1黄冈中学自主招生阅读下面材料

1．（2015•黄冈中学自主招生）阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值． 小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）． 请你回答：AP的最大值是 6 ． 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是 （或不化简为） ．（结果可以不化简）

【分析】（1）根据旋转的性质知A′A=AB=BA′=2，AP=A′C，所以在△AA′C中，利用三角形三边关系来求A′C即AP的长度； （2）以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．根据旋转的性质推知PA+PB+PC=P'A′+P'B+PC．当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A′+P'B+PC）最短，即线段A'C最短．然后通过作辅助线构造直角三角形A′DC，在该直角三角形内利用勾股定理来求线段A′C的长度． 【解答】解：（1）如图2，∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC， ∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C ∴△A′BA是等边三角形， ∴A′A=AB=BA′=2， 在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6， 则当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6； 故答案是：6．

（2）如图3，∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC． 以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．则A'B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P′B， ∴PA+PB+PC=P′A′+P'B+PC． ∵当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A+P'B+PC）最短，即线段A'C最短， ∴A'C=PA+PB+PC， ∴A'C长度即为所求． 过A'作A'D⊥CB延长线于D． ∵∠A'BA=60°（由旋转可知）， ∴∠1=30°． ∵A'B=4， ∴A'D=2，BD=2， ∴CD=4+2． 在Rt△A'DC中A'C====2+2； ∴AP+BP+CP的最小值是：2+2（或不化简为）． 故答案是：2+2（或不化简为）．

【点评】本题综合考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及等边三角形的判定与性质．注意：旋转前、后的图形全等．

2．（2015秋•唐山校级期末）阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数． 小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决． （1）请你回答：图1中∠APB的度数等于 150° ． 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： （2）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=2，PB=1，PD=，求∠APB的度数和正方形的边长．

【分析】（1）把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，根据旋转的性质可得P′A=PA，P′C=PB，∠PAP′=60°，然后求出△APP′是等边三角形，根据等边三角形的性质求出PP′=PA=3，∠AP′P=60°，再利用勾股定理逆定理求出∠PP′C=90°，然后求出∠AP′C，即为∠APB的度数； （2）把△APB绕点A逆时针旋转90°得到△ADP′，根据旋转的性质可得P′A=PA，P′D=PB，∠PAP′=90°，然后判断出△APP′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出PP′，∠AP′P=45°，再利用勾股定理逆定理求出∠PP′D=90°，然后求出∠AP′D，即为∠APB的度数；再求出点P′、P、B三点共线，过点A作AE⊥PP′于E，根据等腰直角三角形的性质求

出AE=PE=PP′，然后求出BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理列式求出AB即可． 【解答】解：（1）如图2，把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′， 由旋转的性质，P′A=PA=3，P′D=PB=4，∠PAP′=60°， ∴△APP′是等边三角形， ∴PP′=PA=3，∠AP′P=60°， ∵PP′2+P′C2=32+42=25，PC2=52=25， ∴PP′2+P′C2=PC2， ∴∠PP′C=90°， ∴∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°； 故∠APB=∠AP′C=150°； 故答案为150°． （2）如图3，把△APB绕点A逆时针旋转90°得到△ADP′， 由旋转的性质，P′A=PA=2，P′D=PB=1，∠PAP′=90°， ∴△APP′是等腰直角三角形， ∴PP′=PA=×2=4，∠AP′P=45°， ∵PP′2+P′D2=42+12=17，PD2=（）2=17， ∴PP′2+P′D2=PD2， ∴∠PP′D=90°， ∴∠AP′D=∠AP′P+∠PP′D=45°+90°=135°， 故∠APB=∠AP′D=135°， ∵∠APB+∠APP′=135°+45°=180°， ∴点P′、P、B三点共线， 过点A作AE⊥PP′于E，

则AE=PE=PP′=×4=2， ∴BE=PE+PB=2+1=3， 在Rt△ABE中，AB===． 【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，全等三角形的判定与性质，求正方形的边长有一定的难度，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．

3．（2015秋•无棣县期末）如图，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PD=，将△ADP沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q． （1）求PP′的长； （2）求∠BPQ的大小．

【分析】（1）根据正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，再利用旋转的性质得AP=AP′，∠PAP′=∠DAB=90°，于是可判断△APP′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得PP′=PA=； （2）由等腰直角三角形性质知∠APP′=45°，利用旋转的性质得PD=P′B=，接着根据勾股定理的逆定理可证明△PP′B为直角三角形，∠P′PB=90°，然后利用平角定义计算∠BPQ的度数． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD，∠BAD=90°， ∵△ADP沿点A旋转至△ABP′， ∴AP=AP′=1，PD=P′B=，∠PAP′=∠DAB=90°， ∴△APP′是等腰直角三角形，

∴PP′==；

（2）∵△APP′是等腰直角三角形， ∴∠APP′=45°， 在△PP′B中，PP′=，PB=2，P′B=， ∵（）2+（2）2=（）2， ∴PP′2+PB2=P′B2， ∴△PP′B为直角三角形，∠P′PB=90°， ∴∠BPQ=180°﹣∠APP′﹣∠P′PB=180°﹣45°﹣90°=45°． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质和勾股定理的逆定理．

4．（2015秋•高青县期末）阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数； 小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．

（1）请你回答：图1中∠APB的度数等于 150° ．（直接写答案） 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=2，PB=1，PD=． （2）求∠APB的度数； （3）求正方形的边长． 【分析】（1）把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，由旋转的性质可得P′A=PA，P′C=PB，∠PAP′=60°，证出△APP′是等边三角形，由等边三角形的性质求出PP′=PA=3，∠AP′P=60°，再由勾股定理逆定理求出∠PP′C=90°，求出∠AP′C，即为∠APB的度数； （2）把△APB绕点A逆时针旋转90°得到△ADP′，由旋转的性质可得P′A=PA，P′D=PB，∠PAP′=90°，证出△APP′是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质求出PP′，∠AP′P=45°，再利用勾股定理逆定理求出∠PP′D=90°，然后求出∠AP′D，即为∠APB的度数； （3）求出点P′、P、B三点共线，过点A作AE⊥PP′于E，根据等腰直角三角形的性质求出

AE=PE=PP′，然后求出BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AB即可． 【解答】解：（1）如图2，把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′， 由旋转的性质，P′A=PA=3，P′D=PB=4，∠PAP′=60°，∠APB=∠AP′C， ∴△APP′是等边三角形， ∴PP′=PA=3，∠AP′P=60°， ∵PP′2+P′C2=32+42=25，PC2=52=25， ∴PP′2+P′C2=PC2， ∴∠PP′C=90°， ∴∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°； 故∠APB=∠AP′C=150°； 故答案为：150°． （2）如图3，把△APB绕点A逆时针旋转90°得到△ADP′， 由旋转的性质，P′A=PA=2，P′D=PB=1，∠PAP′=90°， ∴△APP′是等腰直角三角形， ∴PP′=PA=4，∠AP′P=45°， ∵PP′2+P′D2=42+12=17，PD2=（）2=17，