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圆锥曲线对称问题解析版

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(完整版)圆锥曲线的综合经典例题(含答案解析)

(完整版)圆锥曲线的综合经典例题(含答案解析)

经典例题精析类型一：求曲线的标准方程1. 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横坐标为的椭圆标准方程.思路点拨：先确定椭圆标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、（定量）.解析：方法一：因为有焦点为，所以设椭圆方程为，,由，消去得，所以解得故椭圆标准方程为方法二：设椭圆方程,,,因为弦AB中点,所以，由得,（点差法）所以又故椭圆标准方程为.举一反三：【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方程.【答案】依题意设椭圆标准方程为()，并有，解之得，,∴椭圆标准方程为2．根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1）与双曲线有共同的渐近线，且过点；（2）与双曲线有公共焦点，且过点解析：（1）解法一：设双曲线的方程为由题意，得，解得，所以双曲线的方程为解法二：设所求双曲线方程为（），将点代入得，所以双曲线方程为即（2）解法一：设双曲线方程为－=1由题意易求又双曲线过点，∴又∵，∴，故所求双曲线的方程为.解法二：设双曲线方程为，将点代入得，所以双曲线方程为.总结升华：先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、.在第（1）小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程.然后代点坐标求得方法简便.第（2）小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程.(1)求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素（、、、及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.(2)若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为（）.举一反三：【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程.（1）一渐近线方程为，且双曲线过点.（2）虚轴长与实轴长的比为，焦距为10.【答案】（1）依题意知双曲线两渐近线的方程是,故设双曲线方程为，∵点在双曲线上，∴，解得，∴所求双曲线方程为.（2）由已知设, ,则()依题意，解得.∴双曲线方程为或.3．求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：（1）过点；（2）焦点在直线：上思路点拨：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数；从实际分析，一般需结合图形确定开口方向和一次项系数两个条件，否则，应展开相应的讨论解析：（1）∵点在第二象限，∴抛物线开口方向上或者向左当抛物线开口方向左时，设所求的抛物线方程为（），∵过点，∴，∴，∴，当抛物线开口方向上时，设所求的抛物线方程为（），∵过点，∴，∴，∴，∴所求的抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.（2）令得，令得，∴抛物线的焦点为或当焦点为时，，∴，此时抛物线方程；焦点为时，，∴，此时抛物线方程为∴所求的抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.总结升华：这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向，选择适当的方程形式，准确求出焦参数P.举一反三：【变式1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.（1）焦点为F(4,0)；（2）准线为；（3）焦点到原点的距离为1；（4）过点（1，－2）；（5）焦点在直线x-3y+6=0上.【答案】（1）所求抛物线的方程为y2=16x；（2）所求抛物线的标准方程为x2=2y；（3）所求抛物线的方程y2=±4x或x2=±4y；（4）所求抛物线的方程为或；（5）所求抛物线的标准方程为y2=－24x或x2=8y.【变式2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴负半轴上，过顶点且倾角为的弦长为，求抛物线的方程.【答案】设抛物线方程为()，又弦所在直线方程为由，解得两交点坐标,∴，解得.∴抛物线方程为.类型二：圆锥曲线的焦点三角形4．已知、是椭圆（）的两焦点，P是椭圆上一点，且，求的面积.思路点拨：如图求的面积应利用，即.关键是求.由椭圆第一定义有,由余弦定理有，易求之.解析：设,,依题意有(1)2-(2)得，即.∴.举一反三：【变式1】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】依据双曲线的定义有，由得、，又，则，即，所以，故选A.【变式2】已知双曲线实轴长6，过左焦点的弦交左半支于、两点，且，设右焦点，求的周长.【答案】：由双曲线的定义有: ，，两式左、右分别相加得(.即∴.故的周长.【变式3】已知椭圆的焦点是,直线是椭圆的一条准线.①求椭圆的方程；②设点P在椭圆上,且,求.【答案】① .②设则，又.【变式4】已知双曲线的方程是.（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大小【答案】（1）由得，∴，，.焦点、，离心率，渐近线方程为.（2），∴∴【变式5】中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与双曲线有共同焦点和，且，又椭圆长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比.（1）求椭圆与双曲线的方程；（2）若为这两曲线的一个交点，求的余弦值.【答案】（1）设椭圆方程为()，双曲线方程，则，解得∵,∴, .故所求椭圆方程为，双曲线方程为.（2）由对称性不妨设交点在第一象限.设、.由椭圆、双曲线的定义有:解得由余弦定理有.类型三：离心率5．已知椭圆上的点和左焦点，椭圆的右顶点和上顶点，当，（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.思路点拨：因为，所以本题应建立、的齐次方程，使问题得以解决.解析：设椭圆方程为（），，，则，即.∵，∴，即，∴.又∵，∴.总结升华：求椭圆的离心率，即求的比值，则可由如下方法求.（1）可直接求出、；（2）在不好直接求出、的情况下，找到一个关于、的齐次等式或、用同一个量表示；（3）若求的取值范围，则想办法找不等关系.举一反三：【变式1】如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】连接，则是直角三角形，且，令，则，，即，，所以，故选D.【变式2】已知椭圆（）与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B点，F点是左焦点，且，求椭圆的离心率.法一：,,∵, ∴,又,，代入上式，得，利用代入，消得,即由，解得,∵,∴.法二：在ΔABF中，∵，，∴，即下略）【变式3】如图，椭圆的中心在原点, 焦点在x轴上, 过其右焦点F作斜率为1的直线, 交椭圆于A、B两点, 若椭圆上存在一点C, 使. 求椭圆的离心率.【答案】设椭圆的方程为（），焦距为,则直线l的方程为:,由，消去得,设点、,则∵＋, ∴C点坐标为.∵C点在椭圆上,∴.∴∴又∴∴【变式4】设、为椭圆的两个焦点，点是以为直径的圆与椭圆的交点，若，则椭圆离心率为_____.【答案】如图，点满足，且.在中，有：∵，∴,令此椭圆方程为则由椭圆的定义有,,∴又∵，∴，，∴∴，∴，即.6．已知、为椭圆的两个焦点，为此椭圆上一点，且.求此椭圆离心率的取值范围；解析：如图，令, ,,则在中，由正弦定理，∴，令此椭圆方程为(),则,,∴即（），∴, ∴,∵,且为三角形内角，∴，∴,∴, ∴.即此椭圆离心率的取值范围为.举一反三：【变式1】已知椭圆，F1，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P，使，求其离心率的取值范围.【答案】△F1PF2中，已知，|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，由余弦定理：4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos120°①又|PF1|+|PF2|=2a ②联立①②得4c2=4a2-|PF1||PF2|，∴【变式2】椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】由得，即，解得，故离心率.所以选D.【变式3】椭圆中心在坐标系原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F的直线交椭圆P、Q两点，且OP⊥OQ，求其离心率e的取值范围．【答案】e∈[,1)【变式4】双曲线(a＞1,b＞0)的焦距为2c,直线过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线的距离与点(-1,0)到直线的距离之和s≥c．求双曲线的离心率e的取值范围．【答案】直线的方程为bx+ay-ab=0．由点到直线的距离公式,且a＞1,得到点(1,0)到直线的距离．同理得到点(-1,0)到直线的距离．=．由s≥c,得≥c,即5a≥2c2．于是得5≥2e2．即4e4-25e2+25≤0．解不等式,得≤e2≤5．由于e＞1,所以e的取值范围是．类型五：轨迹方程7．已知中，,,为动点，若、边上两中线长的和为定值15.求动点的轨迹方程.思路点拨：充分利用定义直接写出方程是求轨迹的直接法之一.应给以重视解法一：设动点,且,则、边上两中点、的坐标分别为,.∵,∴,即.从上式知，动点到两定点,的距离之和为常数30，故动点的轨迹是以,为焦点且,,的椭圆，挖去点.∴动点的轨迹方程是().解法二：设的重心，,动点,且，则.∴点的轨迹是以,为焦点的椭圆（挖去点），且,,.其方程为().又, 代入上式，得()为所求.总结升华：求动点的轨迹，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，建立等式，利用直接法或间接法得到轨迹方程.举一反三：【变式1】求过定点且和圆:相切的动圆圆心的轨迹方程.【答案】设动圆圆心, 动圆半径为,.（1）动圆与圆外切时，，（2）动圆与圆内切时，，由（1）、（2）有.∴动圆圆心M的轨迹是以、为焦点的双曲线，且,,.故动圆圆心的轨迹方程为.【变式3】已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程.【答案】设动圆圆心P（x，y），动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，.∴.∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，其中c=4，a=2，∴b2=12，故所求轨迹方程为.【变式4】若动圆与圆:相外切，且与直线:相切，求动圆圆心的轨迹方程.法一：设,动圆半径，动圆与直线切于点，点.依题意点在直线的左侧，故∵,∴.化简得, 即为所求.法二：设,作直线：.过作于，交于，依题意有, ∴,由抛物线定义可知，点的轨迹是以为顶点，为焦点，：为准线的抛物线.故为所求.。

第28讲 四点共圆问题(解析版)圆锥曲线综合讲义

第28讲 四点共圆问题(解析版)圆锥曲线综合讲义

第28讲 四点共圆问题一、解答题1．已知直线:l y x m +＝交抛物线2:4C y x =于,A B 两点． （1）设直线l 与x 轴的交点为T ．若=2AT TB ，求实数m 的值；（2）若点,M N 在抛物线C 上，且关于直线l 对称，求证：,,,A B M N 四点共圆． 【答案】（1）8m ＝－；（2）证明见解析． 【分析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，直线方程代入抛物线方程后由判别式得m 的范围，由韦达定理得1212,y y y y +，再由向量的数乘可得122y y +＝0，结合韦达定理可得12,,y y m 值；（2）设()()3344,,,M x y N x y ，由对称性得434y y =--，4342x m x =---．再由,M N 在抛物线上，代入变形得3y 与m 的关系，然后计算MA MB ⋅，得MA MB ⊥， 同理NA NB ⊥，得证四点共圆． 【详解】解：由24y x m y x=+⎧⎨=⎩得2440y y m -+=．设()()1122,,,A x y B x y ， 则12124,4y y y y m +==． 因为直线l 与C 相交， 所以16160,m ∆->= 得1m <．（1）由2AT TB =，得1220y y +=， 所以240y +=，解得24,y =- 从而18y =， 因为124,y y m =所以432,m =-解得8m =-．（2）设()()3344,,,M x y N x y ， 因为,M N 两点关于直线y x m =+对称，则4343223443434=144y y y y y y x x y y --==-+-解得434y y =--．又434322y y x x m ++=+ 于是3343422y y x x m --++=+ 解得4342x m x =---． 又点N 在抛物线上，于是233()()4442y m x --=---．因为2334,y x =所以23341640y y m =+++，于是13231323()()()()MA M x x x x y y y y B ⋅=--+--222233121323()()(-)(-)4444y y y y y y y y =--()()()13231323()1616y y y y y y y y --=--+⎡⎤⎣⎦ ()()132********()1616y y y y y y y y y y --⎡⎤=++++⎣⎦ ()()2231333404()1616y y y y y m y --==+++ 因此MA MB ⊥， 同理,NA NB ⊥于是点,M N 在以AB 为直径的圆上， 即,,,A B M N 四点共圆．【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，如设交点坐标为()()1122,,,A x y B x y ，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理可得1212,y y y y +，再利用向量的线性运算求得12,y y 关系，从而可求得12,,y y m 值．2．已知椭圆22:14x C y +=上三点A 、M 、B 与原点O 构成一个平行四边形AMBO ．（1）若点B 是椭圆C 的左顶点，求点M 的坐标； （2）若A 、M 、B 、O 四点共圆，求直线AB 的斜率．【答案】（1）1,2⎛-± ⎝⎭；（2）． 【分析】（1）由已知可得()2,0B -，由//AM BO ，且AM BO =，设()00,M x y ， ()002,A x y +代入椭圆方程解方程即可得解；（2）因为A 、M 、B 、O 四点共圆，则平行四边形AMBO 是矩形且OA OB ⊥，设直线AB 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，根据韦达定理代入 12120OA OB x x y y →→⋅=+=，化简计算求解即可.【详解】解析：（1）如图所示： 因为()2,0B-，四边形AMBO 为平行四边形，所以//AM BO ，且2AM BO ==． 设点()00,M x y ，则()002,A x y +因为点M 、A 在椭圆C 上，所以()2200202014214x y x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，解得001x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以1,2M ⎛-± ⎝⎭．（2）因为直线AB 的斜率存在， 所以设直线AB 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ．由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()222418440k x kmx m +++-=， 则有122814km x x k -+=+，21224414m x x k-=+．因为平行四边形AMBO ， 所以()1212,OM OA OB x x y y →→→=+=++．因为122814kmx x k -+=+，所以()12122282221414km my y k x x m k m k k -+=++=⋅+=++，所以2282,1414kmm M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭． 因为点M 在椭圆C 上，所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程化得22441m k =+．① 因为A 、M 、B 、O 四点共圆，所以平行四边形AMBO 是矩形， 且OA OB ⊥，所以12120OA OB x x y y →→⋅=+=．因为2222121212122414m k y y kx m kx mk x x km x x mk， 所以22212122244401414m m k x x y y k k--+=+=++，化得22544m k =+．② 由①②解得2114k =，23m =，此时>0∆，因此2k =± 所以所求直线AB 的斜率为．【点睛】本题主要考查了联立直线与椭圆的方程利用韦达定理列式表达斜率以及垂直的方法进而代入求解的问题，考查计算能力和逻辑推理能力，属于难题. 3．已知抛物线P ：22y px =（0p >）上的点3,4a ⎛⎫⎪⎝⎭到其焦点的距离为1． （Ⅰ）求p 和a 的值；（Ⅰ）求直线l ：y x m =+交抛物线P 于两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交抛物线P 于两点C 、D ，求证：A 、B 、C 、D 四点共圆．【答案】（Ⅰ）12p =，a =±；（Ⅰ）证明见解析. 【分析】（Ⅰ）根据抛物线的定义可得点3,4a ⎛⎫⎪⎝⎭到其焦点的距离等于该点到准线距离，即可求出p ，从而得到抛物线方程，再计算出参数a 的值；（Ⅰ）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可求出线段AB 的中点M 的坐标，因为直线CD 为线段AB 的垂直平分线，直线CD 的方程为1y x m =-+-，设()33,C x y ，()44,D x y ，求出线段CD 的中点坐标，再利用勾股定理计算可得；【详解】解：（Ⅰ）22y px =的准线为2px =-， 因为点3,4a ⎛⎫⎪⎝⎭到其焦点的距离等于该点到准线距离， 所以3124p +=， 故12p =，即2y x =， 又3,4a ⎛⎫⎪⎝⎭在2y x =上，所以a =；（Ⅰ）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立2y x x x m⎧=⎨=+⎩，得20y y m -+=，则121y y +=，12y y m ⋅=， 且140m ->，即14m <，则12A y B =-=，且线段AB 中点的纵坐标为12122y y +=，则12x m =-，所以线段AB 中点为11,22M m ⎛⎫-⎪⎝⎭，因为直线CD 为线段AB 的垂直平分线，直线CD 的方程为1y x m =-+-，联立21y xy x m⎧=⎨=-+-⎩，得210y y m ++-=，设()33,C x y ，()44,D x y ， 则341y y +=-，341y y m ⋅=-故34y D y C =-= 线段CD 中点为31,22N m ⎛⎫--⎪⎝⎭，因为()21154108242m CD m -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，22225422AN AM m MN -==+=+， 所以12AN CD =， 所以点A 在以CD 为直径的圆上， 同理点B 在以CD 为直径的圆上， 所以A 、B 、C 、D 四点共圆． 【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．4．已知直线1:360l x y --=与x 轴，y 轴分别交于A ，B ，线段AB 的中垂线2l 与抛物线()2:20E y px p =>有两个不同的交点C 、D ．（1）求p 的取值范围；（2）是否存在p ，使得A ，B ，C ，D 四点共圆，若存在，请求出p 的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）16,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）存在，5p = 【分析】（1）求出,A B 两点坐标，得出其中垂线方程为380x y ++=，与抛物线方程联立根据0∆>即可得结果； （2）设()11,C x y ，()22,D x y ，线段CD 的中点为()00,M x y ，将（1）和韦达定理可得()98,3M p p --，CD =2214MA CD =，代入两点间距离公式可解得p 的值. 【详解】（1）因为直线1:360l x y --=与x 轴，y 轴分别交于A ，B . 所以()2,0A ，()0,6B -，所以线段AB 的中点为()1,3-，3AB k =， 所以线段AB 的中垂线2l 的方程为()1313y x +=--，即380x y ++=. 将38x y =--代入()2:20E y px p =>，得26160y py p ++=，因为2l 与E 有两个不同的交点C ，D . 所以2364160p p ∆=-⨯>， 又0p >，所以169p >，即p 的取值范围为16,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）若A ，B ，C ，D 四点共圆，由对称性可知，圆心应为线段CD 的中点，设()11,C x y ，()22,D x y ，线段CD 的中点为()00,M x y ， 则1212616y y py y p+=-⎧⎨=⎩，所以12032y y y p +==-，003898x y p =--=-，CD ====若A ，B ，C ，D 四点共圆，则12MA CD =，即2214MA CD =， 所以()()2220012409164x y p p -+=⨯-. 所以()222910990160p p p p -+=-，解得5p =， 又5p =满足169p >，所以存在5p =，使得A ，B ，C ，D 四点共圆. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，圆内接四边形的特征，考查了学生的计算能力，属于中档题. 5．已知斜率为k 的直线交椭圆()2230x y λλ+=>于A ，B 两点，AB 的垂直平分线与椭圆交于C ，D 两点，点()01,N y 是线段AB 的中点.（1）若03y =，求直线AB 的方程以及λ的取值范围；（2）不管λ怎么变化，都有A ，B ，C ，D 四点共圆，求0y 的取值范围. 【答案】（1）40x y +-=，12λ>；（2）{}3,3-. 【分析】（1）将直线AB 的方程()13y k x =-+代入椭圆方程223x y λ+=，再利用根与系数的关系可得()1223123k k x x k -+==+，从而可求出k 的值，进而可得到直线AB 的方程，由判别式大于零可求出λ的取值范围；（2）设直线AB 的方程为()01y k x y =-+，代入椭圆方程中，利用根与系数的关系，再利用弦长公式表示出AB ,由于DC 是AB 的垂直平分线，所以同理可表示DC 的长，求出CD 中点P 的横坐标，则可求出点P 到AB 的距离d ，由A ，B ，C ，D 四点共圆22222CD AB d ⎛⎫⎛⎫⇔=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将AB ，DC ，d 代入化简可得222211313k k k k++=++，从而可求出k 的值，进而可求得0y 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y .（1）当03y =时，直线AB 的方程为()13y k x =-+，将AB 方程代入223x y λ+=得：()()()22232330kx k k x k λ++-+--=.①由()1223123k k x x k -+==+，解得1k =-，此时AB 的方程为40x y +-=. 将1k =-代入①，得248160x x λ-+-=. 由()6416160λ∆=-->，解得12λ>. （2）设直线AB 的方程为()01y k x y =-+，将方程代入223x y λ+=得：()()()22200320kxk y k x y k λ++-+--=.②由题意()0122123k k y x x k-+==+，即03ky -=.12AB x =-===同理得CD ==⎝⎭所以CD 中点P 的横坐标0032221112131313y ky k k x k k k⎛⎫--- ⎪+-⎝⎭===+++，点P 到AB 的距离d1-=由A ，B ，C ，D 四点共圆22222CD AB d ⎛⎫⎛⎫⇔=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()2222222211912133313kk k k k k λλ⎛⎫++⎛⎫⎡⎤-++=--+ ⎪ ⎪⎣⎦+⎝⎭⎝⎭+，③ 不管λ怎么变化，都有A ，B ，C ，D 四点共圆，即上式恒成立，所以222211313k k k k++=++，解得21k =， 此时③式成立.代入②，由0∆>得12λ>. 所以0y 的取值范围为{}3,3-. 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与椭圆的位置关系，考查计算求解能力，解题的关键是由A ，B ，C ，D 四点共圆22222CD AB d ⎛⎫⎛⎫⇔=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将AB ，DC ，d 代入化简可得222211313k k k k ++=++，从而可求出k 的值，进而可求得0y ，考查数学转化思想，属于较难题6．已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左，右焦点分别为1F ，2F ，且126F F ||=，直线y kx =与椭圆交于A ，B 两点．（Ⅰ）若△12AF F 的周长为16，求椭圆的标准方程；（Ⅰ，且A ，B ， 1F ，2F 四点共圆，求椭圆离心率e 的值；（Ⅰ）在（Ⅰ）的条件下，设00(,)P x y 为椭圆上一点，且直线PA 的斜率1(2,1)k ∈--，试求直线PB 的斜率2k 的取值范围．【答案】（Ⅰ（Ⅰ）23=e ．（Ⅰ【解析】试题解析：（Ⅰ）由题意得3c =， 根据2216a c +=，得5a =．结合222a b c =+，解得2225,16a b ==（Ⅰ）设1122(,),(,)A x y B x y由AB 、EF 互相平分且共圆，易知，22AF BF ⊥，因为211(3,)F A x y =-，222(3,)F B x y =-， 所以221(F A F B x ⋅=- 即 128x x =-，所以有结合229b a +=．解得212a =，所以离心率 （若设1111(,),(,)A x y B x y --相应给分）（解法二）设）（11,y x A ，又AB 、EF 互相平分且共圆，所以AB 、EF 是圆的直径， 所以92121=+y x ，又由椭圆及直线方程综合可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==+1429221221112121b y a x x y y x 前两个方程解出1,82121==y x ，将其带入第三个方程并结合92222-=-=a c a b ，解得：122=a ，23=e ．…8分 （Ⅰ）由（Ⅰ由题可设1111(,),(,)A x y B x y --，又22012201222201013(1)3(1)112124x x y y x x x x ----==--- ，由121k -<<-考点：1．椭圆的标准方程及其几何性质；2．直线与椭圆的位置关系．7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，P 为右准线上一点．点Q 在椭圆上，且FQ FP ⊥．（1）若椭圆的离心率为12，短轴长为 （2）若在x 轴上方存在,P Q 两点，使,,,O F P Q 四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．【答案】（1）22143x y +=； （21e <<. 【分析】（1）设椭圆的焦距为2c，由题意，可得222122c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，即可求得椭圆C 的标准方程；（2）设2(a P c，)t ，0(Q x ，0)y ，可得FPQ ∆的外接圆即为以PQ为直径的圆200()()()()0a x x x y t y y c--+--=，可得20a x c c =-，根据点P ，Q 均在x 轴上方，可得 210e e +->，解得即可；【详解】解：（1）设椭圆的焦距为2c，由题意，可得222122c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a =，b =∴椭圆的方程为22143x y +=， （2）设2(a P c，)t ，0(Q x ，0)y ， FP FQ ⊥，则FPQ ∆的外接圆即为以PQ 为直径的圆200()()()()0a x x x y t y y c --+--=， 由题意，焦点F ，原点O 均在该圆上， ∴200200()()00a c c x ty c a x ty c⎧--+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 消去0ty 可得2200()()0a a c c x x c c ---=， 20a x c c∴=-， 点P ，Q 均在x 轴上方，2a a c c c∴-<-<， 即220c ac a +->，210e e ∴+->，01e <<，∴1e <<， 故e的范围为⎫⎪⎪⎝⎭．【点睛】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线的圆锥曲线的位置关系，考查圆的方程及点到直线的距离公式，直线的斜率公式，考查计算能力，解题时要认真审题，属于中档题．8．已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线为l O ，为坐标原点，过F 的直线m 与抛物线E 交于A B 、两点，过F 且与直线m 垂直的直线n 与准线l 交于点M ．（1）若直线m ||||AF BF 的值； （2）设AB 的中点为N ，若O M N F 、、、四点共圆，求直线m 的方程．【答案】（1）||3||AF BF =或||1||3AF BF =；（2）1)y x =-． 【分析】（1）由抛物线的定义建立方程即可.（2）设直线m 的方程为1x ty =+，用t 表示,M N 坐标，再结合条件得到0OM ON ⋅=，建立关于t 的方程即可获解.【详解】（1）设||||AF BF λ=，当1λ>时，设||0BF k =>，则||AF k λ=，直线m ∴直线m 的倾斜角为60︒， 由抛物线的定义，有()()1cos60cos602AB AF BF k k k k λλ⋅︒=+⋅︒=+⨯=-， 112λλ+∴=-，解得：3λ=， 若01λ<<时，同理可得：13λ=， ||3||AF BF ∴=或||1||3AF BF =． （2）设直线m 的方程为1x ty =+，代入24y x =，得2440y ty --=．设()()1122,,,A x y B x y ，则12124,4y y t y y +==-．由2211224,4y x y x ==， 得()22221212212122(4)2(4)424444y y y y y y t x x t +--⨯-+=+===+， 所以()221,2N t t +． 因为直线m 的斜率为1t，所以直线n 的斜率为t -， 则直线n 的方程为(1)t y x --=．由1(1)x y t x =-⎧⎨=--⎩，，解得(1,2)M t -． 若O M N F 、、、四点共圆，再结合FN FM ⊥，得OM ON ⊥，则()2212122210OM ON t t t t ⋅=-⨯++⋅=-=，解得2t =±， 所以直线m的方程为1)y x =-．【点睛】（1）有些题目可以利用抛物线的定义结合几何关系建立方程获解；（2）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.9．如图，已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，c 为半焦距，椭圆C 的左、右焦点分别为12,F F ，椭圆C 的离心率为e ．（1）若椭圆过点(,2e ，两条准线之间的距离为4b ，求椭圆C 的标准方程； （2）设直线y kx =与椭圆C 相交于A ，B 两点，且12,,,A F B F 四点共圆，c ≤，试求2k 的最大值．【答案】（1）22142x y +=（2）13 【分析】(1)利用准线,以及222a b c =+求出离心率,又因为椭圆过点e ⎛⎝⎭,确定方程. (2)将直线方程代入椭圆方程, 根据中心对称性和12,,,F B F 四点共圆，所以22AF BF ⊥. 所以三角形2ABF 是直角三角形,()()22221 211e k e -=-+,根据2213e ≤<得出2k 取得最大值.【详解】 （1）因为两条准线之间的距离为4b ，所以224a b c=，又222a b c =+，故22b c =， 因为222b a c =-，所以222a c c -=，解得2e =， 因为椭圆C过点e ⎛ ⎝⎭，所以2222212b b⎛ ⎝⎭⎝⎭+=， 故222b c ==，24a =，所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=. （2）设()()1122,,,A x y B x y ， 由22221,,x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得()2222220b a k x a b +-=，解得12x x ==.由椭圆的中心对称性得，12AF B AF B ∠=∠，因为12,,,A F B F 四点共圆，所以12AF B AF B π∠+∠=， 所以22AF B π∠=，即22AF BF ⊥，所以三角形2ABF 是直角三角形，且22OF AB =，所以122|c x x =-，即22c =，故()()22222221c b a k k a b +=+，所以()()()2222222221c a c a k k a a c -+=+-，即()()()22222111e e k k e -+=+-， 分离k ，e 得，()()22221211e k e -=-+，c ≤，所以()22222222213b c a cc e ≤⇔-≤⇔≤<， 令21,t e =-则1,03t ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，所以2221t k t =+， 令()21(0)213t k t t t =-≤<+， 则()2211(0)21213t k t t t t t==-≤<++，易得当103t -≤<，()k t 单调递减， 所以13t =-时，()k t 取最大值，即2k 取得最大值为13． 【点睛】本题考查椭圆方程,直线与椭圆的位置关系,含参分式的最值,属于难题.10．如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)经过点(﹣2,0)和⎛ ⎝⎭,椭圆C 上三点A ,M ,B 与原点O 构成一个平行四边形AMBO .（1）求椭圆C 的方程；（2）若点B 是椭圆C 左顶点,求点M 的坐标；（3）若A ,M ,B ,O 四点共圆,求直线AB 的斜率.【答案】（1）24x ＋y 2＝1；（2）M (－；（3）【分析】(1)将点()2,0-和⎛ ⎝⎭代入椭圆22x a ＋22y b ＝1求解即可. (2)根据平行四边形AMBO 可知AM ∥BO ,且AM ＝BO ＝2.再设点M (x 0,y 0),则A (x 0＋2,y 0),代入椭圆C 求解即可.(3) 因为A ,M ,B ,O 四点共圆,所以平行四边形AMBO 是矩形,且OA ⊥OB ,再联立直线与椭圆的方程,结合韦达定理代入OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0求解即可.【详解】（1）因为椭圆22x a ＋22y b ＝1(a ＞b ＞0)过点()2,0-和⎛ ⎝⎭, 所以a ＝2,21a ＋234b ＝1,解得b 2＝1,所以椭圆C 的方程为24x ＋y 2＝1. （2）因为B 为左顶点,所以B (－2,0).因为四边形AMBO 为平行四边形,所以AM ∥BO ,且AM ＝BO ＝2.设点M (x 0,y 0),则A (x 0＋2,y 0).因为点M ,A 在椭圆C 上,所以()2200202014214x y x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩解得0012x y =-⎧⎪⎨=±⎪⎩所以M (－（3）因为直线AB 的斜率存在,所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). 由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0, 则有x 1＋x 2＝2814km k -+,x 1x 2＝224414m k-+. 因为平行四边形AMBO ,所以OM ＝OA ＋OB ＝(x 1＋x 2,y 1＋y 2).因为x 1＋x 2＝2814km k -+,所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝k ·2814km k -+＋2m ＝2214m k +,所以M (2814km k -+,2214m k +). 因为点M 在椭圆C 上,所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程,化得4m 2＝4k 2＋1.①因为A ,M ,B ,O 四点共圆,所以平行四边形AMBO 是矩形,且OA ⊥OB ,所以OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0.因为y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 1＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝222414m k k -+, 所以x 1x 2＋y 1y 2＝224414m k-+＋222414m k k -+＝0,化得5m 2＝4k 2＋4.②由①②解得k 2＝114,m 2＝3,此时△＞0,因此k ＝所以所求直线AB 的斜率为±2. 【点睛】本题主要考查了椭圆方程的基本求法,同时也考查了联立直线与椭圆的方程,利用韦达定理列式表达斜率以及垂直的方法,进而代入求解的问题.属于难题.11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上异于长轴端点的一点，过P 与x 轴平行的直线交椭圆C 的两条准线于点1T ，2T ，直线11T F ，22T F 交于点Q .（1）若12PF F ∆与12QF F ∆的面积相等，求椭圆C 的离心率；（2）若126F F =，12503TT =. ①求椭圆C 的标准方程；②试判断点P ，1F ，Q ，2F 是否四点共圆，并说明理由.【答案】（1）2；（2）①2212516x y +=； ②P ，1F ，Q ，2F 四点共圆，理由见解析. 【分析】（1）设()()000,0P x y y ≠，210,a T y c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可表示出直线11T F 的方程，从而求得Q 点坐标；根据三角形面积相等可构造关于,a c 的齐次方程，进而求得离心率；（2）①根据126F F =，12503TT =和椭圆,,a b c 的关系，可求得,,a b c 的值，进而得到椭圆方程； ②设过点Q ，1F ，2F 三点的圆的方程为()2229x y s s +-=+，代入Q 点坐标可求得方程为2200982932y x y y y ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭；验证可知P 点坐标满足方程，由此得到四点共圆. 【详解】设()()000,0P x y y ≠，()1,0F c -，()2,0F c ，（1）由题意得：210,a T y c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，220,a T y c ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 直线11T F 的方程为：()02y y x c a c c=+-+，直线22T F 的方程为：()02y y x c a c c =--， 将直线11T F 与22T F 联立可得：2020x c y y b =⎧⎪⎨=-⎪⎩，即点2020,c y Q b ⎛⎫- ⎪⎝⎭.12PF F ∆与12QF F ∆的面积相等， ()2000220c y y y c a ∴=-≠-， 2221c c a ∴=--，2c e a ∴==，即椭圆C的离心率为2. （2）①126F F =，12503TT =，26c ∴=，25023a c ⋅=， 解得：3c =，225a =，22216b ac ∴=-=，∴以椭圆C 的标准方程为2212516x y +=. ②由①知：()13,0F -，()23,0F ，090,16y Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 设过点Q ，1F ，2F 三点的圆的方程为()2229x y s s +-=+，即2229x y sy +-=. 将090,16y Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入该方程得：009832y s y =-，∴过Q ，1F ，2F 三点的圆的方程为：2200982932y x y y y ⎛⎫+--=⎪⎝⎭， 将()00,P x y 代入该方程左边，则22000098232y x y y y ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭22000009825121632y y y y y ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9=， ∴点P 也在过点Q ，1F ，2F 三点的圆上，从而点P ，1F ，Q ，2F 四点共圆.【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆离心率和标准方程的求解、四点共圆问题的证明；证明四点共圆问题的关键是能够通过三点坐标确定三点所在圆的方程，进而代入第四个点的坐标，验证其满足方程即可.12．（题文）（题文）已知点F (p2,0)，直线l: x =−p2，点Μ是l 上的动点，过点Μ垂直于y 轴的直线与线段ΜF 的垂直平分线相交于点Ν． （1）求点Ν的轨迹方程；（2）若p =2，直线y =x 与点Ν的轨迹交于A 、B 两点，试问Ν的轨迹上是否存在两点C 、D ，使得A 、B 、C 、D 四点共圆？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y 2=2px ；（2）存在a >72且a ≠4，a ≠8的无数个圆(x −a)2+(y +a −4)2=a 2+(−a +4)2满足条件. 【解析】试题分析：（1）借助点在线段ΜF 的中垂线上建立等式并化简即可；（2）依据题设条件建立方程,通过方程有无解的分析析作出推理和判断即可.试题解析：解: （1）设Ν(x,y)，依题意，|ΝF |=|ΝΜ|，即√(x −p2)2+y 2=|x +p2|． 化简整理得y 2=2px ．（2）把y =x 与y 2=4x 联立，解得Α(0,0)，Β(4,4)，则线段ΑΒ的垂直平分线方程y =−x +4 若存在C 、D 两点，使得Α、Β、C 、D 四点共圆，则圆心必在直线y =−x +4上， 设圆心坐标(a,−a +4)，则半径r =√a 2+(−a +4)2， ∴圆的方程为(x −a)2+(y +a −4)2=a 2+(−a +4)2， 将x =y 24代入并整理得y 4+(16−8a)y 2+32(a −4)y =0，则y(y −4)(y 2+4y +32−8a)=0，∴ y 1=0或y 2=4或y 2+4y +32−8a =0， ∴ y 2+4y +32−8a =0应有除y 1=0、y 2=4之外的两个根，∴ Δ>0，且32−8a ≠0，42+4×4+32−8a ≠0，解得a >72且a ≠4，a ≠8． ∴存在a >72且a ≠4，a ≠8的无数个圆(x −a)2+(y +a −4)2=a 2+(−a +4)2满足条件．考点：(1)轨迹方程与探求方法；(2)圆的方程及简单高次方程的求解等有关知识的运用. 13．从抛物线24y x =上各点向x 轴作垂线段，记垂线段中点的轨迹为曲线P ． （1）求曲线P 的方程，并说明曲线P 是什么曲线；（2）过点()2,0M 的直线l 交曲线P 于两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交曲线P 于两点C 、D ，探究是否存在直线l 使A 、B 、C 、D 四点共圆？若能，请求出圆的方程；若不能，请说明理由． 【答案】（1）曲线P 的方程为2y x =，曲线P 是焦点为1,04⎛⎫⎪⎝⎭的抛物线；（2）存在；圆N 的方程为227113222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或227113222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【分析】（1）设抛物线2y x =上的任意点为()00,S x y ，垂线段的中点为(),x y ，根据中点坐标公式得出002x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，代入等式2004y x =化简可得出曲线P 的方程，进而可得出曲线P 的形状；（2）设直线l 的方程为2x ty =+，将直线l 的方程与曲线P 的方程联立，列出韦达定理，求出AB ，求出线段AB 的中点的坐标，进一步求出线段AB 的中垂线CD 的方程，求出CD ，根据四点共圆结合垂径定理可得出关于t 的等式，求出t 的值，进一步可求得圆的方程，由此可得出结论. 【详解】（1）设抛物线2y x =上的任意点为()00,S x y ，垂线段的中点为(),x y ，故002x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，则002x x y y =⎧⎨=⎩，代入2004y x =得()224y x =，得曲线P 的方程为2y x =，所以曲线P 是焦点为1,04⎛⎫⎪⎝⎭的抛物线； （2）若直线l 与x 轴重合，则直线l 与曲线P 只有一个交点，不合乎题意. 设直线l 的方程为2x ty =+，根据题意知0t ≠，设()11,A x y 、()22,B x y ，联立22y x x ty ⎧=⎨=+⎩，得220y ty --=，280t ∆=+>，则12y y t +=，122y y ⋅=-，则12A y y B =-==，且线段AB 中点的纵坐标为1222y y t +=，即2121222222x x y y t t ++=⋅+=+， 所以线段AB 中点为22,22t t M ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为直线CD 为线段AB 的垂直平分线，可设直线CD 的方程为1x y m t=-+，则21222t t m t ⎛⎫+=-⨯+ ⎪⎝⎭，故252t m +=， 联立22152y x t x y t ⎧=⎪⎨+=-+⎪⎩，得()222250ty y t t +-+=， 设()33,C x y 、()44,D x y ，则341y y t +=-，()234152y y t ⋅=-+，故34y CD =-==线段CD 中点为22151,222t N tt ⎛⎫++- ⎪⎝⎭， 假设A 、B 、C 、D 四点共圆，则弦AB 的中垂线与弦CD 中垂线的交点必为圆心， 因为CD 为线段AB 的中垂线，则可知弦CD 的中点N 必为圆心，则12AN CD =， 在Rt AMN △中，222AN AM MN =+，所以22212CD AM MN ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()()222222221111111121018442222t t t t t t tt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故4228810t t t +--=，即()()24264222198880t t t t t t t t -+++--==， 解得21t =，即1t =±，所以存在直线l ，使A 、B 、C 、D 四点共圆，且圆心为弦CD 的中点N ，圆N 的方程为227113222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或227113222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程； （3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程. 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2:20E y px p =>的焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上E上一点，且点P 的横坐标为2，3PF =.（1）求抛物线E 的方程；（2）过点F 的直线m 与抛物线E 交于A 、B 两点，过点F 且与直线m 垂直的直线n 与准线l 交于点M ，设AB 的中点为N ，若O 、M N 、F 四点共圆，求直线m 的方程.【答案】（1）24y x =（2）)1y x =-【分析】（1）由抛物线的定义可得22pPF =+，即可求出p ，从而得到抛物线方程； （2）设直线m 的方程为1x ty =+，代入24y x =，得2440y ty --=.设()11,A x y ，()22,B x y ，列出韦达定理，表示出中点N 的坐标，若O 、M 、N 、F 四点共圆，再结合FN FM ⊥，得OM ON ⊥，则0OM ON ⋅=即可求出参数t ，从而得解；【详解】解：（1）由抛物线定义，得232pPF =+=，解得2p =， 所以抛物线E 的方程为24y x =.（2）设直线m 的方程为1x ty =+，代入24y x =，得2440y ty --=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y =-.由2114y x =，2224y x =，得()()()22222121212122424424444y y y y t y y x x t +--⨯-+=+===+，所以()221,2N t t +.因为直线m 的斜率为1t，所以直线n 的斜率为t -，则直线n 的方程为()1y t x =--.由()1,1,x y t x =-⎧⎨=--⎩解得()1,2M t -.若O 、M 、N 、F 四点共圆，再结合FN FM ⊥，得OM ON ⊥，则()2212122210OM ON t t t t ⋅=-⨯++⋅=-=，解得2t =±，所以直线m 的方程为)1y x =-. 【点睛】本题考查抛物线的定义及性质的应用，直线与抛物线综合问题，属于中档题.15．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左､右顶点分别为A ，B ，离心率为3，P 是C 上异于A ，B的动点.（1）证明：直线AP ，BP 的斜率之积为定值，并求出该定值.（2）设||AB =，直线AP ，BP 分别交直线l ：x =3于M ，N 两点，O 为坐标原点，试问：在x 轴上是否存在定点T ，使得O ，M ，N ，T 四点共圆？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析，定值13-；（2）存在，定点11,03T ⎛⎫⎪⎝⎭.【分析】（1）由题意知(,0),(,0)A a B a -，设P (x 0，y 0)，y 0≠0，则2200221x y a b+=，然后利用斜率公式求200022000y y y x a x a x a ⋅=+--化简可得结果； （2）由题意先求出椭圆C 的方程为2213x y +=，设直线AP的方程为(y k x =+，则直线BP 的方程为1(3y x k =-，直线方程与椭圆方程联立可求出(3,3)M k，1N k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，假设△MNO 的外接圆恒过定点T (t ，0)，t ≠0，然后求出线段MN 的垂直平分线所在直线的方程和线段OT 的垂直平分线所在直线的方程，从而可求出圆心2t E ⎛⎪⎪⎝⎭，再由|OE |=|ME |，可求出t 的值，进而得O ，M ，N ，T 四点共圆 【详解】（1）由题意知(,0),(,0)A a B a -，设P (x 0，y 0)，y 0≠0，则2200221x y a b+=，所以直线AP 与BP的斜率之积22022222200022222200001131x b a y y y b a c x a x a x a x a a a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭⋅===-=-=-+--⎭=--⎝， 即直线AP ，BP 的斜率之积为定值13-.（2）存在.理由如下：由题意知2a =，得a =因为c a =c =所以b 2=1，所以椭圆C 的方程为2213x y +=.设直线AP的方程为(y k x =+，则直线BP的方程为1(3y x k=-.联立(3,y k x x ⎧=+⎪⎨=⎪⎩可得(3,3)M k +，同理可得1N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 假设△MNO 的外接圆恒过定点T (t ，0)，t ≠0， 因为线段MN的垂直平分线所在直线的方程为y =，线段OT 的垂直平分线所在直线的方程为2t x =，所以圆心2t E ⎛⎪ ⎪⎝⎭. 又|OE |=|ME |解得t =113.所以存在定点11,03T ⎛⎫⎪⎝⎭，使得O ，M ，N ，T 四点共圆.【点睛】此题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的定点问题，考查计算能力，属于中档题16．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2:20E y px p =>的焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线E 上一点，且点P 的横坐标为2，3PF =. （1）求抛物线E 的方程；（2）过点F 的直线m 与抛物线E 交于A 、B 两点，过点F 且与直线m 垂直的直线n 与准线l 交于点M ，设AB 的中点为N ，若O 、M 、N 、F 四点共圆，求直线m 的方程.【答案】（1）24y x =（2）)1y x =-【分析】（1）首先根据抛物线的定义和题中条件求出抛物线的焦准距，即可得到抛物线的方程；（2）首先设直线m 的方程，然后与抛物线联立，利用韦达定理求出点N 坐标，然后设直线n 的方程求出点M 的坐标，最后利用O 、M 、N 、F 四点共圆即可求出直线m 的方程. 【详解】（1）由抛物线定义，得232pPF =+=，解得2p =， 所以抛物线F 的方程为24y x =；（2）设直线m 的方程为1x ty =+，代入24y x =，得2440y ty --=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y =-，由2114y x =，2224y x =，得()()()22222121212122424424444y y y y t y y x x t +--⨯-+=+===+，所以()221,2N t t +，因为直线m 的斜率为1t，所以直线n 的斜率为t -，则直线n 的方程为()1y t x =--，由()11x y t x =-⎧⎨=--⎩解得()1,2M t -，若O 、M 、N 、F 四点共圆，再结合FN FM ⊥，得OM ON ⊥， 则()2212122210OM ON t t t t ⋅=-⨯++⋅=-=，解得2t =±，所以直线m 的方程为)1y x =-. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定理，直线与抛物线的交点问题，属于一般题.。

压轴题型11 圆锥曲线压轴题的处理策略(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练

压轴题型11 圆锥曲线压轴题的处理策略(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练

压轴题11圆锥曲线压轴题的处理策略从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。

而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题。

“四心”问题进入园锥曲线，让我们更是耳目一新。

因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考.○热○点○题○型1齐次化解决圆锥曲线压轴题○热○点○题○型2极点极线处理圆锥曲线压轴题○热○点○题○型3定点定值问题的处理策略1．已知拋物线2:2(0)C y px p =>，F 为焦点，若圆22:(1)16E x y -+=与拋物线C 交于,A B两点，且AB =(1)求抛物线C 的方程；(2)若点P 为圆E 上任意一点，且过点P 可以作拋物线C 的两条切线,PM PN ，切点分别为,M N .求证：MF NF ⋅恒为定值.（2）令()()0011,,,,P x y M x y N 抛物线在点M 处的切线方程为(1x x m -=与24y x =联立得2114440y my my x -+-=由相切()211164440m my x ∆=--=得4my 代入①得12y m=故在点处的切线方程为()1112y x x y y -=-同理：点N 处的切线方程为222yy x x =+而两切线交于点()00,P x y ，所以有010*******,22y y x x y y x x =+=+，则直线MN 的方程为:00220x y y x -+=，由2004220y x x y y x ⎧=⎨-+=⎩得200240y y y x -+=于是()()221212||||1116y y MF NF x x ⋅=++=+()22001x y =-+，又点()00,P x y 在圆22:(1)16E x y -+=上，所以()2200116x y -+=,即||||16MF NF ⋅=.【点睛】关键点睛：本题的关键在于设切点，写出切线方程，然后将其与抛物线方程联立，再利用Δ0=得到相关等式，再得到直线MN 的方程，将其与抛物线联立，得到韦达定理式，最后利用抛物线定义写出线段长乘积表达式，利用点在圆上进行整体代入即可.2．如图：小明同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A 处，另一端固定在画板上点F 处，用铅笔尖扣紧绳子（使两段细绳绷直），靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上画出了圆锥曲线C 的一部分图象.已知细绳长度为3，经测量，当笔尖运动到点P 处，此时，30,90FAP AFP ∠∠=︒=︒.设直尺边沿所在直线为a ，以过F 垂直于直尺的直线为x 轴，以过F 垂直于a 的垂线段的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系.(1)求曲线C 的方程；(2)斜率为k 的直线过点(0,3)D -，且与曲线C 交于不同的两点M ，N ，已知k 的取值范围为(0,2)，探究：是否存在λ，使得DM DN λ=，若存在，求出λ的范围，若不存在，说明理由.由60FPA ︒∠=得点P 的横坐标得32p =，所以轨迹C 的方程为2y =（2）假设存在λ，使得DM 由233y kx y x=-⎧⎨=⎩消去y 得：k 而(0,2)k ∈，2(63)k ∆=+2121221126((2)x x x x x x x x +++==于是21142k k λλ+=++，令因此1174λλ+>，又0λ>所以存在1(0,)(4,4λ∈⋃+∞【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，解的点.3．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线E ：()2210,0a b a b-=>>的右焦点为F ，离心率为2，且过点()2,3P ．(1)求双曲线E 的标准方程；(2)设过原点O 的直线1l 在第一、三象限内分别交双曲线E 于A ，C 两点，过原点O 的直线2l 在第二、四象限内分别交双曲线E 于B ，D 两点，若直线AD 过双曲线的右焦点F ，求四边形ABCD 面积的最小值．4．如图，已知双曲线22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(2,0)F ，O 为坐标原点，过点F 作直线1l 与双曲线的渐近线交于P ，Q 两.点，且点P 在线段FQ 上，OP PQ ⊥，|||||OP OQ PQ +.(1)求C 的方程；(2)设12,A A 是C 的左､右顶点，过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与C 交于M ，N 两点，试探究直线1A M 与2A N 的交点S 是否在某条定直线上，若是，求出该定直线方程，若不是，请说明理由.(1)求点P的轨迹C的方程；(2)过点(0,1)且斜率为122k k⎛⎫≤≤⎪⎝⎭的直线l与C交于A，B两点，与x轴交于点M，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，求||||ABMN的取值范围．(1)若第一象限的点P ，Q 是抛物线C 与圆的交点，求证：点F 到直线PQ 的距离大于1；(2)已知直线l ：()1y k x =+与抛物线交于M ，N 两点，()0A t ，，若点N ，G 关于x 轴对称，且M ，A ，G 三点始终共线，求t 的值.7．已知双曲线22:1(0,0)C a b a b-=>>，焦点到渐近线20x y -=的距离为2.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)记双曲线C 的左､右顶点分别为,A B ，直线l 交双曲线C 于点,M N （点M 在第一象限），记直线MA 斜率为1k ，直线NB 斜率为2k ，过原点O 做直线l 的垂线，垂足为H ，当12k k 为定值13-时，问是否存在定点G ，使得GH 为定值，若存在，求此定点G .若不存在，请说明理由.8．已知双曲线22:1(0,0)x y C a b a b-=>>，若直线l 与双曲线C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，且34AB OM k k ⋅=（O 为坐标原点）.(1)求双曲线C 的离心率；(2)若直线l 不经过双曲线C 的右顶点()2,0N ，且以AB 为直径的圆经过点N ，证明直线l 恒过定点E ，并求出点E 的坐标.）因为双曲线的右顶点()2,0N ，所以双曲线C 的标准方程为2243x y -34AB OM k k ⋅=，所以直线l 的斜率一定存在，并且3,//2AB OM ±，这不可能）设直线l 的方程为y kx m =+，联立方程)(222841203k xkmx m ---=()(2222Δ644344k m k m =---2430k -+>，21212284,3434km m x x x x k -+=⋅=--因为以AB 为直径的圆经过点N ，NA NB ⊥，所以0NA NB ⋅=，又因为()(1122,,2,NA x y NB x =-=- ()()121222NA NB x x y y ⋅=--+又因为()()1212y y kx m kx m k =++=()(21212NA NB k x x km ⋅=++- )()2241212343m km k --+⨯+-⨯-化简得2216280m km k ++=，即(m 14m k =-或2m k =-，且均满足9．已知椭圆()22:10C a b a b+=>>的长轴长为4，且离心率为12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线y kx m =+与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，直线OM ，ON 的斜率之积等于1-，求OMN 的面积的取值范围．F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，求OAB 面积的最大值以及此时直线l 的方程.11．已知双曲线()22:10,0C a b a b-=>>，焦点为12,F F ，其中一条渐近线的倾斜角为150 ，点M 在双曲线上，且124MF MF -= .(1)求双曲线C 的标准方程；(2)设椭圆M 以双曲线C 的顶点为焦点，焦点为顶点，直线():01l y kx m m =+<<交M 于,A B 两点（均不在坐标轴上），若AOB 的面积为1，求222k m -的值.设()()1122,,,A x y B x y ，由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得：()222148440k x kmx m +++-=则()2216140k m ∆=+->，即2214m k <+，122814km x x k ∴+=-+，21224414m x x k -=+，设l 与y 轴交于点T ，则()0,T m ，(1211122AOB AOT BOT S S S m x x m x ∴=+=⋅-=⋅+ 2222222141414121414m k m m k m k k+-=⋅=⋅+-=++，()2222214144k k mm +∴+-=，即()222412k m ⎡⎤+-=⎣⎦整理可得：22122k m -=-.【点睛】思路点睛：求解直线与椭圆综合应用中的三角形面积问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式；②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出所求三角形的面积.12．如图，过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点F 作直线l 交E 于A ，B 两点，点A ，B 在x 轴上的射影分别为D ，C ，当AB 平行于x 轴时，四边形ABCD 的面积为4．(1)求p 的值；(2)过抛物线上两点的弦和抛物线弧围成一个抛物线弓形，古希腊著名数学家阿基米德建立了这样的理论：以抛物线弓形的弦为底，以抛物线上平行于弦的切线的切点为顶点作抛物线弓形的内接三角形，则抛物线弓形的面积等于该内接三角形面积的43倍．已知点P 在抛物线E 上，且E 在点P 处的切线平行于AB ，根据上述理论，从四边形ABCD 中任取一点，求该点位于图中阴影部分的概率的取值范围．13．已知椭圆：22:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右顶点分别为12,A A ，上、下顶点分别为12,B B ，122B B =，四边形1122A B A B 的周长为(1)求椭圆E 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 与x 轴交于点P ，与椭圆E 交于不同的两点M ，N ，点M 关于y 轴的对称点为M '、直线M N '与y 轴交于点Q ．若OPQ △的面积为2，求k 的值．123((2,2M M M -⎭中恰有两个点在椭圆上．(1)求椭圆C 的方程；(2)若C 的上顶点为E ，右焦点为F ，过点F 的直线交C 于A ，B 两点（与椭圆顶点不重合），直线EA ，EB 分别交直线40x y --=于P ，Q 两点，求EPQ △面积的最小值．⊥两点，O为坐标原点，OA OB(1)求C的方程；(2)在x轴上是否存在点T，使得直线TA与直线TB的斜率之和为定值k.若存在，求出点T的坐标和定值k；若不存在，请说明理由.，抛物线C的准线与x轴的交点为B，且||AB=(1)求抛物线C的标准方程；(2)过点B的直线l与抛物线C交于E，F两点（异于点A），若直线,EA FA分别交准线于点,M N，求||||BMBN的值．17．在直角坐标系xOy 中，已知椭圆2:12+=E y 的右顶点､下顶点､右焦点分别为A ，B ，F .(1)若直线BF 与椭圆E 的另一个交点为C ，求四边形ABOC 的面积；(2)设M ，N 是椭圆E 上的两个动点，直线OM 与ON 的斜率之积为12-，若点P 满足：2OP OM ON =+.问：是否存在两个定点G ，H ，使得PG PH +为定值？若存在，求出G ，H 的坐标；若不存在，请说明理由.18．已知双曲线22:1(0,0)C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且124F F =，P 是C 上一点．(1)求C 的方程；(2)不垂直于坐标轴的直线l 交C 于M ，N 两点，交x 轴于点A ，线段MN 的垂直平分线交x 轴于点D ，若||||2||AM AN AD ⋅=，证明：直线l 过四个定点()()()()3,0,1,0,1,0,3,0--中的一个．19．已知过点()1,e 的椭圆E ：()2210x y a b a b+=>>的焦距为2，其中e 为椭圆E 的离心率．(1)求E 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，直线l 与E 交于,A C 两点，以OA ，OC 为邻边作平行四边形OABC ，且点B 恰好在E 上，试问：平行四边形OABC 的面积是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，说明理由．20．已知椭圆Γ：(210,2x y m m m +=>≠，点,A B 分别是椭圆Γ与y 轴的交点（点A 在点B 的上方），过点()0,1D 且斜率为k 的直线l 交椭圆Γ于,E G 两点．(1)若椭圆Γ焦点在x 轴上，且其离心率是2，求实数m 的值；(2)若1m k ==，求BEG 的面积；(3)设直线AE 与直线2y =交于点H ，证明：,,B G H 三点共线．。

2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)10：圆锥曲线

2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)10：圆锥曲线

2012高考真题分类汇编：圆锥曲线一、选择题1.【2012高考真题浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y ab-=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是A.3B2C.D.【答案】B【解析】由题意知直线B F 1的方程为：b x c b y +=，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=0,b y a x b x cb y 得点Q ),(a c bc a c ac --，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=0,by a x b x cb y 得点P ),(ac bc a c ac ++-，所以PQ 的中点坐标为),(222b c b c a ，所以PQ 的垂直平分线方程为：)(222bc a x bc bcy --=-，令0=y ，得)1(22ba c x +=，所以c ba c 3)1(22=+，所以2222222a c b a -==，即2223c a =，所以26=e 。

故选B2.【2012高考真题新课标理8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =C 的实轴长为（ ）()A ()B ()C 4 ()D 8【答案】C【解析】设等轴双曲线方程为)0(22>=-m m y x ，抛物线的准线为4-=x ，由34=AB ,则32=A y ,把坐标)32,4(-代入双曲线方程得4121622=-=-=y x m ，所以双曲线方程为422=-yx ，即14422=-yx，所以2,42==a a，所以实轴长42=a ，选C.3.【2012高考真题新课标理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b ab+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ∆是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12()B23()C 34()D 45【答案】C【解析】因为12PF F ∆是底角为30 的等腰三角形，则有P F F F 212=,，因为02130=∠F PF ，所以0260=∠D PF ,0230=∠DPF，所以21222121F F PF D F ==，即c c c a =⨯=-22123，所以c a 223=，即43=a c ，所以椭圆的离心率为43=e ，选C.4.【2012高考真题四川理8】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。

高二数学圆锥曲线综合试题答案及解析

高二数学圆锥曲线综合试题答案及解析

高二数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.已知曲线C上任意一点P到两定点F1(-1,0)与F2(1,0)的距离之和为4．（1）求曲线C的方程；（2）设曲线C与x轴负半轴交点为A，过点M(-4,0)作斜率为k的直线l交曲线C于B、C两点（B在M、C之间），N为BC中点．(ⅰ)证明：k·kON为定值；(ⅱ)是否存在实数k，使得F1N⊥AC？如果存在，求直线l的方程，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）;（2）(ⅰ）;(ⅱ）不存在．【解析】（1）由于曲线C上任意一点P到两定点F1(-1,0)与F2(1,0)的距离之和为4，结合椭圆的定义可知曲线Ｃ是以两定点F1(-1,0)和F2(1,0)为焦点，长轴长为４的椭圆，从而可写出曲线C的方程；（2）由已知可设出过点直线l的方程，并设出直线l与曲线C所有交点的坐标；然后联立直线方程与曲线C的方程，消去y就可获得一个关于x的一元二次方程，应用韦达定理就可写出两交点模坐标的和与积；(ⅰ)应用上述结果就可以用k的代数式表示出弦的中点坐标，这样就可求出ON的斜率，再乘以k就可证明k·kON 为定值；(ⅱ）由F1N⊥AC，得kAC•kFN= -1，结合前边结果就可将此等式转化为关于k的一个方程，解此方程，若无解，则对应直线不存在，若有解，则存在且对应直线方程很易写出来.试题解析：（1）由已知可得：曲线Ｃ是以两定点F1(-1,0)和F2(1,0)为焦点，长轴长为４的椭圆，所以，故曲线C的方程为：. 4分（2）设过点M的直线l的方程为y=k(x+4)，设B(x1, y1)，C(x2, y2）(x2>y2)．(ⅰ)联立方程组，得，则， 5分故，， 7分所以，所以k•kON=为定值. 8分(ⅱ)若F1N⊥AC，则kAC•kFN= -1，因为F1(-1,0)，故， 10分代入y2=k(x2+4)得x2=-2-8k2，y2="2k" -8k3，而x2≥-2，故只能k=0，显然不成立，所以这样的直线不存在． 13分【考点】1.椭圆的方程;2.直线与椭圆的位置关系.2.双曲线+=1的离心率，则的值为.【答案】-32【解析】由题意可得，a=2，又∵e==3，∴c=3a=6，∴b2=c2-a2=36-4=32，而k=-b2，∴k=-32【考点】双曲线离心率的计算.3.已知椭圆，直线是直线上的线段，且是椭圆上一点，求面积的最小值。

高考数学复习考点题型专题讲解21 圆锥曲线的基本问题

高考数学复习考点题型专题讲解21 圆锥曲线的基本问题

高考数学复习考点题型专题讲解专题21 圆锥曲线的基本问题高考定位 圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题，难度较小.1.(2021·新高考Ⅰ卷)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29＋y 24＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( )A.13B.12C.9D.6 答案 C解析 由椭圆C ：x 29＋y 24＝1，得|MF 1|＋|MF 2|＝2×3＝6，则|MF 1|·|MF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|MF 1|＋|MF 2|22＝32＝9，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时等号成立.故选C.2.(2022·全国乙卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在C 上，点B (3，0)，若|AF |＝|BF |，则|AB |＝( )A.2B.2 2C.3D.3 2 答案 B解析 法一 由题意可知F (1，0)， 抛物线的准线方程为x ＝－1.设A (y 204，y 0)，则由抛物线的定义可知|AF |＝y 204＋1，又|BF |＝3－1＝2，故由|AF|＝|BF|，可得y24＋1＝2，解得y0＝±2，所以A(1，2)或A(1，－2). 不妨取A(1，2)，故|AB|＝（1－3）2＋（2－0）2＝22，故选B.法二由题意可知F(1，0)，故|BF|＝2，所以|AF|＝2.又抛物线通径长为4，所以|AF|＝2为通径长的一半，所以AF⊥x轴，所以|AB|＝（－2）2＋22＝22，故选B.3.(2022·全国甲卷)椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为( )A.32B.22C.12D.13答案 A解析设P(m，n)(n≠0)，则Q(－m，n)，易知A(－a，0)，所以k AP·k AQ＝nm＋a·n－m＋a＝n2a2－m2＝14(*).因为点P在椭圆C上，所以m 2a 2＋n 2b 2＝1，得n 2＝b 2a2(a 2－m 2)，代入(*)式，得b 2a 2＝14，所以e ＝ca＝1－b 2a 2＝32.故选A.4.(2022·北京卷)已知双曲线y 2＋x 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，则m ＝________.答案 －3解析法一 依题意得m <0，双曲线的方程化为标准方程为y 2－x 2－m＝1，此时双曲线的渐近线的斜率为±1－m＝±33，解得m ＝－3.法二 依题意得m <0，令y 2－x 2－m ＝0，得y ＝±1－m x ，则±1－m＝±33，解得m ＝－3.5.(2022·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，C 的上顶点为A ，两个焦点为F 1，F 2，离心率为12.过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，|DE |＝6，则△ADE 的周长是________. 答案 13解析 如图，连接AF 1，DF 2，EF 2，因为C 的离心率为12，所以c a ＝12，所以a ＝2c ，所以b 2＝a 2－c 2＝3c 2.因为|AF 1|＝|AF 2|＝a ＝2c ＝|F 1F 2|， 所以△AF 1F 2为等边三角形，又DE ⊥AF 2，所以直线DE 为线段AF 2的垂直平分线， 所以|AD |＝|DF 2|，|AE |＝|EF 2|，且∠EF 1F 2＝30°， 所以直线DE 的方程为y ＝33(x ＋c )，代入椭圆C 的方程x 24c 2＋y 23c 2＝1，得13x 2＋8cx －32c 2＝0.设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8c 13，x 1x 2＝－32c 213，所以|DE |＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋13[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－8c 132－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32c 213＝48c 13＝6， 解得c ＝138，所以a ＝2c ＝134， 所以△ADE 的周长为|AD |＋|AE |＋|DE |＝|DF 2|＋|EF 2|＋|DE |＝4a ＝13.热点一 圆锥曲线的定义与标准方程1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|).(2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (0＜2a ＜|F 1F 2|).(3)抛物线：|PF |＝|PM |，l 为抛物线的准线，点F 不在定直线l 上，PM ⊥l 于点M . 2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值.例1 (1)已知A ，B 分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点与虚轴的上端点，F (2，0)是双曲线C 的右焦点，直线AB 与双曲线C 的一条渐近线垂直，则双曲线C 的标准方程为________.(2)(2022·成都二诊)已知抛物线C 以坐标原点O 为顶点，以⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0为焦点，直线x －my－2p ＝0与抛物线C 交于两点A ，B ，直线AB 上的点M (1，1)满足OM ⊥AB ，则抛物线C 的方程为________.答案 (1)x 22－y 22＝1 (2)y 2＝2x解析 (1)由题意得A (a ，0)，B (0，b )，双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，而k AB ＝－b a，∴－b 2a2＝－1，∴a ＝b ，又F (2，0)，∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4， ∴a 2＝b 2＝2，∴双曲线C 的标准方程为x 22－y 22＝1.(2)由已知直线OM 的斜率为1，则AB 的斜率为－1，所以m ＝－1，又M (1，1)在直线AB 上， ∴1＋1－2p ＝0，∴p ＝1. ∴抛物线C 的方程为y 2＝2x .易错提醒 求圆锥曲线的标准方程时的常见错误：(1)双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；(2)椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a 2＝b 2＋c 2，双曲线中的关系式为c 2＝a 2＋b 2；(3)圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置.训练1 (1)(2022·武汉模拟)抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (3，y )到焦点F 的距离|MF |＝4，则抛物线的方程为( ) A.y 2＝8x B.y 2＝4x C.y 2＝2x D.y 2＝x(2)(2022·怀仁二模)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为6，且离心率为2，则双曲线C 的标准方程为________. 答案 (1)B (2)x 29－y 227＝1解析 (1)由抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (3，y )到焦点F 的距离|MF |＝4， 可得3＋p2＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，故选B.(2)由双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为6，可得a ＝3，离心率为2，所以c ＝6，则b 2＝c 2－a 2＝62－32＝27.所以双曲线C 的标准方程为x 29－y 227＝1.热点二 椭圆、双曲线的几何性质1.求离心率通常有两种方法(1)椭圆的离心率e ＝ca ＝1－b 2a 2(0<e <1)，双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋b 2a2(e >1). (2)根据条件建立关于a ，b ，c 的齐次式，消去b 后，转化为关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围.2.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)共渐近线的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0).考向1 离心率问题例2 (1)(2022·济南模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为( ) A.3－1 B.32C.12D.22(2)(2022·浙江卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，过F 且斜率为b4a 的直线交双曲线于点A (x 1，y 1)，交双曲线的渐近线于点B (x 2，y 2)且x 1<0<x 2.若|FB |＝3|FA |，则双曲线的离心率是________. 答案 (1)A (2)364解析 (1)可画出如图所示图形.△MF 1F 2为等边三角形，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，QF 1⊥MF 2，∠F 1F 2Q ＝60°， ∵|F 1F 2|＝2c ，∴|QF 2|＝c ，|QF 1|＝3c ， ∴|QF 1|＋|QF 2|＝(3＋1)c ＝2a ，∴ca＝3－1， 即e ＝3－1.故选A.(2)结合题意作出图形如图所示，由题意知，过左焦点F (－c ，0)且斜率为b 4a 的直线方程为y ＝b4a(x ＋c )， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b 4a （x ＋c ），y ＝b a x 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c3，y ＝bc 3a ，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 3，bc 3a .因为|FB |＝3|FA |，所以FB →＝3FA →， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫4c 3，bc 3a ＝3(x 1＋c ，y 1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－5c9，y 1＝bc9a ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c 9，bc 9a .将⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c 9，bc 9a 代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c 92a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫bc 9a 2b 2＝1，结合离心率e ＝c a得e 2＝8124， 又e >1，所以双曲线的离心率为364. 考向2 椭圆、双曲线的几何性质例3 (1)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线C 上一点，PF 2⊥x 轴，tan∠PF 1F 2＝34，则双曲线的渐近线方程为( )A.x ±2y ＝0B.2x ±y ＝0C.3x ±y ＝0D.x ±3y ＝0(2)(2022·南通质检)椭圆C ：x 218＋y 2b 2＝1(b 2<18且b >0)的上、下顶点分别为A ，C ，如图，点B 在椭圆上(异于椭圆顶点)，点D 在椭圆内，平面四边形ABCD 满足∠BAD ＝∠BCD ＝90°，且S △ABC ＝2S △ADC ，则该椭圆的短轴长为________.答案 (1)C (2)6解析 (1)因为点P 在双曲线上，且PF 2⊥x 轴，所以点P 的横坐标为c ，代入双曲线的方程可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a ，则|PF 2|＝b 2a，|F 1F 2|＝2c ，所以tan∠PF 1F 2＝|PF 2||F 1F 2|＝b 2a 2c ＝b 22ac ＝34，整理得2b 2＝3ac ， 所以4⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4－9⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－9＝0，解得ba＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即3x ±y ＝0，故选C. (2)根据题意可得A (0，b )，C (0，－b )，设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2).连接BD ，由∠BAD ＝∠BCD ＝90°可得，点A ，B ，C ，D 均在以BD 为直径的圆E (E 为BD 中点)上，又原点O 为圆E 上的弦AC 的中点，所以圆心E 在AC 的垂直平分线上，即圆心E 在x 轴上， 所以y 1＋y 2＝0. 又S △ABC ＝2S △ADC ， 所以x 1＝－2x 2，故圆心E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 14，0，所以圆E 的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －x 142＋y 2＝916x 21＋y 21，将(0，b )代入圆E 的方程，结合x 2118＋y 21b 2＝1可得b 2＝9，所以b ＝3，短轴长为6.规律方法 1.确定椭圆和双曲线的离心率的值或范围，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后用a ，c 代换b ，进而求ca的值或范围.2.求双曲线渐近线方程的关键在于求b a 或ab 的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.训练2 (1)双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 在y 轴上，且△MF 1F 2为正三角形.若线段MF 2的中点恰好在双曲线E 的渐近线上，则E 的离心率等于( ) A.5B.2 C.3D. 2(2)(2022·张家口一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，过原点O 的直线l交椭圆C 于点A ，B ，且2|FO |＝|AB |，若∠BAF ＝π6，则椭圆C 的离心率是________. 答案 (1)B (2)3－1解析 (1)不妨设M 在y 轴的正半轴上， 设M (0，t )，t >0，由于△MF 1F 2为正三角形，所以t ＝3c ，故M (0，3c )，则MF 2的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，3c 2， 因为N 在渐近线y ＝b ax 上，所以3c 2＝b a ×c 2，即b a ＝3，e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，故选B. (2)因为直线AB 过原点，由椭圆及直线的对称性可得|OA |＝|OB |， 所以|AB |＝2|OA |，设右焦点F ′，连接BF ′，AF ′， 又因为2|OF |＝|AB |＝2c ， 可得四边形AFBF ′为矩形，在Rt△ABF 中，|AF |＝2c ·cos∠BAF ＝2c ·32＝3c ， |BF |＝2c ·sin∠BAF ＝2c ·12＝c ，∴|AF ′|＝|BF |＝c ，由椭圆定义|AF |＋|AF ′|＝3c ＋c ＝2a ， ∴e ＝c a＝3－1.热点三 抛物线的几何性质抛物线的焦点弦的几个常见结论：设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，α是弦AB 的倾斜角，则(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α. (3)1|FA |＋1|FB |＝2p.(4)以线段AB 为直径的圆与准线x ＝－p2相切.例4 (1)(2022·泰安模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，射线FM 与y 轴交于点A (0，2)，与抛物线C 的准线交于点N ，FM →＝55MN →，则p 的值等于( ) A.18B.2 C.14D.4 (2)(多选)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线l 的斜率为3且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D ，若|AF |＝8，则以下结论正确的是( ) A.p ＝4 B.DF →＝FA → C.|BD |＝2|BF | D.|BF |＝4 答案 (1)B (2)ABC解析 (1)依题意F 点的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设M 在准线上的射影为K ， 由抛物线的定义知|MF |＝|MK |， ∵FM →＝55MN →，∴|FM ||MN |＝55， 可得|MK ||MN |＝55， 则|KN |∶|KM |＝2∶1， ∴k FN ＝0－2p 2－0＝－4p ，∴－4p＝－2，求得p ＝2.故选B.(2)如图所示，分别过点A ，B 作准线的垂线，垂足分别为E ，M ，连接EF .设抛物线C 的准线交x 轴于点P ，则|PF |＝p ，由于直线l 的斜率为3，则其倾斜角为60°.又AE ∥x 轴，∴∠EAF ＝60°，由抛物线的定义可知，|AE |＝|AF |，则△AEF 为等边三角形， ∴∠EFP ＝∠AEF ＝60°，则∠PEF ＝30°，∴|AF |＝|EF |＝2|PF |＝2p ＝8，解得p ＝4，故A 正确；∵|AE |＝|EF |＝2|PF |，PF ∥AE ，∴F 为线段AD 的中点，则DF →＝FA →，故B 正确； ∵∠DAE ＝60°，∴∠ADE ＝30°，∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|(抛物线定义)，故C正确；∵|BD|＝2|BF|，∴|BF|＝13|DF|＝13|AF|＝83，故D错误.规律方法利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算.训练3 (1)(2022·济南模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l经过F与抛物线交于A，B两点，点P在抛物线的准线上，且PF⊥AB，线段AB的中点为Q.若|PQ|＝4，则|AB|＝( )A.4B.4 2C.8D.8 2(2)(2022·广州模拟)过抛物线y2＝4x焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A，B，C.若AB→＝2BF→，则线段BC的中点到准线的距离为( )A.3B.4C.5D.6答案(1)C (2)B解析(1)由A，B向准线作垂线，垂足分别为C，D，因为PF⊥AB，可知P是线段CD的中点，PQ 是梯形ABDC 的中位线，又由抛物线的定义可知|AB |＝2|PQ |＝8，故选C. (2)由抛物线的方程可得焦点F (1，0)，渐近线的方程为：x ＝－1， 由AB →＝2BF →， 可得|AB ||BF |＝2， 如图所示：作BB ′垂直于准线于B ′， 而|BB ′||AB |＝22，∴∠ABB ′＝45°， 所以直线AB 的斜率为1， 所以直线AB 的方程为x ＝y ＋1， 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝y ＋1，整理可得：x 2－6x ＋1＝0，可得x 1＋x 2＝6，所以线段BC 的中点到准线的距离为x 1＋x 22＋1＝4，故选B.一、基本技能练1.(2022·温州模拟)双曲线y 2－2x 2＝1的离心率是( )A.52B.62C.3D. 5 答案 B解析 双曲线方程化为y 21－x 212＝1，则a 2＝1，b 2＝12，从而e ＝1＋b 2a 2＝62，故选B. 2.设经过点F (1，0)的直线与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点.若线段AB 中点的横坐标为2，则|AB |＝( ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案 C解析 因为抛物线为y 2＝4x ，所以p ＝2， 设A ，B 两点横坐标为x 1，x 2， 因为线段AB 中点的横坐标为2， 则x 1＋x 22＝2，即x 1＋x 2＝4，故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4＋2＝6，故选C.3.(2022·烟台一模)已知点F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，点P 在抛物线上且横坐标为8，O 为坐标原点，若△OFP 的面积为22，则该抛物线的准线方程为( ) A.x ＝－12B.x ＝－1C.x ＝－2D.x ＝－4 答案 B解析 由抛物线的方程可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，不妨设P 在x 轴上方，则y 2＝2p ×8，可得y p ＝4p ， 则S △OFP ＝12|OF |·y p ＝12×p2×4p ＝22，解得p ＝2，所以准线方程为x ＝－p2＝－1，故选B.4.“1<k <5”是方程“x 2k －1＋y 25－k＝1表示椭圆”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 B解析 因为k ＝3时，x 2k －1＋y 25－k＝1表示圆，故充分性不成立.若x 2k －1＋y 25－k＝1表示椭圆，则⎩⎨⎧k －1>0，5－k >0，k －1≠5－k ，∴1<k <5且k ≠3，∴必要性成立. 故“1<k <5”是“方程x 2k －1＋y 25－k＝1表示椭圆”的必要不充分条件.故选B.5.已知双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与x 轴正半轴所成夹角为π3，则C的离心率为( )A.233B.2C.3D.3 答案 A解析 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±ab x ，由题意可得a b ＝tanπ3＝3， 则b a ＝33， 所以e ＝ca ＝c 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝233，故选A.6.(2022·西安二模)直线y ＝kx (k >0)与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)在第一、第三象限分别交于P ，Q 两点，F 2是C 的右焦点，有|PF 2|∶|QF 2|＝1∶3，且PF 2⊥QF 2，则C 的离心率是( ) A.3B. 6 C.3＋1 D.6＋1 答案 C解析 由对称性可知四边形PF 1QF 2为平行四边形， 又由PF 2⊥QF 2得四边形PF 1QF 2为矩形， ∴|PQ |＝|F 1F 2|＝2c ， 又|PF 2|∶|QF 2|＝1∶3， ∴|QF 2|－|PF 2|＝(3－1)c ＝2a ， ∴e ＝c a＝23－1＝3＋1，故选C.7.(2022·石家庄模拟)已知椭圆M：x2a2＋y2＝1(a>1)的中心为O，过焦点F的直线l与M交于A，B两点，线段AF的中点为P，若|OP|＝|PF|＝32，则M的方程为( )A.x22＋y2＝1 B.x23＋y2＝1C.x24＋y2＝1 D.x25＋y2＝1答案 B解析不妨设F为椭圆M的右焦点，则其左焦点为F1，连接AF1，∵O为FF1中点，P为AF中点.∴OP为△AFF1的中位线.∴|AF1|＝2|OP|＝3，|AF|＝2|PF|＝ 3.∴|AF1|＋|AF|＝23＝2a，∴a＝ 3.∴椭圆M的方程为x23＋y2＝1，故选B.8.(2022·南京调研)已知F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点和右焦点，过F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，△AF1F2的内切圆半径为r1，△BF1F2的内切圆半径为r2，若r1＝2r2，则直线l的斜率为( )A.1B. 2C.2D.2 2答案 D解析记△AF1F2的内切圆圆心为C，△BF1F2的内切圆圆心为D，边AF 1，AF 2，F 1F 2上的切点分别为M ，N ，E ，易知C ，E 横坐标相等，|AM |＝|AN |，|F 1M |＝|F 1E |，|F 2N |＝|F 2E |，由|AF 1|－|AF 2|＝2a ，即|AM |＋|MF 1|－(|AN |＋|NF 2|)＝2a ，得|MF 1|－|NF 2|＝2a ， 即|F 1E |－|F 2E |＝2a ，记C 的横坐标为x 0，则E (x 0，0)， 于是x 0＋c －(c －x 0)＝2a ，得x 0＝a ， 同样圆心D 的横坐标也为a ，则有CD ⊥x 轴，设直线l 的倾斜角为θ，则∠OF 2D ＝θ2，∠CF 2O ＝90°－θ2，在△CEF 2中，tan∠CF 2O ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫90°－θ2＝r 1|EF 2|，在△DEF 2中，tan∠OF 2D ＝tan θ2＝r 2|EF 2|，由r 1＝2r 2，可得2tan θ2＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫90°－θ2＝1tanθ2，解得tan θ2＝22，则直线l 的斜率为tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝21－12＝22，故选D.9.(多选)(2022·福州模拟)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C上一点，则( )A.C 的离心率为22B.△PF 1F 2的周长为5C.∠F 1PF 2<90°D.1≤|PF 1|≤3 答案 CD解析 对于A ，由椭圆方程知：a ＝2，c ＝4－3＝1，∴离心率e ＝c a ＝12，A 错误；对于B ，由椭圆定义知：|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，|F 1F 2|＝2c ＝2， ∴△PF 1F 2的周长为4＋2＝6，B 错误；对于C ，当P 为椭圆短轴端点时，tan ∠F 1PF 22＝c b ＝33，∴tan∠F 1PF 2＝2tan∠F 1PF 221－tan 2∠F 1PF 22＝2331－13＝3，∴∠F 1PF 2＝60°，即(∠F 1PF 2)max ＝60°， ∴∠F 1PF 2<90°，C 正确；对于D ，∵|PF 1|min ＝a －c ＝1，|PF 1|max ＝a ＋c ＝3， ∴1≤|PF 1|≤3，D 正确. 故选CD.10.(多选)(2022·菏泽模拟)设抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，E(3，1)为定点，则下列结论正确的有( )A.准线l的方程是y＝－2B.以线段MF为直径的圆与y轴相切C.|ME|＋|MF|的最小值为5D.|ME|－|MF|的最大值为2答案BC解析抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2，0)，准线为l：x＝－2，故A错误；设M(m，n)，MF的中点为N，可得|MF|＝m＋2＝2·m＋2 2，即N到y轴的距离是|MF|的一半，则以线段MF为直径的圆与y轴相切，故B正确；设M在准线上的射影为H，由|ME|＋|MF|＝|ME|＋|MH|，当E，M，H三点共线时，|ME|＋|MH|取得最小值，为3＋2＝5，故C正确；由|ME|－|MF|≤|EF|，当M为EF的延长线与抛物线的交点时，取得最大值|EF|，为（3－2）2＋（1－0）2＝2，故D错误.故选BC.11.已知抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－1，则p＝________.答案 2解析 y 2＝2px 准线方程为x ＝－p2，则－p2＝－1，∴p ＝2.12.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5，且其虚轴长大于1，则双曲线C的一个标准方程可以为________. 答案x 2－y 24＝1(答案不唯一)解析 依题意，不妨取b ＝2，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝5，b ＝2，c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝1，b ＝2，c ＝ 5.所以满足题设的一个标准方程为x 2－y 24＝1.二、创新拓展练13.(多选)(2022·南通适考)在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 24＋y 22＝1的左、右焦点，点A ，B 是椭圆C 上异于长轴端点的两点，且满足AF 1→＝λF 1B →，则( ) A.△ABF 2的周长为定值B.AB 的长度最小值为1 C.若AB ⊥AF 2，则λ＝3D.λ的取值范围是[1，5] 答案 AC解析 AF 1→＝λF 1B →，则A ，B ，F 1三点共线，△ABF 2周长＝4a ＝8是定值，A 正确.AB min ＝2·b 2a＝2≠1，B 错误；∵AB ⊥AF 2，则AF 1⊥AF 2，A 在上、下顶点处，不妨设A (0，2)，则AB ∶y ＝x ＋2，⎩⎨⎧y ＝x ＋2，x 24＋y 22＝1.解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－423，y ＝－23，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－423，－23，λ＝－2－23＝3，C 正确； 令AB ：x ＝my －2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，⎩⎨⎧x ＝my －2，x 24＋y 22＝1消x 可得(m 2＋2)y 2－22my －2＝0，则y 1＋y 2＝22mm 2＋2， y 1y 2＝－2m 2＋2，－y 1＝λy 2，当m ＝0时，λ＝1，当m ≠0时，λ（1－λ）2＝m 2＋24m 2>14，∴3－22<λ<3＋22，D 错误.故选AC.14.(多选)(2022·济宁模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 是双曲线C 上异于顶点的一点，则( ) A.||PA 1|－|PA 2||＝2aB.若焦点F 2关于双曲线C 的渐近线的对称点在C 上，则C 的离心率为 5C.若双曲线C 为等轴双曲线，则直线PA 1的斜率与直线PA 2的斜率之积为1D.若双曲线C 为等轴双曲线，且∠A 1PA 2＝3∠PA 1A 2，则∠PA 1A 2＝π10答案 BCD解析 对于A ：在△PA 1A 2中，根据三角形两边之差小于第三边， 故||PA 1|－|PA 2||<|A 1A 2|＝2a ，故A 错误； 对于B ，焦点F 2(c ，0)，渐近线不妨取y ＝bax ，即bx －ay ＝0， 设焦点F 2关于双曲线C 的渐近线的对称点为(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n m －c ×b a ＝－1，b ×m ＋c 2－a ×n 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝a 2－b 2c ，n ＝2abc，即F 2关于双曲线C 的渐近线的对称点为⎝⎛⎭⎪⎫a 2－b 2c ，2ab c ， 由题意该对称点在双曲线上，故（a 2－b 2）2a 2c 2－（2ab ）2b 2c 2＝1，将c 2＝a 2＋b 2代入，化简整理得b 4－3a 2b 2－4a 4＝0，即b 2＝4a 2， 所以e ＝1＋b 2a2＝5， ∴e ＝5，故B 正确；对于C ：双曲线C 为等轴双曲线， 即C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)，设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则x 20－y 20＝a 2，所以x 20－a 2＝y 20， 故k PA 1·k PA 2＝y 0x 0＋a ·y 0x 0－a ＝y 20x 20－a2＝1，故C 正确；对于D ：双曲线为等轴双曲线，即C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)， 且∠A 1PA 2＝3∠PA 1A 2， 设∠PA 1A 2＝θ，∠A 1PA 2＝3θ， 则∠PA 2x ＝4θ，根据C 项中的结论kPA 1·kPA 2＝1， 即有tan θ·tan 4θ＝1，在三角形中，只有两角互余时，它们的正切值才互为倒数， 故θ＋4θ＝π2，所以θ＝π10，即∠PA 1A 2＝π10，故D 正确.故选BCD.15.(多选)(2022·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为C 上任意一点，△PF 1F 2的内切圆的圆心为I ，圆I 与PF 1的切点为M ，PI 与x 轴的交点为N ，则以下结论正确的有( ) A.PF 1→·PF 2→有最大值a 2 B.内切圆I 面积有最大值πb 2c 2（a ＋c ）2C.若|PM |＝12|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率为 12D.若∠F 1PF 2＝2π3，则1|PF 1|＋1|PF 2|＝1|PN |答案 BCD解析 对A ：PF 1→·PF 2→＝PO →2－c 2≤b 2，故A 不正确；对B ：由等面积法，内切圆I 的半径r ＝S △PF 1F 2a ＋c ≤bca ＋c ，所以内切圆面积有最大值πb 2c 2（a ＋c ）2，故B 正确；对C ：|PM |＝12|F 1F 2|＝c ，2|PM |＋2c ＝4c ＝2a ，椭圆C 的离心率为12，故C 正确；对D ：若∠F 1PF 2＝2π3，由角平分线性质得则1|PF 1|＋1|PF 2|＝1|PN |，故D 正确.故选BCD. 16.(多选)(2022·无锡模拟)已知双曲线C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1>0，b 1>0)的一条渐近线的方程为y ＝3x ，且过点⎝⎛⎭⎪⎫1，32，椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦距与双曲线C 1的焦距相同，且椭圆C 2的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线交C 2于A ，B 两点，若点A (1，y 1)，则下列说法中正确的有( ) A.双曲线C 1的离心率为2 B.双曲线C 1的实轴长为12C.点B 的横坐标的取值范围为(－2，－1)D.点B 的横坐标的取值范围为(－3，－1) 答案 AD解析 双曲线C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1>0，b 1>0)的一条渐近线的方程为y ＝3x ，则可设双曲线C 1的方程为x 2－y 23＝λ，∵过点⎝⎛⎭⎪⎫1，32，∴1－34＝λ，解得λ＝14，∴双曲线C 1方程为4x 2－43y 2＝1，即x 214－y234＝1，可知双曲线C 1的离心率e ＝ca＝2，实轴的长为1，故选项A 正确，选项B 错误； 由14＋34＝1，可知椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b2＝1的焦点F 1(－1，0)，F 2(1，0)， 不妨设A (1，y 1)(y 1>0)，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得1a 2＋y 21b 2＝1，∴y 1＝b 2a ，直线AB 的方程为y ＝b 22a(x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b 22a （x ＋1），x2a 2＋y2b 2＝1，消去y 并整理得(a 2＋3)x 2＋2(a 2－1)x －3a 2－1＝0， 根据韦达定理可得1·x B ＝－3a 2＋1a 2＋3，可得x B ＝－3a 2＋1a 2＋3＝－3＋8a 2＋3，又a 2>1，∴a 2＋3>4，0<8a 2＋3<2， ∴－3<x B <－1，故选项C 错误，选项D 正确，故选AD.17.(2022·北京石景山区一模)设点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P是椭圆C 上任意一点，若使得PF 1→·PF 2→＝m 成立的点恰好是4个，则实数m 的一个取值可以为________. 答案 0(答案不唯一)解析 当m ＝0时，PF 1→·PF 2→＝0，则PF 1→⊥PF 2→，由椭圆方程可知a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3，因为c >b ，所以以F 1F 2为直径的圆与椭圆有4个交点. 使得PF 1→·PF 2→＝0成立的点恰好有4个. 所以实数m 的一个取值可以为0.18.(2022·湖州质检)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，设椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 21＋e 22的最小值为________.答案 1＋32解析 由题意，可设椭圆长半轴为a 1，双曲线的实半轴为a 2， 不妨设P 为双曲线右支上一点，由椭圆和双曲线的定义可知 ⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，则|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2， 又∠F 1PF 2＝π3，由余弦定理可得(2c )2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cosπ3， 整理得4c 2＝a 21＋3a 22，即1e 21＋3e 22＝4，则14e 21＋34e 22＝1， 所以e 21＋e 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14e 21＋34e 22(e 21＋e 22)＝1＋e 224e 21＋3e 214e 22≥1＋2e 224e 21·3e 214e 22＝1＋32. 当且仅当e 224e 21＝3e 214e 22，即e 2＝43e 1时取等号.。

圆锥曲线中二级结论的应用 解析版

圆锥曲线中二级结论的应用圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式．法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，理解各结论之间的联系与区别，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解．知识导图考点分类讲解　焦点弦问题1.已知F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，直线l 过左焦点F 1与椭圆(焦点在x 轴上)交于A ，B 两点，设∠AF 1F 2=α，e 为椭圆的离心率，p 为椭圆的焦点到对应准线的距离，则p =a 2c -c =b 2c.(1)椭圆焦半径公式：|AF 1|=ep 1-e ·cos α，|BF 1|=ep 1+e ·cos α，1|AF 1|+1|BF 1|=2ep .(2)椭圆焦点弦弦长公式：|AB |=|AF 1|+|BF 1|=2ep1-e 2·cos 2α.(3)焦点三角形的面积公式：P 为椭圆上异于长轴端点的一点，F 1，F 2为其左、右焦点且∠F 1PF 2=θ，则S △PF 1F 2=b 2·tan θ2.2.已知F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，直线l 过左焦点F 1与双曲线(焦点在x 轴上)交于A ，B 两点，设∠AF 1F 2=α，e 为双曲线离心率，p 为双曲线的焦点到对应准线的距离，则p =c -a 2c =b 2c.图1 图2(1)若直线与双曲线交于一支(如图1)，则|AF 1|=ep 1+e ·cos α，|BF 1|=ep 1-e ·cos α，1|AF 1|+1|BF 1|=2ep .若直线与双曲线交于两支(如图2)，则|AF 1|=ep e ·cos α+1，|BF 1|=ep e ·cos α-1，1|AF 1|-1|BF 1|=2ep.(2)双曲线焦点弦弦长公式：若直线与双曲线交于一支，则|AB |=|AF 1|+|BF 1|=2ep1-e 2·cos 2α.若直线与双曲线交于两支，则|AB |=||AF 1|-|BF 1||=2epe 2·cos 2α-1.(3)焦点三角形的面积公式：P 为双曲线上异于实轴端点的一点，F 1，F 2为其左、右焦点且∠F 1PF 2=θ，则S △PF 1F 2=b 2tan θ2.3.已知直线l 过焦点F 与抛物线(焦点在x 轴上)交于A ，B 两点，设∠AFx =α，e 为抛物线离心率，p 为抛物线的焦点到对应准线的距离．(1)抛物线焦半径公式：|AF |=ep 1-e ·cos α=p 1-cos α，|BF |=ep 1+e ·cos α=p 1+cos α，1|AF |+1|BF |=2ep =2p.(2)抛物线焦点弦弦长公式：|AB |=|AF |+|BF |=2ep 1-e 2·cos 2α=2psin 2α.4.焦点弦定理已知焦点在x 轴上的椭圆或双曲线或抛物线，经过其焦点F 的直线交曲线于A ，B 两点，直线AB 的倾斜角为α，AF =λFB ，则曲线的离心率满足等式|e cos α|=λ-1λ+1 .易错提醒　(1)要注意公式中α的含义．(2)公式中的加减符号易混淆．(3)直线与双曲线交于一支和两支的公式不一样．1(23-24高三上·北京海淀·阶段练习)已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，A ，B 两点在C 上，AF =2，BF =5，则直线AB 斜率的最小值和最大值分别是()A.-23，23B.-23，2 C.-2，23D.-2，2【答案】D【分析】利用焦半径公式求得A ，B 两点坐标，从而得到直线AB 斜率的情况，由此得解.【详解】由题意知F 1,0 ，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则由AF =2，得x 1+1=2，得x 1=1，代入C ：y 2=4x ，得y 1=±2，所以A 1,2 或A 1,-2 ；由BF =5，得x 2+1=5，得x 2=4，代入C ：y 2=4x ，得y 2=±4，所以B 4,4 或B 4,-4 ；所以直线AB 斜率有4-24-1=23,4+24-1=2,-4-24-1=-2,-4+24-1=-23四种情况，则直线AB 斜率的最小值为-2，最大值为2.故选：D .2(22-23高三上·四川广安·阶段练习)双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的一条渐近线方程为y =-3x ，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线左支上的点到F 2的距离最小值为3，则双曲线方程为()A.x 23-y 2=1B.x 2-y 23=1 C.x 29-y 23=1D.x 23-y 29=1【答案】B【分析】求出双曲线左支上的点到F 2的距离最小值，可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出该双曲线的方程.【详解】双曲线左支上一点为P x 0,y 0 ，则x 0≤-a ，且y 20=b 2x 20a2-b 2，则PF 2 =x 0-c2+y 20=x 20-2cx 0+c 2+b 2x 20a2-b 2=c 2x 20a2-2cx 0+a 2=a -ca x 0≥a +c ，则a +c =3，由已知可得b a =3a +c =3b 2=c 2-a 2，解得a =1b =3c =2，因此，双曲线方程为x 2-y 23=1.故选：B .3(2024·江苏·一模)已知抛物线E ：x 2=4y 的焦点为F ，过F 的直线l 1交E 于点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，E 在B 处的切线为l 2，过A 作与l 2平行的直线l 3，交E 于另一点C x 3,y 3 ，记l 3与y 轴的交点为D ，则()A.y 1y 2=1B.x 1+x 3=3x 2C.AF =DFD.△ABC 面积的最小值为16【答案】ACD【分析】A 选项，求出焦点坐标与准线方程，设直线l 1的方程为y =kx +1，联立抛物线方程，得到两根之积，从而求出y 1y 2=1；B 选项，求导，得到切线方程，联立抛物线方程，得到x 1+x 3=2x 2；C 选项，求出D 0,y 1+2 ，DF =y 1+1，结合焦半径公式求出AF =y 1+1，C 正确；D 选项，作出辅助线，结合B 选项，得到S △ABC =2S △ABM ，表达出S △ABM ，利用基本不等式求出最小值，从而得到△ABC 面积最小值.【详解】A 选项，由题意得F 0,1 ，准线方程为y =-1，直线l 1的斜率存在，故设直线l 1的方程为y =kx +1，联立x 2=4y ，得x 2-4k -4=0，x 1x 2=-4，故y 1y 2=116x 21x 22=1，A 正确；B 选项，y =12x ，直线l 2的斜率为12x 2，故直线l 3的方程为y -y 1=x 22x -x 1 ，即y =x 22x +y 1+2，联立x 2=4y ，得x 2-2x 2x -2y 1+2 =0，故x 1+x 3=2x 2，所以B 错误；C 选项，由直线l 3的方程y -y 1=x 22x -x 1 ，令x =0得y =x22-x 1 +y 1，又x 1x 2=-4，所以y =y 1+2，故D 0,y 1+2 ，故DF =y 1+1，又由焦半径公式得AF =y 1+1，所以C 正确；D 选项，不妨设x 1<x 2，过B 向l 3作垂线交l 3于M ，根据B 选项知，x 1+x 3=2x 2，故S △ABC =2S △ABM ，根据直线l 3的方程y -y 1=x 22x -x 1 ，当x =x 2时，y =x 22x 2-x 1 +y 1=x 222+y 1-x 1x 22=x 222+y 1+2，故M x 2,x 222+y 1+2，故BM =x 222+y 1+2-y 2=x 222+x 214-x 224=x 214+164x 21+2=14x 1+4x 12，故S △ABM =12x 1-x 2 ⋅14⋅x 1+4x 12=18x 1+4x 1⋅x 1+4x 12=18x 1+4x 13≥182x 1⋅4x 13=8，当且仅当x 1=4x 1，即x 1=2时，等号成立，故△ABC 的面积最小值为16，D 正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．4已知双曲线x 2-y 2=2，点F 1，F 2为其左、右焦点，点P 为双曲线上一点，若∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为()A.2B.22C.3D.23【答案】　D【解析】方法一　设θ=∠F 1PF 2=60°，则S △F 1PF 2=12|PF 1||PF 2|sin θ，而cos θ=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=(|PF 1|-|PF 2|)2+2|PF 1||PF 2|-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|，且||PF 1|-|PF 2||=2a ，|F 1F 2|=2c ，所以|PF 1||PF 2|=2b 21-cos θ，故S △F 1PF 2=b 2sin θ1-cos θ=2 3.方法二　双曲线焦点三角形的面积S △F 1PF 2=b 2tan θ2=2 3.考点二等角的性质1.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，过长轴上任意一点N (t ,0)的弦的端点A ，B 与对应的点G a 2t ，0 的连线所成的角被焦点所在的直线平分，即∠OGA =∠OGB (如图1)．图1 图2 图32.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)，过实轴所在直线上任意一点N (t ,0)的弦的端点A ，B 与对应点G a 2t ，0 的连线所成的角被焦点所在的直线平分，即∠NGA =∠NGB (如图2)．3.已知抛物线y 2=2px (p >0)，过抛物线对称轴上任意一点N (a ,0)的一条弦的端点A ，B 与对应点G (-a ,0)的连线所成角被对称轴平分，即∠OGA =∠OGB (如图3)．规律方法　根据等角性质，存在某定点满足条件，快速算出此点的坐标，这给算出准确答案提供了依据．1(23-24高三上·天津南开·阶段练习)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，若椭圆的焦距为4且经过点-2,2，过点T-6,0的直线交椭圆于P，Q两点．(1)求椭圆方程；(2)求△OPQ面积的最大值，并求此时直线PQ的方程；(3)若直线PQ与x轴不垂直，在x轴上是否存在点S s,0使得∠PST=∠QST恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)x28+y24=1(2)面积最大值为22，直线PQ:x+y+6=0或x-y+6=0(3)存在，S-463,0【分析】(1)由焦距是4求出c，将-2,2代入椭圆方程求出a,b，得到答案；(2)根据题意设直线PQ:x=my-6，与椭圆方程联立可得y1+y2,y1y2，由S△OPQ=12×OT×y1-y2，代入运算化简，利用不等式求出△OPQ面积的最大值；(3)根据题意有k PS+k QS=0，转化为2my1y2-6+sy1+y2=0，由第二问代入运算得解.【详解】(1)由题意，c=2，将点-2,2代入椭圆方程得a2-b2=44a2+2b2=1 ，解得a2=8，b2=4，所以椭圆C的方程为x28+y24=1.(2)根据题意知直线PQ的斜率不为0，设直线PQ:x=my-6，P x1,y1，Q x2,y2，联立x=my-6x28+y24=1，消去x整理得m2+2y2-26my-2=0，∴y1+y2=26mm2+2，y1y2=-2m2+2，且Δ=32m2+16>0，∴S△OPQ=S△OTP+S△OTQ=12×OT×y1-y2=62×y1+y22-4y1y2=26×2m2+1m2+2，令t=2m2+1，t≥1，∴S△OPQ=46tt2+3=46t+3t≤4623=22，当且仅当t=3t，即t=3，即m=±1时，等号成立，所以△OPQ面积的最大值为22，此时直线PQ的方程为x+y+6=0或x-y+6=0.(3)在x 轴上存在点S -463,0 使得∠PST =∠QST ，理由如下：因为∠PST =∠QST ，所以k PS +k QS =0，即y 1x 1-s +y 2x 2-s=0，整理得y 1x 2-s +y 2x 1-s =0，即y 1my 2-6-s +y 2my 1-6-s =0，即2my 1y 2-6+s y 1+y 2 =0，则2m ×-2m 2+2-6+s×26m m 2+2=0，又m ≠0，解得s =-463，所以在x 轴上存在点S -463,0 使得∠PST =∠QST .2(2024·云南昆明·模拟预测)已知双曲线E ：x 2a2-y 23=1a >0 的右焦点为F 2c ,0 ，一条渐近线方程为y =23cx ．(1)求双曲线E 的方程；(2)是否存在过点F 2的直线l 与双曲线E 的左右两支分别交于A ，B 两点，且使得∠F 1AB =∠F 1BA ，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】(1)x 2-y 23=1(2)存在，15x ±5y -215=0．【分析】(1)根据渐近线方程和c 2=a 2+b 2求a ,c 的值，即可得到双曲线E 的方程；(2)假设存在直线l ，由∠F 1AB =∠F 1BA 得F 1A =F 1B ，取AB 的中点M ，则k F 1M ⋅k MF 2=-1，进而得x 20+y 20=4；又利用x 21-y 213=1x 22-y 223=1得y 20=3x 20-6x 0，于是联立方程组可得M 的坐标，从而得到直线l 的斜率并得出直线l 的方程.【详解】(1)因为双曲线E 的一条渐近线方程为y =23c x ，所以b a =23c，又b 2=3，因此c =2a ，又a 2+b 2=c 2，a =1，c =2；则E 的方程为x 2-y 23=1．(2)假设存在过点F 2的直线l 与双曲线E 的左右两支分别交于A ，B 两点，且使得∠F 1AB =∠F 1BA ，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，AB 中点为M x 0,y 0 ，又F 1-2,0 ,F 22,0 ，由∠F 1AB =∠F 1BA 可知△F 1AB 为等腰三角形，F 1A =F 1B ，且直线l 不与x 轴重合，于是F 1M ⊥AB ，即F 1M ⊥MF 2，因此k F 1M ⋅k MF 2=-1，y 0x 0+2⋅y 0x 0-2=-1，x 20+y 20=4(Ⅰ)点A ,B 在双曲线E 上，所以x 21-y 213=1①x 22-y 223=1②，①-②化简整理得：y 1+y 2x 1+x 2⋅y 1-y 2x 1-x 2=3，y 0x 0⋅y 1-y 2x 1-x 2=3，即k OM ⋅k AB =3，可得y 0x 0⋅y 0x 0-2=3，y 20=3x 20-6x 0(Ⅱ)联立(Ⅰ)(Ⅱ)得：x 20+y 20=4y 20=3x 20-6x 0 ，2x 20-3x 0-2=0，x 0-2 2x 0+1 =0，解得x 0=2y 0=0 (舍去)，x 0=-12y 0=±152适合题意，则M -12,±152 ；由k OM ⋅k AB =3得k AB =3×±115=±155，所以直线l 的方程为：y =±155x -2 ，即15x ±5y -215=0．3(23-24高二下·河北秦皇岛·开学考试)已知抛物线D 的顶点是椭圆x 24+y 23=1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．(1)求抛物线D 的方程；(2)已知动直线l 过点P 4,0 ，交抛物线D 于A 、B 两点，坐标原点O 为PQ 中点，求证：∠AQP =∠BQP ；(3)是否存在垂直于x 轴的直线m 被以AP 为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m 的方程；如果不存在，说明理由．【答案】(1)y 2=4x (2)证明见解析(3)存在，x =3【分析】(1)由题意，设抛物线方程y 2=2px (p >0),由a 2-b 2=4-3=1，得c =1.由此能求出抛物线D 的方程；(2)设A x 1，y 1 ，B x 2，y 2 ，由于O 为PQ 中点，则Q -4,0 ,故当l ⊥x 轴时由抛物线的对称性知∠AQP =∠BQP ，当l 不垂直x 轴时，设l :y =k x -4 ，由y =k x -4y 2=4x，得k 2x 2-42k 2+1 x +16k 2=0，由此能够证明∠AQP =∠BQP .(3)设存在直线m :x =t 满足题意，则圆心M x 1+42,y 12，过M 作直线x =t 的垂线，垂足为E ，故|EG |2=|MG |2-|ME |2，由此能够推出存在直线m ：x =3满足题意．【详解】(1)由题意，可设抛物线方程为y 2=2px (p >0)．由a 2-b 2=4-3=1，得c =1．∴抛物线的焦点为1,0 ，∴p =2．∴抛物线D 的方程为y 2=4x (2)证明：设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由于O 为PQ 中点，则Q -4,0 ，故当l ⊥x 轴时，由抛物线的对称性知，一定有∠AQP =∠BQP ，当l 不垂直x 轴时，设l :y =k x -4 ，由y =k x -4y 2=4x，得k 2x 2-42k 2+1 x +16k 2=0，则x 1+x 2=4(2k 2+1)k 2x 1x 2=16则k AQ =y 1x 1+4=k x 1-4 x 1+4，k BQ =y 2x 2+4=k x 2-4 x 2+4k AQ +k BQ =k x 1-4 x 1+4+k x 2-4 x 2+4=2k x 1x 2-16x 1+4 x 2+4=0则∠AQP =∠BQP ，综上证知，∠AQP =∠BQP ，(3)设存在直线m :x =t 满足题意，则圆心M x 1+42,y 12，过M 作直线x =t 的垂线，垂足为E ，∴|EG |2=|MG |2-|ME |2，即EG 2=MA 2-ME 2=x 1-42+y 214-x 1+42-t2 =14y 21+x 1-4 2+x 1+4 24+t x 1+4 -t 2=x 1-4x 1+t (x 1+4)-t 2=t -3 x 1+4t -t 2，当t =3时，|EG |2=3，此时直线m 被以AP 为直径的圆截得的弦长恒为定值2 3.因此存在直线m ：x =3满足题意.4椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22，过点P (0,1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆C 截得的线段长为26.(1)求椭圆C 的方程；(2)在y轴上是否存在异于点P的定点Q，使得直线l变化时，总有∠PQA=∠PQB？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解　(1)∵e=2 2，e2=c2a2=12，∴a2=2c2=b2+c2，∴b2=c2，a2=2b2，椭圆方程化为x22b2+y2b2=1，由题意知，椭圆过点6，1，∴6 2b2+1b2=1，解得b2=4，a2=8，∴椭圆C的方程为x28+y24=1.(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1，由x2+2y2=8，y=kx+1，得(2k2+1)x2+4kx-6=0，Δ=16k2+24(2k2+1)>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1+x2=-4k2k2+1，x1x2=-62k2+1，假设存在定点Q(0，t)(t≠1)符合题意，∵∠PQA=∠PQB，∴k QA=-k QB，∴k QA+k QB=y1-tx1+y2-tx2=x2y1+x1y2-t(x1+x2)x1x2=x2(kx1+1)+x1(kx2+1)-t(x1+x2)x1x2=2kx1x2+(1-t)(x1+x2)x1x2=2k+(1-t)-4k-6=2k(4-t)3=0，∵上式对任意实数k 恒等于零，∴4-t =0，即t =4，∴Q (0,4)，当直线l 的斜率不存在时，A ，B (不妨设点A 在x 轴上方)两点分别为椭圆的上下顶点(0,2)，(0，-2)，显然此时∠PQA =∠PQB ，综上，存在定点Q (0,4)满足题意．考点三切线、切点弦方程1.已知点P (x 0，y 0)为椭圆(或双曲线)上任一点，则过点P 与圆锥曲线相切的切线方程为椭圆中x 0xa 2+y 0yb 2=1，双曲线中x 0xa 2-y 0yb 2=1.2.若点P (x 0，y 0)是椭圆(或双曲线)外一点，过点P (x 0，y 0)作椭圆(或双曲线)的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程是椭圆中x 0x a 2+y 0y b 2=1，双曲线中x 0xa 2-y 0y b2=1.规律方法　运用联想，由过已知圆上和圆外的点的切线方程联想到过圆锥曲线上和圆锥曲线外的切线方程，触类旁通，实现知识的内迁，使知识更趋于系统化，取得事半功倍的效果．1(2024·湖北·二模)如图，O 为坐标原点，F 为抛物线y 2=2x 的焦点，过F 的直线交抛物线于A ,B 两点，直线AO 交抛物线的准线于点D ，设抛物线在B 点处的切线为l ．(1)若直线l 与y 轴的交点为E ，求证：DE =EF ；(2)过点B 作l 的垂线与直线AO 交于点G ，求证：|AD |2=AO ⋅AG ．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线AB 的方程为x =my +12,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,联立直线和抛物线方程求得D -12,y 2 ，E 0,y 22，即可得DE =EF ，得证；(2)写出过点B 的l 的垂线方程，解得交点G 的纵坐标为y G =y 2y 22+2 ，再由相似比即可得y 2-y 1 2=y 1 ⋅y G -y 1 ，即证得|AD |2=AO ⋅AG .【详解】(1)易知抛物线焦点F 12,0，准线方程为x =-12；设直线AB 的方程为x =my +12,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,联立x =my +12y 2=2x得y 2-2my -1=0，可得Δ=4m 2+4>0y 1+y 2=2m y 1y 2=-1，所以y 1=-1y 2；不妨设A 在第一象限，B 在第四象限，对于y =-2x ,y =-12x；可得l 的斜率为-12x 2-1y 22=1y 2所以l 的方程为y -y 2=1y 2x -x 2 ，即为y =1y 2x +y 22.令x =0得E 0,y 22直线OA 的方程为y =y 1x 1x =2y 1x =-2y 2x ，令x =-12得D -12,y 2 ．又F 12,0 ，所以DE =EF即DE =EF 得证．(2)方法1：由(1)中l 的斜率为1y 2可得过点B 的l 的垂线斜率为-y 2，所以过点B 的l 的垂线的方程为y -y 2=-y 2x -x 2 ，即y =-y 2x +y 21+y 222，如下图所示：联立y =-y 2x +y 21+y 222y =-2y 2x，解得G 的纵坐标为y G =y 2y 22+2要证明|AD |2=AO ⋅AG ，因为A ,O ,D ,G 四点共线，只需证明y 2-y 1 2=y 1 ⋅y G -y 1 (*)．∵y 2-y 1 2=y 2+1y 22=1+y 222y 22，y 1 ⋅y G -y 1 =-1y 2y 2y 22+2 -y 1 =1+y 22 2y 22．所以(*)成立，|AD |2=AO ⋅AG 得证.方法2：由D -12,y 2 ,B x 2,y 2 知DB 与x 轴平行，∴AF AB=AO AD①又DF 的斜率为-y 2,BG 的斜率也为-y 2，所以DF 与BG 平行，∴AF AB=AD AG②，由①②得∴AO AD=AD AG，即|AD |2=AO ⋅AG 得证.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设点法，从而得到y =-y 2x +y 21+y 222 y =-2y 2x，解出点G 的坐标，从而转化为证明y 2-y 1 2=y 1 ⋅y G -y 1 即可.2(2024高三·全国·专题练习)已知点P 是抛物线x 2=4y 上一个动点，过点作圆x 2+(y -4)2=1的两条切线，切点分别为M 、N ，则线段MN 长度的最小值为．【答案】333/1333【分析】设P x 0,x 204 ，由圆的切线方程可得MN 方程为xx 0+y -4 x 204-4=1，结合点到直线的距离公式以及二次函数的性质可求得MN 的最小值.【详解】圆x 2+(y -4)2=1的圆心C 0,4 ，半径r =1．设P x 0,x 204 ，故MN 方程为xx 0+y -4 x 204-4=1，弦心距d =1x 20+x 204-42=1x 4016-x 20+16，当x 20=8时，d 取得最大值为36，则MN 取得最小值12-362=333．故答案为：333.3(2023·锦州模拟)已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点0，2 ，且离心率为63.F 为椭圆E 的左焦点，点P 为直线l ：x =3上的一点，过点P 作椭圆E 的两条切线，切点分别为A ，B ，连接AB ，AF ，BF .(1)求证：直线AB 过定点M ，并求出定点M 的坐标；(2)记△AFM ，△BFM 的面积分别为S 1和S 2，当|S 1-S 2|取最大值时，求直线AB 的方程．【解析】(1)证明　如图，由题意可得b =2，c a =63，又因为a2=b2+c2，所以a2=6，b2=2，椭圆E的方程为x26+y22=1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(3，y0)，过点P且切点在A处的椭圆E的切线方程为x1x6+y1y2=1，同理，过点P且切点在B处的椭圆E的切线方程为x2x6+y2y2=1.因为点P在直线P A，PB上，所以x12+y1y02=1，x22+y2y02=1，所以直线AB的方程为x2+y0y2=1，则直线AB过定点M(2,0)．(2)解　设直线AB的方程为x=ty+2，联立方程x=ty+2，x26+y22=1，得(t2+3)y2+4ty-2=0，故y1+y2=-4tt2+3，y1y2=-2t2+3，|S1-S2|=2||y1|-|y2||=2|y1+y2|=8|t| t2+3=8 |t|+3|t|≤823=433，当且仅当|t|=3|t|，即t=±3时取等号，此时直线AB的方程为x=±3y+2.4过点Q(-1，-1)作已知直线l：y=14x+1的平行线，交双曲线x24-y2=1于点M，N.(1)证明：Q是线段MN的中点；(2)分别过点M，N作双曲线的切线l1，l2，证明：三条直线l，l1，l2相交于同一点；(3)设P为直线l上一动点，过P作双曲线的切线P A，PB，切点分别为A，B，证明：点Q在直线AB上．【解析】证明　(1)直线MN的方程为y=14(x-3)．代入双曲线方程x24-y2=1，得3x2+6x-25=0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1，x2是方程的两根，故x1+x2=-2.于是，y1+y2=14(x1+x2-6)=-2.故Q(-1，-1)是线段MN的中点．(2)双曲线x24-y2=1过点M，N的切线方程分别为l1：x14x-y1y=1，l2：x24x-y2y=1.两式相加并将x1+x2=-2，y1+y2=-2代入得y=14x+1.这说明，直线l1，l2的交点在直线l：y=14x+1上，即三条直线l，l1，l2相交于同一点．(3)设P(x0，y0)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，则P A，PB的方程分别为x3 4x-y3y=1和x44x-y4y=1.因为点P在两条直线上，所以x34x0-y3y0=1，x44x0-y4y0=1.这表明，点A，B都在直线x04x-y0y=1上，即直线AB的方程为x04x-y0y=1.又y0=x04+1，代入整理得x04(x-y)-(y+1)=0，显然，无论x0取什么值(即无论P为直线l上哪一点)，点Q(-1，-1)都在直线AB上．强化训练一、单选题1(2024·山东济南·一模)与抛物线x2=2y和圆x2+(y+1)2=1都相切的直线的条数为()A.0B.1C.2D.3【答案】D【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出抛物线的切线方程，再由圆的切线性质列式计算即得.【详解】设直线与抛物线x2=2y相切的切点坐标为t,1 2 t2，由y=12x2，求导得y =x，因此抛物线x2=2y在点t,1 2 t2处的切线方程为y-12t2=t(x-t)，即tx-y-12t2=0，依题意，此切线与圆x 2+(y +1)2=1相切，于是1-12t 2t 2+1=1，解得t =0或t =±22，所以所求切线条数为3.故选：D2(2024·广东·模拟预测)抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点．则AF +4BF 的最小值为()A.6 B.7C.8D.9【答案】D【分析】利用抛物线的焦点弦性质结合基本不等式计算即可.【详解】由题意可知F 1,0 ，设l AB :x =ky +1，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立直线AB 与抛物线方程y 2=4x x =ky +1 ⇒y 2-4ky -4=0⇒y 1y 2=-4，所以x 1x 2=y 214⋅y 224=1，而AF +4BF =x 1+1+4x 2+1 =x 1+4x 2+5≥2x 1⋅4x 2+5=9.当且仅当x 1=2,x 2=12时取得等号.故选：D3(2022·河南·模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条渐近线方程为y =2x ，过双曲线C 的右焦点F 2作倾斜角为π3的直线l 交双曲线的右支于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为36，则双曲线C 的标准方程为()A.x 22-y 24=1B.x 24-y 22=1C.x 2-y 22=1 D.x 22-y 2=1【答案】C【分析】由题意可得b =2a ，则双曲线方程为x 2a 2-y 22a2=1(a >0)，F 1(-3a ,0)，F 2(3a ,0)，可得直线l 为y =3(x -3a )，代入双曲线方程中，利用弦长公式求出AB ，再由双曲线的定义和△AF 1B 的周长为36，可求出a ，从而可求出双曲线的方程【详解】因为双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =2x ，所以b =2a ，则双曲线方程为x 2a 2-y 22a 2=1(a >0)，F 1(-3a ,0)，F 2(3a ,0)，所以直线l 为y =tanπ3(x -3a )=3(x -3a )，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由x 2a 2-y 22a2=1y =3(x -3a )，得x 2-63ax +11a 2=0，则x 1+x 2=63a ,x 1x 2=11a 2，所以AB =1+3⋅(x 1+x 2)2-4x 1x 2=2108a 2-44a 2=16a ，因为AF 1 =AF 2 +2a ，BF 1 =BF 2 +2a ，所以AF 1 +BF 1 =AF 2 +BF 2 +4a =AB +4a =20a ，因为△AF 1B 的周长为36，所以AF 1 +BF 1 +AB =36，所以20a +16a =36，得a =1，所以双曲线方程为x 2-y 22=1，故选：C4(2023·河南·二模)已知动点P 在双曲线C ：x 2-y 23=1上，双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，则下列结论：①C 的离心率为2；②C 的焦点弦最短为6；③动点P 到两条渐近线的距离之积为定值；④当动点P 在双曲线C 的左支上时，PF 1 PF 2 2的最大值为14．其中正确的个数是()A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】①由性质可得；②用特殊值可判定；③设点坐标计算化简即可，④利用双曲线的焦半径办公计算即可.【详解】由题意可得e =41=2，即①正确；显然当双曲线的焦点弦过左、右焦点时，该弦长为实轴，长度为2<6，即②错误；易知双曲线的渐近线方程为y =±3x ，设点P x 0,y 0 ，则3x 02-y 02=3，且到两条双曲线的距离之积为3x 0-y 02⋅3x 0+y 0 2=3x 02-y 024=34是定值，故③正确；对于④，先推下双曲线的焦半径公式：对双曲线x 2a 2-y 2b 2=1上任意一点P x 0,y 0 及双曲线的左右焦点F 1-c ,0 、F 2c ,0 ，则PF 1 =x 0+c2+y 02=x 0+c2+b2x 02a 2-1=c 2a 2x 02+2cx 0+a 2=a +ex 0，同理PF 2 =a -ex 0 ，所以PF 1 =a +ex 0 ,PF 2 =a -ex 0 ，此即为双曲线的焦半径公式.设点P x 0,y 0 x 0≤-1 ，由双曲线的焦半径公式可得PF 1 =1+2x 0 =-1-2x 0,PF 2 =1-2x 0，故PF 1 PF 22=-1+2x 01-2x 02=11-2x 0 -211-2x 02，其中1-2x 0≥3，则11-2x 0∈0,13，由二次函数的性质可得其最大值为18，当且仅当11-2x 0=14，即x 0=-1.5时取得，故④错误；综上正确的是①③两个.故选：B5(2024·全国·一模)新材料是现代高新技术的基础和先导，亦是提升传统产业技术能级的关键．某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示(水滴角可看作液、固、气三相交点处气-液两相界面的切线与液-固两相交线所成的角)，圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆(长轴平行于液-固两相交线)的一部分．设圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为θ1，θ2，则()附：椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)上一点(x 0,y 0)处的切线方程为x 0x a 2+y 0y b 2=1．A.θ1<θ2B.θ1=θ2C.θ1>θ2D.θ1和θ2的大小关系无法确定【答案】A【分析】理解题意，根据测量水滴角的圆法和椭圆法,以及运用圆和椭圆的切线方程的表示即可得出结论.【详解】由题意知，圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆的一部分．设圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为θ1，θ2；由题意可知，若将水滴轴截面看成圆的一部分，圆的半径为R ，如图1，则有R 2=(R -1)2+4,解得R =52，所以tan θ1=2R -1=43；若将水滴轴截面看成椭圆的一部分，如图2，切点坐标为-2,b -1 ，则椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 上一点-2,b -1 处的切线方程为-2x a 2+b -1 y b 2=1 ，此时椭圆的切线方程的斜率设为k 2，则k 2=tan θ2=2b 2a 2b -1；将切点坐标为-2,b -1 代入切线方程-2x a 2+b -1 y b 2=1 可得4a 2+b -1 2b 2=1 ，解得4b 2a2=2b -1，所以tan θ2=2b 2a 2b -1=122b -1b -1=122+1b -1 ；因为短半轴b <R =52,所以tan θ2=122+1b -1>43=tan θ1即tan θ2>tan θ1，所以θ1<θ2.故选：A .6(23-24高二上·北京东城·期中)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A.13,23B.12,1C.13,23∪23,1 D.13,12∪12,1 【答案】D【分析】分等腰三角形PF 1F 2以F 1F 2为底或一腰两种情况讨论，在第一种情况下，直接确定点P 为椭圆短轴的端点，在第二种情况下，分析可知，在每个象限内均存在点P ，使得PF 1 =F 1F 2 或PF 2 =F 1F 2 ，设点P x ,y 在第一象限，结合两点间的距离公式可得出关于a 、c 的不等式，即可求出该椭圆离心率的取值范围.【详解】如下图所示：(1)当点P 与椭圆短轴的顶点重合时，△PF 1F 2是以F 1F 2为底边的等腰三角形，此时，有2个满足条件的等腰△PF 1F 2；(2)当△PF 1F 2构成以F 1F 2为一腰的等腰三角形时，以F2P 为底边为例，则PF 1 =F 1F 2 或PF 2 =F 1F 2 ，此时点P 在第一或第四象限，由对称性可知，在每个象限内，都存在一个点P ，使得△PF 1F 2是以F 1F 2为一腰的等腰三角形，不妨设点P x ,y 在第一象限，则y 2=b 2-b 2a2x 2，其中0<x <a ，则PF 1 =x +c2+y 2=x 2+2cx +c 2+b 2-b 2a 2x 2=c 2a 2x 2+2cx +a 2=c a x +a =2c ，或PF 2 =x -c 2+y 2=x 2-2cx +c 2+b 2-b 2a2x 2=c 2a 2x 2-2cx +a 2=a -c a x =2c ，由c a x +a =2c 可得x =2ac -a 2c ，所以，0<2ac -a 2c <a ，解得12<e =c a <1，由a -c a x =2c 可得x =a 2-2ac c ，所以，0<a 2-2ac c <a ，解得13<e =c a <12，综上所述，该椭圆的离心率的取值范围是13,12 ∪12,1 .故选：D .【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：(1)定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；(2)齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解；(3)特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.7(23-24高三下·重庆·开学考试)设F 为抛物线C :x 2=2y 的焦点，P 为C 上一点且在第一象限，C 在点P 处的切线交x 轴于N ，交y 轴于T ，若∠FPT =30°，则直线NF 的斜率为()A.-2 B.-3C.-12D.-33【答案】D【分析】设P 点坐标，利用导数的几何意义求得切线方程可先含参表示N ，T 坐标，再根据抛物线的定义可判定△FPT 为等腰三角形，根据其性质计算即可.【详解】易知F 0,12 ,y =x 22⇒y=x ，设P a ,a 22，则C 在点P 处的切线方程为y =a x -a +a 22⇒y =ax -a 22，所以N a 2,0 ,T 0,-a 22 ，显然N 为TP 中点，由抛物线定义可知PF =a 22+12=FT ，即△FPT 为以F 为顶点的等腰三角形，所以FN ⊥PT ，即∠FNO =∠FPT =30°，所以直线NF 的斜率为tan 180°-30° =-33.故选：D【点睛】思路点睛：本题通过设P 点坐标，利用抛物线的切线方程含参表示N ，T 坐标，再根据抛物线的定义可判定△FPT 为等腰三角形，根据其性质计算即可.解析几何问题首先是几何题，所以利用几何特征可减少计算量，提高效率.8(2024·四川南充·二模)已知椭圆C :x 24+y 23=1的左右焦点分别为F 1,F 2．过点F 1倾斜角为θ的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A 在x 轴的上方)，则下列说法中正确的有( )个．①AF 1 =32+cos θ②1AF 1 +1BF 1=43③若点M 与点B 关于x 轴对称，则△AMF 1的面积为9sin2θ7-cos2θ④当θ=π3时，△ABF 2内切圆的面积为12π25A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【分析】首先推导出椭圆的焦半径公式及相关性质，从而判断①②③，得到直线l 的方程，联立直线与椭圆方程，求出y A +y B ，y A y B ，设△ABF 2内切圆的半径为r ，由S △ABF 2=12F 1F 2 y A -y B =12r AB +AF 2 +BF 2 求出r ，即可判断④.【详解】在△AF 1F 2中，由余弦定理AF 1 2+F 1F 2 2-2AF 1 ⋅F 1F 2 ⋅cos θ=AF 2 2，即AF 1 2+4c 2-4c AF 1 ⋅cos θ=2a -AF 1 2，整理得AF 1 =b 2a -c ⋅cos θ，同理可得BF 1 =b 2a +c ⋅cos θ，所以AB =AF 1 +BF 1 =2ab 2a 2-c 2⋅cos 2θ，1AF 1 +1BF 1 =a -c ⋅cos θb 2+a +c ⋅cos θb 2=2ab 2，对于椭圆C :x 24+y 23=1，则a =2、b =3、c =1，所以AF 1 =32-cos θ，BF 1 =32+cos θ，故①错误；1AF 1 +1BF 1 =2a b 2=43，故②正确；所以AB =2ab 2a 2-c 2⋅cos 2θ=124-cos 2θ，S △AMF 1=AF 1 ABS △ABM ，又S △ABM =12BM x A -x B =BF 1 sin θ⋅AB ⋅cos θ=32+cos θ⋅sin θ⋅12cos θ4-cos 2θ=32+cos θ⋅12sin θcos θ4-cos 2θ=32+cos θ⋅6sin2θ4-1+cos2θ2=32+cos θ⋅12sin2θ7-cos2θ，又AF 1 AB=32-cos θ124-cos 2θ=2+cos θ4，所以S △AMF 1=2+cos θ4×32+cos θ⋅12sin2θ7-cos2θ =9sin2θ7-cos2θ，故③错误；当θ=π3时直线l 的方程为x =33y -1，由x =33y -1x 24+y23=1，消去x 整理得5y 2-23y -9=0，显然Δ>0，所以y A +y B =235，y A y B =-95，又AF 1 =2，BF 1 =65，则AF 2 =2a -AF 1 =2，BF 2 =2a -BF 1 =145，设△ABF 2内切圆的半径为r ，则S △ABF 2=12F 1F 2 y A -y B =12r AB +AF 2 +BF 2 ，所以22352+4×95=r 2+65+2+145 ，解得r =235，所以△ABF 2内切圆的面积S =πr 2=π×2352=12π25，故④正确；故选：B【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出椭圆焦半径公式(倾斜角形式)，利用结论直接解决问题.二、多选题9(2024·河南·一模)已知双曲线E :x 2a2-y 224=1a >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，F 1F 2 =10，过F 1的直线l与E的右支交于点P，若∠F1PF2=π2，则()A.E的渐近线方程为y=±26xB.3PF1=4PF2C.直线l的斜率为±43D.P的坐标为75,245或75,-245【答案】ABD【分析】利用双曲线的焦距求出a的值，结合双曲线的渐近线方程，可判断A选项；利用勾股定理结合双曲线的定义求出PF1、PF2的值，可判断B选项；利用直线斜率的定义可判断C选项；利用双曲线焦半径公式求出点P的坐标，可判断D选项.【详解】对于A选项，F1F2=2a2+24=10，且a>0，解得a=1，又因为b=26，故双曲线E的渐近线方程为y=±bax=±26x，A对；对于B选项，因为点P在右支上，则PF1-PF2=2a=2，①又因为∠F1PF2=π2，则PF12+PF22=F1F22=100，②联立①②可得PF1=8，PF2=6，所以，3PF1=4PF2，B对；对于C选项，若点P在第一象限，则直线l的斜率为k PF1=tan∠PF1F2=PF2PF1=68=34，若点P在第四象限，由对称性可知，直线l的斜率为k PF1=-34.综上所述，直线l的斜率为±34，C错；对于D选项，设点P x,y，则x≥1，且x2-y224=1，可得y2=24x2-24，所以，PF1=x+52+y2=x2+10x+25+24x2-24=25x2+10x+1=5x+1=8，解得x=75，则y2=24×752-24=24225，可得y=±245，即点P75,±245，D对.故选：ABD.10(23-24高三上·福建泉州·阶段练习)已知椭圆x29+y2=1与双曲线x2a2-y2b2=1共焦点F1,F2，设它们在第一象限的交点为P ，且PF 1 ⋅PF 2=0，则()A.双曲线的实轴长为27B.双曲线的离心率为2147C.双曲线的渐近线方程为y =±73x D.双曲线在P 点处切线的斜率为377【答案】ABD【分析】A 选项，求出椭圆的焦点坐标，设左焦点为F 1，故PF 1 +PF 2 =6，由向量数量积为0得到向量垂直，进而由勾股定理求出PF 1 ⋅PF 2 =2，求出PF 1 -PF 2 =27，得到A 正确；B 选项，由离心率公式直接求解；C 选项，求出b =1，由双曲线渐近线公式进行求解；D 选项，设出P 点处切线方程，联立双曲线方程，由根的判别式等于0求出切线斜率.【详解】A 选项，由题意得椭圆x 29+y 2=1的焦点坐标为±22,0 ，设左焦点为F 1，则F 1-22,0 ，PF 1 +PF 2 =6，因为PF 1 ⋅PF 2 =0，所以PF 1 ⊥PF 2 ，由勾股定理得PF 1 2+PF 2 2=F 1F 2 2=32，PF 1 +PF 2 =6两边平方得PF 12+PF 2 2+2PF 1 ⋅PF 2 =36，故PF 1 ⋅PF 2 =2，则PF 1 -PF 2 =PF 12+PF 2 2-2PF 1 ⋅PF 2 =27，故2a =27，解得a =7，双曲线的实轴长为27，A 正确；B 选项，因为c =22，所以双曲线的离心率为c a =227=2147，B 正确；C 选项，因为b =c 2-a 2=8-7=1，故双曲线的渐近线方程为y =±b a x =±77x ，C 错误；D 选项，联立x 29+y 2=1与x 27-y 2=1，可得x =±3144，y =±24，故P 3144,24，当过P 点的直线斜率不存在时，不是双曲线的切线，舍去，设在P 点处切线方程为y -24=k x -3144，联立x 27-y 2=1得x 2-724+k x -31442=7，化简得1-7k 2 x 2-72k 2-21142k 2 x -4418k 2+217k 4-638=0，由Δ=0得72k 2-21142k 2 2-41-7k 2 -4418k 2+217k 4-638=0，解得k =377，故双曲线在P 点处切线的斜率为377，D 正确.故选：ABD11(23-24高三上·湖北武汉·期末)已知P x P ,y P ，Q x Q ,y Q 是曲线C :6x 2-6x +7y 2-21+y 2+6x -3 =0上不同的两点，O 为坐标原点，则()A.x 2Q +y 2Q 的最小值为1B.4≤x P -12+y 2P +x P +12+y 2P ≤6C.若直线y =k x -3 与曲线C 有公共点，则k ∈-33,33D.对任意位于y 轴左侧且不在x 轴上的点P ，都存在点Q ，使得曲线C 在P ，Q 两点处的切线垂直【答案】AD【分析】根据题中曲线表达式去绝对值化简，根据几何意义判断A ，举出反例判断B ，数形结合判断C ，根据图形特征以及切线概念判断D .【详解】当y 2+6x -3≥0时，原方程即6x 2-6x +7y 2-21+y 2+6x -3 =0，化简为x 24+y 23=1，轨迹为椭圆.将y 2=3-34x 2代入y 2+6x -3≥0，则0≤x ≤8，则此时0≤x ≤2，即此部分为椭圆的一半.同理当y 2+6x -3<0时，原方程即6x 2-6x +7y 2-21-y 2+6x -3 =0，化简为x -1 2+y 2=4.将y 2=4-x -1 2代入y 2+6x -3<0，则x <0或x >8，则此时-1≤x <0，即此部分为圆的一部分.作出曲线的图形如下：对于A ，x 2Q +y 2Q 最小值表示曲线上一点到原点的最小距离的平方，当x ≥0时，x 2Q +y 2Q 最小值为3，当y =±3时取得，当x <0时，x 2Q +y 2Q 最小值为1，当y =0时取得，则x 2Q +y 2Q 最小值为1，故A 正确；对于B ，当x P =-1,y P =0时，x P -1 2+y 2P +x P +12+y 2P =2，显然B 选项错误；对于C ，直线y =k x -3 经过定点3,0 ，当k =33时，直线经过椭圆下顶点，如图，显然，存在k >33，使得直线与曲线有两个公共点，故C 错误；对于D ，如图，对任意位于y 轴左侧且不在x 轴上的点P ，则曲线C 在P 点处的切线斜率可以取任何非零实数，曲线C 在椭圆部分切线斜率也可以取到任何非零实数，使得两切线斜率为负倒数，所以对任意位于y 轴左侧且不在x 轴上的点P ，都存在点Q ，使得曲线C 在P ，Q 两点处的切线垂直，故D 正确.故选：AD【点睛】方法点睛：本题考查解析几何的综合问题，此类问题常见的处理方法为：(1)几何法：通过图形特征转化，结合适当的辅助线与图形关系进而求解；(2)坐标法：在平面直角坐标系中，通过坐标的运算与转化，运用方程联立与韦达定理等知识，用坐标运算求解答案.三、填空题12(23-24高二上·福建泉州·期中)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)焦距为10，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在C 上且AF 2⊥x 轴，△AF 1F 2的面积为454，点P 为双曲线右支上的任意一点，则1PF 1 -1PF 2的取值范围是【答案】-89,0 【分析】先计算双曲线的标准方程，再由焦半径公式计算即可.【详解】由题意可知F1-5,0 ,F 25,0 ,A 5,y A ，。

2023年高考数学三轮复习圆锥曲线中的二级结论及应用(解析版)

查补易混易错点07圆锥曲线中的二级结论及应用圆锥曲线有许多形式结构相当漂亮的结论，记住圆锥曲线中一些二级结论，能快速摆平一切圆锥曲线压轴小题。

1设P 点是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上异于长轴端点的任一点，F 1、F 2为其焦点，记∠F 1PF 2＝θ，则（1）|PF 1||PF 2|＝2b 21＋cos θ；（2）S △PF 1F 2＝b 2tan θ2；（3）e ＝sin ∠F 1PF 2sin ∠PF 1F 2＋sin ∠PF 2F 1.2设P 点是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上异于实轴端点的任一点，F 1，F 2为其焦点，记∠F 1PF 2＝θ，则（1）|PF 1||PF 2|＝2b 21－cos θ；（2）S △PF 1F 2＝b 2tan θ2；（3）e ＝sin ∠F 1PF 2|sin ∠PF 1F 2－sin ∠PF 2F 1|.3.设A ，B 为圆锥曲线关于原点对称的两点，点P 是曲线上与A ，B 不重合的任意一点，则k AP ·k BP ＝e 2－1.4.设圆锥曲线以M (x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦AB 所在的直线的斜率为k .（1）圆锥曲线为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则k AB ＝－b 2x 0a 2y 0，k AB ·k OM ＝e 2－1.（2）圆锥曲线为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则k AB ＝b 2x 0a 2y 0，k AB ·k OM ＝e 2－1.（3）圆锥曲线为抛物线y 2＝2px (p ＞0)，则k AB ＝p y 0.5.过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F 且倾斜角为α(α≠90°)的直线交椭圆于A ，B 两点，且|AF →|＝λ|FB →|，则椭圆的离心率等于1(1)cos λλα-+.6.过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 且倾斜角为α(α≠90°)的直线交双曲线右支于A ，B两点，且|AF →|＝λ|FB →|，则双曲线的离心率等于|λ－1（λ＋1）cos α|.7.过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 倾斜角为θ的直线交抛物线于A ，B 两点，则两焦半径长为p 1－cos θ，p1＋cos θ，1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AB |＝2p sin 2θ，S △AOB ＝p 22sin θ.1.已知双曲线E 的中心为原点，F (3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为M (－12，－15)，则E 的方程为()A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1【答案】B【解析】由题意可知k AB ＝－15－0－12－3＝1，k MO ＝－15－0－12－0＝54，由双曲线中点弦中的斜率规律得k MO ·k AB ＝b 2，即54＝b 2，又9＝a 2＋b 2，联立解得a 2＝4，b 2＝5，故双曲线的方程为x 24－y 25＝1.于A ，B 两点，已知AF →＝3FB →，则k ＝()A ．1 B.2 C.3D ．2【答案】B【解析】∵λ＝3，由结论可得，e ＝32，由规律得32cos α＝3－13＋1，cos α＝33，k ＝tan α＝ 2.4.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为()A ．5B ．6 C.163 D.203【答案】C 【解析】因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163.6.已知双曲线C ：()105x y k k -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且123F PF ∠=，则12F PF △的面积为（）．【答案】C【解析】由()22105x y k k -=>，b =123F PF π∠=，由结论可知122tan 2F PF b S θ==△7.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上异于A ，B 两点，若AP 与BP 的斜率之积为－1，则椭圆的离心率为（）【解析】k AP ·k BP ＝－12，e 2－1＝－12，∴e 2＝12，e ＝22.8.在椭圆x 225＋y 29＝1上，△PF 1F 2为焦点三角形，如图所示．(1)若θ＝60°，则△PF 1F 2的面积是________；(2)若α＝45°，β＝75°，则椭圆离心率e ＝________．【答案】(1)33(2)6－22【解析】(1)由结论得S △PF 1F 2＝b 2tanθ2，即S △PF 1F 2＝33.（2）由公式e ＝sin （α＋β）sin α＋sin β＝sin 60°sin 45°＋sin 75°＝6－22.9.(2022·荆州模拟)已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，当∠F 1PF 2＝π3时，则△PF 1F 2的面积为________．【答案】33【解析】由结论可得：S ＝b 2tan θ2，可得S ＝1·tan π6＝33.标原点，则|AB|为【答案】12【解析】易知2p＝3，由结论可得知|AB|＝2psin2α，所以|AB|＝3sin230°＝12.15.设F为抛物线C：y2＝16x的焦点，过F且倾斜角为6π的直线交C于A、B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为。

圆锥曲线经典题型总结(含答案)

圆锥曲线整理1．圆锥曲线的定义：(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)；(2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d .圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容，在解题中有广泛的应用，在理解时要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。

若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）,焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。

%（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222b x a y -＝1（0,0a b >>）。

（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。

注意：1.圆锥曲线中求基本量，必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。

2.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：椭圆：由x2,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

专题14 圆锥曲线中的定值定点问题(解析版)

专题14 圆锥曲线中的定值定点问题1．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．【答案】(1)22143y x +=(2)(0,2)- 【解析】 【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）设出直线方程，与椭圆C 的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解. (1)解：设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.(2)3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y+=，可得(1,M，N ，代入AB 方程223y x =-，可得(3,T ，由MT TH =得到(5,H -.求得HN 方程：(22y x =+-，过点(0,2)-. ①若过点(1,2)P -的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y --+=.联立22(2)0,134kx y k x y --+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k +-+++=， 可得1221226(2)343(4)34k k x x k k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，12222228(2)344(442)34k y y k k k y y k -+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x y k -+=+联立1,223y y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2y T y H y x y ++- 可求得此时1222112:()36y y HN y y x x y x x --=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y +-+++--=， 将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k +++---+--= 显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,2).-2．（2021·全国·高考真题）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F ，．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）由离心率公式可得a =2b ，即可得解；（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证MN 充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<，由直线与圆相切得221b k =+，联立直线与椭圆方程结合弦长公=1k =±，即可得解. 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c =c e a ==a = 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意； 当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ， 必要性：若M ，N ，F三点共线，可设直线(:MN y k x =即0kx y -=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x -+=，所以121234x x x x +=⋅=，所以MN所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++-=， 所以2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++，所以MN化简得()22310k -=，所以1k =±，所以1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩:MN y x=y x =-所以直线MN 过点F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立； 所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知椭圆M ：22221x y a b +=（a >b>0AB为过椭圆右焦点的一条弦，且AB 长度的最小值为2. (1)求椭圆M 的方程；(2)若直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点，点()2,0P ，记直线PC 的斜率为1k ，直线PD 的斜率为2k ，当12111k k +=时，是否存在直线l 恒过一定点？若存在，请求出这个定点；若不存在，请说明理由.【答案】(1)22142x y += (2)存在，()2,4-- 【解析】 【分析】（1）由题意求出,,a b c ，即可求出椭圆M 的方程.（2）设直线l 的方程为m (x －2)+ny ＝1，()11,C x y ，()22,D x y ，联立直线l 的方程与椭圆方程()()222242x y x -+=--，得()22214420x x m n y y ⎛⎫--+++= ⎪⎝⎭，则12114114n k k m +=-=+，化简得14m n +=-，即可求出直线l 恒过的定点. (1)因为22221x y a b +=（a >b >0222b a =， 所以a ＝2，c =b M 的方程为22142x y +=.(2)设直线l 的方程为m (x －2)+ny ＝1，()11,C x y ，()22,D x y ， 由椭圆的方程2224x y +=，得()()222242x y x -+=--.联立直线l 的方程与椭圆方程，得()()()2222422x y x m x ny ⎡⎤⎣⎦-+=---+，即()()()221424220m x n x y y +-+-+=，()22214420x x m n y y ⎛⎫--+++= ⎪⎝⎭， 所以12121222114114x x nk k y y m--+=+=-=+， 化简得14m n +=-，代入直线l 的方程得()1214m x m y ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭， 即()1214m x y y ---=，解得x ＝－2，y ＝－4，即直线l 恒过定点()2,4--. 4．（2022·上海松江·二模）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的右顶点坐标为(2,0)A ，左、右焦点分别为1F 、2F ，且122F F =，直线l 交椭圆Γ于不同的两点M 和N ． (1)求椭圆Γ的方程；(2)若直线l 的斜率为1，且以MN 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程； (3)若直线l 与椭圆Γ相切，求证：点1F 、2F 到直线l 的距离之积为定值．【答案】(1)22143x y +=；(2)2y x =-或27y x =-； (3)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据焦距及椭圆的顶点求出,a b 即可得出；（2）设直线l 的方程为 y x b =+，联立方程，由根与系数的关系及0AM AN ⋅=求解即可；（3）分直线斜率存在与不存在讨论，当斜率不存在时直接计算可得，当斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+，根据相切求出,b k 关系，再由点到直线的距离直接计算即可得解.(1)①1222F F c == ①1c =，①2a =，由222a b c =+ 得241=+b ，①22=34=b a ，所以椭圆Γ的方程：22143x y +=；(2)①直线l 的斜率为1，故可设直线l 的方程为 y x b =+， 设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y由22143y x bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可得22784120x bx b ++-=， 则1287b x x +=-，2124127b x x -=，①以MN 为直径的圆过右顶点A ，①0AM AN ⋅=，①1212(2)(2)0x x y y --+= ①21212122211))2()4((2(2)()4b b x x x x x x x x b x x b -+++=+-+++++2241282(2)4077b bb b -=⋅--⋅++=，整理可得271640b b ++=，①2b =-或27b =-，①2226447(412)16(213)b b b ∆=-⋅⋅-=⋅-， 当2b =-或27b =-时，均有0∆>所以直线l 的方程为2y x =-或27y x =-． (3)椭圆Γ左、右焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F①当直线l 平行于y 轴时，①直线l 与椭圆Γ相切，①直线l 的方程为2x =±， 此时点1F 、2F 到直线l 的到距离分别为121,3d d ==，①123d d ⋅=． ①直线l 不平行于y 轴时，设直线l 的方程为 y kx b =+，联立2234120y kx b x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得222(34)84120k x kbx b +++-=， 222222644(34)(412)16(9123)k b k b k b ∆=-+-=⋅+-，①直线l 与椭圆Γ相切，①0∆=，①2234b k =+ ①1(1,0)F -到直线l的距离为1d ，2(1,0)F -到直线l的距离为2=d①2222212222(34)33111k bk k k d d k k k --++⋅=====+++， ①点1F 、2F 到直线l 的距离之积为定值由3．5．（2022·上海浦东新·二模）已知12F F 、分别为椭圆E ：22143x y+=的左、右焦点， 过1F 的直线l 交椭圆E于,A B 两点．(1)当直线l 垂直于x 轴时，求弦长AB ； (2)当2OA OB ⋅=-时，求直线l 的方程；(3)记椭圆的右顶点为T ，直线AT 、BT 分别交直线6x =于C 、D 两点，求证：以CD 为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1)3(2))1y x =+(3)证明见解析；定点()()4080，，，【解析】 【分析】（1）将1x =-代入椭圆方程求解即可；（2）由（1）知当直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：()1y k x =+，联立直线与椭圆的方程，得出()22223484120k xk x k +++-=，设()()1122A x y B x y ，，，可得韦达定理，代入2OA OB ⋅=-计算可得斜率；（3）分析当直线l 的斜率不存在时，由椭圆的对称性知若以CD 为直径的圆恒过定点则定点在x 轴上，再以CD 为直径的圆的方程，令0y =，代入韦达定理化简可得定点 (1)由题知()110F -，，将1x =-代入椭圆方程得332y AB =±∴=， (2)由（1）知当直线l 的斜率不存在时，331122A B ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，此时14OA OB =，不符合题意，舍去∴直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：()1y k x =+，联立()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()22223484120k x k x k +++-=，设()()1122A x y B x y ，，，，则2122212283441234k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 由()()()()2222222221212121212122224128512111()1343434k k k OA OB x x y y x x k x k x k x xk x x k kk k k k k ----=+=+++=++++=+++=+++，解得22k k ==，∴直线l 的方程为)1y x =+．．(3)①当直线l 的斜率不存在时，()33112022A B T ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，直线AT 的方程为112y x =-+，C 点坐标为()62-，， 直线BT 的方程为112y x =-，D 点坐标为()62，，以CD 为直径的圆方程为()2264x y -+=，由椭圆的对称性知若以CD 为直径的圆恒过定点则定点在x 轴上，令0y =，得48x x ==，．即圆过点()()4080，，，． ①当直线l 的斜率存在时，同（2）联立，直线AT 的方程为()1122y y x x =--， C 点坐标为11462y x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，，同理D 点坐标为22462y x ⎛⎫⎪-⎝⎭，，以CD 为直径的圆的方程为()()12124466022y y x x y y x x ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，令0y =，得()2121212161236024y y x x x x x x -++=-++，由()()()()22222121222121212122241281611611343416441282424243434k k k k x k x k k y y k k x x x x x x x x k k ⎛⎫--++ ⎪++++⎝⎭===----++-++-+++， 得212320x x -+=，解得48x x ==，，即圆过点()()4080，，，． 综上可得，以CD 为直径的圆恒过定点()()4080，，，． 6．（2022·上海长宁·二模）已知,A B 分别为椭圆222Γ:1(1)x y a a+=>的上、下顶点，F 是椭圆Γ的右焦点，M 是椭圆Γ上异于,A B 的点．(1)若π3AFB ∠=，求椭圆Γ的标准方程 (2)设直线:2l y =与y 轴交于点P ，与直线MA 交于点Q ，与直线MB 交于点R ，求证：PQ PR ⋅的值仅与a 有关(3)如图，在四边形MADB 中，MA AD ⊥，MB BD ⊥，若四边形MADB 面积S 的最大值为52，求a 的值．【答案】(1)2214x y +=(2)证明见解析 (3)2a = 【解析】 【分析】（1）根据已知判断AFB △形状，然后可得；（2）设()11,M x y ，表示出直线AM 、BM 的方程，然后求Q 、R 的坐标，直接表示出所求可证； （3）设()11,M x y ，()44,D x y ，根据已知列方程求解可得14,x x 之间关系，表示出面积，结合已知可得. (1)因为AF BF =，π3AFB ∠=，所以AFB △是等边三角形， 因为2AB =，AF a =，所以2a =，得椭圆的标准方程为2214x y +=．(2)设()11,M x y ，()2,2R x ，()3,2Q x ， 因为()0,1A ，()0,1B -所以直线AM 、BM 的方程分别为 111:1AM y l y x x -=+， 111:1BM y l y x x +=-， 所以12131x x y =+，1311x x y =-， 又221121x y a-=所以2211221331x PQ PR x x a y ⋅===-，所以PQ PR ⋅的值仅与a 有关． (3)设()11,M x y ，()44,D x y ， 因为MA DA ⊥，MB DB ⊥，所以()()1414110x x y y +--=，()()1414110x x y y +++= 两式相减得41y y =-，带回原式得214110x x y +-=，因为221121x y a+=，所以142x x a =-， 1412111MAB DABS SSx x x a a a ⎛⎫=+=+=+≤+ ⎪⎝⎭因为S 的最大值为52 ，所以152a a += ，得2a =．7．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）圆O ：224x y +=与x 轴的两个交点分别为()12,0A -，()22,0A ，点M 为圆O 上一动点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点R 满足12NR NM = (1)求点R 的轨迹方程；(2)设点R 的轨迹为曲线C ，直线1x my =+交C 于P ，Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S ，试问：是否存在一个定点T ，当m 变化时，2A TS 为等腰三角形【答案】(1)2214x y +=(2)存在，证明见解析 【解析】 【分析】（1）设点()00,M x y 在圆224x y +=上，故有22004x y +=，设(),R x y ，根据题意得0x x =，012y y =，再代入圆224x y +=即可求解；（2）先判断斜率不存在的情况；再在斜率存在时，设直线l 的方程为1x my =+，与椭圆联立得：()224230m y my ++-=，12224m y y m -+=+，12234y y m -=+，再根据题意求解判断即可. (1)设点()00,M x y 在圆224x y +=上，故有22004x y +=，设(),R x y ，又12NR NM =，可得0x x =，012y y =， 即0x x =，02y y =代入22004x y +=可得()2224x y +=，化简得：2214x y +=，故点R 的轨迹方程为：2214x y +=.(2)根据题意，可设直线l 的方程为1x my =+， 取0m =，可得P ⎛ ⎝⎭，1,Q ⎛ ⎝⎭， 可得直线1A P的方程为y x =+，直线2A Q的方程为y x =-联立方程组，可得交点为(1S ；若1,P ⎛ ⎝⎭，Q ⎛ ⎝⎭，由对称性可知交点(24,S ， 若点S 在同一直线上，则直线只能为l ：4x =上，以下证明：对任意的m ，直线1A P 与直线2A Q 的交点S 均在直线l ：4x =上. 由22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()224230m y my ++-= 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则12224m y y m -+=+，12234y y m -=+ 设1A P 与l 交于点()004,S y ，由011422y y x =++，可得10162y y x =+ 设2A Q 与l 交于点()004,S y '，由022422y y x '=--，可得20222y y x '=-，因为()()()()122112102126123622222y my y my y y y y x x x x --+'-=-=+-+- ()()()()()22121211121212464402222m mmy y y y m m x x x x ----+++===+-+-， 因为00y y '=，即0S 与0S '重合， 所以当m 变化时，点S 均在直线l ：4x =上，因为()22,0A ，()4,S y ，所以要使2A TS 恒为等腰三角形，只需要4x =为线段2A T 的垂直平分线即可，根据对称性知，点()6,0T . 故存在定点()6,0T 满足条件.8．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，椭圆C 的左､右顶点分别为A ，B ，上顶点为D ，1AD BD ⋅=-. (1)求椭圆C 的方程；(2)斜率为12的动直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，是否存在定点P （直线l 不经过点P ），使得直线PM 与直线PN 的倾斜角互补，若存在这样的点P ，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)22143x y +=(2)存在，点P 的坐标为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）利用数量积公式及离心率可得a ,b ,c 从而得到椭圆方程; （2）设直线l 的方程为12y x m =+，与椭圆方程联立，写出韦达定理，由题意可得直线PM 与直线PN 的斜率之和为零，利用韦达定理化简可得结果. (1)设椭圆C 的焦距为2c ，由题意知(),0A a -，(),0B a ，()0,D b ，所以(),AD a b =，(),BD a b =-，所以2221AD BD a b c ⋅=-+=-=-，解得1c =. 又椭圆C 的离心率为12，所以22a c ==，b故椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)假设存在这样的点P ，设点P 的坐标为()00,x y ，点M ，N 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，设直线l 的方程为12y x m =+. 联立方程221,4312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 后整理得2230x mx m ++-=.()222431230m m m ∆=--=->，得22m -<<， 有12212,3.x x m x x m +=-⎧⎨=-⎩ 若直线PM 与直线PN 的倾斜角互补，则直线PM 与直线PN 的斜率之和为零，所以01020102010201021122y x m y x m y y y y x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+=+---- ()()()()()()()()()()010*********0102010222222222222y m x x x y m x x x y m x y m x x x x x x x x x ---+---⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦=+=----()()()()()()()()()()20000012121200102010222223222222y m x m m mx y m x x x x x x x x x x x x x x x x -++-+--++-+⎡⎤⎣⎦==----()()()()()()()()0000000001020102462322323022x y y x m x y y x mx x x x x x x x -+--+-===----.所以0000230,230,x y y x -=⎧⎨-=⎩解得001,32x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或001,3.2x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩故存在点P 符合条件，点P 的坐标为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.9．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为1F 和2F ，椭圆C 上一点到1F 和2F 的距离之和为4，且椭圆C(1)求椭圆C 的方程；(2)过左焦点1F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点D （不与1F 重合），是否存在实数λ，使1AB DF λ=恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说出理由.【答案】(1)2214x y +=(2)存在，λ=【解析】 【分析】（1）由椭圆的定义可求得a 的值，根据椭圆的离心率求得c 的值，再求出b 的值，即可得出椭圆C 的方程； （2）分析可知，直线l 不与x 轴垂直，分两种情况讨论，一是直线l 与x 轴重合，二是直线l 的斜率存在且不为零，设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，求出AB 、1DF ，即可求得λ的值. (1)解：由椭圆的定义可得24a =，则2a =，因为c ea ==c∴=1b ==， 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)解：若直线l 与x 轴垂直，此时，线段AB 的垂直平分线为x 轴，不合乎题意； 若直线l 与x 轴重合，此时，线段AB 的垂直平分线为y 轴，则点D 与坐标原点重合，此时，143AB DF λ==若直线l 的斜率存在且不为零时，设直线l 的方程为)0x my m =≠，设点()11,A x y 、()22,B x y ， 联立2244x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩()22410m y +--=，()()22212441610m m m ∆=++=+>，由韦达定理可得12y y +=，12214y y m =-+， 则()121222m y y x x ++= 所以，线段AB的中点为M ⎛ ⎝⎭， 所以，线段AB的垂直平分线所在直线的方程为y m x ⎛=- ⎝⎭，在直线方程y m x ⎛=- ⎝⎭中，令0y =可得x =，故点D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以，)21214m DF m +==+，由弦长公式可得()22414m AB m +==+，因此，()2221414m ABDF m λ+===+综上所述，存在λ=1AB DF λ=恒成立. 10．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=上一个动点N 到椭圆焦点(0,)F c 的距离的最小值是2，且长轴的两个端点12,A A 与短轴的一个端点B 构成的12A A B △的面积为2．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过点4(0,)M -且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点．证明：直线1A P 与直线2A Q 的交点T 在定直线上．【答案】(1)2214y x +=(2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意得到22221222a c ab a b c ⎧-=⎪⎪⨯=⎨⎪=+⎪⎩，再解方程组即可.（2）首先设直线:4l y kx =-，()11,P x y ，()22,Q x y ，与椭圆联立，利用韦达定理得到12284kx x k +=+，122124x x k =+.1112:2PA y l y x x ++=，2222:2QA y l y xx --=，根据2123y y +=--，即可得到1y =-，从而得到直线1A P 与直线2A Q 的交点T 在定直线1y =-上. (1)由题知：22221222a c ab a b c⎧-=⎪⎪⨯=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪⎩，即：椭圆22:14+=y C x(2)设直线:4l y kx =-，()11,P x y ，()22,Q x y ，()10,2A -，()20,2A ，()222214812044y x k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+-+=⎨⎪=-⎩. 12284k x x k +=+，122124x x k =+. 则1112:2PA y l y x x ++=，2222:2QA y l y x x --=， 则()()()()1212122212112122222266y x kx x kx x x y y y x kx x kx x x +--+===----， 因为()1212212342k kx x x x k ==++， 所以()()12212121213232123293362x x x x x y y x x x x x +--+===---++-，解得1y =-. 所以直线1A P 与直线2A Q 的交点T 在定直线1y =-上.11．（2022·安徽省舒城中学三模（理））已知椭圆22:184x y Γ+=，过原点O 的直线交该椭圆Γ于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），点()4,0E ，直线AE 与椭圆的另一交点为C ，直线BE 与椭圆的另一交点为D ．(1)若AB 是Γ短轴，求点C 坐标；(2)是否存在定点T ，使得直线CD 恒过点T ？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)82(,)33；(2)存在，8(,0)3T .【解析】 【分析】（1）两点式写出直线AE ，联立椭圆方程并结合韦达定理求出C 坐标； （2）设00(,)A x y 有00:(4)4=--y AE y x x ，联立椭圆求C 坐标，同理求D 坐标，讨论00x ≠、00x =，判断直线CD 恒过定点即可. (1)由题设，(0,2)A ，而()4,0E ，故直线AE 为240x y +-=，联立22:184x y Γ+=并整理得：23840y y -+=，故83A C y y +=，而2A y =，所以23C y =，代入直线AE 可得284233C x =-⨯=，故C 坐标为82(,)33.(2)设00(,)A x y ，则00:(4)4=--y AE y x x ， 由()00224428y y x x x y ⎧=-⎪-⎨⎪+=⎩，故2220202(4)8(4)+-=-y x x x ， 由韦达定理有20222222000000002220000020328(4)328(4)16(8)8(4)64242(4)22482481(4)C y x y x x x x x x x y x y x x x --------====-+--+-， 所以00833C x x x -=-，故003C y y x =-，同理得：00833D x x x +=+，003D y y x -=+，当00x ≠时，取8(,0)3T ，则0000003383833TCy x yk x x x -==----，同理003TD y k x =-， 故,,T C D 共线，此时CD 过定点8(,0)3T .当00x =时，83C D x x ==，此时CD 过定点8(,0)3T .综上，CD 过定点8(,0)3T .12．（2022·广东茂名·二模）已知圆O ：x 2+y 2＝4与x 轴交于点(2,0)A -，过圆上一动点M 作x 轴的垂线，垂足为H ，N 是MH 的中点，记N 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)过6(,0)5-作与x 轴不重合的直线l 交曲线C 于P ，Q 两点，设直线AP ，AS 的斜率分别为k 1，k 2.证明：k 1＝4k 2．【答案】(1)2212x y +=；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）运用相关点法即可求曲线C 的方程；( 2)首先对直线l 的斜率是否存在进行讨论,再根据几何关系分别求出P 、Q 、S 三点的坐标，进而表示出直线AP ， AS 的斜率12,k k ，再根据斜率的表达式进行化简运算,得出结论. (1)设N （x 0，y 0），则H （x 0，0）， ①N 是MH 的中点，①M （x 0，2y 0），又①M 在圆O 上，2200(2)4y x +=∴，即220014x y +=； ①曲线C 的方程为：2214x y +=；(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为：65x =-，若点P 在轴上方，则点Q 在x 轴下方，则6464(,),(,)5555P Q ---，直线OQ 与曲线C 的另一交点为S ，则S 与Q 关于原点对称，①64(,)55S ，1244001551,,6642255APAS k k k k --======-++124k k ∴=；若点P 在x 轴下方，则点Q 在x 轴上方， 同理得：646464(,),(,),(,)555555P Q S ----，1244001551,6642255APAS k k k k ----===-∴===--++，①k 1＝4k 2；①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：6,5x my =-，由6,5x my =-与2214x y +=联立可得221264(4)0525m m y y +--=， 其中22144644(4)02525m m ∆=+⨯+⨯>，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则22(,)S x y --，则1212221264525,44m y y y y m m -+==++，①112212112200,,2222AP AS k y y y y k k k x x x x ---======++-+- 则121122121216()2542()5y my k y x k x y my y --=⋅=++121112212121112226464161616252554545444641216()4445525525454545my y y y y m m my y y y y m m y y m m m -----++====++---+⋅--+++，①k 1＝4k 2. 13．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C 的焦点在y 轴上，中心在坐标原点，从下焦点1F 射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点2F ，这束光线的总长度为4，且反射点与焦点构成的三角e < (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若从椭圆C 中心O 出发的两束光线OM 、ON ，分别穿过椭圆上的A 、B 点后射到直线4y =上的M 、N两点，若AB 连线过椭圆的上焦点2F ，试问，直线BM 与直线AN 能交于一定点吗？若能，求出此定点：若不能，请说明理由.【答案】(1)22143y x +=(2)能，定点为（0，85）【解析】 【分析】（1）由条件列方程求,,a b c 可得椭圆方程； （2）联立方程组，利用设而不求法结论完成证明. (1)由已知可设椭圆方程为22221(0)y x a b a b+=>>，则24a =，122c b ⨯⨯222a b c =+又e <所以21a b c ===，，故椭圆C 的标准方程为22143y x +=(2)设AB 方程为1y kx =+，由221431y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(34)690k x kx ++-=， 222(6)36(34)1441440k k k ∆=++=+>设()()1122A x y B x y ，，，，则121222693434k x x x x k k --+==++，.. 由对称性知，若定点存在，则直线BM 与直线AN 交于y 轴上的定点，由114y y x x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩得1144x M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则直线BM 方程为211121444()4y x y x x y x y --=--， 令0x =，则 122114(4)44x y y x y x -=+-()()112211414114x x kx x kx x ⎡⎤-+=+⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦112211234(1)4x kx x x x kx x -=+-+2121124()4x x x x kx x -=-+又12123()2x x kx x +=， 则21212112214()4()83554()()22x x x x y x x x x x x --===-++-，所以，直线BM 过定点（0，85），同理直线AN 也过定点8(0,)5.则点（0，85）即为所求点.14．（2022·全国·模拟预测）设椭圆()222:10416x y C b b+=<<的右焦点为F ，左顶点为A ．M 是C 上异于A的动点，过F 且与直线AM 平行的直线与C 交于P ，Q 两点（Q 在x 轴下方），且当M 为椭圆的下顶点时，2AM FQ =．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设点S ，T 满足PS SQ =，FS ST =，证明：平面上存在两个定点，使得T 到这两定点距离之和为定值． 【答案】(1)22116x = (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）由向量的坐标运算用,b c 表示出Q 点坐标，代入椭圆方程求得参数b ，得椭圆方程； （2）设(), 0F c ，直线PQ 的斜率不为0，设其方程为 x m y c =+，设1122(,),(,)P x y Q x y ．直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得12y y +，利用向量相等的坐标表示求得T 点坐标，得出T 点坐标满足一个椭圆方程，然后再由椭圆定义得两定点坐标． (1)当M 为椭圆的下顶点时，(4,)AM b =-，则12,22b FQ AM ⎛⎫==- ⎪⎝⎭． 设C 的焦距为2c ，则2,2b Q c ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，即2,2b Q ⎫-⎪⎭．因为Q 在C上，故)2211164+=，解得()22162b =-=则椭圆C的标准方程为22116x =． (2)设(), 0F c ，直线PQ 的斜率不为0，设其方程为 x m y c =+，设1122(,),(,)P x y Q x y ．联立直线PQ 和C 的方程，消x得()22220y +-．12y y +=1212()2x x m y y c +=++= 由PS SQ =得S 为弦PQ的中点，故S ⎛．由FS ST =得S 是线段FT的中点，故T ．设T 的坐标为(), x y，则x c =，y c =，故2211x y c c ⎛⎫⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即2221x c =， 这表明T 在中心为原点，(,0)c ±为长轴端点，0,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为短轴端点的椭圆上运动，故T到两焦点,0⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭的距离之和为定值．代入得两焦点坐标为(()4,0±-．综上所述，平面上存在两定点()4-，()4-+，使得T 到这两定点距离之和为定值．15．（2022·上海交大附中模拟预测）已知椭圆221214x y F F Γ+=：，，是左、右焦点．设M 是直线()2l x t t =>：上的一个动点，连结1MF ，交椭圆Γ于()0N N y ≥．直线l 与x 轴的交点为P ，且M 不与P 重合．(1)若M 的坐标为58⎫⎪⎪⎝⎭，，求四边形2PMNF 的面积； (2)若PN 与椭圆Γ相切于N 且1214NF NF ⋅=，求2tan PNF ∠的值； (3)作N 关于原点的对称点N '，是否存在直线2F N ，使得1F N '上的任一点到2F N求出直线2F N 的方程和N 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(3)存在；y x =；126N ⎫⎪⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）根据点斜式方程可得1:MF l y x =，再联立椭圆方程得到12N ⎫⎪⎭，再根据2112PMNF PF M NF F S S S =-△△求解即可；（2）设:()PN l y k x t =-，根据相切可知，直线与椭圆方程联立后判别式为0，得到2214k t =-，再根据1214NF NF ⋅=，化简可得t =12N ⎫⎪⎭，再根据直角三角形中的关系求解2tan PNF ∠的值即可；（3）设()00,N x y ，表达出2NF l，再根据22O NF d -=列式化简可得2148k =，结合k =程即可求得N 和直线2F N 的方程 (1)由题意，()1F，故15MF k ==，所以1:MF l y x =与椭圆方程联立2214x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得：213450x +-=，即(130x x +=，又由题意N x >，故解得x =12N ⎫⎪⎭，故121122NF F S =⋅=△且11528PF M S ==△则2112PMNF PF M NF F S S S =-=△△(2)由于直线PN 的斜率必存在，则设:()PN l y k x t =-与椭圆方程联立2214()x y y k x t ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，可得：()22222148440k x k tx k t +-+-=由相切，()22216140k k t∆=+-=，则2214kt =-同时有韦达定理21228214N k t x x x k +==+，代入2214k t =-有2244414Nt t x t -=+-，化简得4N x t =，故2222414N Nx t y t-=-=而222122122134N Nt NF NF x y t -⋅=+-==，解得2t =>则12N ⎫⎪⎭，所以2NF x ⊥轴，故在直角三角形2PNF中，2223tan 12PF PNF NF ∠===(3)由于N 与N '，1F 与2F 是两组关于原点的对称点，由对称性知 四边形12F NF N '是平行四边形，则2NF 与1N F '是平行的， 故1F N '上的任一点到2F N 的距离均为两条平行线间的距离d ．设()00,N x y，其中0(x ∈，易验证，当0x 时，2NF 与1N F '之间的距离为k =2(:NF y l k x =，即0kx y -=，发现当0x22O NF d d -==221914k k =+，整理得2148k =代入k =(220048y x =，代入220014x y =-整理得20013450x --=，即(00130x x -=由于0(x ∈，所以0x =126N ⎫⎪⎪⎝⎭，故1k =， 则2F N l的直线方程为y x =16．（2022·全国·模拟预测（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，直线AB的斜率为O 到直线AB(1)求C 的方程；(2)直线l 交C 于M ，N 两点，90MBN ∠=︒，证明：l 恒过定点.【答案】(1)22143x y +=(2)证明见解析【解析】 【分析】（1）题意得(,0),(0,)A a B b ，根据AB斜率，可得b a =AB 的方程，根据点到直线距离公式，可求得a 值，进而可得b 值，即可得答案.（2）分析得直线l 的斜率存在，设1122,(,),(,)y kx m M x y N x y =+，与椭圆联立，可得关于x 的一元二次方程，根据韦达定理，可得1212,x x x x +表达式，进而可得12y y 、12y y +的表达式，根据90MBN ∠=︒，可得0MB NB ⋅=，根据数量积公式，化简计算，可得m 值，分析即可得证(1)由题意得(,0),(0,)A a B b ， 所以直线AB的斜率为b a =-b a = 又直线AB的方程为)y x a =-20y +=， 所以原点O 到直线AB的距离d ==，解得2a =，所以b =22143x y +=.(2)由椭圆的对称性可得，直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为1122,(,),(,)y kx m M x y N x y =+，联立方程22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得222(34)84120k x kmx m +++-=， 所以21212228412,3434km m x x x x k k --+==++， 所以22221212122312()34m k y y k x x km x x m k -=+++=+，121226()234m y y k x x m k +=++=+， 因为90MBN ∠=︒，所以MB BN ⊥，因为B，所以1122(,3),()MB x yNB x y =--=-，所以22212121222241263123)30343434m m m k MB NB x x y y y y k k k --⋅=+++=++=+++， 整理得2730m --=，解得m =或7m =-，因为B ，所以m舍去， 所以直线l 的方程为y kx =0,⎛ ⎝⎭，得证17．（2022·全国·模拟预测（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，1A ，2A 分别为左、右顶点，1B ，2B 分别为上、下顶点．若四边形1122B F B F212F F ，212B B ，212A A 成等差数列．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆外一点P (P 不在坐标轴上)连接1PA ，2PA ，分别与椭圆C 交于M ，N 两点，直线MN 交x 轴于点Q ．试问：P ，Q 两点横坐标之积是否为定值？若为定值，求出定值；若不是，说明理由． 【答案】(1)22132x y +=；(2)32P Q x x =为定值，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）应用菱形面积公式、等差中项的性质及椭圆参数关系求椭圆参数，写出椭圆标准方程.（2）由题意分析知1PA ，2PA 所在直线斜率均存在且不为0、斜率和差均不为0，设直线1PA ，2PA 联立椭圆求M ，N 的坐标及P 点横坐标，应用点斜式写出直线MN ，令0y =求Q 横坐标，即可得结论. (1)由题设知：2222222844bc b a c a b c ⎧=⎪⎪=+⎨⎪=+⎪⎩，可得22321a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以椭圆标准方程为22132x y +=. (2)由题意，1PA ，2PA 所在直线斜率均存在且不为0、斜率和差均不为0，设1PA为(y k x =，联立椭圆方程整理得：22229(23)302k k x x +++-=，所以1M A x x +=1A x =M x == 设2PA为(y m x =，联立椭圆方程整理得：22229(23)302m m x x +-+-=，所以2N A x x +=2A x =N x ==所以M y k =⋅=Ny m =⋅=， 联立直线1PA 、2PA可得：P x =，直线MN为2()[23m k y x km +=⋅-，令0y =，则Q x =，所以32P Q x x ==为定值.18．（2022·山西·太原五中二模（文））已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于A B ､和C D ､，记得到的平行四边形ACBD 的面积为S ．(1)设()()1122,,,A x y C x y ，用A C ､的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12212S x y x y =-； (2)请从①①两个问题中任选一个作答 ①设1l 与2l 的斜率之积12-，求面积S 的值．①设1l 与2l 的斜率之积为m ．求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变． 【答案】(1)(2)见解析 【解析】 【分析】（1）讨论10x ≠和10x =，分别写出直线1l 的方程，由距离公式即可求得点C 到直线1l 的距离，由面积公式即可证明12212S x y x y =-；（2）若选①，设出直线1l 和2l 的方程，联立椭圆求出A C ､的坐标，结合（1）中面积公式求解即可；若选①，设出直线1l 和2l 的方程，联立椭圆求出A C ､的坐标，结合（1）中面积公式得到S 的表达式，平方整理，由含42,k k 的项系数为0即可求解. (1)当10x ≠时，直线1l 的方程为：11y y x x =，则点C 到直线1l的距离为d ==当10x =时，直线1l 的方程为：0x =，则点C 到直线1l 的距离为2d x =，也满足d则点C 到直线1l2AB AO ==则1212112222S AB d x y x x x y y y =⋅==--=；(2)若选①，设1122121:,:,2l y k x l y k x k k ===-，设()()1122,,,A x y C x y ，直线1l 与椭圆联立12221y k x x y =⎧⎨+=⎩可得()221121k x+=，同理直线2l 与椭圆联立可得()222121k x +=，不妨令120,0x x >>，则11x y =，22x y ===，则12212S x y x y ==-== 若选①，设12:,:m l y kx l y x k ==，设()()1122,,,A x y C x y ，直线1l 与椭圆联立2221y kx x y =⎧⎨+=⎩可得()22121k x +=，则212112x k =+，同理可得2222221212k x k m m k ==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则1221121221222m m x x x kx k x k S y x x k x y =-=-=-⋅⋅⋅1222m m k x x k k k ==-=-⋅，两边平方整理得()24222222224(48)240Sk S S m m k m S m -++++-=，由面积S 与k 无关，可得2222240480S S S m m ⎧-=⎨++=⎩，解得12S m ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，故12m =-时，无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变．19．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知A ，B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点和上顶点，||AB =AB 的斜率为12-.(1)求椭圆的方程；(2)直线//l AB ，与x ，y 轴分别交于点M ，N ，与椭圆相交于点C ，D ．证明： （i ）OCM 的面积等于ODN △的面积；（ii ）22||||CM MD +为定值．【答案】(1)2214x y +=(2)（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据(,0)A a ，(0,)B b，由||AB =AB 的斜率为12-求解；（2）设直线l 的方程为12y x m =-+，得到(2,0)M m ，(0,)N m ，与椭圆方程联立，根据11|2|||2=OCM S m y ，21||||2=ODN S m x ，2222221122||||(2)(2)CM MD x m y x m y ∴+=-++-+利用韦达定理求解. (1) 解：A 、B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个顶点，且||AB =AB 的斜率为12-，由(,0)A a ，(0,)B b，得||AB == 又0102b b k a a -==-=--，解得2a =，1b =， ∴椭圆的方程为2214x y +=； (2)设直线l 的方程为12y x m =-+，则(2,0)M m ，(0,)N m ，联立方程221214y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，整理得222220x mx m -+-=．22248(4)3240m m m ∆=--=->， 得28m <设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ． 122x x m ∴+=，21222x x m =-．所以11|2|||2=OCM S m y ，21||||2=ODN S m x 则有112222|2||2|||1||||||-====OCMODNS y m x x Sx x x OCM ∴的面积等于ODN 的面积；2222221122||||(2)(2)CM MD x m y x m y ∴+=-++-+，2222221112221144()44()22x mx m x m x mx m x m =-++-++-++-+，()()221212125551042x x x x m x x m =+--++， ()2222552210102m m m m =---+5=. 20．（2022·北京市第十二中学三模）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>过点(2,0)A(1)求椭圆M 的方程；(2)已知直线(3)y k x =+在x 轴上方交椭圆M 于B ，C （异于点A ）两个不同的点，直线AB ，AC 分别与y 轴交于点P ､Q ，O 为坐标原点，求()k OP OQ +的值.【答案】(1)22142x y +=(2)45【解析】 【分析】（1）直接由A 点坐标及离心率求得椭圆方程即可；（2）联立直线与椭圆求得2212122212184,2121k k x x x x k k --+==++，再表示出直线AB ，AC 的方程，求得P ､Q 坐标，再计算()k OP OQ +即可. (1)由题意知：2,c a a ==c =2222b a c =-=，则椭圆M 的方程为22142x y +=；(2)联立直线与椭圆22(3)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222221121840k x k x k +++-=，()()422214442118440160k k k k ∆=-+-=-+>，即k <<(3)y k x =+在x 轴上方交椭圆M 于B ，C （异于点A）两点，则0k << 设1122(,),(,)B x y C x y ，则1222,22x x -<<-<<，2212122212184,2121k k x x x x k k --+==++，1122(3),(3)y k x y k x =+=+， 易得直线AB ，AC 斜率必然存在，则11:(2)2y AB y x x =--，令0x =，得11202y y x =>-，则112(0,)2y P x -，同理可得222(0,)2y Q x -，且22202y x >-， 则()()()()()112121212223222222()(32)22k x x y y x x x k x k x OP x OQ k k -++⎛⎫+==⋅ ⎪⎝⎭+-+----222212122212122218412422442()242121184122()4242121k k k k k kx x k x x k k k k k k k x x x x k k ---⋅-⋅+--++++=⋅=⋅---++-⋅+++45=.。

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圆锥曲线中的一类对称问题
例：已知椭圆22:143xyC，试确定m的取值范围，使得对于直线:4lyxm，椭圆
C
上有不同的两点关于这条直线对称。
法一：利用判别式及韦达定理来求解

两点,AB关于直线l对称，对称中体现的两要点：垂直和两点连线中点在对称直线l上，因
此使用这种方法求解时,必须同时确保: ⑴垂直;⑵平分⑶存在,下面就说明三个确保的实施。
解:椭圆上存在两点,AB关于直线:4lyxm对称

设直线AB为:nxy41 (确保垂直).
则直线AB与椭圆有两个不同的交点

22
22

1
4
13816480143yxnxnxnxy





2
192(413)0b

(确保存在)

即：131322n ①
12
881313nnxx


,AB
两点的中点的横坐标为124,213xxn纵坐标为141241313nnn

则点412,1313nn在直线:4lyxm上,12441313nnm. (确保平分)
4
13
mn

把上式代入①中,得：
213213
.1313m

法二：点差法
点差法是解决中点弦问题的一种常见方法，对称问题符合点差法的应用条件，过程如下
解:设椭圆上关于l对称的两点分别为1122(,),(,)AxyBxy，弦AB的中点为00(,)Mxy，代
入椭圆方程后作差，得
0
12

120

3144x
yyxxy




①

由点00(,)Mxy在直线:4lyxm上，得004yxm ②
由①②解得00,3xmym
因为点00(,)Mxy在椭圆的内部

所以 22()(3)143mm
解得
213213
.1313m

已知椭圆C： 22221xyab的左焦点为F，若点F关于直线12yx的对称点P在椭圆
C
上， 则椭圆C的离心率为（ ）
A．12 B．22 C．33 D．53
【答案】D
【解析】椭圆左焦点坐标为,0Fc，它关于直线12yx的对称点为34,55Pcc，

据此可得222234551ccab，整理可得：22222291625bcacab，结合222bac
整理可得： 4224950250caca，即： 4222950250,5950eeee，
椭圆的离心率01e ，则255,93ee．故选D．

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