高三总复习 第19讲
高三数学第一轮复习课时作业(19)三角函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质及三角函数模型的简单应用A
课时作业(十九)A[第19讲 三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像与性质及三角函数模型的简单应用]时间：45分钟 分值：100分基础热身1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( ) A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像的对称轴方程可以为( )A ．x ＝π12B ．x ＝5π12C ．x ＝π3D ．x ＝π63．2011·海淀二模 若函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，则得到的图像所对应的函数解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π34．如图K19－1，单摆的摆线离开平衡位置的位移S (厘米)和时间t (秒)的函数关系是S ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4，t ∈0，＋∞)，则摆球往复摆动一次所需要的时间是能力提升5．2010·陕西卷 对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，π2上是递增的B ．f (x )的图像关于原点对称C ．f (x )的最小正周期为2πD ．f (x )的最大值为26．2011·珠海二模 函数y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π2是( )A ．最小正周期是π的偶函数B ．最小正周期是π的奇函数C ．最小正周期是2π的偶函数D ．最小正周期是2π的奇函数7．2011·昆明质检 用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的简图时，若所得五个点的横坐标从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，且x 1＋x 5＝3π2，则x 2＋x 4等于( )A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 8．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ≤2π)的部分图像如图K19－2所示，则( )图K19－2A ．ω＝π2，φ＝π4 B ．ω＝π3φ＝π6 C ．ω＝π4，φ＝π4 D ．ω＝π4φ＝5π49．2011·福州质检 函数y ＝sin x －cos x 的图像可由y ＝sin x ＋cos x 的图像向右平移( ) A.3π2个单位长度得到 B ．π个单位长度得到 C.π4个单位长度得到 D.π2个单位长度得到 10．2011·淄博模拟 将函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，π2φ<π的图像，向右最少平移4π3个单位长度，或向左最少平移2π3个单位长度，所得到的函数图像均关于原点中心对称，则ω＝________.11．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n 的最大值为4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，若A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2，则函数解析式为________．12．给出下面的3个命题：①函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期是π2；②函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －3π2在区间⎣⎡⎭⎫π，3π2上单调递增；③x ＝5π4是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π2的图像的一条对称轴．其中正确命题的序号是________．13解析式为________________．14．(10分)已知函数f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x .(1)将f (x )的图像向右平移π12g (x )的图像，求g (x )的解析式；(2)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间．15．(13分)已知直线y＝2与函数f(x)＝2sin2ωx＋23sinωx cosωx－1(ω>0)的图像的两个相邻交点之间的距离为π.(1)求f(x)的解析式，并求出f(x)的单调递增区间；(2)将函数f(x)的图像向左平移π4个单位长度得到函数g(x)的图像，求函数g(x)的最大值及g(x)取得最大值时x的取值集合．难点突破16．(12分)已知复数z1＝sin x＋λi，z2＝m＋(m－3cos x)i(λ，m，x∈R)，且z1＝z2.(1)若λ＝0，且0<x<π，求x的值；(2)设f(x)＝λcos x，求f(x)的最小正周期和单调递增区间．课时作业(十九)A【基础热身】1．A 解析 由已知，ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，因为f ⎝⎛⎭⎫π3＝0，所以函数图像关于点⎝⎛⎭⎫π3，0中心对称，故选A.2．A 解析 由2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )， 当k ＝0时，x ＝π12，故选A. 3．B 解析 把图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，即周期变为原来的2倍，则ω变为原来的12，故选B.4．2 解析 摆球往复摆动一次所需的时间即为函数的周期，又函数S 的周期为T ＝2ππ＝2，故摆球往复摆动一次所需要的时间是2秒．【能力提升】5．B 解析 f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，则f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，π2上是递减的，A 错；f (x )的最小正周期为π，最大值为1，C 、D 错，故选B.6．A 解析 y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π2＝sin 2x ＝1－cos2x 2，则最小正周期是T ＝2π2＝π，且是偶函数，故选A.7．C 解析 根据“五点法”的规则知，x 1，x 2，x 3，x 4，x 5依次成等差数列，所以x 2＋x 4＝x 1＋x 5＝3π2，故选C.8．C 解析 由图像可知函数的最小正周期是8，根据最小正周期T ＝2πω可得ω＝π4，排除A 、B ，再根据0≤φ≤2π且当x ＝1时y ＝1，可知φ＝π4，故选C.9．D 解析 把函数解析式化为y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，y ＝sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π2＋π4，故选D.10.12解析 因为函数的相邻两对称轴之间距离或相邻两对称点之间距离是函数周期的一半，则有T 2＝4π3－⎝⎛⎭⎫－2π3＝2π，故T ＝4π，即2πω＝4π，ω＝12. 11．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2 解析 由题设得，A ＝2，n ＝2，ω＝4，且当x ＝π3时，sin ⎝⎛⎭⎫43π＋φ＝±1，则φ＝π6，∴所求解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2.12．①② 解析 因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期为π，则函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期是π2；因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －3π2＝cos x ，则函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －3π2在区间⎣⎡⎭⎫π，3π2上单调递增； 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π2＝cos2x ，由2x ＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π2，k ∈Z ，则x ＝5π4不是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π2的图像的一条对称轴，故正确的命题是①②.13．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫5π2x －π2(答案不唯一) 解析 由散点图选用函数模型y ＝A sin(ωx ＋φ)，则A ＝4，T ＝0.8，∴ω＝2πT ＝5π2，即y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫5π2x ＋φ，把最高点坐标(0.4,4)代入解析式，得4＝4sin ⎝⎛⎭⎫5π2×0.4＋φ，即sin(π＋φ)＝1，∴π＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，由五点作图法，可知π＋φ＝π2，即φ＝－π2，∴描述该物体的位移y 和时间x 之间的函数解析式为y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫5π2x －π2.14．解答 (1)依题意f (x )＝3sin2x ＋2·cos2x ＋12＝3sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1，将f (x )的图像向右平移π12个单位长度，得到函数f 1(x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋π6＋1＝2sin2x ＋1的图像，该函数的周期为π，若将其周期变为2π，则得g (x )＝2sin x ＋1.(2)函数f (x )的最小正周期为T ＝π，当2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )时，函数单调递增，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．15．解答 (1)f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1＝1－cos2ωx ＋3sin2ωx －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6，由题意可知函数的最小正周期T ＝2π2ω＝π(ω>0)，所以ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2其中k ∈Z ，解得k π－π6x ≤k π＋π3k ∈Z ，即f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(2)g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，则g (x )的最大值为2，此时有2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1，即2x ＋π3＝2k π＋π2，其中k ∈Z ，解得x ＝k π＋π12，k ∈Z ，所以当g (x )取得最大值时x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ＝k π＋π12，k ∈Z .【难点突破】16．解答 (1)当λ＝0时，由z 1＝z 2，得m ＝sin x 且m －3cos x ＝0，∴sin x －3cos x ＝0，∴tan x ＝3，∵0<x <π，∴x ＝π3.(2)由z 1＝z 2得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝sin x ，λ＝m －3cos x ，∴λ＝sin x －3cos x ，f (x )＝λcos x ＝(sin x －3cos x )cos x＝sin x cos x －3cos x cos x＝12sin2x －32(1＋cos2x ) ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， ∴f (x )的最小正周期T ＝π；由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎤k π－π12，k π＋5π12k ∈Z .。
2020版生物浙江高考选考一轮复习讲义：第19讲 生物的进化 含答案
第19讲 生物的进化考点一 生物的进化1.（2018·浙江11月选考）人体中的每一块骨骼，在大猩猩、黑猩猩和长臂猿体中都有，只是大小比例有所不同。
造成生物结构统一性的主要原因是（ ） A.共同祖先遗传 B.环境变化 C.长期人工选择D.生物变异解析 生物具有统一性的原因是有一个共同的原始祖先物种，遗传的力量使它们保持某种结构和功能的统一模式。
答案 A2.（2018年浙江4月选考）下列关于自然选择的叙述，错误的是（ ） A.自然选择是生物进化的重要动力 B.自然选择加速了种群生殖隔离的进程C.自然选择获得的性状都可以通过遗传进行积累D.自然选择作用于对个体存活和繁殖有影响的变异性状解析 自然选择获得的性状，若为可遗传的范畴，则可以通过遗传进行积累。
答案 C3.（2016·浙江10月选考卷）随着除草剂使用的增加，抗除草剂杂草不断增多，下列叙述正确的是（ ）A.种群的变异性是杂草进化的前提B.突变是杂草进化的重要动力和机制C.杂草中全部抗除草剂基因构成了基因库D.种群内的基因朝着抗除草剂增强方向突变解析 种群中的变异个体在杂草进化前就已经存在，是杂草进化的基础和原材料，A 正确；进化的动力不是来自变异而是自然选择，B 错误；基因库指的是一个种群中全部等位基因的总和，一种基因不能构成一个基因库，C 错误；突变是不定向的，D 错误。
答案A本题组对应必修二教材P90～92，主要考查生物进化的统一性和多样性。
1.生物体既相似又相异（1）生殖隔离：即不同种的个体之间不能互相交配，或者在交配后不能产生有生育能力的后代。
（2）生物界虽然在类型上具有巨大的多样性，但在模式上具有高度的统一性，表现在生物体、细胞或生物大分子等层次上。
2.生物界具有高度统一性的三个层次3.进化论对生物的统一性和多样性的解释（1）对生物多样性的解释：由于自然选择等因素的作用，生活在不同环境中的同一物种的不同种群，可以发展出多个物种。
2021年新高考数学一轮专题复习第19讲-两角和与差的正弦、余弦和正切公式(解析版)
的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等. 2.化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等. 考点二 三角函数式的求值 多维探究
角度 1 给角(值)求值
2.cos2α＝1＋cos 2α，sin2α＝1－cos 2α.
2
2
3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， α±π
sin α±cos α＝ 2sin 4 .
三、 经典例题
考点一 三角函数式的化简
【例 1】 (1)化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.
(2)(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝4，cos(α＋β)＝－ 5.
3
5
①求 cos 2α的值；
②求 tan(α－β)的值.
【解析】 ①因为 tan α＝4，tan α＝sin α，
3
cos α
所以 sin α＝4cos α. 3
因为 sin2α＋cos2α＝1，所以 cos2α＝ 9 ， 25
sin 4 ,cos 3 ，
5
5
sin 2 2sin cos 24 . 25
5．（2020·江西省南昌二中高二月考（文））若
cos sin
2
4
2 2 ，则 log
2 sin cos 的值为（
）
A． 1 2
B． 1 2
C． 2
D．2
【答案】C
【解析】
cos sin
(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《三角函数的图象与性质》理 新人教B版
[第19讲 三角函数的图象与性质](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．[2013·石家庄质检] 下列函数中，周期是π，又是偶函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝cos x C ．y ＝sin2x D ．y ＝cos2x2．[2013·唐山模拟] 函数f (x )＝3sin2x ＋cos2x ( )A ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，－π6单调递减B ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3单调递增C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0单调递减D ．在⎝⎛⎭⎪⎫0，π6单调递增3．函数f (x )＝cos2x ＋2sin x 的最小值和最大值分别为( ) A ．－3，1 B ．－2，2C ．－3，32D ．－2，324．[2013·太原外国语学校模拟] 下列函数中，以π为最小正周期的偶函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上为减函数的是( ) A ．y ＝sin2x ＋cos2xB ．y ＝|sin x |C ．y ＝cos 2x D ．y ＝tan x能力提升5．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π26．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上( )A ．单调递增且有最大值B ．单调递增但无最大值C ．单调递减且有最大值D ．单调递减但无最大值7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx （0≤x ≤1），log 2 012x （x >1），若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是( )A ．(2，2 013)B ．(2，2 014)C ．(3，2 013)D ．(3，2 014)8．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( ) A.π3 B.2π3 C ．π D.4π39．[2013·唐山模拟] 若x ＝π6是函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx 图象的一条对称轴，当ω取最小正数时( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，－π6单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3单调递增C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0单调递减D ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π6单调递增10．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是________．11．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3有最小值，无最大值，则ω＝________．12．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈[0，2π]的单调递减区间是________．13．[2013·泉州四校联考] 设f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ，其中a ，b ∈R .若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝0；②⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12<⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5； ③f (x )既不是奇函数也不是偶函数；④f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )； ⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交． 以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)．14．(10分)[2013·山西五校调研] 设函数f (x )＝3cos 2x ＋sin x cos x －32.(1)求函数f (x )的最小正周期T ，并求出函数f (x )的单调递增区间； (2)求在[0，3π)内使f (x )取到最大值的所有x 的和．15．(13分)[2013·黄冈模拟] 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)为偶函数，其图象上相邻的两个最低点间的距离为2π.(1)求f (x )的解析式；(2)若α∈－π3，π2，f α＋π3＝13，求sin2α＋2π3的值．难点突破16．(12分)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域．课时作业(十九)【基础热身】1．D [解析] 周期是π的函数是y ＝sin2x 和y ＝cos2x ，其中y ＝cos2x 是偶函数．2．D [解析] f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin2x ＋12cos2x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2x cos π6＋cos2x sin π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，知f (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z ， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π6单调递增．3．C [解析] ∵f (x )＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32，∴当sin x ＝12时，f (x )max ＝32，当sin x ＝－1时，f (x )min ＝－3；故选C.4．B [解析] 由函数为偶函数，排除A ，D ；由在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上为减函数，排除C ，故选B.【能力提升】5．A [解析] 选项C ，D 中函数周期为2π，所以错误，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，2x ＋π2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2， 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2为减函数， 而函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2为增函数，所以选A. 6．A [解析] 由－π2≤x －π4≤π2，得－π4≤x ≤3π4，则函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上是增函数，又⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，且有最大值22，故选A.7．A [解析] 数形结合法，画出函数f (x )的简图，作直线y ＝h ，移动此直线观察直线y ＝h 与函数f (x )的图象有三个交点的情形，不妨设a ＜b ＜c ，则a ＋b 2＝12，1＜c ＜2 012，∴2＜a ＋b ＋c ＜2 013.8．A [解析] 画出函数y ＝sin x 的简图，要使函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则函数定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋5π6，2k π＋13π6，k ∈Z 或其子集，又定义域为[a ，b ]，则a ，b 在同一个k 所对应的区间内，且[a ，b ]必须含2k π＋3π2，还有2k π＋5π6、2k π＋13π6之一，知b －a的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3，故选A.9．D [解析] f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，由π6ω＋π6＝k π＋π2得ω＝6k ＋2，取最小正数为2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，其在⎝⎛⎭⎪⎫0，π6单调递增． 10．π [解析] f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2，故最小正周期为π. 11.143 [解析] 依题f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3有最小值，无最大值，∴区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3为f (x )的一个半周期的子区间，且知f (x )的图象关于x ＝π6＋π32＝π4对称，∴π4·ω＋π3＝2k π＋3π2，k ∈Z ，取k ＝0得ω＝143.12.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2 [解析] 本题主要考查两角和与差的正弦和余弦公式，y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调性．属于基础知识、基本运算的考查．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin x cos π3＋cos x sin π3－3cos x cos π3－sin x sin π3＝2sin x ，∴函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈[0，2π]的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2.13．①②③ [解析] 因为f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ＝a 2＋b 2sin(2x ＋θ)，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对一切x ∈R 恒成立，θ＝π6，f (x )＝a 2＋b 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝0正确；②⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12<⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5正确；③f (x )既不是奇函数也不是偶函数正确；④错误，⑤错误． 14．解：(1)f (x )＝32(cos2x ＋1)＋12sin2x －32＝32cos2x ＋12sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故T ＝π.由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－512π≤x ≤k π＋π12，所以f (x )单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－512π，k π＋π12(k ∈Z )． (2)令f (x )＝1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1，则2x ＋π3＝2k π＋π2(k ∈Z )．于是x ＝k π＋π12(k ∈Z )，∵0≤x <3π，且k ∈Z ，∴k ＝0，1，2，则π12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π12＝13π4.∴在[0，3π)内使f (x )取到最大值的所有x 的和为134π.15．解：(1)因为周期为2π，所以ω＝1，又因为0≤φ≤π，f (x )为偶函数，所以φ＝π2，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x .(2)因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝13，又α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π6，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝223， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋2π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3 ＝2×223×13＝429.【难点突破】16．解：(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝12cos2x ＋32sin2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. ∴周期T ＝2π2＝π.对称轴方程为2x －π6＝π2＋k π，即x ＝π3＋k π2，k ∈Z .(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6，∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π3上单调递增， 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减， ∴当x ＝π3时，f (x )取最大值1.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12， ∴当x ＝－π12时，f (x )取最小值－32，∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.。
2021版新高考选考地理(人教版)一轮复习达标检测知能提升：第19讲 人口分布与人口增长 人口的合理容量
选择题读某地的地形剖面和人口与聚落分布相对数变化曲线图，回答1～2题。
1．影响①②③④四个区域人口与聚落分布的主要自然因素是( )A．地形 B．气候C．河流D．土壤2．四个区域中，有城市分布的最可能是( )A．①B．②C．③D．④解析：第1题，由人口与聚落分布相对数与地形剖面的关系可以判断，地势越平坦，人口与聚落分布相对数越多，所以影响①②③④四个区域人口与聚落分布的主要自然因素是地形。
第2题，④地人口分布相对数最大，地势平坦，有河流经过，最可能有城市分布。
答案：1.A 2.D 目前，全球人口分布在北纬70°至南纬50°地区。
下图显示为纬度每隔10°范围分布的人口占全球人口的比重。
结合下图回答3～4题。
3．占全球人口比重最大的纬度范围是( )A．10°S～20°S B．20°N～30°NC．30°N～40°N D．40°N～50°N4．南纬40°～50°范围人口分布稀少的主要原因为( )A．气候酷寒B．山地多，平原少C．陆地面积小D．干旱区面积大解析：第3题，由图可知，全球人口比重最大的纬度范围在20°N～30°N，占全球人口比重的23.2%。
第4题，南纬40°～50°范围人口分布稀少是由于南半球该纬度地区陆地较少，几乎全都是海洋。
答案：3.B 4.C(2020·河南中原名校联考)下图示意我国劳动力供给量及其增长率(含预测)变化情况。
读图回答5～7题。
5．下列关于我国劳动力供给情况的叙述，正确的是( )A．我国劳动力供给增长率逐年下降B．2020－2030年劳动力供给量下降缓慢C．2035－2045年劳动力供给量加速下降D．我国劳动力供给量逐年下降6．我国劳动力供给量的变化，可能产生的影响是( )A．制约产业结构升级B．短期内国外劳动力大量输入C．劳动力由沿海流向内地D．劳动力工资水平持续上涨7．下列措施能够增加城市劳动力供给的是( )A．改善城市企业用工环境B．加大农业政策扶持力度C．提高工业产品市场价格D．扩大农副产品销售市场解析：第5题，读图可知，我国劳动力供给增长率总体呈下降趋势，但并非逐年下降，A项错误；2020－2030年劳动力供给量加速下降，B项错误；2035－2045年劳动力供给量下降速度趋缓，C项错误；我国劳动力供给量逐年下降，D项正确。
2020年高三政治总复习寒假复习30天精品讲义：第19天 产业发展与劳动就业(教师版)
轻松寒假，快乐复习30天第19天产业发展与劳动就业★思路点睛1.结合切身感受，讨论工业化、信息化、城镇化进程对人们生活方式、行为方式的影响。
2.图解国民生产总值的变化，通过比较说明产业结构变化的意义。
3.解释失业现象；确认选择职业的态度。
4.讨论新型劳动者和创业者应有的素质。
]5.采集就业信息、调查市场需求，了解各种劳动就业途径和创业方式。
6.谈论：怎样才能增加就业。
7.现场模拟：我如何推销自己，找到一份理想的工作。
★典型试题1、2014年9月教育部出台新高考方案，实现两类人才、两种模式的高考。
一种是技术技能人才的高考，考试内容为技能加文化知识；一种是学术型人才的高考，考试内容与现在的高考相似，将两类高考分开。
“两种模式高考”的方案（）①符合我国高等教育及就业市场的客观实际②为了适应社会经济建设对人才的不同需求③有利于增加劳动力供给和调整就业总规模④可以转变劳动者观念，树立正确的消费观A.①②B.①③C.②③D.②④【答案】A【解析】“两种模式高考”的方案所针对的即主要是就业市场稀缺的工程师、高级技工、高素质劳动者等技术技能人才，这有望解决我国高校毕业生就业难和技术技能人才供给不足的矛盾，即就业结构性矛盾，符合我国高等教育及就业市场的客观实际，适应社会经济建设对人才的不同需求。
故①②正确；③④不符合题意。
本题答案选A。
2、经济活动中各产业之间的技术经济联系被称为产业关联，关联性强的产业发展有利于带动相关产业的协同发展，如房地产业的发展向上可带动建筑业，向下可带动家电业，形成建筑业—房地产业—家电业协同发展。
下列选项中构成产业链上下游协同发展关系的是（）①钢铁产业②信息产业③保险业④汽车产业A.①—②—③B.①—④—③C.②—③—④D.④—③—①【答案】B【解析】钢铁产业对于汽车企业来说是上游企业，因此第一个题肢应该是钢铁企业，第二个题肢应该是企业产业。
汽车产业的发展能够带动保险产业的发展，故题肢①④③构成材料中的产业链上下游协同发展关系。
(全国通用版)高考语文一轮复习 文言文阅读 文言文内容的概括和分析教案-人教版高三全册语文教案
文言文内容的概括和分析一、自我诊断知己知彼阅读下面的文言文，完成第16-21题。
(2016年某某卷高考试题)①羊祜，字叔子，泰山南城人也。
博学能属．文，美须眉，善谈论。
郡将夏侯威异之，以兄霸之子妻之。
举上计吏，州四辟从事，皆不就。
夏侯霸之降蜀也，姻亲多告绝，祜独安．其室，恩礼有加焉。
②帝将有灭吴之志，以祜为都督荆州诸军事，镇南夏，甚得江汉之心，吴石城守去襄阳七百余里，每为边害，祜患之，竟以诡计①令吴罢守。
于是戍逻减半，分以垦田八百余顷，大获其利。
在军常轻裘缓带，身不被甲，铃阁以下，侍卫不过十数人，而颇以畋渔废政。
尝欲夜出，军司徐胤执棨当营门曰：“将军都督万里，安可轻脱！将军之安危，亦国家之安危也。
胤今日假设死，此门乃开耳。
〞祜改容谢之，此后稀出矣。
③每与吴人交兵，克日方战，不为掩袭之计。
将帅有欲进谲诈之策者，辄饮以醇酒，使不得言。
吴将邓香掠夏口，祜募生缚香，既至，宥之。
香感其恩甚，率部曲而降。
祜出军行吴境，刈谷为粮，皆计所侵，送绢偿之，每会众江沔游猎，常止晋地，假设禽兽先为吴人所伤而为晋兵所得者，皆封还之，于是吴人翕然悦服。
称为“羊公〞，不之名也。
祜与陆抗相对，使命交通．．，抗称祜之德量，虽乐毅，诸葛孔明不能过也。
抗尝病，祜馈之药。
抗服之无疑心，人多谏抗，抗曰：“羊祜岂鸩人者？〞④祜女夫尝劝祜有所营置，令有归载者，祜黯然不应，退告诸子曰：“人臣树私那么背公，是大惑也，汝宜识吾此意．．。
〞〔节选自《晋书·羊祜传》〕[注]①诡计：奇计。
16．写出以下加点词在句中的意思。
〔2分〕〔1〕博学能属．文〔2〕祜独安．其室[答案]〔1〕连缀，写作〔2〕安抚[解析]文言实词的考核一直是文言文阅读重点考核的内容，近几年有加大难度的趋势，考的词语一般在课本中没有出现，要求学生根据文意进行推断，答题时注意分析词语前后搭配是否得当，如此题的〔1〕里根据前面“博学〞和后面“文〞可知，译为动词词性，和文章搭配，故译为“连缀、写作〞；〔2〕根据“其室〞可知译为动词，结合后面内容“恩礼有加焉〞可知，译为“安抚〞。
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 19 平面向量的概念及线性运算
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习第四章平面向量、复数考点知识总结19平面向量的概念及线性运算高考概览高考在本考点的常考题型为选择题和填空题，分值为5分，中、低等难度考纲研读1.了解向量的实际背景2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3．理解向量的几何表示4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6．了解向量线性运算的性质及其几何意义一、基础小题1．给出下列等式：①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a －b＝a＋(－b)．其中正确的个数是()A．2 B．3 C．4 D．5答案D解析 由零向量和相反向量的性质，知①②③④⑤均正确．2. 如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A ．0 B.BE → C.AD → D.CF →答案 D解析 由图知BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋CB →＝CB →＋BF →＝CF →.3．给出下列命题：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③|a |＋|b |＝|a ＋b |⇔a 与b 方向相同；④若非零向量a ，b 的方向相同或相反，则a ＋b 与a ，b 之一的方向相同．其中叙述错误的命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 对于②，当a ＝0时，不成立；对于③，当a ，b 之一为零向量时，不成立；对于④，当a ＋b ＝0时，a ＋b 的方向是任意的，它可以与a ，b 的方向都不相同．故选C.4．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 反向共线，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12答案 B解析 由于c 与d 反向共线，则存在实数k 使c ＝k d (k <0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]．整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎨⎧ λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k <0，所以λ<0，故λ＝－12.5．已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋2b ，AC →＝a ＋(λ－1)b ，λ，μ∈R ，若A ，B ，C 三点共线，则λ＝( )A ．1B ．－2C ．－2或1D ．－1或2答案 D解析 ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →，∴存在实数m 使得AB →＝m AC →，则λa ＋2b ＝m [a ＋(λ－1)b ]，∵a ，b 不共线，∴⎩⎨⎧λ＝m ，2＝m (λ－1)，解得λ＝2或－1.故选D. 6．已知在四边形ABCD 中，O 是四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝a －b ＋c ，则四边形ABCD 的形状为( )A ．梯形B ．正方形C ．平行四边形D ．菱形答案 C解析 因为OD →＝a －b ＋c ，所以AD →＝c －b ，又BC →＝c －b ，所以AD →∥BC →且|AD →|＝|BC→|，所以四边形ABCD 是平行四边形．故选C.7．已知△ABC 中，AD →＝2DC →，E 为BD 的中点，若BC →＝λAE →＋μAB →，则λ－2μ的值为( )A ．2B ．6C ．8D ．10答案 C解析 由已知得，BC →＝BA →＋AC →＝BA →＋32AD →＝BA →＋32(AE →＋ED →)＝BA →＋32(2AE →＋BA →)＝3AE →－52AB →，所以λ＝3，μ＝－52，所以λ－2μ＝8.8．设e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，AB →＝(a －1)e 1＋e 2，AC →＝b e 1－2e 2(a ＞0，b ＞0)，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b 的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 因为a >0，b >0，若A ，B ，C 三点共线，设AB →＝λAC →，即(a －1)e 1＋e 2＝λ(b e 1－2e 2)，因为e 1，e 2是平面内两个不共线向量，所以⎩⎨⎧a －1＝λb ，1＝－2λ，解得λ＝－12，a －1＝－12b ，即a ＋12b ＝1，则1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝1＋1＋b 2a ＋2a b ≥2＋2b 2a ·2a b ＝2＋2＝4，当且仅当b 2a ＝2a b ，即a ＝12，b ＝1时取等号，故1a ＋2b 的最小值为4.故选B.9．(多选)已知向量a ，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a ，b 共线的是( )A ．2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2eB ．存在相异实数λ，μ，使λa －μb ＝0C ．x a ＋y b ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)D ．已知梯形ABCD ，其中AB →＝a ，CD →＝b答案 AB解析 对于A ，∵向量a ，b 是两个非零向量，2a －3b ＝4e ，且a ＋2b ＝－2e ，∴a ＝27e ，b ＝－87e ，此时能使a ，b 共线，故A 正确；对于B ，存在相异实数λ，μ使λa －μb ＝0，要使非零向量a ，b 是共线向量，由共线定理可知成立，故B 正确；对于C ，x a ＋y b ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)，如果x ＝y ＝0，则不能使a ，b 共线，故C 错误；对于D ，已知梯形ABCD 中，AB →＝a ，CD →＝b ，如果AB ，CD 是梯形的上下底，则正确，否则错误．故选AB.10．(多选)已知等边三角形ABC 内接于⊙O ，E 为边BC 的中点，D 为线段OA 的中点，则BD →＝( )A.23BA →＋16BC →B.43BA →－16BC →C.BA →＋13AE →D.23BA →＋13AE →答案 AC解析 如图所示，BD →＝BA →＋AD →＝BA →＋13AE →＝BA →＋13(AB →＋BE →)＝BA →－13BA →＋13×12BC→＝23BA →＋16BC →.故选AC.11．(多选)已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，则( )A ．△ABC 是直角三角形B ．△ABC 是等腰三角形C ．△ABC 的面积为23D ．△ABC 的面积为3答案 AC解析 由|PB →|＝|PC →|得，△PBC 是等腰三角形，取BC 的中点D ，连接PD ，则PD⊥BC ，又AB →＋PB →＋PC →＝0，所以AB →＝－(PB →＋PC →)＝－2PD →，所以PD ＝12AB ＝1，且PD∥AB ，故AB ⊥BC ，即△ABC 是直角三角形，由|PB →|＝2，|PD →|＝1可得|BD →|＝3，则|BC→|＝23，所以△ABC 的面积为12×2×23＝2 3.12．已知A 1，A 2，A 3为平面上三个不共线的定点，平面上点M 满足A 1M →＝λ(A 1A 2→＋A 1A 3→)(λ是实数)，且MA 1→＋MA 2→＋MA 3→是单位向量，则这样的点M 有________个．答案 2解析 由题意得，MA 1→＝－λ(A 1A 2→＋A 1A 3→)，MA 2→＝MA 1→＋A 1A 2→，MA 3→＝MA 1→＋A 1A 3→，所以MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＝(1－3λ)(A 1A 2→＋A 1A 3→)，设D 为A 2A 3的中点，则(1－3λ)·(A 1A 2→＋A 1A 3→)为与A 1D →共起点且共线的一个向量，显然直线A 1D 与以A 1为圆心的单位圆有两个交点，故这样的点M 有2个，即符合题意的点M 有2个．二、高考小题13．(2022·全国Ⅰ卷)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC →答案 A解析 如图，在△ABC 中，根据向量的运算法则，可得EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－14(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →.故选A.14．(2015·全国Ⅰ卷)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 A解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AB →＋43BC →＝AB →＋43(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →.故选A.15．(2015·北京高考)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.答案 12 －16解析 如图，在△ABC 中，MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝－23AC →＋AB →＋12BC →＝－23AC →＋AB →＋12(AC →－AB →)＝12AB →－16AC →.∴x ＝12，y ＝－16.三、模拟小题16．(2022·辽宁东北育才学校三模)在△ABC 中，若AB →＋AC →＝4AP →，则CP →＝( ) A.34AB →－14AC → B ．－34AB →＋14AC →C.14AB →－34AC → D ．－14AB →＋34AC →答案 C解析 由题意得AB →＋AC →＝4AP →＝4(AC →＋CP →)，解得CP →＝14AB →－34AC →.故选C.17．(2022·广东茂名市高三期中)已知向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ为( )A ．2B ．1 C.12 D.14答案 C解析 因为λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在k ∈R ，使得λa ＋b ＝k (a ＋2b )，因为向量a ，b 不平行，则⎩⎨⎧k ＝λ，2k ＝1，解得λ＝12.故选C. 18．(2022·山西太原高三模拟)平面向量a ，b 共线的充要条件是( )A ．a ·b ＝|a ||b |B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．∃λ∈R ，b ＝λaD ．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a ＋λ2b ＝0答案 D解析 对于A ，a ·b ＝|a ||b |成立时，说明两个非零向量的夹角为零度，但是两个非零向量共线时，它们的夹角可以为平角，故A 错误；对于B ，两个非零向量也可以共线，故B 错误；对于C ，只有当a 不是零向量时才成立，故C 错误；对于D ，当平面向量a ，b 共线时，若a ＝0，则存在λ1≠0，λ2＝0，λ1a ＋λ2b ＝0，若a ≠0，则存在一个λ，使得b ＝λa 成立，令λ＝－λ1λ2(λ2≠0)，则b ＝－λ1λ2a ，所以λ1a ＋λ2b ＝0，因此存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a ＋λ2b ＝0；当存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a ＋λ2b ＝0成立时，若实数λ1，λ2都不为零，则有a ＝－λ2λ1b 成立，显然a ，b 共线，若实数λ1，λ2有一个为零，不妨设λ1＝0，则有λ2b ＝0⇒b ＝0，所以平面向量a ，b 共线，所以D 正确．故选D.19．(2022·安徽高三二模)△ABC 中，D 是BC 的中点，点E 在边AC 上，且满足3AE →＝AC →，BE 交AD 于点F ，则BF →＝( )A ．－34AB →＋14AC → B.34AB →－14AC →C ．－13AB →＋23AC →D ．－23AB →＋13AC →答案 A解析 由题设画出几何示意图，设BF →＝λBE →，AF →＝μAD →，∵BE →＝AE →－AB →＝13AC →－AB →，∴BF →＝λBE →＝λ3AC →－λAB →，∵AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AF →＝μAD →＝μ2(AB →＋AC →)．由AB →＋BF →＝AF→知(1－λ)AB →＋λ3AC →＝μ2(AB →＋AC →)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－λ＝μ2，λ3＝μ2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝34，μ＝12，∴BF →＝34BE →＝14AC →－34AB →.故选A.20. (2022·滨海县八滩中学高三期中)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，H 是AD 的中点，过H 作一直线分别与边AB ，AC 交于M ，N 两点，若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则x ＋4y 的最小值为( )A.52B.73C.94D.14 答案 C解析 因为D 是BC 中点，所以AD →＝12AB →＋12AC →，由题知，AB →＝1x AM →，AC →＝1y AN →，AD →＝2AH →， 所以2AH →＝12x AM →＋12y AN →，AH →＝14x AM →＋14y AN →，因为M ，H ，N 三点在同一直线上，所以14x ＋14y ＝1.x ＋4y ＝(x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋14y ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋x y ＋4y x ，因为x >0，y >0，所以由基本不等式得x y ＋4yx ≥2x y ·4y x ＝4，所以x ＋4y ≥94，当且仅当x ＝34，y ＝38时等号成立．故选C.21．(2022·湖南天心长郡中学高三月考)在△ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD →＝13AB →＋12AC →，则S △BCDS △ACD＝( )A.16B.12C.13D.23 答案 B解析 如图，设AD 交BC 于E ，且AE →＝xAD →＝x 3AB →＋x 2AC →，由B ，E ，C 三点共线可得 x 3＋x 2＝1⇒x ＝65，∴AE →＝25AB →＋35AC →，∴25(AE →－AB →)＝35(AC →－AE →)⇒2BE →＝3EC →.设S △CED ＝2y ，则S △BED ＝3y ，∴S △BCD ＝5y .又AE →＝65AD →⇒AD →＝5DE →，∴S △ACD ＝10y ，∴S △BCDS △ACD ＝5y 10y ＝12.故选B.22．(多选)(2022·福建龙岩高三月考)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半．”这就是著名的欧拉线定理．设△ABC 中，点O ，H ，G 分别是外心、垂心、重心，BC 边的中点为D ，则下列四个结论中错误的是( )A.GH →＝2OG →B.GA →＋GB →＋GC →＝0 C.AH →＝3OD → D.OA →＝OB →＝OC → 答案 CD解析 如图，由题意，得GH →＝2OG →，故A 正确；∵D 为BC 的中点，G 为△ABC 的重心，∴AG →＝2GD →，GB →＋GC →＝2GD →＝－GA →，∴GA →＋GB →＋GC →＝0，故B 正确；∵AG →＝2GD →，GH →＝2OG →，∠AGH ＝∠DGO ，∴△AGH ∽△DGO ，∴AH →＝2OD →，故C 错误；向量OA →，OB →，OC →的模相等，方向不同，故D 错误．故选CD.23．(2022·江苏省高三一模)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1CB →＋λ2CA →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________.答案 －23解析 因为AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，所以DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12(CB →－CA →)－23CB →＝－16CB →－12CA →，所以λ1＝－16，λ2＝－12，则λ1＋λ2＝－23.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2022·银川摸底)已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c ＝2e 1－9e 2，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？解 ∵d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2) ＝(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2，要使d 与c 共线，则应有实数k ，使d ＝k c ， 即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 1－9k e 2， 即⎩⎨⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ. 故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d 与c 共线．2. (2022·内江市市中区天立学校高三月考)如图所示，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，BM ＝23BC ，AN ＝14AB .(1)试用向量a ，b 来表示DN →，AM →； (2)AM 交DN 于O 点，求AO ∶OM 的值．解 (1)∵AN ＝14AB ，∴AN →＝14AB →＝14a ，DN →＝AN →－AD →＝14a －b ，∵BM ＝23BC ，∴BM →＝23BC →＝23b ，∴AM →＝AB →＋BM →＝a ＋23b .(2)∵A ，O ，M 三点共线，设AO →＝λAM →＝λa ＋2λ3b ，∵D ，O ，N 三点共线， ∴DO →＝μDN →，AO →－AD →＝μAN →－μAD →，∴AO →＝μAN →＋(1－μ)AD →＝μ4a ＋(1－μ)b .∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ4，2λ3＝1－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝314，μ＝67，∴AO →＝314AM →，OM →＝1114AM →，∴AO ∶OM ＝3∶11.3. (2022·河南安阳模拟)如图，已知△ABC 的面积为14，D ，E 分别为边AB ，BC 上的点，且AD ∶DB ＝BE ∶EC ＝2∶1，AE 与CD 交于点P .设存在λ和μ，使AP →＝λAE →，PD →＝μCD →，AB →＝a ，BC →＝b .(1)求λ及μ； (2)用a ，b 表示BP →； (3)求△P AC 的面积． 解 (1)由于AB →＝a ，BC →＝b ，则AE →＝a ＋23b ，DC →＝13a ＋b ，AP →＝λAE →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋23b ，DP →＝μDC →＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋b ，AP →＝AD →＋DP →＝23AB →＋DP →，∴23a ＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋b ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋23b ， ∴λ＝23＋13μ，① 23λ＝μ，②由①②，得λ＝67，μ＝47.(2)BP →＝BA →＋AP →＝－a ＋67×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋23b ＝－17a ＋47b .(3)由|PD →|∶|CD →|＝μ＝47， 得S △P AB ＝47S △ABC ＝8，由|PE →|∶|AE →|＝1－λ＝17， 得S △PBC ＝17S △ABC ＝2，∴S △P AC ＝S △ABC －S △P AB －S △PBC ＝14－8－2＝4.。
第19讲双曲线中的最值问题题型总结(解析版)
第19讲 双曲线中的最值问题题型总结【题型目录】题型一：利用焦半径范围求最值题型二：利用渐近线与双曲线位置关系求范围 题型三：利用双曲线线定义转化为三点共线问题求最值 【典型例题】题型一：利用焦半径范围求最值【例1】（2022·全国·高二）若P 是双曲线C ：2214x y m-=上一点，C 的一个焦点坐标为()4,0F ，则下列结论中正确的是（）A ．m =．渐近线方程为y =C ．PF 的最小值是2D ．焦点到渐近线的距离是【例2】（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）已知1F ，2F 分别是双曲线22:1421x yC -=的左、右焦点，动点P 在双曲线C 的右支上，则()()1244PF PF -⋅-的最小值为（） A ．4-B ．3-C ．2-D ．1- 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得124PF PF -=，所以124PF PF =+，再根据双曲线性质得2PF 的范围，则()()()1222444PFPF PF PF -⋅-=⋅-，再利用二次函数求值域即可.【详解】因为动点P 在双曲线C 的右支上，由双曲线定义可得：124PF PF -=，所以124PF PF =+，因为24a =，221b =，所以2a =，5c =， 所以2523PF c a ≥-=-=，将124PF PF =+代入()()1244PF PF -⋅-得： ()()222222244243PF PF PF PF PF ⋅-=-=--≥-.故选：B ．【例3】（2022·全国·高二课时练习）设P 是双曲线221916x y -=上一点，M ､N 分别是两圆22(5)4x y -+=和22(5)1x y ++=上的点，则PM PN -的最大值为（）A ．6B ．9C ．12D ．14 【答案】B【分析】根据双曲线方程及其定义，求得,PM PN 的范围，再求PM PN -得最大值即可. 【详解】因为双曲线方程为221916x y -=，故291625c =+=，则其焦点为()()125,0,5,0F F -， 根据题意，作图如下：则22PM PF ≤+，当且仅当2,,P M F 三点共线，且2F 在,P M 之间时取得等号；11PN PF ≥-，当且仅当1,,P N F 三点共线，且N 在1,P F 之间时取得等号；则11PN PF -≤-，故可得213369PM PN PF PF -≤+-=+=， 故PM PN -的最大值为：9. 故选：B. 【题型专练】1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知点P 是双曲线22221x y a b -=（a >0，b >0）的渐近线上一点，F 是双曲线的右焦点，若|PF |的最小值为2a ，则该双曲线的离心率为（）ABD【答案】D 【解析】 【分析】结合双曲线的概念和性质求双曲线的离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±=， |PF |的最小值即为焦点(),0F c2a =，即12a b =，∴()22221144a b c a ==-，c e a ==.故选：D2．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）双曲线()2221016x y a a -=>的一条渐近线方程为43y x =，1F ，2F 分别为该双曲线的左右焦点，M 为双曲线上的一点，则2116MF MF +的最小值为（） A ．2B ．4C ．8D ．12 【答案】B 【解析】 【分析】 求2116MF MF +最小值，则2MF 要尽可能小，1MF 要尽可能大,所以M 在双曲线的右支上,则2126MF MF a -==，所以216MF MF =-，消元转化为对勾函数求最值【详解】 若求2116MF MF +最小值，则2MF 要尽可能小，1MF 要尽可能大 所以M 在双曲线的右支上渐近线 4433b b y x x a a ==⇒= 又因为4b =所以3a =由双曲线定义，当M 在双曲线的右支上，2126MF MF a -==当且仅当1116MF MF =，即14MF =时取等号 因为右支上的顶点()3,0到()15,0F 最小，最小为8 所以11166MF MF +-取不到等号，当18MF =时，取最小值 最小值为：168682648+-=+-= 故选：B3．（2022·重庆·三模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点为1F ，2F ，左右顶点为1A ，2A ，过2F 的直线l 交双曲线C 的右支于P ，Q 两点，设12PA A α∠=，21PA A β∠=，当直线l 绕着2F 转动时，下列量保持不变的是（）A ．1PQA △的周长B ．1PFQ 的周长与2PQ 之差C ．tan tan αβD ．tan tan αβ⋅ 【答案】BD 【解析】 【分析】如图所示：当直线l 的倾斜角越小时，点1PQA △的周长越大，可判断A ，根据双曲线定义求解可判断B ，设(),P x y ，则tan ,tan y y a x x aαα==-+-根据商与积的值可判断CD ． 【详解】如图所示：当直线l 的倾斜角越小时，点1PQA △的周长越大，故A 不正确；1PFQ 的周长为1122442PF QF PQ a PF QF PQ a PQ ++=+++=+所以1PFQ 的周长与2PQ 之差为4a ，故B 正确； 设(),P x y ，则tan ,tan y ya x x aαα==-+-， 由tan tan a xa xαβ-=+不是常量，故C 不正确； 由22222222221tan tan x b y y a y b a x a x a x a x a αβ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-+---为常量，故D 正确； 故选：BD题型二：渐近线与双曲线位置关系求范围【例1】（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））已知()2,0A -，()2,0B ，若曲线()00,0x y x y a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+-=>> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭上存在点P 满足2PA PB -=，则b a 的取值范围是___________.【题型专练】1．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））已知()()2,0,2,0A B -，点P 满足方程0(0,0)nx my m n ±=>>，且有2PA PB -=，则nm的取值范围是（）A ．(0,1)B ．C ．D ．2) 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，得到点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的双曲线C 的右支，进而求得双曲线的渐近线方程y =，结合双曲线的几何性质，即可求解.【详解】由题意，点()()2,0,2,0A B -且满足2PA PB -=，根据双曲线的定义，可得点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的双曲线C 的右支，其中22,24a c ==，可得1,2a c ==，则b可得双曲线C 的渐近线方程为by x a=±=， 又因为点P 满足方程0(0,0)nx my m n ±=>>，即ny x m=±，结合双曲线的几何性质，可得0nm<n m 的取值范围是.故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）已知点(A ，(0,B ，若曲线()222200,0x y a b a b -=>>上存在点P 满足4PA PB -=，则下列正确的是（） A ．1b a <+B ．2b a <C ．1b a >+D ．2b a > 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可判断点P 在双曲线221(0)4y x y -=<上，将已知转化为曲线b y x a =±与双曲线221(0)4y x y -=<相交，利用直线by x a=±与渐近线的位置关系可得解. 【详解】点(A ，(0,B ，且4PA PB -=<P 在双曲线的下支上. 所以双曲线的方程为221(0)4y x y -=<，其渐近线方程为2y x =±，又点P 在曲线()2222000x y a b a b-=>>，上，即点P 在曲线b y x a =±上，即曲线b y x a =±与双曲线221(0)4y x y -=<相交，2b a ∴>，即2b a >故选：D题型三：利用双曲线线定义转化为三点共线问题求最值【例1】（2022·天津·二模）已知双曲线()222:109x y C b b-=>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在C 的左支上，过点M 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为N ，若2MF MN +的最小值为9，则该双曲线的离心率为（）AB ．32D ．53【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知3a =，根据双曲线的对称性画出图形，由双曲线的定义可知21||||||6MF MN F N ++，当且仅当点1F ，M ，N 三点共线时，等号成立，从而得到2||||MF MN +的最小值为6b +，求出b 的值，得到双曲线的离心率． 【详解】解：根据双曲线的对称性，仅作一条渐近线， 因为双曲线()222:109x y C b b-=>，3a ∴=，由双曲线的定义可知，21||||26MF MF a -==，211||||||||6||6MF MN MF MN F N ∴+=++≥+，当且仅当点1F ，M ，N 三点共线时，等号成立， 渐近线方程为by x a=，即0bx ay -=，且1(,0)F c -， ∴此时1||bcF N b c==， 2||||MF MN ∴+的最小值为6b +，69b ∴+=，3b ∴=，所以c =∴离心率ce a=故选：A ．【例2】（2022·全国·模拟预测（理））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、有焦点分别为1F ，2F ，实轴长为4，离心率2e =，点Q 为双曲线右支上的一点，点(0,4)P ．当1||QF PQ +取最小值时，2QF 的值为（）A．1)B ．1)C ．1D ．1【例3】（2022·全国·高二专题练习）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：22143x y -=的左，右焦点，动点A 在双曲线的左支上，点B 为圆E ：()2231x y ++=上一动点，则2AB AF +的最小值为______．【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知点P在双曲线22145x y-=的右支上，()0,2A，动点B满足2AB=，F是双曲线的右焦点，则PF PB-的最大值为___________.2##2-【例5】（2022·全国·高二课时练习）设P是双曲线221916x y-=上一点，M､N分别是两圆22(5)4x y-+=和22(5)1x y++=上的点，则PM PN-的最大值为（）A．6B．9C．12D．14故选：B.【例6】（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为32，其左，右焦点分别为12,F F ，过2F 且与x 轴垂直的直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若(||5,AB M =，P 为双曲线右支上一点，则2PM PF +的最小值为（）A 1B ．4C ．4D 1【例7】（2021·广东·佛山一中高二阶段练习）设(),P x y 是双曲线22154x y -=的右支上的点，则A +．．．5 1||a AF -+2，(,)P x y 是双曲线则1||PF -1|||||PA PF a AF ∴--+故选：C 【题型专练】1．（2022·安徽蚌埠·三模（理））双曲线C ：2221(0)y x a a -=>F 是C 的下焦点，若点P为C 上支上的动点，设点P 到C 的一条渐近线的距离为d ，则d PF +的最小值为（） A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】B 【解析】 【分析】由离心率可得29a =，即知渐近线为3y x =±，若上焦点为F '，结合双曲线定义，将问题转化为求6d PF '++最小，若||d PH =应用数形结合思想判断,,P F H '的位置关系求最值. 【详解】由题设，221109a a +=，可得29a =，则双曲线渐近线方程为3y x =±，若上焦点为F '，则||||26PF PF a '-==，故||6||PF PF '=+， 所以6d PF d PF '+=++，如下图示：||d PH =，所以6||d PF PH PF '+=++，要使d PF +最小，只需,,P F H '共线，即F H '⊥一条渐近线，而F '1=，故min ()7d PF +=.故选：B2．（2022·全国·高二专题练习）设双曲线2211612x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 交双曲线左支于A ，B 两点，则22AF BF +的最小值为______．3．（2022·河南·南阳中学三模（文））已知双曲线221(0)5x y m m -=>20+=y ，左焦点为F ，点P 在双曲线右支上运动，点Q 在圆22(4)1x y +-=上运动，则||||PQ PF +的最小值为___________.4．（2022·陕西宝鸡·二模（理））已知F 是双曲线22:1C x y -=的右焦点，P 是C 的左支上一点，A .当APF 周长最小时，该三角形的面积为___________. 【答案】32##1.5【分析】M 为左焦点，利用双曲线定义得到APF 周长为||||||||||4AF PF AP PM AP ++=++，判断其最小由APF 周长为当且仅当,A 三点共线时APF 周长最小，此时所以，此时∴2的等腰直角三角形，||AP x =，则，故||PF =∴APF 中x ，可得32x =5．（2022·湖北·高三阶段练习）已知双曲线C ：22133y x -=，F 是双曲线C 的右焦点，点A 是双曲线C 的左支上的一点，点B 为圆D ：(223x y ++=上一点，则AB AF +的最小值为_____.【答案】6．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）已知双曲线2213x y -=的左右焦点分别为1F ､2F ，P 为双曲线右支上一点，点Q 的坐标为()2,3-，则1PQ PF +的最小值为___________.【答案】5+5【详解】7．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点M 在C 的左支上，过点M 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为N ，则当2MF MN +取最小值10时，12F NF △面积的最大值为___________ 【答案】252##12.51212F NF F NOSS=，可求得答案【详解】由题意得MF (),0F c -到渐近线bx 8．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线C ：22197x y -=，1F ，2F 是其左右焦点.圆E ：22430x y y +-+=，点P 为双曲线C 右支上的动点，点Q 为圆E 上的动点，则1PQ PF +的最小值是________.【答案】5+59．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知双曲线221(0)5x y m m -=>20+=y ，左焦点为F ，点P 在双曲线右支上运动，点Q 在圆22(4)1x y +-=上运动，则||||PQ PF +的最小值为（）A ．4B ．8C ．5D ．910．（2022·河南·许昌高中高三开学考试（文））已知双曲线22:145x y C 的左焦点为1F ，M 为双曲线C 右支上任意一点，D 点的坐标为()3,1，则1MD MF -的最大值为（） A ．3B ．1C ．3-D ．2-11．（2023·全国·高三专题练习）已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4)A ，P 是双曲线右支上的动点，则||||PF PA +的最小值为（）A．9B．8C．7D．612．（2022·全国·高二专题练习）设F是双曲线221412x y-=的左焦点，()1,3A，P是双曲线右支上的动点，则PF PA+的最小值为（）A．5B．4+．5+．9。
新高考数学数列经典题型专题提升-第19讲 数列的取整问题(原卷版)
第19讲 数列的取整问题一、单选题1．（2021·全国·高三专题练习）设正项数列的前n 项和满足，记表示不超过x 的最大整数，.若数列的前n 项和为，则使得成立的n 的最小值为（）A ．1179B ．1178C ．2019D ．20202．（2021·全国·高三专题练习）设[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－3.14]＝－4，[3.14]＝3.已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ＋1(n ∈N *)，则＝（）A ．1B ．2C ．3D ．43．（2021·江西省吉水县第二中学高一期中）高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过x 的最大整数. 如: 已知正项数列的前项和为，且满足，则（ ）A ．3B ．14C ．15D ．164．（2021·江西·南昌市八一中学高一月考）对于实数，表示不超过的最大整数．已知数列的通项公式项和为，则（ ）．A ．155B ．167C ．173D ．1795．（2021·河南·高二月考（理））定义函数，其中表示不超过的最大整数，例如，，，，当时，的值域为，记集合中元素的个数为，数列的前项和为，则（ ）A ．B ．2C ．D ．6．（2021·四川射洪·模拟预测（文））定义函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，，.当时，的值域为.记集合中元素的个数为，则{}n a n S ()2114n n S a =+[]x 212020n n a b ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦{}n b n T 2020n T ≥12320201111a a a a ⎡⎤++++⎢⎥⎣⎦ []x []x []2.32=，[]1.5 2.-=-{}n a n n S 112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1264111S S S ⎡⎤++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎣⎦1x []x x {}n a n a =n n S [][][]1250S S S +++=L ()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦[]x x []21.1-=-[]1.11=[]33=[)()0,x n n *∈∈N ()f x n A n A n a 111n a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭n n S 2021S =202110104040202120211011()[[]]f x x x =[]x x [1.3]1=[ 1.5]2-=-[2]2=*[))0,(x n n N ∈∈()f x n A n A n a的值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2021·全国·高三月考（理））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数．在数列中，记为不超过的最大整数，则称数列为的取整数列，设数列满足，，记数列的前项和为，则数列的前项和为（ ）A ．B ．C ．D ．8．（2021·浙江省杭州第二中学模拟预测）定义表示不超过的最大整数，若数列的通项公式为，则满足等式（ ）A ．30B ．29C ．28D ．279．（2021·全国·高三专题练习（理））已知各项均为正数的数列的前n 项和为，且，.若表示不超过x 的最大整数，，则数列的前2021项和（）A ．1010B ．1011C ．2021D ．202210．（2021·全国·高三专题练习（文））已知数列满足，，其中表示不超过实数的最大整数，则下列说法正确的是（）A ．存在，使得B ．是等差数列C ．的个位数是4D ．的个位数是311．（2021·青海西宁·一模（理））若是函数的极值点，数列2020211i ia =-∑40402021201920212019202020191010x =R []x x []y x={}n a []n a n a []{}n a {}n a {}n a 11a =1213n n a a +⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦{}n a n n S 21211n n S S -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭101050420215052021101020215042022[]x x {}n a 31n a n =-310125555a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ {}n a n S 11a =()()1111n n n n a a a a ++-=+[]x 2(1)2n n n b S ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦{}n b 2021T ={}n a 11a =()1*N n a n +=∈⎢⎥⎣⎦[]x x *N n ∈132n n a -≤12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭2020a 2021a 1x =()()4312 1n n n f x a x a x a x n N *++=--+∈{}n a满足，，设，记表示不超过的最大整数．设，若不等式，对恒成立，则实数的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．12．（2021·全国·高三专题练习（理））已知函数(，)，其中表示不超过的最大整数，如，，.定义是函数的值域中的元素个数，数列的前项和为，数列对均成立，则最小正整数的值为（ ）A ．B ．C ．D ．13．（2021·浙江·高三专题练习）如果，，，就称表示的整数部分，表示的小数部分.已知数列满足，，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题14．（2021·重庆南开中学高三月考）已知数列满足，，其中表示不超过实数的最大整数，则下列说法正确的是（）A ．存在，使得B ．是等比数列C ．的个位数是5D ．的个位数是1三、填空题15．（2021·上海·华师大二附中高三月考）设数列满足，，，数列前n 项和为，且（且），若表示不超过x 的最大整数，数列的前n 项和为，则_____________．16．（2021·重庆·西南大学附中高三开学考试）设数列满足，，，数列前n11a =23a =31log n n b a+=[]x x 12231202020202020n n n S b b b b b b +⎡⎤=++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦n S t ≥n N *∀∈t 2020201910101009()[[]]f x x x =1n x n <<+n ∈+N []x x [ 2.1]3-=-[3]3-=-[2.5]2=n a ()f x {}n a n n S 1110ni i mS =<∑n ∈+N m 17181920{}[]x x x =+[]x Z ∈{}01x ≤<[]x x {}x x {}n a 1a ={}12[]n n n a a a +=+20192018a a-2019201866{}n a 11a =()1n a n *+=∈⎢⎥⎣⎦N []x []x n *∈N 132n n a -≤12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭2020a 2021a {}n a 12a =26a =312a =n S 211131n n n n S S S S +-+-+=-+*n N ∈2n ≥[]x ()21n n n b a ⎡⎤+=⎢⎢⎥⎣⎦{}n b n T 2020T ={}n a 12a =26a =312a ={}n a项和为，且（且）．若表示不超过x 的最大整数，，数列的前n 项和为，则的值为___________．17．（2021·江西省石城中学高一月考（文））已知正项数列的前项和为，且满足，则_______．（其中表少不超过的最大整数）．18．（2021·江西省铜鼓中学高一月考（理））已知正项数列的前n 项和为，且，则不超过的最大整数是_____________．19．（2021·全国·高三专题练习（文））已知表示不超过的最大整数，例如：，在数列中，，记为数列的前项和，则 ___________.20．（2021·四川·石室中学一模（文））已知数列的前项和为，点在上，表示不超过的最大整数，则_______________________．21．（2021·全国全国·模拟预测）黎曼猜想由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想研究的是无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和入手.已知正项数列的前项和为，且满足，则______（其中表示不超过的最大整数）.22．（2021·上海·位育中学三模）已知正项等比数列中，，，用表示实数的小数部分，如，，记，则数列的前15项的和为______.四、双空题23．（2021·北京师大附中高一月考）定义函数，其中表示不超过x 的最大整数，例如：，， 当时，的值域为（1）____________.n S 211131n n n n S S S S +-+-+=-+n N ∈g 2n ≥[]x 2(1)n n n b a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦{}n b n T 2022T {}n a n n S 112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2132109111S S S S S S ⎡⎤+=⎢⎥+++⎣⎦[]x x {}n a n S 11()2n n na S a +=122025111S S S +++ []x x [2.3]2=[]1.52-=-{}n a []lg ,n a n n N +=∈n T {}n a n 2021T ={}n a n n S (),n n a y x =[]x x 122021202120212021222S S S ⎡⎤++⋯+=⎢⎥⎣⎦()1111123ss s sn s n ξ∞-===+++⋅⋅⋅∑1111123s s s s n +++⋅⋅⋅+{}n a n n S 112nn n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12100111S S S ⎡⎤++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎣⎦[]x x {}n a 3123a a a =42563a ={}x x {}1.50.5={}2.40.4={}n n b a ={}n b 15S ()[[]]f x x x =[]x [1.3]1=[ 1.5]2-=-[2] 2.=*[))0,(x n n N ∈∈()f x .n A 7(2f =（2）集合中元素的个数为__________.24．（2021·福建·三明一中模拟预测）黎曼猜想由数学家波恩哈德∙黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题．黎曼猜想研究的是无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和入手．已知正项数列的前n 项和为﹐且满足，则__________，__________．（其中表示不超过x 的最大整数）25．（2021·广东珠海·高三月考）定义函数，其中表示不超过x 的最大整数，例如，，当时，的值域为，记集合中元素的个数为，则（1）_________；（2）_________．五、解答题26．（2021·河南·高三月考（文））已知公比大于的等比数列满足，，定义为不超过的最大整数，例如，，，，记在区间（）上值域包含的元素个数为.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.27．（2021·福建·高三月考）等差数列中，，．（1）求的通项公式；（2） 设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如，．28．（2021·福建·泉州五中高二期中）已知函数的最小值为0，其中.（1）求的值（2）若对任意的，有恒成立，求实数的最小值；（3）记，为不超过的最大整数，求的值.29．（2021·广东南海·高三开学考试）已知数列的前项和，令，其中10A 1111()123ss s sn n nξ∞-===+++∑ 1111123s s s sn ++++ {}n a nS 11()2n n n a S a +=n S =12100111S S S ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦ []x ()][][f x x x =[]x [][][]1.31, 1.52,22=-=-=[)0,,N x n n *∈∈()f x n A n A n a 2a =211nk ka ==-∑1{}n a 5115a a -=2416a a ⋅=[]x x []1.31=[]1.52-=-[]22=()[]f x x =[)1,n n -*n ∈N n b {}n a {}n b {}n n a nb +n n S {}n a 344a a +=576a a +={}n a []n n b a ={}n b []x x []0.90=[]2.62=()()ln f x x x a =-+0a >a [)0,x ∈+∞2()f x kx ≤k 12ln(21)21nn i S n i ==-+-∑[]x x []n S {}n a n (1)2n n n S +=3log na nb ⎡⎤=⎣⎦[]x表示不超过的最大整数，，.（1）求；（2）求；（3）求数列的前项之和.30．（2021·全国·高二课时练习）已知各项均为正数的无穷数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）记表示不超过的最大整数，如，. 令，求数列的前项和.31．（2021·浙江·模拟预测）已知数列满足，，数列满足，.（1）数列，的通项公式；（2）若，求使成立(表示不超过的最大整数)的最大整数的值.32．（2021·全国·高三专题练习（理））高斯函数中用表示不超过的最大整数，对应的为的小数部分，已知数列的前项和为，数列满足．已知函数在上单调递减．（1）若数列，其前项为，求．（2）若数列（即为的小数部分），求的最大值．33．（2021·广东汕头·三模）已知数列的前n 项和为，数列是首项为，公差为的等差数列，若表示不超过x 的最大整数，如，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前2020项的和.34．（2021·全国·高三专题练习）已知各项均为正数的数列的前n 项和为，，x []0.90=83log 1⎡⎤=⎣⎦n a 100b {}n b ()*31m m N -∈{}n a n n S 11a =1(1)(1)n n nS n S n n +=+++*()N n ∈{}n a []x x [0.99]0=[3.01]3=n b ={}n b 5151T {}n a 112a =123n n a a ++={}nb 11b =()211n n nb n b n n +-+=+{}n a {}n b ()1n n n nc b b a +=-[][][][]1222021n c c c c +++⋅⋅⋅+≤[]n c n c n []x x {}[]x x x =-x n a n 112n-n b 2n n b n a =()22x x f x =[)4,+∞[]n n c b =n n S 10S {}n n d b =n d n b n d {}n a n S n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1214[]x []0.50=[]lg 4992={}n a []lg n n b a ={}n b {}n a n S 11a =.（1）求证；数列是等差数列，并求的通项公式；（2）若表示不超过的最大整数，如，，求证：.35．（2021·浙江·温岭中学高三月考）正项等差数列和等比数列{b n }满足.（1）求数列，的通项公式；（2）若数列，，求最大整数，使得.36．（2021·全国·高三专题练习）在①；②；③是与的等比中项，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题：已知为公差不为零的等差数列，其前项和为为等比数列，其前项和为常数，，（1）求数列的通项公式；（2）令其中表示不超过的最大整数，求的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.37．（2021·全国·高三专题练习）已知等比数列的公比为，且，数列满足，．（1）求数列的通项公式．（2）规定：表示不超过的最大整数，如，．若，，记求的值，并指出相应的取值范围．)*,2n a n n =∈≥N {}n a []x x []122-=-，[]2,12=222121111n a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦ {}n a 1211221,22n n n a a a n a b b b +=+++=- {}n a {}n b ()()111n n n n n n b c b a b a ++-=--12n n S c c c =+++ 0n 020202021n S <3514a a +=428S =8a 5a 13a {}n a n {},n n S b n 2,nn T λλ=+11a b ={}{}n n a b ，[]lg n n c a =，[]x x 123100c c c c +++⋯+{}n a ()1λλ>11a ={}n b 11n n n b b a λ++-=-111b λ=-{}n b []x x []1.22-=-[]2.12=2λ=122n n c b n =+-()1232n n T c c c c n =+++⋅⋅⋅+≥2221n n n T T T ⎡⎤-+⎢⎥-⎣⎦n。