不等式基本性质和证明
不等式的基本性质与基本不等式
目
CONTENCT
录
• 不等式的基本性质 • 基本不等式的概念 • 基本不等式的应用 • 不等式的解法 • 不等式的扩展知识
01
不等式的基本性质
传递性
总结词
如果a>b且b>c，则a>c。
详细描述
这是不等式的基本性质之一，即如果两个数之间存在一个大于关系，并且它们 之间还有另一个数存在大于关系，那么这两个数之间也存在大于关系。
在解决实际问题中的应用
80%
优化问题
基本不等式可以用于解决各种优 化问题，例如在资源分配、生产 计划、运输问题等方面。
100%
最大最小值问题
基本不等式可以用于求函数的最 大值和最小值，例如在求函数的 极值、最值等方面。
80%
经济问题
基本不等式在经济问题中也有广 泛应用，例如在分析市场供需、 投资组合等方面。
在数学竞赛中的应用
代数竞赛
在代数竞赛中，基本不等式是 重要的解题工具之一，例如在 解决代数不等式、代数方程等 问题时。
几何竞赛
在几何竞赛中，基本不等式也 是重要的解题工具之一，例如 在解决几何不等式、几何证明 等问题时。
组合数学竞赛
在组合数学竞赛中，基本不等 式也有着广泛的应用，例如在 解决组合不等式、组合计数等 问题时。
不等式的代数意义
代数解释
不等式是数学中一种重要的代数结构， 它反映了变量之间的相对大小关系。
代数意义应用
通过代数运算可以解决各种不等式问 题，例如求解不等式、证明不等式、 比较大小等。不等式的应用领域 Nhomakorabea数学领域
不等式在数学中有着广泛的应用，如数 学分析、线性代数、概率论等领域。
不等式的基本性质总结
不等式的基本性质是高中数学中一个重难点，下面查字典高中数学网为大家总结了不等式的基本性质知识点，希望对大家所有帮助。
1.不等式的定义：a-b0ab, a-b=0a=b, a-b0a
①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。
它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。
②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。
作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。
2.不等式的性质：
①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。
不等式基本性质有：
(1) abb
(2) ab, bcac (传递性)
(3) aba+cb+c (cR)
(4) c0时，abacbc
c0时，abac
运算性质有：
(1) ab, cda+cb+d。
(2) ab0, cd0acbd。
(3) ab0anbn (nN, n1)。
(4) ab0(nN, n1)。
应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：和即推出关系和等价关系。
一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。
解不等式就是施行一系列的等价变换。
因此，要正确理解和应用不等式性质。
②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：
(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。
(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。
(3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。
《不等式的基本性质》ppt课件
x< -3
题 组 训 练 一
：
1、已知x>y,下列各式成立吗？
(1)x-6<y-6
(3) -2x<-2y
(2) 3x<3y (4) 2x+1>2y+1
2、设 a<b ,用“<”或“>”号填空 （1）a+1__b+1
(2) a-3__b-3 (4) -a__-b
（3）3a__3b
（5）
2a 3 __ 2b 3
归 纳
不等式基本性质1
不等式的两边都加上（或减去）同 一个整式，不等号的方向不变.
等式基本性质2：等式的两边都 乘以（或除以）同一个不为0的 数，等式仍然成立.
用刚才的方法研究:不 等式有没有这样的性 质？
不等式应Hale Waihona Puke 有什么样 类似的性质?探 究
3 < 7
3×2 < 7×2 3×0.5 < 7×0.5
不等式的基本性质
你还记得： 等式的基本性质吗？
等式基本性质1：等式的两边都加 整式 上（或减去）同一个整式，等式仍 然成立
可能是正数也可能是负数
想一想：
加减正数
3+2＿7+2 3-5__ 7-5 3+a__ 7+a
3＜ 7
加减负数
3+(-2)__ 7+(-2) 3-(-5)__ 7- ( -5) 3-a__ 7-a
巩固知识
典型例题
例 5 已知 a b 0 ， c d 0 ，求证 ac bd ．
证明 因为 a b, c 0 ， 由不等式的性质 3 知， ac bc ， 同理由于 c d , b 0 ，故 bc bd . 因此，由不等式的性质 1 知
不等式的基本性质与基本不等式
综合法是通过已知的不等式推导出待证明的不等式的方法。它通常用于证明一些 较为复杂的不等式，例如平方和、立方和等。通过利用已知的不等式和数学性质 ，我们可以推导出待证明的不等式，从而证明其正确性。
分析法
总结词
通过分析不等式的结构来证明不等式。
详细描述
分析法是通过分析不等式的结构来证明不等式的方法。它通常用于证明一些较为复杂的不等式，例如 高次幂的和、积等。通过分析不等式的结构，我们可以找到其内在的规律和性质，从而证明不等式的 正确性。
数学ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ纳法
通过数学归纳法证明不等式的正确 性。
03
基本不等式的应用
在数学解题中的应用
01
02
03
简化计算
基本不等式可以用来化简 复杂的数学表达式，从而 简化计算过程。
解决最值问题
基本不等式可以用来求解 函数的最值，例如求函数 在某个区间的最小值或最 大值。
证明不等式
基本不等式是证明一些数 学不等式的有力工具，例 如AM-GM不等式、 Cauchy-Schwarz不等式 等。
对于任意概率分布P，有$sum P_i^2 leq 1$。
柯西-施瓦茨不等式
对于任意实数向量x和y，有$(sum x_i^2)(sum y_i^2) geq (sum x_iy_i)^2$。
基本不等式的证明方法
代数法
通过代数变换和推导，证明不等 式的正确性。
几何法
通过几何图形和直观理解，证明不 等式的正确性。
通过观察几何图形，可以直观 地理解不等式的意义和性质， 从而找到解决问题的线索。
参数法
参数法是一种将参数引入不等式中，通过参数的变化来研究不等式的性质和解法的 方法。
不等式的基本性质和证明的基本方法PPT教学课件
解方程：A42x＋1＝140A3x.
【解】
由原方程应满足2x+1≥4 x≥3
解得 x≥3，
由排列数公式，原方程化为(2x＋1)·2x·(2x－1)·(2x－2)
(2)法一：排除法． 0 在十万位的六位数或 5 在个位的六位数都有 A55个，0 在十万位且 5 在个位的六位数有 A44个． 故符合题意的六位数共有 A66－2A55＋A44＝504(个)． 法二：直接法． 十万位数字的排法因个位上排 0 与不排 0 而有所不 同．因此需分两类． 第一类：当个位排 0 时，符合条件的六位数有 A55个． 第二类：当个位不排 0 时，符合条件的六位数有 A14A14A44个． 故共有符合题意的六位数 A55＋A14A14A44＝504(个)．
(2)(插空法)先排 5 个男生，有 A55种排法，这 5 个男生之 间和两端有 6 个位置，从中选取 3 个位置排女生，有 A36种排 法，因此共有 A55·A36＝14 400 种不同排法．
法二：从特殊元素入手(直接法) 0 不在两端有 A14种排法，从 1,3,5 中任选一个排在个位 有 A13种排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有 A44种排 法，故共有 A14A13A44＝288(个)六位奇数． 法三：排除法． 6 个数字的全排列有 A66个，0,2,4 在个位上的六位数为 3A55个，1,3,5 在个位上，0 在十万位上的六位数有 3A44个，故 满足条件的六位奇数共有 A66－3A55－3A44＝288(个)．
1．将 2 位新同学分到 4 个班中的 2 个班中去，共有的 分法种数为( )
第三章 不等式---不等式的性质
比较实数 大小的依据：
(1)复习回顾
1.
不等式性质总结：
(1)证明：
（正数的相反数是负数）
同理 由 可得到 对称性：如果 那么 如果 那么 . 即：
1)证明：
推论：
传递性：
2)可加性：
3)不等式性质证明：
(2)不等式的性质：
2.0318--不等式的性质
2020年2月21日
9:36
证明：
可加性：
3)证明： 又 又
同理可证 如果 那么
可乘性：如果 那么 如果 那么
4)
同向可加性：
5)证明： (性质4)又 (性质4) (性质2)
此性质说明：两边都是正数的同向不等式相乘 所得的不等式和原不等式同向.
同向同正可乘性：如果 那么
6)①法
②法
证明：
因为 个
所以
证明：
即：
可乘方性：如果 那么
7)
①法②法（反证法）
证明：即：证明：假设不成立 则
即：
又
个正数的正那个此方根
(性质7--可乘方性)
与已知条件相矛盾 所以假设不成立所以
可开方性：如果 那么
8)
备注：
(3)
在两个不等式中 如果每 个的左边都大于右边 或每 个的左边都小于右边 这样的不等式叫做同向不等式.。
不等式的基本性质
质。
02
绝对值不等式的形式
绝对值不等式的一般形式是$|a| < b$或$|a| > b$，其中$a$和$b$是
实数。
03
绝对值不等式的解法
求解绝对值不等式需要利用绝对值的性质和运算规则，通常将其转化
为若干个简单的绝对值不等式或等式进行求解。
柯西不等式
柯西不等式的定义
柯西不等式是一类重要的不等式，它反映了内积空间中向量的模长的平方和与它们内积的 之间的关系。
详细描述
不等式的可加性也是我们在解决不等式问题时常用的性质之一。它基于加法法则 ，即如果a>b且c>d，那么a+c>b+d。这个性质可以用于简化不等式，有时也可 以帮助我们找到不等式之间的联系。
不等式的可乘性
总结词
不等式的可乘性是指如果a>b且c>d，那么ac>bd。
详细描述
不等式的可乘性是我们在解决不等式问题时常用的性质之一 。它基于乘法法则，即如果a>b且c>d，那么ac>bd。这个 性质可以用于简化不等式，有时也可以帮助我们找到不等式 之间的联系。
02
经济学中，投资回报不等式用于比较不同投资项目的回报率，
以及确定最优投资策略。
风险评估不等式
03
在经济学中，风险评估不等式用于评估投资风险，比较不同投
资项目的风险水平，以及制定风险管理策略。
不等式在物理学中的应用
力学不等式
在物理学中，力学不等式用于比较物体之间的作用力和反作用力，以及确定物体运动状态 变化的趋势。
03
不等式的证明方法
利用不等式的性质证明不等式
同一性质
如果a>b，c>d，那么ac>bd。
不等式的证明(一)
若x为锐角，则
sin x＜x＜tanx
sin x＜tanx sin x＞tanx
线性规划简述
1.含义：简言之，图象法解二元不等式 2.步骤：一面二线三找点 来先去后为最值
解析几何的基础
形
数
点
坐标
线
方程
面
不等式
二元不等式与平面域
1.直线对坐标平面的划分 (二元一次不等式表示平面域)
直线 Ax By C 0 ,将坐标平面划分成两个半平面 Ax By C 0和 Ax By C 0 ,位于同一半平面内的点 其坐标必适合同一个不等式 （同侧同号，异侧异号）
b
不妨设a b 0,则 a 1, a b 0 b
故
a
ab
1，当且仅当a
b时, 等号成立
b
所以，原不等式成立
作业：
1.课本P： 75 B组 Ex1①② 2.(2010年湖北)设 a＞0，b＞0,称a2abb 为a，b的调和平均数
(2)三角混合不等式: 若 0＜x＜ ,则 sinx＜x＜tanx
2
法1：如图，易得
y=x y = tanx
y = sinx
(2)三角混合不等式: 若 0＜x＜ ,则 sinx＜x＜tanx
2
法2：如图单位圆O中，角x的终边为OT，易得
S⊿APO＜S扇形APO＜S⊿ATO
而 S⊿APO= AO • PM sin x
注1.若2个不等式需进行减(除)运算，一般是转换成加(乘)
注2.若变量间具有约束关系时，等号没有可加(乘)性
3.重要的(经典)不等式
⑩ □2+○2≥±2□○ 当且仅当○=□时等号成立
11 均值不等式： 若□,○∈R+,则
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第一讲 不等式的基本性质与证明
一、 知识点分析
不等式概念：我们把含有不等号的式子叫做不等式。
不等式的基本性质：
（1）abba（对称性）
（2）cacbba,（传递性）
（3）cbcaba
（4）dbcadcba,（同向相加性）
（5）bcaccba0,.，
bcaccba0,
（6）bdacdcba0,0（同向相乘性）
（7）a﹥b，ab﹥0，a1﹤b1 (倒数变向性)
（8）)1,(0nZnbabann且（平方法则），
)1,(0nZnbabann且
（开方法则）
注：1、无同向相减性和同向相除性，且同向相乘性须正数
2、性质（8）中，若n为正奇数，则无须ba,都大于零
两个实数大小的比较：
作差法 baba0；baba0；baba0
作商法 若ba,﹥0，则ba﹥1a﹥b；ba﹤1a﹤b；ba=1a=b
不等式的证明方法：
①作差法②作商法
③综合法：由因到果 ④分析法：执果索因
⑤放缩法：常见类型有⑴nnnnnnnnn111)1(11)1(11112 （放缩程度较
大）;⑵)1111(2111122nnnn（放缩程度较小）;⑶
1(212221nn
nnnn
⑥数学归纳法：常用于数列类的不等式
⑦利用函数单调性法
二、 例题精选
例1.
⑴比较a与b的大小：a=m3－m2n－3mn2 与 b=2m2n－6mn2＋n3
⑵设21xx，比较1211xx与2221xx的大小
⑶设0,0ba，试比较abbababa与的大小
例2．
⑴已知yxxyxyxyx5,,2,51,322求的取值范围
⑵已知yxyxy2,51,3x2求的取值范围
例3. 判断下列命题A是命题B的什么条件
⑴ A：x>3 B: x1<31 ⑵ A：x<3 B：x1>31
⑶ A：x>y B：yx11 ⑷ A：32yx且 B:65xyyx且
例4. 甲乙两人从A地同时出发沿同一条路线步行到B地，甲在前一半时间行走
的速度为x，后一半时间行走的速度为y，乙用速度x走完前半段路程，
用速度y走完后半段路程，若xy，试指出谁先到达B地，并说明理由。
例5.
（1） 设QPnnQnnpn求证：,1,1,1
（2） 设abcddcbaRdcba4,,,,4444求证：
（3） 设47121111n1-23,222nNn求证：
（4） 设
nnNnn2131211,,2
求证：
三、课后习题
基础篇
1、下列命题中正确的是…………………………………………………… ( )
(A)22,baba则若 (B) baba则若,22
(C) 22,baba则若 (D) 22,baba则若
2、设011ba ，则 ………………………………………………………（ ）
(A) 22ba (B) abba2 (C) 2bab (D) baba22
3、若0,cbacba,则有…………………………………………… ( )
(A) acab (B) bcac (C) bcab (D)以上都错
4、若0,babdac, ………………………………………………………( )
(A) 0dc (B) dc (C) dc (D)c、d大小不确定
5、以下命题：⑴a>b|a|>b ⑵a>ba2>b2 ⑶|a|>b a>b ⑷a>|b| a>b
正确的个数有………………………………………………………………（ ）
(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D)4个
6、0＜a＜1，F=a2，G=a1，H=a11，那么F、G、H中最小的是………（ ）
(A)F (B) G (C) H (D) 不能确定
1设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论中正确的是
A.a+c>b+d B.a－c>b－d C.ac>bd D.cbda
若a、b为实数，则a>b>0是a2>b2的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件
（ ）3，若,011ba则下列结论正确的是
A．22ba B．2bab C．aba2 D．ba
（ ）4，“a>b”是“ac2>bc2”成立的
A．必要不充分条件 B．充分不必要条
C．充要条件 D．以上均错
（ ）5，若ba, 为任意实数且ba，则（ ）
A，22ba B，1ba C，0)lg(ba D，ba)21()21(
（ ）6，“1a”是“11a”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（ ）7，设10ab，则下列不等式成立的是
A．12bab B．0loglog2121ab C．222ab D．12aba
（ ）8，1ab是0)(baa成立的
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分不必要条
件
（ ）9，若0,0,0ayayx，则yx的值
A，小于0 B，大于0 C，等于0 D，正负不确定
（ ）10，若a>b，在①ba11；②a3>b3；③)1lg()1lg(22ba ；④ba22中，
正确的有
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
已知a、b、c满足cba，且ac0，那么下列选项中不一定成立的是
A．abac B． cba()0 C． cbab22 D． 0)(caac
若011ba，则下列不等式①abba；②|;|||ba③ba；④02aba中，
正确的不等式有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二，填空题
13，设01,0ba，则2,,ababa三者的大小关系为
14，设RxxxBxA,2,21234且1x，则BA,的大小关系为
15，如果01ba，则22,,1,1abab的大小关系为
16，设，则ba是bbaa11成立的 条件
17，若53,42ba，则ba3的取值范围为 ，bba2的取值范围
为
18，若abaa231,63，则ba的取值范围为
6、已知2,2ba，试比较abba与的大小______________。