第三章第三讲 向量空间的基及坐标
向量空间的基
向量空间的基
向量空间的基定义是：一个向量空间V 最大的线性独立子集,称为这个空间的基.若V=0,唯一的基是空集.对非零向量空间V,基是V 最小的生成集.
如果一个向量空间V 拥有一个元素个数有限的生成集,那么就称V 是一个有限维空间.向量空间的所有基拥有相同基数,称为该空间的维度.例如,实数向量空间：R0,R1,R2,R3,…,R∞,…中,Rn 的维度就是n.
例子：设V为向量空间，如果r个向量a1,a2,…,ar∈V，且满足：
（i）a1,a2,…,ar线性无关；
（ii）V 中任一向量都可由a1,a2,…,ar线性表示，
那么向量组a1,a2,…,ar就称为向量空间V的一个基，r称为向量空间V的位数，并称V为r维向量空间。
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.4 空间向量的直角坐标运算学
3.1.4 空间向量的直角坐标运算1．了解空间向量坐标的定义．2．掌握空间向量的坐标运算．3．会利用向量的坐标关系，判定两个向量共线或垂直．4．会计算向量的长度及两向量的夹角．1．空间向量的坐标表示(1)单位正交基底．建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引________向量i，j，k，这三个互相________的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做单位正交基底．单位向量i，j，k都叫做________．【做一做1－1】设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，则|e1|＋|e2|＋|e3|＝__________.(2)空间向量的坐标表示．在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量分解定理，存在______实数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，a1i，a2j，a3k分别为向量a在i，j，k方向上的分向量，有序实数组__________叫做向量a在此直角坐标系中的坐标．上式可简记作a＝__________.【做一做1－2】向量0的坐标为__________．向量的坐标与点的坐标表示方法不同，如向量a＝(x，y，z)，点A(x，y，z)．2．空间向量的直角坐标运算(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则容易得到a＋b＝____________；a－b＝____________；λa＝______________；a·b＝____________.(2)向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝OB－OA＝(x2，y2，z2)－(x1，y1，z1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．【做一做2】设a＝(1,2,3)，b＝(1,1,1)，则2a＋b＝__________.3．空间向量平行和垂直的条件设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a∥b(b≠0)⇔__________⇔__________，当b1，b2，b3都不为0时，a∥b⇔__________；(2)a⊥b⇔__________⇔__________.【做一做3】设a＝(1,2,3)，b＝(1，－1，x)，a⊥b，则x＝__________.4．两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝____________，|b|＝____________，cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝________________________. 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝____________.【做一做4】向量a ＝(2，－1，－1)，b ＝(1，－1,0)的夹角余弦值为__________，||a －b ＝__________.(1)空间向量的坐标是空间向量的一种形式．在坐标形式下的模长公式，夹角公式，向量平行和垂直的条件与在普通基底下相同，仅仅是形式不同；(2)空间向量在坐标形式下同样可以用来求距离(长度)，夹角，证明垂直和平行关系等．如何理解空间向量的坐标及其运算？剖析：(1)注意空间向量的坐标与向量终点的坐标的区别与联系．向量的坐标是其终点与起点坐标的差量．只有以原点为起点的向量，向量的坐标才等于向量终点的坐标．(2)空间向量的坐标运算和平面向量基本一致，只是多了一个竖坐标． (3)坐标形式下向量的计算就是指坐标的运算．题型一 空间向量的坐标运算【例1】设向量a ＝(3,5,－4)，b ＝(2,1,8)，计算3a －2b ，(a ＋b )·(a －b )． 分析：利用空间向量的坐标运算先求3a,2b ，a ＋b ，a －b ；再进行相关运算． 反思：空间向量的坐标运算首先进行数乘运算然后再进行加减运算，最后进行数量积运算，先算括号内的后算括号外的．题型二 空间向量的平行与垂直问题【例2】设向量a ＝(1，x,1－x )，b ＝(1－x 2，－3x ，x ＋1)，求满足下列条件时，实数x 的值．(1)a ∥b ；(2)a ⊥b .分析：解答本题可先由a ∥b ，a ⊥b 分别建立x 的方程，再解方程即可． 反思：要熟练掌握向量平行和垂直的条件，借助此条件可将立体几何中的平行垂直问题转化为向量的坐标运算．在应用坐标形式下的平行条件时，一定注意结论成立的前提条件，在条件不明确时，要分类讨论．在解答本题时易出现由a ∥b ⇔1－x 21＝－3x x ＝x ＋11－x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＝－3x ＋11－x＝－3⇔x ＝2的错误，导致此错误的原因是忘记了这个结论成立的前提条件是1，x,1－x 都不是0.题型三 空间向量的夹角及长度公式的应用【例3】已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1,－1,5)，求以AB ，AC 为邻边的平行四边形面积．分析：已知三点A ，B ，C 的坐标，先求AB ，AC ，|AB |，|AC |，AB ·AC ，再求cos 〈AB ，AC 〉，sin 〈AB ，AC 〉，从而得到结论．反思：运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的基本思路是： ①建立空间坐标系；②求出相关点的坐标和向量坐标； ③结合公式进行计算；④将计算的向量结果转化为几何结论．1．若A (2，－4，－1)，B (－1,5,1)，C (3，－4,1)，令a ＝CA ，b ＝CB ，则a ＋b 对应的坐标为( )A ．(5,－9,2)B ．(－5,9,－2)C ．(5,9,－2)D ．(5,－9,－2)2．下面各组向量不平行的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，b ＝(－3,0,0) B ．c ＝(0,1,0)，d ＝(1,0,1) C ．e ＝(0,1,－1)，f ＝(0,－1,1) D ．g ＝(1,0,0)，h ＝(0,0,0) 3．(2010·广东高考，理10)已知a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)且(c －a )·2b ＝－2，则x 的值为( )A ．3B ．4C ．2D ．1 4．若A (2,0,1)，B (3,4，－2)，则|AB |＝__________.5．向量a ＝(2，－3，3)，b ＝(1,0,0)，则cos 〈a ，b 〉＝__________. 6．已知向量a ＝(－2,2,0)，b ＝(－2,0,2)，求向量n 使n ⊥a 且n ⊥b . 答案：基础知识·梳理1．(1)单位 垂直 坐标向量 【做一做1－1】3(2)唯一 (a 1，a 2，a 3) (a 1，a 2，a 3) 【做一做1－2】(0,0,0)2．(1)(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3) (a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3) (λa 1，λa 2，λa 3) a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3【做一做2】(3,5,7)3．(1)a ＝λb a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3(2)a ·b ＝0 a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 【做一做3】134．a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23 b ·b ＝b 21＋b 22＋b 23a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 23x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12【做一做4】322 典型例题·领悟【例1】解：3a －2b ＝3(3,5，－4)－2(2,1,8)＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(9－4,15－2，－12－16)＝(5,13，－28)；a ＋b ＝(3,5，－4)＋(2,1,8)＝(3＋2,5＋1，－4＋8)＝(5,6,4)；a －b ＝(3,5，－4)－(2,1,8)＝(3－2，5－1，－4－8)＝(1,4，－12)，(a ＋b )·(a －b )＝(5,6,4)·(1,4，－12)＝5×1＋6×4＋4×(－12)＝5＋24－48＝－19.【例2】解：(1)①当x ＝0时，a ＝(1,0,1)，b ＝(1,0,1)，a ＝b ，满足a ∥b . ②当x ＝1时，a ＝(1,1,0)，b ＝(0，－3,2)，不满足a ∥b ， ∴x ≠1.③当x ≠0，x ≠1时，由a ∥b ⇔1－x 21＝－3x x ＝x ＋11－x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＝－3，x ＋11－x＝－3⇔x ＝2.综上所述，当x ＝0，或x ＝2时，a ∥b .(2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0，∴(1，x,1－x )·(1－x 2，－3x ，x ＋1)＝0⇔1－x 2－3x 2＋1－x 2＝0，解得x ＝±105. ∴当x ＝±105时，a ⊥b . 【例3】解：∵A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)， ∴AB ＝(－2,1,6)－(0,2,3)＝(－2，－1,3)，AC ＝(1，－1,5)－(0,2,3)＝(1，－3,2)．∴|AB |＝－2＋－2＋32＝14，|AC |＝12＋－2＋22＝14，AB ·AC ＝(－2，－1,3)·(1，－3,2)＝－2＋3＋6＝7.∴cos 〈AB ，AC 〉＝A B →·A C →|AB →||AC →|＝12，∴sin 〈AB ，AC 〉＝32， 以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积S ＝|AB →||AC →|sin 〈AB ，AC 〉＝7 3.随堂练习·巩固1．B a ＝CA →＝(2，－4，－1)－(3，－4,1)＝(－1,0，－2)，b ＝CB →＝(－1,5,1)－(3，－4,1)＝(－4,9,0)，故a ＋b ＝(－5,9，－2)．2．B A 项中b ＝－3a ，a ∥b ，C 项中f ＝－e ，f ∥e ，D 项中h ＝0， ∴h ∥g .3．C ∵(c －a )·2b ＝(0,0,1－x )·(2,4,2)＝－2， ∴2(1－x )＝－2，x ＝2. 4．26 |AB →|＝－2＋－2＋－2－2＝26.5．12 cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b | ＝2×1＋0＋022＋－2＋3212＋02＋02＝12. 6．解：设n ＝(x ，y ，z )，则n ·a ＝(x ，y ，z )·(－2,2，0)＝－2x ＋2y ＝0， n ·b ＝(x ，y ，z )·(－2,0,2)＝－2x ＋2z ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2y ＝0，－2x ＋2z ＝0，可得y ＝x ，z ＝x .于是向量n ＝(x ，x ，x )＝x (1,1,1)，x ∈R .。
空间向量的坐标运算精选全文完整版
| AC | | BB1 | cos 900 0 AD1 DB1 AD1 DA AD1 AB AD1 BB1 | AD1 | | DA | cos1350 | AD1 | | AB | cos 900
| AD1 | | BB1 | cos 450 0 又AD1 AC A,
AD1 DB1, AC DB1. DB1 平面ACD1.
xA‘
y B(3,4,0)
与y轴垂直的坐标平面是___x_o__z___ A'(3, 4, 5)
与z 轴垂直的坐标平面是___x_o_y____
(2)点P(2,3,4)在 xoy平面内的射影是_(_2_,3_,_0_)
在 xoz 平面内的射影是_(2_,_0_,4_)_
在 yoz平面内的射影是_(0_,_3_,4_)_
(2)a 6b 8c _(2_,_-3_,_1_)_+_(_12,0,18)+(0,0,-16)
=(14,-3,3)
练习Ｐ39 8.判定下列各题中的向量是否平行: (1) (1,2,-2)和(-2,-4,4), (2) (-2,3,5)和(16,-24,40). 解: (1) (-2,-4,4) = -2 (1,2,-2)
数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样
就建立了一个空间直角坐标系O — x y z .
点O叫做原点，向量 i, j, k
z k
都叫做坐标向量.通过每两个
y
i 坐标轴的平面叫做坐标平面。
O
j
x
三、向量的直角坐标系
给定一个空间坐标系和向量
a ,且设 i, j, k为坐标向量，由空z a
间向量基本定理，存在唯一的有
D1 A1
D
向量空间的基和坐标及其在计算机科学中的应用
向量空间的基和坐标及其在计算机科学中的应用向量空间是线性代数中的一个重要概念，它可以被认为是一个能够进行向量加法和向量数乘的集合。
在向量空间中，我们可以通过矩阵和行列式的运算来解决各种问题，这些问题在计算机科学中也经常出现。
在本文中，我们将探讨向量空间中的基和坐标的概念以及它们在计算机科学中的应用。
1. 向量空间的基和坐标在向量空间中，基是一个向量集合，它可以通过线性组合来表示向量空间中的所有向量。
具体来说，如果向量$v$可以通过线性组合表示为：$$v = a_1v_1 + a_2v_2 + \cdots + a_nv_n$$其中，$v_1,v_2,\cdots,v_n$是向量空间的基，$a_1,a_2,\cdots,a_n$是标量。
这个过程称为基的展开。
所以，一个向量空间的基是由若干个线性无关的向量组成的，它们可以唯一地表示向量空间中的所有向量。
而坐标是一组数值，用来描述一个向量在某个基下的展开系数。
具体来说，如果$v_1,v_2,\cdots,v_n$是向量空间的一组基，$v$是向量空间中的一个向量，那么我们可以用它在基$v_1,v_2,\cdots,v_n$下的展开系数$(a_1,a_2,\cdots,a_n)$来描述它。
这组展开系数就是向量$v$在基$v_1,v_2,\cdots,v_n$下的坐标。
在计算机科学中，我们经常需要对向量进行处理。
比如，我们需要对向量进行加法、数乘、内积等操作。
在进行这些操作时，我们经常需要用到向量的基和坐标。
比如，如果我们要对两个向量$v_1$和$v_2$进行加法，我们可以先将它们表示成它们在同一个基下的坐标，然后对它们对应坐标的数值进行加法，最后再将它们重新表示成向量的形式。
2. 应用向量空间的基和坐标在计算机科学中有广泛的应用。
下面我们将介绍其中的一些应用。
2.1 图像处理在图像处理中，我们经常需要对图像进行变换。
比如，我们需要将一张图像进行旋转、缩放、倾斜等操作。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的直角坐标运算课件新人教B版选修2_1
|C→G|＝ 12＋02＋122＝ 25，
所以
cos〈E→F，C→G〉＝
→→ EF·CG →→
＝
|EF||CG|
1 4 23×
5＝ 2
15 15 .
(3)求CE的长.
解 |CE|＝|C→E|＝
02＋－12＋122＝
5 2.
反思感悟 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的 点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便利.建立坐标系后，写出相关点的坐 标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐 标运算求解夹角和距离问题.
A.(16,0,4) C.(8,16,4)
B.(8，－16,4)
√D.(8,0,4)
解析 4a＋2b＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)
＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4).
12345
2.已知向量a＝(0,2,1)，b＝(－1,1，－2)，则a与b的夹角为
A.0
π B.4
√π
12345
4.已知向量 a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且 ka＋b 与 2a－b 互相垂直，则 k 的值是
1
3
A.1
B.5
C.5
解析 依题意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，
所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，
而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，
所以 4k＋k－2－5＝0，解得 k＝75.
反思感悟 (1)平行与垂直的判断 ①应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线. ②判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两 向量的数量积是否为0. (2)平行与垂直的应用 ①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程. ②选择坐标情势，以到达简化运算的目的.
线性代数课件 03.向量空间
-9-
注意 1°零向量可由任一组向量线性表示。 2°向量组 线性表示， 中每个向量都可由向量组本身
i 01 0i 1 1i 0i 1 0 m
3°任一n元向量
都可由n元单位向量组 线性表示，即
a1e1 a2e2 anen
-10-
A 的行组.
a11 a 21 a m1
再如:
a12 a 22 am 2
a1n a2n a mn
a11 a 21 a m1
a12 a 22 am 2
a1n a2n a mn
(转换为方程组) 方程组 x1 1 x 2 2 x n n
即 Ax A [ 1 , 2 ,, n ] 有解
(用矩阵的秩) r ( A) r[ A | ]
另外, 如果解唯一, 则表示方法是唯一的. 如果 ……
学会这种转换就可以了!
k
-2-
建立坐标系的目的就是把向量的运算转化为数(坐标)的运算.
( x1 , y1 , z1 ) , ( x2 , y2 , z 2 )
( x1 x 2 , y1 y2 , z1 z 2 )
k ( kx1 , ky1 , kz1 )
第三章
向量空间Rn
§3.1 向量及其线性组合
§3.2 一个n元向量组的线性相关性
§3.3 向量组的秩
§3.4 向量空间 §3.5 欧氏空间Rn
§3.1 向量及其线性组合
三维空间的向量: 有向线段。建立标准直角坐标系后，
P ( x, y, z )
向量空间基变换与坐标变换
向量空间基变换与坐标变换在线性代数中，向量空间基变换与坐标变换是非常重要的概念。
向量空间基变换是指在同一向量空间中，通过改变基底，将向量的表示方式从一个基底转换为另一个基底的过程。
而坐标变换则是指在不同坐标系下，对同一个向量进行表示的转换。
本文将详细介绍向量空间基变换与坐标变换的概念、原理及其应用。
一、向量空间基变换1. 概念与原理向量空间是指由若干个向量组成的集合，它具有加法和数乘运算，并满足一定的性质。
向量空间的基是指它的一个线性无关生成集。
在同一向量空间中，可以存在多个不同的基底。
向量空间基变换是指通过改变基底，将向量的表示方式从一个基底转换为另一个基底的过程。
假设V是一个n维向量空间，B={b1, b2, ..., bn}和B'={b'1, b'2, ..., b'n}分别是V的两个基底。
对于向量v∈V，它在基底B下的坐标为[x1, x2, ..., xn]，在基底B'下的坐标为[x'1, x'2, ..., x'n]。
向量空间基变换的目标是求解坐标之间的关系式。
在向量空间基变换中，我们可以通过线性组合的方式将向量v的表示从基底B转换为基底B'。
具体而言，我们可以将向量v表示为v= x1b1 + x2b2 + ... + xnbn，然后将每个基底b_i表示为b_i = a_{i1}b'_1 + a_{i2}b'_2 + ... + a_{in}b'_n。
将这两个式子代入到v 的表示中，得到v = (x1a_{11} + x2a_{21} + ... + xna_{n1})b'_1 + (x1a_{12} + x2a_{22} + ... + xna_{n2})b'_2 + ... + (x1a_{1n} + x2a_{2n} + ... + xna_{nn})b'_n。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课件
基底的判断思路 判断给出的三个向量能否构成基底，关键是要判断这三个向 量是否共面．首先应考虑三个向量中是否有零向量，其次判 断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断，可假 设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若 方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量 不共面．
设 x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c} 是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{b， c，z}，③{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一个基底的向 量组有( A．1 个 C．3 个 ) B．2 个 D.0 个
用坐标表示空间向量的方法步骤
如 图 ， PA 垂 直 于 正 方 形 ABCD 所在的平面，M，N 分别是 AB，PC 的中点，并且 PA＝AB＝1，试建立适当的 → 空间直角坐标系，求向量MN的坐标．
解：因为 PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面 ABCD，AB⊥AD， → → → 所以AB，AD，AP是两两垂直的单位向量．
2.基底
不共面 ． (1)条件：三个向量 a，b，c_________
{a，b，c} 叫做空间的一个基底． (2)结论：_____________
(3)基向量：基底中的向量 a，b，c 都叫做基向量．
(1)基底选定后，空间所有向量均可由基底惟一表示． (2)构成基底的三个向量 a，b，c 中，没有零向量，其中的每 个向量称为基向量．
解析：选 B.因为 x＝a＋b， 所以向量 x，a，b 共面． 如图，
→ → → 令 a＝AB，b＝AA1，c＝AD， → → → 则 x＝AB1，y＝AD1，z＝AC， → a＋b＋c＝AC1. 可知向量 b，c，z 和 x，y，a＋b＋c 不共面，故选 B.
探究点 2
向量空间的基
向量空间的基在实际问题中有着广泛的应用，例如在机器学习、图像处理、信 号处理等领域中，经常需要用到向量空间的基来表示和处理数据。
报告范围
向量空间基的定义和性质
报告将首先给出向量空间基的定义，并探讨基的一些基本 性质，例如线性无关性、生成性等。
向量空间基的求解方法
报告将介绍如何求解一个向量空间的基，包括通过高斯消 元法、施密特正交化等方法来求解基。
03
基的定义
线性无关性
基向量组中的向量线性无关，即 不存在不全为零的标量使得基向 量的线性组合为零向量。
生成空间
基向量组能够生成整个向量空间 ，即空间中的任意向量都可以表 示为基向量的线性组合。
基的性质
唯一性
对于给定的向量空间，其基不是 唯一的，但不同的基所含向量的
个数相同，称为空间的维数。
线性表示
对未来研究的展望
高维向量空间的基
随着数据维度的增加，如何有效地构造和处理高维向量空间的基是一个值得研究的问题。
非线性基函数
目前对基的研究主要集中在线性空间，如何扩展到非线性空间，构造非线性基函数是一 个具有挑战性的研究方向。
基与深度学习结合
深度学习中的神经网络可以看作是一种特殊的基函数，研究如何将传统的基理论与深度 学习相结合，提高模型的性能和可解释性，是一个有意义的研究课题。
空间中的任意向量都可以唯一地 表示为基向量的线性组合。
坐标表示
若选定一组基，则空间中的每个 向量都可以对应一个坐标向量， 使得该向量可以表示为基向量的 线性组合，且组合系数即为坐标
向量的分量。
基的判定方法
观察法
通过观察向量组是否线性无关且能生成整个空间来判断是否为基。
判定定理
空间几何中的向量与坐标
空间几何中的向量与坐标在空间几何中，向量和坐标是两个重要的概念，它们在解决几何问题和计算中起着至关重要的作用。
本文将介绍向量和坐标的基本概念、性质以及它们在几何中的应用。
一、向量的基本概念与性质1. 向量的定义在空间几何中，向量是有大小和方向的量。
它可以用一个有序的数组表示，也可以用箭头来表示。
向量通常用大写字母表示，如A、B、C等。
2. 向量的加法和减法向量的加法和减法是按照向量的方向和大小进行运算的。
两个向量相加或相减的结果仍然是一个向量。
向量的加法和减法满足交换律和结合律。
3. 向量的数量积和向量积向量的数量积是两个向量的乘积，结果是一个标量。
向量的数量积满足交换律和分配律。
向量的向量积是两个向量的叉乘，结果是一个向量。
向量的向量积满足反交换律和结合律。
二、坐标系与坐标表示1. 坐标系的建立在空间几何中，为了方便描述和计算，我们通常需要建立一个坐标系。
常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系和球坐标系等。
直角坐标系是最常用的坐标系，它由三个相互垂直的坐标轴构成，分别是x轴、y轴和z轴。
2. 向量的坐标表示在直角坐标系中，向量可以用坐标表示。
一个向量的坐标表示通常是一个有序的三元组，如(Ax, Ay, Az)。
其中，Ax表示向量在x轴上的投影，Ay表示向量在y 轴上的投影，Az表示向量在z轴上的投影。
3. 向量的坐标运算在直角坐标系中，向量的加法和减法可以通过对应坐标的加法和减法来实现。
例如，向量A和向量B的和可以表示为(Ax+Bx, Ay+By, Az+Bz)。
向量的数量积和向量积的计算也可以通过坐标表示来进行。
三、向量与坐标的应用1. 向量的长度和方向向量的长度可以通过坐标表示中的三个坐标计算得到。
向量的方向可以通过向量的坐标表示中的三个坐标的比值计算得到。
2. 向量的投影向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度。
向量的投影可以通过向量的坐标表示和向量的数量积来计算得到。
3. 平面和直线的方程在空间几何中，平面和直线可以用向量的坐标表示和向量的数量积来表示。
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第一节向量空间第四节欧氏空间第二节向量的线性相关性
第五节线性变换第三节向量空间的基及向量的坐标第三章向量空间
设V是一向量空间,1,2,…,rV且满足(1)1,2,…,r线性无关;(2)V,可由1,2,…,r线性表出.
一、向量空间的基与维数
则称向量组1, 2, …, r 为向量空间V的一组基底(基)，而r 称为向量空间V 的维数，记为dim V = r.
§3 向量空间的基及向量的坐标定义1
规定：零空间的维数为0,它没有基.由上定义可知，向量空间的基就是它的一个极大无关组.由于向量组的极大无关组是不唯一的，所以向量空间的基也是不唯一的.第三章向量空间
例2
例1设Rn为全体n维向量构成的向量空间,证明n维向
量组e1=(1,0,0,…,0),e2=(0,1,0,…,0),…,en=(0,0,0,…,1)是Rn的基,且dimRn=n.
由矩阵判别法知e1,e2,…,en线性无关.设=(x1,x2,…,xr)为任一n维向量,显然有= x1 e1+ x2 e2+… + xnen .
所以可由e1, e2, …,en线性表出,即e1, e2, …, en是Rn 的基,从而dim Rn = n.
证
设V 为一向量空间，且dimV = r, 而1, 2, …, r
为V 中r 个线性无关的向量，证明1, 2, …, r
必为向量空间V 的一组基.
证
上一页第三章向量空间
显然1, 2, …, r 线性无关，任取V, 由于dimV=r, 则1, 2, …, r, 线性相关，于是存在不全为零的实数k1, k2, …, kr, k, 使k1 1+ k2 2+ …+ kr r+ k = 0 .
若k = 0, 则k1, k2, …, kr 不全为零，且k1 1+ k2 2+ …+ kr r = 0.从而1, 2, …, r 线性相关，与题设矛盾.
证
故k 0. 从而由k1 1+ k2 2+ …+ kr r+ k = 0.得rrkkkkkkαααβ2211
即可由1, 2, …, r 线性表示，由定义1知1, 2, …,
r 为V 的一组基.
若向量空间V 为r 维的，则V 中任意r 个线性无关的向量是V 的一组基.定理1第三章向量空间
例3证明向量组
1 = (1, 2, 1), 2 = (3, 0, 1), 3 = (2, 3, 5)
为空间R3的一组基.
由于dim R3 = 3, 故只要证明1, 2 , 3 线性无关即可.
5317100124 532103121 ,0 3-1724 1, 2 , 3 线性无关，从而1, 2 , 3 可构成空间R3 的一组基.
证上一页
注意：任意n 个线性无关的n维向量都是R n的一组基.第三章向量空间
二、向量在给定基下的坐标设1, 2, …, m是向量空间V 的一个基, V, 可由1, 2, …, m线性表出:
= x1 1 + x2 2 +… + xm m,
则组合系数(x1, x2, …, xm) 称为向量在基1, 2, …, m下的坐标.
( x1, x2, …, xmR)(5.1)
§3 向量空间的基及向量的坐标定义2
注：在基1, 2, …, m 下的坐标是唯一的. = y1 1 + y2 2 +… + ym m, (5.2)
由(5.1)式减去(5.2)式, 得(x1y1) 1 + (x2y2) 2 +… + (xmym) m = 0, 由于1, 2, …, m 线性无关, 故x1y1 = x2y2 =…= xmym= 0,即xi = yi ( i = 1, 2, …, m).
事实上, 若还有另一坐标(y1, y2, …, ym ), 即第三章向量空间
例4已知e1=(1,0,0,…,0),e2=(0,1,0,…,0),…,en=(0,0,0,…,1)是Rn的基.而对Rn中任一向量,有=( x1, x2, …, xn) = x1 e1+ x2 e2+… + xnen ,
所以在基e1, e2, …, en 下的坐标就是其自身.故e1, e2, …, en 称为空间Rn的标准基.
上一页第三章向量空间
例5设1=(1,1,1)T,2=(1,1,-1)T,3=(1,-1,-1)T,
证明1,2,3是R3的一个基,并求=(1,2,1)T在这个基下的坐标.
上一页
解以
1, 2 , 3 为列向量构成矩阵A, 因为
,04111111111A所以1, 2 , 3 线性无关, 从而是R3 的一个基.令= x1 1 + x2 2 + x33 , 即
.1,2,1321321321xxxxxxxxx
x1= 1,
x2= 1/2,x3= 1/2.
所以在基1, 2 , 3下的坐标为(1, 1/2, 1/2 ).练习设1=(1,1,2),2=(1,3,0),3=(1,0,1),证明1,2,3是R3的一个基,并求=(0,1,3)在这个基下的坐标.
Dim R3 =3, 而,04101031211
解
所以1, 2 , 3 线性无关, 从而是R3 的一个基.令= x1 1 + x2 2 + x33,
所以在基1, 2 , 3下的坐标为(2, 1, 1).即( 0, 1, 3) =x1 (1, 1, 2) + x2 (1, 3, 0) + x3 (1, 0, 1),
则x1+ x2+ x3 = 0,x1+ 3x2= 1,2x1+ x3= 3,
x1= 2,x2= 1,x3= 1.第三章向量空间
三、基变换与坐标变换公式设向量空间V的维数为r,则V中任意r个线性无关的向量都是V的基,对于不同的基,同一个向量的坐标一般是不同的.
§3 向量空间的基及向量的坐标
设1,2,…,r及1,2,…,r是向量空间V的两个基.那么由基的定义,向量i(i=1,2,…,r)可由1,2,…,r唯一线性表出.设
.2211rrrrrraaaαααβ
,22221122rraaaαααβ,12211111rraaaαβ第三章向量空间
,2122221112`11rrrrrraaaaaaaaaA
矩阵A称为由基1,2,…,r到基1,2,…,r的过渡矩阵,它是可逆的.
令即.),,,(),,,(2122221112112121
rrrrr
r
rraaa
aaaaaa
αααβββ(1)第三章向量空间将(1)式简记为:
(1,2,…,n)=(1,2,…,n)A(2)
新基旧基过渡矩阵公式(2)称为基变换公式.
上一页
.,,,21下的坐标在基列正好是的第矩阵riiA注：第三章向量空间例6
求R3中由标准基e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=
(0,0,1),到基1=(1,1,2),2=(1,3,0),3=(1,0,1)的过渡矩阵.
102031111),,(),,(321321eeeααα
所求过渡矩阵为
102031111A
解
上一页第三章向量空间
将上式用矩阵表示为将基变换公式代入得
rrxxx21,21),,(. ),,(21,21rryyyAααα
设向量在基1,2,…,r与基1,2,…,r下的坐标分别为(x1,x2,…,xr)与(y1,y2,…,yr)即
rrxxx2211(3)rryyy2211
上一页
,),,(21,21rr
y
yy
rrxxx21,21),,(