2015(春)九年级下 第三讲 开放探究题

专题突破三开放探究题
开放探究性问题是相对于有明确条件或结论的封闭式问题而言的，它的特点是条件或结论的不确定性、不唯一性.
开放探究题常见的类型有：
⑴条件开放型：结论明确但问题的条件不完备或满足结论的条件不唯一；
⑵结论开放型：在给定的条件下，无明确结论或结论不唯一；
⑶存在型问题：即条件或结论不固定，仅提供一种问题情境，需要补充条件，设计结论；
⑷综合开放型：条件、结论、策略中至少有两项均是开放的.
在解开放探究题时，常通过确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题.
类型一条件开放型问题
例1、已知命题：如图，点A、、D、E在同一条直线上，且AD=BE，∠A=∠FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条
件使它成为真命题，并加以证明.
例2、“？”的思考.
的通道。

当温室长与宽各为多少时，矩形蔬
种植区域的宽为
我的结果也正确
小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中划了一条横线，并打开了一个“？”
结果为何正确呢？
（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：
B
A B
A B
备用图 C
D
D'C'B'B A'
A
c b d
a A B C D A M
变化一下会怎样……
（2）如图，矩形''''A B C D 在矩形ABCD 的内部，''//AB A B ，''//AD A D ，且:2:1A D A B ， 设AB 与''A B 、BC 与''B C 、CD 与''C D 、DA 与''D A 之间的距离分别为,,,a b c d ，要使矩形''''A B C D ∽矩形ABCD ，,,,a b c d 应满足什么条件？ 请说明理由.
小结：解条件开放型问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式.
针对性训练： 如图所示，E 、F 是矩形ABCD 对角线AC 上的两点，试添加一个 条件：_______________，使得△ADF ≌△CBE ．
类型二：结论开放型问题
例3、「11威海」如图，ABCD 是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5.在矩形ABCD 的边AB 上取一
点M ，在CD 上取一点N ，将纸片沿MN 折叠，使MB 与DN 交于点K ，得到△MNK.
⑴若∠1=70°，求∠MKN 的度数；
⑵△MNK 的面积能否小于12
？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由； ⑶如何折叠能够使△MNK 的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，求最大值.
正五边形 六五边形 例4、「2013黔西南州」如图，已知抛物线经过A （﹣2，0），B （﹣3，3）及原点O ，顶点为C
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）设点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且以AO 为边的四边形AODE 是平行四边形，
求点D 的坐标．
（3）P 是抛物线上第一象限内的动点，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以P ，
M ，A 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
小结：解结论开放型问题时要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、归纳、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象，然后经过论证作出取舍，这是一种归纳类比型思维.
针对性训练:
1、如图，在菱形ABCD 中，∠B=60°，点E ，F 分别从点B ，D 出发，以同样的速度沿边 BC ，DC 方向向点C 运动，连接EF ，AC ，给出以下四个结论：①AE=AF ；
②∠CEF=∠CFE ；③当点E ，F 分别为BC ，DC 的中点时，
△AEF 是等边三角形；④当点E ，F 分别为BC ，DC 的中点时，
△AEF 面积最大.上述结论正确的有__________________.
2、比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点和不同点．例如：
它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等．
它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形．
请你再写出它们的两个相同点和不同点：
相同点：
① ；
② ．
不同点： ① ；
② ．
类型三：决策性问题
例5、某校准备组织290名学生进行野外活动，行李共有100件，学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能栽40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李
①设租用甲种汽车x辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案。

②如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元，1800元请你选择最省钱的一种租车方案.
小结：决策探究性是指给定的条件下，有多种方案可以完成而从中探究哪种方案完成的最好或最差，从中决出最佳方案的问题.
解决策略探究性问题的一般思路：利用方程不等式知识，通过计算比较获得解决问题的具体方法，这类题目一般信息量较大。

如何分析数量关系是关键，列不等式组找未知数的范围来确定方案的种类，通过函数性质来决策最佳方案的过程。

针对性训练：
如图，这些等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把这与正三角形的接近程度称为“正度”.在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等.
设等腰三角形的底和腰分别为a，b，底角和顶角分别为α，β。

要求“正度”的值是非负数.
同学甲认为：可用式子|a-b|来表示“正度”，|a-b|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；
同学乙认为：可用式子|α-β|来表示“正度”，|α-β|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形. 探究：（1）他们的方案哪个较合理，为什么？
（2）对你认为不够合理的方案，请加以改进（给出式子即可）；
（3）请再给出一种衡量“正度”的表达式
类型四：综合开放型问题
例6、已知抛物线y=-a(x-m)2+1与x轴的交点为A、B（B在A的右边），与y轴的交点为C.
（1）写出m=1时与抛物线有关的三个正确结论；
(2)当点B在原点的右边,点C在原点的下方时,是否存在△BOC为等腰三角形的情形?若存在,求出m
的值；若不存在,请说明理由；
（3）请你提出一个对任意的m值都能成立的正确命题（说明：根据提出问题的水平层次，得分有差异）.
小结：（1）解决综合开放性问题时，需要类比、实验、创新和综合运用所学知识，建立合理的数学模型，从而使问题得以解决.
(2)存在型问题是指条件、结论、解题方法都不固定，而仅提供一种问题情境，需要我们补充条件，
设计结论，并寻求解法的一类问题，它更具有开发性，能为我们提供开松的思维环境.
针对性训练：
（2013•广东）如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C．
（1）设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；
（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．。