.13．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－β2＝12，tan ⎝⎛⎭⎫β－α2＝－13，则tan α＋β2＝________.14．不查表求值：tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°＝______. 三、解答题15．(2011～2012·学军高一检测)已知△ABC 中，3tan A tan B －tan A －tan B ＝ 3.求C 的大小．16．已知tan α、tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，试求sin 2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos 2(α＋β)的值．17．首先定义向量的乘法：设向量m ＝()11,x y ，n ＝()22,x y ，则m·n ＝1212x x y y ⋅+⋅已知A ，B ，C 是△ABC 的三内角，向量m ＝(－1，3)，n ＝(cos A ，sin A )，且m ·n ＝1.(1)求角A ；(2)若tan ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝－3，求tan C .18．是否存在锐角α、β，使得(1)α＋2β＝2π3，(2)tan α2·tan β＝2－3同时成立若存在，求出锐角α、β的值；若不存在，说明理由．3-1-3二倍角的正弦、余弦、正切公式一、选择题1．12－sin 215°的值是( )2．若sin α＝1213，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan2α的值为( )C ．－60119D ．－1201193．若x ＝π12，则cos 2x －sin 2x 的值等于( )4．已知sin θ＝45，sin θcos θ<0，则sin2θ的值为( )A ．－2425B ．－1225C ．－455．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin2x 的值为( )6．定义向量的模：设向量a ＝(),x y ，则a 的模为22x y +.现已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos θ，12的模为22，则cos2θ等于( )－32 B ．－14C ．－127．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是( )C ．－459D ．－2598．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α的值是( ) A ．－79 B ．－139．(2009·广东)函数y ＝2cos 2(x －π4)－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数10．(2011·宁夏、海南)3－sin70°2－cos 210°＝( )C ．2 二、填空题11．3tan π81－tan 2π8＝________. 12．在△ABC 中，cos A ＝513，则sin2A ＝________.13．设cos2θ＝23，则cos 4θ＋sin 4θ的值是________．14．2002年北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形接成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于________． 三、解答题15．已知cos α＝－1213，α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，求sin2α，cos2α，tan2α的值．16．已知cos(x －π4)＝210，x ∈(π2，3π4)．(1)求sin x 的值． (2)求sin(2x ＋π3)的值．17．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x的值． 18．设函数f (x )＝2cos x sin(x ＋π3)－3sin 2x ＋sin x cos x ，当x ∈[0，π2]时，求f (x )的最大值和最小值．3-2-1三角恒等变换一、选择题1．设－3π<α<－5π2，则化简1－cos?α－π?2的结果是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－cos α2D ．－sin α22．已知cos α＝－15，π2<α<π，则sin α2等于( )A ．－105 C ．－155 ·2cos 2αcos2α等于( )A ．tan αB ．tan2αC ．14．已知钝角α满足cos α＝－13，则sin α2等于( )5．化简cos2αtan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝( ) A ．sin α B ．cos α C ．1＋sin2α D ．1－sin2α6．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋12－12cos2x ，则f (x )可化为( )－32sin2x ＋32sin2x C ．1－3sin2x D ．－32sin2x 7．函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x 的最大值是( )A ．28．若cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( ) A ．－72 B ．－12 C ．12 D ．729．(山东)若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2,sin2θ＝378,则sin θ＝( )10．已知－3π2＜α＜－π，则12＋12·12＋12cos2α的值为( )A ．－sin α2B ．cos α2 C ．sin α2 D ．－cos α2 二、填空题11．已知tan α2＝13，则cos α＝________. 12．若tan α＝2，则tan α2＝________.13．若sin ⎝⎛⎭⎫3π2－2x ＝35，则tan 2x ＝________.14．若cos2θ＝－34，那么sin 4θ＋cos 4θ＝________. 三、解答题15．若已知tan θ2＝2，求cos θ、sin θ的值．16．化简12sin 2x ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1tan x 2－tan x 2＋32cos2x 为A sin(ωx ＋φ)的形式．17．已知sin(2α＋β)＝5sin β.求证：2tan(α＋β)＝3tan α. 18．已知函数f (x )＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x ,x ∈.(1)求函数f (x )的最大值及此时自变量x 的集合； (2)求函数f (x )的单调递增区间．3-2-2三角恒等式的应用一、选择题1．函数f (x )＝－12sin x cos x 的最大值是( )B ．－12 D ．－142．函数y ＝cos 2x 2－sin 2x2的最小值等于( )A ．－1B ．1 D ．23．函数y ＝sin x1＋cos x的周期等于( )B ．πC ．2πD ．3π4．函数y ＝cos 4x －sin 4x ＋2的最小正周期是( )A ．πB ．2π5．函数y ＝12sin2x ＋sin 2x 的值域是( )6．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g (x )＝a sin x ＋cos x 的最大值是( )7．化简1＋cos80°－1－cos80°等于( )A ．－2cos5°B ．2cos5°C ．－2sin5°D ．2sin5°8．函数y ＝cos 2ωx －sin 2ωx (ω>0)的最小正周期是π，则函数f (x )＝2sin(ωx ＋π4)的一个单调递增区间是( )A ．[－π2，π2]B ．[5π4，9π4]C ．[－π4，3π4]D ．[π4，5π4] 9．(2011·重庆) 首先定义向量的乘法：设向量m ＝()11,x y ，n ＝()22,x y ，则m·n ＝1212x x y y ⋅+⋅．设△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 等于( )10．设M ＝{平面内的点(a ，b )}，N ＝{f (x )|f (x )＝a cos2x ＋b sin2x }，给出M 到N 的映射f ：(a ，b )→f (x )＝a cos2x ＋b sin2x ，则点(1，3)的象f (x )的最小正周期为( )A ．π2B ．π4C ．πD ．2π 二、填空题11．函数y ＝2sin x ＋2cos x 的值域是________．12．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx －cos 2ωx (ω>0)的周期为π2，则ω＝________.13．函数f (x )＝3sin x －cos x 的单调递增区间是______．14．关于函数f (x )＝sin2x －cos2x ，有下列命题：①函数y ＝f (x )的周期为π；②直线x ＝π4是y ＝f (x )的图象的一条对称轴；③点⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f (x )的图象的一个对称中心； ④将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin2x 的图象．其中真命题的序号是________． 三、解答题15．已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π6的值及f (x )的最小正周期； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求f (x )的最大值和最小值． 16．已知函数f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx sin ⎝⎛⎭⎫π2－ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的值域． 17．已知函数f (x )＝3sin2x －2sin 2x .(1)若点P (1，－3)在角α的终边上，求f (α)的值；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，求f (x )的值域． 18．某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1m ，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)．。
高一数学必修4同步练习：3-2-1三角恒等变换
3-2-1三角恒等变换一、选择题1．设－3π<α<－5π2，则化简1－cos (α－π)2的结果是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－cos α2D ．－sin α2[答案] C[解析] ∵－3π<α<－52π，∴－32π<α2<－54π，∴cos α2<0，∴原式＝1＋cos α2＝|cos α2＝－cos α2. 2．已知cos α＝－15，π2<α<π，则sin α2等于( )A ．－105B.105C ．－155D.155[答案] D[解析] ∵π2<α<π，∴π2<α2<π2，则sin α2＝1－cos α2＝155. 3.2sin 2αsin2α·2cos 2αcos2α( ) A ．tan α B ．tan2α C ．1 D.12[答案] B[解析] 原式＝(2sin αcos α)2sin2αcos2α＝sin 22αsin2αcos2α＝sin2αcos2αtan2α.4．已知钝角α满足cos α＝－13，则sin α2等于( )A.13 B.23 C.63D.16[答案] C[解析] ∵α为钝角，∴sin α2∴sin α2＝1－cos α2＝1＋132＝63. 5．化简cos2αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝( )A ．sin αB ．cos αC ．1＋sin2αD ．1－sin2α[答案] D[解析] 原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝1－sin2α. 6．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋12－12cos2x ，则f (x )可化为( )A.12－32sin2x B.12＋32sin2x C ．1－3sin2x D ．－32sin2x[答案] A[解析] f (x )＝cos2x cos π3－sin2x sin π3＋12－12cos2x ＝12cos2x －32sin2x ＋12－12cos2x＝12－32sin2x . 7．函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x 的最大值是( ) A ．2 B.32 C.2＋12D.1＋222[答案] C[解析] f (x )＝cos x (cos x ＋sin x )＝cos x ·2(22cos x ＋22sin x )＝2cos x sin(x ＋π4)＝22[sin(2x ＋π4)＋sin π4]＝22sin(2x ＋π4)＋12∴当sin(2x ＋π4)＝1时，f (x )取得最大值即f (x )max ＝22×1＋12＝2＋12.8．若cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( )A ．－72B ．－12C.12D.72[答案] C[解析] 法一：原式左边＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－2(sin α＋cos α)＝－22，∴sin α＋cos α＝12，故选C.法二：原式＝cos 2α－sin 2αsin α·cos π4－cos α·sinπ4＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－22，∴cos α＋sin α＝12，故选C. 9．(2012·全国高考山东卷)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin2θ＝378，则sin θ＝( )A.35 B.45 C.74 D.34[答案] D[解析] 由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2可得2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，cos2θ＝－1－sin 22θ＝－18，sin θ＝1－cos2θ2＝34，答案应选D 。
三角恒等变换练习题一
三角恒等变换练习题一三角恒等变换练题一一、选择题1.已知sin(π/2+θ)=3/5，则cos(π-2θ)=()A。
-12/25B。
-5/25C。
-5/12D。
25/252.若cosα=-4/5,且α在第二象限内，则cos(2α+π/4)为() A。
-31/50B。
31/50C。
-172/50D。
50/503.已知α∈R,sinα+2cosα=10/2，则tan2α=() A。
4/3B。
3/4C。
-4/3D。
-3/44.已知sinα-cosα=2,α∈(0,π)，则sin2α=() A。
-1B。
-2/2C。
2/2D。
15.已知sin(x-π/4)=3/5，则sin2x的值为()A。
-7/25B。
79/16C。
25D。
26.计算sin43°cos13°-cos43°sin13°的结果等于() A。
13√2/2B。
3C。
2D。
2√3/27.函数f(x)=sinx(cosx-sinx)的最小正周期是()A。
π/4B。
π/2C。
πD。
2π8.函数f(x)=2sin^2(π/4+x)-3cos^2x(π/4≤x≤2)的最大值为() A。
2B。
3C。
2+3D。
2-39.为了得到函数y=sin(2x-π/3)的图像，只需把函数y=sin(2x+π/6)的图像()A.向左平移π/4个长度单位B.向右平移π/4个长度单位C.向左平移π/2个长度单位D.向右平移π/2个长度单位10.函数y=sinxsin(x+π/3)+cosxcos2x的最大值和最小正周期分别为()A.1,πB.2,2πC.1+3√3/2,πD.2+2√3/3,2π11.函数y=sin2x+3cos2x-的最小正周期等于()A.πB.2πC.π/4D.π/212.若cos(3π-x)-3cos(x+π/4)=,则tan(x+π/4)等于()A.-B.-2C.D.213.将函数y=3cosx+sinx(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是()A.5π/2B.3π/5C.2π/5D.π/514.若sin(-α) = 1/3，则cos(2α)的值为 -43/3.15.若f(x) = 2tan(x/2) - 1，则f(π/4)的值为 4/3.16.已知α∈(π/2,π)，sinα + cosα = -1，则tan(α+π/4)等于 -7.17.若cosθ = 2/5，sinθ = -2/5，则角θ的终边所在的直线为24x + 7y = 0.18.已知锐角α的终边上一点P(sin40°,1+cos40°)，则锐角α的度数为 50°。
高中数学三角恒等变换习题及答案
第三章 三角恒等变换一、选择题1．函数y ＝sin α＋cos α⎪⎭⎫ ⎝⎛2π ＜ ＜ 0α的值域为( )．A ．(0，1)B ．(－1，1)C ．(1，2]D ．(－1，2)2．若0＜α＜β＜4π，sin α＋cos α＝a ，sin β＋cos β＝b ，则( )． A ．a ＜bB ．a ＞bC ．ab ＜1D ．ab ＞23．若θθtan ＋2tan 1－＝1，则θθ2sin ＋12cos 的值为( )．A ．3B ．－3C ．－2D ．－214．已知 α∈⎪⎭⎫⎝⎛2π3 ，π，并且sin α＝－2524，则tan 2α等于( )． A ．34 B ．43 C ．－43 D ．－345．已知tan (α＋β)＝3，tan (α－β)＝5，则tan 2α＝( )． A ．－47B ．47 C ．－74 D ．74 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＞sin A sin B ，则该三角形是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．锐角或直角三角形7．若0＜α＜2π＜β＜π，且cos β＝－31，sin (α＋β)＝97，则sin α 的值是( )．A ．271B ．275C ．31D ．2723 8．若cos (α＋β)·cos (α－β)＝31，则cos 2 α－sin 2 β 的值是( )．A ．－32B ．31C ．－31D ．32 9．锐角三角形的内角A ，B 满足tan A －A 2sin 1＝tan B ，则有( )． A ．sin 2A －cos B ＝0 B ．sin 2A ＋cos B ＝0 C ．sin 2A －sin B ＝0D ．sin 2A ＋sin B ＝010．函数f (x )＝sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛4π＋x －sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛4π－x 是( )．A ．周期为 π 的偶函数B ．周期为π 的奇函数C ．周期为2 π的偶函数D ．周期为2π的奇函数二、填空题 11．已知设α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2π,0，若sin α＝53，则2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα＝ ． 12．sin 50°(1＋3tan 10°)的值为 ． 13．已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα＋sin α＝534，则sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6π7α的值是 ． 14．已知tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4π＝21，则ααα2cos ＋1cos －2sin 2的值为 ．15．已知tan α＝2，则cos ⎪⎭⎫⎝⎛2π3＋2α的值等于 ． 16．sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4πsin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α － 4π＝61，α∈⎪⎭⎫⎝⎛ π，2π，则sin 4α 的值为 ．三、解答题17．求cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°的值．18．求值：①(tan10°－3)︒︒50sin 10cos ； ②︒︒︒20cos 20sin －10cos 2．19．已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛x ＋ 4π＝53，127π＜x ＜47π，求x x x tan －1sin 2＋2sin 2的值．20．若sin α＝55，sin β＝1010，且α，β 均为钝角，求α＋β 的值.参考答案一、选择题 1．C解析：∵ sin α＋cos α＝2sin (α＋4π)，又 α∈(0，2π)，∴ 值域为(1，2]． 2．A解析：∵ a ＝2sin (α＋4π)，b ＝2sin (β＋4π)，又4π＜α＋4π＜β＋4π＜2π． 而y ＝sin x 在［0，2π］上单调递增，∴ sin (α＋4π)＜sin (β＋4π)．即a ＜b ．3．A 解析：由θθtan ＋2tan 1－＝1，解得tan θ＝－21，∴ θθ2sin ＋12cos ＝222sin ＋ cos sin － cos )(θθθθ＝θθθθsin ＋ cos sin － cos ＝θθ tan ＋ 1 tan － 1＝⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛21 － ＋ 121 － － 1＝3． 4．D解析：sin α＝－2524，α∈(π，2π3)，∴ cos α＝－257，可知tan α＝724． 又tan α＝2tan － 12tan22αα＝724． 即12 tan 22α＋7 tan 2α－12＝0． 又 2α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛4π ，2π，可解得 tan 2α＝－34． 5．C解析：tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]＝)－()＋(－)－()＋＋(βαβαβαβαtan tan 1tan tan ＝－74．6．C解析：由cos A cos B ＞sin A sin B ，得cos (A ＋B )＞0⇒cos C ＜0， ∴ △ABC 为钝角三角形． 7．C解析：由0＜α＜2π＜β＜π，知2π＜α＋β＜23 π 且cos β＝－31，sin (α＋β)＝97，得sin β＝322，cos (α＋β)＝－924． ∴ sin α＝sin [(α＋β)－β]＝sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)sin β＝31．8．B解析：由cos (α＋β)·cos (α－β)＝31，得cos 2α cos 2 β－sin 2α sin 2 β＝31，即cos 2 α(1－sin 2 β)－(1－cos 2 α)sin 2 β＝31，∴ cos 2 α－sin 2 β＝31．9．A解析：由tan A －A 2sin 1＝tanB ，得A 2sin 1＝tan A －tan B ⇒A A cos sin 21＝BA B A cos cos －sin )(⇒cos B ＝2sin A sin (A －B )⇒cos [(A －B )－A ]＝2sin A sin (A －B ) ⇒cos (A －B )cos A －sin A sin (A －B )＝0，即cos (2A －B )＝0．∵ △ABC 是锐角三角形， ∴ －2π＜2A －B ＜π， ∴ 2A －B ＝2π⇒sin 2A ＝cos B ，即sin 2A －cos B ＝0． 10．B解析：由sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛4π－x ＝sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛x －4π＝cos 2⎪⎭⎫⎝⎛x ＋4π，得f (x )＝sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛4π＋x －cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛x ＋4π＝－cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛2π＋2x ＝sin 2x ．二、填空题 11．15． 解析：由α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2π,0，sin α＝53得cos α＝54，2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα＝cos α－sin α＝51． 12．1．解析：sin50°(1＋3tan10°) ＝sin50°·︒︒︒10cos 10sin 3＋10cos＝sin50°·︒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒︒10 cos 10sin 23＋10 cos 212＝sin50°·︒︒10cos 50cos 2＝︒︒10cos 100sin ＝︒︒10cos 10cos ＝1． 13．－45． 解析：cos ⎪⎭⎫⎝⎛-6πα＋sin α＝23cos α＋21sin α＋sin α ＝23( cos α＋3sin α)＝534， 所以cos α＋3sin α＝58． sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6π7α＝sin αcos6π7＋cos αsin 6π7 ＝－23sin α－21cos α＝－21(3sin α＋cos α)＝－54． 14．－65． 解析：由tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4π＝ααtan 4πtan －1tan ＋4πtan ＝ααtan －1tan ＋1＝21，解得tan α＝－31，∴ ααα2cos ＋1cos －2sin 2＝αααα22cos 2cos －cos sin 2 ＝αααcos 2cos －sin 2＝tan α－21 ＝－31－21＝－65． 15．45． 解析：tan α＝ααcos sin ＝2，sin α＝2cos α．又sin 2 α＋cos 2 α＝1， 所以sin 2 α＝54，又cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2π32α＝sin 2α＝2sin αcos α＝sin 2α＝54． 16．－924． 解析：∵ sin ⎪⎭⎫⎝⎛α － 4π＝sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4π － 2π＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4π，∴ sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4πsin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α － 4π＝61⇒sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4πcos ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4π＝61⇒sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α2 ＋ 2π＝31．∴ cos 2α＝31，又 α∈(2π，π)，∴ 2α∈(π，2π)．∵ sin 2α＝－α2cos －12＝－322， ∴ sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝－924． 三、解答题17．解：cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°＝cos 43°cos 77°－sin 43°sin 77° ＝cos (43°＋77°)＝cos 120°＝－21． 18．①解法1： 原式＝(tan 10°－tan 60°)︒︒50sin 10cos ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛︒︒︒︒cos60sin60 － cos10sin10︒︒50sin 10cos ＝︒︒︒60cos 10cos 50－sin )(·︒︒50sin 10cos＝－2． 解法2：原式＝⎪⎭⎫ ⎝⎛︒︒3 － cos10sin10︒︒50sin 10cos ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒︒︒cos10cos103－sin10︒︒50sin 10cos ＝︒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒︒50 sin 10 cos 23－10 sin 212 ＝︒︒︒50sin 60－10sin 2 )(＝－2． ②解：原式＝︒︒︒︒20cos 20sin －20－30cos 2 )(＝︒︒︒︒︒︒20cos 20sin －20sin 30sin 2＋20cos 30cos 2＝︒︒︒20cos 20cos 30cos 2＝3．19．解：∵127π＜x ＜47π，∴ 65π＜4π＋x ＜2π．又cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛x ＋ 4π＝53＞0，∴ 23π＜4π＋x ＜2π，∴ sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛x ＋ 4π＝－54，tan ⎪⎭⎫⎝⎛x ＋ 4π＝－34．又 sin 2x ＝－cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛x 2 ＋ 2π＝－cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛x ＋ 4π＝－2cos 2⎪⎭⎫⎝⎛x ＋ 4π＋1＝257，∴ 原式＝xx xx cos sin －1sin 2＋2sin 2＝x x x x x x sin －cos cos sin 2＋cos 2sin 2＝xx x x x sin －cos sin ＋cos 2sin )(＝xx x tan －1tan ＋12sin )(＝sin 2x ·tan (4π＋x ) ＝－7528．20．解：∵ α，β 均为钝角且sin α＝55，sin β＝1010， ∴ cos α＝－α2sin 1-＝－552，cos β＝－β2sin 1-＝－10103， ∴ cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-552×⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1010355-×1010＝22．又 2π＜α＜π， 2π＜β＜π，∴ π＜α＋β＜2π，则α＋β＝4π7．。
高中数学 第五章 三角函数 5.5 三角恒等变换 5.5.2 简单的三角恒等变换精品练习(含解析)新
5.5.2 简单的三角恒等变换知识点三 三角恒等变换的应用7.函数y ＝cos 2ωx －sin 2ωx (ω>0)的最小正周期是π，则函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，9π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π48．在△ABC 中，求证：tan A 2tan B 2＋tan B 2tan C 2＋tan C 2tan A2＝1.9．如图所示，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB 的周长最大？关键能力综合练 一、选择题1．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4等于( )A.1＋a 2 B.1－a2 C ．－21＋a2D ．－21－a22．若2sin x ＝1＋cos x ，则tan x2的值等于( )A.12B.12或不存在学科素养升级练1．(多选题)对于函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，给出下列选项其中不正确的是( )A ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称B ．存在α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，使f (α)＝1C ．存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，使函数f (x ＋α)的图象关于y 轴对称D ．存在α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，使f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立 2．已知A ＋B ＝2π3，那么cos 2A ＋cos 2B 的最大值是________，最小值是________．3．(学科素养—数学建模)如图所示，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，四边形ABCD 是扇形的内接矩形，B ，C 两点在圆弧上，OE 是∠POQ 的平分线，E 在PQ 上，连接OC ，记∠COE ＝α，则角α为何值时矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积．5．5.2 简单的三角恒等变换必备知识基础练1．解析：∵3π<θ<7π2，sin θ＝－35，∴cos θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45，∵3π<θ<7π2，∴3π2<θ2<7π4.则tan θ2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－1＋451－45＝－3. 答案：B2．解析：因为2π<θ<3π，所以π<θ2<3π2.又cos θ＝m ，所以sin θ2＝－1－cos θ2＝－1－m2，故选A. 答案：A3．解析：y ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π62＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62－1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝12sin 2x ，是奇函数．故选A.答案：A4．解析：f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，所以函数f (x )的值域为[－3，3]，故选B. 答案：B5．解析：∵f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.∴f (x )∈[－2,2]． 答案：[－2,2]6．解析：(1)2(cos x －sin x )＝2×2⎝⎛⎭⎪⎫22cos x －22sin x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4cos x －sin π4sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .(2)315sin x ＋35cos x ＝65⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x＝65⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3sin x ＋cos π3cos x ＝65cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.7．解析：y ＝cos 2ωx －sin 2ωx ＝cos 2ωx (ω>0)， 因为函数的最小正周期为π，故2π2ω＝π，所以ω＝1.则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. 由2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝1时，函数的一个单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，9π4.答案：B8．证明：∵A ，B ，C 是△ABC 的三个内角， ∴A ＋B ＋C ＝π，从而有A ＋C 2＝π2－B2.左边＝tan B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫tan A2＋tan C 2＋tan A 2tan C2＝tan B 2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－tan A 2tan C 2＋tan A 2tan C2＝tan B 2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－tan A 2tan C 2＋tan A 2tan C2＝1－tan A 2tan C 2＋tan A 2tan C2＝1＝右边， ∴等式成立．9.解析：设∠AOB ＝α，则0<α<π2，△OAB 的周长为l ，则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α， ∴l ＝OA ＋AB ＋OB ＝R ＋R sin α＋R cos α ＝R (sin α＋cos α)＋R ＝2R sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋R . ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4.∴l 的最大值为2R ＋R ＝(2＋1)R ， 此时，α＋π4＝π2，即α＝π4，即当α＝π4时，△OAB 的周长最大．关键能力综合练1．解析：若5π<θ<6π，则5π4<θ4<3π2，则sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2＝－21－a2. 答案：D2．解析：由已知得sin x 1＋cos x ＝12，tan x2＝sinx2cosx2＝2sin x 2cosx22cos 2x 2＝sin x 1＋cos x ＝12.当x ＝π＋2k π，k ∈Z 时，tan x2不存在．答案：B3．解析：由题意可知，a ＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，而当0°<x <90°，y ＝sin x 为增函数，∴a <c <b ，故选C.答案：C 4．解析：cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1.∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝π2， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.故选A.答案：A5．解析：由cos α＝－45，α是第三象限角，可得sin α＝－1－cos 2α＝－35.所以1＋tan α21－tan α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.答案：A6．解析：f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴f (x )min ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋a ＋1＝－4. ∴a ＝－4. 答案：C7．解析：1＋sin 2＝sin 21＋cos 21＋2sin 1cos 1 ＝sin 1＋cos 12＝|sin 1＋cos 1|，因为1∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin 1>0，cos 1>0，则1＋sin 2＝sin 1＋cos 1. 答案：sin 1＋cos 18．解析：由25sin 2θ＋sin θ－24＝0， 又θ是第二象限角，得sin θ＝2425或sin θ＝－1(舍去)．故cos θ＝－1－sin 2θ＝－725，由cos2θ2＝1＋cos θ2得cos2θ2＝925. 又θ2是第一、三象限角，所以cos θ2＝±35.答案：±359．解析：y ＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝1－cos 2x 2＋sin 2x 2＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32.最小正周期T ＝2π2＝π.令－π2＋2k π<2x －π4<π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π8＋k π<x <3π8＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )．答案：π ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z10．证明：左边＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x ＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x1＋cos x ＝sin x 1＋cos x ＝2sin x 2cosx22cos2x 2＝tan x2＝右边． 所以原等式成立．学科素养升级练1．解析：函数f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，对于A ：函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，当x ＝π6时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π3＝2，不能得到函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称．∴A 不对．对于B ：α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，可得α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3，f (α)∈(3，2]，不存在f (α)＝1.∴B 不对．对于C ：函数f (x ＋α)的对称轴方程为：x ＋α＋π3＝π2＋k π，可得x ＝k π＋π6－α(k ∈Z )，当k ＝0，α＝π6时，可得图象关于y 轴对称．∴C 对．对于D ：f (x ＋α)＝f (x ＋3α)说明2α是函数的周期，函数f (x )的周期为2π，故α＝π，∴不存在α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，使f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立，∴D 不对．故选A ，B ，D.答案：ABD2．解析：∵A ＋B ＝2π3，∴cos 2A ＋cos 2B ＝12(1＋cos 2A ＋1＋cos 2B )＝1＋12(cos 2A ＋cos 2B )＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B )＝1＋cos 2π3·cos(A －B )＝1－12cos(A －B )，∴当cos(A －B )＝－1时， 原式取得最大值32；当cos(A －B )＝1时，原式取得最小值12.答案：32123.word - 11 - / 11解析：如图所示， 设OE 交AD 于M ，交BC 于N ，显然矩形ABCD 关于OE 对称，而M ，N 分别为AD ，BC 的中点，在Rt△ONC 中，＝sin α，ON ＝cos α，OM ＝DM tan π6＝3DM ＝3＝3sin α， 所以MN ＝ON －OM ＝cos α－3sin α，即AB ＝cos α－3sin α，而BC ＝2＝2sin α，故S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝()cos α－3sin α·2sin α＝2sin αcos α－23sin 2α＝sin 2α－3(1－cos 2α)＝sin 2α＋3cos 2α－3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2α＋32cos 2α－ 3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－ 3.因为0<α<π6，所以0<2α<π3，π3<2α＋π3<2π3.故当2α＋π3＝π2，即α＝π12时，S 矩形ABCD 取得最大值，此时S 矩形ABCD ＝2－ 3.。
《三角恒等变换》经典单元测试题
《三角恒等变换》单元练习题一、选择题（共10题，每题4分，共40分）1．已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ）A ．247B ．247- C ．724 D ．724-2. 已知x 为第三象限角，化简=-x 2cos 1（ ） A. x sin 2 B. x sin 2- C. x cos 2 D. x cos 2-3．在△A BC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法判定4．设00sin14cos14a =+，00sin16cos16b =+，c =，则,,a b c 大小关系（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．a c b <<5．函数)cos[2()]y x x ππ=-+是（ ）A.周期为4π的奇函数 B.周期为4π的偶函数C.周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数6．已知cos 23θ=，则44sin cos θθ+的值为（ ）A ．1813B ．1811C ．97D ．1-7. 已知θ是第三象限的角,若445sin cos 9θθ+=,则sin 2θ等于( )B. 23 D. 23-8．0000(1tan 21)(1tan 22)(1tan 23)(1tan 24)++++ 的值是( )A. 16B. 8C. 4D. 29．求值12cos 12sin 22ππ-=（ ）A ．1B ．21C ．21- D ．23-10．000016cos 46cos 46sin 16sin +=（ ） A.23 B.22 C.21 D.1 二、填空题（共5题，每题4分，共20分）11．求值：0000tan 20tan 4020tan 40+=_____________。
12．当40π≤≤x 时,函数1cos 22sin 22)(++=x x x f 的最大值是 最小值是 ,13．函数x x x x f cos sin 32cos 21)(-=的最小正周期是___________。
高中数学专题《三角恒等变换》真题练习
5.5三角恒等变换（基础+提升+拔高）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2021·山西省长治市第二中学校高三月考（文））若角π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则cos θθ的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ．[0,2]C ．[1,2]-D ．[1,2]2．（2021·全国·高一课时练习）已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若()3sin 5αβ+=-，5cos 13β=-，则sin α的值为（ ）A ．1665B ．3365C ．5665D ．63653．（2021·浙江·宁波市北仑中学高一期中）已知11tan(),tan ,,(0,)27αββαβπ-==-∈，则2αβ-=（ ）A ．34π-B ．4π-C ．4π D ．54π4．（2021·福建宁德·高三期中）已知1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos(2)3πα-=（ ）A ．79-B ．79C ．29-D ．295．（2021·全国·高三月考（文））已知1sin 263θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．79-B ．79C． D6．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））中国古代数学家赵爽设计的弦图（如图1）是由四个全等的直角三角形拼成，四个全等的直角三角形也可拼成图2所示的菱形，已知弦图中，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则图2中菱形的一个锐角的余弦值为（ ）A ．725B ．35C ．45D ．24257．（2021·新疆喀什·模拟预测）已知角θ满足()sin cos sin cos θθθθ+=3tan 28θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．12BC．D ．1-8．（2021·福建·福清西山学校高三期中）若tan 2x =，则2sin 2sin cos 2sin sin2x x x xx --=（ ）A ．45B ．45-C ．85D ．85-9．（2021·广东顺德·一模）cos1875︒=（ ）A B C D 10．（2021·天津二十中高三月考）已知函数()sin2sin 213f x x x π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的有（ ）个①()()33ππ+=-f x f x ；①,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心； ①任取方程()1f x =的两个根1x ，2x ，则12x x -是π的整数倍； ①对于任意的123,,0,4x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()123f x f x f x +恒成立.A ．1B ．2C ．3D ．411．（2021·安徽·六安一中高三月考（理））在平面直角坐标系xOy 中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O 交于点00(,)P x y ，若π4cos()65α+=，则 0x =（ ）A B C D 12．（2019·西藏·拉萨中学高二月考（文））在ABC 中，已知cos cos b A a B =，判断ABC 的形状（ ） A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形13．（2021·浙江·宁波市北仑中学高一期中）当0x x =时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则0tan x =（ ） A ．12B ．2C ．12-D ．2-14．（2021·安徽·六安一中高三月考（文））已知函数2()sin 22cos 1f x x x =+-，下列四个结论正确的是（ ） A ．函数()f x 在区间3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数 B ．点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心C ．函数()f x 的图象可以由函数2y x =的图象向左平移4π个单位长度得到D ．若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的值域为15．（2021·广西桂林·模拟预测（理））在同一平面直角坐标系中，画出三个函数()sin 2cos 2f x x x =+，5()sin 2g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π，()co 7s h x x ⎛⎫=- ⎝π⎪⎭的部分图象如图所示，则（ ）A ．a 为()f x 的图象，b 为()g x 的图象，c 为()h x 的图象B ．a 为()h x 的图象，b 为()f x 的图象，c 为()g x 的图象C ．a 为()g x 的图象，b 为()f x 的图象，c 为()h x 的图象D ．a 为()h x 的图象，b 为()g x 的图象，c 为()f x 的图象16．（2021·云南大理·模拟预测（理））已知,,0,,sin sin sin ,cos cos cos 2παβγαγββγα⎛⎫∈+=+= ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．1cos()3βα-=-B ．1cos()3βα-=C ．3πβα-=-D ．3πβα-=17．（2021·全国·高三月考）已知函数()()2sin ),2(f x x o πωϕωϕ=+>≤图象相邻两条对称轴间的距离为π，且对任意实数x ，都有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．将函数()y f x =图象向左平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则关于函数()()y f x g x =+描述不正确的是（ ）A ．最小正周期是2πBC ．函数在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．图象关于直线4x π=对称18．（2021·全国·高三月考（理））已知(0,)απ∈，且2cos2cos 1αα+=，则tan α=（ ）A B ．53C D 19．（2021·陕西·西安中学高三期中（理））已知31sin()23πα+=，则cos2α=（ ） A ．79-B ．79C ．13-D ．1320．（2021·河南·高三月考（文））将函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则函数()cos2y g x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A B ．2-C ．D ．32-21．（2021·上海市延安中学高一期中）当函数3cos 4sin y x x =-取得最大值时，tan x 的值是（ ）A ．43B ．34C ．43-D ．34-22．（2021·贵州遵义·高三月考（文））已知函数()()cos 33f x a x x a ππ⎛⎫⎛⎫=-+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 是偶函数.若将曲线()2y f x =向左平移12π个单位长度后，再向上平移1个单位长度得到曲线()y g x =，若关于x 的方程()g x m =在70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个不相等实根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[)0,3C ．[)2,3D ．)1,323．（2021·全国·高一单元测试）已知ABC ，则“sin cos A B >”是“tan tan 1A B >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件24．（2021·安徽淮南·一模（理））在平面直角坐标系xOy 中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O 交于点P (x 0，y 0)，若cos(6πα+)=45，则x 0=（ ）A B C D 25．（2021·全国·高一单元测试）在ABC 中，已知()2sin sin sin sin A B C C θλ-=，其中1tan 3θ=（其中π02θ<<），若112tan tan tan A B C++为定值，则实数λ的值是（ ）A B C D26．（2020·黑龙江齐齐哈尔·高一期中）设锐角ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若,3A a π==，则2b 2c bc ++的取值范围为（ ）A ．(1，9]B ．(3，9]C ．(5，9]D ．(7，9]27．（2021·江西·浮梁县第一中学高一期中）已知把函数()πsin cos 3f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π3个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若()()1214g x g x ⋅=，若1x ，[]2π,πx ∈-，则12x x -的最大值为（ ） A ．πB ．3π4C ．3π2D ．2π28．（2021·上海·高一课时练习）若24sin 3k x x k -=+，则k 的取值范围是（ ） A ．13,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．()3,-+∞D ．()1,33,2⎛⎤-∞--- ⎥⎝⎦29．（2020·浙江·台州市新桥中学高三月考）已知,x y R +∈，满足21x y +=，则x 的最小值为（ ）A ．45B ．25C ．1 D30．（2022·上海·高三专题练习）在ABC 中，若sin A =cos B C 的取值范围是（ ） A ．(0,1] B ．(0,1](2,5] C ．3(0,1](2,5]2D ．以上答案都不对二、多选题31．（2021·广东·湛江二十一中高三月考）已知sin 3cos 3cos sin αααα+=-5，下列计算结果正确的是（ ）A ．1tan 2α=B ．tan α=2C ．213cos sin225αα+=D ．26sin cos25αα-=32．（2021·湖北·高三期中）已知函数()22sin f x x =，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 是奇函数C ．()f x 的单调递增区间为,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，k ∈ZD ．()f x 的图象关于点,14π⎛⎫⎪⎝⎭对称33．（2021·山东省实验中学高三月考）下列式子正确的是（ ）A ．sin15cos15+︒︒=B ．cos 75︒=C ．2tan 151︒+︒=D ．tan12tan33tan12tan331︒+︒+︒︒=34．（2021·浙江·宁波市北仑中学高一期中）在①ABC 中，3sin 4cos 6,3cos 4sin 1A B A B +=+=，则C 的大小不可能为（ ） A ．6πB ．3π C ．23πD ．56π35．（2021·福建宁德·高三期中）已知函数()2sin 2x x f x =+ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．曲线()f x 关于,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．曲线()f x 关于6x π=对称36．（2021·湖南· ）A B ．22cos sin 1212ππ-C ．cos15 sin 45 sin15cos45︒︒-︒︒D ．2tan151tan 15︒-︒37．（2021·江苏扬州·高三月考）已知函数()|||cos |f x x x =+，下列说法正确的有（ ）A ．函数()f x 在27[,]36ππ上单调递减B ．函数()f x 是最小正周期为2π的周期函数C ．若12m <<，则方程()=f x m 在区间[0,]π内，最多有4个不同的根D ．函数()f x 在区间[10,10]-内，共有6个零点38．（2021·浙江·高二开学考试）设ABC 中角A ，B ，C 所对应的边长度分别为a ，b ，c ，满足sin 2:sin 2:sin 24:5:6A B C =，则以下说法中正确的有（ ）A ．ABC 为钝角三角形B ．若a 确定，则ABC 的面积确定 C ．3cos 24A =-D ．sin :sin :sin 5:A B C =39．（2021·江苏南京·三模）已知函数()3sin 24cos 2f x x x =+，()()|()|g x f x f x =+.若存在0x R ∈，使得对任意x ∈R ，()0()f x f x ≥，则（ ）A ．任意()()00,x R f x x f x x ∈+=-B ．任意0,()2x R f x f x π⎛⎫∈≤+ ⎪⎝⎭C ．存在0θ>，使得()g x 在()00,x x θ+上有且仅有2个零点D ．存在512πθ>-，使得()g x 在005,12x x πθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减 40．（2021·广东实验中学高一期末）已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中, a b R ∈，且的0ab ≠，若()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，则（ ） A ．56f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．5()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭是奇函数D ．4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数三、填空题41．（2021·全国·高一课时练习）若sin 2θθ=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则θ=________．42．（2021·全国·高一课时练习）化简：44sin cos cos 2ααα-=________．43．（2021·全国·高一课时练习）sin 21cos39cos21sin39︒︒+︒︒=________． 44．（2020·北京八中高三期中）若角α的终边过点()2,1，则cos2α的值为______．45．（2020·陕西·泾阳县教育局教学研究室高三期中（理））若1tan 2θ=，则2cos sin 2θθ+=___________.46．（2021·贵州·凯里一中高二期中（理））2()2sin cos 2cos 1(0)f x x x x ωωωω=+->有五条顺次相邻的对称轴，首尾两条对称之间的距离是π，则()f x 的最小正周期是_______．47．（2021·河南·高二月考（文））已知函数()sin 2cos f x x x =+在x θ=时取得最大值，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.48．（2021·广西·罗城仫佬族自治县高级中学高二开学考试）若tan 2α=，则2cos 2sin 22αα+-=______． 49．（2021·北京·东直门中学高三期中）若sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭35=，则sin 2α = _____________．50．（2021·广东·湛江二十一中高三月考）若33sin π3sin π44x x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2sin 2sin cos 2sin cos2x x x xx ++=__________． 51．（2021·安徽·六安一中高三月考（理））已知1sin 3α=，1cos()65πβ+=，5,(0,)4παβ∈，则cos()3παβ-+=________. 52．（2021·全国·高一课时练习）已知3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若4cos 5α=，则cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．53．（2021·宁夏·吴忠中学高三月考（理））当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式sin (cos )2m x x x m <+恒成立，则实数m 的取值范围为____．54．（2021·北京市第十三中学高三期中）若点(cos ,sin )A θθ关于x 轴对称点为(cos(),sin())33B ππθθ++，则θ的一个取值为_____.55．（2021·河南·高二期中（理））已知函数()sin 2cos f x x x =-在x θ=时取得最大值，则tan 24πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.56．（2021·天津二中高三期中）已知()()()sin 2πωx φωx φf x φ⎛⎫=++< ⎪⎝⎭是奇函数，则ϕ=_______．57．（2021·黑龙江·高三期中（理））已知函数2()2sin 24f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．若关于x 的方程()2f x m -=在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，则实数m 的取值范围是________． 58．（2021·全国·高一课时练习）已知4cos 5θ=-，且tan 0θ>，则3cos tan 1sin θθθ-的值为______．59．（2021·广东顺德·高三月考）在①ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b ＝a cos C 12+c ，则角A 为_____．60．（2021·四川绵阳·高三月考（文））已知,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 13β=，若()3sin 2sin αβα+=，则()tan αβ+=______．61．（2021·云南大理·模拟预测（理））已知函数()sin ||cos |f x x x =-，则下列说法正确的有________．（将所有正确的序号填在答题卡横线上） ①π是函数()f x 的一个周期；①()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称；①()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减①()f x 的值域为[1,2]-．62．（2021·浙江省桐庐中学高一月考）()f x =________．63．（2020·上海市奉贤中学高三月考）在①ABC 中，已知2sin sin sin()sin A B C C θλ-=，其中1tan 022πθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭.若112tan tan tan A B C++为定值，则实数λ=_________. 64．（2021·广西南宁·模拟预测（理））已知函数()sin 2sin 3f x a x x b πωω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭的图象的相邻两个对称轴之间的距离为2π，且x R ∀∈恒有()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，若存在()()()123123,,0,,2x x x f x f x f x π⎡⎤∈+≤⎢⎥⎣⎦成立，则b 的取值范围为________．65．（2021·福建·高三月考）已知()f x 不是常数函数，写出一个同时具有下列四个性质的函数()f x ：___________.①定义域为R ；①()2f x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；①()21(2)2f x x f +=；①14f π⎛⎫≠- ⎪⎝⎭. 66．（2021·全国·高二单元测试）一直线过点()2,3A 且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于B 、C 两点，O 为坐标原点．则OB OC BC +-的最大值为__．67．（2021·上海市延安中学高一期中）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β的终边关于y 轴对称，若1sin 3α=，则cos()αβ-=_________68．（2021·江苏铜山·高一期中）已知函数22()2cos cos 2sin f x x x x x =+-，则函数()f x 的一条对称轴的方程为______.69．（2021·全国·高一单元测试）111sin 45sin 46sin 46sin 47sin89sin90++⋯+=︒︒︒︒︒︒___________.70．（2021·上海市实验学校高一期中）若[],x ππ∈-，则函数()f x =的值域为__________.四、解答题71．（2021·全国·高一课时练习）（1）求()()1tan11tan 44+︒+︒的值；（2）求()()()()()1tan11tan 21tan31tan 441tan 45+︒+︒+︒+︒+︒的值．72．（2021·全国·高一课时练习）设m为实数，已知sin 1m αα=-，求m 的取值范围． 73．（2021·全国·高一课时练习）已知函数22sin 2sin cos 3cos y x x x x =+-，x ∈R ． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的最大值．74．（2021·全国·高一课时练习）求函数cos 22cos 1y x x =-+的值域． 75．（2021·全国·高一课时练习）求下列各函数的周期和值域： （1）sin cos y x x =； （2）sin y x x +．76．（2021·全国·高一课时练习）求值：sin15cos5sin 20cos15cos5cos 20︒︒-︒︒︒-︒．77．（2021·全国·高一课时练习）如图，在等腰直角三角形ABC 中，90B ∠=︒，点E ，F 将BC 三等分，求EAF ∠，FAC ∠的正切值．78．（2021·全国·高一课时练习）已知α是第一象限角，且5cos 13α=，求()πsin 4cos 24παα⎛⎫+ ⎪⎝⎭+的值． 79．（2021·全国·高一课时练习）证明：（1）()()22sin sin sin sin αβαβαβ+-=-；（2）2222π4π3cos cos cos 332x x x ⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 80．（2021·全国·高一课时练习）已知3cos 5θ=-，且180270θ︒<<︒，求sin 2θ，cos 2θ的值．81．（2021·全国·高一课时练习）由倍角公式2cos 22cos 1x x =-，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．对于cos3x ，我们有()cos3cos 2cos2cos sin 2sin =+=-x x x x x x x()()22cos 1cos 2sin cos sin x x x x x =--()322cos cos 21cos cos x x x x =--- 34cos 3cos x x =-．可见cos3x 可以表示为cos x 的三次多项式．一般地，存在一个n 次多项式()n P t ，使得()cos cos n nx P x =，这些多项式()4P t 称为切比雪夫（P ．L ．Tschebyscheff ）多项式．请尝试求出()n P t ，即用一个cos x 的四次多项式来表示cos4x ．利用结论3cos34cos 3cos x x x =-，求出sin18︒的值．（提示：31890218⨯=︒-⨯︒︒）82．（2021·全国·高一课时练习）在ABC 中，已知tan tan tan tan 1A B A B ++=，求角C 的大小． 83．（2021·全国·高一课时练习）已知()2cos 23cos 0αββ++=，求()tan tan αβα+的值． 84．（2021·全国·高一课时练习）化简： （1）ππsin sin 44x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()()cos cos 120cos 120A A A +-+︒+︒； （3）sin 2cos 1cos 21cos αααα⋅++．85．（2021·全国·高一课时练习）已知sin α=α是第二象限角，且()tan 1αβ+=，求tan β的值． 86．（2021·全国·高一课时练习）证明：（1）()()()()cos cos cos cos sin sin sin sin αβγαβγαβγαβγ+-+=+-+； （2）1sin 21tan 1cos 2sin 22θθθθ++=++．87．（2021·安徽·六安一中高三月考（理））已知函数2()sin(2)4sin 2(0)6f x x x ωπωω=++->，其图象与x 轴相邻两个交点的距离为2π. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若将()f x 的图象向右平移(0)m m >个长度单位得到函数()g x 的图象恰好经过点5(,0)24π，求当m 取得最小值时，()g x 的单调区间和对称轴方程.88．（2021·全国·高一课时练习）证明：()()()()()()sin sin sin sin sin sin 0αβαββγβγγαγα+-++-++-=． 89．（2021·全国·高一课时练习）把1sin cos θθ++化成积的形式． 90．（2021·全国·高一课时练习）试用不同的方法求tan15的值．91．（2021·河南·高三月考（文））如图，在矩形ABCD 中，2,AB AD ==点E 为AB 的中点，,F G 分别为线段,AD BC 上的点，且,EF EG AEF θ⊥∠=．（1）若EFG 的周长为f，求f 的解析式及θ的取值范围；（2）求f 的最值． 92．（2021·湖北·高二月考）已知函数()53sin 22sin cos 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (1)解不等式()12f x ≥-； (2)若,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且()()4cos 43F x f x x πλ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭的最小值是32-，求实数λ的值.93．（2021·云南·高二月考）已知函数()23sin cos 2f x x x x =+. （1）求()f x 的单调递减区间；（2）0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，cos 03a x f x π⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，求a 的取值范围. 94．（2021·上海·高一专题练习）对于集合{}12,,,n A θθθ=⋅⋅⋅和常数0θ，定义：()()()22210200cos cos cos n n θθθθθθμ-+-++-=为集合A 相对0θ的“余弦方差”． （1）若集合ππ,34A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，00θ=，求集合A 相对0θ的“余弦方差”； （2）求证：集合π2π,,π33A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭相对任何常数0θ的“余弦方差”是一个与0θ无关的定值，并求此定值； （3）若集合π,,4A αβ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，[)0,πα∈，[)π,2πβ∈，相对任何常数0θ的“余弦方差”是一个与0θ无关的定值，求出α、β．95．（2021·江西·九江一中高一月考）已知函数()2sin cos f x x x x = （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()()()212h x f x g x =+在7,612x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域. 96．（2021·全国·高三专题练习）设πA B C ++=，求证：222sin sin 2sin sin cos sin B C B C A A +-=．97．（2021·全国·高三专题练习）已知0απ<<，0βπ<<，且()3cos cos cos 2αβαβ+-+=，求α、β的值.98．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））定义在(1,1)-上的函数)()22()log log 1aa f x a x =+--，若方程()0f x =恰有两个不等实根1x ，2x ，且12x x <，设2122()2g a x x x =--. （1）求函数()g a 的定义域；（2）证明：函数()g a 在定义域内为增函数.99．（2021·黑龙江齐齐哈尔·高一期末）依据《齐齐哈尔市城市总体规划（2011﹣2020）》，拟将我市建设成生态园林城、装备工业基地、绿色食品之都、历史文化名城．计划将图中四边形区域CDEF 建成生态园林城，CD ，DE ，EF ，FC 为主要道路（不考虑宽度）．已知90FCD ∠=︒，120CDE ∠=︒，333FE ED CD ===km ．（1）求道路CF 的长度；（2）如图所示，要建立一个观测站A ，并使得60FAC ∠=︒，AB DC ⊥，求AB 两地的最大距离．100．（2021·全国·高一课时练习）如图，某人身高1.73m ，他站的地点A 和云南大理文笔塔塔底O 在同水平线上，他直立时，测得塔顶M 的仰角22.8MCE ∠=︒（点E 在线段MO 上，忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.他沿线段AO 向塔前进100m 到达点B ，在点B 直立时，测得塔顶M 的仰角48.3MDE ∠=︒：塔尖MN 的视角 3.3MDN ∠=︒（N 是塔尖底，在线段MO 上）.（1）求塔高MO ；（2）此人在线段AO 上离点O 多远时，他直立看塔尖MN 的视角最大？说明理由.参考数据：sin 22.8sin 48.30.674sin 25.5︒︒=︒，tan 22.80.42125︒=，263.5967.460=⨯.。
三角恒等变换综合练习(解析版)
答案解析部分一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】如图：在Rt△OCB中，设∠COB=α，则OB=2cosα,BC=2sinα，在Rt△OAD中，DAOA=tan45°=1，所以OA=DA=2sinα，∴AB=OB−OA=2cosα−2sinα，设矩形A BCD的面积为S，则S=AB⋅BC=(2cosα−2sinα)⋅2sinα=4(12sin2α−sin2α)=2(sin2α+cos2α)−2=2√2sin(2α+π4)−2，由于0<α<π4，所以当α=π8时，S最大=2√2−2，故答案为：C【分析】如图先用所给的角将矩形的面积表示出来，建立三角函数模型，再根据所建立的模型，利用三角函数的性质求最值。
2.【答案】D【解析】【解答】由f(x)=sinωx+√3cosωx=2sin(ωx+π3)，由x=−5π6和x=π6为两条相邻的对称轴，所以周期T2=π6−(−5π6)=π，所以T=2πω=2π，解得ω=1.故答案为：D.【分析】直接由对称轴得半周期为π，再利用周期公式求解即可。
3.【答案】D【解析】【解答】y=sinx−√3cosx=2sin(x−π3)，将函数的图像沿x轴向右平移m(m>0)个单位长度，可得y=2sin(x−m−π3)，此函数图像关于y轴对称，则−m−π3=kπ+π2(k∈Z)，解得m=−kπ−5π6(k∈Z)，因为m>0，则当k=−1时，m取得最小值π6，故答案为：D。
【分析】利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用图象的平移变换结合图象的对称性，从而推出函数图像关于y轴对称，再利用函数图象的对称性，从而求出m=−kπ−5π6(k∈Z)，因为m>0，则当k=−1时，从而求出m的最小值。
4.【答案】D【解析】【解答】解：由辅助角公式得：f(x)=√a2+b2sin(2x+φ)，由f(x)≤f(π6)恒成立，得2×π6+φ=2kπ+π2(k∈Z)，所以φ=2kπ+π6(k∈Z)，取φ=π6，从而f(x)=√a2+b2sin(2x+π6)，由f(11π12)=0得①正确，由2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)得kπ−π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)，所以函数的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k∈Z)，②不正确，根据正弦函数的奇偶性易得③显然正确，由2x+π6=kπ+π2(k∈Z)，得对称轴为x=kπ2+π6(k∈Z)，④正确，故答案为：D．【分析】利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再由f(x)≤f(π6)恒成立，得出φ的值，从而求出正弦型函数的解析式，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的对称点和对称轴，并判断出正弦型函数的单调性，从而求出对应的单调递增区间，再利用奇函数和偶函数的定义判断出正弦型函数的奇偶性，从而找出说法正确的序号。
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三角恒等变换练习题一一、选择题1．(2014年太原模拟)已知53)2sin(=+θπ,则=-)2(cos θπ( )A.2512 B ．2512- C ．257- D. 257 2．若54cos -=α,且α在第二象限内，则)42cos(πα+为( )A ．50231-B. 50231 C ．50217- D. 50217 3．(2013年高考浙江卷)已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan ( ) A. 34 B. 43 C ．34- D ．43-4．已知),0(,2cos sin πααα∈=-,则=α2sin ( ) A ．1- B ．22-C. 22D ．1 5．(2014年云南模拟)已知53)4sin(=-πx ,则x 2sin 的值为( )A ．257-B. 257C. 259D. 25166．计算︒︒-︒︒13sin 43cos 13cos 43sin 的结果等于( )A. 21B.33C.22D.237．函数)sin (cos sin )(x x x x f -=的最小正周期是( ) A.4π B. 2πC ．πD ．π2 8．(2014年郑州模拟)函数)24(2cos 3)4(sin 2)(2πππ≤≤-+=x x x x f 的最大值为( )A ．2B ． 3C ．32+D ．32-9.（2010理）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像( )A. 向左平移4π个长度单位B. 向右平移4π个长度单位C. 向左平移2π个长度单位 D. 向右平移2π个长度单位 10．函数x x x y 2cos 32sin )2sin(sin ππ++=的最大值和最小正周期分别为( )A ．π,1B ．π2,2 C. π2,2 D.π,231+ 11．函数23cos 32sin 212-+=x x y 的最小正周期等于( )A ．πB ．π2 C.4πD.2π 12．若0)2cos(3)3cos(=+--ππx x ,则)4tan(π+x 等于( )A ．21-B ．2- C. 21D ．213．(2013年高考湖北卷)将函数)(sin cos 3R x x x y ∈+=的图象向左平移)0(>m m 个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.12π B. 6π C. 3π D. 65π 14．(2014年山西大学附中模拟)若31)6sin(=-απ，则=+)232cos(απ( )A ．97-B ．31- C. 31 D. 9715．若2cos 2sin 12sin 2tan 2)(2x x xx x f --=，则)12(πf 的值为( ) A ．334-B ．8C ．34D ．34- 16．(2014年太原模拟)已知51cos sin ),,2(-=+∈ααππα,则)4tan(πα+等于( )A ．7B ．7- C.71 D ．71- 17．(2014年郑州模拟)若542sin ,532cos -==θθ，则角θ的终边所在的直线为( )A ．0247=+y xB ．0247=-y xC ．0724=+y xD ．0724=-y x 18．(2014年南阳一模)已知锐角α的终边上一点)40cos 1,40(sin ︒+︒P ,则锐角=α( )A ．︒80B ．︒70C ．︒20D ．︒10 19．已知1010sin ,55sin ==βα,且βα,都是锐角,则=+βα( ) A ．︒30 B ．︒45 C ．︒45或︒135 D ． ︒13520．已知21)4tan(=+πα,且02<<-απ,则=-+)4cos(2sin sin 22πααα( ) A ．552-B ．1053-C ．10103- D. 552 21．(2014年合肥模拟)已知534sin )6(cos =+-ααπ,则)67sin(πα+的值是( )A ．532-B. 532C. 54 D ．54- 22．已知2524sin -=α,则2tan α等于( )A ．43-B ．34-C ．43-或34- D. 43或3423．已知)0,(,2sin cos πααα-∈=-,则=αtan ( ) A ．1- B ．22- C. 22D ．1 24．(2014年嘉兴一模)︒︒-︒70sin 20sin 10cos 2的值是( )A. 21B. 23C. 3D. 225．(2014年六盘水模拟)已知31)cos(,31cos -=+=βαα,且)2,0(,πβα∈,则)cos(βα-的值等于( )A ．21- B. 21 C ．31- D. 272326．函数x x x f sin 2cos 6)(-=取得最大值时x 的可能取值是( ) A ．π- B ．2π- C ．6π- D ．π2 二、填空题1．为了得到函数1)cos sin 3(cos 2)(+-=x x x x f 的图象,需将函数x y 2sin 2=的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位，则ϕ的最小值为 ． 2．函数x x x x f 2cos 3cos sin )(-=的值域为 ．3．化简=︒︒-︒80cos 10cos 2135sin 2 . 4. (2013年高考江西卷)函数x x y 2sin 322sin +=的最小正周期T 为 ． 5．(2014年济南模拟)已知0cos 3sin =-αα,则=-ααα22sin cos 2sin .6．(2014年南昌模拟)已知点)43cos ,43(sin ππP 落在角θ的终边上，且)2,0[πθ∈，则)3tan(πθ+的值为 .7．(2013年高考四川卷)设),2(,sin 2sin ππααα∈-=，则α2tan 的值是 .8．(2014年成都模拟)已知32cos sin =+αα,则α2sin 的值为 . 9．化简=︒︒-︒80cos 10cos 2135sin 2 . 10．(2014年东营模拟)已知)2,0(πα∈,且0cos 3cos sin sin 222=-⋅-αααα,则=+++12cos 2sin )4(sin ααπα ．11．函数x x x x f 2cos 3cos sin )(-=的值域为 ． 12．已知2)12(tan =-πα，则)3tan(πα-的值为 ． 三、解答题1．已知函数x x x f 2sin 2)42cos(2)(++=π.(1)求函数)(x f 的最小正周期；(2)设23)62(,21)42(],2,0[,=-=+∈πβπαπβαf f ，求)2(βα+f 的值． 2. (2013年高考山东卷)设函数)0(cos sin sin 323)(2>--=ωωωωx x x x f ,且)(x f y =图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π.(1)求ω的值； (2)求)(x f 在区间]23,[ππ上的最大值和最小值． 3．(2013年高考安徽卷)已知函数)0)(4sin(cos 4)(>+=ωπωωx x x f 的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论)(x f 在区间]2,0[π上的单调性．4．已知函数3cos 32cos sin 2)(2-+=x x x x f ωωω(其中0>ω)，且函数)(x f 的周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数)(x f y =的图象向右平移4π个单位长度，再将所得图象各点的横坐标缩小到原来的21倍(纵坐标不变)得到函数)(x g y =的图象，求函数)(x g 在]24,6[ππ-上的单调区间． 5．已知函数)62cos(6sin)12cos()12sin(3sin 2)(πππππ+-++=x x x x f ,求函数)(x f 的最小正周期与单调递减区间.6．(2014年北京东城模拟)已知函数2)cos sin 3(2)(x x x f --=.(1)求)4(πf 的值和)(x f 的最小正周期；(2)求函数)(x f 在区间]3,6[ππ-上的最大值和最小值． 7. (2014年北京东城模拟)已知函数a x x x x f ++=2cos cos sin 3)(. (1)求)(x f 的最小正周期及单调递减区间； (2)若)(x f 在区间]3,6[ππ-上的最大值与最小值的和为23，求a 的值．8．(2013年高考辽宁卷)设向量]2,0[),sin ,(cos ),sin ,sin 3(π∈==x x x b x x a .(1)若||||b a =，求x 的值； (2)设函数b a x f ⋅=)(，求)(x f 的最大值．9．(2013年高考陕西卷)已知向量R x x x b x a ∈=-=),2cos ,sin 3(),21,(cos ,设函数b a x f ⋅=)(.(1)求)(x f 的最小正周期； (2)求)(x f 在]2,0[π上的最大值和最小值．10．(2014年合肥模拟)将函数x y sin =的图象向右平移3π个单位，再将所得的图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的4倍，这样就得到函数)(x f 的图象，若3cos )()(+=x x f x g .(1)将函数)(x g 化成B x A ++)sin(ϕω(其中]3,2[,0,ππϕω-∈>A )的形式； (2)若函数)(x g 在区间],12[0θπ-上的最大值为2，试求0θ的最小值．11．(2014年济宁模拟)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合,终边经过点)3,3(-P ．(1)求ααtan 2sin -的值；(2)若函数ααααsin )sin(cos )cos()(---=x x x f ，求函数)(2)22(32x f x f y --=π在区间]2,0[π上的值域．12．已知ααcos 21sin +=,且)2,0(πα∈,求)4sin(2cos παα-的值． 13．已知)2,4(,53)4sin(),4,0(,553cos sin ππβπβπααα∈=-∈=+. (1)求α2sin 和α2tan 的值；(2)求)2cos(βα+的值． 14．(2014年合肥模拟)已知函数x m x m x f cos 12sin )(-+=. (1)若3)(,2==αf m ,求αcos ;(2)若)(x f 的最小值为2-,求)(x f 在]6,[ππ-上的值域．15．(能力提升)(2014年深圳调研)已知函数)50)(36sin(2)(≤≤+=x x x f ππ,点B A ,分别是函数)(x f y =图象上的最高点和最低点． (1)求点B A ,的坐标以及OB OA ⋅的值；(2)设点B A ,分别在角βα,的终边上,求)2tan(βα-的值．。