有限拍无纹波的设计

计算机控制系统课程设计 1 第一章 有限拍无纹波调节器的设计 计算机控制系统的设计，是指在给定系统性能指标的条件下，设计出数字调节器，使系统达到要求的性能指标。本章介绍的离散化设计是在Z平面上设计的方法，对象可以用离散模型表示或者用离散化模型表示的连续对象。离散化设计比模拟设计精确，所以，离散化设计有的也称为精确设计法。离散化设计时也应该合理选择采样周期，系统必须工作在线区。 1.1 有限拍无纹波设计思路

1.1.1有限拍设计概述 有限拍设计的要求是在系统在典型的输入作用下，经过尽可能少的采样周期后系统达到稳定。并且，在采样点之间没有波纹。有限拍无波纹设计其实是一种时间的最优控制。

典型输入的Z变换具有mzzAzR)1()()(11的形式；有限拍随动系统如图示，图1-1

中D（z）是数字调节器模型，由计算机实现，)(0sH是零阶保持器的传递函数。

图1-1 有限拍随动系统

G(s)是控制对象的传递函数，零阶保持器和控制对象离散化以后，成为广义对象的Z传递函数HG(z)： HG(z)=Z[)()(0sGsH] （1-1）

有限拍随动系统的闭Z环传递函数)()(1)()(zHGzDzHGzDGc （1-2） 有限拍随动系统的误差Z传递函数

R(S) D(Z) H0(S) G(S)

_ +

Y(Z)

T T T 有限拍调节器 零阶保持器 对象

E（Z） 计算机控制系统课程设计

2 )(1)()()(zGzRzEzGce =)]()(1[1zHGzD （1-3） 有限拍随动系统的调节器由（1-2）和（ 1-3）可得： )()()()(zHGzGzGzD

ec （1-4）

我们都清楚，随动系统的调节时间也就是系统的误差e(kT)达到恒定值或趋于零所需要的时间，根据Z变换的定义：

kkzkTezE0)()(=kzkTezTezTezTee)()3()2()()0(321（1-5）

由式（1-5）就可知道),(,),2(),(),0(kTeTeTee。有限拍系统就是要求系统在典型的输入作用下，当k≥N时，)(kTe为恒定值或)(kTe等于零。N为尽可能小的正整数。 由式（ 1-3）得 )()()()(zGzRzGzEeemzzA)1()(11



 （1-6）

在特定的输入作用下，为了使（1-6）式中E（z）是尽可能少的有限项，必须合理地选择)(zGe。若选择)(zGe=)()1(1zFzM M≥m

1)(zzF是的有限多项式，不含有（1-1z）因子。则可使E（z）是有限多项式。

当选M=m，且F（z）=1时，不仅可以使数字调节器简单，阶数比较低，而且还可以使E（z）的项数较少，因而调节时间st较短，据此，对于不同的输入，可以选择不

同的误差Z传递函数。 有限拍设计的方法、过程及其结构虽然简单明了，但是在设计的过程中我们还是要注意到以下问题： （1）有限拍系统对输入形式的适应性差； （2）有限拍系统对参数的变化很敏感； （3）采样频率的上限受到饱和特性的限制； （4）有限拍系统不能保证采样点之间的误差为零或恒值，系统存在纹波，纹波计算机控制系统课程设计 3 对系统的工作是有害的。 故为保证采样点之间的误差为零或恒值，需进行有限拍无纹波的设计。 1.1.2有限拍调节器的设计

有限拍系统采用Z变换方法进行设计，采样点上的误差为零，不能保证采样点之间误差值为零，有限拍系统的输出响应在采样点之间存在纹波。纹波不仅造成误差，也能消耗功率，消费能量，而且造成机械摩损。有限拍的设计要求是在系统的典型输入作用下，经过尽可能少的采样周期以后，系统达到稳定。并且，在采样点之间没有纹波。波动是零阶保持器的输入)(2kTe的波动造成的。有限拍无纹波设计就是要求当

k≥N时，)(2kTe保持恒值，或为零，N为某正数。 由于 )()()()()(12zRGzDzEzDzEe。若选定)()(zGzDe是1z的有限多项式，那么，在确定的输入作用下，经过有限拍，)(2kTe就能达到某恒定值，而且能保证系统的输出没有纹波。 由（1-4）式，有限拍调节器)()()()(zHGzGzGzDec，它跟系统的闭环Z传递函数)(zGc

和输入型式[与选择的)(zGe]有关，也跟对象的特性)(zHG有关。 当对象特性)(zHG中包含rz因子以及单位圆上（z=1除外）和单位圆外的零点时，有限拍调节器将可能无法实现。

设 )(zHG=niiliirzpzzz1111)1()1(

则niienicirzzzGzGzpzzD1111)1()()()1()( （1-7） 式中iz是)(zHG零点，ip是)(zHG极点 由式（1-7）可见，若)(zD中存在rz环节，则表示数字调节器应具有超前特性，即在环节施加输入信号之前r个采样周期就应当由输出，这样的超前环节是不可能实计算机控制系统课程设计 4 现的。所以)(zHG分子中含有rz因子时，必须使闭环Z传递函数)(zGc的分子中含有rz因子，以抵消)(zHG中的rz因子，以免)(zD中出现超前环节。

在式（1-7）中，若在liizz11)1(中，存在单位圆上（1iz除外）和单位圆外的iz时，则)(zD将是发散不可实现的，因此，)(zD中不允许包含)(zHG的这类零点，从而保证了)(zD的稳定性。当然，)(zGc的分子部分增加了这些iz≥1（1iz除外）的零点以外后，将使调节时间st加长。 由式（1-4），有限拍系统的闭环传递函数 )()()()(zGzHGzDzGec。若对象特

性)(zHG的极点niizp11)1(中，存在单位圆上（1ip除外）或单位圆外的极点时，为了保证系统的输出稳定，)(zHG的单位圆上（1ip除外）或单位圆外的极点，用)(zGe的零点对消掉。

有限拍系统采用Z变换方法进行设计，有限拍系统的输出响应在采样点之间存在纹波。有限拍的设计要求是在系统的典型输入作用下，经过尽可能少的采样周期以后，系统达到稳定，并且在采样点之间没有纹波。 1.1.3 采样频率的选择

按照典型输入的有限拍系统，其调节时间st为一个到几个采样周期T。也就是说

调节时间st跟有限拍系统的采样周期T有关，那么，当系统的采样频率无限增加，也就是采样周期无限缩短时，系统地调节时间st不是趋近于零了吗？事实上，从能量的角度来说，这是不可能的，因为不可能提供无穷大的能量，使系统在一瞬间从一种状态进入到另一种状态。 另外，由于采样频率sf的上限受到饱和特性的限制，不可能无限提高sf。 1.1.4 有限拍无纹波设计 有限拍系统采用Z变换方法进行设计，采样点上的误差为零，不能保证采样点之间误差值为零，有限拍系统的输出响应在采样点之间存在纹波。纹波不仅造成误差，也能消耗功率，消费能量，而且造成机械摩损。有限拍的设计要求是在系统的典型输入作用下，经过尽可能少的采样周期以后，系统达到稳定。并且，在采样点之间没有计算机控制系统课程设计 5 纹波。 1.2对特定对象有限拍无纹波的设计步骤

有限拍系统采用Z变换方法进行设计，采样点上的误差为零，不能保证采样点之间误差值为零，有限拍系统的输出响应在采样点之间存在纹波。纹波不仅造成误差，也能消耗功率，消费能量，而且造成机械摩损。有限拍的设计要求是在系统的典型输入作用下，经过尽可能少的采样周期以后，系统达到稳定。并且，在采样点之间没有纹波。波动是零阶保持器的输入)(2kTe的波动造成的。有限拍无纹波设计就是要求当

k≥N时，)(2kTe保持恒值，或为零，N为某正数。 由于)()()()()(12zRGzDzEzDzEe。若选定)()(zGzDe是1z的有限多项式，那么，在确定的输入作用下，经过有限拍，)(2kTe就能达到某恒定值，而且能保证系统的输出没有纹波。 有限拍无波纹随动系统如图1-2，对象特性G(S)=10/S(1+0.1S) 采用零阶保持器，采样周期T=0.1S,设计单位阶跃输入时有限拍无波纹调节器D(Z)：

图1-2 有限拍随动系统 广义对象的Z传递函数 



)11.0(10)1()(ssse

ZHGS

T

z=)368.01)(1()717.01(368.01111zz

zz

HG(z)具有z-1因子，零点z1=-0.717,极点p1=1, p2=0.368。 选择 111012110110.71711ceGzzzaazGzzbbz （1-7） Gc(z)中z-1和1+0.717z-1是由于HG(z)中含有z-1因子和零点z=-0.717，Ge(z)中(1-z-1)2是由单位速度输入决定的。而Gc(z)中(a0+a1z-1)的项和Ge(z)中的(b0+b1z-1)项

R(S) D(Z) H0(S) G(S)

_ +

Y(Z)

T T T 有限拍调节器 零阶保持器 对象

E（Z）