北京市朝阳区2016届高三数学第一次综合练习(一模)试题 文
北京市西城区高三数学一模试卷 文(含解析)
北京市西城区2016届高三一模文科数学试卷一、单选题1.设集合，集合，则（）A． B．C． D．【知识点】集合的运算【试题解析】所以。
故答案为：B【答案】B2.设命题p：，则p为（）A． B．C． D．【知识点】全称量词与存在性量词【试题解析】因为特称命题的否定是全称命题，p为：。
故答案为：A【答案】A3.如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）A． B．C． D．【知识点】函数的奇偶性【试题解析】因为奇函数乘以奇函数为偶函数，y=x是奇函数，故是偶函数。
故答案为：B【答案】B4.下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m表示．若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m的可能取值集合为（）A． B． C． D．【知识点】样本的数据特征茎叶图【试题解析】由题知：所以m可以取：0，1，2．故答案为：C【答案】C5.在平面直角坐标系中，向量＝(1，2)，＝(2，m)，若O，A，B三点能构成三角形，则（）A． B． C． D．【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】若O，A，B三点能构成三角形，则O，A，B三点不共线。
若O，A，B三点共线，有：-m=4，m=-4．故要使O，A，B三点不共线，则。
故答案为：B【答案】B6.执行如图所示的程序框图，若输入的分别为0，1，则输出的（）A．4 B．16 C．27 D．36【知识点】算法和程序框图【试题解析】A=0，S=1，k=1，A=1，S=1，否；k=3，A=4，S=4，否；k=5，A=9，S=36，是，则输出的36。
故答案为：D【答案】D7.设函数，则“”是“函数在上存在零点”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【知识点】零点与方程【试题解析】因为所以若，则函数在上存在零点；反过来，若函数在上存在零点，则则故不一定。
故答案为：A【答案】A8.在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于，且获得一等奖的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是（）A．最多可以购买4份一等奖奖品 B．最多可以购买16份二等奖奖品C．购买奖品至少要花费100元 D．共有20种不同的购买奖品方案【知识点】线性规划【试题解析】设购买一、二等奖奖品份数分别为x，y，则根据题意有：，作可行域为：A(2，6)，B(4，12)，C(2，16)．在可行域内的整数点有：（2，6），（2，7），……．（2，16），（3，9），（3，10），……．．(3，14)，(4，12)，共11+6+1=18个。
北京市西城区2016届高三二模考试数学文试题(全WORD版含官方参考答案及评分标准)
北京市西城区2016年高三二模试卷数 学（文科） 2016.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 设全集U =R ，集合{|0}A x x =>，{|1}B x x =<，则集合()U A B = ð（ ） （A ）(,0)-∞ （B ）(,0]-∞ （C ）(1,)+∞（D ）[1,)+∞2. 下列函数中，既是奇函数又在R 上单调递减的是（ ） （A ）1y x=（B ）e xy -= （C ）3y x =-（D ）ln y x =3. 设x ，y 满足约束条件2,1,10,y x x y y ++⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 则3z x y =+的最大值是（ ）（A ）43（B ）73（C ）13-（D ）14．执行如图所示的程序框图，如果输出的115S =，那么判断框内应填入的条件是（ ） （A ）3i < （B ）4i < （C ）5i <（D ）6i <5. 在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若1sin()3A B +=，3a =，4c =，则sin A =（ ）（A ）23（B ）14（C ）34（D ）166. “0m n >>”是“曲线221mx ny +=为焦点在x 轴上的椭圆”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7.某市家庭煤气的使用量x （m 3）和煤气费()f x (元) 满足关系, 0<,()(), .C x A f x C B x A x A ≤ìïï=íï+->ïî已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表：若四月份该家庭使用了20 m 3的煤气，则其煤气费为（ ） （A ）11.5元 （B ）11元 （C ）10.5元 （D ）10元8. 设直线l ：340x y a ++=，圆22 (2)2C x y ：-+=，若在直线l 上存在一点M ，使得过M 的圆C 的切线MP ，MQ （,P Q 为切点）满足90PMQ ?o ，则a 的取值范围是（ ）（A ）[18,6]-（B ）[6-+ （C ）[16,4]-（D ）[66---+第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知复数(2i)(1i)z =-+，则在复平面内，z 对应点的坐标为_____.10. 设平面向量,a b 满足||||2==a b ，()7⋅+=a a b ，则向量,a b 夹角的余弦值为_____. 11. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为_____.12．设双曲线C 的焦点在x 轴上，渐近线方程为y x =，则其离心率为____；若点(4,2)在C 上，则双曲线C 的方程为____.13. 设函数22, 1,()log , 1,x x f x x x -⎧<=⎨⎩≥ 那么1[()]2f f -=____；若函数()y f x k =-有且只有两个零点，则实数k 的取值范围是_____.14. 在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优. 若A 电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B 电影，则称A 电影不亚于B 电影. 已知共有5部微电影参展，如果某部电影不亚于其他4部，就称此部电影为优秀影片. 那么在这5部微电影中，最多可能有____部优秀影片.正（主）视图侧（左）视图俯视图 11 2三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2()(1)cos f x x x =. （Ⅰ）求函数()f x 的定义域和最小正周期；（Ⅱ）当π(0,)2x ∈时，求函数()f x 的值域.16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足432n n a S -=，其中n *∈N . （Ⅰ）求证：数列{}n a 为等比数列；（Ⅱ）设142n n b a n =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .17．（本小题满分14分）如图，在周长为8的矩形ABCD 中，,E F 分别为,BC DA 的中点. 将矩形ABCD 沿着线段EF 折起，使得60DFA ∠= . 设G 为AF 上一点，且满足//CF 平面BDG .（Ⅰ）求证：EF DG ⊥；（Ⅱ）求证：G 为线段AF 的中点；（Ⅲ）求线段CG 长度的最小值.18．（本小题满分13分）FE GA BD C⇒E C某中学有初中学生1800人，高中学生1200人. 为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）写出a 的值；（Ⅱ）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（Ⅲ）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，求至少抽到1名高中生的概率.19．（本小题满分13分）已知函数2()()x af x x a -=+．（Ⅰ）若()1f a '=，求a 的值；（Ⅱ）设0a ≤，若对于定义域内的任意1x ，总存在2x 使得21()()f x f x <，求a 的取值范围.20．（本小题满分14分）已知抛物线C ：24x y =，过点)0)(,0(>m m P 的动直线l 与C 相交于B A ,两点，抛物线C 在点A 和点B 处的切线相交于点Q ，直线BQ AQ ,与x 轴分别相交于点F E ,.（Ⅰ）写出抛物线C 的焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：点Q 在直线y m =-上；（Ⅲ）判断是否存在点P ，使得四边形PEQF 为矩形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.O 时间(小时)10 2030 40 50 高中生组O 时间(小时)10203040 50 初中生组北京市西城区2016年高三二模试卷参考答案及评分标准高三数学（文科） 2016.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．C 3．B 4．C 5．B 6．D 7．A 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．(3,1) 10．3411．3 12 22184x y -=13．12 1(,)2+∞ 14．5注：第12，13题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：函数()f x 的定义域为{|x x ∈R ，且ππ,}2x k k ≠+∈Z . ……………… 2分又因为2()(1)cos f x x x =2(1x =……………… 3分2cos cos x x x =1cos 222x x+=……………… 7分 π1sin(2)62x =++， ……………… 9分 所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.（验证知其定义域与之相符） …………… 10分 （Ⅱ）解：由π(0,)2x ∈，得ππ7π2666x <+<， ……………… 11分所以1πsin(2)126x -<+≤，所以当π(0,)2x ∈时，3()(0,]2f x ∈，即函数()f x 在区间π(0,)2的值域为3(0,]2. ……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为432n n a S -=， ○1 所以当1n =时，11432a S -=，解得12a =； ………………… 2分 当2n ≥时，11432n n a S ---=， ○2 …………………3 分 由○1—○2，得11443()0n n n n a a S S -----=， 所以14n n a a -=， 由12a =，得0n a ≠，所以14nn a a -=，其中2n ≥. 故{}n a 是首项为2，公比为4的等比数列. …………………6 分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得124n n a -=⨯. ………………… 8分所以 114442n n n b a n n -=-=-. 则{}n b 的前n 项和011(44)(48)(44)n n T n -=-+-++- 011(444)(484)n n -=+++-+++ ……………… 10分 14(44)142n n n -+=-- 241223n n n -=--. ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为在折起前的矩形ABCD 中，,E F 分别为,BC DA 的中点， 所以EF FD ⊥，EF FA ⊥， 又因为FD FA F = ，所以EF ⊥平面DFA . ………………2分 又因为DG ⊂平面DFA ，所以EF DG ⊥. ………………4分 （Ⅱ）证明：因为在折起前的矩形ABCD 中，,E F 分别为,BC DA 的中点，所以在立体图中，////AB EF CD .即在立体图中，四边形ABCD 为平行四边形.连接AC ，设AC BD O = ，则AO CO =. ………………6分 又因为//CF 平面BDG ，CF ⊂平面ACF ，平面ACF 平面BDG OG =， 所以//CF OG ，所以在ACF ∆中，OG 为中位线，即G 为线段AF 的中点. ………………9分 （Ⅲ）解：因为G 为线段AF 的中点，60DFA ∠= 所以DFA ∆为等边三角形，且DG FA ⊥， 又因为EF DG ⊥，EF FA F = ， 所以DG ⊥平面ABEF . 设BE 的中点为H ，连接,GH CH ， 易得四边形DGHC 为平行四边形， 所以CH ⊥平面ABEF ，所以222CG GH CH =+. ………………11分 设DF x =，由题意得CH DG ==，42GH CD x ==-，所以222219(42))16164CG x x x x =-+=-+， ………………13分 所以当3219x =时，2min 4819CG =. 所以线段CG. ………………14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：0.03a =. ………………3分 （Ⅱ）解：由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名. ………………4分 因为初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为(0.020.005)100.25+⨯=， 所以所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有0.251800450⨯=人， ………………6分 同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为(0.030.005)100.35+⨯=，学生人数约有0.351200420⨯=人.F EGA B D COH所以该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有450420870+=人. ………………8分 （Ⅲ）解：记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，至少抽到1名高中生”为事件A ， ………………9分初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005100.05⨯=，样本人数为0.05603⨯=人.高中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005100.05⨯=，样本人数为0.05402⨯=人. ………………10分记这3名初中生为123,,A A A ，这2名高中生为12,B B ，则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，所有可能结果有10种，即：12(,)A A ，13(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，23(,)A A ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B ，而事件A 的结果有7种，它们是11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B ， 所以7()10P A =. ………………13分19．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：函数()y f x =的定义域{|}D x x x a =∈≠-R 且，由题意，()f a '有意义，所以0a ≠.求导，得244()()2()()(3)()()()x a x a x a x a x a f x x a x a +--⋅++⋅-'==-++. ………………3分 所以24241()1164a f a a a '===， 解得12a =±. ………………5分（Ⅱ）解：“对于定义域内的任意1x ，总存在2x 使得21()()f x f x <”等价于“()f x 不存在最小值”． ………………6分① 当0a =时， 由1()f x x=，得()f x 无最小值，符合题意． ………………8分② 当0a <时，令4()(3)()0()x a x a f x x a +⋅-'=-=+，得x a =- 或 3x a =. ………………9分随着x 的变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表：………………11分 所以函数()f x 的单调递减区间为(,3)a -∞，(,)a -+∞，单调递增区间为(3,)a a -．因为当x a >时，2()0()x af x x a -=>+，当x a <时，()0f x <，所以min ()(3)f x f a =．所以当13x a =时，不存在2x 使得21()()f x f x <．综上所述，a 的取值范围为{0}a ∈. ………………13分20．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：焦点坐标为(0,1)，准线方程为1y =-. ………………2分 （Ⅱ）证明：由题意，知直线l 的斜率存在，故设l 的方程为m kx y +=. 由方程组2,4,y kx m x y =+=⎧⎨⎩ 得2440x kx m --=，由题意，得216160k m ∆=+>.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124x x k +=，124x x m =-， ………………4分 由抛物线方程24x y =，得214y x =，所以12y x '=，所以抛物线在点A 处的切线方程为)(21411121x x x x y -=-， 化简，得2114121x x x y -=， ○1 同理，抛物线在点B 处的切线方程为2224121x x x y -=. ○2 ………………6分联立方程○1○2，得22221141214121x x x x x x -=-，即))((41)(21212121x x x x x x x +-=-，因为21x x ≠，所以)(2121x x x +=， 代入○1，得1214y x x m ==-， 所以点12(,)2x x Q m +-，即(2,)Q k m -. 所以点Q 在直线y m =-上. ………………8分 （Ⅲ）解：假设存在点P ，使得四边形PEQF 为矩形，由四边形PEQF 为矩形，得EQ FQ ⊥，即AQ BQ ⊥，所以1-=⋅BQ AQ k k ，即1212121-=⋅x x .由（Ⅱ），得1)4(414121-=-=m x x ，解得1m =.所以(0,1)P .………………10分 以下只要验证此时的四边形PEQF 为平行四边形即可.在○1中，令0=y ，得)0,21(1x E . 同理得)0,21(2x F .所以直线EP 的斜率为1122001x x k EP -=--=，直线FQ 的斜率12122221)1(0xx x x k FQ -=+---=，………………12分 所以FQ EP k k = ，即FQ EP //.同理EQ PF //.所以四边形PEQF 为平行四边形.综上所述，存在点)1,0(P ，使得四边形PEQF 为矩形.………………14分。
安徽省六校教育研究会2016届高三年级第一次联考数学试题(文科)(含详细答案)
合肥一中芜湖一中安师大附中蚌埠二中安庆一中淮北一中安徽省六校教育研究会2016届高三年级第一次联考数学试题（文科）一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集I＝{0,1,2,3}，集合A＝{1，2}，B＝｛2，3}，则A∪(C I B)＝（）A、{1}B、{2，3}C、{0，1,，2} D. {0,2,3}2、i为虚数单位，复数z满足(1一i)·z＝1＋i的实部为（）A. －1B. 0C. 1D. 23.已知等于（）4.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）5.已知某几何体的三视图如右图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（）6.下列命题：①若p，q为两个命题，则”p且q为真”是”p或q为真”的必要不充分条件．②若p为：③命题的否命题是④命题“若，则q”的逆否命题是“若其中正确结论的个数是（）A. 1B. 2C.3D.47．阅读右图所示的程序框图，输出的结果S的值为（）8.设实数x，y满足约束条件的最大值是（）A: 64 B. 32 D.19.定义新运算则函数r 最大值等于（）A、－1B、1C、6D、1210，若向量的夹角为1200,且，则有11、过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于B、C两点，l与抛物线的准线交于点A，且｜AF｜＝6，，则｜BC｜＝（）12. 若a＞1.设函数的零点是的零点为的取值范围是（）第II卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、已知函数14.在△ABC中，内角A、B、C的对边边长分别为a,b,c，且，若c＝10，则△ABC的面积是＿＿＿＿．15.己知函数f(x)＝x2＋ax的图象在点A(l，f(1))处的切线l与直线x＋3y一1＝0垂直，若数列的前n项和为Sn，则S2015的值为______．16.在区间[0，5]上随机地选择一个数a，则使函数有最小值的概率为＿＿＿．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）17:（本小题满分10分）已知函数·(I)求f(x) 的最小正周期及单调递减区间（II）求f（x）在区间上的最小值18.（本小题满分12分）如图，三梭柱ABC-中，侧棱直底面，,AC＝BC＝＝1，D是侧棱AA1的中点（I）证明：平面BDC1⊥平面BDC（II）平面BDC1分此棱柱为两部分，求多面体C1A1DBB1的体积19.（本小题满分12分）设数列的前n项和Sn满足，且a1，a2＋1，a3成等差数列．(I）数列的通项公式(1I）设数列的前n项和为Tn，求Tn．。
2016年北京市东城区第一学期期末教学统一检测高三数学(文科)试卷(含答案)
北京市东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{}1,2,A m =，{}3,4B =.若{}3A B = ，则实数m =（A ） （B ）2 （C ）3 （D ）4 （2）在复平面内，复数2iiz -=对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（3）已知向量(1,2)=a ，(2,)x =-b .若+a b 与-a b 平行，则实数x 的值是 （A ）4 （B ）（C ）1-（D ）4-（4）经过圆22220x y x y +-+=的圆心且与直线20x y -=平行的直线方程是 （A ）230x y --= （B ） 210x y --= （C ）230x y -+= （D ）210x y ++=（5）给出下列函数：①2log y x = ； ②2y x = ； ③2xy =； ④2y x=. 其中图象关于y 轴对称的是（A ）①② （B ）②③ （C ）①③ （D ）②④（6）“sin 221αα-=”是“4απ=”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）某程序框图如图所示，当输入的x 的值为5时，输出的y 值恰好是13，则在空白的处理框处应填入的关系式可以是（A ）3y x = （B ）3y x = （C ） 3x y = （D ）3y x=（8）已知函数)21()(2≤≤-=x x a x f 与1)(+=x x g 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（A ）5[,)4-+∞ （B ）[1,2] （C ）5[,1]4- （D ）[1,1]-第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市石景山区2016届高三数学一模试卷(文科) 含解析
2016年北京市石景山区高考数学一模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分,共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x3 C．D．y=x｜x|3．设｛a n}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列｛a n}是递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．如图所示，已知正方形ABCD的边长为1,点E从D点出发,按字母顺序D→A→B→C沿线段DA，AB，BC运动到C点，在此过程中的最大值是（）A．0 B． C．1 D．﹣15．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（)A．8 B．C．10 D．6．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0,|φ｜＜）的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是（)A．B．C．D．7．已知抛物线y2=4x的弦AB中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为（）A．1 B．3 C．6 D．128．将数字1，2，3,4，5，6书写在每一个骰子的六个表面上,做成6枚一样的骰子．分别取三枚同样的这种骰子叠放成如图A和B所示的两个柱体,则柱体A和B 的表面(不含地面）数字之和分别是（）A．47，48 B．47，49 C．49，50 D．50,49二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．双曲线=1的焦距是，渐近线方程是．10．若变量x，y满足约束条件,则z=2x+y的最大值．11．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术"．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,20，则输出的a= ．12．设，b=1﹣2sin213°,，则a，b，c的大小关系是．（从小到大排列）。
2016兰州市高三一诊数学(文)答案
2016年兰州市高三诊断考试 文科数学试题答案及评分参考一、选择题（每小题5分）8．解析：研究数对(),i S 的规律，不难发现运算结果如下：111(1,3)(2,)(3,)(4,2)(5,3)(6,)232-→-→→→-→-…,显然由20165044=⨯得最终输出的结果为210． 解析：依题意函数()y f x =在(0,)+∞上为减函数，且关于y 轴对称1()()(ln)(ln )f a f a f f ππ=-=-=，1()(ln )2f c f f π== 而210ln ln (ln )2πππ<<<，所以21(ln )(ln )(ln )2f f f πππ>>（）， 11．解析：设(,)M x y ，因22||||10MA MO +=，所以2222(2)10x y x y +-++=，即22(1)4x y +-=，由于点M 还在直线l 上，所以直线与圆相交或相切，2≤解得11a -≤≤12．解析：因为2()()sin x f x xf x x '+=，(0,6)x ∈，所以sin ()()xxf x f x x'+=， 设()()g x xf x =，则 sin ()[()]xg x xf x x''==，由()0g x '>得0x π<<， ()0g x '<得6x π<<，所以当x π=时，函数()()g x xf x =取得极大值()()2g f ππππ==二、填空题（每小题5分） 13．2π14．5 15．2 16．80m + 三、解答题17．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则依题意有 121111(3)()(7)a a d a d a d =⎧⎨+=++⎩ ………………3分解得1d =或0d =（舍去）所以 1(1)n a a n d n =+-= ………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得n a n = ∴ 2n n b =∵12n nb b += ∴{}n b 是首项为2，公比2的等比数列 ………………10分∴12(12)2212n n n T +-==-- ………………12分 18．解：（Ⅰ）计算10名被采访者的综合指标，可列下表：由上表可知居住满意度为三级（01ω≤≤）的只有一位，其频率为10，用样本频率估计总体的频率，该城市中居住满意度为三级的人数有1200=2010⨯（万人）………………6分 （Ⅱ）设事件A 为“从居住满意度为一级的被调查者中随机抽取两人，这两人的居住满意度指标ω均为4”，由（Ⅰ）知居住满意度为一级（4ω≥）的有编号为1、2、3、5、6、8的共6位，从中随机抽取两人，所有可能的结果有：{1,2}、{1,3}、{1,5}、{1,6}、{1,8}、{2,3}、{2,5}、{2,6}、{2,8}、{3,5}、{3,6}、{3,8}、{5,6}、{5,8}、{6,8}共15种. ………………8分其中综合指标为=4ω的有编号为1、2、5的共3位. 事件A 发生的所有结果为{1,2}、{1,5}、{2,5}共三种 所以31()155P A == ………………12分 19．解：（Ⅰ） 取PB 中点N ，连结MN 、AN ，M 是PC 中点，1//,22MN BC MN BC ∴==， 又//BC AD ，//,MN AD MN AD ∴=，∴四边形ADMN 为平行四边形 ………………3分,AP AD AB AD ⊥⊥ ，AD ∴⊥平面PAB ，AD AN ∴⊥，AN MN ∴⊥AP AB = ，AN PB ∴⊥，AN ∴⊥平面PBC ，AN ⊂ 平面ADM ，∴平面ADM ⊥平面PBC . ………………6分（Ⅱ）∵12BE BC =∴点E 为BC 边的中点 ∴2DE CE ==在PDC ∆中PD CD ==PC ===所以PDC S ∆= 设点E 到平面PDC 的距离为h ，则有P CDE E PCD V V --= 所以111323PDC PA DE CE h S ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅，即111222323h ⨯⨯⨯⨯=⋅⋅解得h =即点E 到平面PDC………………12分 20．解：（Ⅰ）设椭圆的方程是22221(0)x y a b a b+=>>, 则，1c =∵||3BD =, ∴223b a=， 又221a b -=，∴2a =，b =∴椭圆C 的方程为22143x y += ………………6分 （Ⅱ）假设存在直线1l 且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为(2)1y k x =-+由 22(2)1143y k x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=因为直线1l 与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，设11(,)M x y 、22(,)N x y所以222[8(21)]4(34)(16168)0k k k k k ∆=---+-->，所以 12k >-， 又 1228(21)34k k x x k -+=+，21221616834k k x x k--=+ ………………8分因为12125(2)(2)(1)(1)4PM PN x x y y ⋅=--+--=所以2125(2)(2)(1)4x x k --+=即212125[2()4](1)4x x x x k -+++=所以222222161688(21)44[24](1)343434k k k k k k k k k---+-⋅++=+++, ………………10分 解得12k =±.因为12k >-，所以12k = 故存在直线1l 满足条件，其方程为12y x =. ………………12分21．解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，221()x f x x-'= 所以当102x <<时，()0f x '<，当12x >时，()0f x '>故函数()f x 在1(0,)2上单调递减，在1(,)2+∞单调递增.（Ⅱ）法一：设1()2ln g x x ax x =+-，则22121()(1)1g x a a x x x'=-+-=--+-因为1x ≥，所以211(1)0x-<--≤。
高三数学一模试卷 文(含解析)-人教版高三全册数学试题
2016年某某某某市平罗中学高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|1≤x≤2}，B={x|x2﹣1≤0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{1}D．∅2．复数（i是虚数单位）的虚部为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．23．在下列函数中既是奇函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数为（）A． B．y=x﹣1C． D．y=x3+x4．如图所示的程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值，若输入，则输出的y值为（）A．2B． C．2﹣2πD．85．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5B．7C．9D．116．在△ABC，a=，b=，B=，则A等于（）A． B． C． D．或7．“x＜1”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如图所示，则函数g （x）=a x+b的图象大致为（）A． B． C． D．9．已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为（）A．﹣2B．5C．6D．710．已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是（）A． B． C． D．11．已知函数的图象上相邻两个最高点的距离为π，若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称．则f（x）的解析式为（）A．f（x）=2sin（x+）B．f（x）=2sin（x+）C．f（x）=2sin（2x+）D．f（x）=2sin（2x+）12．如图，一竖立在水平对面上的圆锥形物体的母线长为4m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，则该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于（）A．1mB． C． D．2m二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．已知向量=（1，x），=（x﹣1，2），若，则x=．14．设=2，则tan（α+）=．15．已知函数f（x）=，则f已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤. 17．已知等差数列{a n}满足a1+a3=8，a2+a4=12．（Ⅰ）求数列{a n}的前n项和为S n；（Ⅱ）若++…+=，求n的值．18．某游戏为了了解某款游戏玩家的年龄情况，现随机调查100位玩家的年龄整理后画出频率分布直方图如图所示．（1）求100名玩家中各年龄组的人数，并利用所给的频率分布直方图估计该款游戏所有玩家的平均年龄；（2）若已从年龄在[35，45），[45，55）的玩家中利用分层抽样选取6人组成一个游戏联盟，现从这6人中选出2人，求这两人在不同年龄组的概率．19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，AC=CC1=6，M是棱CC1上一点．（1）若M、N分别是CC1、AB的中点，求证：∥平面AB1M；（2）求证：不论M在何位置，三棱锥A1﹣AMB1的体积都为定值，并求出该定值．20．已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=x+m与椭圆C相切，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，求四边形F1MNF2的面积．21．已知函数f（x）=（ax﹣2）e x在x=1处取得极值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[m，m+1]上的最小值；（Ⅲ）求证：对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B，C为⊙O上的三个点，AD是∠BAC的平分线，交⊙O于点D，过B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．（Ⅰ）证明：BD平分∠EBC；（Ⅱ）证明：AE•DC=AB•BE．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ，直线l的极坐标方程为2aρcosθ+2ρsinθ=1（a为常数）．（1）求直线l与圆C的普通方程；（2）若直线l分圆C所得两弧长度之比为1：2，某某数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值X围．2016年某某某某市平罗中学高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|1≤x≤2}，B={x|x2﹣1≤0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{1}D．∅【考点】交集及其运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解．【解答】解：B={x|x2﹣1≤0}={x|﹣1≤x≤1}则A∩B={1}，故选：C2．复数（i是虚数单位）的虚部为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==1﹣2i的虚部为﹣2．故选：A．3．在下列函数中既是奇函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数为（）A． B．y=x﹣1C． D．y=x3+x【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】根据奇函数、偶函数的定义，和奇函数图象的对称性，以及函数y=x3和y=x的单调性即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．函数为偶函数，不是奇函数，∴该选项错误；B．反比例函数y=x﹣1是奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，∴该选项正确；C．指数函数的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；D．y=x3和y=x在区间（0，+∞）上都单调递增，∴y=x3+x在（0，+∞）上单调递增，∴该选项错误．故选B．4．如图所示的程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值，若输入，则输出的y值为（）A．2B． C．2﹣2πD．8【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值，由函数解析式进行求解即可．【解答】解：模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值，因为，所以．故选：C．5．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5B．7C．9D．11【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列{a n}的性质，及a1+a3+a5=3，可得3a3=3，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的性质，及a1+a3+a5=3，∴3a3=3，∴a3=1，∴S5==5a3=5．故选：A．6．在△ABC，a=，b=，B=，则A等于（）A． B． C． D．或【考点】正弦定理．【分析】由a，b及sinB的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，根据A的X围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：由正弦定理可得：sinA===∵a=＜b=∴∴∠A=，故选：B．7．“x＜1”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据对数函数的性质和充要条件的定义，分析判断“x＜1”⇒“”和“”⇒“x＜1”的真假，可得答案．【解答】解：当“x＜1”时，x可能小于等于0，此时“”无意义，当“”时，0＜x＜1，此时“x＜1”成立，故“x＜1”是“”的必要而不充分条件，故选：B．8．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如图所示，则函数g （x）=a x+b的图象大致为（）A． B． C． D．【考点】指数函数的图象变换；函数的零点与方程根的关系．【分析】根据题意，易得（x﹣a）（x﹣b）=0的两根为a、b，又由函数零点与方程的根的关系，可得f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，观察f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；根据函数图象变化的规律可得g（x）=a X+b的单调性即与y轴交点的位置，分析选项可得答案．【解答】解：由二次方程的解法易得（x﹣a）（x﹣b）=0的两根为a、b；根据函数零点与方程的根的关系，可得f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，即函数图象与x轴交点的横坐标；观察f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；在函数g（x）=a x+b可得，由0＜a＜1可得其是减函数，又由b＜﹣1可得其与y轴交点的坐标在x轴的下方；分析选项可得A符合这两点，BCD均不满足；故选A．9．已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为（）A．﹣2B．5C．6D．7【考点】简单线性规划．【分析】先画出约束条件的可行域，再将可行域中各个角点的值依次代入目标函数z=x﹣y，不难求出目标函数z=x﹣y的最小值．【解答】解：如图作出阴影部分即为满足约束条件的可行域，由得A（3，5），当直线z=x﹣y平移到点A时，直线z=x﹣y在y轴上的截距最大，即z取最小值，即当x=3，y=5时，z=x﹣y取最小值为﹣2．故选A．10．已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是（）A． B． C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由该棱锥的三视图判断出该棱锥的几何特征，以及相关几何量的数据，再求出该棱锥外接球的半径和体积．【解答】解：由该棱锥的三视图可知，该棱锥是以边长为的正方形为底面，高为2的四棱锥，做出其直观图所示：则PA=2，AC=2，PC=，PA⊥面ABCD，所以PC即为该棱锥的外接球的直径，则R=，即该棱锥外接球的体积V==，故选：C．11．已知函数的图象上相邻两个最高点的距离为π，若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称．则f（x）的解析式为（）A．f（x）=2sin（x+）B．f（x）=2sin（x+）C．f（x）=2sin（2x+）D．f（x）=2sin（2x+）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由周期求出ω，根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、三角函数的奇偶性，求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解：设f（x）=2sin（ωx+φ），∵函数的图象上相邻两个最高点的距离为π，∴=π，ω=2．若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，可得y=2sin[2（x+）+φ]的图象．根据所得图象关于y轴对称，可得+φ=，求得φ=，故选：C．12．如图，一竖立在水平对面上的圆锥形物体的母线长为4m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，则该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于（）A．1mB． C． D．2m【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】作出该圆锥的侧面展开图，该小虫爬行的最短路程为PP'，由余弦定理求出．设底面圆的半径为r，求解即可得到选项．【解答】解：作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理可得，∴．设底面圆的半径为r，则有，∴．故C项正确．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．已知向量=（1，x），=（x﹣1，2），若，则x= 2或﹣1 ．【考点】平行向量与共线向量．【分析】利用向量平行的坐标关系解答．【解答】解：因为，所以1×2=x（x﹣1），解得x=2或者﹣1；故答案为：2或﹣1．14．设=2，则tan（α+）= ﹣2 ．【考点】同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正切函数．【分析】由已知可得tanα=3，用两角和的正切公式化简后代入即可求值．【解答】解：∵=2，∴cosα≠0， =2，解得tanα=3，∴tan（α+）==﹣2，故答案为：﹣2．15．已知函数f（x）=，则f=，∴f=f（0）=（）0=1．故答案为：1．16．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为﹣=1 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，可得双曲线的焦点，即有c=6，再由渐近线方程可得a，b 的方程，解出a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：由题意可得，抛物线y2=24x的准线为x=﹣6，双曲线的一个焦点为（﹣6，0），即有c=6，又=，36=a2+b2=4a2，a2=9，b2=27，则所求双曲线的方程为﹣=1．故答案为：﹣=1．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤. 17．已知等差数列{a n}满足a1+a3=8，a2+a4=12．（Ⅰ）求数列{a n}的前n项和为S n；（Ⅱ）若++…+=，求n的值．【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．【分析】（Ⅰ）通过a1+a3=8，a2+a4=12与等差中项的性质可知a2=4，a3=6，进而可知公差及首项，利用等差数列的求和公式计算即得结论；（Ⅱ）通过（I）裂项可知=﹣，进而并项相加并与已知条件比较即得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵a1+a3=8，a2+a4=12，∴a2=4，a3=6，∴等差数列{a n}的公差d=a3﹣a2=6﹣4=2，首项a1=a2﹣d=4﹣2=2，∴数列{a n}是首项、公差均为2的等差数列，于是其前n项和为S n=2•=n（n+1）；（Ⅱ）由（I）可知， ==﹣，∴++…+=1﹣+﹣+…+﹣=，又∵++…+=，∴=，即n=999．18．某游戏为了了解某款游戏玩家的年龄情况，现随机调查100位玩家的年龄整理后画出频率分布直方图如图所示．（1）求100名玩家中各年龄组的人数，并利用所给的频率分布直方图估计该款游戏所有玩家的平均年龄；（2）若已从年龄在[35，45），[45，55）的玩家中利用分层抽样选取6人组成一个游戏联盟，现从这6人中选出2人，求这两人在不同年龄组的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由直方图可得各组年龄的人数，由直方图计算平均值的方法可得平均年龄；（Ⅱ）在[35，45）的人数为4人，记为a，b，c，d；在[45，55）的人数为2人，记为m，n．列举可得总的情况共有15种，“这两人在不同年龄组”包含8种，由古典概型概率公式可得．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可得各组年龄的人数分别为10，30，40，20人；估计所有玩家的平均年龄为0.1×20+0.3×30+0.4×40+0.2×50=37岁；（Ⅱ）在[35，45）的人数为4人，记为a，b，c，d；在[45，55）的人数为2人，记为m，n．∴抽取结果共有15种，列举如下：（ab），（ac），（ad），（am），（an），（bc），（bd），（bm），（bn），（cd），（cm），（），（dm），（dn），（mn）设“这两人在不同年龄组”为事件A，事件A所包含的基本事件有8种，则，∴这两人在不同年龄组的概率为19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，AC=CC1=6，M是棱CC1上一点．（1）若M、N分别是CC1、AB的中点，求证：∥平面AB1M；（2）求证：不论M在何位置，三棱锥A1﹣AMB1的体积都为定值，并求出该定值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取AB1中点P，连结MP，NP，则四边形MP是平行四边形，得出∥MP，从而∥平面AB1M．（2）V=V=S•．只需证明⊥平面AB1BA1即可．【解答】证明：（1）取AB1中点P，连结MP，NP，∵P是AB1的中点，N是AB的中点，∴PN∥BB1，PN=，∵M是CC1的中点，∴CM∥BB1，CM=BB1，∴CM∥PN，CM=PN，∴四边形MP是平行四边形，∴∥MP，∵MP⊂平面AB1M，⊄AB1M，∴∥平面AB1M．（2）∵△ABC是等边三角形，∴⊥AB，∵BB1⊥平面ABC，PN∥BB1，∴PN⊥平面ABC，∵⊂平面ABC，∴PN⊥，又∵AB⊂平面ABB1A1，PN⊂平面ABB1A1，AB∩PN=N，∴⊥平面AB1BA1，∵==3．∴V=V=S•==18．∴不论M在何位置，三棱锥A1﹣AMB1的体积都为定值18．20．已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=x+m与椭圆C相切，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，求四边形F1MNF2的面积．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）将直线的方程y=x+m，代入椭圆C的方程，消去y，得到x的二次方程，运用直线和椭圆相切的条件：判别式为0，再由点到直线的距离公式，结合直角梯形的面积公式计算即可得到所求值．【解答】解：（1）由题意可得，又a2=b2+c2，所以，又点在该椭圆C上，所以．解得a2=4，b2=3．所以椭圆C的方程为；（2）将直线的方程y=x+m，代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中，得7x2+8mx+4m2﹣12=0，由直线与椭圆C仅有一个公共点可知，△=64m2﹣28（4m2﹣12）=0，化简得，m2=7．由F1（﹣1，0），F2（1，0），设，，由直线l的斜率为1，可得|d1﹣d2|=|MN|，所以四边形F1MNF2的面积S=|d1﹣d2|（d1+d2）=|d12﹣d22|=•2|m|=|m|=．故四边形F1MNF2的面积为．21．已知函数f（x）=（ax﹣2）e x在x=1处取得极值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[m，m+1]上的最小值；（Ⅲ）求证：对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求导数f′（x），由题意得f′（1）=0，可得a值，代入检验即可；（Ⅱ）当a=1时可求出f（x）的单调区间及极值点，按极值点在区间[m，m+1]的左侧、内部、右侧三种情况进行即可求得其最小值；（Ⅲ）对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e，等价于|f（x1）﹣f（x2）|≤f max （x）﹣f min（x）≤e．问题转化为求函数f（x）的最大值、最小值问题，用导数易求；【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=ae x+（ax﹣2）e x=（ax+a﹣2）e x，由已知得f′（1）=0，即（2a﹣2）e=0，解得：a=1，验证知，当a=1时，在x=1处函数f（x）=（x﹣2）e x取得极小值，所以a=1；（Ⅱ）f（x）=（x﹣2）e x，f′（x）=e x+（x﹣2）e x=（x﹣1）e x．x （﹣∞，1） 1 （1，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）减增所以函数f（x）在（﹣∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增．当m≥1时，f（x）在[m，m+1]上单调递增，f min（x）=f（m）=（m﹣2）e m．当0＜m＜1时，m＜1＜m+1，f（x）在[m，1]上单调递减，在[1，m+1]上单调递增，f min（x）=f（1）=﹣e．当m≤0时，m+1≤1，f（x）在[m，m+1]单调递减，．综上，f（x）在[m，m+1]上的最小值（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）=（x﹣2）e x，f′（x）=e x+（x﹣2）e x=（x﹣1）e x．令f′（x）=0得x=1，因为f（0）=﹣2，f（1）=﹣e，f（2）=0，所以f max（x）=0，f min（x）=﹣e，所以，对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤f max（x）﹣f min（x）=e，[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B，C为⊙O上的三个点，AD是∠BAC的平分线，交⊙O于点D，过B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．（Ⅰ）证明：BD平分∠EBC；（Ⅱ）证明：AE•DC=AB•BE．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由BE是⊙O的切线，可得∠EBD=∠BAD，又∠CBD=∠CAD，∠BAD=∠CAD，从而可求∠EBD=∠CBD，即可得解．（2）先证明△BDE∽△ABE，可得，又可求∠BCD=∠DBC，BD=CD，从而可得，即可得解．【解答】解：（1）因为BE是⊙O的切线，所以∠EBD=∠BAD…又因为∠CBD=∠CAD，∠BAD=∠CAD…所以∠EBD=∠CBD，即BD平分∠EBC．…（2）由（1）可知∠EBD=∠BAD，且∠BED=∠BED，有△BDE∽△ABE，所以，…又因为∠BCD=∠BAE=∠DBE=∠DBC，所以∠BCD=∠DBC，BD=CD…所以，…所以AE•DC=AB•BE…．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ，直线l的极坐标方程为2aρcosθ+2ρsinθ=1（a为常数）．（1）求直线l与圆C的普通方程；（2）若直线l分圆C所得两弧长度之比为1：2，某某数a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出直线l的普通方程和圆C的普通方程．（2）由直线l分圆C所得两弧长度之比为1：2，得到圆心C（2，﹣1）到直线2ax+2y﹣1=0的距离为半径一半，由此能求出a．【解答】解：（1）∵直线l的极坐标方程为2aρcosθ+2ρsinθ=1（a为常数），∴直线l的普通方程为2ax+2y﹣1=0．∵圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ，∴ρ2=4ρcosθ﹣2ρsinθ，∴圆C的普通方程为：x2+y2﹣4x+2y=0．（2）∵圆C：x2+y2﹣4x+2y=0的圆心C（2，﹣1），半径r==，直线l分圆C所得两弧长度之比为1：2，∴直线l截圆C所得的弦|AB|所对圆心角为120°，∴圆心C（2，﹣1）到直线2ax+2y﹣1=0的距离为半径一半，即d==，解得a=或a=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值X围．【考点】其他不等式的解法；函数的定义域及其求法．【分析】（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7，解此绝对值不等式求得函数f（x）的定义域．（2）由题意可得，不等式即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，由于x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥3，故m+4≤3，由此求得m的取值X围．【解答】解：（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或，解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）．（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，∴m+4≤3，m的取值X围是（﹣∞，﹣1]．。
北京市海淀区2016届高三一模数学(理)试题【含答案】
北京海淀区高三年级2015-2016学年度第二学期期中练习数学试卷（理科）2016.4一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．函数()21x f x =-的定义域为（ ）A ．[)0+∞，B ．[)1+∞，C ．(]0-∞，D ．(]1-∞， 2．某程序的框图如图所示，若输入的z i =（其中i 为虚数单位）， 则输出的S 值为（ ）A ．1-B ．1C ．i -D ．i3．若x y 、满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为（ ）A ．52 B ．3 C ．72D ．4 4．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ ） A ．33 B ．32 C ．233 D ．2635．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 为常数列” 是“n n n N S na *∀∈=，”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6．在极坐标系中，圆1:2cos C =ρθ与圆2:2sin C =ρθ相交于A B 、两点，则AB =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．27．已知函数()()()sin 0cos 0x a x f x x b x +≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩，，是偶函数，则下列结论可能成立的是（ ）A ．44a b ==-，ππB ．236a b ==，ππC ．36a b ==，ππD ．5263a b ==，ππ8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（ ） A ．甲只能承担第四项工作 B ．乙不能承担第二项工作 C ．丙可以不承担第三项工作 D ．丁可以承担第三项工作二、填空题：共6小题，每小题5分，共30 分．9．已知向量()()1,,9a t b t ==， ，若//a b ，则t =_______． 10．在等比数列{}n a 中，22a =，且131154a a +=，则13a a +的值为_______． 11．在三个数12312log 22-， ， 中，最小的数是_______．12．已知双曲线2222:1x y C a b-=的一条渐近线l 的倾斜角为3π，且C 的一个焦点到l 的距离为3，则C 的方程为_______．13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字123， ， 中的一个． （ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4时，不同的填法有_______种； （ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．14．已知函数()f x ，对于实数t ，若存在00a b >>，，满足：[]x t a t b ∀∈-+，，使得()()2f x f t -≤，则记a b +的最大值为()H t ．（ⅰ）当()2f x x =时，()0=H _______．（ⅱ）当()2f x x =且[]1,2t ∈时，函数()H t 的值域为_______．三、解答题：共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）如图，在ABC ∆中，点D 在边AB 上，且13AD DB =．记ACD ∠=α，BCD ∠=β． （Ⅰ）求证：sin 3sin AC BC βα= ； （Ⅱ）若1962AB ===，，ππαβ，求BC 的长．16．（本小题满分13分）2004年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ，22s ，根据样本数据，试估计21s 与22s 的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1株，记这2株的产量总和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M N 、分别为线段PB PC 、上的点，MN PB ⊥．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P B 、重合时，M N D A 、、、四个点在同一个平面内； （Ⅲ）当2PA AB ==，二面角C AN D --的大小为3π时，求PN 的长．18．（本小题满分13 分）已知函数()1ln 1f x x x =+-，()1ln x g x x-= （Ⅰ）求函数()f x 的最小值； （Ⅱ）求函数()g x 的单调区间；（Ⅲ）求证：直线y x =不是曲线()y g x =的切线．19．（本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，椭圆C 与y 轴交于A B 、两点，且2AB =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且点P 在y 轴的右侧，直线PA PB 、与直线4x =分别交于N N 、两点，若以MN 为直径的圆与x 轴交于E F 、两点，求点P 横坐标的取值范围及EF 的最大值．20．（本小题满分13分）给定正整数()3n n ≥，集合{}1,2,,n U n =⋅⋅⋅．若存在集合A B C 、、，同时满足下列条件： ①n U AB C =，且A B B C C A ===∅；②集合A 中的元素都为奇数，集合B 中的元素都为偶数，所有能被3整除的数都在集合C 中（集合C 中还可以包含其它数）；③集合A B C 、、中各元素之和分别记为A B C S S S 、、，有A B C S S S ==； 则称集合n U 为可分集合．（Ⅰ）已知8U 为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合A B C 、、； （Ⅱ）证明：若n 是3的倍数，则n U 不是可分集合； （Ⅲ）若n U 为可分集合且n 为奇数，求n 的最小值．海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案DABC数学（理科） 2016.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
福建省普通高中2016届高三4月毕业班质量检测数学(文)试题 扫描版含答案
2016年福建省普通高中毕业班质量检查文科数学试题答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）C （2）D （3）A （4）C （5）D （6）A（7）B （8）D （9）C （10）B （11）A （12）D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．（13）8 （14（151 （16）sin x -π三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．本小题主要考查等比数列的通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等．满分12分．解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，依题意，得211211120,7,a q a q a a q a q ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩ ················································································ 3分 解得11,2,a q =⎧⎨=⎩ ·················································································································· 5分 所以12n n a -=． ············································································································ 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，12n n n n a -=，所以21231222n n n T -=++++，① ····················· 7分 所以21112122222n n nn n T --=++++，② ······································································ 8分 ①－②得，211111122222n n n n T -=++++- ···························································· 10分 1121212n n n -=--222n n +=-． ····················································································· 11分 所以1242n n n T -+=-． ·································································································· 12分 18．本小题主要考查频率分布直方图、平均数、众数、古典概率等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．解：（Ⅰ）依题意可得，使用A 款订餐软件的50个商家的 “平均送达时间”的众数为55（分钟）． ················································································································· 2分 使用A 款订餐软件的50个商家的 “平均送达时间”的平均数：150.06250.34350.12450.04550.4650.0440⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟）．····································································································································· 6分 （Ⅱ）（ⅰ）使用B 款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家的比例估计值为0.04+0.20+0.56=0.80=80%>75%. ······································································ 8分故可认为使用B 款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%.································································································································· 9分 （ⅱ）使用B 款订餐软件的50个商家的 “平均送达时间”的平均数： 150.04250.2350.56450.14550.04650.023540⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=<，所以选B 款订餐软件． ····················································································· 12分注：本小题答案开放，只要能够按照统计知识合理作答，即给满分。
北京市海淀区2017届高三一模数学(理)试题【含答案】
北京海淀区高三年级2016-2017学年度第一次综合练习数学试卷（理科）2017．3一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合(){}10A x x x =+≤，集合{}0B x x =>，则A B =（ ）A ．{}1x x ≥-B ．{}1x >-C ．{}0x x ≥D ．{}0x x >2．已知复数()()z i a bi a b R =+∈，），则“z 为纯虚数”的充分必要条件为（ ） A ．220a b +≠B ．0ab =C ．00a b =≠，D ．00a b ≠=，3．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（ ） A ．0B ．3C ．6D ．84．设a b R ∈，若a b >，则（ ） A ．11a b> B ．22a b> C ．lg lg a b >D ．sin sin a b >5．已知1a xdx =⎰，12b x dx =⎰，0c =⎰，则a b c 、、的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<6．已知曲线2:2x C y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），()()1010A B -，、，，若曲线C 上存在点P 满足0AP BP ⋅=，则实数a 的取值范围为（ ）A．22⎡-⎢⎣⎦，B ．[]11-，C．⎡⎣D ．[]22-，7．甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为（ ） A ．12B ．40C ．60D ．808．某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如图检查项目：项目①：折叠状态下（如图1），检查四条桌腿长相等；项目②：打开过程中（如图2），检查''''OM ON O M O N ===； 项目③：打开过程中（如图2），检查''''OK OL O K O L ===； 项目④：打开后（如图3），检查123490∠=∠=∠=∠=； 项目⑤：打开后（如图3），检查''''AB A B C D CD ===．在检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行的是”（ ） A ．①②③ B ．②③④C ．②④⑤D ．③④⑤二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．若等比数列{}n a 满足24548a a a a ==，，则公比q =________，前n 项和n S =________． 10．已知()()122020F F -，、，，满足122PF PF -=的动点P 的轨迹方程为________． 11．在ABC ∆中，cos c a B =．①A =________；②若1sin 3C =，则()cos B π+=________． 12．若非零向量a ，b 满足()0a a b ⋅+=，2a b =，则向量a ，b 夹角的大小为________．13．已知函数()210cos 0x x f x x x π⎧-≥=⎨<⎩，，，若关于x 的方程()0f x a +=在()0+∞，内有唯一实根，则实数a 的最小值是________．14．已知实数u v x y ，，，满足221u v +=，102202x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则z ux vy =+的最大值是________．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分13分）已知3π是函数()22cos sin 21f x x a x =++的一个零点． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间．据报道，巴基斯坦由中方投资运营的瓜达尔港目前已通航．这是一个可以停靠8~10万吨油轮的深水港，通过这一港口，中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区，这相当于给中国平添了一条大动脉！在打造中巴经济走廊协议（简称协议）中，能源投资约340亿美元，公路投资约59亿美元，铁路投资约38亿美元，高架铁路投资约16亿美元，瓜达尔港投资约6.6亿美元，光纤通讯投资约为0.4亿美元．有消息称，瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和．表格记录了2015年天津、上海两港口的月吞吐量（单位：百万吨）：（Ⅰ）根据协议提供信息，用数据说明本次协议投资重点；（Ⅱ）从表中12个月任选一个月，求该月天津、上海两港口月吞吐量之和超过55百万吨的概率；（Ⅲ）将（Ⅱ）中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过55百万吨的概率，设X为瓜达尔未来12个月的月货物吞吐量超过55百万吨的个数，写出X的数学期望（不需要计算过程）．如图，由直三棱柱111ABC A B C -和四棱锥11D BB C C -构成的几何体中，90BAC ∠=，1AB =，12BC BB ==，1C D CD ==1CC D ⊥平面11ACC A ．（Ⅰ）求证：1AC DC ⊥；（Ⅱ）若M 为1DC 的中点，求证：//AM 平面1DBB ；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点P ，使直线DP 与平面1BB D 所成的角为3π？若存在，求BPBC 的值，若不存在，说明理由．已知函数()()()2241ln 1f x x ax a x =-+-+，其中实数3a <． （Ⅰ）判断1x =是否为函数()f x 的极值点，并说明理由； （Ⅱ）若()0f x ≤在区间[]01，上恒成立，求a 的取值范围．已知椭圆22:12x G y +=，与x 轴不重合的直线l 经过左焦点1F ，且与椭圆G 相交于A B 、两点，弦AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆G 相交于C D 、两点．（Ⅰ）若直线l 的斜率为1，求直线OM 的斜率； （Ⅱ）是否存在直线l ，使得2AM CM DM =⋅成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．已知含有n 个元素的正整数集{}()12123n n A a a a a a a n =<<<≥，，，，具有性质P ：对任意不大于()S A （其中()12n S A a a a =+++）的正整数k ，存在数集A 的一个子集，使得该子集所有元素的和等于k ．（Ⅰ）写出12a a ，的值；（Ⅱ）证明：“12n a a a ，，，成等差数列”的充要条件是“()()12n n S A +=”； （Ⅲ）若()2017S A =，求当n 取最小值时n a 的最大值．2017年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x（x+1）≤0}，集合B={x|x＞0}，则A∪B=（）A．{x|x≥﹣1} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x≥0} D．{x|x＞0}【解答】解：∵集合A={x|x（x+1）≤0}={x|﹣1≤x≤0}，集合B={x|x＞0}，∴A∪B={x|x≥﹣1}．故选：A．2．（5分）已知复数z=i（a+bi）（a，b∈R），则“z为纯虚数”的充分必要条件为（）A．a2+b2≠0 B．ab=0 C．a=0，b≠0 D．a≠0，b=0【解答】解：复数z=i（a+bi）=ai﹣b（a，b∈R），则“z为纯虚数”的充分必要条件为﹣b=0，a≠0．故选：D．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的x值为（）A．0 B．3 C．6 D．8【解答】解：x=0，y=9，≠，x=1，y=8，≠，x=2，y=6，=4≠，x=3，y=3，3=，输出x=3，故选：B．4．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（）A．＜B．2a＞2b C．lga＞lgb D．sina＞sinb【解答】解：a，b∈R，a＞b，当a＞0，b＜0时，A不成立，根据指数函数的单调性可知，B正确，根据对数函数的定义，可知真数必需大于零，故C不成立，由于正弦函数具有周期性和再某个区间上为单调函数，故不能比较，故D不成立，故选：B．5．（5分）已知a=xdx，b=x2dx，c=dx，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b【解答】解：a=xdx=|=，b=x2dx=|=，c=dx=|=，则b＜a＜c，故选：C6．（5分）已知曲线C：（t为参数），A（﹣1，0），B（1，0），若曲线C上存在点P满足•=0，则实数a的取值范围为（）A．，B．[﹣1，1] C．，D．[﹣2，2]【解答】解：∵A（﹣1，0），B（1，0），若曲线C上存在点P满足•=0，∴P的轨迹方程是x2+y2=1．曲线C：（t为参数），普通方程为x﹣y+a=0，由题意，圆心到直线的距离d=≤1，∴，故选C．7．（5分）甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为（）A．12 B．40 C．60 D．80【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、甲和乙都排在丙的左侧，将甲乙安排在丙的左侧，考虑甲乙之间的顺序，有2种情况，排好后有4个空位，在4个空位中选一个安排丁，有4种情况，排好后有5个空位，在5个空位中选一个安排戊，有5种情况，则甲和乙都排在丙的左侧的情况有2×4×5=40种，②、甲和乙都排在丙的右侧，同理有40种不同的排法；故甲和乙都排在丙的同一侧的排法种数为40+40=80种；故选：D．8．（5分）某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如图检查项目：项目①：折叠状态下（如图1），检查四条桌腿长相等；项目②：打开过程中（如图2），检查OM=ON=O'M'=O'N'；项目③：打开过程中（如图2），检查OK=OL=O'K'=O'L'；项目④：打开后（如图3），检查∠1=∠2=∠3=∠4=90°；项目⑤：打开后（如图3），检查AB=A'B'=C'D'=CD．在检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行的是”（）A．①②③B．②③④C．②④⑤D．③④⑤【解答】解：项目①：折叠状态下（如图1），四条桌腿长相等时，桌面与地面不一定平行；项目②：打开过程中（如图2），若OM=ON=O'M'=O'N'，可以得到线线平行，从而得到面面平行；项目③：打开过程中（如图2），检查OK=OL=O'K'=O'L'，可以得到线线平行，从而得到面面平行；项目④：打开后（如图3），检查∠1=∠2=∠3=∠4=90°，可以得到线线平行，从而得到面面平行项目⑤：打开后（如图3），检查AB=A'B'=C'D'=CD．桌面与地面不一定平行；故选：B．二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．（5分）若等比数列{a n}满足a2a4=a5，a4=8，则公比q=2，前n项和S n=2n﹣1．【解答】解：∵等比数列{a n}满足a2a4=a5，a4=8，∴，解得a1=1，q=2，∴前n项和S n==2n﹣1．故答案为：2，2n﹣1．10．（5分）已知F1（﹣2，0），F2（2，0），满足||PF1|﹣|PF2||=2的动点P的轨迹方程为．【解答】解：根据题意，F1（﹣2，0），F2（2，0），则|F1F2|=4，动点P满足||PF1|﹣|PF2||=2，即2＜4，则P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，其中c=2，2a=2，即a=1，则b2=c2﹣a2=3，双曲线的方程为：；故答案为：．11．（5分）在△ABC中，c=acosB．①A=90°；②若sinC=，则cos（π+B）=﹣．【解答】解：①∵c=acosB．∴cosB==，整理可得：a2=b2+c2，∴A=90°；②∵sinC=，A=90°，∴B=90°﹣C，∴cos（π+B）=﹣cosB=﹣sinC=﹣故答案为：90°，．12．（5分）若非零向量，满足•（+）=0，2||=||，则向量，夹角的大小为120°．【解答】解：设向量，的夹角为θ，则θ∈[0°，180°]；又•（+）=0，2||=||，∴+•=0，即+||×2||cosθ=0，解得cosθ=﹣，∴θ=120°，即向量，夹角为120°．故答案为：120°．13．（5分）已知函数f（x）=，，＜若关于x的方程f（x+a）=0在（0，+∞）内有唯一实根，则实数a的最小值是﹣．【解答】解：作出f（x）的函数图象如图所示：∵f（x+a）在（0，+∞）上有唯一实根，∴f（x）在（a，+∞）上有唯一实根，∴﹣≤a＜1．故答案为．14．（5分）已知实数u，v，x，y满足u2+v2=1，，则z=ux+vy的最大值是2．【解答】解：约束条件的可行域如图三角形区域：A（2，1），B（2，﹣1），C（0，1），u2+v2=1 设u=sinθ，v=cosθ，目标函数经过A时，z=2sinθ+2cosθ=2sin（）．目标函数经过B时，z=2sinθ﹣cosθ=（θ+β）（其中tanβ=）．目标函数经过C时，z=sinθ≤1．所以目标函数的最大值为：2．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（13分）已知是函数f（x）=2cos2x+asin2x+1的一个零点．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，即，即，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得==，函数y=sinx的递增区间为，，k∈Z．由＜＜，k∈Z，得＜＜，k∈Z，所以，f（x）的单调递增区间为，，k∈Z．16．（13分）据报道，巴基斯坦由中方投资运营的瓜达尔港目前已通航．这是一个可以停靠8～10万吨油轮的深水港，通过这一港口，中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区，这相当于给中国平添了一条大动脉！在打造中巴经济走廊协议（简称协议）中，能源投资约340亿美元，公路投资约59亿美元，铁路投资约38亿美元，高架铁路投资约16亿美元，瓜达尔港投资约6.6亿美元，光纤通讯投资约为0.4亿美元．有消息称，瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和．表格记录了2015年天津、上海两港口的月吞吐量（单位：百万吨）：（Ⅰ）根据协议提供信息，用数据说明本次协议投资重点；（Ⅱ）从表中12个月任选一个月，求该月天津、上海两港口月吞吐量之和超过55百万吨的概率；（Ⅲ）将（Ⅱ）中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过55百万吨的概率，设X为瓜达尔未来12个月的月货物吞吐量超过55百万吨的个数，写出X的数学期望（不需要计算过程）．【解答】解：（Ⅰ）本次协议的投资重点为能源，因为能源投资为340亿，占总投资460亿的50%以上，所占比重大．（Ⅱ）设事件A：从12个月中任选一个月，该月超过55百万吨．根据提供的数据信息，可以得到天津、上海两港口的月吞吐量之和分别是：56，49，58，54，54，57，59，58，58，56，54，56，其中超过55百万吨的月份有8个，所以，．（Ⅲ）X的数学期望EX=8．17．（13分）如图，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1和四棱锥D﹣BB1C1C构成的几何体中，∠BAC=90°，AB=1，BC=BB1=2，C1D=CD=，平面CC1D⊥平面ACC1A1．（Ⅰ）求证：AC⊥DC1；（Ⅱ）若M为DC1的中点，求证：AM∥平面DBB1；（Ⅲ）在线段BC上是否存在点P，使直线DP与平面BB1D所成的角为？若存在，求的值，若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，故AC⊥CC1，由平面CC1D⊥平面ACC1A1，且平面CC1D∩平面ACC1A1=CC1，所以AC⊥平面CC1D，又C1D⊂平面CC1D，所以AC⊥DC1．（Ⅱ）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，又∠BAC=90°，所以，如图建立空间直角坐标系A﹣xyz，依据已知条件可得A（0，0，0），，，，，，，B（0，0，1），B1（2，0，1），，，，所以，，，，，，设平面DBB1的法向量为，，，由即令y=1，则，x=0，于是，，，因为M为DC1中点，所以，，，所以，，，由，，，，，可得，所以AM与平面DBB1所成角为0，即AM∥平面DBB1．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知平面BB1D的法向量为，，．设，λ∈[0，1]，则，，，，，．若直线DP与平面DBB1成角为，则＜，＞，解得，，故不存在这样的点．18．（13分）已知函数f（x）=x2﹣2ax+4（a﹣1）ln（x+1），其中实数a＜3．（Ⅰ）判断x=1是否为函数f（x）的极值点，并说明理由；（Ⅱ）若f（x）≤0在区间[0，1]上恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=x2﹣2ax+4（a﹣1）ln（x+1）可得函数f（x）定义域为（﹣1，+∞），=，令g（x）=x2+（1﹣a）x+（a﹣2），经验证g（1）=0，因为a＜3，所以g（x）=0的判别式△=（1﹣a）2﹣4（a﹣2）=a2﹣6a+9=（a﹣3）2＞0，由二次函数性质可得，1是函数g（x）的异号零点，所以1是f'（x）的异号零点，所以x=1是函数f（x）的极值点．（Ⅱ）已知f（0）=0，因为，又因为a＜3，所以a﹣2＜1，所以当a≤2时，在区间[0，1]上f'（x）＜0，所以函数f（x）单调递减，所以有f（x）≤0恒成立；当2＜a＜3时，在区间[0，a﹣2]上f'（x）＞0，所以函数f（x）单调递增，所以f（a﹣2）＞f（0）=0，所以不等式不能恒成立；所以a≤2时，有f（x）≤0在区间[0，1]恒成立．19．（14分）已知椭圆G：+y2=1，与x轴不重合的直线l经过左焦点F1，且与椭圆G相交于A，B两点，弦AB的中点为M，直线OM与椭圆G相交于C，D两点．（1）若直线l的斜率为1，求直线OM的斜率；（2）是否存在直线l，使得|AM|2=|CM|•|DM|成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由已知可知F1（﹣1，0），又直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y=x+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由解得或，所以AB中点，，于是直线OM的斜率为．（2）假设存在直线l，使得|AM|2=|CM|•|DM|成立．当直线l的斜率不存在时，AB的中点M（﹣1，0），所以，，矛盾；故直线的斜率存在，可设直线l的方程为y=k（x+1）（k≠0），联立椭圆G的方程，得（2k2+1）x2+4k2x+2（k2﹣1）=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，于是，点M的坐标为，，．直线CD的方程为，联立椭圆G的方程，得，设C（x0，y0），则，由题知，|AB|2=4|CM|•|DM|=4（|CO|+|OM|）（|CO|﹣|OM|）=4（|CO|2﹣|OM|2），即，化简，得，故，所以直线l的方程为，．20．（14分）已知含有n个元素的正整数集A={a1，a2，…，a n}（a1＜a2＜…＜a n，n≥3）具有性质P：对任意不大于S（A）（其中S（A）=a1+a2+…+a n）的正整数k，存在数集A的一个子集，使得该子集所有元素的和等于k．（Ⅰ）写出a1，a2的值；（Ⅱ）证明：“a1，a2，…，a n成等差数列”的充要条件是“S（A）=”；（Ⅲ）若S（A）=2017，求当n取最小值时a n的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由集合A={a1，a2，…，a n}，}（a1＜a2＜…＜a n，n≥3），由a n为正整数，则a1=1，a2=2．（Ⅱ）先证必要性：因为a1=1，a2=2，又a1，a2，…，a n成等差数列，故a n=n，所以；再证充分性：因为a1＜a2＜…＜a n，a1，a2，…，a n为正整数数列，故有a1=1，a2=2，a3≥3，a4≥4，…，a n≥n，所以，又，故a m=m（m=1，2，…，n），故a1，a2，…，a n为等差数列．（Ⅲ）先证明（m=1，2，…，n）．假设存在＞，且p为最小的正整数．依题意p≥3，则a1+a2+…+a p﹣1≤1+2+…+2p﹣2=2p﹣1﹣1，又因为a1＜a2＜…＜a n，故当k∈（2p﹣1﹣1，a p）时，k不能等于集合A的任何一个子集所有元素的和．故假设不成立，即（m=1，2，…，n）成立．因此，即2n≥2018，所以n≥11．因为S=2017，则a1+a2+…+a n﹣1=2017﹣a n，若2017﹣a n＜a n﹣1时，则当k∈（2017﹣a n，a n）时，集合A中不可能存在若干不同元素的和为k，故2017﹣a n≥a n﹣1，即a n≤1009．此时可构造集合A={1，2，4，8，16，32，64，128，256，497，1009}．因为当k∈{2，2+1}时，k可以等于集合{1，2}中若干个元素的和；故当k∈{22，22+1，22+2，22+3}时，k可以等于集合{1，2，22}中若干不同元素的和；…故当k∈{28，28+1，28+2，…，28+255}时，k可以等于集合{1，2，…，28}中若干不同元素的和；故当k∈{497+3，497+4，…，497+511}时，k可以等于集合{1，2，…，28，497}中若干不同元素的和；故当k∈{1009，1009+1，1009+2，…，1009+1008}时，k可以等于集合{1，2，…，28，497，1009}中若干不同元素的和，所以集合A={1，2，4，8，16，32，64，128，256，497，1009}满足题设，所以当n取最小值11时，a n的最大值为1009．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学试卷（文史类） 2016.3
（考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集UR，集合3Axx，2Bxx，则()UBAð
A．2xx B．13xx C. 23xx D．23xx 2.已知i为虚数单位,则复数2i1i= A．1i B．1i C．1i D．1i 3.已知非零平面向量ab，“abab”是“ab”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为 A. 42 B. 19 C. 8 D. 3
5.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，若3cossin0aBbA，则B A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π6
i=1,S=1 i<4? S= 2S+i
i= i+1
开始
输出S 结束
否
是 2
6.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是 A. 33 B. 3+6 C. 123 D. 126
7. 某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误．．的是 A. 收入最高值与收入最低值的比是3:1 B. 结余最高的月份是7月份 C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 D. 前6个月的平均收入为40万元 （注：结余=收入-支出）
8. 若圆222(1)xyr与曲线(1)1xy的没有公共点，则半径r的取值范围是 A．02r B．1102r C．03r D．1302r
第二部分（非选择题 共110分）
万元 月 O 23 4 30 1 10 20 5 6 89 10 7
11
12
40 60 50
70
90 80
收入 支出
1 3 2 正视图
俯视图 侧视图
1 1 3 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.已知函数22log(3),0,(), 0,xxfxxx则((1))ff .
10.已知双曲线221xym过抛物线28yx的焦点，则此双曲线的渐近线方程为 . 11.已知递增的等差数列}{nanN的首项11a，且1a,2a,4a成等比数列，则数列}{na的通项公式na ；48124+4+naaaa____.
12.已知不等式组0,,290yyxxy表示的平面区域为D.若直线1yax与区域D有公共点，则实数a的取值范围是 . 13.已知圆22:(3)(5)5Cxy，过圆心C的直线l交圆C于,AB两点，交y轴于点P. 若A恰
为PB的中点，则直线l的方程为 . 14.甲乙两人做游戏，游戏的规则是：两人轮流从1（1必须报）开始连续报数，每人一次最少要报一个数，最多可以连续报7个数（如，一个人先报数“1，2”，则下一个人可以有“3”， “3，4”，„，“3，4，5，6，7，8，9”等七种报数方法），谁抢先报到“100”则谁获胜.如果从甲开始，则甲要想必胜，第一次报的数应该是 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分） 已知函数()2sincos()3fxxx（0）的最小正周期为. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求()fx在区间[,]62上的最大值和最小值. 16.(本小题满分13分） 已知数列na的前n项和22nSnn,nN. （Ⅰ）求数列na的通项公式； （Ⅱ）若1nnnba，求数列nb的前n项和nT. 17. (本小题满分13分) 某班倡议假期每位学生至少阅读一本名著，为了解学生的阅读情况，对该班所有学生进行了调查. 4
调查结果如下表: （Ⅰ）试根据上述数据，求这个班级女生阅读名著的平均本数; （Ⅱ）若从阅读5本名著的学生中任选2人交流读书心得，求选到男生和女生各1人的概率； （Ⅲ）试判断该班男生阅读名著本数的方差21s与女生阅读名著本数的方差22s的大小 （只需写出结论）．（注：方差2222121[()()()]nsxxxxxxn，其中x为1x2x，„„ nx的平均数）
18.（本小题共14分） 如图，在三棱柱111ABCABC中，1AA底面ABC，90BAC，2ABAC，
13AA．,MN分别为BC和1CC的中点，P为侧棱1BB上的动点．
（Ⅰ）求证：平面APM平面11BBCC； （Ⅱ）若P为线段1BB的中点，求证：1//AN平面APM； （Ⅲ）试判断直线1BC与平面APM是否能够垂直. 若能垂直，求PB的值；若不能垂直，请说明理由．
19.(本小题共14分） 已知椭圆:C22142xy的焦点分别为12,FF.
（Ⅰ）求以线段12FF为直径的圆的方程； （Ⅱ）过点(4,0)P任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点,MN.在x轴上是否存在点Q，使得180PQMPQN？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
20. （本题满分13分） 已知函数()exkxfxkx()kR.
阅读名著的本数 1 2 3 4 5 男生人数 3 1 2 1 3 女生人数 1 3 3 1 2
N A
M
P
C B
A1
C1
B1 5
（Ⅰ）若1,k求曲线()yfx在点0(0)f，处的切线方程； （Ⅱ）求函数()fx的单调区间； （Ⅲ）设0k，若函数()fx在区间3,22上存在极值点，求k的取值范围.
6 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学答案（文史类） 2016.3
一、选择题：（满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C B C B D C 二、填空题：（满分30分） 题号 9 10 11 12 13 14
答案 2 12yx nan，2264nn 3[0,]4 210xy 或 2110xy 1，2，3，4 （注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）()2sincos()3fxxx
132sin(cossin)22xxx 2sincos3sinxxx 133sin2cos2222xx 3sin(2)32x. 因为()fx的最小正周期为2T，则1. „„„„„„„6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知3()sin(2)32fxx. 因为,6x所以0233x. 则3sin(2)123x. 7
当232x，即12x时，()fx取得最大值是312； 当233x，即2x时，()fx取得最小值是3. ()fx在区间[,]62的最大值为312，最小值为3. „„„„„„„13分
16. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由22nSnn， 当2n时，221=221143.nnnaSSnnnnn 当1n时，111,aS而4131， 所以数列na的通项公式43nan，nN. „„„„„„„„„6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得(1)(1)43,nnnnban 当n为偶数时，15913174342,2nnTnn 当n为奇数时，1n为偶数，112(1)(41)21.nnnTTbnnn
综上，2,,21,.nnnTnn为偶数为奇数 „„„„„„„„„„13分 17.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）女生阅读名著的平均本数11323314+25310x本.
„„„„„„„„„„3分 （Ⅱ）设事件A={从阅读5本名著的学生中任取2人，其中男生和女生各1人}. 男生阅读5本名著的3人分别记为123,,aaa，女生阅读5本名著的2人分别记为12,.bb 从阅读5本名著的5名学生中任取2人，共有10个结果，分别是： 12,aa，13,aa，23,aa，12,bb，11,ab，12,ab， 21,ab，22,ab，31,ab，32,ab.
其中男生和女生各1人共有6个结果，分别是： 11,ab，12,ab，21,ab，22,ab，31,ab，32,ab.
则63105PA（）. „„„„„„„„„„10分