【全国百强校】河北省武邑中学2018届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题
精品解析：【全国百强校】河北省武邑中学2018届高三下学期第四次模拟考试数学(文)试题(原卷版)
河北省武邑中学2018届高三下学期第四次模拟考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.2. 已知数列为等差数列，且，则（）A. B. C. D.3. 圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（）A. B. C. D.4. 已知命题“”是“”的充要条件；，则（）A. 为真命题B. 为假命题C. 为真命题D. 为真命题5. 若命题，则为（）A. B.C. D.6. 外接圆的半径等于1，其圆心满足，则向量在方向上的投影等于（）A. B. C. D. 37. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的外接球体积为（）学*科*网...学*科*网...A. B. C. D.8. 为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法,从该校400名授课教师中抽取20名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图.据此可估计该校上学期400名教师中,使用多媒体进行教学次数在内的人数为（）A. 100B. 160C. 200D. 2809. 设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，若且，则双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D.10. 某几何体的三视图如图所示，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为（）A. B.C. D.11. 有人发现，多看手机容易使人变冷漠，下表是一个调査机构对此现象的调查结果：附表：则认为多看手机与人冷漠有关系的把握大约为（）A. B. C. D.12. 已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为______．14. 的两边长为2，3，其夹角的余弦为，则其外接圆半径为__________．15. 已知双曲线的右焦点为，焦距为8，左顶点为，在轴上有一点，满足，则该双曲线的离心率的值为__________．16. 在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知中锐角中内角所对边的边长分别为，满足，且.（1）求角的值；（2）设函数，且图象上相邻两最高点间的距离为，求的取值范围.18. 如图，在多面体中，是正方形，平面,平面,,点为棱的中点.（1）求证：平面平面；（2）若,求三棱锥的体积.19. 某机构为了解某地区中学生在校月消费情况，随机抽取了 100名中学生进行调查.如图是根据调査的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图.已知三个金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”.（1）求的值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有的把握认为“高消费群”与性别有关？20. 已知是抛物线上的一点，以点和点为直径两端点的圆交直线于两点，直线与平行，且直线交抛物线于两点.（1）求线段的长；（2）若，且直线与圆相交所得弦长与相等，求直线的方程.21. 已知函数.（1）设，求函数的单调区间；（2）若，函数，试判断是否存在，使得为函数的极小值点. 22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程；（2）设直线与曲线相交于两点，求的值.23. 设函数，.（1）当时，求不等式的解集；（2）若恒成立，求实数的取值范围.。
【全国百强校】河北省衡水市武邑中学2018届高三下学期第六次模拟考试数学(理)试题(解析版)
河北武邑中学2018届高三下学期第六次模拟考试数学试题(理)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.将正确答案填涂在答题卡上.1. 已知，，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得：，，∴故选：A2. 若复数(，且)，且，则的实部为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数模的公式列方程求出，利用复数乘法的运算法则化简复数，从而可得结果.【详解】因为复数(，且)，所以，解得，可得，所以，的实部为，故选A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3. 已知函数，则的图象大致为( )A. B. C. D. 学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...【答案】A【解析】【分析】可以排除法，利用奇偶性可排除选项；利用，可排除选项，从而可得结果.【详解】因为，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项；又因为，可排除选项.故选A.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象4. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率等于( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意判断出直线与渐近线垂直，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率公式即可得结果.【详解】双曲线的渐近线方程为，又直线可化为，可得斜率为3，双曲线的一条渐近线与直线垂直，，双曲线的离心率，故选B.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．.5. 《九章算术》中有如下问题:“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何?”，其大意:“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步?”.现若向此三角形内随机投一粒豆子(视为点)，则豆子落在其内切圆外的概率是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知：直角三角向斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半径为：落在内切圆内的概率为，故落在圆外的概率为6. 已知函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心可能为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，即，把点代入方程可得，所以，可得函数的一个对称中心为，故选C.7. 下图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的值分别为8，10，0，则输出和的值分别为( )A. 2，4B. 2，5C. 0，4D. 0，5【答案】B【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的、的值.【详解】模拟执行程序框图，可得，，不满足，不满足；满足；满足；满足；不满足，满足，输出的值为2，的值为，故选B.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8. 已知，，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，可得,由平方关系可得，从而得，进而可得结果.【详解】因为，所以,可得,因为，所以，，，所以的值为，故选B.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．9. 若关于的混合组有解，则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】问题等价于函数的图象与条件表示的可行域有交点，作出可行域，由图可知必有且图象在过两点的图象之间，从而可得结果.【详解】关于的混合组有解，等价于函数的图象与条件表示的可行域有交点，画出可行域如图所示，求得，由图可知，欲满足条件必有且图象在过两点的图象之间，当图象过点时，，当图象过点时，，故的取值范围是，故选C.【点睛】本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解和均值不等式求最值，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.10. 已知直线与函数的图象相切，则切点的横坐标为( )A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】【分析】设切点坐标为,根据导数的几何意义、点在直线上且在曲线上，列出方程组求出切点坐标. 【详解】由可得，设切点坐标为，则，解得，故选A.【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.11. 已知为抛物线的焦点，为抛物线上三点，当时，称为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有( )A. 0个B. 1个C. 3个D. 无数个【答案】D【解析】【分析】当时，为的重心，连接并延长至，使，当在抛物线内部时，设，利用“点差法”可证明总存在以为中点的弦，从而可得结果.【详解】抛物线方程为为曲线上三点，当时，为的重心，用如下办法构造，连接并延长至，使，当在抛物线内部时，设，若存在以为中点的弦，设，则则，两式相减化为，，所以总存在以为中点的弦，所以这样的三角形有无数个，故选D.【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算以及“点差法”的应用，属于难题.对于有弦关中点问题常用“点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解. 12. 祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理: “幂势既同，则积不容异”.意思是:夹在两个乎行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等.现将曲线绕轴旋转一周得到的几何体叫做椭球体，记为，几何体的三视图如图所示.根据祖暅原理通过考察可以得到的体积，则的体积为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由三视图可得几何体是一个底面半径为，高为的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，上底面为底面的圆锥，由祖暅原理可得结果.【详解】由三视图可得几何体是一个底面半径为，高为的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，上底面为底面的圆锥，则圆柱的体积为，圆锥的体积，利用祖暅原理可计半椭球的体积为，所以的体积为，故选D.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力以及几何体的体积，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位.13. 设平面向量与向量互相垂直，且，若，则_____________.【答案】5【解析】由平面向量与向量互相垂直可得所以，又，故答案为.【方法点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.14. 展开式中，的系数为_____________.【答案】【解析】【分析】根据展开式的通项公式，分两种情况可得展开式的系数.【详解】展开式的通项公式为，故分别令，可得展开式与的系数分别为故展开式的系数为，故答案为.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.15. 现有个小球，甲、乙两位同学轮流且不放回抓球，每次最少抓1个球，最多抓3个球，规定谁抓到最后一个球赢.如果甲先抓，那么下列推断正确的是_____________.(填写序号)①若，则甲有必赢的策略；②若，则乙有必赢的策略；③若，则甲有必赢的策略；④若，则乙有必赢的策略.【答案】③【解析】【分析】如果甲先抓，若甲有必贏的策略，必贏的策略为：甲先抓1球，当乙抓1球时，再抓3球；当乙抓2球时，甲再抓2球；当乙抓3球时，甲再抓1球；这时还有4个小球，轮到乙抓，按规则，乙最少抓1个球，最多抓3个球，无论如何抓，都会至少剩一个球，至多剩3个球；甲再抓走所有剩下的球，从而甲胜. 【详解】现有个小球，甲、乙两位同学轮流且不放回抓球，每次最少抓1个球，最多抓3个球，规定谁抓到最后一个球贏，，如果甲先抓，则甲有必赢的策略，必赢的策略为：（1）甲先抓1球，（2）当乙抓1球时，甲再抓3球；当乙抓2球时，甲再抓2球；当乙抓3球时，甲再抓1球；（3）这时还有4个小球，轮到乙抓，按规则，乙最少抓1个球，最多抓3个球，无论如何抓，都会至少剩一个球，至多剩3个球；（4）甲再抓走所有剩下的球，从而甲胜，故答案为③.【点睛】本题主要考查推理案例，属于难题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.16. 中，角的对边分别为，，面积为，当最大时，_____________.【答案】【解析】,当且仅当，取等号，∴∠C的最大值为75°，此时sinC=,，∴.故答案为：三.解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知数列的前项和.(1)求；(2)求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)由可得当时，，两式相减，检验当时是否适合，从而可得结果；(2)利用错位相减法，结合等比数列的求和公式即可得结果.【详解】(1)当时，.当时，，故.(2) ①，②，②-①得，.【点睛】本题主要考查数列的通项公式与前项和公式之间的关系以及错误相减法求和，属于中档题. 已知数列前项和与第项关系，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意的情况.18. 2017年4月1日，新华通讯社发布:国务院决定设立河北雄安新区，消息一出，河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点.(1)为了响应国家号召，北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下:请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量关于变量的线性回归方程(保留小数点后两位有效数字)；若该校共有教职员工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数；(2)若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察，记为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数，求的分布列及数学期望.参考公式及数据：，，，.【答案】（1）2000；（2）见解析【解析】试题分析：（1）依据公式计算回归方程，在根据求出的结果得到相应的预测值.（2）是离散型随机变量，它服从超几何分布，故根据公式计算出相应的概率，得到分布列后再利用公式计算期望即可.解析：（1）由已知有，,故变量关于变量的线性回归方程为，所以当时，.（2）由题意可知的可能取值有1，2,3,4.，.所以的分布列为19. 如图，已知平面平面，为线段的中点，，四边形为边长为1的正方形，平面平面，，，为棱的中点.(1)若为线上的点，且直线平面，试确定点的位置；(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)连接，由直线平面，，又为的中点，从而得为的中位线，为的中点；（2）先证明平面，可得两两相垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，平面的一个法向量，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面的一个法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】(1)连接，直线平面，平面，平面平面，又为的中点，为的中位线，为的中点.(2) 则，又为的中点，.又平面平面，平面平面四边形为平行四边形.又，四边形为菱形.又，，，，平面平面平面，两两相垂直以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系依题意，得，，.设平面的一个法向量则由且得:且令，得.又平面的一个法向量所求锐二面角的余弦值约：.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 已知抛物线和圆的公共弦过抛物线的焦点，且弦长为4.(1)求抛物线和圆的方程；(2)过点的直线与抛物线相交于两点抛物线在点处的切线与轴的交点为，求面积的最小值. 【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由题意可知，求得的值，得到抛物线的方程，进而求得圆的方程.（2）设直线的方程为：，联立方程组，求的及，利用导数求得切线方程，得到，利用点到直线的距离公式，求的距离，表示出面积的表达式，利用导数，研究函数的单调性和最值，即可得到结论.试题解析：（1）由题意可知，，所以，故抛物线的方程为.又，所以，所以圆的方程为.（2）设直线的方程为：，并设，联立，消可得，.所以；.，所以过点的切线的斜率为，切线为，令，可得，，所以点到直线的距离，故，分又，代入上式并整理可得：，令，可得为偶函数，当时，，，令，可得，当，，当，，所以时，取得最小值，故的最小值为.点睛：本题主要考查抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目，利用题设条件确定圆锥曲线方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，利用函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21. 已知函数.(1)若函数在区间上为增函数，求的取值范围；(2)当且时，不等式在上恒成立，求的最大值.【答案】（1）；（2）3【解析】试题分析：（1）依题意可得，函数在区间上为增函数等价于在上恒成立，即在上恒成立，从而可得的取值范围；（2）不等式在上恒成立等价于对任意恒成立，令，利用导数研究函数的单调性，从而可得的最小值，即可求得的最大值.试题解析：（1）依题意可得.∵函数在区间上为增函数∴在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，而.∴，即的取值范围为．(2)当时，.∵∴原不等式可化为，即对任意恒成立．令，则.令，则.∴在上单调递增．∵，∴ 存在使，即，即当时，，即；当时，，即.∴在上单调递减，在上单调递增．由，得，∴∵∴.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.22. 在平面直角坐标系中，将曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，的极坐标方程为.(1)求曲线的参数方程；(2)过原点且关于轴对称的两条直线与分别交曲线于和，且点在第一象限，当四边形周长最大时，求直线的普通方程.【答案】（1），(为参数)；（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）首先求得的普通方程，由此可求得的参数方程；（Ⅱ）设四边形的周长为，点，然后得到与的关系式，从而利用辅助角公式求得点的直角坐标点，从而求得的普通方程．试题解析：（Ⅰ），（为参数）．（Ⅱ）设四边形的周长为，设点，，且，，所以，当（）时，取最大值，此时，所以，，，此时，，的普通方程为．点睛：将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的(它们都是参数的函数)的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．23. 已知函数.(1)解不等式；(2)若，不等式对恒成立，求的取值范围.【答案】（1）或；（2）或【解析】【分析】(1) 对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果;(2)，恒成立等价于.因为，，所以由原不等式恒成立，得,从而可得结果. 【详解】(1) ，原不等式等价于：或或，解得: ，或，或，综上所述，不等式解集是: 或；(2) ，恒成立等价于.因为，所以的最大值为；时，；时，；时，，所以，所以由原不等式恒成立，得：，解得：或.【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
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河北省武邑中学2018届高三下学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合},06|{2N x x x x A ∈>++-=，}2,1,0,1{-=B ，则=B A （ ） A ．}2,1{ B ．}2,1,0{ C ．}1,0{ D ．}2,1,0,1{- 2．已知实数n m ,满足53)24)((+=-+i i ni m ，则=+n m （ ） A ．59 B ．511 C ．49 D ．4113．给出下列命题：①已知R b a ∈,，“1>a 且1>b ”是“1>ab ”的充分条件；②已知平面向量,，“1||,1||>>”是“1||>+”的必要不充分条件； ③已知R b a ∈,，“122≥+b a ”是“1||||≥+b a ”的充分不必要条件； ④命题p ：“R x ∈∃0，使100+≥x ex 且1ln 00-≤x x ”的否定为p ⌝：“R x ∈∀，都有1+<x e x 且1ln ->x ”.其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．若定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =+，且当]1,0[∈x 时，x x f =)(，则函数||log )(3x x f y -=的零点个数是（ ）A ．6个B ．4个C ．3个D ．2个 5．设函数)3cos()(ϕ+=x x f ，其中常数ϕ满足0<<-ϕπ.若函数)(')()(x f x f x g +=（其中)('x f 是函数)(x f 的导数）是偶函数，则ϕ等于（ ） A ．3π-B ．65π-C ．6π-D ．32π- 6．执行如图的程序框图，如果输入的k b a ,,分别为3,2,1，输出的815=M ，那么判断框中应填入的条件为（ ）A ．k n <B ．k n ≥C ．1+<k nD ．1+≥k n 7．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体编号为A ．08B ．07C ．02D ．018．已知R k ∈，点),(b a P 是直线k y x 2=+与圆32222+-=+k k y x 的公共点，则ab 的最大值为（ ） A.15B.9C.1D. 35-9．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-08010502y x y x y x 所表示的平面区域存在点),(00y x ，使0200≤++ay x 成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1-≤aB ．1-<aC ．1>aD ．1≥a10．北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者（编号分别是1，2，…，30号），现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（ ） A ．25 B ．32 C ．60 D ．10011．已知在ABC Rt ∆中，两直角边1=AB ，2=AC ，D 是ABC ∆内一点，且060=∠DAB ，设),(R ∈+=μλμλ，则=μλ（ ） A ．332 B ．33C ．3D ．32 12．已知函数)(x f 的定义域为D ，若对于)(),(),(,,c f b f a f D b a ∈∀分别为某个三角形的边长，则称)(x f 为“三角形函数”.给出下列四个函数：①)(ln )(32e x e x xf ≤≤=；②x x f cos 4)(-=；③)41()(21<<=x x x f ；④1)(+=x xe e xf .其中为“三角形函数”的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥32320y x y x x ，则y x z -=的最小值是 .14．若5)1(-ax 的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 . 15．已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为 .16．若函数)(x f 的图象上存在不同的两点),(11y x A ，),(22y x B ，其中2211,,,y x y x 使得222221212121||y x y x y y x x +⋅+-+的最大值为0，则称函数)(x f 是“柯西函数”. 给出下列函数：①)30(ln )(<<=x x x f ；②)0(1)(>+=x xx x f ；③82)(2+=x x f ；④82)(2-=x x f .其中是“柯西函数”的为 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足*),1(34N n a S n n ∈-=. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）令n n a b 2log =，记数列})1)(1(1{+-n n b b 的前n 项和为n T ，证明：2131<≤n T . 18．高二某班共有20名男生，在一次体检中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm ）的茎叶图如下：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm 的7名男生中随机选出2名男生参加篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于)180,170[（单位：cm ）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于)180,175[（单位：cm ）的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.19．菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，6,2==AC AB ，点F E ,分别在CD AD ,上，45==CF AE ，EF 交BD 于点H ，将D E F ∆沿EF 折到EFD '∆位置，10'=OD .（1）证明：⊥H D '平面ABCD ； （2）求二面角C A D B --'的正弦值.20．设抛物线)0(42>=m mx y 的准线与x 轴交于1F ，抛物线的焦点2F ，以21,F F 为焦点，离心率21=e 的椭圆与抛物线的一个交点为)362,32(E ；自1F 引直线交抛物线于Q P ,两个不同的点，设F F 11λ=. （1）求抛物线的方程椭圆的方程； （2）若)1,21[∈λ，求||PQ 的取值范围. 21．已知函数21)ln(21)(2+--=ax a x x a x f . （1）设xx f x g 1)()(+=，求函数)(x g 的单调区间； （2）若0>a ，设))(,()),(,(2211x f x B x f x A 为函数)(x f 图象上不同的两点，且满足1)()(21=+x f x f ，设线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：10>ax . 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos t y t m x （t 为参数，πα<≤0），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=，射线)44(πϕπϕθ<<-=，4πϕθ+=，4πϕθ-=分别与曲线C交于C B A ,,三点（不包括极点O ）. （1）求证：||2||||OA OC OB =+；（2）当12πϕ=时，若C B ,两点在直线l 上，求m 与α的值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数|12|||)(-++=x m x x f . （1）当1=m ，解不等式3)(≥x f ； （2）若41<m ，且当]2,[m m x ∈时，不等式|1|)(21+≤x x f 恒成立，求实数m 的取值范围.数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13．3- 14．2 15．23224++ 16．①④三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：(1)当1=n 时，有)1(34111-==a S a ，解得41=a ， 当2≥n 时，有)1(3411-=--n n a S ，则 )1(34)1(3411---=-=--n n n n n a a S S a 整理得41=-n na a ∴数列}{n a 是以4=q 为公比，以41=a 为首项的等比数列∴)(444*1N n a n n n ∈=⨯=-. （2）由（1）有n a b nn n 24log log 22===，则)12(1121(21)12)(12(1)1)(1(1+--=-+=-+n n n n b b n n∴)12)(12(1531311+-++⨯+⨯=n n T n )121121()5131()311[(21+--++-+-=n n)1211(21+-=n 易知数列}{n T 为递增数列， ∴211<≤n T T ，即2131<≤n T .18．(1) 第一组学生身高的中位数为1742176172=+， 第二组学生身高的中位数为5.1742175174=+； （2）记“这2名男生至少有1人来自第二组”为事件A ，761)(2723=-=C C A P ，∴这2名男生至少有1人来自第二组的概率为76； （3）X 的所有可能取值是0，1，2，3101)0(23252223===C C C C X P ，52)1(23251223221213=+==C C C C C C C X P ，3013)2(23251213122222=+==C C C C C C C X P ，151)3(23251222===C C C C X P X 的分布列为15153302521)(=⨯+⨯+⨯=X E . 19．解：(1)∵45==CF AE ， ∴CDCFAD AE =，∴AC EF //，∵四边形ABCD 为菱形， ∴BD AC ⊥，∴BD EF ⊥，∴DH EF ⊥，∴H D EF '⊥ ∵6=AC ， ∴3=AO ；又5=AB ，OB AO ⊥，∴4=OB ，∴1=⋅=OD AOAEOH ，∴3'==H D DH ， ∴222|'||||'|H D OH OD +=，∴H D OH '⊥，又∵H EF OH = ， ∴⊥H D '平面ABCD .（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系：)0,3,1(),3,0,0('),0,3,1(),0,0,5(-A D C B ，)0,6,0(),3,3,1(),0,3,4(=-==，设平面'ABD 的一个法向量为),,(1z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0'011AD n n 得⎩⎨⎧=++-=+033034z y x y x ，取⎪⎩⎪⎨⎧=-==543z y x ， ∴)5,4,3(1-=n ，同理可得平面C AD '的法向量为)1,0,3(2=n ，∴25571025|59||||||cos |2121=⨯+==n n θ，∴25952sin =θ.20.解：(1)设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by ax ，由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+211924942222a b a a c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3422b a∴椭圆的方程为13422=+y x ∴点2F 的坐标为)0,1(，∴1=m ，∴抛物线的方程是x y 42=(2)由题意得直线PQ 的斜率存在，设其方程为)0)(1(≠+=k x k y ， 由⎩⎨⎧=+=xy x k y 4)1(2消去x 整理得0442=+-k y ky （）∵直线PQ 与抛物线交于两点， ∴016162>-∆k ，设),(),,(2211y x Q y x P ，则421=y y ①，ky y 421=+②， ∵F F 11λ=，)0,1(1-F ∴),1(),1(2211y x y x +=+λ ∴21y y λ=，③由①②③消去21,y y 得22)1(4+=λλk .∴||PQ 22221221222121616)11(4))[(11())(11(k k ky y y y ky y k-+=-++=-+=441616k k -=，即=2||PQ 441616k k -，将22)1(4+=λλk 代入上式得， =2||PQ 16)21(16)12(16)4(222224-++=-++=-+λλλλλλλ，∵λλλ1)(+=f 在)1,21[∈λ上单调递减，∴)21()()1(f f f ≤<λ，即2512≤+<λλ， ∴<041716)21(2≤-++λλ， ∴217||0≤<PQ ，即||PQ 的取值范围为]217,0(. 21．解：(1) 21)ln(2)(2+-=ax a x a x g ,xax a x a a x g )2(2)('2-=-= ①0>a 时， )(x g 定义域为),0(+∞当)2,0(a x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在)2,0(a上单调递减； 当),2(+∞∈a x 时，0)('>x g ，故)(x g 在),2(+∞a上单调递增； ②0<a 时，)(x g 定义域为)0,(-∞当)2,(a x -∞∈时，0)('>x g ，故)(x g 在)2,(a-∞上单调递增； 当)0,2(a x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在)0,2(a上单调递减.（2）10>ax 2121212x ax a x x ->⇔>+⇔0)1(21)('222≥-=-+=a xx ax a x f ，故)(x f 在定义域),0(+∞上单调递增， 只需证：1)()1(2=+x f x f ，21)1(=af ，不妨设2110x ax <<< axa x x a ax x ax a a x f x a f x F ln 21)2ln(221)2(1)()2()(22--+-----=-+-=则0)2()1(4222)2(1)('2232222≤---=-+---=ax x ax ax a x a ax a x x F ax 1≥∀， 从而)(x F 在),1[+∞a 上单调递减，故0)1()(2=<aF x F ，即（）式. 22.解：(1)证明：依题意，ϕcos 4||=OA ，)4cos(4||πϕ+=OB ，)4cos(4||πϕ-=OC ，则=+||||OC OB ++)4cos(4πϕ||2cos 24)4cos(4OA ==-ϕπϕ（2）当12πϕ=时，C B ,两点的极坐标分别为)6,32(),3,2(ππ-，化为直角坐标)3,1(B ，)3,3(-C ， 经过点C B ,的直线方程为)2(3--=x y ， 又直线l 经过点)0,(m ，倾斜角为α，故2=m ，32πα=. 23.解：(1) 当1=m 时，|12||1|)(-++=x x x f ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤---<-=)21(3)211(2)1(3)(x x x x x x x f由3)(≥x f 解得1-≤x 或1≥x ，即原不等式的解集为),1[]1,(+∞--∞ . （2）|1|)(21+≤x x f ，即|1||12|21||21+≤-++x x m x ，又]2,[m m x ∈且41<m 所以410<<m ，且0>x 所以|12|21|1|221--+≤+x x m x 即|12|2--+≤x x m 令|12|2)(--+=x x x t ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<+=)21(3)210(13)(x x x x x t ，所以]2,[m m x ∈时， 13)()(min +==m m t x t ， 所以13+≤m m ，解得21-≥m ， 所以实数m 的取值范围是)41,0(.欢迎访问“高中试卷网”——。
2018高考适应性模拟考试数学文科答案
由 c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2+ab，∴
=a2+b2+ab≥3ab，
当且仅当 a=b 时取等号， ∴ab≥12， 故 ab 的最小值为 12． 18．解：（1）按分层抽样男生应抽取 80 名，女生应抽取 20 名； ∴x=80﹣（5+10+15+47）=3， y=20﹣（2+3+10+2）=3； 抽取的 100 名且测试等级为优秀的学生中有三位男生，设为 A，B，C； 两位女生设为 a，b；从 5 名任意选 2 名，总的基本事件有 AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共 10 个； 设“选出的两名学生恰好是一男一女为事件 A”； 则事件包含的基本事件有 Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb 共 6 个； ∴P（A）= = ；
∴直线 AB 的方程为
，整理得：bx﹣ay+ab=0，设直线 AB 上的点 P（x，y），
则 bx=ay﹣ab，x= y﹣a，
∵PF1⊥PF2，则 • =（﹣c﹣x，﹣y）•（c﹣x，﹣y）=x2+y2﹣c2=（ ）2+y2﹣c2，
令 f（y）=（ ）2+y2﹣c2，则 f′（y）=2（ y﹣a）× +2y，
．
由 2 = ，可得 2（ ﹣c）=
﹣c，
即为 ﹣c=
，
由 e= ，可得 ﹣1=
，
即有 e4﹣5e2+4=0，解得 e2=4 或 1（舍去）， 即为 e=2，即 c=2a，b= a， 可得渐近线方程为 y=± x， 故答案为：y=± x．
三、解答题
17．解：（1）由正弦定理可知： =
=
=2R，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
【全国百强校Word】河北省武邑中学2018届高三上学期第一次月考文数试题
河北武邑中学2017-2018学年高三第一次月考试题数学（文）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}2,5,8A =，{}1,3,5,7B =，那么()U A B U ð等于（ ） A ．{}5 B ．{}1,3,7 C ．{}4,6 D ．{}1,2,3,4,6,7,82．已知{}21,M y y x x R ==-∈，{}1,P x x a a R ==-∈，则集合M 与P 的关系是（ ）A ．M P =B ．P R ∈C ．M P ÜD ．M P á3．已知集合{},,S a b c =中的三个元素可构成ABC ∆的三条边长，那么ABC ∆一定不是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．已知p ：425+=,q :32≥,则下列判断中，错误的是（ ） A ．p 或q 为真，非q 为假 B ．p 或q 为真，非p 为真 C ．p 且q 为假，非p 为假 D ．p 且q 为假，p 或q 为真 5．下列函数中，既是偶函数又在(),0-∞上单调递增的是（ ） A ．3y x = B ．ln y x = C ．sin y x = D ．21y x=6．对命题“0x R ∃∈,200240x x -+>”的否定正确的是（ ） A ．0x R ∃∈，200240x x -+> B ．x R ∀∈，2240x x -+≤C ．x R ∀∈，2240x x -+>D ．x R ∀∈，2240x x -+≥ 7．下列图象中表示函数图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．“3x =-”是“230x x +=”的（ ）A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 9．已知定义在R 上的奇函数，()f x 满足()()2f x f x +=-，则()8f 的值为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．210．函数()20.5log 310y x x =--的递增区间是（ ）A ．(),2-∞-B ．()5,+∞C ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11．已知函数()f x 在(],2-∞为增函数，且()2f x +是R 上的偶函数，若()()3f a f ≤，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．3a ≥C ．13a ≤≤D ．1a ≤或3a ≥ 12．关于x 的方程()222110x x k ----=，给出下列四个命题： ①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有6个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根. 其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数()ln 23y x x =-+-的定义域为 ． 14．已知函数2y ax b =+在点()1,3处的导数为2，则ba= ． 15．已知函数()()2lg 21f x mx mx =++，若()f x 的值域为R ，则实数m 的取值范围是 ．16．设函数()22x f x x =+（0x >），观察：()()122xf x f x x ==+；()()()2164xf x f f x x ==+；()()()32148xf x f f x x ==+；()()()433016xf x f f x x ==+……根据以上事实，当*N n ∈时，由归纳推理可得：()1n f = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知集合{}121P x a x a =+≤≤+，{}2310Q x x x =-≤.（1）若3a =，求()R P Q I ð； （2）若P Q ⊆，求实数a 的取值范围.18．如图，台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向（北偏东45︒）移动，离台风中心不超过300千米的地区为危险区域.城市B 在A 地的正东400千米处.请建立恰当的平面直角坐标系，解决以下问题： （1）求台风移动路径所在的直线方程；（2）求城市B 处于危险区域的时间是多少小时？19．已知p ：方程210x mx -+=有两个不等的正实根，q ：方程()244210x m x +-+=无实根.若p 或q 为真，p 且q 为假.求实数m 的取值范围.20．已知函数()f x 的图象与函数()1h x x x=+的图象关于点()0,1A 对称. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()g x xf x ax =+，且()g x 在区间(]0,4上为减函数，求实数a 的取值范围.21．（1）若函数()f x 的图象在1x =处的切线l 垂直于直线y x =，求实数a 的值及直线l 的方程； （2）求函数()f x 的单调区间； （3）若1x >，求证：ln 1x x <-.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y =+⎧⎨=⎩αα（α为参数，0-<<πα），曲线2C 的参数方程为132253x t y t ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系. （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的普通方程； （2）射线4=-πθ与曲线1C 的交点为P ，与曲线2C 的交点为Q ，求线段PQ 的长.23．选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<. （1）求实数a ，b 的值； （2）求12at bt ++的最大值.数学（文）试卷答案一、选择题1-5:CADCD 6-10:BCCBA 11、12：DD二、填空题13．(]2,3 14．2 15．[)1,+∞ 16．1322n ⋅-三、解答题17．解：（1）因为3a =， 所以{}47P x x =≤≤，{R 4P x x =<ð或}7x >又{}2310Q x x x =-≤{}25x x =-≤≤，所以(){}R 24P Q x x =-≤<I ð （2）若P Q ≠，由P Q ⊆，得12,215,21 1.a a a a +≥-⎧⎪+≤⎨⎪+≥+⎩当P =∅，即211a a +<+时，0a <，此时有P Q =∅⊆ 综上，实数a 的取值范围是：(],2-∞18．解：（1）以B 为原点，正东方向为x 轴建立如图所示的直角坐标系， 则台风中心A 的坐标是()400,0-，台风移动路径所在的直线方程为400y x =+（2）以B 为圆心，300千米为半径作圆，和直线400y x =+相交于1A 、2A 两点，可以认为，台风中心移到1A 时，城市B 开始受台风影响（危险区），直到2A 时，解除影响. 因为点B 到直线400y x =+的距离2002d =， 所以()221223002002200A A =-=，而2001020=（小时），所以B 城市处于危险区内的时间是10小时. 19．解：由题意p ，q 中有且仅有一为真，一为假，p 真2121240210m x x m m m x x ⎧∆=->⎪⇔+=>⇔>⎨⎪⋅=>⎩，q 真013m ⇔∆<⇔<<，若p 假q 真，则21213m m m ≤⎧⇔<≤⎨<<⎩；若p 真q 假，则2313m m m m >⎧⇔≥⎨≤≥⎩或；综上所述：(][)1,23,m ∈+∞U .20．解：（1）∵()f x 的图象与()h x 的图象关于点()0,1A 对称，设()f x 图象上任意一点坐标为(),B x y ，其关于()0,1A 的对称点(),B x y '''，则0212x x y y '+⎧=⎪⎪⎨'+⎪=⎪⎩∴2x x y y '=-⎧⎨'=-⎩∵(),B x y '''在()h x 上，∴1y x x ''=+'. ∴12y x x -=--，∴12y x x =++， 即()12f x x x=++.（2）∵()()g x xf x ax =+=()221x a x +++且()g x 在(]0,4上为减函数，∴242a +-≥， 即10a ≤-.∴a 的取值范围为(],10-∞-.21．解：（1）∵()ln 1f x x ax =-+（R a ∈），定义域为()0,+∞，∴()1f x a x'=- ∴函数()f x 的图象在1x =处的切线l 的斜率()11k f a '==- ∵切线l 垂直于直线y x =，∴11a -=-，∴2a = ∴()ln 21f x x x =-+，()11f =-，∴切点为()1,1-∴切线l 的方程为()11y x +=--，即0x y +=. （2）由（1）知：()1f x a x'=-，0x > 当0a ≤时，()10f x a x'=->，此时()f x 的单调递增区间是()0,+∞； 当0a >时，()11ax f x a x x-'=-=1a x a x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=若10x a <<，则()0f x '>；若1x a>，则()0f x '< 此时()f x 的单调递增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间是()0,+∞； 当0a >时，()f x 的单调递增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （3）由（2）知：当1a =时，()ln 1f x x x =-+在()1,+∞上单调递减 ∴1x >时，()()1ln1110f x f <=-+= ∴1x >时，ln 10x x -+<，即ln 1x x <-. 22．解：（1）曲线1C 的参数方程为1cos sin x y =+⎧⎨=⎩αα（α为参数，0-<<πα），普通方程为()2211x y -+=（0y <），极坐标方程为2cos =ρθ，,02⎛⎫∈- ⎪⎝⎭πθ，曲线2C 的参数方程为132253x t y t⎧=-⎪⎨⎪=+⎩（t 为参数）， 普通方程260x y +-=； （2）4=-πθ，2=ρ，即2,4P ⎛⎫-⎪⎝⎭π； 4=-πθ代入曲线2C 的极坐标方程，可得62'=ρ，即62,4Q ⎛⎫-⎪⎝⎭π，∴62252PQ =-=.23．解：（1）由x a b +<，得b a x b a --<<-则2,4,b a b a --=⎧⎨-=⎩解得3a =-，1b =（2）31234t t t -++=-()2231t +≤+()()224tt ⋅-+244t t =-+=当且仅当413t t-=，即1t =时等号成立， 故()max3124t t-++=.。
河北省武邑中学高三数学下学期第一次模拟考试试题理
河北武邑中学2018-2019学年下学期高三第一次模拟考试 数 学 （理工）试 题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，满足，，若，则集合( )A.B.C.D.2.在复平面内，复数z 满足(1)2z i -=，则z 的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、如图所示,水平放置的圆柱形物体的三视图是( )A. B.C. D.4．函数1ln(1)y x x =-+的图象大致为:A B C D5.函数()()log 3101a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11m n+的最小值为:; A3- B 5 C 3+ D 3+6.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别别为a ，b ，c ，且2cos (cos cos ).C a B+b A c =1,3a b ==则c =（ ）A ．6B ．7 C.8 D ．97．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）A ．2π15B ．3π20C ．1－2π15D ．1－3π208.已知函数的图象经过点，且关于直线对称，则下列结论正确的是( )A. 在上是减函数 B. 若是的一条对称轴，则一定有C.的解集是，D.的一个对称中心是9.从1，2，3，4，5中任取5个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（ ） A. 32 B. 53 C. 21 D. 5210.一个正三棱锥(底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心)的四个顶点都在半径为1的球面上，球心在三棱锥的底面所在平面上，则该正三棱锥的体积是（ ）A ．4B ．3C ．4D ．1211.设12、F F 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，点P 在双曲线C 的右支上，若122130,60∠=∠=︒PF F PF F ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．1 B ．2+ D ．4+12.对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围是( )A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.向量，，若向量，共线，且，则的值为__________．14．在)5111x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项等于 .15.数列{}n a 满足：12,111+==+n n a a a :{}n a 的前n 项和为n S ，则=n S _______.16.已知在直三棱柱中，，，若棱在正视图的投影面内，且与投影面所成角为.设正视图的面积为，侧视图的面积为，当变化时，的最大值是__________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本大题满分12分)在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2sin cos )b c A A =+.（I ）求sin C ； （II）若a =34B π=，求ABC ∆的面积.18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，平面平面，点为棱的中点．（Ⅰ）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由； （Ⅱ）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角．19. 有一个同学家开了一个奶茶店，他为了研究气温对热奶茶销售杯数的影响，从一季度中随机选取5天，统计出气温与热奶茶销售杯数，如表：（Ⅰ）求热奶茶销售杯数关于气温的线性回归方程a x b y ˆˆˆ+=（b ˆ精确到0.1），若某天的气温为15oC ，预测这天热奶茶的销售杯数；（Ⅱ）从表中的5天中任取一天，若已知所选取该天的热奶茶销售杯数大于120，求所选取该天热奶茶销售杯数大于130的概率.参考数据：125027191242222=+++，6602942710419130121324=⨯+⨯+⨯+⨯. 参考公式：2121ˆ∑-∑-===ni i n i i i xn x yx n y x b，x by a ˆˆ-= 20.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）若不过原点的直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，并且点是线段的中点，求面积的最大值.21. 已知()ln f x x =,设1122(,ln ),(,ln )A x x B x x ,且12x x <,记1202x x x +=; （1）设()(1)g x f x ax =+-,其中a R ∈,试求()g x 的单调区间; （2）试判断弦AB 的斜率AB k 与0()f x '的大小关系,并证明; （3）证明：当1x >时,11ln xe x x x->+. 选做题（请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.） 22.选修4-4：坐标系与参数方程（本大题满分10分）已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的非负半轴重合，且长度单位相同，直线l 的极坐标方程为sin 56πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线:2x C y αα⎧=⎪⎨=-⎪⎩(α为参数).其中[)0,2a π∈. （Ⅰ）试写出直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程； （Ⅱ）若点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值. 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知()32f x x =+. (Ⅰ)求()1f x ≤的解集；(Ⅱ)若()2f x a x ≥恒成立，求实数a 的最大值.高三第一次模拟考试理数答案1.CDAAC 6-10:CBCDC 11-12:A B 13.-814， 9 15， 221--+n n16..17．解：（Ⅰ）由(2sin cos )b c A A =+得，sin 2sin sin sin cos sin()2sin sin sin cos B A C C A A C A C C A =+⇒+=+，所以1sin cos 2sin sin tan ,sin 25A C A C C C =⇒=⇒=；（Ⅱ）sin sin b B c C ===,b c ==，cos cos()cos cos sin sin A B C B C B C =-+=-+=，由余弦定理得：22225222k k k =+-⇒=，所以2b c ==， 所以ABC的面积11sin 21222S ac B ==⨯=．18.【详解】（Ⅰ）在棱上存在点，使得平面，点为棱的中点． 理由如下：取的中点，连结、，由题意，且，且，故且.所以，四边形为平行四边形. 所以，，又平面，平面，所以，平面............6分（Ⅱ）由题意知为正三角形，所以，亦即，又，所以，且平面平面，平面平面，所以平面，故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设，则由题意知，，，，，， 设平面的法向量为， 则由得，令，则，， 所以取，显然可取平面的法向量，由题意：，所以.由于平面，所以在平面内的射影为，所以为直线与平面所成的角，易知在中，，从而，所以直线与平面所成的角为................................12分19. 解：（Ⅰ）由表格中数据可得，4.12=x ,122=y ............................2分∴0.24.12621250122626602ˆ2121-≈⨯-⨯-=∑-∑-===ni i ni i i xn x yx n y x b..................................5分∴8.1464.120.2122ˆˆ=⨯+=-=x b y a∴热奶茶销售杯数关于气温的线性回归方程为8.1460.2ˆ+-=x y...................6分 ∴当气温为15oC 时，由回归方程可以预测热奶茶的销售杯数为1178.1168.146150.2ˆ≈=+⨯-=y (杯) ......................8分（Ⅱ）设A 表示事件“所选取该天的热奶茶销售杯数大于120”，B 表示事件“所选取该天的热奶茶销售杯数大于130”，则“已知所选取该天的热奶茶销售杯数大于120时，销售杯数大于130”应为事件A B |..................................................10分∵53)(=A P ，52)(=AB P ∴32)()()|(==A P AB P A B P ∴已知所选取该天的热奶茶销售杯数大于120时，销售杯数大于130的概率为32.....12分20.【答案】（1）椭圆的方程为；（2）面积的最大值为：.【解析】(1) 由椭圆的离心率为,点在椭圆上得解得所以椭圆的方程为. (2)易得直线的方程为.当直线的斜率不存在时，的中点不在直线上，故直线的斜率存在. 设直线的方程为,与联立消得,所以.设,则,.由,所以的中点,因为在直线上，所以,解得所以,得,且,又原点到直线的距离,所以，当且仅当时等号成立，符合,且.所以面积的最大值为：.21. 21. 解：（1）()ln(1)g x x ax =+-（1x >-），1()1g x a x '=-+若0a ≤，则1()01g x a x '=-≥+，它为(1,)-+∞上的增函数，若0a >，则增区间为1(1,1)a --，减区间为1(1,)a -+∞…………3分（2）2212122111121(ln 2)1AB x x x k x x x x x x x --=-+-+令211x t x =>，1()ln 21t h t t t -=-+，2'2212(1)()20(1)(1)t h t t t t t -=-=>++，而(1)0h =.故在(1,)+∞单调递增，故0122()AB k f x x x '>=+…………7分（3）当(1,)x ∈+∞时，原不等式等价于2ln 1x e x x >-，由（2）知1ln 21x x x ->+，即证21211x x e x x -⨯>-+，转化为21(1)2x e x >+.令21()(1)2x F x e x =-+，'()(1)0xF x e x =-+≥，(1)20F e =->，故(1,)x ∈+∞也成立. 12分22、解析：（1）5)6sin(=-πθρ ，即10cos sin 3=-θρθρ，又θρθρsin ,cos ==y x .∴直线l 的直角坐标方程为0103=+-y x .曲线⎪⎩⎪⎨⎧+-==ααsin 22,cos 2y x C ：（α为参数），消去参数α可得曲线C 的普通方程为2)2(22=++y x . （2）由（1）可知，曲线C 是以)2,0(-为圆心，2为半径的圆. 圆心)2,0(-到直线l 的距离35)1()3(10)2(3022+=-+--⨯-=d ，∴点P 到直线l 距离的最大值为235++.23. 解：(Ⅰ)由()1f x ≤得|32|1x +≤， 所以1321x -≤+≤，解得113x -≤≤-，所以，()1f x ≤的解集为113⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，. …………………………5分(Ⅱ)()2f x a x ≥恒成立，即232x a x +≥恒成立. 当0x =时，a R ∈；当0x ≠时，23223x a x x x+≤=+.因为23x x +≥当且仅当23x x =，即x =时等号成立)， 所以a ≤a 的最大值是…………………………10分。
河北省武邑中学2018届高三下学期开学考试数学(理)试题 Word版含答案
河北武邑中学2017-2018学年下学期开学考试数学（理科）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合1|02x A x x +⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，{}1,0,1,2B =-，则A B =( ） A ．{}1,0,1-B ．{}0,1,2C ．{}1,0,1,2-D ．{}1,22.设常数a R ∈，集合{}|(1)(2)0A x x x =--≥，{}|B x x a =≥，若A B R =，则a 的取值范围为（ ） A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞3.我国古代数学算经史书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（ ） A ．104人B ．108人C ．112人D ．120人4.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c o s c o s a A b B =，则ABC ∆为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 5.2cos()4θθ=+，则sin 2θ=（ ）A ．13B ．23-C ．23D ．13-6.已知函数22()log ||f x x x =+，则不等式(1)(1)0f x f --<的解集为（ ）A ．(0,2)B ．(1,2)-C ．(0,1)(1,2)D ．(1,1)(1,3)-7.设向量a ，b 满足||2a =，||1b =，且()b a b ⊥+，则向量b 在向量2a b +方向上的投影为（ ）A ．1B ．1-C ．12-D ．128.四面体ABCD 的各条棱长都相等，E 为棱AD 的中点，过点A 作平面BCE 平行的平面，该平面与平面ABC 、平面ACD 的交线分别为1l 、2l ，则1l ，2l 所成角的余弦值为（ ）A B C ．13D 9.已知函数2()3x f x e x -=+-与()ln g x ax x =-，设{}|()0x R f x α∈∈=，{}|()0x R g x β∈∈=，若存在α，β，使得||1αβ-≤，则实数a 的取值范围为（ ）A ．ln 31,3e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ln 30,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,e⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,e⎡⎤⎢⎥⎣⎦10.已知抛物线C ：28y x =上一点P ，直线1l ：2x =-，2l ：35300x y -+=，则P 到这两条直线的距离之和的最小值为（ ）A ．2B ．C D 11.过双曲线221916x y -=的右支上一点P ，分别向圆1C ：22(5)4x y ++=和圆2C ：222(5)x y r -+=（0r >）作切线，切点分别为M ，N ，若22||||PM PN -的最小值为58，则r =（ ）A ．1B C D ．212.已知函数32231,0,()1,0ax x x x f x e x ⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩在[]2,2-上的最大值为5，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2ln 2,)-+∞B ．[]0,ln2C ．(,0]-∞D ．[ln 2,)-+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知231()2m =，4xn =，则4log m = ；满足log 1n m >的实数x 的取值范围是 ．14.三棱锥A BCD -中，底面BCD ∆是边长为3的等边三角形，侧面ACD ∆为等腰三角形，2AB =，则三棱锥A BCD -外接球表面积是 ．15.已知双曲线C ：22221x y a b-=的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若73FM FN =，则双曲线的渐近线方程为 ． 16.已知函数2()ln f x a x bx =-，a ，b R ∈，若不等式()f x x ≥对所有的(,0]b ∈-∞，2(,]x e e ∈都成立，则a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数22()2sin 2sin ()6f x x x π=--，x R ∈．（1）求函数()y f x =的对称中心；（2）已知在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且()262B b cf aπ++=，ABC ∆ABC ∆周长的最大值．18.设{}2|40,A x x x x R =+=∈，{}22|2(1)10,B x x a x a x R =+++-=∈，若A B B =，求a 的取值范围．19.如图四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是梯形，//AB CD ，BC CD ⊥，4AB PD ==，2CD =，AD =M 为CD 的中点，N 为PB 上一点，且PN PB λ=（01λ<<）．（1）若14λ=时，求证：//MN 平面PAD ；（2）若直线AN 与平面PBC AD 与直线CN 所成角的余弦值．20.如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，其左右焦点为1(1,0)F -、2(1,0)F ，过点1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于D 、E 两点，且1||AF 、12||F F 、2||AF 构成等差数列．（1）求椭圆C 的方程；（2）记1G FD ∆的面积为1S ，OED ∆（O 为原点）的面积为2S ，试问：是否存在直线AB ，使得1212S S =？说明理由．21.已知函数21()ln 2f x x x x =-． （1）若函数()f x m ≥在(0,2)上恒成立，求实数m 的取值范围； （2）设函数()xg x a a=-（0a >且1a ≠），若函数[]()()'()1F x g x f x x =+-的图象与x轴交于点1(,0)A x ，2(,0)B x 两点，且0x 是函数()y F x =，0x ，122x x +的大小． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,32sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数，2παπ≤≤），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()42πρθ-=． （1）求曲线1C 与2C 的直角坐标方程；（2）当1C 与2C 有两个公共点时，求实数t 的取值范围． 23.选修4-5：不等式选讲 设函数()|22||2|f x x x =+--． （1）求不等式()2f x >的解集； （2）若x R ∀∈，27()2f x t t =-恒成立，求实数t 的取值范围． 河北武邑中学2017-2018学年下学期开学考试数学（理科）试卷答案 一、选择题1-5:ABBDB 6-10:CDBCD 11、12：BD二、填空题13.13-；1(,0)3- 14.16π 15.2y x =±16.2[,)2e +∞三、解答题17.解：由()1cos 21cos 2()cos(2)cos 263f x x x x xππ⎡⎤=----=--⎢⎥⎣⎦1cos 22cos 22x x x =-12cos 22x x =-sin(2)6x π=-．（1）令26x k ππ-=（k Z ∈），则212k x ππ=+（k Z ∈）， 所以函数()y f x =的对称中心为(,0)212k ππ+（k Z ∈）．（2）由()262B b c f a π++=，得sin()62b c B a π++=1cos 22b c B B a++=，sin cos B a B b c +=+，sin sin cos sin sin A B A B B C +=+，整理得sin sin cos sin A B B A B =+，又因为sin 0B ≠cos 1A A -=，整理得1sin()62A π-=， 由0A π<<，得5666A πππ-<-<，所以66A ππ-=，即3A π=，又ABC ∆3a A ==， 由余弦定理得：222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-2()3b c bc =+-2223()()()44b c b c b c +≥+-+=，即6b c +≤，当且仅当b c =时取等号， 所以周长的最大值为9． 18.解：{}4,0A =-， 由AB B =，得B A ⊆，当[]222(1)4(1)0a a ∆=+--<，即1a <-时，B =∅，符合题意；当[]222(1)4(1)0a a ∆=+--≥，即1a ≥-时，若1a =-，则{}0B =，符合题意； 当1a >-时，由B A ⊆，且{}4,0A =-， 可知12a +=，1a =， ∴满足AB B =的实数a 的取值范围为1a =或1a ≤-．19.（1）证明：若14λ=时，14PN PB =，在PA 上取14PE PA =， 连接EN ，DE ，∵14PN PB =，14PE PA =，4AB =，∴//EN AB ，且114EN AB ==，∵M 为CD 的中点，2CD =，∴112DM CD ==，又∵//AB CD ，∴//EN DM ，∴四边形DMNE 是平行四边形，∴//MN DE ， 又∵DE ⊆平面PAD ，MN ⊄平面PAD ， ∴//MN 平面PAD ．（2）如图所示，过点D 作DH AB ⊥于H ，则DH CD ⊥，则以D 为坐标原点建立空间直角坐标系D xyz -，∴点(0,0,0)D ，(0,1,0)M ，(0,2,0)C ，(2,2,0)B ，(2,2,0)A -，(0,0,4)P ，(2,0,0)CB =，(0,2,4)CP =-，(2,2,4)(2,2,4)(22,22,44)AN AP PN AP PB λλλλλ=+=+=-+-=-+-，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,CB n CP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,240,x y z =⎧⎨-+=⎩令1z =，则2y =，0x =，∴(0,2,1)n =，设直线AN 与平面PBC 所成的角为θ，则||sin |cos ,|||||5AN n AN n AN n θ⋅=<>===⋅，解得13λ=，则228(,,)333N，248(,,)333CN=-，(2,2,0)AD=-，设直线AD与直线CN所成角为α，则cos|cos,|14AD CNα=<>==，所以直线AD与直线CN20.解：（1）因为1||AF、12||F F、2||AF构成等差数列，所以12122||||2||4a AF AF F F=+==，所以2a=，又因为1c=，所以23b=，所以椭圆C的方程为22143x y+=．（2）假设存在直线AB，使得1212S S=，显然直线AB不能与x，y轴垂直．设AB方程为(1)y k x=+（0k≠），将其代入22143x y+=，整理得2222(43)84120k x k x k+++-=，设11(,)A x y，22(,)B x y，所以2122843kx xk-+=+，故点G 的横坐标为21224243x x k k +-=+，所以22243(,)4343k kG k k -++， 设(,0)D D x ，因为DG AB ⊥，所以2223431443Dkk k kx k +⋅=---+， 解得2243D k x k -=+，即22(,0)43k D k -+． ∵1Rt GDF ∆和Rt ODE ∆相似，且1212S S =，则|||GD OD =，，22|43k k -=+，整理得2390k -+=，因此23k =，k = 所以存在直线AB，方程为1)y x =+．21.解：（1）'()ln 1f x x x =+-，令()ln 1h x x x =+-，则11'()1xh x x x-=-=， ∴当01x <<时，'()0h x >，()h x 单调递增； 当12x <<时，'()0h x <，()h x 单调递减， ∴()(1)0h x h ≤=，∴'()0f x ≤，即ln 10x x +-≤，① ∴()f x 在(0,2)单调递减， ∴(2)2ln 22m f ≤=-．（2）()ln ()0x F x x a a =-=，则ln 0x =或0xa a -=，不妨取11x =，22x a =，又ln 1'()x a F x a x a =-+，令ln 1()x a x a x a ϕ=-+，则21'()0ax ax xϕ=+>， ∴()x ϕ在(0,)+∞上单调递增．又ln 11()1(ln 1)a a a a a a aϕϕ==-+=-+， 由①式可知ln 10a a -+<（0a >，且1a ≠）， 所以()0a ϕ<，即0ϕ<，又2212211121()()ln 2221x x a a a a a a ϕϕ+++==⋅-++22112(ln 1)21a a a +=+-+， 由①式知，取221x a =+，则0x >且1x ≠，得2222ln 1011a a -+<++， ∴2212ln1021a a ++->+，∴12()02x x ϕ+>， 又0x 是()F x 的极值点，∴0'()0F x =，即0()0x ϕ=，∴120()()2x x x ϕϕϕ+<<， 又()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，1202x x x +<<． 22.解：（1）∵曲线1C 的参数方程为22cos ,32sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数，2παπ≤≤），∴曲线1C 的普通方程为：22(2)(3)4x y -+-=（04x ≤≤，13y ≤≤），∵曲线2C的极坐标方程为(cos )222ρθθ-=， ∴曲线2C 的直角坐标方程为0x y t -+=．（2）∵曲线1C 的普通方程为：22(2)(3)4x y -+-=（04x ≤≤，13y ≤≤）为半圆弧，由曲线2C 于1C 有两个公共点，则当2C 与1C2=，整理得|1|t -=∴1t =-或51=（舍去）， 当2C 过点(4,3)时，430t -+=，∴当1C 与2C有两个公共点时，11t -<≤-．23.解：（1）4,1,()3,12,4, 2.x x f x x x x x --<-⎧⎪=-≤<⎨⎪+≥⎩当1x <-时，42x -->，6x <-，∴6x <-；当12x -≤<时，32x >，23x >，∴223x <<； 当2x ≥时，42x +>，2x >-，∴2x ≥． 综上所述，不等式的解集为2|63x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或． （2）易得min ()(1)3f x f =-=-，若x R ∀∈，211()2f x t t ≥-恒成立， 则只需2min7()32f x t t =-≥-，即22760t t -+≤，整理得322t ≤≤， 综上所述322t ≤≤．。
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【全国百强校】河北省武邑中学2018届高三下学期
第一次模拟考试数学（文）试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 复数的虚部为（ ）
A．-4 B． C． D．3
2. 若，则（ ）
A．
B． C．1 D．-1
3. 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以
为
A． B． C． D．
4. 已知直线，平面，且，给出下列四个命题：
（1）若，则 （2）若，则
（3）若，则 （4）若，则
其中正确命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：），则该几
何体的体积是( )
A． B． C． D．
6. 我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“有个金球里面空，球
高尺二厚三分，一寸自方十六两，试问金球几许金？”意思是：有一个空心金
球，它的直径12寸，球壁厚0.3寸，1立方寸金重1斤，试问金球重是多少
斤？（注）（ ）
A．125.77 B．864 C．123.23 D．369.69
7. 执行下面的程序框图，如果输入，，则输出的（ ）
A．7 B．20 C．22 D．54
8. 是圆上两个动点，，，为线段
的中点，则值为（ ）
A． B． C． D．
9. 一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如
下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷
的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经
过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只
有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )
A．乙 B．甲 C．丁 D．丙
10. 椭圆C：的左右顶点分别为，点P在C上且直线斜率
的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（）
A． B． C． D．
11. 已知是函数的零点，是函数
的零点，且满足，则实数的最小值是
（ ）
A．
B．
C．-2 D．-1
12. 已知函数，若在其定义域内存在实数满足，则称函
数为“局部奇函数”，若函数是定义在上的“局部
奇函数”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13. 已知偶函数在上单调递减，且，若，则
的取值范围是__________．
14. 设抛物线的焦点为是抛物线上一点，的延长线与轴相交
于点，若，则__________．
15. 已知数列的前n项和为，且，，则的值为
______．
三、解答题
16. 在中，分别是角的对边，向量，向量
，且.
（1）求的大小；
（2）若，求的最小值.
17.
某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一
批该日用
品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
X 1 2 3 4 5
频率 a 0.2 0.4 b c
（I）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的
恰有2件，
求a，b，c的值；
(Ⅱ)在（I）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系
数为5的2件
日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取两件(假定每件
日用品被取出
的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等
的概率
18. 如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，
，为与的交点，为棱上一点.
（1）证明：平面平面；
（2）若平面，求三棱锥的体积.
19. 已知椭圆：（）经过点，且两个焦点，
的坐标依次为和.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，是椭圆上的两个动点，为坐标原点，直线的斜率为，
直线的斜率为，若，证明：直线与以原点为圆心的定圆相
切，并写出此定圆的标准方程.
20. 函数.
(I)求的单调区间；
(II)若，求证：.
21. （选修4-4.坐标系与参数方程）
在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以
该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极
坐标方程为.
（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）设点，直线与曲线相交于两点，且，求实数
的值.
22. 已知，，且.
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)证明：.