(通用版)高考数学一轮复习专题突破提升练4直线、圆与圆锥曲线的交汇问题
山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-解答题专项突破(五)圆锥曲线的综合问题含答案解析
解答题专项突破(五) 圆锥曲线的综合问题圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必有一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程、研究直线与圆锥曲线的位置关系为主，涉及题型有定点、定值、最值、范围、探索性问题等，此类命题起点较低，但在第(2)问中一般都有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常以压轴题的形式呈现．热点题型1 圆锥曲线中的定点问题典例1 (2019·广州二模)已知抛物线y 2＝4x 的焦点F 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点重合，且点F 关于直线y ＝x 的对称点在椭圆上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点Q 0，－13且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A ，B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M 点的坐标，若不存在，说明理由．解题思路 (1)求出抛物线的焦点F 关于直线y ＝x 的对称点，结合已知条件及a ，b ，c 的关系，求解椭圆的标准方程．(2)假设存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点，求出AB 垂直于两坐标轴时以AB 为直径的圆的方程，联立方程组解得定点坐标，然后利用向量数量积证明一般结论．规范解答 (1)由抛物线y 2＝4x ，得其焦点为F (1,0)，从而得点F 关于直线y ＝x 的对称点为(0,1)，故b ＝1，c ＝1，因此a ＝2，∴椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点． 当AB ⊥x 轴时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1. ① 当AB ⊥y 轴时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y ＋132＝169. ② 联立①②，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，∴定点M (0,1)．证明：设直线l ：y ＝kx －13，代入x 22＋y 2＝1， 有(2k 2＋1)x 2－43kx －169＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝4k 3(2k 2＋1)，x 1x 2＝－169(2k 2＋1). 则MA →＝(x 1，y 1－1)，MB →＝(x 2，y 2－1)；MA →·MB →＝x 1x 2＋kx 1－43kx 2－43 ＝(1＋k 2)x 1x 2－43k (x 1＋x 2)＋169＝(1＋k 2)·－169(2k 2＋1)－43k ·4k 3(2k 2＋1)＋169＝0，所以在y 轴上存在定点M (0,1)，使以AB 为直径的圆恒过这个定点． 典例2 (2019·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点为(1,0)，且经过点A (0,1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点，直线l ：y ＝kx ＋t (t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N .若|OM |·|ON |＝2，求证：直线l 经过定点．解题思路 (1)由已知条件直接求b ，c .再依据a 2＝b 2＋c 2求a ，写出椭圆C 的方程．(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，写出直线AP 的方程，求x M .利用y 1＝kx 1＋t 和|OM |＝|x M |，把|OM |用k ，t ，x 1表示，同理表示|ON |，直线l 与椭圆C 的方程联立，推出x 1＋x 2，x 1x 2.利用|OM |·|ON |＝2，求t ，从而得到定点．规范解答 (1)由题意，得b 2＝1，c ＝1， 所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)证明：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1.令y ＝0，得点M 的横坐标x M ＝－x 1y 1－1. 又y 1＝kx 1＋t ，从而|OM |＝|x M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1.同理，|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0，则x 1＋x 2＝－4kt 1＋2k 2，x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2.所以|OM |·|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1x 2k 2x 1x 2＋k (t －1)(x 1＋x 2)＋(t －1)2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t 2－21＋2k 2k 2·2t 2－21＋2k 2＋k (t －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4kt 1＋2k 2＋(t －1)2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t . 又|OM |·|ON |＝2，所以2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t ＝2. 解得t ＝0，所以直线l 经过定点(0,0)． 热点题型2 圆锥曲线中的定值问题典例1 (2019·全国卷Ⅰ)已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，|AB |＝4，⊙M 过点A ，B 且与直线x ＋2＝0相切．(1)若A 在直线x ＋y ＝0上，求⊙M 的半径；(2)是否存在定点P ，使得当A 运动时，|MA |－|MP |为定值？并说明理由． 解题思路 (1)由点A ，B 关于坐标原点O 对称和点A 在直线x ＋y ＝0上知，点A ，B 都在直线x ＋y ＝0上，于是得点M 在线段AB 的垂直平分线，即y ＝x 上，设圆心M 为(a ，a )．根据⊙M 与直线x ＝－2相切和MO→⊥AO →，求a 从而得到⊙M的半径．(2)联系第(1)问求圆心M 坐标的方法．找等量关系，求出M 的轨迹方程，进而利用相应曲线的性质求|MA |，|MP |，判断|MA |－|MP |是否为定值．规范解答 (1)因为⊙M 过点A ，B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上．由已知A 在直线x ＋y ＝0上，且A ，B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y ＝x 上，故可设圆心M 为(a ，a )．因为⊙M 与直线x ＋2＝0相切， 所以⊙M 的半径为r ＝|a ＋2|. 由已知得|AO |＝2.又MO →⊥AO →，故可得2a 2＋4＝(a ＋2)2， 解得a ＝0或a ＝4. 故⊙M 的半径r ＝2或r ＝6.(2)存在定点P (1,0)，使得|MA |－|MP |为定值． 理由如下：设圆心M 为(x ，y )，由已知，得⊙M 的半径为r ＝|x ＋2|，|AO |＝2.由于MO →⊥AO →，故可得x 2＋y 2＋4＝(x ＋2)2，化简得M 的轨迹方程为y 2＝4x . 因为曲线C ：y 2＝4x 是以点P (1,0)为焦点，以直线x ＝－1为准线的抛物线，所以|MP |＝x ＋1.因为|MA |－|MP |＝r －|MP |＝x ＋2－(x ＋1)＝1， 所以存在满足条件的定点P (1,0)．典例2 (2019·青岛三模)已知O 为坐标原点，点F 1，F 2为椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，G 为椭圆M 上的一个动点，△GF 1F 2的最大面积为3，椭圆M 的离心率为12.(1)求椭圆M 的标准方程；(2)过抛物线N ：x 2＝433y 上的一点P 与抛物线N 相切的直线l 与椭圆M 相交于A ，B 两点，设AB 的中点为C ，直线OP 与直线OC 的斜率分别是k 1，k 2，证明：k 1k 2为定值．解题思路 (1)根据题意，列方程组，结合a ，b ，c 的关系即可求得a 和b 的值，进而求得椭圆方程．(2)通过求导求得直线AB 的方程，代入椭圆方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式，即可求得k 1k 2为定值．规范解答 (1)因为△GF 1F 2的最大面积为3，椭圆M 的离心率为12.所以⎩⎪⎨⎪⎧12×2c ×b ＝3，c a ＝12，又因为a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝3，所以椭圆M的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：设Pt ，3t 24，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 因为抛物线方程N ：y ＝34x 2， 对其求导得y ′＝32x ， 则直线AB 的方程为y ＝32t (x －t )＋34t 2＝3t 2x －34t 2， 将直线AB 的方程代入椭圆方程x 24＋y 23＝1， 可得12(1＋t 2)x 2－12t 3x ＋3t 4－48＝0，因为x 1＋x 2＝t 31＋t 2，y 1＋y 2＝3t 2(x 1＋x 2)－3t 22＝－3t 22(1＋t 2)，所以点C t 32(1＋t 2)，－3t 24(1＋t 2)，所以k 1＝3t 4，k 2＝－32t ，所以k 1k 2＝－38. 热点题型3 圆锥曲线中的证明问题典例1 已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，过焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点．(1)若AB ∥l ，且△ABD 的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M 为AB 的中点，过M 作l 的垂线，垂足为N .证明：直线AN 与抛物线相切．解题思路 (1)判断△ABD 的形状，求|FD |，|AB |.由△ABD 的面积为1，列方程求p ，得抛物线的方程．(2)将直线AB 的方程与抛物线C 的方程联立，消去y 并整理，结合根与系数的关系用k ，p 表示M ，N 的坐标．求k AN ：①斜率公式，②导数的几何意义，两个角度求斜率相等，证明相切．规范解答 (1)∵AB ∥l ，∴△ABD 为等腰三角形，且FD ⊥AB ，又|FD |＝p ，|AB |＝2p .∴S △ABD ＝p 2＝1.∴p ＝1，故抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)证明：显然直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋p 2，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 212p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 222p .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py消去y 整理得，x 2－2kpx －p 2＝0.∴x 1＋x 2＝2kp ，x 1x 2＝－p 2. ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫kp ，k 2p ＋p 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫kp ，－p 2.∴k AN ＝x 212p ＋p 2x 1－kp ＝x 212p ＋p 2x 1－x 1＋x 22＝x 21＋p 22p x 1－x 22＝x 21－x 1x 22p x 1－x 22＝x 1p . 又x 2＝2py ，∴y ′＝x p .∴抛物线x 2＝2py 在点A 处的切线的斜率k ′＝x 1p . ∴直线AN 与抛物线相切．典例2 (2019·福州三模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－1,0)，过F 且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的弦长为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点M (－4,0)，过F 作直线l 交椭圆于A ，B 两点，证明：∠FMA ＝∠FMB .解题思路 (1)根据焦点坐标求c ，由点－c ，b 2a 在椭圆上和过F 且垂直于x 轴的弦长为3，列出关于a ，b 的方程，结合a 2＝b 2＋c 2求出a ，b ，得出椭圆的方程．(2)先讨论直线l 斜率不存在的情况，再讨论直线l 斜率存在的情况．设直线l 的斜率为k ，列出直线l 的方程，并与椭圆方程联立，消元得到关于x 的方程．根据根与系数的关系计算出k AM ＋k BM ＝0，从而得出结论．规范解答 (1)由题意，知c ＝1，把x ＝－1代入椭圆方程，得1a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±b 2a ，∴b 2a ＝32，又a 2＝b 2＋1，得a ＝2，b ＝3， ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：当直线l 斜率不存在时，由对称性知 ∠FMA ＝∠FMB ；当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)， 代入椭圆方程，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，∴k AM ＋k BM ＝y 1x 1＋4＋y 2x 2＋4＝k (x 1＋1)(x 2＋4)＋k (x 2＋1)(x 1＋4)(x 1＋4)(x 2＋4)＝k [2x 1x 2＋5(x 1＋x 2)＋8](x 1＋4)(x 2＋4)，∵2x 1x 2＋5(x 1＋x 2)＋8＝8k 2－243＋4k 2－40k 23＋4k 2＋8＝0，∴k AM ＋k BM ＝0，∴∠FMA ＝∠FMB . 综上，∠FMA ＝∠FMB .热点题型4 圆锥曲线中的最值与范围问题典例1 (2019·包头二模)设F 为抛物线C ：y 2＝2px 的焦点，A 是C 上一点，F A 的延长线交y 轴于点B ，A 为FB 的中点，且|FB |＝3.(1)求抛物线C 的方程；(2)过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于M ，N 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，求四边形MDNE 面积的最小值．解题思路 (1)由题意画出图形，结合已知条件列式求得p ，则抛物线C 的方程可求．(2)由已知直线l 1的斜率存在且不为0，设其方程为y ＝k (x －1)，与抛物线方程联立，求出|MN |，同理可求|DE |实际上，在|MN |的表达式中用－1k 代替k 即可，可得四边形MDNE 的面积表达式，再利用基本不等式求最值．规范解答 (1)如图，∵A 为FB 的中点，∴A 到y 轴的距离为p4，∴|AF |＝p 4＋p 2＝3p 4＝|FB |2＝32，解得p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)由已知直线l 1的斜率存在且不为0，设其方程为y ＝k (x －1)． 由⎩⎨⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. ∵Δ>0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2＋4k 2，则|MN |＝x 1＋x 2＋2＝41＋1k2；同理设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，∴x 3＋x 4＝2＋4k 2，则|DE |＝x 3＋x 4＋2＝4(1＋k 2)．∴四边形MDNE的面积S ＝12|MN |·|DE |＝82＋k 2＋1k 2≥32.当且仅当k ＝±1时，四边形MDNE 的面积取得最小值32.典例2 如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (2,0)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过点A 且斜率为12的直线与y 轴交于点P ，与椭圆交于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为点F 1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P 且斜率大于12的直线与椭圆交于M ，N 两点(|PM |>|PN |)，若S △P AM ∶S△PBN＝λ，求实数λ的取值范围．解题思路 (1)求点B 的坐标→根据k AB ＝12列方程→由题意得a ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解方程组求a ，b ，c ，写出椭圆C 的标准方程．(2)S △P AM ∶S △PBN ＝λ――→面积公式PM →与PN →的关系→点M ，N 坐标之间的关系→直线MN 的方程与椭圆C 的方程联立，消去y 整理→用根与系数的关系得出点M ，N 的坐标之间的关系式→推出λ与k 的关系，并根据k >12求范围，找到λ所满足的不等式，求出λ的取值范围．规范解答 (1)因为BF 1⊥x 轴，所以点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b 2a (a ＋c )＝12，a 2＝b 2＋c 2⇒⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)因为S △P AM S △PBN ＝12|P A |·|PM |·sin ∠APM12|PB |·|PN |·sin ∠BPN＝2·|PM |1·|PN |＝λ⇒|PM ||PN |＝λ2(λ>2)， 所以PM→＝－λ2PN →. 由(1)可知P (0，－1)，设直线MN ：y ＝kx －1⎝ ⎛⎭⎪⎫k >12，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 24＋y 23＝1，化简得，(4k 2＋3)x 2－8kx －8＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k4k 2＋3，x 1x 2＝－84k 2＋3.(*)又PM →＝(x 1，y 1＋1)，PN →＝(x 2，y 2＋1)， 有x 1＝－λ2x 2，将x 1＝－λ2x 2代入(*)可得，(2－λ)2λ＝16k 24k 2＋3.因为k >12，所以16k 24k 2＋3＝163k 2＋4∈(1,4)，则1<(2－λ)2λ<4且λ>2⇒4<λ<4＋2 3. 综上所述，实数λ的取值范围为(4,4＋23)． 热点题型5 圆锥曲线中的探索性问题典例1 (2019·巢湖一模)已知抛物线E ：y 2＝4x ，圆C ：(x －3)2＋y 2＝1. (1)若过抛物线E 的焦点F 的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；(2)在(1)的条件下，若直线l 交抛物线E 于A ，B 两点，x 轴上是否存在点M (t,0)使∠AMO ＝∠BMO (O 为坐标原点)？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解题思路 (1)求得抛物线的焦点，设出直线l 的方程，运用直线l 和圆C 相切的条件：d＝r，解方程可得所求直线方程．(2)设出A，B的坐标，联立直线l的方程和抛物线E的方程，运用根与系数的关系和直线的斜率公式，依据∠AMO＝∠BMO，即k AM＋k BM＝0列方程化简整理，解方程可得t，即得点M的坐标，从而得到结论．规范解答(1)由题意，得抛物线的焦点F(1,0)，当直线l的斜率不存在时，过F的直线不可能与圆C相切，所以直线l的斜率存在．设直线l的斜率为k，方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，由圆心(3,0)到直线l的距离为d＝|3k－k|1＋k2＝2|k|1＋k2，当直线l与圆C相切时，d＝r＝1，解得k＝±3 3，即直线l的方程为y＝±33(x－1)．(2)由(1)，当直线l的方程为y＝33(x－1)时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立抛物线E的方程可得x2－14x＋1＝0，则x1＋x2＝14，x1x2＝1，x轴上假设存在点M(t,0)使∠AMO＝∠BMO，即有k AM＋k BM＝0，得y1x1－t＋y2x2－t＝0，即y1(x2－t)＋y2(x1－t)＝0，由y1＝33(x1－1)，y2＝33(x2－1)，可得2x1x2－(x1＋x2)－(x1＋x2－2)t＝0，即2－14－12t＝0，即t＝－1，M(－1,0)符合题意；当直线l的方程为y＝－33(x－1)时，由对称性可得M(－1,0)也符合条件．所以存在定点M(－1,0)使∠AMO＝∠BMO.典例2 (2019·汕头模拟)已知点A (0，－1)，B (0,1)，P 为椭圆C ：x 22＋y 2＝1上异于点A ，B 的任意一点．(1)求证：直线P A ，PB 的斜率之积为－12；(2)是否存在过点Q (－2,0)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，使得|BM |＝|BN |？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解题思路 (1)设点P (x ，y )(x ≠0)，代入椭圆方程，由直线的斜率公式，即可得证．(2)假设存在直线l 满足题意．显然当直线斜率不存在时，直线与椭圆C 不相交，讨论直线的斜率是否为0，联立直线方程和椭圆方程，运用根与系数的关系和两直线垂直的条件：由|BM |＝|BN |想到在△BMN 中，边MN 所在直线的斜率与MN 边上的中线所在直线的斜率之积为－1，可得所求直线方程．规范解答 (1)证明：设点P (x ，y )(x ≠0)，则x 22＋y 2＝1，即y 2＝1－x 22，∴k P A ·k PB ＝y ＋1x ·y －1x ＝y 2－1x 2＝1－x 22－1x 2＝－12，故得证．(2)假设存在直线l 满足题意．显然当直线斜率不存在时，直线与椭圆C 不相交．①当直线l 的斜率k ≠0时，设直线l 为y ＝k (x ＋2)，联立椭圆方程x 2＋2y 2＝2，化简得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－2＝0，由Δ＝64k 4－4(1＋2k 2)(8k 2－2)>0， 解得－22<k <22(k ≠0)，设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4k ＝k ·－8k 21＋2k 2＋4k ＝4k 1＋2k 2， 取MN 的中点H ，即Hx 1＋x 22，y 1＋y 22，则y 1＋y 22－1x 1＋x 22·k ＝－1， 即2k 1＋2k 2－1－4k 21＋2k 2·k ＝－1， 化简得2k 2＋2k ＋1＝0，无实数解，故舍去．②当k ＝0时，M ，N 为椭圆C 的左、右顶点，显然满足|BM |＝|BN |， 此时直线l 的方程为y ＝0.综上可知，存在直线l 满足题意，此时直线l 的方程为y ＝0.。
圆锥曲线中的弦长问题与长度和、差、商、积问题【八大题型】新高考用(原卷版)—25年新高考数学一轮复习
圆锥曲线中的弦长问题与长度和、差、商、积问题【八大题型】【题型1 椭圆的弦长问题】 (2)【题型2 双曲线的弦长问题】 (3)【题型3 抛物线的弦长问题】 (4)【题型4 长度及其最值（范围）问题】 (5)【题型5 长度之和问题】 (6)【题型6 长度之差问题】 (7)【题型7 长度之商问题】 (8)【题型8 长度之积问题】 (9)1、圆锥曲线中的弦长问题与长度和、差、商、积问题圆锥曲线是高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，弦长问题与长度和、差、商、积问题是考查的重要方向，以选择题或填空题的形式考查时，难度不大；以解答题的形式考查时，有时会与向量、数列等知识结合考查，难度较大；联立直线与圆锥曲线方程并灵活运用弦长公式是解决此类问题的关键，复习时要加强此类问题的训练.【知识点1 圆锥曲线中的弦长问题】1．椭圆的弦长问题(1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.(2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1 (a>b>0)于，两点，2．双曲线的弦长问题(1)弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长(2)解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.(3)处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.(4)双曲线的通径：过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还是在y3．抛物线的弦长问题设直线与抛物线交于A,B两点，则|AB|AB(k为直线的斜率，k≠0).4．弦长公式的两种形式(1)若A,B是直线y=kx+m与圆锥曲线的两个交点，且由两方程联立后消去y，得到一元二次方程(2)若A,B是直线x=my+n与圆锥曲线的两个交点，且由两方程联立后消去x，得到一元二次方程【题型1 椭圆的弦长问题】【例1】（2024·云南昆明·模拟预测）已知直线l是圆C：x2+y2=1的切线，且l与椭圆E：x23+y2=1交于A，B两点，则|AB|的最大值为（）A．2B C D．1【变式1-1】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆C:x24+y2=1，过原点O且倾斜角为π4的直线交椭圆于A,B两点，则|AB|=（）A B C D【变式1-2】（2024·河南·模拟预测）已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P为椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的面积为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若倾斜角为π4的直线l 与C 相交于两个不同的点A,B ，求|AB |的最大值．【变式1-3】（2024·河北衡水·一模）已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过.F 1,F 2分别为椭圆的左､右焦点，P 为椭圆上的点（P 不在x 轴上），过椭圆右焦点F 2的直线l 与椭圆交于A ､B 两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)求|AB |的范围.【题型2 双曲线的弦长问题】【例2】（2024·北京·模拟预测）已知双曲线C:y 2―x 23=1的两个焦点分别为F 1,F 2，过F 1的直线与双曲线C的同一支交于A ，B 两点，且|BF 1|=2|AF 1|，则线段AB 的长度为（ ）A ．94B ．9C ．274D ．6【变式2-1】（2024·山东·模拟预测）过双曲线x 2―y 2=2的左焦点作直线l ，与双曲线交于A,B 两点，若|AB |=4，则这样的直线l 有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【变式2-2】（2024·海南·模拟预测）已知双曲线C:x 2a 2―y 2b 2=1(a >0，b >0)的实轴长为在双曲线C 上.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过点P 且斜率为C 的另一个交点为Q ，求|PQ |.【变式2-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线C:x 2a 2―y 2b 2=1(b >a >1)的左、右焦点分别为F 1、F 2，两条渐近线的夹角为60∘，y 0是双曲线上一点，且△MF 1F 2的面积为(1)求该双曲线的标准方程；(2)若直线l 与双曲线C 交于P 、Q 两点，且坐标原点O 在以PQ 为直径的圆上，求|PQ |的最小值.【题型3 抛物线的弦长问题】【例3】（2024·河南开封·一模）已知O 为坐标原点，过抛物线C:y 2=8x 焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，若|AF|=|AO|，则|AB|=（ ）A ．5B ．9C ．10D ．18【变式3-1】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，准线与x 轴交于点M ，直线l 过其焦点F 且与C 交于A ， B 两点，若直线AM |AB|=（ ）A B C ．4D ．5【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）已知点P(a,b)(a>0,b>0)在抛物线C:y2=2px(p>0)上，记O为坐标原点，|OP|=3，以P为圆心，|OP|为半径的圆与抛物线C的准线相切．2(1)求抛物线C的方程；(2)记抛物线C的焦点为F，过点F作直线l与直线PF垂直，交抛物线C于A，B两点，求弦AB的长．【变式3-3】（2024·广西·模拟预测）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.(1)求C的方程；(2)若P为直线l:x=―2上的一动点，过P作抛物线C的切线PA,PB,A,B为切点，直线AB与l交于点M，过F作AB 的垂线交l于点N，当|MN|最小时.求|AB|.【题型4 长度及其最值（范围）问题】【例4】（23-24高三上·湖北武汉·开学考试）设双曲线E1x2―y23=1的左右焦点为F1，F2，左顶点为A，点M是双曲线E在第一象限中内的一点，直线MF1交双曲线E的左支于点N，若NA//MF2，则|MF2|=（）A．74B．52C．83D．114【变式4-1】（2024·吉林·模拟预测）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，A是C上一点，O为坐标原点，若△AOF+1，则|AF|=（）A．B．C．D．【变式4-2】（23-24高三下·河南周口·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，一动圆过点F(1,0)且与直线x=―1相切，设该动圆的圆心C的轨迹为曲线Γ．(1)求Γ的方程；(2)设P为Γ在第一象限内的一个动点，过P作曲线Γ的切线l1，直线l2过点P且与l1垂直，l2与Γ的另外一个交点为Q，求|PQ|的最小值．【变式4-3】（2024·河北张家口·三模）已知点F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过F1(―c,0)的直线l（斜率不为0）交椭圆C于P，Q两点，当直线l的斜率不存在时，|PQ|=3c．(1)求椭圆C的离心率；(2)若点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，且△PAB面积的最大值为PA与直线QB相交于点M，求|OM|的取值范围．【题型5 长度之和问题】【例5】（2024·河北承德·二模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点到右焦点的距离是3，且C的离心率是12，过左焦点F的直线l与椭圆交于A,B两点，过左焦点且与直线l垂直的直线l′与椭圆交于M,N两点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求|AB|+|MN|的取值范围.【变式5-1】（23-24高三上·陕西西安·开学考试）已知点F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，点P(1,2)，Q(0,1)，且|PF|=|QF|.(1)求抛物线C的标准方程；(2)若正方形ABCD的顶点A、B在直线l:x―y+2=0上，顶点C、D在抛物线C上，求|FC|+|FD|.【变式5-2】（2024·内蒙古赤峰·一模）已知抛物线P:y2=2px(0<p<5)上一点Q的纵坐标为4，点Q到焦点F的距离为5，过点F做两条互相垂直的弦AB、CD．(1)求抛物线P的方程．(2)求|AB|+|CD|的最小值．【变式5-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为F1,F2，上､下顶点分别为A1,A2，四边形A1F1A2F2的面积为且有一个内角为π3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若以线段F1F2为直径的圆与椭圆C无公共点，过点A(1,3)的直线与椭圆C交于P,Q两点（点P在点Q的上方），线段PQ上存在点M，使得|AP||AQ|=|MP||MQ|，求|MF1|+|MF2|的最小值.【题型6 长度之差问题】【例6】（24-25高三上·全国·阶段练习）设椭圆C：x24+y23=1的右焦点为F，动点P在椭圆C上，点A是直线4x―5y―12=0上的动点，则|PA|―|PF|的最小值为（）A．―B C4D．4【变式6-1】（23-24高二上·天津·期末）已知双曲线E:x2m ―y23=1(m>0)的离心率为2，右焦点为F，动点P在双曲线右支上，点A(0,2)，则|―|PA|最大值为（）A B―2C．D．2【变式6-2】（23-24高二上·上海·课后作业）已知点P是双曲线x29―y216=1右支上的一点，点M、N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x―5)2+y2=1上的点，求|PM|―|PN|的最大值．【变式6-3】（2024·山东济南·三模）如图所示，抛物线y2=2px(p>0)的准线过点(―2,3)，(1)求抛物线的标准方程;(2)若角α为锐角，以角α为倾斜角的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点，作线段AB的垂直平分线l交x轴于点P，证明:|FP|―|FP|cos2α为定值，并求此定值.【题型7 长度之商问题】【例7】（2024·四川绵阳·A(2,0)的直线l与拋物线C:y2=2px(p>0)交于点M，N（M在第一象限），且当直线l的倾斜角为π时，|MN|=4(1)求抛物线的方程；(2)若B(3,0)，延长MB交抛物线C于点P，延长PN交x轴于点Q，求|QN|的值.|QP|【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）已知直线l:y=kx+m(m2=k2+1,k≠0)和椭圆T:x23+y2=1．(1)证明：l与T恒有两个交点；(2)若A,B为l与T的两个交点，过原点且垂直于l的直线交T于C,D两点，求|CD||AB|的最小值．【变式7-2】（2024·重庆·模拟预测）已知双曲线M:x2a2―y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，点A(―2,3)在双曲线M上，且|AF1|+|AF2|=8．(1)求双曲线M的方程；(2)记∠F1AF2的平分线所在的直线为直线l，证明：双曲线M上存在相异两点B,C关于直线l对称，并求出|AE||BC|（E为BC的中点）的值．【变式7-3】（2024·四川遂宁·模拟预测）已知过点(0,2)的直线l与抛物线C:x2=2py(p>0)交于A,B两点，抛物线在点A处的切线为l1，在B点处的切线为l2，直线l1与直线l2交于点M，当直线l的倾斜角为450时，|AB|=(1)求抛物线C的方程；(2)设线段AB的中点为N，求|AB||MN|的取值范围．【题型8 长度之积问题】【例8】（2024·江苏南通·模拟预测）已知双曲线C:x2a2―y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，焦距为4，C上一点P满足cos∠F1F2P=―△PF1F2的面积为(1)求C的方程；(2)过C的渐近线上一点T作直线l与C相交于点M，N，求|TM|⋅|TN|的最小值．【变式8-1】（2024·陕西安康·三模）已知M(1,2)为抛物线C:y2=2px上一点．(1)求抛物线C的准线方程；(2)过点T(0,1)的直线l与抛物线C交于A，B两点，且直线MA与MB的倾斜角互补，求|TA|⋅|TB|的值．【变式8-2】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知直线l与椭圆C:x24+y2=1交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两不同点，且△OPQ的面积S△OPQ=1，其中O为坐标原点.(1)证明：x21+x22和y21+y22均为定值；(2)设线段PQ的中点为M，求|OM|⋅|PQ|的最大值.【变式8-3】（2024·江西·一模）已知双曲线C:x2a2―y2b2=1（a>0，b>0）的一条渐近线的倾斜角为π3，C的右焦点F到该渐近线的距离为(1)求C的方程；(2)若过F的直线与C的左、右支分别交于点A，B，与圆O:x2+y2=a2交于与A，B不重合的M，N两点.（ⅰ）求直线AB斜率的取值范围；（ⅱ）求|AB|⋅|MN|的取值范围.一、单选题1．（2024·河北秦皇岛·二模）已知A，B为椭圆C：x29+y25=1上两个不同的点（直线AB与y轴不平行），F为C的右焦点，且|AF|+|BF|=4，若线段AB的垂直平分线交x轴于点P，则|FP|=（）A．43B．53C．54D．322．（2024·新疆·C：y2=x的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦PQ与弦MN的交点恰好为F，且PQ⊥MN，则1|PQ|+1|MN|=（）A B．1C D．23．（2024·陕西西安·模拟预测）已知双曲线C:x2a2―y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F1，圆O:x2+y2=a2.若过F1的直线分别交C的左、右两支于A，B两点，且圆O与F1B相切，C的离心率为3,F1到C的渐近线的距离为|AB|=（）A．327B．307C．207D．1674．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，F1，F2分别是C的左、右焦点，且△F1AB P为C上的任意一点，则1|PF1|+1|PF2|的取值范围为（）A．[1,2]B．C．D．[1,4]5．（2024·全国·模拟预测）如图，已知双曲线C:x 2a 2―y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 为双曲线右支上一点，且F 2P 的延长线交y 轴于点A ，且F 1P ⋅F 2P =0，△APF 1的内切圆半径为4，△PF 1F 2的面积为9，则|AF 2||PF 2|=（ ）A ．18B ．32C ．50D ．146．（23-24高二上·河南商丘·阶段练习）设双曲线x 2a 2―y 2=1的左、右焦点为F 1、F 2，渐近线方程为y =±12x ，过F 1直线l 交双曲线左支于A 、B 两点，则|AF 2|+|BF 2|的最小值为（ ）A ．9B ．10C ．14D ．1527．（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知抛物线C:y 2=6x 的焦点为F ，O 为坐标原点，倾斜角为θ的直线l 过点F 且与C 交于M ，N 两点，若△OMN 的面积为 ）A ．sin θ=12B ．|MN |=24C ．以MF 为直径的圆与y 轴仅有1个交点D ．|MF ||NF |=或|MF ||NF |=8．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆E:x 29+y 25=1的左焦点为F ，过F 的直线l 与E 交于A ，B 两点，则下列说法正确的是（ ）A ．若直线l 垂直于x 轴，则|AB |=154B ．|AB |∈,6C ．若|AB |=5，则直线lD ．若|AF |=2|BF |，则|AB |=1039．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知直线y =―x +1经过椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点和一个顶点Q ，且与E 在第四象限交于点P,E 的左、右焦点分别为F 1,F 2，则（ ）A ．E 离心率为12B ．△PQF 1的周长为C ．以PF 1为直径的圆过点QD ．|PQ|=10．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C:x 23―y 2=1的右焦点为F ，动点M,N 在直线l:x =32上，且FM ⊥FN ，线段FM 交C 于点P ，过P 作l 的垂线，垂足为R ，则（ ）A ．△FMN 的面积S ≥12B ．|PR ||PF |=C ．|MR |⋅|HN |=|FH |⋅|PR |D ．|MP |⋅|NF ||MN |⋅|PF |为定值11．（2024·福建龙岩·三模）已知抛物线C:y 2=2px(p >0)与圆O:x 2+y 2=20交于A ，B 两点，且|AB|=8.过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，点P 是抛物线C 上异于顶点的任意一点，点Q 是抛物线C 的准线与坐标轴的交点，则（ ）A ．若MF =3FN ，则直线l 的斜率为±．|MF|+4|NF|的最小值为18C ．∠MON 为钝角D ．点P 与点F 的横坐标相同时，|PF||PQ|最小三、填空题12．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知P 为双曲线C:x 24―y 2=1的右支上一点，点A,B 分别在C 的两条渐近线上，O 为坐标原点，若四边形OAPB 为平行四边形，且|PA |=1，则|PB |= ，13．（2024·重庆·模拟预测）已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 是圆(x ―2)2+y 2=1的圆心，过点F 的直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A,B,C,D ，则|AB |+|CD |的取值范围为 ．14．（2024·河南·模拟预测）已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，点F 为C 的一个焦点，点A,B 为C 的两个顶点，若|FA |=3，|FB |=2，则|AB |的可能值中的最大值为 ．15．（2024·安徽·一模）已知双曲线C：x2a2―y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2.且经过点(2,3).(1)求C的方程；(2)若直线l与C交于A，B两点，且OA⋅OB=0（点O为坐标原点），求|AB|的取值范围.16．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右顶点分别为A1,A2，左､右焦点分别为F1,F2,M是椭圆C上一点，MF2⊥F1F2,|MA1|=MA2的斜率为―32.(1)求椭圆C的方程；(2)若过右焦点F2的直线与椭圆C交于点P,Q，直线A1P,A2Q交于点N，求当|A1P||PN|=12时，|PF2|的值.17．（2024·海南海口·二模）已知抛物线C：y2=2px(p>0)的准线与x轴的交点为E(―1,0)，C的焦点为F.经过点E的直线l与C分别交于A，B两点.(1)设直线AF，BF的斜率分别为k1，k2，证明：k1+k2=0；(2)记△ABF与△BEF的面积分别为S1，S2，若S1=3S2，求|AF|+|BF|.18．（2024·新疆·一模）已知双曲线C:x2a2―y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2，离心率为2，M是C上一点，且MF2⊥F1F2，△MF1F2的周长为12.(1)求C的方程;(2)过F2的直线l与C的右支交于A，B两点，过原点O作AB的垂线，并且与双曲线右支交于点P，证明：1|OP|2―2|AB|为定值.19．（2024·河南新乡·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，且|F1F2|=2，过点F2作两条直线l1,l2，直线l1与C交于A,B两点，△F1AB的周长为(1)求C的方程；(2)若△F1AB的面积为43，求l1的方程；(3)若l2与C交于M,N两点，且l1的斜率是l2的斜率的2倍，求|MN|―|AB|的最大值．。
高考数学一轮复习 大题专项突破 高考大题专项5 直线与圆锥曲线(压轴大题) 文 北师大版-北师大版高
高考大题专项五直线与圆锥曲线压轴大题突破1圆锥曲线中的最值、X围、证明问题1.(2018某某某某一模,20)已知椭圆M:=1(a>b>0)的离心率为,点P1,在椭圆M上.(1)求椭圆M的方程;(2)经过椭圆M的右焦点F的直线l与椭圆M交于C,D两点,A,B分别为椭圆M的左、右顶点,记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2,求|S1-S2|的取值X围.2.(2018某某某某一中四模,20)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M在椭圆上,有|MF1|+|MF2|=4,椭圆的离心率为e=.(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知N(4,0),过点N作斜率为k(k>0)的直线l与椭圆交于A,B不同两点,线段AB的中垂线为l',记l'的纵截距为m,求m的取值X围.3.(2018海淀区二模,20)已知椭圆C:x2+2y2=1的左右顶点分别为A1,A2.(1)求椭圆C的长轴长与离心率;(2)若不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,直线A1P与A2Q交于点M,直线A1Q与A2P交于点N.求证:直线MN垂直于x轴.4.(2018某某某某质检,20)已知抛物线C1:y2=2px(p>0),圆C2:x2+y2=4,直线l:y=kx+b与抛物线C1相切于点M,与圆C2相切于点N.(1)若直线l的斜率k=1,求直线l和抛物线C1的方程;(2)设F为抛物线C1的焦点,设△FMN,△FON的面积分别为S1,S2,若S1=λS2,求λ的取值X围.5.(2018某某巴蜀中学适应性考试(七),20)已知椭圆=1(a>b>0)与直线y=x-2相切,设椭圆的上顶点为M,F1,F2是椭圆的左、右焦点,且△MF1F2为等腰直角三角形.(1)求椭圆的标准方程;(2)直线l过点N0,-交椭圆于A,B两点,直线MA、MB分别与椭圆的短轴为直径的圆交于S,T两点,求证:O,S,T三点共线.6.(2018某某某某联考,20)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率e=,左、右焦点分别为F1,F2,且F2与抛物线y2=4x的焦点重合.(1)求椭圆的标准方程;(2)若过F1的直线交椭圆于B,D两点,过F2的直线交椭圆于A,C两点,且AC⊥BD,求|AC|+|BD|的最小值.突破2圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.(2018某某某某质检一,20)设O为坐标原点,椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为.直线l:y=kx+m(m>0)与C交于A,B两点,AF的中点为M,|OM|+|MF|=5.(1)求椭圆C的方程;(2)设点P(0,1),=-4,求证:直线l过定点,并求出定点的坐标.2.(2018东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、某某省实验中学)一模,20)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆C的左、右焦点,M为椭圆C上的任意一点,△MF1F2的面积的最大值为1,A、B为椭圆C上任意两个关于x轴对称的点,直线x=与x轴的交点为P,直线PB交椭圆C于另一点E.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求证:直线AE过定点.3.(2018某某一模,20)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,且C过点1,.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l与椭圆C交于P,Q两点(点P,Q均在第一象限),且直线OP,l,OQ的斜率成等比数列,证明:直线l的斜率为定值.4.已知定直线l:y=x+3,定点A(2,1),以坐标轴为对称轴的椭圆C过点A且与l相切.(1)求椭圆的标准方程;(2)椭圆的弦AP,AQ的中点分别为M,N,若MN平行于l,则OM,ON斜率之和是否为定值?若是定值,请求出该定值;若不是定值,请说明理由.5.(2018某某六校联考,20)已知F1,F2分别是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,其中右焦点为抛物线y2=4x的焦点,点M-1,在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设与坐标轴不垂直的直线l过F2与椭圆C交于A,B两点,过点M-1,且平行直线l的直线交椭圆C于另一点N,若四边形MNBA为平行四边形,试问直线l是否存在?若存在,请求出l的斜率;若不存在,请说明理由.6.(2018某某省部分重点中学协作体模拟,20)已知M是椭圆C:=1(a>b>0)上的一点,F1,F2是该椭圆的左右焦点,且|F1F2|=2.(1)求椭圆C的方程;(2)设点A,B是椭圆C上与坐标原点O不共线的两点,直线OA,OB,AB的斜率分别为k1,k2,k3,且k1k2=k2.试探究|OA|2+|OB|2是否为定值,若是,求出定值,若不是,说明理由.高考大题专项五直线与圆锥曲线压轴大题突破1圆锥曲线中的最值、X围、证明问题1.解 (1)因为e=,椭圆M过点P1,,所以c=1,a=2.所以椭圆M方程为=1.(2)当直线l无斜率时,直线方程为x=1,此时C1,-,D1,,△ABD,△ABC面积相等,|S1-S2|=0;当直线l斜率存在(显然k≠0)时,设直线方程为y=k(x-1),设C(x1,y1),D(x2,y2).由消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,显然Δ>0,方程有根,且x1+x2=,x1x2=,此时|S1-S2|=2||y2|-|y1||=2|y2+y1|=,因为k≠0,上式=k=±时等号成立, 所以|S1-S2|的最大值为,所以0≤|S1-S2|≤.2.解 (1)因为|MF1|+|MF2|=4,所以2a=4,所以a=2.因为e=,所以c=1,所以b2=a2-c2=3,所以椭圆C的标准方程为=1.(2)由题意可知直线l的斜率存在,设l:y=k(x-4),A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0,x1+x2=,x1x2=,又Δ=-4(4k2+3)(64k2-12)>0,解得-<k<,故0<k<.设A,B的中点为P(x0,y0),则x0=,y0=k(x0-4)=-,所以l':y-y0=-(x-x0),即y+=-x-,化简得y=-x+,令x=0,得m=,k∈0,,m'=,当k∈0,时,m'>0恒成立,所以m=在k∈0,上为增函数,所以0<m<.3.(1)解椭圆C的方程可化为+y2=1,所以a=,b=1,c=1.所以长轴长为2a=2,离心率e=.(2)证明显然直线A1P,A2Q,A1Q,A2P的斜率都存在,且互不相等,分别设为k1,k2,k3,k4.设直线A1P的方程为y=k1(x+),A2Q的方程为y=k2(x-),联立直线A1P与直线A2Q方程得x M=.同理可得x N=.下面证明k1k4=-.设P(x0,y0),则+2=2.所以k1k4==-.同理k2k3=-.所以x N==x M.所以直线MN垂直于x轴.4.解 (1)由题设知l:x-y+b=0,且b>0,由l与C2相切知,C2(0,0)到l的距离d==2,得b=2,所以l:x-y+2=0.将l与C1的方程联立消x得y2-2py+4p=0,其Δ=4p2-16p=0得p=4,∴C1:y2=8x.综上所述,l:x-y+2=0,C1:y2=8x.(2)不妨设k>0,根据对称性,k>0得到的结论与k<0得到的结论相同.此时b>0,又知p>0,设M(x1,y1),N(x2,y2),由消去y得k2x2+2(kb-p)x+b2=0,由Δ=4(kb-p)2-4k2b2=0,得p=2kb,M,由l与C2切于点N知C2(0,0)到l:kx-y+b=0的距离d==2,得b=2,则p=4k,故M,4.由得N-,故|MN|=|x M-x N|==.F,0到l:kx-y+b=0的距离d0==2k2+2,所以S1=S△FMN=|MN|d0=,又因为S2=S△FON=|OF|·|y N|=2k,所以λ==+2(k2+1)=2k2++3≥2+3,当且仅当2k2=即k=时取等号, 与上同理可得,k<0时亦是同上结论.综上所述,λ的取值X围是[3+2,+∞).5.(1)解∵△MF1F2为等腰直角三角形,∴b=c,a=b,∴椭圆的方程为x2+2y2=2b2.由消去x整理得4y2+8y+16-2b2=0,∵椭圆与直线相切,∴Δ=128-16(16-2b2)=0,解得b2=4.∴椭圆的标准方程为x2+2y2=8,即=1.(2)证明由题意得直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx-,由消去y整理得(1+2k2)x2-kx-=0,∵直线AB与椭圆交于两点,∴Δ=+4×(2k2+1)=(9k2+4)>0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,又M(0,2),∴=x1x2+(y1-2)(y2-2)=x1x2+kx1-kx2-=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+=-=-+1=0.∴MA⊥MB,∴∠SMT=.∵圆的直径为椭圆的短轴,∴圆心为原点O,∴点O,S,T三点共线.6.解 (1)抛物线y2=4x的焦点为(1,0),所以c=1,又因为e=,所以a=,所以b2=2,所以椭圆的标准方程为=1.(2)①当直线BD的斜率k存在且k≠0时,直线BD的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程=1,化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2-6=0.设B(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,|BD|=·|x1-x2|=.易知直线AC的斜率为-,所以|AC|=,|AC|+|BD|=4(k2+1)==,当k2=1,即k=±1时,上式取等号,故|AC|+|BD|的最小值为.②当直线BD的斜率不存在或等于零时,易得|AC|+|BD|=.综上所述,|AC|+|BD|的最小值为.突破2圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.解 (1)设椭圆的右焦点为F1,则OM为△AFF1的中位线.∴OM=AF1,MF=AF,∴|OM|+|MF|==a=5,∵e=,∴c=2,∴b=,∴椭圆C的方程为=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y整理得(1+5k2)x2+10mkx+5m2-25=0.∴Δ>0,x1+x2=-,x1x2=,∴y1+y2=k(x1+x2)+2m=,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=,∵P(0,1),=-4,∴(x1,y1-1)·(x2,y2-1)=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=-4,∴+5=0,整理得3m2-m-10=0,解得m=2或m=-(舍去).∴直线l过定点(0,2).2.(1)解∵当M为椭圆C的短轴端点时,△MF1F2的面积的最大值为1,∴×2c×b=1,∴bc=1,∵e=,a2=b2+c2,∴a=,b=1,∴椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)证明设B(x1,y1),E(x2,y2),A(x1,-y1),且x1≠x2,∵x==2,∴P(2,0),由题意知BP的斜率必存在,设BP:y=k(x-2),代入+y2=1得(2k2+1)x2-8k2x+8k2-2=0,由Δ>0得k2<,x1+x2=,x1·x2=.∵x1≠x2∴AE斜率必存在,AE:y+y1=(x-x1),由对称性易知直线AE过的定点必在x轴上,则当y=0时,得x=+x1====1,即在k2<的条件下,直线AE过定点(1,0).3.(1)解由题意可得解得故椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明由题意可知直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为y=kx+m(m≠0),由消去y整理得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,∵直线l与椭圆交于两点,∴Δ=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)=16(4k2-m2+1)>0.设点P,Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.∵直线OP,l,OQ的斜率成等比数列,∴k2==,整理得km(x1+x2)+m2=0,∴+m2=0,又m≠0,所以k2=,结合图像(图略)可知k=-,故直线l的斜率为定值. 4.解 (1)设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),椭圆C过点A,所以4m+n=1.①将y=x+3代入椭圆方程化简得(m+n)x2+6nx+9n-1=0.因为直线l与椭圆C相切,所以Δ=(6n)2-4(m+n)(9n-1)=0, ②解①②可得m=,n=.所以椭圆的标准方程为=1.(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则有M,N.由题意可知PQ∥MN,所以k PQ=k MN=1.设直线PQ的方程为y=x+t(-3<t<3),当t≠0时,代入椭圆方程并化简得3x2+4tx+2t2-6=0, Δ=(4t)2-4×3(2t2-6)=-8t2+72>0,所以③k OM+k ON=,通分后可变形得到k OM+k ON=,将③式代入得k OM+k ON==0.当t=0时,直线PQ的方程为y=x,易得P(),Q(-,-),则M,N,所以k OM+k ON==0.所以OM,ON斜率之和为定值0.5.解 (1)由y2=4x的焦点为(1,0)可知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),又点M-1,在椭圆上,所以解得所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)由题意可设直线l的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,所以x1+x2=,x1x2=.所以|AB|=.设直线MN的方程为y-=k(x+1),M(x3,y3),N(x4,y4),由消去y,得(1+2k2)x2+(4k2+2k)x+(2k2+2k-1)=0,因为x3=-1,所以x4=-,|MN|=|x3-x4|=.因为四边形MNBA为平行四边形,所以|AB|=|MN|,即,k=-, 但是,直线l的方程y=-(x-1),即x+2y-1=0过点M-1,,即直线AB与直线MN重合,不符合题意,所以直线l不存在.6.解 (1)由题意,知F1(-,0),F2(,0),根据椭圆定义得|MF1|+|MF2|=2a,所以2a=+=4,所以a2=4,b2=a2-c2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)|OA|2+|OB|2为定值.设直线AB:y=kx+m(km≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,则Δ=(8km)2-16(m2-1)(4k2+1)>0,x1+x2=-,x1x2=,因为k1k2=k2,所以=k2,即km(x1+x2)+m2=0(m≠0),解得k2=,所以|OA|2+|OB|2=-2x1x2]+2=5,所以|OA|2+|OB|2=5.。
2025高考数学一轮复习-44.1-圆锥曲线中的定值与定点问题【课件】
44.1-圆锥曲线中的定值与定点问题
举题说法 定点问题
1 已知点 P(4，3)在双曲线 C：ax22－yb22＝1(a＞0，b＞0)上，过点 P 作 x 轴的平行线， 分别交双曲线 C 的两条渐近线于 M，N 两点，且|PM|·|PN|＝4.
(1) 求双曲线C的方程；
【解答】因为点 P(4，3)在双曲线上，所以1a62－b92＝1.过点 P 作 x 轴的平行线 y＝3，与 y＝±bax 相交于 M，N 两点，不妨取 M3ba，3，则 N－3ba，3，所以4－3ba×4＋3ba ＝16－9ba22＝a21a62 －b92＝a2＝4，所以 a＝2. 代入1a62－b92＝1，解得 b＝ 3，所以双曲线 C 的方程为x42－y32＝1.
①【k解1＋答】k2＝若选1；①②：设k1kA2(＝x1，1.y1)，B(x2，y2).联立x42－y32＝1， 得(3－4k2)x2－8kmx－4m2
y＝kx＋m， －12＝0，所以 3－4k2≠0，Δ＝(－8km)2－4(3－4k2)(－4m2－12)＞0，即 m2＋3－4k2＞ 0，x1＋x2＝3－8km4k2，x1x2＝－34－m24－k212(*).
定直线问题
2 已知双曲线 C 的中心为坐标原点，左焦点为(－2 5，0)，离心率为 5.
(1) 求C的方程；
【解答】设双曲线 C 的方程为ax22－by22＝1(a＞0，b＞0).由焦点坐标可知 c＝2 5.由 e＝ ac＝ 5，可得 a＝2，则 b＝ c2－a2＝4，故双曲线 C 的方程为x42－1y62 ＝1.
高考数学一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系课件理
4．椭圆 ax2＋by2＝1 与直线 y＝1－x 交于 A、B 两点，若
过原点与线段 AB 中点的直线的倾斜角为 30°，则ab的值为( )
3
3
A. 4 B. 3
3 C. 2 D. 3
解析：设 AB 的中点为 M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2, y2)，
由点差法得yx11－ －yx22＝－abxy00＝－1，
解析：方法 1：设以 Q 为中点的弦 AB 端点坐标为 A(x1， y1)，B(x2，y2)，则有 y12＝8x1，y22＝8x2，
两式相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)． 又 x1＋x2＝8，y1＋y2＝2， 则 k＝xy22－－xy11＝y1＋8 y2＝4，
∴所求直线 AB 的方程为 y－1＝4(x－4)， 即 4x－y－15＝0. 方法 2：设弦 AB 所在的直线方程为 y＝k(x－4)＋1，
由yy＝ 2＝k8xx－4＋1， 消去 x 整理，得 ky2－8y－32k＋8＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由韦达定理得 y1＋y2＝8k. 又∵Q 是 AB 中点，∴y1＋2 y2＝1，
∴8k＝2，∴k＝4. ∴弦 AB 所在直线方程为 4x－y－15＝0.
点评：有关弦中点轨迹、中点弦所在直线的方程，中点坐 标的问题，有时采用“平方差”法，可优化解题方法，简化运 算．
＝2 5m＋20.
(3)设线段 AB 中点坐标为(x，y)，则 x＝x1＋2 x2＝－2， y＝y1＋2 y2＝2x1＋2 x2＝－4. ∴AB 中点坐标为(－2，－4).
题型三 圆锥曲线的中点弦问题 例 3 过点 Q(4,1)作抛物线 y2＝8x 的弦 AB，恰被 Q 所平分， 求 AB 所在直线的方程．
2023年新高考数学大一轮复习讲义专题41 直线与圆锥曲线(原卷版)
专题41 直线与圆锥曲线【考点预测】知识点一、直线和曲线联立（1）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与直线:l y kx m =+相交于AB 两点，设11()A x y ，，22()B x y ，22221x y ab y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，222222222()20b k a x a kmx a m a b +++-= 椭圆22221(00)x y a b a b +=>>，与过定点(0)m ，的直线l 相交于AB 两点，设为x ty m =+，如此消去x ，保留y ，构造的方程如下：22221x y a b x ty m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，222222222()20a t b y b tmy b m a b +++-=注意：①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都需要摆出0∆>，满足此条件，才可以得到韦达定理的关系．②焦点在y 轴上的椭圆与直线的关系，双曲线与直线的关系和上述形式类似，不在赘述． （2）抛物线22(0)y px p =>与直线x ty m =+相交于A B 、两点，设11()A x y ，，22()B x y ， 联立可得22()y p ty m =+，0∆>时，121222y y pt y y pm +=⎧⎨=-⎩特殊地，当直线AB 过焦点的时候，即2p m =，222212121212224y y y y pm p x x p p p =-=-=⋅=，，因为AB 为通径的时候也满足该式，根据此时A 、B 坐标来记忆．抛物线22(0)x py p =>与直线y kx m =+相交于C D 、两点，设11C()x y ，，22D()x y ， 联立可得22()x p kx m =+，0∆>时，121222x x pkx x pm+=⎧⎨=-⎩ 注意：在直线与抛物线的问题中，设直线的时候选择形式多思考分析，往往可以降低计算量．开口向上选择正设；开口向右，选择反设；注意不可完全生搬硬套，具体情况具体分析．总结：韦达定理连接了题干条件与方程中的参数，所以我们在处理例如向量问题，面积问题，三点共线问题，角度问题等常考内容的时候，要把题目中的核心信息，转化为坐标表达，转化为可以使用韦达定理的形式，这也是目前考试最常考的方式．知识点二、根的判别式和韦达定理22221(0)x y a b a b +=>>与y kx m =+联立，两边同时乘上22a b 即可得到22222222()2()0a k b x kma x a m b +++-=，为了方便叙述，将上式简记为20Ax Bx C ++=．该式可以看成一个关于x 的一元二次方程，判别式为2222224()a b a k b m ∆=+-可简单记2224()a b A m -．同理22221(0)x y a b a b +=>>和x ty m =+联立222222222()20a t b y b tmy b m a b +++-=，为了方便叙述，将上式简记为20Ay By C ++=，2222224()a b a t b m =+-∆，可简记2224()a b A m -．l 与C 相离0⇔∆<；l 与C 相切0⇔∆=；l 与C 相交0⇔∆>．注意：（1）由韦达定理写出12B x x A +=-，12Cx x A=，注意隐含条件0∆>． （2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意． （3）如果是焦点在y 轴上的椭圆，只需要把2a ，2b 互换位置即可．（4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在x 轴的双曲线，只要把2b 换成2b -即可； 焦点在y 轴的双曲线，把2a 换成2b -即可，2b 换成2a 即可．（5）注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用∆判断根的关系，因为此情况下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根（一般为交点横纵坐标的范围限制），所以在遇到两条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方程组，真正算出具体坐标．知识点三、弦长公式设11()M x y ，，22()N x y ，根据两点距离公式||MN ． （1）若M N 、在直线y kx m =+上，代入化简，得12||MN x -； （2）若M N 、所在直线方程为x ty m =+，代入化简，得12||MN y =-（3）构造直角三角形求解弦长，||MN 2121|||||cos ||sin |x x y y αα--==．其中k 为直线MN 斜率，α为直线倾斜角．注意：（1）上述表达式中，当为0k ≠，0m ≠时，1mk =；（2）直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用．（3）直线和曲线联立后化简得到的式子记为20(0)Ax Bx C A ++=≠，判别式为24B AC ∆=-，0∆>时，12x x -====利用求根公式推导也很方便，使用此方法在解题化简的时候可以大大提高效率．（4）直线和圆相交的时候，过圆心做直线的垂线，利用直角三角形的关系求解弦长会更加简单． （5）直线如果过焦点可以考虑焦点弦公式以及焦长公式． 知识点四、已知弦AB 的中点，研究AB 的斜率和方程（1）AB 是椭圆()22221.0x y a b a b+=>的一条弦，中点()00,M x y ，则AB 的斜率为2020b x a y -，运用点差法求AB 的斜率；设()11,A x y ，()()2212,B x y x x ≠，A ，B 都在椭圆上， 所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22221212220x x y y a b --+= 所以()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+= 即()()()()22121202212120y y b x x b x x x a y y a y -+=-=--+，故2020ABb x k a y =-（2）运用类似的方法可以推出；若AB 是双曲线()22221.0x y a b a b -=>的弦，中点()00,M x y ，则2020ABb x k a y =；若曲线是抛物线()220y px p =>，则0AB pk y =． 【题型归纳目录】题型一：直线与圆锥曲线的位置关系 题型二：中点弦问题方向1：求中点弦所在直线方程问题； 方向2：求弦中点的轨迹方程问题； 方向3：对称问题 方向4：斜率之积问题 题型三：弦长问题 题型四：面积问题 方向1：三角形问题 方向2：四边形问题 【典例例题】题型一：直线与圆锥曲线的位置关系 例1．（2022·四川达州·二模（理））函数()()4311f x x x x =++>-+的最小值为m ，则直线53150x y +-=与曲线1319x x y ym m +=++的交点个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【方法技巧与总结】（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到一元二次方程，其中0∆>；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到．（2）直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切．例2．（2022·全国·高三专题练习）直线143x y +=与椭圆221169x y +=的交点个数为（ ）． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个例3．（2022·全国·高三专题练习）若直线4mx ny 与圆224x y +=没有交点，则过点(),P m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点的个数为（ ） A ．0或1 B ．2 C ．1 D ．0例4．（2022·全国·高三专题练习）椭圆C ：22143x y +=的左、右顶点分别为1A ，2A ，点P 在C 上且直线1PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线2PA 斜率的取值范围是（ ）A ．33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦例5．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））直线:(1)l y k x =-与双曲线22:2C x y -=没有公共点，则斜率k 的取值范围是（ ）A ．(,(2,)-∞+∞B ．(C ．,1(),)1(-∞-⋃+∞D ．(1,1)-例6．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一个顶点为A ，过点A 的直线330x y --=与双曲线只有一个公共点，则该双曲线的焦距为( )A．B ．C ．D ．例7．（2022·全国·高三专题练习）过点(2,4)M 作直线l 与抛物线28y x =只有一个公共点，这样的直线有（ ） A ．1条 B ．2条C ．3条D ．无数条例8．（2022·全国·高三专题练习）过点()3,1P 作直线l 与抛物线24y x =-只有一个交点，这样的直线l 有（ ）条 A ．1 B ．2C ．3D ．4例9．（2022·(1)a x =-恰有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是______．例10．（2022·全国·高三专题练习）已知F 是双曲线2213x y -=的右焦点，若直线)(0y kx k =>与双曲线相交于A ，B 两点，且120AFB ∠≥︒，则k 的范围是___________.题型二：中点弦问题方向1：求中点弦所在直线方程问题；例11．（2022·全国·高三专题练习）若椭圆22143x y +=的弦AB 被点()1,1P 平分，则AB 所在的直线方程为______．例12．（2022·全国·高三开学考试（理））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>与斜率为1的直线交于A ，B两点，若线段AB 的中点为(4,1)，则C 的离心率e =（ ）AB CD例13．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知双曲线22142x y -=， (1)过点()11M ，的直线交双曲线于 A B ，两点，若M 为弦AB 的中点，求直线AB 的方程；(2)是否存在直线l ，使得112⎛⎫⎪⎝⎭， 为l 被该双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.例14．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，且AB 的中点的纵坐标为2．求C 的方程.例15．（2022·全国·高三专题练习）斜率为1的直线交抛物线()2:20C y px p =>于A ，B 两点，且弦AB 中点的纵坐标为2.求抛物线C 的标准方程；例16．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||MA NB MN ==l 的方程为___________．例17．（2022·全国·高三专题练习）已知动点P 与平面上点()1,0M -，()1,0N 的距离之和等于 (1)求动点P 的轨迹C 方程；(2)若经过点11,2E ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且点E 为AB 的中点，求直线l 的方程.方向2：求弦中点的轨迹方程问题；例18．（2022·全国·高三专题练习）椭圆2214x y +=，则该椭圆所有斜率为12的弦的中点的轨迹方程为_________________．方向3：对称问题例19．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点⎛ ⎝⎭，直线l ：y x m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，直线OM 的斜率为-0.5. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)当1m =时，椭圆C 上是否存在P ，Q 两点，使得P ，Q 关于直线l 对称，若存在，求出P ，Q 的坐标，若不存在，请说明理由．例20．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，长轴长为4．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知直线l 的过定点1,04E ⎛⎫⎪⎝⎭，若椭圆C 上存在两点A ，B 关于直线l 对称，求直线l 斜率k 的取值范围．例21．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22:143x y E +=，试确定m 的取值范围，使得圆E 上存在不同的两点关于直线:4l y x m =+对称.例22．（2022·浙江·高三专题练习）已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l ：2y x a =+与抛物线C 交于A ，B 两点.(1)若1a =-，求FAB 的面积；(2)若抛物线C 上存在两个不同的点M ，N 关于直线l 对称，求a 的取值范围.例23．（2022·四川内江·模拟预测（理））若双曲线2213y x -=上存在两个点关于直线:4(0)l y kx k =+>对称，则实数k 的取值范围为______.方向4：斜率之积问题例24．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，直线()():20l y k x k =-≠与椭圆C 交于A ，B 两点，AB 的中点为P ，若O 为坐标原点，直线OP ，AF ，BF 的斜率分别为OP k ，AF k ，BF k ，且AF BF OP k k k =⋅，则k ＝______．例25．（2022·河北·()222210x y a b a b +=>>与直线y kx =的两个交点分别为A ，B ，P 是椭圆不同于A 、B 、P 的一点，且PA 、PB 的倾斜角分别为α，β，若120αβ+=︒，则()cos αβ-=（ ）A ．16-B ．13-C ．13D ．16例26．（2022·河南·模拟预测（文））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，直线l 与C 交于,P Q 两点，D 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则l 与OD 的斜率的乘积为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6例27．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C ∶22221(0)x y a b a b +=>>经过点3)2P ，O 为坐标原点，若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，直线l 与直线OM 的斜率乘积为14-.求椭圆C 的标准方程；【方法技巧与总结】直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何的重要内容之一，也是高考的一个热点问题．这类问题一般有以下3种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）对称问题，但凡涉及到弦的中点斜率的问题．首先要考虑是点差法．即设出弦的端点坐标，根据端点在曲线上，结合中点坐标公式，寻找中点坐标与弦的斜率之间的联系．除此之外，最好也记住如下结论：在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中，中点弦的斜率为k ，满足202b k k a⋅=-．在双曲线22221(,0)x y a b a b -=>中，中点弦的斜率为k ，满足202b k k a ⋅=．（其中0k 为原点与弦中点连线的斜率）．在抛物线22(0)y px p =>中，中点弦的斜率为k ，满足0k y p ⋅=（0y 为中点纵坐标）． 题型三：弦长问题例28．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且斜率为1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则AB 等于（ ）A ．247B ．127C D【方法技巧与总结】在弦长有关的问题中，一般有三类问题：（1）弦长公式：12AB x =-=． （2）与焦点相关的弦长计算，利用定义； （3）涉及到面积的计算问题．例29．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆2212x y +=的左焦点作倾斜角60°的直线，直线与椭圆交于A ，B两点，则AB =______．例30．（2022·陕西·安康市教学研究室三模（文））过抛物线2:3C y x =的焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，若AB 在其准线上的投影长为6，则||AB =（ ）A ．B ．C ．12D ．例31．（2022·福建泉州·模拟预测）已知抛物线C 的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线m 与C 交于A 、B 两点，点A 在l 上的投影为D ．若AB BD =，则AFBF =（ ） A ．32B ．2C ．52D ．3例32．（2022·山东·汶上县第一中学高三开学考试）已知抛物线2:2C y px =（0p >）的焦点为F .若直线4x =与C 交于A ，B 两点，且8AB =，则AF =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6例33．（2022·湖南·高三阶段练习）已知椭圆221:1,2x C y F +=为右焦点，直线:(1)l y t x =-与椭圆C 相交于A ，B 两点，取A 点关于x 轴的对称点S ，设线段AS 与线段BS 的中垂线交于点Q ． (1)当2t =时，求1QF ； (2)当0t ≠时，求1||QF AB 是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由．例34．（2022·四川省巴中中学模拟预测（文））已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，点P ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上，且直线PA 的斜率与直线PB 的斜率之积为14-． (1)求椭圆C 的方程；(2)若圆221x y +=的切线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，求PQ 的最大值及此时直线l 的斜率．例35．（2022·安徽·高三开学考试）已知O 为坐标原点，椭圆22:11612x y C +=过点 ,,M N P ，记线段MN 的中点为Q ．(1)若直线MN 的斜率为 3 ，求直线OQ 的斜率;(2)若四边形OMPN 为平行四边形，求||MN 的取值范围．例36．（2022·北京八中高三阶段练习）已知P 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>上任意一点，12,F F 为左､右焦点，M 为1PF 中点.如图所示：若1122OM PF +=，离心率e =(1)求椭圆E 的标准方程； (2)已知直线l 经过11,2且斜率为12与椭圆交于,A B 两点，求弦长AB 的值.例37．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(2,1)P -．(1)求C 的方程；(2)若,A B 是C 上两点，直线AB 与圆222x y +=相切，求AB 的取值范围．例38．（2022·陕西·安康市教学研究室三模（文））已知椭圆()2222:11x y C a b a b+=>>长轴的顶点与双曲线222:14x y D b -=实轴的顶点相同，且C 的右焦点F 到D ．(1)求C 与D 的方程；(2)若直线l 的倾斜角是直线)2y x =的倾斜角的2倍，且l 经过点F ，l 与C 交于A 、B 两点，与D 交于M 、N 两点，求ABMN．例39．（2022·全国·高三专题练习）设1F ､2F 分别为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左右焦点，且2F 也为抛物线28y x =的的焦点，若点()0,2P b ，1F ，2F 是等腰直角三角形的三个顶点. (1)双曲线C 的方程； (2)若直线l ：112y x =-与双曲线C 相交于A ､B 两点，求AB .题型四：面积问题 方向1：三角形问题例40．（2022·上海市复兴高级中学高三开学考试）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，其左焦点到点()21P ，． (1)求椭圆的方程；(2)直线32y x m =-+与椭圆相交于A B ，两点，求ABP △的面积关于m 的函数关系式，并求面积最大时直线l 的方程．例41．（2022·陕西·安康市教学研究室三模（理））已知椭圆C ：()222210y x a b a b +=>>过点()1,2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 被圆222x y a +=截得的弦长为l 与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求OAB 面积的最大值.例42．（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）如图所示，M 、D 分别为椭圆2221(1)x y a a+=>的左、右(1)求椭圆的标准方程；(2)过M 点作两条互相垂直的直线MA ，MB 与椭圆交于A ，B 两点，求DAB 面积的最大值.例43．（2022·广东汕头·高三阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>P与左､ (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左､右顶点分别为,A B ，直线PQ 交椭圆C 于,P Q 两点，记直线AP 的斜率为1k ，直线BQ 的斜率为2k ，已知123k k =. ①求证：直线PQ 恒过定点；②设APQ 和BPQ 的面积分别为12,S S ，求12S S -的最大值.例44．（2022·全国·高三专题练习）已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0． (1)求l 的斜率；(2)若tan PAQ ∠=PAQ △的面积．例45．（2022·浙江·高三开学考试）如图，已知双曲线22:12x C y -=，经过点()1,1T 且斜率为k 的直线l 与C 交于,A B 两点，与C 的渐近线交于,M N 两点（从左至右的顺序依次为,,,A M N B ），其中k ⎛∈ ⎝⎭.(1)若点T 是MN 的中点，求k 的值； (2)求OBN △面积的最小值.例46．（2022·江苏·南京市第一中学高三阶段练习）已知A ，B ，C 为椭圆2212x y +=上不同的三点，则△ABC 的面积最大为（ ）A ．34B C D例47．（2022·广东茂名·高三阶段练习）已知抛物线C ：28y x =的准线为l ，l 与x 轴交于点P ，直线1x =与抛物线C 交于A ，B 两点，则PAB △的面积为（ ） A．B ．C ．D ．例48．（2022·全国·高三专题练习）设1F ，2F 是双曲线C ：22148x y-=的两个焦点，O 为坐标原点，点P在C 的右支上，且11OF OP F P OP OPOP⋅++=12PF F △的面积为________.例49．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知点F 为抛物线24y x =的焦点，过F 作直线AB 与抛物线交于,A B 两点，以,A B 为切点作两条切线交于点P ，则PAB △的面积的最小值为___________.方向2：四边形问题例50．（2022·全国·模拟预测（文））已知A 、B 分别为椭圆Γ：()22211x y a a+=>）的上、下顶点，F 是椭圆Γ的右焦点，C 是椭圆Γ上异于A 、B 的点，点D 在坐标平面内． (1)若3AFB π∠=，求椭圆Γ的标准方程；(2)若2a =，且CA AD ⊥，CB BD ⊥，求四边形CADB 面积S 的最大值．例51．（2022·全国·高三专题练习）已知点M 是椭圆C ：22143x y +=上异于顶点的动点，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，E 为1MF 的中点，12F MF ∠的平分线与直线EO 交于点P ，则四边形12MF PF 的面积的最大值为________.例52．（2022·陕西·三模（文））已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，椭圆E 的离1． （1）求E 的方程；（2）直线l 与E 交于M ，N 两点（M ，N 在x 轴的同侧），当12//F M F N 时，求四边形12F F NM 面积的最大值．例53．（2022·湖南·武冈市第二中学模拟预测）已知椭圆221169x y +=，A 是椭圆的右顶点，B 是椭圆的上顶点，直线():0l y kx b k =+>与椭圆交于M 、N 两点，且M 点位于第一象限． （1）若0b =，证明：直线AM 和AN 的斜率之积为定值； （2）若34k =，求四边形AMBN 的面积的最大值．例54．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））已知在平面直角坐标系中有两定点()11,0F -，()21,0F ，平面上一动点P 到两定点的距离之和为(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)过点1F 作两条互相垂直的直线，分别与E 交于A ，B ，C ，D 四点，求四边形ACBD 面积的最小值．【方法技巧与总结】 三角形的面积处理方法：12S =⋅△底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高） 四边形或多个图形面积的关系的转化：分析图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点（尤其是有平行条件的时候），可将面积的关系转化，降低计算量．特殊的，对角线互相垂直的四边形，面积=对角线长度乘积的一半．【过关测试】 一、单选题1．（2022·全国·模拟预测（理））已知抛物线E :24x y =的准线交y 轴于点M ，过点M 作直线l 交E 于A ，B 两点，且0BM BA +=，则直线l 的斜率是（ ）A ．±B ．C ．D ． 2．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））双曲线22:148x y C -=，已知O 是坐标原点，A 是双曲线C 的斜率为正的渐近线与直线x =F 是双曲线C 的右焦点，D 是线段OF 的中点，若B 是圆221x y +=上的一点，则△ABD 的面积的最大值为（ ）A B C ．3 D 3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知点F 是双曲线2218y x -=的左焦点，直线4120x y --=与该双曲线交于两点P ，Q ，则FPQ △的重心G 到y 轴的距离为（ ） A ．1B ．4C ．3D ．24．（2022·全国·模拟预测（理））过双曲线()22210y x b b -=>的右焦点F 且斜率为13-的直线分别交双曲线的渐近线于A ，B 两点，A 在第一象限，B 在第二象限，若FA AB =，则b =（ ）A ．1BC D ．25．（2022·山东烟台·三模）过双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的焦点且斜率不为0的直线交C 于A ，B 两点，D 为AB 中点，若12AB OD k k ⋅=，则C 的离心率为（ ）AB ．2CD 6．（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）设1F ，2F 是双曲线C ：221169x y -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 上且5OP =，则12PF F △的面积为（ ） A ．3B ．9C ．12D ．167．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知圆22:(3)1C x y -+=，若抛物线22(0)y px p =>上存在点M ，过点M 作圆C 的两条切线，切点,A B 满足60AMB ∠=，则实数p 的取值范围是（ ）A ．(0,3 B ．[()0,33∞⋃+C ．3⎡⎣D ．)3∞⎡+⎣8．（2022·湖南·模拟预测）已知双曲线2221y x a-=，若过点()22，能作该双曲线的两条切线，则该双曲线离心率e 取值范围为（ ）A ．∞⎫+⎪⎪⎝⎭B ．1⎛⎝⎭C ．(D ．以上选项均不正确二、多选题9．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）已知点()M ，)N，若某直线上存在点P ，使得2PM PN -=，则称该直线为“好直线”，下列直线是“好直线”的是（ ） A ．0x y +=B ．30x y --=C ．230x y ++=D ．230x y +-=10．（2022·湖南常德·一模）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线l 的距离为2，则（ ） A ．焦点F 的坐标为(1,0)B ．过点(1,0)A -恰有2条直线与抛物线C 有且只有一个公共点 C ．直线10x y +-=与抛物线C 相交所得弦长为8D ．抛物线C 与圆225x y +=交于,M N 两点，则4MN =11．（2022·福建·上杭一中模拟预测）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则下列结论中成立的有（ ）A ．M 的坐标可能为()1,2B ．坐标原点在以PQ 为直径的圆内C ．OP 与OQ 的斜率之积为定值D ．线段PQ 的最小值为412．（2022·福建省漳州第一中学模拟预测）已知椭圆2212y x +=的上下焦点分别为1F ，2F ，左右顶点分别为1A ，2A ，P 是该椭圆上的动点，则下列结论正确的是（ ）AB ．使12PF F △为直角三角形的点P 共有6个C ．12PF F △的面积的最大值为1D ．若点P 是异于1A ､2A 的点，则直线1PA 与2PA 的斜率的乘积等于-2 三、填空题13．（2022·四川·模拟预测（文））已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点是F ，A 是C 的准线上一点，线段AF 与C 交于点0,8p B y ⎛⎫⎪⎝⎭，O 为坐标原点，且3AOFS=，则p =______．14．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））设直线l ：1y kx =+与双曲线C ：2212x y -=相交于不同的两点A ，B ，则k 的取值范围为___________.15．（2022·辽宁·二模）写出满足下列条件的一个抛物线方程C ：_____． （1）该抛物线方程是标准方程；（2）过(0,2)A 的任意一条直线与该抛物线C 有交点，且对于C 上的任意一点P ，AP 的最小值为2． 16．（2022·湖南益阳·模拟预测）已知直线1l y kx =+：与抛物线24C x y =：交于A 、B 两点，P 为抛物线C 的准线上一点，且PA PB ⊥，过P 且垂直x 轴的直线交抛物线C 于点M ，交直线l 于点N ，若8AB =，则MN =__________．四、解答题17．（2022·天津市宝坻区第一中学二模）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为(,0)F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为22b．(1)求椭圆的离心率；(2)设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，若||2PQ =． （ⅰ）求直线FP 的斜率； （ⅰ）求椭圆的方程．18．（2022·湖南·模拟预测）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，1A ，右焦点为点F ，点P 是椭圆E 上一动点，1APA △面积的最大值为2，当PF x ⊥轴时，12PF =. (1)求椭圆E 的方程；(2)已知直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点，直线l 与直线x =N ，过点F 作x 轴的垂线，交直线l 于点M .求证：FMFN为定值.19．（2022·重庆·模拟预测）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，当3AB p =时，点M 的横坐标为2. (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 的准线交于点D ，点D 关于x 轴的对称点为E ，当DME 的面积取最小值时，求直线l 的方程.20．（2022·辽宁实验中学模拟预测）点()00,N x y 是曲线22:1ax by Γ+=上任一点，已知曲线Γ在点()00,N x y 处的切线方程为001ax x by y +=．如图，点P 是椭圆22:12x C y +=上的动点，过点P 作椭圆C 的切线l 交圆22:4O x y +=于点A 、B ，过A 、B 作圆O 的切线交于点M ．(1)求点M 的轨迹方程； (2)求OPM 面积的最大值．21．（2022·甘肃武威·模拟预测（文））已知椭圆的两焦点为()11,0F -、()21,0F ，P 为椭圆上一点，且122F F =12PF PF +．(1)求此椭圆的方程；(2)若点P 在第二象限，21120F F P ∠=︒，求12PF F △的面积．。
高考数学理科人教通用版核心讲练大一轮复习练考题预测全过关8-4直线与圆圆与圆的位置关系
练考题预测·全过关1.(2018·天津高考)已知圆x2+y22x=0的圆心为C,直线(t为参数)与该圆相交于A,B两点,则△ABC的面积为________.【解析】将直线的参数方程(t为参数)化成普通方程得:x+y2=0,又因为圆x2+y22x=0的圆心C的坐标为C(1,0),半径r=1,所以圆心C到直线的距离d==,|AB|=2=2=.所以△ABC的面积S=|AB|h=|AB|d=××=.s答案:2.已知直线l:kxy3=0与圆O:x2+y2=4交于A,B两点且·=2,则k=( )B.±C.±2D.【解析】选B.圆O:x2+y2=4,圆心(0,0),半径为2,直线l:kxy3与圆O:x2+y2=4交于A,B两点且·=2,设OA与OB的夹角为θ,则可得2×2×cos θ=2,解得cos θ=,θ=,圆心到直线的距离为:2cos =,可得:=,解得k=±.3.若圆x2+y2=a2与圆x2+y2+ay6=0的公共弦长为2,则a的值为( )A.±2 D.无解【解析】选A.圆x2+y2=a2的圆心为原点O,半径r=|a|.将x2+y2=a2与x2+y2+ay6=0左右分别相减,整理可得a2+ay6=0,即得两圆的公共弦所在直线的方程为a2+ay6=0.原点O到直线a2+ay6=0的距离d=,根据勾股定理可得a2=()2+,所以a2=4,所以a=±2.4.平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是( )A.2x+y+5=0或2x+y5=0B.2x+y+=0或2x+y=0C.2xy+5=0或2xy5=0D.2xy+=0或2xy=0【解析】选A.设所求切线方程为2x+y+c=0,依题意有=,解得c=±5,所以所求切线的方程为2x+y+5=0或2x+y5=0.。
2020版理科数学一轮复习高考帮试题：第10章第4讲 直线与圆锥曲线的综合应用习思用-数学理 含解析
第四讲 直线与圆锥曲线的综合应用考点1直线与圆锥曲线的位置关系1.若过点(0,1)作直线,使它与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点,则这样的直线有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条2.已知直线x=1过椭圆x 24+y 2b 2=1的焦点,则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是( )A .k ∈[-12,12]B .k ∈(-∞,-12]∪[12,+∞)C .k ∈[-√22,√22]D .k ∈(-∞,-√22]∪[√22,+∞)3.已知双曲线x 212-y 24=1的右焦点为F ,若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此直线斜率的取值范围是( ) A .(-√33,√33) B .(-√3,√3)C .[-√33,√33]D .[-√3,√3]4.[2020武汉市四月调研]已知圆O :x 2+y 2=1和抛物线E :y=x 2-2,O 为坐标原点.(1)已知直线l 与圆O 相切,与抛物线E 交于M ,N 两点,且满足OM ⊥ON ,求直线l 的方程;(2)过抛物线E 上一点P (x 0,y 0)作两条直线PQ ,PR 与圆O 相切,且分别交抛物线E 于Q ,R 两点,若直线QR 的斜率为-√3,求点P 的坐标.考点2圆锥曲线中弦的相关问题5.[2020张掖市高三诊断]过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,若A ,B 两点的横坐标之和为103,则|AB|=( ) A.133 B.143 C.5 D.1636.[2020合肥三模]已知椭圆C :x 22+y 2=1,若一组斜率为14的平行直线被椭圆C 所截线段的中点均在直线l 上,则l 的斜率为( )A.-2B.2C.-12D.12答案1.C 结合图形(图略)分析可知,满足题意的直线共有3条,分别为直线x=0,直线y=1以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x=0).故选C.2.A 由已知可得4-b 2=1,即b 2=3,∴椭圆方程是x 24+y 23=1.由{y =kx +2,x 24+y 23=1,可得(3+4k 2)x 2+16kx+4=0.由Δ≤0可解得k ∈[-12,12].故选A .3.C 由x 212-y 24=1可得双曲线的渐近线方程为y=±√33x ,过点F 分别作两条渐近线的平行线l 1和l 2,如图D10-4-1所示,由图形可知,符合题意的直线斜率的取值范围为[-√33,√33].故选C.图D10-4-14.(1)由题意知直线l 的斜率存在,设l :y=kx+b ,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),由l 与圆O 相切,得√k 2+1=1,∴b 2=k 2+1.由{y =kx +b ,y =x 2-2,消去y ,整理得x 2-kx-b-2=0, ∴x 1+x 2=k ,x 1x 2=-b-2.由OM ⊥ON ,得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即x 1x 2+y 1y 2=0. ∴x 1x 2+(kx 1+b )(kx 2+b )=0,∴(1+k 2)x 1x 2+kb (x 1+x 2)+b 2=0,∴(1+k 2)(-b-2)+k 2b+b 2=0,∴b 2(-b-2)+(b 2-1)b+b 2=0,∴b 2+b=0,∴b=-1或b=0(舍去).当b=-1时,k=0,故直线l 的方程为y=-1.(2)设Q (x 3,y 3),R (x 4,y 4),则k QR =y 3-y 4x 3-x 4=(x 32-2)-(x 42-2)x 3-x 4=x 3+x 4,∴x 3+x 4=-√3.设PQ :y-y 0=k 1(x-x 0),由直线与圆相切,得 010√k 1+1=1,即(x 02-1)k 12-2x 0y 0k 1+y 02-1=0.设PR :y-y 0=k 2(x-x 0),同理可得(x 02-1)k 22-2x 0y 0k 2+y 02-1=0.则k 1,k 2是方程(x 02-1)k 2-2x 0y 0k+y 02-1=0的两个根,故k 1+k 2=2x 0y 0x 02-1.由{y =k 1x +y 0-k 1x 0,y =x 2-2,得x 2-k 1x+k 1x 0-y 0-2=0, 故x 0+x 3=k 1.同理可得x 0+x 4=k 2.则2x 0+x 3+x 4=k 1+k 2,即2x 0-√3=2x 0y0x 02-1. ∴2x 0-√3=2x 0(x 02-2)x 02-1,解得x 0=-√33或x 0=√3. 当x 0=-√33时,y 0=-53;当x 0=√3时,y 0=1. 故P (-√33,-53)或P (√3,1).5.D 过抛物线的焦点的弦长公式为|AB|=p+x 1+x 2.∵p=2,∴|AB|=2+103=163.6.A 设平行直线中的一条直线的方程为y=14x+m ,与椭圆相交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,弦AB 的中点坐标为M (x ,y ),由{y =14x +m ,x 22+y 2=1,消去y ,得9x 2+8mx+16m 2-16=0,Δ=64m 2-4×9×(16m 2-16)>0,解得-3√24<m<3√24,∴x 1+x 2=-8m 9,x 1x 2=16m 2-169.∵M (x ,y )为弦AB 的中点,∴x 1+x 2=2x ,∴-8m 9=2x ,x=-4m 9,∵m ∈(-3√24,3√24),∴x ∈(-√23,√23).由{y =14x +m ,x =-4m 9,消去m ,得y=-2x ,∴直线l 的方程为y=-2x ,x ∈(-√23,√23),∴直线l 的斜率为-2,故选A .。
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专题突破提升练(四) 直线、圆与圆锥曲线的交汇问题 命题点一 直线与圆问题 题型：选择、填空题 难度：中、低 命题指数：★★ 1.已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2＝－2y＋3，直线l经过点(1,0)且与直线x－y＋1＝0垂直，若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB的面积为( ) A．1 B.2 C．2 D．22 【解析】 圆C的圆心为(0，－1)，半径为2，直线l过点(1,0)且斜率为－1，故其
方程为x＋y－1＝0，所以圆心到直线l的距离为d＝|0－1－1|2＝2，弦长|AB|＝
2r2－d2＝22，又坐标原点O到AB的距离为12，所以△OAB的面积为12×22×12＝1. 【答案】 A 2．设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x2＋y2＝2相切，则a的值为________．
【解析】 由题意得直线方程为y＝x＋a，由直线与圆相切的性质得，|a|2＝2，∴a＝±2. 【答案】 ±2 3．在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为________． 【解析】 设点M(x，y)，由|MA|＝2|MO|知，x2＋y－32＝2x2＋y2，化简得x2＋(y＋1)2＝4，所以点M的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆D，又点M在圆C上，故圆C与圆D相交或相切，所以1≤|CD|≤3，而CD＝a2＋2a－32，所以
1≤a2＋2a－32≤3，解得0≤a≤125.
【答案】 0，125 命题点二 直线与圆锥曲线问题 题型：选择、填空、解答题 难度：中、高 命题指数：★★★ 1.抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是( )
A.43 B.75 C.85 D．3 【解析】 设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线相切的直线方程为4x＋3y＋t＝0，与抛物线y＝－x2联立得3x2－4x－t＝0，由Δ＝16＋12t＝0得t＝－43，两条平行线间的距离即为所求最小距离，由两平行线的距离公式得d＝43. 【答案】 A 2．双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，点P在第一象限内且在l1上．若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率是( ) A.5 B．2 C.3 D.2
【解析】 双曲线的左焦点F1(－c,0)，右焦点F2(c,0)，渐近线l1：y＝bax，l2：y＝
－bax.因为点P在第一象限内且在l1上，所以设P(x0，y0)，x0＞0.因为l2⊥PF1，l2∥PF2，所以PF1⊥PF2，即|OP|＝12|F1F2|＝c，即x20＋y20＝c2.又因为y0＝bax0，代入得x20＋bax02＝c2，解得x0＝a，y0＝b，即P(a，b)，所以kPF1＝ba＋c.l2的斜率为－ba，因为l2⊥PF1，所以
ba＋c×－ba＝－1，即b2＝a(a＋c)＝a2＋ac＝c2－a2，所以c2－ac－2a2＝0，所以e2－e－2
＝0，解得e＝2，所以双曲线的离心率e＝2，故选B. 【答案】 B
3．抛物线C的顶点在原点，焦点F与双曲线x23－y26＝1的右焦点重合，过点P(2,0)且斜率为1的直线l与抛物线C交于A，B两点，则弦AB的中点到抛物线准线的距离为________． 【解析】 设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，因为焦点F与双曲线的右焦点重合，故
F(3,0)，所以p2＝3，p＝6，抛物线方程为y2＝12x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点P(2,0)
且斜率为1的直线方程为y＝x－2，代入抛物线方程得x2－16x＋4＝0，∴x1＋x2＝16，∴弦中点到抛物线准线的距离为x1＋x2＋p2＝11. 【答案】 11 4．(2015·百校联盟模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，短轴端点到焦点的距离为2. (1)求椭圆C的方程； (2)设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OA⊥OB. (ⅰ)求证原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值； (ⅱ)任取以椭圆C的长轴为直径的圆上一点P，求△PAB面积的最大值． 【解】 (1)由题意知，e＝ca＝32，b2＋c2＝2，又a2＝b2＋c2，所以a＝2，c＝3，b＝1，所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1. (2)(ⅰ)当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝±255，此时，原点O到直线AB的距离为255. 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由 x24＋y2＝1，y＝kx＋m，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. 则Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)＝16(1＋4k2－m2)＞0，x1＋x2＝－8km1＋4k2，x1x2＝4m2－41＋4k2，则y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝m2－4k21＋4k2，
由OA⊥OB得kOA·kOB＝－1，即y1x1·y2x2＝－1，所以x1x2＋y1y2＝5m2－4－4k21＋4k2＝0，即m2＝45(1＋k2)， 所以原点O到直线AB的距离为|m|1＋k2＝255. 综上，原点O到直线AB的距离为定值255. (ⅱ)当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝±255，结合椭圆C的方程可得|AB|＝455. 当直线AB的斜率存在时， 由(ⅰ)可得|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝45
1＋9k216k4＋8k2＋1， 当k≠0时，|AB|＝451＋916k2＋8＋1k2≤5，当且仅当k＝±12时等号成立．
当k＝0时，|AB|＝455.所以|AB|的最大值为5， 又点P到直线AB的最大距离为255＋2. 所以S△PAB的最大值为12×5×255＋2＝1＋5. 5．(2015·石家庄一模)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝12，点A为椭圆上一点，∠F1AF2＝60°，且S△F1AF2＝3. (1)求椭圆C的方程； (2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.问：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过定点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【解】 (1)由e＝12可得a2＝4c2，①
S△F1AF2＝12|AF1||AF2|sin 60°＝3，可得|AF1||AF2|＝4，
在△F1AF2中，由余弦定理可得|F1A|2＋|F2A|2－2|F1A|·|F2A|cos 60°＝4c2， 又|AF1|＋|AF2|＝2a，可得a2－c2＝3，② 联立①②得a2＝4，c2＝1.
∴b2＝3，∴椭圆C的方程为x24＋y23＝1.
(2)设点P(x0，y0)，由 y＝kx＋m，x24＋y23＝1，得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， 由题意知Δ＝64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0， 化简得4k2－m2＋3＝0，
∴x0＝－4km4k2＋3＝－4km，y0＝3m，
∴P－4km，3m. 由 y＝kx＋m，x＝4，得Q(4,4k＋m)， 假设存在点M，坐标为(x1,0)， 则MP→＝－4km－x1，3m，MQ→＝(4－x1,4k＋m)． ∵以PQ为直径的圆恒过M点， ∴MP→·MQ→＝0， 即－16km＋4kx1m－4x1＋x21＋12km＋3＝0， ∴(4x1－4)km＋x21－4x1＋3＝0对任意k，m都成立． 则 4x1－4＝0，x21－4x1＋3＝0，解得x1＝1，故存在定点M(1,0)符合题意． 命题点三 直线、圆与圆锥曲线问题 题型：选择、填空、解答题 难度：中、高 命题指数：★★ 1.若圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为( )
A.y29－x272＝1 B.x29－y272＝1
C.x216－y281＝1 D.y281－x216＝1 【解析】 解方程组 x2＋y2－4x－9＝0，x＝0，得 x＝0，y＝3或 x＝0，y＝－3，因为圆与y轴的两个交点A，B都在双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，所以A(0，－3)，B(0,3)，∴a＝3,2c＝18，b2＝72，即双曲线方程为y29－x272＝1.
【答案】 A 2．直线3x－4y＋4＝0与抛物线x2＝4y和圆x2＋(y－1)2＝1从左到右的交点依次为
A，B，C，D，则ABCD的值为________．
【解析】 由 3x－4y＋4＝0，x2＝4y，得x2－3x－4＝0，所以xA＝－1，xD＝4，所以yA＝14，yD＝4，直线3x－4y＋4＝0恰过抛物线的焦点F(0,1)，所以AF＝yA＋1＝54，DF＝yD＋1
＝5，∴ABCD＝AF－1DF－1＝116. 【答案】 116 3．过双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F作圆x2＋y2＝a24的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P.若E为PF的中点，则双曲线的离心率为________． 【解析】 ∵E为PF的中点，∴OE→＝12(OF→＋OP→)，令右焦点为F2，则O为FF2的中点，则PF2＝2OE＝a，∵E为切点，∴OE⊥PF，∴PF2⊥PF，∵PF－PF2＝2a，∴PF＝PF2＋2a＝