名师评点福建省高考质检数学试卷
2023年福建高三省质检数学试题及答案解析
你若盛开，蝴蝶自来。
2023年福建高三省质检数学试题及答案解析2023年福建高三省质检数学试题及答案解析2023届福建高三“省质检”联考考试时间支配在2023年4月6日-4月8日。
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而此前有消息称，本次“省质检”漳州的阅卷时间自4月6日下午开头，至10日中午结束。
也就是说目前已考完科目正在阅卷中，最快的话这两天就会有部分学校可以领先查到部分科目的成果了，10日晚上估计全部科目可查。
高三模拟考试和高考哪个难第1页/共3页千里之行，始于足下。
这个回答没有肯定的答案，由于每年的模拟卷内容不通、高考的考卷难度也不同。
而且由于考生的成果不同，对于考卷的难易程度推断也不同。
所以这个问题没有准确的答案。
假如根据总体的水平来评估，高考试卷的难度不会高于模拟考试卷，高考中基础部分和中级难度的题目占比在80%左右，只有20%是拔高题。
所以假如基础学问打的好，那么对于考生来说，高考题目不难。
高考的题目的难度是在问法、提问方式上，而并不是运用了超纲的学问点，与大家传统意义上的难度不通。
相比高考的难度，模拟考要更难一点。
由于模拟考试的目的是期望通过考试来推断同学对学问点的把握状况，假如过于简洁就起不到探底的目的。
高考与模拟考试分数差的大吗1、历次高三模拟考试的平均分最接近高考成果：理科生都知道，做试验减小误差的方法就是多做几次，然后求平均值。
所以想知道自己高考也许能考多少分或者说高考与模拟考会差多少分，那你可以把自己做的全部模拟题的分数加起来取平均值，多次模拟考试的平均分最接近高考成果。
2、最终高三两三次的模拟考试分数比较接近高考分数：一般状况下，前几次的高考模拟题，老师一般出题比较偏难一点，主要是为了让高三的同学收收心，让他们更快的投入到高考冲刺阶段。
福建省福州市2023届高三质量检测数学试题
一、单选题二、多选题1. 设函数，若，，，则，，的大小为（ ）A．B．C．D．2. 已知函数，设方程的四个实根从小到大依次为，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中正确的个数为（ ）（1）或；（2）且；（3）或；（4）且．A ．3B ．2C ．1D ．03. 已知抛物线的焦点为F ，点A 在C 上．O 为坐标原点，若，则的面积为（ ）A ．1B ．2C．D．4. 下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（ ）A．B．C．D．5.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位6. 等差数列，，，……，的公差为，若以上述数列，，，……，为样本，则此样本的方差为A．B．C．D．7. 设、是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ）A ．若，，，则B．若，，则C ．若，，则D ．若，，，则8. 如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），已知该扇环的面积为，两段圆弧所在圆的半径分别为3和6，则该圆台的体积为（）A．B．C．D．9. 下列命题中，正确的命题的序号为（ ）A．已知随机变量服从二项分布，若，则B ．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C ．设随机变量服从正态分布，若，则D ．某人在10次射击中，击中目标的次数为，则当时概率最大10.已知圆：，直线：，则下列说法正确的是（ ）A ．当时，直线与圆相离福建省福州市2023届高三质量检测数学试题福建省福州市2023届高三质量检测数学试题三、填空题四、解答题B ．若直线是圆的一条对称轴，则C ．已知点为圆上的动点，若直线上存在点，使得，则的最大值为D ．已知，，为圆上不同于的一点，若，则的最大值为11. 某地卫健委为监测当地居民的某健康指标，随机抽取100人，检测该健康指标的指标值，并按四个区间分组制作图表如下所示，根据下列相关信息，则（）指标区间男､女人数比(男性：女性)城､乡人数比(城市户口：乡村户口)A．该地居民的健康指标值的众数的估计值为1B ．该地居民的健康指标值的中位数的估计值为0C ．样本数据中，的男性中至少有1人是城市户口D ．若从该地居民中随机任选3人，恰有1人的的概率为12. 已知m 、n 为两条不重合的直线，、为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若，且，则B ．若，，，则C ．若，，，则D ．若，，，，则13. 已知，那么，当代数式取最小值时，点的坐标为________14.若，，则__________．15.曲线在点处的切线方程为______．16.已知数集.如果对任意的i ，j (且)，与两数中至少有一个属于A .则称数集A 具有性质P .（1）分别判断数集是否具有性质P ，并说明理由：（2）设数集具有性质P .①若，证明：对任意都有是的因数；②证明：.17. 已知,分别为等腰直角三角形的边上的中点，，现把沿折起（如图2），连结，得到四棱锥．（1）证明：无论把转到什么位置，面面；（2）当四棱锥的体积最大时，求到面的距离及体积的最大值．18. 设公差大于0的等差数列的前项和为.已知，且成等比数列，记数列的前项和为.(1)求；(2)若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.19. 十三届全国人大四次会议表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要，纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”．某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流、大束流、高能、特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28nm，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案．此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献．该企业使用新技术对某款芯片进行试生产，在试产初期，生产一件该款芯片有三道工序，每道工序的生产互不影响，这三道工序的次品率分别为，，．(1)①求生产一件该芯片的次品率．②试产100件该芯片，估计次品件数的期望．(2)某手机生产厂商将该款芯片投入到某新款手机上使用，并对部分芯片做了技术改良，推出了两种型号的手机，甲型号手机采用没有改良的芯片，乙型号手机采用改良了的芯片，现对使用这两种型号的手机用户进行回访，就他们对开机速度进行满意度调查．据统计，回访的100名用户中，使用甲型号手机的有30人，其中对开机速度满意的有15人；使用乙型号手机的有70人，其中对开机速度满意的有55人．完成下列列联表，并判断是否有99.5%的把握认为该项技术改良与用户对开机速度的满意度有关．甲型号乙型号合计满意不满意合计附：，．0.0500.0100.0050.0013.841 6.6357.87910.82820. 如图所示，三棱柱中，，面面，，与相交于．(1)求证：面；(2)求三棱锥的体积；(3)求二面角的余弦值．21. 在三棱锥中，，，M为棱BC的中点.(1)证明：；(2)若平面平面ABC，，，E为线段PC上一点，，求点E到平面PAM的距离.。
福建省宁德市普通高中2023届高三质量检测数学试题(含答案解析)
福建省宁德市普通高中2023届高三质量检测数学试题(含答案解析)福建省宁德市普通高中2023届高三质量检测数学试题(含答案解析)【注意】本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1 至10题为选择题，每小题2分，共20分；第Ⅱ卷为非选择题，共80分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共20分）一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 将函数$f(x)= \sin(x-\frac{\pi}{6})+2x$ 的图像上对称的两个点P和Q分别对应于$f(x)=7$ 和$f(x)=-1$，则点P和Q的坐标分别是（）A. $\left(\frac{5\pi}{6}, 7\right), \left(\frac{11\pi}{6}, -1\right)$B. $\left(\frac{5\pi}{6}, -1\right), \left(\frac{7\pi}{6}, 7\right)$C. $\left(\frac{5\pi}{6}, 7\right), \left(\frac{7\pi}{6}, -1\right)$D. $\left(\frac{7\pi}{6}, -1\right), \left(\frac{11\pi}{6}, 7\right)$【解析】根据函数图像对称性和点过该函数能确定两个点，即可得到答案为C。
2. 若$\frac{(x+2)^2-1}{x+1}>0$，则实数x的取值范围是（）A. $x>2$ 或 $-1<x<-2$B. $x>2$ 或 $-1<x<-2$ 或 $x<-3$C. $x<-3$ 或 $-2<x<-1$D. $x>-3$ 或 $x<-1$ 或 $x<-2$【解析】根据不等式性质和解析式展开，结合一元二次不等式求解可得答案为B。
2024福建省泉州市高三高中毕业班质量监测数学试题与解析
保密★使用泉州市2024届高中毕业班质量监测（一）2023.08数学考试用时120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合(){}30A x x x =∈-<Z ，{}1,2,3B =-，则A B = （）A.{}2 B.{}2,3 C.{}1,1,2,3- D.∅2.已知复数21iz =-，则2i z +=（）A.C. D.103.已知2sin 21cos 2αα=+，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α=（）A.2-B.12-C.12D.24.已知函数()2f x x =，()22x x g x -=-，如图是下列四个函数中某个函数的大致图象，则该函数是（）A.()()f xg x + B.()()f xg x ⋅ C.()()g x f x D.()()f xg x5.已知双曲线222:16x y C a -=的焦距为C 的渐近线方程是（）A.y x =±B.y =C.3y x =±D.7y x =±6.记等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若33S =，8596S S -=-，则6S =（）A.3- B.6- C.21- D.24-7.已知函数())2sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,2内有且仅有3个零点，则ω的值可以是（）A.3B.5C.7D.98.方程2y xx y x y x=满足x y ≤的正整数解的组数为（）A.0B.1C.2D.无数组二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9.已知函数()22,1,log ,1,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩则下列结论正确的是（）A.()()03f f <B.()f x 为增函数C.()f x 的值域为()0,+∞ D.方程()f x a =最多有两个解10.某市组织全市高中学生进行知识竞赛，为了解学生知识掌握情况，从全市随机抽取了100名学生，将他们的成绩（单位：分）分成5组：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中未知的数据a ，b ，c 成等差数列，成绩落在[)60,70内的人数为40.从分数在[)70,80和[)80,90的两组学生中采用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中抽取3人，记3人中成绩在[)80,90内的人数为ξ，设事件A =“至少1人成绩在[)80,90内”，事件B =“3人成绩均在[)70,80内”.则下列结论正确的是（）A.0.03b =B.()65E ξ=C.A 与B 是互斥事件，但不是对立事件D.估计该市学生知识竞赛成绩的中位数不高于72分11.已知圆柱12OO 的轴截面是正方形ABCD ，AB 为底面圆1O 的直径，点E 在圆1O 上，点F 在圆2O 上，且E ，F 不在平面ABCD 内.若A ，E ，C ，F 四点共面，则（）A.直线BE ∥平面ADFB.直线BD ⊥平面AECFC.平面ADF ∥平面BCED.平面BEF ⊥平面AECF12.已知ABP △的顶点P 在圆()()22:3481C x y -+-=上，顶点A ，B 在圆22:4O x y +=上.若AB =）A.ABP △的面积的最大值为B.直线PA 被圆C截得的弦长的最小值为C.有且仅有一个点P ，使得ABP △为等边三角形D.有且仅有一个点P ，使得直线PA ，PB 都是圆O 的切线泉州市2024届高中毕业班质量监测（一）2023.08数学三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高中数学 2023年福建省福州高考数学第十二次质检试卷
（VIP&校本题库）2023年福建省福州三中高考数学第十二次质检试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A ．-1B ．0C ．1D ．21．（5分）已知i 5=a +bi （a ,b ∈R ），则a +b 的值为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（5分）满足等式{0，1}∪X ={x ∈R |x 3=x }的集合X 共有（ ）A ．a >0B ．a >1C ．a ≥0D ．a ≥13．（5分）设p ：4x -3<1；q ：x -（2a +1）<0，若p 是q 的充分不必要条件，则（ ）A ．2−1B ．1C ．2D ．24．（5分）已知点Q 在圆C ：x 2-4x +y 2+3=0上，点P 在直线y =x 上，则PQ 的最小值为（ ）√√A ．π3B ．2π3C ．π6D ．5π65．（5分）已知a ，b 为单位向量，且|3a −5b |=7，则a 与a −b 的夹角为（ ）→→→→→→→A ．1681B ．2081C ．827D ．10276．（5分）将一个顶角为120°的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等分点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作．如果这个操作过程无限继续下去…，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的K och 曲线，如图所示已知最初等腰三角形的面积为1，则经过4次操作之后所得图形的面积是（ ）A ．15B ．310C ．325D ．6257．（5分）安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（ ）8．（5分）在某次数学节上，甲、乙、丙、丁四位同学分别写下了一个命题：甲：ln 3<3ln 2；√二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，漏选得2分，选错得0分.A ．甲和乙B ．甲和丙C ．丙和丁D ．甲和丁乙：lnπ<πe；丙：212<12；丁：3eln 2>42．所写为真命题的是（ ）√√√A ．f （x ）的最小正周期为πB ．f （x ）在区间[−π6，π3]上单调递增C ．f （x ）的图象关于直线x =π3对称D ．f （x ）的图象关于点(π6，0)对称9．（5分）已知函数f （x ）的图象是由函数y =2sinxcosx 的图象向右平移π6个单位得到，则（ ）A ．C 1D 1∥平面ABMB ．向量AM 在向量AC 上的投影向量为12ACC ．棱锥M -ABCD 的内切球的半径为31010D ．直线AM 与BC 所成角的余弦值为111110．（5分）长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，中AA 1=3，底面ABCD 是边长为2的正方形，底面为A 1B 1C 1D 1的中心为M ，则（ ）→→→√√A ．a 2e =1B ．A 2B •FB =0C ．顶点到渐近线的距离为eD ．△A 2FB 的外接圆的面积为2+54π11．（5分）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究发现了黄金分割数5−12（5−12=0.618），简称黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若黄金双曲线x 2a2-y 2=1（a >0）的左右顶点分别为A 1，A 2，虚轴的上端点为B ，左焦点为F ，离心率为e ,则（ ）√√→→√A ．b =-212．（5分）设函数f （x ）的定义域为R ，f （2x +1）为奇函数，f （x +2）为偶函数，当x ∈[0，1]时，f （x ）=a x +b .若f （0）+f （3）=-1，则（ ）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.B ．f （2023）=-1C ．f （x ）为偶函数D ．f （x ）的图像关于(12，0)对称13．（5分）若（1-2x ）5（x +2）=a 0+a 1x +…+a 6x 6，则a 3=．14．（5分）某学校组织1200名学生进行“防疫知识测试”．测试后统计分析如下：学生的平均成绩为x =80，方差为s 2=25．学校要对成绩不低于90分的学生进行表彰．假设学生的测试成绩X 近似服从正态分布N （μ，σ2）（其中μ近似为平均数x ，σ2近似为方差s 2，则估计获表彰的学生人数为．（四舍五入，保留整数）参考数据：随机变量X 服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ-σ<X <μ+σ）=0.6827，P （μ-2σ<X <μ+2σ）=0.9545，P （μ-3σ<X <μ+3σ）=0.9973．15．（5分）已知抛物线y 2=2x 与过点T （6，0）的直线相交于A ，B 两点，且OB ⊥AB （O 为坐标原点），则三角形OAB 的面积为．16．（5分）已知函数f (x )=V Y W Y X ex −1+1，x ≤1|ln (x −1)|，x >1则函数F (x )=f [f (x )]−2f (x )−12的零点个数为 ．17．（10分）记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S n =a n2+n 2+1，n ∈N *．（1）求a 1+a 2，并证明{a n +a n +1}是等差数列；（2）求S n ．18．（12分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b +c =2asin (C +π6)．（1）求A ；（2）设AB 的中点为D ，若CD =a ,且b -c =1，求△ABC 的面积．19．（12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥AB ，且PD =PB ，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD =π3．（1）证明：平面PAC ⊥平面ABCD ；（2）若PA ⊥PC ，求平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值．20．（12分）有研究显示，人体内某部位的直径约10mm 的结节约有0.2%的可能性会在1年内发展为恶性肿瘤．某医院引进一台检测设备，可以通过无创的血液检测，估计患者体内直径约10mm 的结节是否会在1年内发展为恶性肿瘤，若检测结果为阳性，则提示该结节会在1年内发展为恶性肿瘤，若检测结果为阴性，则提示该结节不会在1年内发展为恶性肿瘤．这种检测的准确率为85%，即一个会在1年内发展为恶性肿瘤的患者有85%的可能性被检出阳性，一个不会在1年内发展为恶性肿瘤的患者有85%的可能性被检出阴性．患者甲被检查出体内长了一个直径约10mm 的结节，他做了该项无创血液检测．（1）求患者甲检查结果为阴性的概率；（2）若患者甲的检查结果为阴性，求他的这个结节在1年内发展为恶性肿瘤的概率（结果保留5位小数）；（3）医院为每位参加该项检查的患者缴纳200元保险费，对于检测结果为阴性，但在1年内发展为恶性肿瘤的患者，保险公司赔付该患者20万元，若每年参加该项检查的患者有1000人，请估计保险公司每年在这个项目上的收益．21．（12分）设椭圆E ：x 2a2+y 2b2=1（a >b >0）的左、右焦点分别为F 1（-c ,0），F 2（c ,0），离心率为33，若椭圆E 上的点到直线l ：x =a 2c 的最小距离为3−3．（1）求椭圆E 的方程；（2）过F 1作直线交椭圆E 于A ，B 两点，设直线AF 2，BF 2与直线l 分别交于C ，D 两点，线段AB ，CD 的中点分别为M ，N ，O 为坐标原点，若M ，O ，N 三点共线，求直线AB 的方程．√√22．（12分）已知函数f （x ）=e x sinx +ax ,x ∈[0，π2]．（1）若a =-1，求f （x ）的最小值；（2）若f （x ）有且只有两个零点，求实数a 的取值范围．。
2024届福建3月省质检数学试题答案
数学参考答案及评分细则 第1页（共 11页）2024届高中毕业班适应性练习卷数学参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分40分．1．B 2．D 3．A 4．C 5．A 6．C 7．B 8．B二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题6分，满分18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．AD 10．ABD 11．BCD三、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分15分．12．0.2718 13．56π；80π（仅答对一空给3分） 14四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性和综合性．满分13分．解法一：（1）由πDAC BAC ∠+∠=，可得sin sin BAC DAC ∠=∠. ··············································· 1分 在ABC △中，由正弦定理，得sin sin AB BCC BAC=∠， ···························································· 3分所以sin sin BC CAB BAC=∠. 在ADC △中，由正弦定理，得sin sin AD CD C DAC=∠，··························································· 5分 所以sin sin CD CAD DAC=∠. 故AB BCAD CD=. ············································································································· 6分 因为D 为BC 的中点，所以2BCCD=，即2AB AD =. ································································ 7分 （2）由（1）不妨设AD x =，2AB x =，AC y =，BC =. ················································· 8分在ADC △中，由余弦定理，得cos C = ······················································ 9分在ABC △中，由余弦定理，得cos C = ················································ 10分= ···································································· 11分解得2232x y =. ·········································································································· 12分A D C B故cos C= ····································································· 13分解法二：（1）由πDAC BAC∠+∠=，得sin sinBAC DAC∠=∠. ················································· 1分因为D为BC的中点，所以2BCCD=，所以2ABCADCSS=△△. ···················································· 3分又因为1sin2ABCS AB AC BAC=⋅∠△， ········································································ 4分1sin2ADCS AD AC DAC=⋅∠△，················································································· 5分所以1sin221sin2AB AC BACAD AC DAC⋅∠=⋅∠， ················································································ 6分故2ABAD=.··········································································································· 7分（2）由（1）不妨设AD x=，2AB x=，AC y=，BC=.····································· 8分在ABD△中，由余弦定理，得cos ADB∠ ···································· 9分在ACD△中，由余弦定理，得cos ADC∠ ······································ 10分因为πADB ADC∠+∠=，所以cos cos0ADB ADC∠+∠=.+=，························································· 11分解得2232x y=. ···································································································· 12分故cos C=.··························································· 13分解法三：（1）设DACθ∠=.由πDAC BAC∠+∠=，得πBACθ∠=−，所以π2BADθ∠=−. ··········· 1分因为D为BC的中点，所以ABD ACDS S=△△， ······························································· 2分所以11sin(π2)sin22AB AD AC ADθθ⋅−=⋅， ······························································ 3分即sin2sinAB ACθθ=.因为sin22sin cosθθθ=，所以2cosAB ACθ=. ····························· 4分因为2AD AB AC=+，所以22242AD AB AC AB AC=++⋅ (5)分即22224||||4||cos4||(||cos)cos(π)AD AB AB AB ABθθθ=++⋅−.······································· 6分所以2||||AD AB=，即2ABAD=. ················································································ 7分（2）由（1）不妨设AD x=，2AB x=，AC y=，BC=.····································· 8分在ADC△中，由余弦定理，得cosθ=. ················································ 9分在ABC△中，由余弦定理，得cos(π)θ−10分AD CBθB CDA数学参考答案及评分细则第2页（共 11页）数学参考答案及评分细则 第3页（共 11页）所以cos cos(π)0θθ+−=+. ································· 11分 解得2232x y =. ···································································································· 12分故cos C=. ··························································· 13分 解法四：（1）取AB 中点E ，连结DE . ················································································ 1分又D 为BC 中点，所以DE AC ∥，··········································································· 2分 所以πBAC DEA ∠+∠=，DAC EDA ∠=∠. ································································· 4分 又πDAC BAC ∠+∠=，所以DAC DEA ∠=∠，故DEA EDA ∠=∠， ································· 5分所以AE AD =. ····································································································· 6分又2AB AE =，故2ABAD=. ······················································································ 7分 （2）不妨设AC y =，BC =.过A 作AF DE ⊥于点F ，过D 作DG AC ⊥于点G . ····················································· 8分又DE AC ∥，所以122yDE AC==，且AF AC ⊥， ······················································· 9分 所以四边形AFDG 为矩形.因为AE AD =，所以124y DF DE==. ······································································ 10分 所以4yAG DF ==，所以34y CG =. ········································································· 11分 又12CD BC ==，··························································································· 12分 所以cos CG C CD == ················································································· 13分 16．本小题主要考查递推数列、等差数列、等比数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力等，考查化归与转化思想、分类与整合思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性．满分15分．解法一：（1）因为2218n n a a n +−=，11a =，0n a >， 所以，当1n =时，22218a a −=，222189a a +，所以23a =． ····························································· 1分 当2n =时，223282a a −=×，22321625a a =+=，所以35a =． ··············································· 2分 当2n 时，22222222112211()()()n n n n n a a a a a a a a −−−=−+−++−+ ·················································· 3分8(1)8(2)811n n =−+−++×+ ························································································ 4分8[12(1)]1n +++−+(1)812n n −=×+······················································································· 5分 2(21)n −，··························································································· 6分 所以21na n =−.·········································································································· 7分 当1n =时，11a =也符合上式．综上，*21()n a n n =−∈N . ····························································································· 8分G F EB C D A数学参考答案及评分细则 第4页（共 11页）（2）由（1）得211421,2,n n n n b n −+− = 为奇数,为偶数,即221,2,nn n n b n − = 为奇数,为偶数.··············································· 9分 记1234561516S b b b b b b b b =++++ .则12378125292252292S =×+×+×++×+× ①， ·························································· 11分 2378921252212252292S = ×+×++×+×+× ②， ·············································· 12分①−②，得271238992(12)424242292242921281412S ×−−=1×2+×+×++×−×=+×−×=−− ， ····························································································································· 14分 所以12814S = ，故123456151612814b b b b b b b b ++++=. ············································································ 15分 解法二：（1）因为2218n n a a n +−=，11a =，0n a >， 所以，当1n =时，22218a a −=，222189a a +，所以23a =． ····························································· 1分 当2n =时，223282a a −=×，22321625a a =+=，所以35a =． ··············································· 2分因为2218n n a a n +−=， 所以22221(21)(21)n n a a n n +−=+−−，即22221(21)(21)n n a n a n +−+=−−． ···································· 5分 所以2222211(21)(23)10n n a n a n a −−−=−−==−= ，即22(21)n a n =−． ···································· 7分 又0n a >，所以*21()n a n n =−∈N . ················································································· 8分 （2）由（1）得211421,2,n n n n b n −+− = 为奇数,为偶数,即221,2,n n n n b n − = 为奇数,为偶数. ··············································· 9分 记1234561516S b b b b b b b b =++++ .则12345678125292132172212252292S =×+×+×+×+×+×+×+× ···································· 11分22072208544134432007424=+++++++ ······························································ 14分12814=. 故123456151612814b b b b b b b b ++++=. ············································································ 15分 17．本小题主要考查条件概率、全概率公式、概率的分布列及期望等基础知识，考查数学建模能力、运算求解能力、逻辑推理能力等，考查统计与概率思想、分类与整合思想、函数与方程思想等，考查数学抽象、数学建模和数学运算等核心素养，体现应用性和创新性．满分15分． 解法一：（1）依题意，X 的所有可能取值为0,1,2． ································································ 1分设打成10:10后甲先发球为事件A ，则乙先发球为事件A ，且()()12PA P A ==， 所以()()()()()11111110002322236P X P A P X A P A P X A ==⋅=+⋅==××+××=， ···················· 2分()()()()()1112111112111123232223232P X P A P X A P A P X A ==⋅=+⋅==××+×+××+×= ， ··· 3分()()()()()12111212222322233P X P A P X A P A P X A ==⋅=+⋅==××+××=． ························· 4分所以X 的分布列为故X 的均值为()11170126236E X =×+×+×=． ································································· 5分。
高三福州市质检8日开考 一线教师点评数学试卷
高三福州市质检8日开考一线教师点评数学试卷文科数学：思维量、计算量大点评老师：福州三中高三文科数学集备组长林珍芳文科数学试卷知识点覆盖面广，重点考查基础知识、基本技能、基本方法;贴近生活实际，以社会生活热点为背景命题，加强了对数学应用意识的检测;突出能力立意，注重创新意识，考查了学生推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力等。
全卷数学思维量大、计算量也比较大，对学生综合解题能力和考试心态都是一个挑战。
对下阶段的复习，建议考生强化基础，回归课本，关注课本中的数学概念、基本方法和基本思路;积累经验，提高运算能力;锻炼心态，适当取舍，考生可以通过模拟考试，从心理调节、时间分配等方面不断调试，逐步适应高考，特别是遇到难题时，要智慧取舍，把握得分点。
理科数学：梯度平缓，注重能力点评老师：福州八中高三理科数学集备组长陈达辉福州三中高三理科数学集备组老师本次质检卷有以下几个特点。
一是重点知识重点考查。
试卷突出考查了三角函数与平面向量、概率与统计、立体几何、解析几何和函数与导数五大块知识，从近几年来看，数列已经边缘化了，基本上不会出单一的大题。
二是注重在知识交汇处命题，这是历年高考试题的共同点。
如试卷的第9题，既考查了函数的奇偶性、周期性，又考查了用导数的方法来研究函数，还考查了函数图像的翻折问题，突出了数形结合的思想，有较高的综合程度，应该引起考生的重视。
教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。
如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。
三是既注重通性通法的考查，又不忽视解法的灵巧。
例如第7、第8题，如果用一般的方法求解将会有很大的运算量，可以采用灵活的解法使问题迎刃而解。
这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。
要求学生抽空抄录并且阅读成诵。
福建省泉州市2025届高中毕业班质量监测(一)(泉州一检)数学试卷+详细解析答案
泉州市2025届高中毕业班质量监测（一）高三数学本试卷共19题，满分150分，共8页。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．考生作答时，将答案答在答题卡上。
请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合=∈<A x{4}，=B{0,1,4,9,16}，则A B =A．{0,1}B．{0,1,4}C．{0,1,4,9}D．{1,4,9,16}【命题意图】本小题主要考查集合的运算、不等式等知识；考查运算求解能力等；考查函数与方程思想、化归与转化思想等；体现基础性，导向对发展数学运算等核心素养的关注．【试题解析】解法一：（排除法）因x=0符合题意，排除D；因为x=9符合题意，排除A，B；故选C．解法二：因为＜≤R=∈=∈A x x x{4}{016}，所以{0,1,4,9}A B，故选C．2．若复数z满足-=+z(1i)1i，则z4=A．1B．-1C．i D．16【命题意图】本小题主要考查复数的概念、四则运算等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；体现基础性，导向对数学运算等核心素养的关注．【试题解析】解法一：设i(,=+∈z a b a b R )，则(i)(1i)()i 1i +-=++-=+a b a b b a ，解得0=a ，1=b ，所以i z =，所以41=z ，故选A ．解法二：因为(1i)1i z -=+，所以21+i (1i)2i i 1i (1i)(1i)2+====--+z ，41z =，故选A ． 解法三：方程两边同时平方，有2(2i)2i z ⋅-=，所以21z =-，41=z ，故选A ．3．已知向量,,a b c 满足||||=a b ，a 与b 的夹角为π3，0++=a b c ，则a 与c 的夹角为 A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6【命题意图】本小题主要考查向量的数量积等基础知识，考查运算求解等能力，考查化归与转化，数形结合等思想，体现基础性，导向对发展数学运算等核心素养的关注.【试题解析】解法一：设||||1==a b ，由题得=--c a b ，所以22π13()||||||cos 1322⋅=⋅--=--⋅=--⋅=--=-a c a a b a a b a a b ，2222()23=--=+⋅+=c a b a a b b ，所以||=c ，所以cos ,||||⋅<>==⋅a c a c a c ,[0,π]<>∈a c ，所以5π,6<>=a c ， 故选D ．解法二：建立直角坐标系，设||||1==a b ，则(1,0)=a ，1(2=b ，所以3(,2=--=-c a b ，所以32⋅=-a c ，||=c所以cos ,||||2⋅<>==-⋅a c a c a c ，又,[0,π]<>∈a c ，所以5π,6<>=a c ， 故选D ．解法三：运用向量运算的几何表示，构造平面图形，观察图形可快速得解.4．若sin 2θθ=，则tan θ=A ．B ．CD 【命题意图】本小题主要考查三角函数的定义、三角恒等变换等知识，考查运算求解能力等，考查函数与方程思想、特殊与一般思想等，体现基础性，导向对发展直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养的关注.【试题解析】解法一：（特殊法）由题知1sin 2θ=，cos θ=满足条件，所以tan θ． 故选C ． 解法二：由题得1sin 12θθ=，所以πsin()13θ+=， 所以ππ2π32Z k k θ+=+∈，，所以π2π6Z k k θ=+∈，ππtan tan(2π)tan 663k θ=+==C ． 解法三：由题得22sin cos 3cos 4θθθθ++=，所以223sin cos cos 0θθθθ-+=，即2cos )0θθ-=，cos 0θθ-=，即tan θ故选C ． 解法四：由题得sin 2θθ=，所以22(2)cos 1θθ-+=，所以24cos 30θθ-+=，即2(2cos 0θ=，所以cos θ=，1sin 22θθ==，所以tan θ=．故选C ． 解法五：观察sin 2θθ=，知sin ,cos θθ同正，θ为第一象限角，其正切值为正，排除A ，B ．若tan θ=3θπ=，则sin θθ=不符合已知条件，排除D ，故应选C ．5．若函数31,4,(),4x a x x f x xa x -⎧+-⎪=⎨⎪<⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A. (0,1) B ．(1,4] C ．(1,8] D ．(1,16]【命题意图】本小题主要考查分段函数、基本初等函数、函数的单调性等知识，考查运算求解能力、抽象概括能力等，考查函数与方程思想、转化和化归的思想等，体现基础性和综合性，导向对发展数学运算、逻辑推理、数学抽象等核心素养的关注．【试题解析】由指数函数的底数要求只讨论0a >且1a ≠，由题意得4,()3a x f x x x=+-为单调递增，故016a <≤， 又4x <时，3()x f x a -=为单调递增，故1a >， 再由1414+-≤a a ，即得4≤a ，综上，14<≤a ， 故选B ．63，则该球的表面积为A ．40πB ．20πC ．16πD 【命题意图】本小题主要考查多面体、球的表面积等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力等，考查数形结合、转化和化归的思想等，体现基础性和综合性，导向对发展直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养的关注．【试题解析】解法一：正四棱台的对角面的外接圆为其外接球球O 的大圆（如下图），对角面为等腰梯形''AA C C ，其上下底边长分别为2,4，高为3，由正四棱台的对称性可知，球O 的球心O 在梯形上下底的中点连线12O O 所在直线上，设1OO d =，则2|3|O O d =-，设球O 半径为'OC R OC ==，再由1Rt 'OO C △，2Rt OO C △可得22222|3|21R d d =-+=+，解得2,d = R =O 的表面积为24π20πR =．解法二：下底的外接圆不大于球的大圆，故球半径2R ≥（下底对角线长的一半），表面积24π16πR ≥，排除D ；对角面等腰梯形''AA C C 的对角线长，故球半径2R >，表面积24π>18πR ，排除C ；若24π=40πR ，则R =．易求球心到A C ''的距离为13d =，球心到AC 的距离为2d =12||3d d h +==，或12||3d d h -==，故A 不正确．故选B ．7．已知函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++，若(1)1f =，则(25)f =A ．25B ．125C ．625D ．15625【命题意图】本小题主要考查函数的基本性质、递推数列等基础知识；考查推理论证、运算求解等能力；考查化归与转化、特殊与一般的函数思想；体现基础性，综合性，导向对逻辑推理、数学运算等核心素养的关注．【试题解析】解法一：由题意取(),1N x n n y =∈=，可得(1)()(1)2f n f n f n +=++(1)2(1)2(1)2(2)3(1)2(2)2(1)21)(1)2(12)1)(1)()f n f n nf n f n n nn f n n f n n =-++-+=-++-+-+=⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅+=+++((1即知2()(1)(1)(1)f n nf n n n n n n =+-=+-=，则(25)625f =．故选C ．解法二：令2()=(),g x f x x -则2()()()g x y f x y x y +=+-+2()()2()f x f y xy x y =++-+22()()()()f x f y x y g x g y =+--=+，所以2()(1)(1)(1)((1)1)0g n g n g ng n f =-+=⋅⋅⋅==-=，即2()()0g n f n n =-=，所以2()f n n =，则(25)625f =．故选C ．解法三：由()()()2f x y f x f y xy +=++可构造满足条件的函数2()=f x x ，可以快速得到(25)625f =．故选C ．8．已知函数11()cos cos 2cos323f x x x x =++，则 A ．π是()f x 的一个周期B ．πx =是()f x 图象的一条对称轴C ．π(,0)2是()f x 图象的一个对称中心 D ．()f x 在区间(0,π)内单调递减 【命题意图】本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识；考查推理论证能力、运算求解能力等，考查特殊与一般思想、函数与方程思想、化归与转化思想等；体现基础性、综合性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算、数学抽象等核心素养的关注．【试题解析】解法一：（排除法）因为11115(π)cos πcos 2πcos3π123236f =++=-+-=-，111111(0)cos0cos0cos0123236f =++=++=，所以(π)(0)f f ≠，故A 错误； 同理(π)(0)f f ≠-，故C 错误； 因为ππ113π1()cos cos πcos 222322f =++=-，2π2π14π16π5()cos cos cos 33233312f =++=- 所以π2π()()23f f <，故D 错误． 故选B ．解法二：因为11(π)cos(π)cos 2(π)cos3(π)23f x x x x +=+++++，11cos cos 2cos323x x x =-+- 所以(π)()f x f x +≠，故A 错误； 因为11(π)cos(π)cos 2(π)cos3(π)23f x x x x -=-+-+-11cos cos 2cos323x x x =-+-，所以(π)(π)f x f x +=-，故B 正确； 因为11()cos()cos 2()cos3()23f x x x x -=-+-+-11cos cos 2cos323x x x =++， 所以()(π)f x f x --≠+，故C 错误；因为()sin sin 2sin3[sin(2)sin(2)]sin 2f x x x x x x x x x '=---=--++-2sin 2cos sin 2sin 2(2cos 1)x x x x x =-⋅-=-⋅+ 所以当π(0,)2x ∈时，sin 20x >，2cos 10x +>，此时()0f x '<； 同理当π2π()23x ∈，时，()0f x '>；当2π(,π)3x ∈时，()0f x '<； 所以()f x 在π(0,)2上单调递减，在π2π(,)23上单调递增，在2π(,π)3上单调递减，故D错误；故选B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2023年福建省龙岩市高考数学质检试卷(3月份)+答案解析(附后)
2023年福建省龙岩市高考数学质检试卷（3月份）1. 若复数z 满足，则( )A. 5B.C. 3D.2. 若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为( )A.B.C.D.3. 已知向量，，，，若，则在上的投影向量为( )A. B. C. D.4. 算盘是我国一类重要的计算工具.如图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子简称上珠代表5，下面一粒珠子简称下珠代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105，现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠子不拨动.设事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数大于5050”，则( )A.B. C.D.5. 已知两数，则的最小值为( )A.B.C.D. 06. 已知函数，若，，则a ，b ，c的大小关系为( )A. B. C.D.7. 已知M 是圆C ：上一个动点，且直线：与直线：相交于点P ，则的最小值是( )A. B. C. D.8. 正方体的棱长为2，若点M在线段上运动，当的周长最小时，三棱锥的外接球表面积为( )A. B. C. D.9. 下列说法正确的是( )A. 一组数1，5，6，7，10，13，15，16，18，20的第75百分位数为16B. 在经验回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时，相应变量增加个单位C.数据，，，…，，的方差为M，则数据，，，…，的方差为9MD. 一个梯木的方差，则这组样本数据的总和等于10010. 如图，已知平面OBC，，，E为AB的中点，，则( )A. B.C. 平面ABCD. 直线OE与OF所成角的余弦值为11. 已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，左、右顶点分别为M，N，O为坐标原点.直线l交双曲线C的右支于P，Q两点不同于右顶点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，则( )A. 为定值B.C. 点P到两条渐近线的距离之和的最小值为D. 存在直线l使12. 已知函数有两个零点，分别记为，；对于，存在使，则( )A. 在上单调递增B. 其中…是自然对数的底数C.D.13. 已知的展开式中的系数为21，则______ .14. 写出一个同时满足下列三个性质的函数______ .①的定义域为R；②是奇函数；③是偶函数.15. 欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在数学上作出做大的贡献，而且把数学用到了几乎整个物理领域.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数.在数论中，对于正整数n，是不大于n的正整数中与n互质的数的个数，例如：，则______ .16. 已知抛物线C：，直线l过点且与C相交于A，B两点，若的平分线过点，则直线l的斜率为______ .17. 已知等差数列的首项为公差，前n项和为，且为常数.求数列的通项公式；令，证明：18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，求角B；若D是AC边上的点，且，，求的值.19. 三棱柱中，，，侧面，为矩形，，三棱锥的体积为求侧棱的长；侧棱上是否存在点E，使得直线AE与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.20. 为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起体育运动和文化项目比赛，经过角逐.甲、乙两人进入最后的决赛.决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的人获得该天胜利，此时该天比赛结束.若甲、乙两人中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天甲、乙两人各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的取胜方为最终冠军.设每局此赛甲获胜的概率为，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立.记第一天需要进行的比赛局数为X，求X的分布列及；记一共进行的比赛局数为Y，求21. 已知椭圆K：的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线l交椭圆K于M，N两点，以线段为直径的圆C与圆：内切.求椭圆K的方程；过点M作轴于点E，过点N作轴于点Q，OM与NE交于点P，是否存在直线l截得的面积等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.22. 已知函数，若满足，证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线；若，且，证明：答案和解析1.【答案】B【解析】解：，则，故故选：根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．本题主要考查复数模公式，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：由韦恩图可知，阴影部分表示的集合为，，，，，故选：由韦恩图可知，阴影部分表示的集合为，再利用集合的基本运算即可求解．本题主要考查了韦恩图，以及集合的基本运算，是基础题．3.【答案】C【解析】解：向量，，，，，而，，，，则在上的投影向量为，故选：由题意，根据向量坐标形式的运算法则，两个向量的数量积公式及数乘运算，结合投影向量的定义及求法，得出结论．本题主要考查了投影向量的定义及求法，向量坐标的数量积和数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠子不拨动．基本事件为：1000，1001，1005，1010，1050，1100，1500，5000，5001，5005，5010，5050，5100，5500共14种，事件“表示的四位数为偶数”，则，事件“表示的四位数大于5050”，则，所以故选：根据题意，列举出所有基本事件，进而求出，，再利用条件概率公式求解即可．本题主要考查了条件概率的概率公式，属于基础题5.【答案】C【解析】解：，为偶函数，又，的周期为，当时，，，令，得，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，又，，作出的图象，如图：由图可知，函数的最小值为，故C正确；故选：依题意可知为周期为的偶函数，结合函数的导数，求解函数的最值，利用函数的图象，即可得到答案．本题考查三角函数的周期性、对称性，函数的导数判断函数的单调性、极值等性质，考查数形结合思想及数学运算能力，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：因为，所以，所以当时，，所以在上单调递增，因为，所以，因为，所以，所以，又在上单调递增，所以，故选：求导分析的单调性，再比较，，大小，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：直线：，令，则，解得，，直线经过定点；同理直线：经过点，由，可得直线直线，点P在以为圆心，以为半径的圆上，其方程为，，，即故选：直线：，令，，可得直线经过的定点A；同理直线：经过点B，由，可得直线直线，得出点P 的轨迹方程，可得本题考查了直线经过定点问题、两圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：的周长为，AC为定值，即最小时，的周长最小，如图，将平面展成与平面同一平面，当点A，M，C共线时，此时最小，作，垂足为N，，解得：，如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，，，连结，平面，且经过的中心，所以三棱锥外接球的球心在上，设球心，则，即，解得：，，所以外接球的表面积，故选：首先确定点M的位置，再利用球的性质，以及空间向量的距离公式，确定球心坐标，即可确定外接球的半径，即可求解．本题主要考查几何体的体积，属于中档题．9.【答案】ACD【解析】解：，一组数1，5，6，7，10，13，15，16，18，20的第75百分位数为第八个数，等于16，故A正确；在经验回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时，相应变量减少个单位，故B错误；数据，，，…，，的方差为M，则数据，，，…，的方差为9M，故C正确；一个梯木的方差，这组样本数据的平均数是2，数据总和为，故D正确．故选：由统计及其有关概念逐一分析四个选项得答案．本题考查统计及其有关概念，是基础题．10.【答案】BD【解析】解：对于A，因为EF与平面AOB相交，所以EF不可能与OB平行，故A错误；对于B，平面OBC，平面OBC，，又，，，，，在中，由余弦定理可得，，，故B正确；对于C，假设平面ABC，则，又，，平面AOB，又平面AOB，，与矛盾，故平面ABC不成立，故C错误；对于D，，，，在中，，，，，在中，，，，，，在中，，，，，即直线OE与OF所成角的余弦值为，故D正确．故选：由EF与平面AOB相交可判断A，依题意，，，在中由余弦定理可求出OF，进而判断B，利用假设法可判断C，先在中利用余弦定理求出EF，再在中利用余弦定理可求出，进而判断本题主要考查了求异面直线所成的角，考查了余弦定理的应用，属于中档题．11.【答案】BC【解析】解：双曲线C：的渐近线为，对于A：，其中为定值，，随着l的变化而变化，所以不是定值，故A错误；对于B：设直线l的方程为，联立，得，所以，联立，得，联立，得，所以，所以PQ与AB中点相同，所以，故B正确；对于C：设，则，又双曲线的渐近线方程为，所以P到两渐近线距离，所以点P到两条渐近线的距离之和的最小值为，故C正确；对于D：由图知，所以恒成立，所以不存在l使得，故D错误，故选：双曲线C：的渐近线为，对于A：，其中为定值，，随着l的变化而变化，即可判断A是否正确；对于B：设直线l的方程为，联立双曲线的方程，结合韦达定理可得，联立直线与渐近线方程解得，，则，则PQ与AB中点相同，即可判断B 是否正确；对于C：设，则，P到两渐近线距离，即可判断C是否正确；对于D：由图知，即可判断D是否正确．本题考查双曲线的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．12.【答案】BCD【解析】解：对于A：因为，令得，所以在上单调递增，对于B：有两个零点，方程有两个根，令，则，可得在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，所以，，故B正确；对于C：由上可得，又，，由的单调性可得，，所以，，所以，故C正确；对于D：由已知，而，所以，令，则，所以在单调递增，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，又在上单调递增，所以，即，故D正确，故选：对于A：求导并令，解得的单调递增区间，即可判断A是否正确；对于B：若有两个零点，方程有两个根，令，则与的交点，即可判断B是否正确；对于C：由上可得，又，，由的单调性可得，进而可得即可判断C是否正确；对于D：计算，令，则，可得，又在上单调递增，则，即可判断D是否正确．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．13.【答案】1【解析】解：的展开式的通项为，则的展开式中的系数为，则，解得故答案为：易知的展开式中的系数为，由此可得，即可得解．本题考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】答案不唯一【解析】解：令，则的定义域为R，满足①；，是奇函数，满足②；又是偶函数，满足③，故为同时满足性质①②③的函数，故答案为：不唯一令，分析它满足性质①②③即可．本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于基础题．15.【答案】【解析】解：与互质的数为：1，2，4，5，7，8，10，11，13，，，，共有个，，故答案为：推导出与互质的数有个，从而，由此能求出本题考查互质的数、对数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】【解析】解：设直线l的方程为，即，再设直线OA、OB的方程分别为、，即、，的平分线过点，，整理得，即，设，，则，即，联立，得，即，，又，，可得，解得故答案为：设直线l的方程为，再设直线OA、OB的方程分别为、，由的平分线过点，利用点到直线的距离公式可得，设，，可得，联立，得关于y的一元二次方程，再由根与系数的关系列式求解k值．本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：设等差数列的公差为d，，又，则，又为常数，为常数，则当为常数时，此常数为，此时，即数列的通项公式为；证明：由可得，则，故命题得证．【解析】由为常数，则为常数，即，然后结合等差数列的通项公式求解即可；由可得，然后累加求和即可得证．本题考查了等差数列通项公式的求法，重点考查了数列累加求和，属基础题．18.【答案】解：中，，所以，由正弦定理得，，因为，所以；又因为，所以，所以，即，又因为，所以因为D是AC边上的点，且，，所以，，，，在中，由正弦定理得，，所以，在中，由余弦定理得，，所以，所以，解得，又因为，所以【解析】根据题意，利用正弦定理得，再根据三角恒等变换化简求解即可．根据题意，在中利用正弦定理求得BC，在中利用余弦定理求得，由此列方程求出的值．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：过A在平面内作，垂足为D，侧面为矩形，，又，平面，平面ABC，平面平面，平面，平面ABC，三棱锥的体积为，，，，，，；存在E满足题意，理由如下：如图，以AB，AC，AD分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设，，则，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，平面的一个法向量为，设直线AE与平面所成角为，则，解得，存在E满足题意，【解析】过A在平面内作，垂足为D，可证平面ABC，从而可得，可求侧棱的长；存在E满足题意，，如图，以AB，AC，AD分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求线段的长．本题考查空间几何体和体积的计算，考查线面解的求法，考查运算求解能力，属中档题．20.【答案】解：可能取值为2，，，所以，即，则当时，取得最大值．当时，双方前两天的比分为2：0或0：2的概率均为；比分为2：1或1：2的概率均为，，则或，即获胜方两天均为2：0获胜，不妨设A获胜，概率为，同理B获胜，概率为，故；即获胜方前两天的比分为2：0和2：1或者2：0和0：2再加附加赛，不妨设最终A部获胜，当前两天的比分为2：0和2：1时，先从两天中选出一天，比赛比分为2：1，三场比赛前两场，A部一胜一负，第三场比赛A获胜，另外一天比赛比分为2：0，故概率为，当前两天比分为2：0和0：2，附加赛A获胜时，两天中选出一天，比赛比分为2：0，概率为，故最终A部获胜的概率为，同理B部胜，概率为，故，所以【解析】求出X可能取值，并求出对应的概率，得到期望，配方后得到期望最大值时对应的p的值；先得到双方前两天的比分为2：0或0：2的概率均为，比分为2：1或1：2的概率均为，考虑和两种情况，分别求出概率，相加即可．本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，属于中档题．21.【答案】解：设，D为线段的中点，依题意，得：，所以，又，所以，所以椭圆K的方程为依题意，当直线l斜率为0时，不符合题意；当直线l斜率不为0时，设直线l方程为，联立，得，易知，设，，则，因为轴，轴，所以，，所以直线，①直线，②联立①②，解得，因为，ME与直线平行，所以，因为，所以，由，解得，故存在直线的方程为或，使得的面积等于【解析】根据已知条件结合椭圆的定义求出2a，由焦点坐标可知c的值，利用a，b，c的关系可求出的值，从而求出椭圆的方程．依题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l方程为，与椭圆的方程联立，结合韦达定理表示出P点的坐标，将三角形的面积表示为关于m的函数，解方程求出m的值即可．本题考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．22.【答案】证明：由已知有，曲线在点处的切线方程为：，即：，将代入即有：，由得，令得：，此时，可得：曲线在点处的切线方程为：，将代入化简，可得：，故曲线在点处的切线也是曲线的切线；，，令，得：，为方程的两根，即：，，，，令，则，令，则，在单调递减，，即第21页，共21页【解析】由已知得到曲线在点处的切线方程为：，曲线在点处的切线方程为：，将代入化简，即可得证；由，得到，令，得：，利用韦达定理和的单调性即可得证．本题考查了导数的综合应用，属于中档题．。
福建省泉州市_2022_届高三质量监测(二)数学试题+答案解析(附后)
福建省泉州市 2022 届高三质量监测（二）数学试题1. 已知集合M 或，，则( )A. B.C. RD.2. 若是虚数单位是纯虚数，则( )A. 1B.C. D. 23. 已知，，，则( )A. B.C. D.4. 已知，则( )A.B. C.D. 5. 抛物线具有如下光学性质：从焦点发出的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．生活中的探照灯就是利用这个原理设计的．已知F 是抛物线的焦点，从F 发出的光线经C 上的点M 反射后经过点，则( )A. 2B. 3C. 4D. 56. 若正实数x ，y 满足，则的最小值是( )A. 4B.C. 5D. 97. 四边形ABCD 为梯形，且，，，点P 是四边形ABCD 内及其边界上的点．若，则点P 的轨迹的长度是( )A.B.C.D.8. 已知函数，，，则实数a 的取值范围是( )A.B. C.D. 9.设等差数列的公差为d ，其前n 项和为，且，，则( )A. B. ，，为等差数列C. 数列是等比数列D.是的最小值10. 函数的大致图象可能是( )A. B.C. D.11. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则( )A. 函数是奇函数B. 函数的图象关于直线对称C. 函数的最小正周期为D. 函数在上的单调递减区间是12. 在矩形ABCD中如图，，将沿AE折起得到以为顶点的锥体如图，若记侧棱的中点为P，则以下判断正确的是( )A. 若，则CP的长度为定值B.若，则三棱锥的外接球表面积为C. 若记与平面ACD所成的角为，则的最大值为D. 若二面角为直二面角，且，则13. 双曲线的两条渐近线的夹角为__________.14. 在棱长为2的正方体中，点E，F，G，H分别为棱AB，BC，CD，DA的中点，将该正方体挖去两个四分之一圆锥，得到如图所示的几何体，则该几何体的体积为__________.15. 2021年7月25日召开的第44届世界遗产大会上，“泉州：宋元中国的世界海洋商贸中心”获准列入世界文化遗产名录，至此泉州20年的申遗终于圆梦．申遗的遗产点包括九日山祈风石刻、开元寺、洛阳桥等22处代表性古遗迹，这些古遗迹可分为文化纪念地史迹等五类．这五类古遗迹充分展现了世纪泉州完备的海洋贸易制度体系、发达的经济水平及多元包容的文化态度．某校中学生准备到各类古遗迹打卡，已知该同学打卡第一类、第二类的概率都是，打卡第三类、第四类和第五类的概率都是，且是否打卡这五类古遗迹相互独立．用随机变量X表示该同学打卡的类别数，则__________.16. 已知数列的通项公式是，记为在区间内项的个数，则__________，使得不等式成立的m的最小值为__________. 17. 已知函数的图象在点处的切线方程为求a；求在的单调区间．18. 记为数列的前n项和，，且求数列的通项公式；记，求数列的前n项和19.如图，斜三棱柱的底面是正三角形，，，点F，G，D，E分别为AB，，，的中点．证明：平面；若平面平面ABC，求平面与平面ABC所成锐二面角的余弦值．20. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且求A；若内一点P满足：，，且，求21. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且点在E上．求E的方程；点B为椭圆E的下顶点，点P在E内且满足，直线AP交E于点Q，求的取值范围．22. 已知函数，是的导函数．若，求的最大值；讨论的零点个数．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.根据交集运算求解即可得到集合M，N的交集.【解答】解：由已知或，，可得.故选：A.2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了复数的模及其几何意义，复数的概念与分类，复数乘法运算，属于基础题．根据已知条件列出方程，求解得到a的值，求出z再代入，由复数模的概念计算即可得到答案．【解答】解：因为是虚数单位是纯虚数，则且，解得，故故答案为：3.【答案】D【解析】【分析】本题考查利用指数函数图像与性质比较大小，利用对数函数图像与性质比较大小，属于基础题.根据对数函数的图像与性质得到，根据指数函数图像与性质得到，由此可得，.利用对数的运算性质得到，即可比较a，b，c的大小.【解答】解：因为，，，所以，即，，，所以，即，因为a，，，所以，.又因为，即，所以，故.故选：D.4.【答案】C【解析】【分析】本题考查二倍角正弦公式，两角和与差的余弦公式，与之间的关系，属于基础题.利用两角差的余弦公式将变形得到，两边平方后，利用二倍角正弦公式及即可求得的值.【解答】解：，，，两边平方整理可得，，.5.【答案】C【解析】【分析】本题考查抛物线的定义，属于基础题．由题意得出y M，代入抛物线的方程求出，根据计算即可得到答案．【解答】解：因为从F发出的光线经C上的点M反射后经过点，由抛物线的光学性质可知，代入，得，所以故选：6.【答案】B【解析】【分析】本题考查由基本不等式求最值，属于基础题.由题意知，可得，将题设所求转化为求的最小值，先化简再利用基本不等式即可求得最小值.【解答】解：因为正实数x，y满足，所以，则有，当且仅当，即，时取到等号，综上所述：的最小值是.故选：B.7.【答案】B【解析】【分析】本题考查向量的数量积的概念及其运算，向量的加减与数乘混合运算，利用余弦定理解三角形，属于中档题.由已知条件及向量的数量积运算得，由向量数量积的定义得，由向量投影的定义得向量在向量上的投影数量为2，即动点P在过点D且垂直于AD的直线上，证明后可得点P的轨迹为线段BD，即可得到答案.【解答】解：，即，设向量与的夹角为，则，因为，所以，由向量投影定义得：向量在向量上的投影数量为2，即动点P在过点D且垂直于AD的直线上，在中，，，，由余弦定理得，所以，则，所以，因为点P是四边形ABCD内及其边界上的点，所以点P的轨迹为线段BD，所以点P的轨迹的长度为故选：8.【答案】D【解析】【分析】本题考查利用导数研究恒成立与存在性问题，属于中档题.因为，将问题转化为在恒成立，由在恒成立，得出在单调递减，则在恒成立，由此即可求出实数a的取值范围.【解答】解：因为，所以，，等价于在恒成立.令，则，当时，，则在区间上单调递减，当时，，则在区间上单调递增，所以的最大值为，所以，即.所以在恒成立，所以在单调递减，所以在恒成立，即在恒成立，所以，所以实数a的取值范围为.故选：D.9.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式及性质，等差数列的前n项和公式，等差数列前n项和的最值问题，等比数列的判定，属于基础题.对于A，利用以及等差数列的性质可求，结合可求公差d，即可判断A的正误；对于B，利用等差数列的性质可计算得到，的值，即可判断B的正误；对于C，由A计算可得等差数列的通项公式，进而可判断的值是否为常数，即可判断C的正误；对于D，由C中数列的通项公式可判断数列中负数项以及正数项，即可得出的最小值，即可判断D的正误.【解答】解：由题意，下面对各选项进行分析：对A，由，所以，所以，故A正确；对B，由等差数列性质，，因为，所以，，不是等差数列，故B错误；对C，根据等差数列通项公式有，所以，所以数列是等比数列，故C正确；对D，当时，有，即数列中，，，均为负数，当时，，所以是的最小值，故D正确.故选：10.【答案】AC【解析】【分析】本题考查函数图象的识别、判断函数的奇偶性，属于基础题.判断出函数为偶函数，且当，，由此可对各选项作出判断.【解答】解：因为，定义域关于原点对称，又，所以为偶函数，图象关于y轴对称，故排除D；又因为当，，故排除故选：11.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查正弦型函数的图象与性质，属于中档题．由题意可知，可得，，再根据正弦型函数的性质逐一判断四个选项即可得到结果．【解答】解：由的图象向左平移个单位，得，故为奇函数，故选项A正确；的对称轴方程满足，即，当时，对称轴方程为，故选项B正确；，周期为，故选项C错误；，当时，即，当时，，所以在上的单调递减区间是，故选项D正确.故选：12.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查球的切、接问题，直线与平面所成的角，二面角，球的表面积，属于较难题.对于A，当时，点E为BC的中点，取的中点Q，连接EQ，PQ，则易证明为定长，即可判断A；对于B，当时，取AC的中点O，连接，OD，则外接球的半径，求得出外接球的表面积，即可判断B；对于C，当平面平面ACD时，与平面ACD所成角最大为，点E与点C重合时，求出，即可判断C；对于D，过点作AE的垂线，垂足为点O，连接OD，则，即在矩形ABCD中，，则由平几知识易得，即可判断D.【解答】对于A，当时，点E为BC的中点，在翻折的过程中，取的中点Q，连接EQ，PQ，易证明四边形ECPQ为平行四边形，所以为定长为的中线，故A正确；对于B，当时，点E与点C重合，与是两个全等的直角三角形，取AC的中点O，连接，OD，易知点O为三棱锥的外接球的球心，外接球的半径，故，故B正确；对于C，在翻折的过程中，当且仅当平面平面ACD时，与平面ACD所成角最大为，则设，，所以当，即点E与点C重合时，，故C正确；对于D，因为二面角为直二面角，即平面平面AEC，平面平面，所以点在平面AEC内的射影在AE上，过点作AE的垂线，垂足为点O，连接OD，易知平面，所以，即在矩形ABCD中，，则由平几知识易得，故D错误.故选：ABC.13.【答案】【解析】【分析】本题考查双曲线的渐近线，两条直线的夹角，属于基础题．由双曲线的方程求得其两条渐近线方程，从而求得对应直线的夹角，即可求得两条渐近线的夹角．【解答】解：双曲线的两条渐近线的方程为：，所对应的直线的倾斜角分别为，，故双曲线的两条渐近线的夹角为故答案为：14.【答案】【解析】【分析】本题考查简单组合体柱、锥、台的表面积与体积，属于基础题．根据题意得出，利用正方体与圆锥的体积公式，由此计算即可得到该几何体的体积．【解答】解：因为该几何体为正方体挖去两个四分之一圆锥，且圆锥的半径，高，故故答案为：15.【答案】【解析】【分析】本题考查n次独立重复试验及其概率计算，属于基础题．记该同学打卡第一类、第二类的类别数为，打卡第三类、第四类和第五类的类别数为，则，利用，利用n次独立重复试验的概率公式求解即可得到结果．【解答】解：记该同学打卡第一类、第二类的类别数为，打卡第三类、第四类和第五类的类别数为，因此随机变量，则故答案为：16.【答案】； 12【解析】【分析】本题考查数列的最大小项问题，属于中档题.根据题意可令，得到n关于m的取值范围，于是对m分奇偶数进行讨论，可计算得出的值；考虑m为奇数时，根据题设不等式可得出，可求得m的最小值，考虑m为偶数时，得到，可求得m的最小值，综合两种情况即可得到m的最小值.【解答】解：由题意，令，得，当m为奇数时，可以被2整除，于是，当m为偶数时，不能被2整除，所以，所以当m为奇数时，为偶数，，即，因为，所以，即，因为m为奇数，所以m的最小值为13，当m为偶数时，为奇数，，因为，所以，即，所以m的最小值为12，综上所述，m的最小值为故答案为：29；17.【答案】解：因为，所以其导数为，所以，因为的图象在处的切线方程为，切线的斜率为，所以，即，所以由可得，由，得或，当或时，有，此时函数单调递减，当时，有，此时函数单调递增，所以的递减区间为；递增区间为【解析】本题考查利用导数求函数的单调区间不含参，已知切线的斜率求参数，属于基础题．根据题意，可求得函数的导函数，利用导数的几何意义可得其在处的切线斜率为的值，得到关于a的一次方程，解之可得实数a的值；注意到，令，可得函数的单调递增区间；令，可得函数的单调递减区间．18.【答案】解：已知，即，当时，，两式相减得：，即，故，当时，，又，可得，则，所以数列是以为首项，公比的等比数列，所以由可得，，，两式相减得：，所以【解析】本题考查错位相减法求和，数列的前n项和及与的关系，对数式的化简求值与证明，属于中档题．当时，，可得，当时，，两式相减可得，由此可判定数列是以为首项，公比的等比数列，即可求得；由可得，再利用错位相减法求和，即可求得19.【答案】证明：设点H为DE的中点，连结FH，，因为几何体为斜三棱柱，所以，所以且，又因为G是的中点，所以，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面解：延长，CA交于点P，延长，CB交于点Q，则面与面ABC所成的锐二面角为二面角，过点作AC的垂线，交AC的延长线于点N，过点N作于点M，连结，因为平面平面ABC，且平面平面，平面，所以平面ABC，因为平面ABC，所以，又因为，，NM，平面，所以平面，因为平面，所以，所以为二面角的平面角．由题意易得，，，，所以，所以，即平面与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为【解析】本题考查二面角，线面平行的判定，面面垂直的性质，属于较难题．设点H为DE的中点，连结FH，，推导出，利用线面平行的判定判定定理即可证明平面；延长，CA交于点P，延长，CB交于点Q，则面与面ABC所成的锐二面角为二面角，过点作AC的垂线，交AC的延长线于点N，过点N作于点M，连结；证明为二面角的平面角，根据题意分别求出MN，，根据进行计算，可得平面与平面ABC所成的锐二面角的余弦值. 20.【答案】解：由正弦定理及，得，又，所以，故，即，又因为，所以，又，解得，综上所述：因为，，所以，设，则，在中，由正弦定理，得，在中，由正弦定理，得，则，所以，解得，综上所述：【解析】本题考查利用正弦定理解三角形，两角和与差的正弦公式，属于中档题．由题意根据正弦定理得，进而利用及两角和与差的正弦公式进行求解，即可求得A；由题意找到角的关系，得到，进而在与中利用正弦定理求解，即可求得21.【答案】解：因为椭圆E的离心率为，所以，因为点在E上，所以，又因为，所以，所以椭圆E的方程为因为点B为椭圆E的下顶点，所以点B的坐标为，因为点P在椭圆E内，所以直线AQ、BP的斜率存在且不为0，设直线AQ的方程为，因为，所以BP的直线方程为由消去y，得，所以，所以，由消去y，得，所以，，所以，当且仅当时，等号成立，因为，所以所以的取值范围为【解析】本题考查向量与椭圆的综合问题，椭圆的标准方程，由基本不等式求最值，属于较难题．根据离心率与顶点坐标以及求得a与b，即可得到椭圆E的方程；根据条件设直线AQ的方程为，可得直线BP的方程为，进而联立直线AQ与椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理求得，联立直线AQ 与BP的方程，求得；根据向量数量积的坐标运算求得，再利用基本不等式即可求得的取值范围．22.【答案】解：函数的定义域为，且，由，所以，令，则，所以在单调递减，且，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以因为当时，，所以令，可得注意，令，则，当时，，，，所以，单调递增，当时，，，，所以，单调递减，所以，又当时，，当时，，综上所述：当时，无零点；当或时，有一个零点；当时，有两个零点．【解析】本题考查利用导数研究函数的零点，利用导数求函数的最值不含参，导数的加、减法运算，属于较难题．先对求导，利用，求出，再将代入，通过对再次求导，分析单调性，进而求出的最大值；由可得，令，通过对求导，分析的正负，进而求出的单调区间和最值，进而分析得出的零点情况．。
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名师评点福建省高考质检数学试卷
考查主干知识
设置开放试题
点评人：泉州市南安一中特级教师林少安
数学卷延续了2009年省质检的特点，坚持以能力检测为主
导，以学科主干知识为载体，在考查基础知识、基础技能和
基本方法的同时，注重对考生应用知识分析问题、解决问题
能力和探究能力的考查。
试题突出了数学学科的特点，贴近教学实际，既注重全面，
又突出重点，重视知识内在联系之余，强化对中学数学所蕴
涵的数学思想和方法的考查。
试题对高中数学的主干知识进行了较为全面地考查，函数与
导数、三角函数、数列、空间几何、直线与圆锥曲线、统计
与概率等主干知识的占分比例在文理科中约为87%。
试卷有4个特点：
突出能力立意，关注数学素质。
注重以知识为载体检测考生的数学能力与数学素养。“五个
能力”和“两个意识”在试卷中都有所涉及。理9（即理科
卷第9题，下同）、文16（即文科卷第16题，下同）注重考
查考生的知识迁移能力和数学素养。理19、文21需运用合
情推理，寻找规律，进而运用所学知识予以验证，有效地测
量出考生将知识迁移到不同情境的能力。
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把握数学灵魂，强调思想方法。
试题能注重学科内涵，突出学科特色，突出对数学思想与方
法的考查，涉及中学阶段出现的重要数学思想和方法。理15
考查概率统计最本质的内容，体现了必然与或然思想。
关注过程考查，适度探究创新。
试卷合理地设置具有一定思维量的开放性、探索性的试题，
有效地考查考生的探究精神和创新意识。试卷既有条件开放
的试题，如理20、文20，要求考生根据题目要求探索结论
成立的条件是否存在；也有结论开放性问题，如文19（3），
符合题设条件的结果不止一种。
理17新颖的设问方式是命题很好的尝试，改变了传统立体
几何的考查模式，提供四个条件，要求考生从中选择两个条
件求解，考生需在过程中进行分析和论证，判断所给四个条
件的等价性。理19、文21要求从一个特殊曲线所具有的性
质，运用类比推理，得出另一个特殊曲线是否具有同样的性
质，并且推广到同一类曲线的一般性问题，也需要考生经历
尝试、归纳、猜想与推证的过程。
注重数学本质，强调数学应用。
应用性试题的设计关注数学知识的合理应用，考查了数学知
识在学科内的应用。如理5、文5以抽取样品为背景，考查
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算法的应用；理9、文16取材于考生熟悉的学习、生活实际，
不仅考查了考生对相关数学知识的理解水平，而且以这些知
识为载体，检测考生将知识迁移到现实情景的能力。