2011—2017年新课标全国卷1理科数学分类汇编——3.导数及其应用

3．导数及其应用（含解析）

一、选择题

【2014，11】已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为

A ．

（2，+∞） B ．（-∞，-2） C ．（1，+∞） D ．（-∞，-1） 【2012，12】设点P 在曲线12

x

y e =

上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为（ ）

A ．1ln 2-

B ln 2)-

C ．1ln 2+

D ln 2)+

【2011，9】由曲线y 2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）

A ．

103 B ．4 C ．16

3

D ．6 二、填空题

【2017，16】如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形

ABC 的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ， CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC ．的边长变化

时，所得三棱锥体积（单位：cm 3

）的最大值为_______．

【2013，16】若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x ＝－2对称，则f (x )的最大值为__________． 三、解答题

【2017，12】已知函数()()22x

x f x ae

a e x =+--．

（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．

【2016，12】已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点． （Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设21,x x 是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x ．

【2015，12】已知函数3

1

()4

f x x ax =++

，()ln g x x =-． （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；

（Ⅱ）用min{,}m n 表示,m n 中的最小值错误！未找到引用源。，设函数min{),()(}()h x f x g x =错误！未找到引用源。（0x >），讨论()h x 零点的个数．

【2014，21】设函数1

(0ln x x

be f x ae x x

-=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+． (Ⅰ)

求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >．

【2013，21】设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2．

(1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围．

【2012，21】已知函数)(x f 满足2

1

2

1)0()1(')(x x f e f x f x +

-=-． （1）求)(x f 的解析式及单调区间；（2）若b ax x x f ++≥2

2

1)(，求b a )1(+的最大值．

【2011，21】已知函数ln ()1a x b

f x x x

=

++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=． （Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k

f x x x

>

+-，求k 的取值范围．

2．导数及其应用（解析版）

一、选择题

【2015，12】设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）

A ．3,12e ⎡⎫

-

⎪⎢⎣⎭ B ． 33,2e 4⎡⎫

-⎪⎢⎣⎭ C ． 33,2e 4⎡⎫

⎪⎢⎣⎭ D ． 3,12e ⎡⎫

⎪⎢⎣⎭

解析：设()g x =(21)x e x -，y ax a =-，由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线y ax a =-的下方.因为()(21)x g x e x '=+，所以当12x <-

时，()g x '＜0，当12x >-时，()g x '＞0，所以当12

x =-时，min [()]g x =1

2

2e --，当0x =时，(0)1g =-，(1)30g e =>，直线y ax a =-恒过（1,0）斜率且a ，故

(0)1a g ->=-，且1(1)3g e a a --=-≥--，解得

3

2e

≤a ＜1，故选D ．. 作为选择题，该题也可先找到满足0()0f x <的整数0x ，由0x 的唯一性列不等式组求解.由

(0)10f a =-+<得00x =.又0x 是唯一使()0f x <的整数，所以(1)0(1)0f f -≥⎧⎨

≥⎩

，解得3

2a e ≥，又1a <，且3

4

a =

时符合题意.故选D ．. 【2014，11】已知函数()f x =32

31ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为

A .（2，+∞）

B .（-∞，-2）

C .（1，+∞）

D .（-∞，-1）

【解析1】：由已知0a ≠，2()36f x ax x '=-，令()0f x '=，得0x =或2

x a

=， 当0a >时，()22,0,()0;0,

,()0;,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞>∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

； 且(0)10f =>，()f x 有小于零的零点，不符合题意．

当0a <时，()22,

,()0;,0,()0;0,,()0x f x x f x x f x a a ⎛

⎫⎛⎫'''∈-∞<∈>∈+∞< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

要使()f x 有唯一的零点0x 且0x ＞0，只需2

()0f a

>，即2

4a >，2a <-．选B 【解析2】：由已知0a ≠，()f x =32

31ax x -+有唯一的正零点，等价于3

1

13a x x =-

有唯一的正零根，令1t x

=

，则问题又等价于33a t t =-+有唯一的正零根，即y a =与3

3y t t =-+有唯一的交点且交点在在y 轴右侧记3()3f t t t =-+，2

()33f t t '=-+，由()0f t '=，1t =±，