北京市朝阳区2011届高三一模数学(理)试题及答案

合集下载

北京市西城区2011届高三(数学理)一模试题

北京市西城区2011年高三一模试卷数学（理科） 2011. 4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{5}A x x =∈<Z ，{20}B x x =-≥，则A B 等于（A ）(2,5)（B ）[2,5)（C ）{2,3,4}（D ）{3,4,5}2．下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（A ）2xy =（B ）2y x x =-（C ）2y x =（D ）3y x =3. 设3log 2=a ，3log 4=b ，5.0=c ，则（A ）a b c <<（B ）b c a <<（C ）c a b <<（D ）b a c <<4．设向量(1,sin )θ=a ，(3sin ,1)θ=b ，且//a b ，则cos 2θ等于（A ）31-（B ）32-（C ）32 （D ）31 5. 阅读右侧程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）76.已知函数①x x y cos sin +=，②x x y cos sin 22=，则下列结论正确的是（A ）两个函数的图象均关于点(,0)4π-成中心对称（B ）两个函数的图象均关于直线4x π=-成中心对称（C ）两个函数在区间(,)44ππ-上都是单调递增函数（D ）两个函数的最小正周期相同 7．已知曲线1:(0)C y x x=>及两点11(,0)A x 和22(,0)A x ，其中210x x >>.过1A ，2A 分别作x 轴的垂线，交曲线C 于1B ，2B 两点，直线12B B 与x 轴交于点33(,0)A x ，那么（A ）312,,2x x x 成等差数列（B ）312,,2x x x 成等比数列（C ）132,,x x x 成等差数列（D ）132,,x x x 成等比数列8．如图，四面体OABC 的三条棱OC OB OA ,,两两垂直，2==OB OA ,3=OC ，D 为四面体OABC 外一点.给出下列命题.①不存在点D ,使四面体ABCD 有三个面是直角三角形 ②不存在点D ,使四面体ABCD 是正三棱锥 ③存在点D ,使CD 与AB 垂直并且相等④存在无数个点D ,使点O 在四面体ABCD 的外接球面上其中真命题的序号是（A ）①②（B ）②③（C ）③（D ）③④ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 在复平面内，复数2i1i-对应的点到原点的距离为_____. 10.如图，从圆O 外一点P 引圆O 的切线PA 和割线PBC ，已知PA =4PC =，圆心O 到BCO 的半径为_____.11.已知椭圆:C cos ,()2sin x y θθθ=⎧∈⎨=⎩R 经过点1(,)2m ，则m =______，离心率e =______.12.一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为_____.13.某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有____种.14.已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于⋅⋅⋅=,3,2,1n ，有1135,2n n n nn n kk a a a a a a +++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数.其中为使为奇数的正整数，,当111a =时，100a =______；若存在*m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p 的值为______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）设ABC ∆中的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且54cos =B ,2=b . （Ⅰ）当35=a 时，求角A 的度数；（Ⅱ）求ABC ∆面积的最大值. OABDC正(主)视图俯视图侧(左)视图16．（本小题满分13分）甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为11,,23p .且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为14. （Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；（Ⅱ）求p 的值；（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X ，求X 的分布列和数学期望EX .17.（本小题满分13分）如图, ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE AF //，AF DE 3=，BE 与平面ABCD 所成角为060.(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BDE ； (Ⅱ)求二面角D BE F --的余弦值；（Ⅲ）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得//AM 平面BEF ，并证明你的结论.18. （本小题满分14分）已知函数2(1)()a x f x x-=，其中0a >. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若直线10x y --=是曲线()y f x =的切线，求实数a 的值；（Ⅲ）设2()ln ()g x x x x f x =-，求()g x 在区间[1,e ]上的最大值.（其中e 为自然对数的底数）A BCDFE19. （本小题满分14分）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的直线交y 轴正半轴于点P ，交抛物线于,A B 两点，其中点A 在第一象限.（Ⅰ）求证：以线段FA 为直径的圆与y 轴相切；（Ⅱ）若1FA AP λ=,2BF FA λ=,1211[,]42λλ∈，求2λ的取值范围.20.（本小题满分13分）定义=),,,(21n a a a τ12231||||||n n a a a a a a --+-++-为有限项数列{}n a 的波动强度.（Ⅰ）当(1)n n a =-时，求12100(,,,)a a a τ；（Ⅱ）若数列,,,a b c d 满足()()0a b b c -->，求证：(,,,)(,,,)a b c d a c b d ττ≤；（Ⅲ）设{}n a 各项均不相等，且交换数列{}n a 中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列{}n a 一定是递增数列或递减数列.北京市西城区2011年高三一模试卷参考答案及评分标准数学（理科） 2011.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案C B AD B CAD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 2 10. 2 11. 415±12. 12 13. 60，48 14.62；1或5 注：11题，13题，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为54cos =B ，所以53sin =B . ……………………2分因为35=a ，2=b ，由正弦定理B b A a sin sin =可得21sin =A . …………………4分因为b a <，所以A 是锐角，所以o30=A . ……………………6分（Ⅱ）因为ABC ∆的面积ac B ac S 103sin 21==， ……………………7分所以当ac 最大时，ABC ∆的面积最大.因为B ac c a b cos 2222-+=，所以ac c a 58422-+=. ……………………9分因为222a c ac +≥，所以8245ac ac -≤， ……………………11分所以10≤ac ，（当a c == ……………………12分所以ABC ∆面积的最大值为3. ……………………13分16.（本小题满分13分）解：记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件321,,A A A ，依题意有12311(),(),(),23P A P A P A p ===且321,,A A A 相互独立.所以1134p -=，14p =. ……………………7分（Ⅲ）X 的所有可能取值为3,2,1,0. ……………………8分所以1(0)4P X ==， (1)P X ==P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅111312111423423424=+⨯⨯+⨯⨯=， (2)P X ==P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅11312111112342342344=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， (3)P X ==P 123()A A A ⋅⋅＝111123424⨯⨯= . ……………………11分X 分布列为：X 0 12 3 P14 1124 14124 ……………………12分所以，1111113()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………………13分17.（本小题满分13分）(Ⅰ)证明：因为DE ⊥平面ABCD ，所以AC DE ⊥. ……………………2分因为ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，从而AC ⊥平面BDE . ……………………4分 (Ⅱ)解：因为DE DC DA ,,两两垂直，所以建立空间直角坐标系xyz D -如图所示.因为BE 与平面ABCD 所成角为060，即60DBE ∠=所以3=DBED. 由3=AD可知DE =AF =………………6分则(3,0,0)A，F，E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，所以(0,BF =-，(3,0,EF =-， ………………7分设平面BEF 的法向量为=n (,,)x y z ，则00BF EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即3030y x ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令z ==n (4,2,. …………………8分因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的法向量，(3,3,0)CA =-，所以cos ,32CA CA CA⋅〈〉===n n n …………………9分因为二面角为锐角，所以二面角D BE F --的余弦值为1313. ………………10分 (Ⅲ)解：点M 是线段BD 上一个动点，设(,,0)M t t .则(3,,0)AM t t =-，因为//AM 平面BEF ，所以AM ⋅n 0=， …………………11分即4(3)20t t -+=，解得2=t . …………………12分此时，点M 坐标为(2,2,0)，13BM BD =，符合题意. …………………13分18. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）3(2)()a x f x x-'=，（0x ≠）， ……………3分在区间(,0)-∞和(2,)+∞上，()0f x '<；在区间(0,2)上，()0f x '>.所以，()f x 的单调递减区间是(,0)-∞和(2,)+∞，单调递增区间是(0,2). ………4分（Ⅱ）设切点坐标为00(,)x y ，则002000030(1)10(2)1a x y x x y a x x -⎧=⎪⎪⎪--=⎨⎪-⎪=⎪⎩……………7分（1个方程1分）解得01x =，1a =. ……………8分（Ⅲ）()g x =ln (1)x x a x --，则()ln 1g x x a '=+-， …………………9分解()0g x '=，得1ea x -=，所以，在区间1(0,e )a -上，()g x 为递减函数，在区间1(e ,)a -+∞上，()g x 为递增函数. ……………10分当1e1a -≤，即01a <≤时，在区间[1,e]上，()g x 为递增函数，所以()g x 最大值为(e)e e g a a =+-. ………………11分当1ee a -≥，即2a ≥时，在区间[1,e]上，()g x 为递减函数，所以()g x 最大值为(1)0g =. ………………12分当11<e<e a -，即12a <<时，()g x 的最大值为(e)g 和(1)g 中较大者；(e)(1)e e 0g g a a -=+->，解得ee 1a <-，所以，e1e 1a <<-时，()g x 最大值为(e)e e g a a =+-， …………………13分e2e 1a ≤<-时，()g x 最大值为(1)0g =. …………………14分综上所述，当e 0e 1a <<-时，()g x 最大值为(e)e e g a a =+-，当ee 1a ≥-时，()g x 的最大值为(1)0g =.19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知(,0)2pF ,设11(,)A x y ，则2112y px =，圆心坐标为112(,)42x p y +，圆心到y 轴的距离为124x p+， …………………2分圆的半径为1121()2224FAx p px +=⨯--=， …………………4分所以，以线段FA 为直径的圆与y 轴相切. …………………5分（Ⅱ）解法一：设022(0,),(,)P y B x y ，由1FA AP λ=,2BF FA λ=,得111101(,)(,)2p x y x y y λ-=--，22211(,)(,)22p px y x y λ--=-， …………………6分所以1111101,()2px x y y y λλ-=-=-，221221(),22p px x y y λλ-=-=-， …………………8分由221y y λ=-，得222221y y λ=.又2112y px =，2222y px =，所以 2221x x λ=. …………………10分代入221()22p p x x λ-=-，得22121()22p p x x λλ-=-，2122(1)(1)2px λλλ+=+，整理得122p x λ=， …………………12分代入1112p x x λ-=-，得122222p p pλλλ-=-，所以12211λλλ=-， …………………13分因为1211[,]42λλ∈，所以2λ的取值范围是4[,2]3. …………………14分解法二：设),(),,(2211y x B y x A ，:2pAB x my =+，将2px my =+代入22y px =，得2220y pmy p --=，所以212y y p =-（*）， …………………6分由1FA AP λ=，2BF FA λ=，得111101(,)(,)2p x y x y y λ-=--，22211(,)(,)22p px y x y λ--=-， …………………7分所以，1111101,()2px x y y y λλ-=-=-，221221(),22p px x y y λλ-=-=-， …………………8分将122y y λ-=代入（*）式，得2212p y λ=， …………………10分所以2122p px λ=，122p x λ=. …………………12分代入1112p x x λ-=-，得12211λλλ=-. …………………13分因为1211[,]42λλ∈，所以2λ的取值范围是4[,2]3. …………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：12100122399100(,,,)||||||a a a a a a a a a τ=-+-++- ………………1分222299198=+++=⨯=. ………………3分（Ⅱ）证明：因为(,,,)||||||a b c d a b b c c d τ=-+-+-，(,,,)||||||a c b d a c c b b d τ=-+-+-，所以(,,,)(,,,)||||||||a b c d a c b d a b c d a c b d ττ-=-+-----. ……………4分因为()()0a b b c -->，所以a b c >>，或a b c <<. 若a b c >>，则(,,,)(,,,)||||a b c d a c b d a b c d a c b d ττ-=-+--+--||||c b c d b d =-+---当b c d >>时，上式()2()0c b c d b d c b =-+---=-<，当b d c ≥≥时，上式()2()0c b d c b d d b =-+---=-≤，当d b c >>时，上式()0c b d c d b =-+---=，即当a b c >>时，(,,,)(,,,)0a b c d a c b d ττ-≤. ………………6分若a b c <<，则(,,,)(,,,)||||a b c d a c b d b a c d c a b d ττ-=-+--+--，||||0b c c d b d =-+---≤.（同前）所以，当()()0a b b c -->时，(,,,)(,,,)a b c d a c b d ττ≤成立. ……………7分（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）易知对于四个数的数列，若第三项的值介于前两项的值之间，则交换第二项与第三项的位置将使数列波动强度减小或不变.（将此作为引理）下面来证明当12a a >时，{}n a 为递减数列.（ⅰ）证明23a a >.若231a a a >>，则由引理知交换32,a a 的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾.若2a a a >>３１，则1212212121(,,)||||||||(,,)a a a a a a a a a a a a a a ττ=-+->-+-=３３３３，与已知矛盾.所以，321a a a >>. ………………9分（ⅱ）设12(32)i a a a i n >>>≤≤-，证明1i i a a +>.若i i i a a a >>+-11，则由引理知交换1,+i i a a 的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾. 若i i i a a a >>-+11，则211211(,,,)(,,,)i i i i i i i i a a a a a a a a ττ--+--+=，与已知矛盾.所以，1+>i i a a . …………11分（ⅲ）设121n a a a ->>>，证明1n n a a ->. 若1n n a a ->，考查数列121,,,,n n a a a a -，则由前面推理可得122n n n a a a a -->>>>，与121n a a a ->>>矛盾.所以，1n n a a ->. ……………12分综上，得证.同理可证：当12a a <时，有{}n a 为递增数列. ………………13分。

2011朝阳高三三模数学理

朝阳区2010~2011学年度第二学期高三年级保温测试数学试卷（理工类）（考试时间120分钟，满分150分） 2011.5一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．若集合{}A=|1x x x R ≤∈，，{}2B=|y y x x R =∈，，则A B I = （）A ．{}|11x x -≤≤B ．{}|0x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ． ∅2．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，l m //，则m α⊥ C ．若l α//，m α⊂，则l m //D ．若l α//，m α//，则l m//3．已知ξ～N (0, s 2)，若P (ξ >2) = 0.023，则P (-2≤ξ≤2) = （）A ．0.477B ．0.628C ．0.954D ．0.9774．6的展开式中常数项是（）A ．-160B ．-20C ．20D ．1605．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A ．13B ．23C ．53D ．436．a ，b 为非零向量，“函数2()()f x x =+a b 为偶函数”是“⊥a b ”的（）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．非充非要条件7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，466a a +=-，则当n S 取最小值时，n 等于（） A ．6B ．7C ．8D ．98．已知平面上不重合的四点P ，A ，B ，C 满足0PA PB PC ++= ，且AB AC mAP +=，那么实数m 的值为（） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．由直线x y =与曲线2x y =所围图形的面积=S ________．10．样本中共有五个个体，其值分别为a ，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本方差为________． 11．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是________．12．如图，已知⊙O 的直径5A B =，C 为圆周上一点，4=BC ，过点C 作⊙O 的切线l ，过点A 作l 的垂线AD ，垂足为D ，则C D =________．正视图侧视图俯视图13．若直线l 的参数方程为31,545x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），则直线l 的斜率为________；在极坐标系中，直线m 的方程为sin()42πρθ+=，则点7(2,)4A π到直线m 的距离为________．14．已知点(4, 1)A 和坐标原点O ，若点(,)B x y 满足1133x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则OA OB ⋅ 的最大值是________．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）设函数()cos(2)6f x x π=+sin 2x +．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）设A ，B ，C 为∆ABC 的三个内角，若AB=1，sinB=31，()22C f =，求AC 的长．16．（13分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23．现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品．（Ⅰ）随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；（Ⅱ）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列；（Ⅲ）随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率．开始a =2，i =1 i ≥2010i =i +1结束输出a是否lOADCB17．（13分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD//BC ，∠ADC=90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA=PD=2，BC=12AD=1，（Ⅰ）若点M 是棱PC 的中点，求证：PA//平面BMQ ；（Ⅱ）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（Ⅲ）若二面角M-BQ-C 为30°，设PM = tMC ，试确定t 的值．18．（13分）已知数列}{n a ，其前n 项和为237()22n S n n n N *=+∈．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式，并证明数列}{n a 是等差数列；（Ⅱ）如果数列}{n b 满足n n b a 2log =，请证明数列}{n b 是等比数列，并求其前n 项和．19．（14分）已知函数()ln a xf x x x-=+，其中a 为大于零的常数．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线与直线12y x =-平行，求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[1，2]上的最小值．20．（14分）已知椭圆C:22221(0)x y a b ab+=>>的长轴长为，离心率22=e ．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若过点B （2，0）的直线l （斜率不等于零）与椭圆C 交于不同的两点E ，F （E 在B ，F 之间），且∆OBE 与∆OBF 的面积之比为12，求直线l 的方程．PABCD QM高三数学练习题参考答案（理科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）B （3）C （4）A （5）D （6）C （7）A （8）C 二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）61（10） 2 （11）-1 （12）125（13）43-；2（14）11三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15（本小题共13分）解：()cos(2)6f x x π=+sin 2x +=1cos 2cossin 2sinsin 22sin 2sin(2)66223x x x x x x πππ-+=+=+......3分（I ）令222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，则5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈所以函数f(x)的单调递增区间为5[,]().1212k k k Z ππππ-+∈ .............6分（II）由已知()sin()3C f C π+==２２， ……………………………………………….8分因为40,333C C ππππ<<∴<+<所以233C ππ+=，3C π=，所以2. ……10分在∆ABC 中，由正弦定理，sin sin AC AB BC=，得1sin sin 92AB B AC C ⋅===. …..13分 16（本小题共13分）解：(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A . …………………………1分事件A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ……………2分151332104106)(=⨯+=A p …………………………4分(Ⅱ) 由题可知X 可能取值为0，1，2，3.3463101(0)30C C P X C ===,21463103(1)10C C P X C ===,12463101(2)2C C P X C ===,03463101(3)6C C P X C ===. ………………8分……………9分C(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B ， ……………10分事件B 等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测” 所以，3111()()303810P B =⋅=. ………………………………………………………13分 17（本小题共13分）证明：（Ⅰ）连接AC ，交BQ 于N ，连接MN ． ………………………………………1分∵BC ∥AD 且BC=12AD ，即BC //AQ ，∴四边形BCQA 为平行四边形，且N 为AC 中点，又∵点M 在是棱PC 的中点，∴ MN // PA. ……………………………………………………………………2分 ∵ MN ⊂平面MQB ，PA ⊄平面MQB ， …………………………………3分 ∴ PA // 平面MBQ ． …………………………………………………………………4分（Ⅱ）∵AD // BC ，BC=12AD ，Q 为AD 的中点，∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD // BQ ．……………………………………6分 ∵∠ADC=90° ∴∠AQB =90° 即QB⊥AD．又∵平面PAD ⊥平面ABCD且平面PAD ∩平面ABCD=AD ， ………………………………………………7分 ∴BQ ⊥平面PAD ． …………………………………………………………8分 ∵BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面PAD ． …………………………………………………………9分另证：AD // BC ，BC=12AD ，Q 为AD 的中点∴ BC // DQ 且BC= DQ ，∴ 四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD // BQ ．∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB =90° 即QB⊥AD． …………………………………6分 ∵ PA=PD ， ∴PQ ⊥AD ． …………………………………………………7分 ∵ PQ ∩BQ=Q ，∴AD ⊥平面PBQ ． ………………………………………………8分 ∵ AD ⊂平面PAD ，∴平面PQB ⊥平面PAD ． ……………………………………………………9分（Ⅲ）∵PA=PD ，Q 为AD 的中点， ∴PQ ⊥AD．∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD=AD ， ∴PQ⊥平面ABCD ．…10分（不证明PQ⊥平面ABCD 直接建系扣1分）如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC 的法向量为(0,0,1)n = ；(0,0,0)Q ，(0,0,P ，0)B，(0)C -．………设(,,)M x y z ，则(,,PM x y z =-，(1,)M C x y z=---，∵PM t M C = ，∴(1))(x tx y t yz t z =--⎧⎪=⎨⎪-=-⎩）， ∴ 111t x tyt z t ⎧=-⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩……12分在平面MBQ 中，0)Q B = ，(,111t Q M t t t=-+++ ，∴ 平面MBQ法向量为0,)m t =．∵二面角M-BQ-C 为30°，cos 302n m t n m ︒⋅===3t =．…………13分 18（本小题共13分）解：（Ⅰ）当1n =时，115a S ==， ……………………………………………………1分当2n ≥时，22137[(1)][(1)]22n n n a S S n n n n -=-=--+--37(21)3222n n =-+=+． ……………………………3分又15a =满足32n a n =+， ……………………………………………………5分 32()n a n n N *∴=+∈． ………………………………………………………6分∵132[3(1)2]3n n a a n n --=+--+= (2,)n n N *≥∈，∴数列{}n a 是以5为首项，3为公差的等差数列． ……………………………7分（Ⅱ）由已知得2na nb = ()n N *∈， …………………………………………8分∵+1+13+12==2=2=82n n nna a -a n a nb b ()n N *∈， ……………………10分又11232a b ==， ∴数列}{n b 是以32为首项，8为公比的等比数列. …………12分∴数列}{n b 前n 项和为32(18)32(81)187nn-=--. …………………………13分19（本小题共14分）解：2221()1'()x a x ax af x x x x x x----=+=-=(0x >) ………………………………..4分（I ）因为曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线与直线1-2y x =平行，所以'(1)-2f =，即12, 3.a a -=-=解得 ……………………………………6分(II)当01a <≤时，'()0f x >在（1，2）上恒成立，这时()f x 在[1，2]上为增函数 min ()(1)1f x f a ∴==-. ………………………………………………….8分当12a <<时，由'()0f x =得，(1,2)x a =∈对于(1,)x a ∈有'()0,f x <()f x 在[1，a]上为减函数，对于(,2)x a ∈有'()0,f x >()f x 在[a ，2]上为增函数，min ()()ln f x f a a ∴==. …………………………………………………..11分当2a ≥时，'()0f x <在（1，2）上恒成立，这时()f x 在[1，2]上为减函数，m in ()(2)ln 212af x f ∴==+-.综上，()f x 在[1，2]上的最小值为①当01a <≤时，m in ()1f x a =-,②当12a <<时，min ()ln f x a =，③当2a ≥时，m in ()ln 212a f x =+-.…………….14分20（本小题共14分）.解：（I ）椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a bya x，由已知得22222c e a a a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩……..3分解得 1,1a b c ===∴所求椭圆的方程为1222=+yx. ………………………………………………… 5分(II)由题意知l 的斜率存在且不为零，设l 方程为2(0)x my m =+≠ ①，将①代入1222=+yx，整理得22(2)420m y m y +++=，由0>∆得2 2.m > ………….……………….……….7分设),(11y x E ，),(22y x F ，则1221224222m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩②. …………………………8分由已知，12OBEOBF S S ∆∆=，则||1||2BE BF =由此可知，2BF BE =，即212y y =. …………………………………………….10分代入②得，12212432222m y m y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去1y 得222221629(2)2m m m ⋅=++ 解得，2187m =，满足22.m >即7m =±. ………………………………………………………….13分所以，所求直线l的方程为71407140x x --=+-=或. …….14分。

2012年北京市朝阳区高三一模数学(理)试题及答案

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（理工类） 2012.3（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 复数10i12i=- A. 42i -+ B. 42i - C. 24i - D. 24i +2. 已知平面向量,a b 满足()=3a a +b ⋅，且2,1==a b ，则向量a 与b 的夹角为A.6π B. 3π C. 32π D. 65π 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21()n n S a n N *=-∈，则5a =A. 16-B. 16C. 31D. 324. 已知平面α，直线,,a b l ，且,a b αα⊂⊂，则“l a ⊥且l b ⊥”是“l α⊥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5. 有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定.技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（）A. 16B. 24C. 32D. 486.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有(2)()f x f x +=.当01x ≤≤时，2()f x x =.若直线y x a =+与函数()y f x =的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是 A.0 B. 0或12-C. 14-或12-D. 0或14- 7. 某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件. 从第二年开始，商场对A 种产品征收销售额的%x 的管理费（即销售100元要征收x 元），于是该产品定价每件比第一年增加了70%1%x x ⋅-元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的最大值是A. 2B. 6.5C. 8.8D. 108.已知点集{}22(,)48160A x y x y x y =+--+≤，{}(,)4,B x y y x m m 是常数=≥-+，点集A 所表示的平面区域与点集B 所表示的平面区域的边界的交点为,M N .若点(,4)D m 在点集A 所表示的平面区域内（不在边界上），则△DMN 的面积的最大值是A. 1B. 2C.D. 4第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上.9. 已知双曲线的方程为2213x y -=，则此双曲线的离心率为，其焦点到渐近线的距离为 .10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .（第10题图）（第11题图）11. 执行如图所示的程序框图，若输入k 的值是4，则输出S 的值是 .12.在极坐标系中，曲线ρθ=和cos 1ρθ=相交于点,A B ，则线段AB 的中点E 到极点的距离是 .13.已知函数213(),2,()24log ,0 2.x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是 .14.已知△ABC 中， 90,3,4C AC BC ∠=︒==.一个圆心为M ，半径为14的圆在△ABC正视图侧视图内，沿着△ABC 的边滚动一周回到原位. 在滚动过程中，圆M 至少与△ABC 的一边相切，则点M 到△ABC 顶点的最短距离是，点M 的运动轨迹的周长是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.把答案答在答题卡上. 15. （本小题满分13分）已知函数π()cos()4f x x =-.（Ⅰ）若()10f α=，求sin 2α的值；（II ）设()()2g x f x f x π⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.16. （本小题满分13分）某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀.绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；（Ⅲ）在（II ）中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X ，求X 的分布列与数学期望.17. （本小题满分14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ABD ∠︒，EB ⊥平面ABCD ，EF//AB ，=2AB ，==1EB EF ，=BC ，且M 是BD 的中点.（Ⅰ）求证：EM//平面ADF ；（Ⅱ）求二面角D-AF-B 的大小；（Ⅲ）在线段EB 上是否存在一点P，使得CP 与AF 所成的角为30︒？若存在，求出BP 的长度；若不存在，请说明理由.18. （本小题满分13分）设函数2e (),1axf x a x R =∈+. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；CA FEBMD（Ⅱ）求函数)(x f 单调区间. 19. （本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为1(F ，2F .点(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点N 的坐标为(3,2)，点P 的坐标为(,)(3)m n m ≠.过点M 任作直线l 与椭圆 C 相交于A ，B 两点，设直线AN ，NP ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若 1322k k k +=，试求,m n 满足的关系式.20．（本小题满分13分）已知各项均为非负整数的数列001:,,,n A a a a L ()n *∈N ，满足00a =，1n a a n ++=L ．若存在最小的正整数k ，使得(1)k a k k =≥，则可定义变换T ，变换T 将数列0A 变为数列00111():1,1,,1,0,,,k k n T A a a a a a -++++L L ．设1()i i A T A +=，0,1,2i =L ．（Ⅰ）若数列0:0,1,1,3,0,0A ，试写出数列5A ；若数列4:4,0,0,0,0A ，试写出数列0A ；（Ⅱ）证明存在唯一的数列0A ，经过有限次T 变换，可将数列0A 变为数列,0,0,,0n n 个L 14243；（Ⅲ）若数列0A ，经过有限次T 变换，可变为数列,0,0,,0n n 个L 14243．设1m m m n S a a a +=+++L ，1,2,,m n =L ，求证[](1)1mm m S a S m m =-++，其中[]1m S m +表示不超过1m Sm +的最大整数．北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（理工类） 2012.3一、选择题：三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为π()cos()410f αα=-=，所以(cos sin )210αα+=，所以 7cos sin 5αα+=. 平方得，22sin 2sin cos cos αααα++=4925，所以 24sin 225α=.……………6分（II ）因为()π()2g x f x f x ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭=ππcos()cos()44x x -⋅+ =(cos sin )(cos sin )22x x x x +⋅- =221(cos sin )2x x - =1cos 22x . ……………10分当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 所以，当0x =时，()g x 的最大值为12；当π3x =时，()g x 的最小值为14-. ……………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意，0.0451000200,0.025*******a b =⨯⨯==⨯⨯=. ……………4分（Ⅱ）设其中成绩为优秀的学生人数为x ，则350300100401000x ++=，解得：x =30，即其中成绩为优秀的学生人数为30名. ……………7分（Ⅲ）依题意，X 的取值为0，1，2，2102403(0)52C P X C ===，1110302405(1)13C C P X C ===，23024029(2)52C P X C ===，所以X 的分布列为350125213522EX =⨯+⨯+⨯=，所以X 的数学期望为2. ……………13分（17）（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）取AD 的中点N ，连接MN,NF .在△DAB 中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，所以1=2MN//AB,MN AB ，又因为1=2EF//AB,EF AB ，所以MN//EF 且MN =EF .所以四边形MNFE 为平行四边形，所以EM//FN .又因为FN ⊂平面ADF ，⊄EM 平面ADF ，故EM//平面ADF . …………… 4分解法二：因为EB ⊥平面ABD ，AB BD ⊥，故以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系-B xyz . ……………1分由已知可得 (0,0,0),(0,2,0),(3,0,0),B A D3(3,-2,0),(,0,0)2C E F M （Ⅰ）3=((3,-2,0)2EM ,AD=u u u r u u u r，设平面ADF 的一个法向量是()x,y,z n =.由0,0,AD AF n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r 得32x -y =0,=0.⎧⎪⎨⎪⎩令y=3，则n =. 又因为3(=3+0-3=02EM n ⋅=⋅u u u r ，所以EM n ⊥u u u r，又EM ⊄平面ADF ，所以//EM 平面ADF . ……………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面ADF 的一个法向量是n =. 因为EB ⊥平面ABD ，所以EB BD ⊥.又因为AB BD ⊥，所以BD ⊥平面EBAF .故(3,0,0)BD =u u u r是平面EBAF 的一个法向量.所以1cos <=2BD BD,BD n n n ⋅>=⋅u u u ru u u r u u u r，又二面角D-AF -B 为锐角，故二面角D-AF -B 的大小为60︒. ……………10分NCA F EBMD（Ⅲ）假设在线段EB 上存在一点P ，使得CP 与AF 所成的角为30︒.不妨设(0,0,t)P（0t ≤≤，则=(3,-2,-),=PC AF t u u u r u u u r.所以cos <PC AF PC,AF PC AF ⋅>==⋅u u u r u u u ru u u r u u u ru u u r u u u r2=，化简得35-=，解得0t =<. 所以在线段EB 上不存在点P ，使得CP 与AF 所成的角为30︒.…………14分（18）（本小题满分13分）解：因为2e (),1ax f x x =+所以222e (2)()(1)ax ax x a f x x -+'=+.（Ⅰ）当1a =时, 2e ()1xf x x =+,222e (21)()(1)x x x f x x -+'=+,所以(0)1,f = (0)1f '=.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. ……………4分（Ⅱ）因为222222e (2)e ()(2)(1)(1)ax axax x a f x ax x a x x -+'==-+++， ……………5分（1）当0a =时,由()0f x '>得0x <；由()0f x '<得0x >.所以函数()f x 在区间(,0)-∞单调递增, 在区间(0,)+∞单调递减. ……………6分（2）当0a ≠时, 设2()2g x ax x a =-+，方程2()20g x ax x a =-+=的判别式2444(1)(1),a a a ∆=-=-+ ……………7分①当01a <<时，此时0∆>.由()0f x '>得1x a <,或1x a +>；由()0f x '<x <<.所以函数()f x单调递增区间是1(,a -∞和)+∞,单调递减区间11(a a . ……………9分②当1a ≥时，此时0∆≤.所以()0f x '≥，所以函数()f x 单调递增区间是(,)-∞+∞. ……………10分 ③当10a -<<时，此时0∆>.由()0f x '>得11x a a +-<<；由()0f x '<得1x a <,或1x a->.所以当10a -<<时,函数()f x单调递减区间是1(,a +-∞和1()a +∞,单调递增区间11(,a a . ……………12分④当1a ≤-时, 此时0∆≤，()0f x '≤，所以函数()f x 单调递减区间是(,)-∞+∞. …………13分（19）（本小题满分14分）解:（Ⅰ）依题意，c =1b =，所以a == 故椭圆C 的方程为2213x y +=. ……………4分（Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，由221,13x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,x y ==不妨设(1,3A，(1,3B -，因为132233222k k +=+=，又1322k k k +=，所以21k =，所以,m n 的关系式为213n m -=-，即10m n --=. ………7分 ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2213x y +=整理化简得，2222(31)6330k x k x k +-+-=. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122631k x x k +=+,21223331k x x k -=+. ………9分又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-. 所以12122113121222(2)(3)(2)(3)33(3)(3)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- 12211212[2(1)](3)[2(1)](3)3()9k x x k x x x x x x ---+---=-++121212122(42)()6123()9kx x k x x k x x x x -++++=-++222222223362(42)6123131336393131k k k k k k k k kk k -⨯-+⨯++++=--⨯+++ 222(126)2.126k k +==+………12分所以222k =，所以2213n k m -==-，所以,m n 的关系式为10m n --=.………13分综上所述，,m n 的关系式为10m n --=. ………14分（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）若0:0,1,1,3,0,0A ，则1:1,0,1,3,0,0A ；2:2,1,2,0,0,0A ； 3:3,0,2,0,0,0A ； 4:4,1,0,0,0,0A ； 5:5,0,0,0,0,0A ．若4:4,0,0,0,0A ，则 3:3,1,0,0,0A ； 2:2,0,2,0,0A ； 1:1,1,2,0,0A ；0:0,0,1,3,0A ． ………4分（Ⅱ）先证存在性，若数列001:,,,n A a a a L 满足0k a =及0(01)i a i k >≤≤-，则定义变换1T -，变换1T -将数列0A 变为数列10()T A -：01111,1,,1,,,,k k n a a a k a a -+---L L ．易知1T -和T 是互逆变换． ………5分对于数列,0,0,,0n L 连续实施变换1T -（一直不能再作1T -变换为止）得,0,0,,0n L 1T -−−→1,1,0,,0n -L 1T -−−→2,0,2,0,,0n -L 1T -−−→3,1,2,0,,0n -L1T -−−→L 1T -−−→01,,,n a a a L ，则必有00a =（若00a ≠，则还可作变换1T -）．反过来对01,,,n a a a L 作有限次变换T ，即可还原为数列,0,0,,0n L ，因此存在数列0A 满足条件．下用数学归纳法证唯一性：当1,2n =是显然的，假设唯一性对1n -成立，考虑n 的情形．假设存在两个数列01,,,n a a a L 及01,,,n b b b L 均可经过有限次T 变换，变为,0,,0n L ，这里000a b ==，1212n n a a a b b b n +++=+++=L L 若0n a n <<，则由变换T 的定义，不能变为,0,,0n L ；若n a n =，则120n a a a ====L ，经过一次T 变换，有0,0,,0,n L T−−→1,1,,1,0L 由于3n ≥，可知1,1,,1,0L （至少3个1）不可能变为,0,,0n L ．所以0n a =，同理0n b =令01,,,n a a a L T−−→121,,,,n a a a '''L ，01,,,n b b b L T−−→121,,,,n b b b '''L ，则0nn a b ''==，所以1211n a a a n -'''+++=-L ，1211n b b b n -'''+++=-L ．因为110,,,n a a -''L T−−−−→有限次-1,0,,0n L ， 110,,,n b b -''L T−−−−→有限次-1,0,,0n L ，故由归纳假设，有i i a b ''=，1,2,,1i n =-L ．再由T 与1T -互逆，有01,,,n a a a L T−−→111,,,,0n a a -''L ，01,,,n b b b L T−−→111,,,,0nb b -''L ，所以i i a b =，1,2,,i n =L ，从而唯一性得证． ………9分最新整理. （Ⅲ）显然i a i ≤(1,2,,)i n =L ，这是由于若对某个0i ，00i a i >，则由变换的定义可知，0i a 通过变换，不能变为0．由变换T 的定义可知数列0A 每经过一次变换，k S 的值或者不变，或者减少k ，由于数列0A 经有限次变换T ，变为数列,0,,0n L 时，有0m S =，1,2,,m n =L ，所以m m S mt =(m t 为整数)，于是1m m m S a S +=+1(1)m m a m t +=++，0m a m ≤≤，所以m a 为m S 除以1m +后所得的余数，即[](1)1mm m S a S m m =-++．………13分。

北京市西城区2011届高三模拟数学(文)试题及答案

北京市西城区2011 年高三一模试卷数学（文科）2011.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分 .在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项 .1. 已知全集U{1,2,3,4,5} ，会合 A{2,5} ， B{4,5} ，则e U( A B) 等于（ A）{1,2,3,4}（ B）{1,3}（ C）{2,4,5}（ D）{5}2. 函数y2x lg x 的定义域是（ A）0,2（ B）(0, 2)（ C）0,2（ D）1,2 3. 为了获得函数y sin x cos x 的图像，只要把y sin x cos x 的图象上全部的点（ A）向左平移个单位长度（ B）向右平移个单位长度44（ C）向左平移个单位长度（ D）向右平移个单位长度2124. 设a log2 3， b log 4 3 ，c，则2（ A）a c b（ C）b ca[ 来（ D）c b a （ B）c a b源: 学&科&网]5．一个棱锥的三视图如下图，则这个棱锥的体积是（A）6（B）12（C）24（D）363343正 (主 )视图侧(左)视图34俯视图6．关于平面和异面直线 m,n ，以下命题中真命题是（ A）存在平面，使 m， n（ B）存在平面，使 m， n（ C）存在平面，知足 m， n //（ D）存在平面，知足 m //， n //7. 右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5 次综合测评中的甲成绩，此中一个数字被污损. 则甲的均匀成绩超出乙9 8 8 3 3 7乙的均匀成绩的概率为2 1 099（A ）2（B ）7（C ）4（D ）95105108．某次测试成绩满分为150 分，设 n 名学生的得分分别为 a 1 ,a 2 , , a n （ a i N ，1 i n ），b k （ 1 k150 ）为 n 名学生中得分起码为 k 分的人数 . 记 M 为 n 名学生的均匀成绩 . 则 b 1 b 2 b 150 b 1 b 2 b 150（A ） Mn（B ） M 150b 1 b 2b150b 1 b 2b150 （C ） Mn（D ） M150第Ⅱ卷（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分.9. 若复数 (1 i)(1 ai) 是纯虚数，则实数 a 等于 ______.10. 设向量 a(1,sin) ， b (1,cos ) ，若 a b3 ______.，则 sin 2511. 双曲线 C :x 2y21的离心率为 ______；若椭圆x 2y 2 1(a 0) 与双曲线 C 有同样2a 2的焦点，则 a ______.12. 设不等式组2 x 2,2y 表示的地区为 W ,2圆 C : ( x2)2 y 24 及其内部地区记为D .若向地区 W 内投入一点，则该点落在地区 D内的概率为 _____.13. 阅读右边程序框图，则输出的数据 S 为 _____.14. 已知数列 { a n } 的各项均为正整数， S n 为其前 n 项和，关于 n 1,2,3,，有3a n 5, a n为奇数，an 1a n,，2k a n 为偶数 . 此中 k 为使 a n 1为奇数的正整数当 a 3 5时， a 1 的最小值为 ______；当 a1 1 时， S1S2S20______.三、解答题：本大题共6小题，共 80 分。

北京市海淀区2011届高三一模考试(数学理)

海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科） 2011.4选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1、已知集合{}30<<∈=x x A R ，{}42≥∈=x x B R ，则=B A A. {}32<<x x B. {}32<≤x x C. {}322<≤-≤x x x 或 D. R2．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是它的前n 项和.若21=a ，123=S ，则=4S A ．10 B ．16 C ．20 D ．243. 在极坐标系下，已知圆C 的方程为2cos ρθ=，则下列各点在圆C 上的是 A ．1,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ． 1,6π⎛⎫⎪⎝⎭C．34π⎫⎪⎭D ．54π⎫⎪⎭4．执行如图所示的程序框图，若输出x 的值为23，则输入的x 值为A ．0B ．1C ．2D ．11 5．已知平面l =αβ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误．．的是 A ．若β//m ，则l m // B ．若l m //，则β//m C ．若β⊥m ，则l m ⊥ D ．若l m ⊥，则β⊥m6. 已知非零向量,,a b c 满足++=a b c ０，向量,a b 的夹角为120，且||2||=b a ，则向量a 与c 的夹角为A ．︒60B ．︒90C ．︒120D ． ︒1507.如果存在正整数ω和实数ϕ使得函数)(cos )(2ϕω+=x x f （ω，ϕ为常数）的图象如图所示（图象经过点（1,0）），那么ω的值为A ．1B ．2C ． 3 D. 48．已知抛物线M ：24y x =，圆N ：222)1(r y x =+-（其中r 为常数，0>r ）.过点（1，0）的直线l 交圆N 于C 、D 两点，交抛物线M 于A 、B 两点，且满足BD AC =的直线l 只有三条的必要条件是A ．(0,1]r ∈B ．(1,2]r ∈C ．3(,4)2r ∈D ．3[,)2r ∈+∞非选择题（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．复数3i1i-+= . 10.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3s ，则它们的大小关系为 . （用“>”连接）11．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，BE 切⊙O 于点B ， D 是CE 与⊙O 的交点.若︒=∠70BAC ，则=∠CBE ______；若2=BE ，4=CE ，则=CD .12.已知平面区域}11,11|),{(≤≤-≤≤-=y x y x D ，在区域D 内任取一点，则取到的点位于直线y kx =（k R ∈）下方的概率为____________ .13.若直线l 被圆22:2C x y +=所截的弦长不小于2，则在下列曲线中：①22-=x y ② 22(1)1x y -+= ③ 2212x y += ④ 221x y -=与直线l 一定有公共点的曲线的序号是 . （写出你认为正确的所有序号）14．如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP =x ， △CPD 的面积为()f x .则()f x 的定义域为； '()f x 的零点是 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知1tan 2B =，1tan 3C =，且1c =. (Ⅰ)求tan A ； (Ⅱ)求ABC ∆的面积. 16. （本小题共14分）在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥,//AD EF ，//EF BC ，24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==， G 是BC 的中点．(Ⅰ) 求证：//AB 平面DEG ；ACP BD A DFE(Ⅱ) 求证：BD EG ⊥；(Ⅲ) 求二面角C DF E --的余弦值. 17. （本小题共13分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品. (Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；(Ⅱ)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列； (Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率. 18. （本小题共13分）已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).ag x a x+=-∈ （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；(Ⅲ)若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，求a 的取值范围. 19. （本小题共14分）已知椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>经过点3(1,),2M 其离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线1:(||)2l y kx m k =+≤与椭圆C 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点.求OP 的取值范围. 20. （本小题共13分）已知每项均是正整数的数列A ：123,,,,n a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i =⋅⋅⋅，设j j k k k b +++= 21 (1,2,3)j =，12()m g m b b b nm =+++-(1,2,3)m =⋅⋅⋅.（Ⅰ）设数列:1,2,1,4A ，求(1),(2),(3),(4),(5)g g g g g ；（Ⅱ）若数列A 满足12100n a a a n +++-=，求函数)(m g 的最小值.海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理）答案及评分参考 2011．4选择题（共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）非选择题（共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.12i - 10. s 1>s 2>s 3 11. 70； 3 12.1213. ① ③ 14. (2,4); 3 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.（共13分）解：（I ）因为1tan 2B =，1tan 3C =,tan tan tan()1tan tan B CB C B C ++=-, …………………1分代入得到，1123tan()111123B C ++==-⨯ . (3)分因为180A B C =-- , …………………4分所以t A B=-. …………………5分（II ）因为0180A <<，由（I ）结论可得：135A = . …………………7分因为11tan tan 023B C =>=>，所以090C B <<< . ............8分所以sin B =sin C =. (9)分由sin sin a cA C=得a = …………………11分所以ABC∆的面积为：11sin 22ac B =. ………………13分 16. （共14分）解：(Ⅰ)证明：∵//,//AD EF EF BC ， ∴//AD BC .又∵2BC AD =,G 是BC 的中点， ∴//AD BG ，∴四边形ADGB 是平行四边形，∴ //AB DG . ……………2分 ∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，∴//AB 平面DEG . …………………4分 (Ⅱ) 解法1证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥，又,AE EB EBEF E ⊥=，,EB EF ⊂平面BCFE ，∴AE ⊥平面BCFE . ………………………5分过D 作//DH AE 交EF 于H ，则DH ⊥平面BCFE .∵EG ⊂平面BCFE ， ∴DH EG ⊥. ………………………6分∵//,//AD EF DH AE ，∴四边形AEHD 平行四边形， ∴2EH AD ==，∴2EH BG ==，又//,EH BG EH BE ⊥，∴四边形BGHE 为正方形，∴BH EG ⊥， ………………………7分又,BHDH H BH =⊂平面BHD ，DH ⊂平面BHD ,∴EG ⊥平面BHD . ………………………8分 ∵BD ⊂平面BHD ,∴BD EG ⊥. ………………………9分解法2∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥，EF BE ⊥，又AE EB ⊥,∴,,EB EF EA 两两垂直. ……………………5分以点E 为坐标原点，,,EB EF EA 分别为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐标系.由已知得，A （0，0，2），B （2，0，0），C （2，4，0），F （0，3，0），D （0，2，2），G （2，2，0）. …………………………6分∴(2,2,0)EG =，(2,2,2)BD =-，………7分 ∴22220BD EG ⋅=-⨯+⨯=, ………8分 ∴BD EG ⊥. …………………………9分(Ⅲ)由已知得(2,0,0)EB =是平面EFDA 的法向量. …………………………10分设平面DCF 的法向量为(,,)x y z =n ，∵(0,1,2),(2,1,0)FD FC =-=，∴00FD n FC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x y -+=⎧⎨+=⎩，令1z =,得(1,2,1)=-n . …………………………12分设二面角C DF E --的大小为θ，则cos cos ,EB =<>==θn …………………………13分 ∴二面角C DF E --的余弦值为 …………………………14分17. （共13分）解：(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A …………………………1分事件A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ……………2分151332104106)(=⨯+=A p …………………………4分(Ⅱ) 由题可知X 可能取值为0,1,2,3.30463101(0)30C C P X C ===,21463103(1)10C C P X C ===, 12463101(2)2C C P X C ===,03463101(3)6C C P X C ===. (8)分… ……………9分(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B ……………10分事件B 等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”所以，3111()()303810P B =⋅=. (13)分18. （共13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞， ………………………1分当1a =时，()ln f x x x =-，11()1x f x-'=-=， ………………………2分 ………………………3分所以()f x 在1x =处取得极小值1. ………………………4分（Ⅱ）1()ln ah x x a x x+=+-， 22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==………………………6分 ①当10a +>时，即1a >-时，在(0,1)a +上()0h x '<，在(1,)a ++∞上()0h x '>，所以()h x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增； ………………………7分 ②当10a +≤，即1a ≤-时，在(0,)+∞上()0h x '>，所以，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增. ………………………8分（III ）在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，即在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()0h x <，即函数1()ln ah x x a x x+=+-在[]1,e 上的最小值小于零. ………………………9分由（Ⅱ）可知 ①即1e a +≥，即e 1a ≥-时， ()h x 在[]1,e 上单调递减，所以()h x 的最小值为(e)h ，由1(e)e 0eah a +=+-<可得2e 1e 1a +>-，因为2e 1e 1e 1+>--，所以2e 1e 1a +>-； ………………………10分 ②当11a +≤，即0a ≤时， ()h x 在[]1,e 上单调递增，所以()h x 最小值为(1)h ，由(1)110h a =++<可得2a <-； ………………………11分 ③当11e a <+<，即0e 1a <<-时，可得()h x 最小值为(1)h a +，因为0ln(1)1a <+<，所以，0ln(1)a a a <+<故(1)2ln(1)2h a a a a +=+-+>此时，(1)0h a +<不成立. ………………………12分综上讨论可得所求a 的范围是：2e 1e 1a +>-或2a <-. ………………………13分19. （共14分）解：（Ⅰ）由已知可得222214a b e a -==，所以2234a b = ① ……………1分又点3(1,)2M 在椭圆C 上，所以221914a b+= ② ……………2分由①②解之，得224,3a b ==.故椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分 (Ⅱ) 当0k =时，(0,2)P m 在椭圆C上，解得2m =±，所以||OP =……6分当0k ≠时，则由22,1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 化简整理得：222(34)84120k x kmx m +++-=，222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+->③ ……………8分设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则 012012122286,()23434km mx x x y y y k x x m k k =+=-=+=++=++. ……………9分由于点P 在椭圆C 上，所以 2200143x y +=. ……………10分从而222222216121(34)(34)k m m k k +=++，化简得22434m k =+，经检验满足③式. ………11分又||OP===………………………12分因为12k<≤，得23434k<+≤，有2331443k≤<+，OP<≤. (13)分综上，所求OP的取值范围是. ………………………14分(Ⅱ)另解：设,,A B P点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y、、，由,A B在椭圆上，可得2211222234123412x yx y⎧+=⎨+=⎩①②………………………6分①—②整理得121212123()()4()()0x x x x y y y y-++-+=③………………………7分由已知可得O P=+，所以12120x x xy y y+=⎧⎨+=⎩④⑤……………………8分由已知当1212y ykx x-=-,即1212()y y k x x-=-⑥………………………9分把④⑤⑥代入③整理得0034x ky=-………………………10分与22003412x y+=联立消x整理得202943yk=+……………………11分由22003412x y+=得2200443x y=-，所以222222000002413||4443343OP x y y y y k =+=-+=-=-+ ……………………12分因为12k ≤，得23434k ≤+≤，有2331443k ≤≤+，故2OP ≤≤. ………………………13分所求OP 的取值范围是. ………………………14分 20. （共13分）解：（1）根据题设中有关字母的定义，（2）一方面，1(1)()m g m g m b n ++-=-，根据“数列A 含有n 项”及j b 的含义知1m b n +≤，故0)()1(≤-+m g m g ，即)1()(+≥m g m g ① …………………7分另一方面，设整数{}12max ,,,n M a a a =，则当m M ≥时必有m b n =，所以(1)(2)(1)()(1)g g g M g M g M ≥≥≥-==+=所以()g m 的最小值为(1)g M -. …………………9分下面计算(1)g M -的值：123()n a a a a n=-+++++…………………12分∵123100n a a a a n ++++-= ， ∴(1)100,g M -=-∴()g m 最小值为100-. …………………13分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。

朝阳区高三一模数学理有答案.doc

北京市朝阳区2009—2010学年度高三年级第二学期统一考试（一）数学试题（理工类）2010.4（考试时间120分钟满分150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数211ii ++等于（）A ．21i +B ．21i -C ．－21D ．21 2．右图是2010年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0—9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为21,a a ，则一定有（）A ．21a a >B ．12a a >C ．21a a =D ．21,a a 的大小与m 的值有关3．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3π=x 对称的是（）A ．)62sin(π+=x y B ．)32sin(π+=x yC ．)32sin(π-=x yD ． )62sin(π-=x y4．一个简单几何体的正视图，侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆； ④椭圆。

其中正确的是（） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④5．在区间][ππ，-内随机取两个数分别记为b a ,，则使得函数π+-+=222)(b ax x x f 有零点的概率为（）A ．87B ．43 C ．21 D ．41 6．已知点)0,0(1)4,3(2222>>=--b a by a x P 是双曲线渐近线上的一点，E ，F 是左、右两个焦点，若0=⋅FP EP ，则双曲线方程为（）A ．14322=-y x B ．13422=-y x C ．116922=-y x D ．191622=-y x 7．设},min{q p 表示,p q 两者中较小的一个，若函数}log ,log 213min{)(22x x x f -=，则满足x x f 的1)(<的取值范围是（）A ．（0，2）B ．（0，+∞）C ．),16()2,0(+∞⋃D ．),161(+∞ 8．一个空间四边形ABCD 的四条边及对角线AC 的长均为2，二面角D —AC —B 的余弦值为31，则下列论断正确的是（）A ．空间四边形ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为3πB ．空间四边形ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为4πC ．空间四边形ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为33πD ．不存在这样的球使得空间四边形ABCD 的四个顶点在此球面上。

北京市怀柔区2011届高三一模数学(理)试题及答案

怀柔区2010～2011学年度第二学期高三适应性练习数学（理科）2011.3本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知全集R U =，}21{<<-=x x A ，}0{≥=x x B ，则=)(B A C UA ．}20{<≤x xB ．}0{≥x xC ．}1{-≤x xD ．}1{->x x2．复数=-+i i11A ．i -B ．1-C ．iD ．13．已知等比数列}{n a 的公比为2，且531=+a a ，则42a a +的值为A ．10B ．15C ．20D ．254．如图是一正方体被过棱的中点M 、N 和顶点A 、D 、C 1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为A ．B ．C ．D ． 5．若a ＝(1,2,－3)，b ＝(2,a －1,a 2－31)，则“a ＝1”是“a ⊥b ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．右图是计算函数2x ,x 1y 0,1x 2x ,x 2⎧-≤-⎪=-<≤⎨⎪>⎩的值的程序框图，则在①、②、③处应分别填入的是 A ．y x =-，y 0=，2y x =B ．y x =-，2y x =，y 0=C ．y 0=，2y x =，y x =-D ．y 0=，y x =-， 2y x =7．在极坐标系中，定点1,2A π⎛⎫⎪⎝⎭，动点B 在直线cos sinρθρθ+上运动，当线段AB 最短时，动点B 的极坐标是A ．)4,22(π B ．)43,22(πC ．)4,23(π D ．)43,23(π 8．已知三棱锥A BCO -，OA OB OC 、、两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在BCO ∆内运动（含边界），则MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为A ．6π B ．6π或636π+C ．366π-D ．6π或366π-第Ⅱ卷（非选择题共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．命题：0,2≥∈∀x R x 的否定是．10．函数1cos 2)(2-=x x f 的最小正周期为；单调递减区间为． 11．如图是甲、乙两班同学身高（单位：cm ）数据的茎叶图，则甲班同学身高的中位数为；若从乙班身高不低于170cm 的同学中随机抽取两名，则身高为173cm 的同学被抽中的概率为．甲班乙班2 18 19 9 1 0 17 0 3 6 8 9 8 8 3 2 16 2 5 8 8 15 912．已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，2=PA ．AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，1=PB ，则圆O 的半径=R ．13．已知抛物线)0(22>=p px y 与双曲线12222=-by a x 有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为．14注：加满油后已行驶距离加满油后已用油量油耗=，当前油耗汽车剩余油量可继续行驶距离=，指定时间内的行驶距离指定时间内的用油量平均油耗=．从以上信息可以推断在10：00—11：00这一小时内（填上所有正确判断的序号）． ① 行驶了80公里； ② 行驶不足80公里；③ 平均油耗超过9.6升/100公里； ④ 平均油耗恰为9.6升/100公里； ⑤ 平均车速超过80公里/小时．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，c b a 、、分别为角C B A 、、所对的三边，已知222+c b a bc -=．（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a =cos 3C =，求c 的长． 16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且2P A A D ==，,,E F H分别是线段,,PA PD AB 的中点．（Ⅰ）求证：PB //平面EFH ；（Ⅱ）求证：PD ⊥平面AHF ；（Ⅲ）求二面角H EF A --的大小．17．（本小题满分13分）为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下（Ⅰ）从这18名队员中随机选出两名，求两人来自同一支队的概率；（Ⅱ）中国女排奋力拼搏，战胜韩国队获得冠军．若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列，及数学期望ξE ．[来源:学科网][来源:学。

2011-2013年北京各城区一模二模真题--导数试题汇编

姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●2011-2013年北京各城区一模二模真题（含答案）导数-试题分类汇编△注意事项：1.本试题来自2011至2013年北京市各城区一模二模真题进行的分类汇编2.试题涵盖所有高考必考点，适合学生针对性的训练。

3.本文档最后几页为答案4.本系列试题涵盖高考所有学科一、选择题（本大题共1小题，每小题5分，共5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1.（2013北京海淀区高三一模数学(文)）已知曲线在点处的切线经过点，则的值为Ａ. B. C. D.二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 2.（2012北京海淀区高三二模数学(文)）某同学为研究函数22()11(1)(01)f x x x x 的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CPx s ，则()APPF f x .请你参考这些信息，推知函数()f x 的极值点是；函数()f x 的值域是 . 3.（2012北京海淀区高三一模数学(文)）设某商品的需求函数为1005QP ，其中,Q P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQEP 大于1（其中'EQ Q P EP Q，'Q 是Q 的导数），则商品价格P 的取值范围是 .三、解答题（本大题共33小题，共429分） 4.（2011北京丰台区高三二模数学(文)）已知函数21(),(0)2af x x a x=+≠． ()ln f x x =00(,())x f x (0,1)-0x 1e 1e 10姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●（Ⅰ）当1x =时函数()y f x =取得极小值，求a 的值；（Ⅱ）求函数()y f x =的单调区间． 5.（2011北京朝阳区高三二模数学(文)）已知函数()xf x e ax =-，a ∈R . （Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当[0,)x ∈+∞时，都有()0f x ≥成立，求实数的取值范围.6.（2011北京海淀区高三二模数学(文)）已知函数321().3f x x ax bx =-+ (,)a b ∈R （I ）若'(0)'(2)1f f ==，求函数()f x 的解析式；（II ）若2b a =+，且()f x 在区间(0,1)上单调递增，求实数a 的取值范围.7.（2011北京西城区高三二模数学(文)）设函数()e xf x =，其中e 为自然对数的底数. （Ⅰ）求函数()()eg x f x x =-的单调区间；（Ⅱ）记曲线()y f x =在点00(,())P x f x （其中00x <）处的切线为l ，l 与x 轴、y 轴所围成的三角形面积为S ，求S 的最大值. 8.（2011北京东城区高三二模数学(文)）已知函数x a x x f ln )(2-=(R a ∈)．（Ⅰ）若2=a ，求证：)(x f 在(1,)+∞上是增函数；（Ⅱ）求)(x f 在[1,)+∞上的最小值．9.（2011北京石景山高三一模数学(文)）已知函数 (Ⅰ)若的解析式;(Ⅱ)若函数在其定义域内为增函数,求实数的取值范围.)(x f a ()2ln .kf x kx x x=--(2)0,()f y f x '==求函数()f x k姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●10.（2011北京丰台区高三一模数学(文)）已知函数32()4f x x ax bx =+++在(,0)-∞上是增函数，在(0,1)上是减函数．（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）当0x ≥时，曲线()y f x =总在直线24y a x =-上方，求a 的取值范围．11.（2011北京朝阳区高三一模数学(文)）已知函数2()ln f x a x x=+，. （Ⅰ）若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值；（Ⅱ）求函数在区间(0, e]上的最小值.12.（2011北京海淀区高三一模数学(文)）已知函数1()ln (0,)f x a x a a x=+≠∈ R （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；(II) 若在区间[1,e]上至少存在一点0x ，使得0()0f x <成立，求实数a 的取值范围. 13.（2011北京西城区高三一模数学(文)）已知抛物线的焦点为，直线过点. （Ⅰ）若点到直线的斜率；（Ⅱ）设为抛物线上两点，且不与轴重合，若线段的垂直平分线恰过点，求证：线段中点的横坐标为定值.14.（2011北京西城区高三一模数学(文)）已知函数. （Ⅰ）求函数的极值点；（Ⅱ）若直线过点，并且与曲线相切，求直线的方程；（Ⅲ）设函数，其中，求函数在区间上的最小值.a ∈R ()y f x =(1,(1))P f 2y x =+a ()f x 24y x =F l (4,0)M F l l ,A B AB x AB M AB ()ln f x x x =()f x l (0,1)-()y f x =l ()()(1)g x f x a x =--a R ∈()g x [1,e]姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●（其中为自然对数的底数）15.（2011北京东城区高三一模数学(文)）已知函数32()f x x ax x c =+-+，且2'()3a f =．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅲ）设函数，若函数在]2,3[-∈x 上单调递增，求实数c 的取值范围．16.（2012北京朝阳区高三二模数学(文)）设函数22()ln (0)a f x a x a x=+≠. （Ⅰ）已知曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线l 的斜率为23a -，求实数a 的值；（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个x ，都有()3f x x ≥-．17.（2012北京海淀区高三二模数学(文)）已知函数22()3x af x x a+=+（0a ≠，a ∈R ）. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =时，若对任意12,[3,)x x ∈-+∞，有12()()f x f x m -≤成立，求实数m 的最小值.18.（2012北京西城区高三二模数学(文)）已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（Ⅱ）求)(x f 的单调区间．19.（2012北京东城区高三二模数学(文)）e xe x xf xg ⋅-=])([)(3)(x g姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●已知函数21()2e 2x f x x x a =-+-. （Ⅰ）若1a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（Ⅱ）若)(x f 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围.20.（2012北京石景山高三一模数学(文)）已知函数2()2ln f x x a x =+.（Ⅰ）若函数()f x 的图象在(2,(2))f 处的切线斜率为1，求实数a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数2()()g x f x x=+在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围. 21.（2012北京丰台区高三一模数学(文)）已知函数321()13f x x ax =-+ ()a R ∈．（Ⅰ）若曲线y =f (x )在(1，f (1))处的切线与直线x +y +1=0平行，求a 的值；（Ⅱ）若a >0，函数y =f (x )在区间(a ，a 2-3)上存在极值，求a 的取值范围；（Ⅲ）若a >2，求证：函数y =f (x )在(0，2)上恰有一个零点．22.（2012北京朝阳区高三一模数学(文)）已知函数()2()1e x f x ax =-⋅,a ∈R .（Ⅰ）若函数()f x 在1x =时取得极值，求a 的值；（Ⅱ）当0a ≤时，求函数()f x 的单调区间.23.（2012北京海淀区高三一模数学(文)）已知函数211()ln (0)22f x a x x a a =-+∈≠且R . （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≤？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●24.（2012北京西城区高三一模数学(文)）如图，抛物线29y x =-+与x 轴交于两点,A B ，点,C D 在抛物线上（点C 在第一象限），CD ∥AB ．记||2CD x =，梯形ABCD 面积为S ．（Ⅰ）求面积S 以x 为自变量的函数式；（Ⅱ）若||||CD k AB ≤，其中k 为常数，且01k <<，求S 的最大值．25.（2012北京东城区高三一模数学(文)）已知1=x 是函数()(2)e xf x ax =-的一个极值点．(a ∈R ) （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）当1x ，[]20,2x ∈时，证明：12()()e f x f x -≤． 26.（2013北京石景山区高三一模数学(文)）已知函数x ax x f ln 1)(--=,. （Ⅰ）讨论函数的单调区间；（Ⅱ）若函数)(x f 在1=x 处取得极值，对x ∀∈(0,)+∞,2)(-≥bx x f 恒成立，求实数b 的取值范围.27.（2013北京丰台区高三一模数学(文)）已知函数1()f x x a=+，2()3g x bx x =+. (1)设函数()()()h x f x g x =-，且'(1)(1)0h h ==求a ,b 的值； (2)当a =2且b =4时，求函数()()()g x x f x ϕ=的单调区间，并求该函数在区间（-2，m] （124m -<≤）上的最大值。

北京市十一学校2011届高三数学月考试题理(2011.2.13)

北京市十一学校2011届高三数学练习（理）命题人：李锦旭 2011．2．13第Ⅰ卷一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知x y R ∈，，i 为虚数单位，且()112x y i i +-=+，则复数()1x yi ++所对应点的位置为（）A ．实轴正半轴上B ．实轴负半轴上C ．虚轴正半轴上D ．虚轴负半轴上2．已知条件()2:14p x +>；条件:q x a >；且p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（）A ．1a ≥B ．1a ≤C ．3a ≥-D ．3a ≤-3．要从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，若按性别依此比例分层抽样且某男生担任队长，则不同的抽样方法数是（） A ． 2539CCB ． 25310C C C ． 25310AAD ． 25410CC4．已知m n ，为两条不同的直线，αβ，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（） A ．//////m n m n ααββαβ⊂⊂⇒，，， B ．//m m n n αα⇒⊥，⊥ C ．////m n m n αβαβ⊂⊂⇒，， D ．//n m n m αα⇒，⊥⊥5．若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上，则p 的值为（）A ． 2B ． 3C ． 4D ．6．类似于十进制中逢10进1，十二进制的进位原则是逢12进1，采用数字0，1，2…，9和字母M 、N 共12个计数符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表：例如，由于563312101211=⨯+⨯+，所以，十进制中563在十二进制中就被表示为3MN ．那么，十进制中的2011在十二进制被表示为（）A ．1N27B ．11N5C ．12N5D ．11N77．如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD xAB yAC =+，则x y +的值为（）A ． 2B ． 1C ． 1+D ． 2+ 8．在一次学科内研究性学习课上，老师给出问题：研究函数()222x xaf x +=（其中a 为非零实数）的性质．随机选择5位同学得到的结果如下： ①当0a >时，()f x 在定义域上为单调函数；②当1a =-时，函数()f x 的图象的关于原点中心对称； ③对于任意的0a >，函数()f x 均能取到最小值为 ④对于任意的0a >，函数()f x 为偶函数；⑤当1a =时，对于满足121201,,x x x x <<<的所有总有()()()21213ln 22f x f x x x -<-．其中所有正确结果的序号为（）A ．①②③B ．③④⑤C ． ②③D ． ②③⑤第Ⅱ卷二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上．9． 52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数为（用具体数字作答）．10．设变力()F x 作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从2x π=运动到2x π=，已知()sin F x x x =+，且变力F 的方向与x 轴正向相同，则力()F x 对质点M 所做的功为11．设D 是不等式组21023041x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎨≤≤⎪⎪≥⎩表示的平面区域，则D 中的点()P x y ，到直线10x y +=距离的最大值是．12．如图，已知PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PC 交⊙O 于B 、C 两点，2PB =，6BC =，AB =则PA 的长为__ _ ，ACB ∠的大小为___ _．PAx13．在直角坐标系x O y 中，直线L 的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系x O y 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为2sin ρθ=．（1）圆C 的直角坐标方程为；（2）设圆C 与直线L 交于两点A 、B ，若点P 的直角坐标为)，则∣PA ∣+∣PB ∣的值为．14．如图，在三棱锥O ABC -中，三条棱OA 、OB 、OC 两两垂直，且OA >OB >OC ，分别经过三条棱OA ，OB ，OC 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为1S ，2S ，3S ，则将1S ，2S ，3S 按从小到大顺序排列为．三．解答题（要求写出必要的解题步骤，共80分）15．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，数列{}n b 满足121n n b b +=-，且12b =．（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）假设数列{}n c 的前n 项和n T ，且21log n n nc a b =⋅，证明：1n T <．16．（本小题满分13分）如图A B ，是单位圆O 上的动点，且A B ，分别在第一，二象限．C 是圆与x 轴正半轴的交点，AOB ∆为正三角形．若A 点的坐标为()x y ，，记α=∠COA （Ⅰ）若A 点的坐标为34 55⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求αααα2cos cos 2sin sin 22++的值；（Ⅱ）求2||BC 的取值范围．17．（本小题满分13分）甲、乙两位同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取5次，绘制成茎叶图如下：（Ⅰ）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由；（Ⅱ）若将频率视为概率，对乙同学在今后的3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为X ，求X 的分布列及数学期望EX ．18．（本小题满分13分）已知四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是正方形，且⊥PD 底面ABCD ，其中E 为PA 的中点，1PD AD ==．（Ⅰ）求证：PB DE ⊥；（Ⅱ）求二面角D PB A --的大小；（Ⅲ）线段PB 上是否存在一点M ，使⊥PC 平面ADM ，若存在，试确定M 点的位置；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分14分）如图，椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，12,F F 分别是椭圆C 的左、右焦点，M 是椭圆短轴的一个端点，过1F 的直线l 与椭圆交于,A B两点，12MFF ∆的面积为4，2ABF ∆的周长为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点Q 的坐标为()1 0，，是否存在椭圆上的点P 及以Q 为圆心的一个圆，使得该圆与直线12,PF PF 都相切，如存在，求出P 点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）设)(x f 是定义在区间),1(+∞数a 和函数)(x h ，其中)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有0)(>x h ，使得)1)(()('2+-=ax x x h x f ，则称函数)(x f 具有性质)(a P ．（Ⅰ）设函数)(x f )1(12ln >+++=x x b x ，其中b 为实数．（i ）求证：函数)(x f 具有性质)(b P ；（ii ）求函数)(x f 的单调区间．（Ⅱ）已知函数)(x g 具有性质)2(P ．给定,),,1(,2121x x x x <+∞∈设m 为实数，21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，且1α>，1β>若<-|)()(|βαg g |)()(|21x g x g -，求m 的取值范围．北京市十一学校2011届高三数学练习（理） 2011．02．13命题人：李锦旭9．___________ ；10．____________ ； 11．__________；12．_______；_____；13．_________ _；______； 14． ________ _．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请将解答写在规定的区域内，在其他区域内答题无效）班姓学17．（本小题满分14分）18．（本小题满分14分）北京市十一学校2011届高三数学练习（理）参考答案班级姓学1．B 【解析】由复数相等的定义可得x=3，y=1，于是(1)4x y i ++=-，对应点在实轴负半轴上，选B ．2．A 【解析】p ⌝：13≤≤-x ，q ⌝：a x ≤；p ⌝⇒q ⌝但反之不然！即q ⌝p ，结合数轴得1a ≥，故选A ． 3． A 4． D 5． C6．D 【解析】32201111211211127=⨯+⨯+⨯+，故表示成十二进制为11N7，选D ．7． B 【分析】可考虑分析图形特征，确定基底,AB AC 并将AD 向,AB AC方向来分解：作DF AB ⊥，设1AB AC BC DE ==⇒==60DEB ∠=，BD ∴=由45DBF ∠=解得2DF BF ===故1x =+y =8．D 【解析】x xa x f 22)(+=，令xx a 22=得2log 2=x ，增区间为),(log 2+∞a ，减区间为)log ,(2a -∞，不能说“在定义域上为单调函数”，故①错；当1a =-时xx x f --=22)(为奇函数，故②对；对于任意的a R +∈，函数()f x a ax x222≥+=，取到最小值a x axx 2log 22=⇒=，故③对；易知只有a=1时为偶函数，故④错；当1a =时，对于满足121201,,x x x x <<<的所有有2ln 23)1()()()(1212='<'≤--f x f x x x f x f ，故“21213()()ln 2()2f x f x x x -<-总有．”成立，⑤对．也可用结论)1,0(),(),()()(211212⊂∈'=--x x f x x x f x f ξξ，而.2ln 232ln )22(2ln )22()(1=-<-='--ξξξf 9． -10【解析】令1=x 得562222221210=⇒=-=+++=++++n a a a n n n ，故52()x x -的展开式通项为5521552()(2)r r r r r rr T C x C x x--+=-=-，令r=1即得．10．21518π-【解析】变力F 所做功222222115(sin )(cos )| 1.28W x x dx x x πππππ=+=-=-⎰11． 12． 4 ，30 ． 13． 22(1)1x y +-=， 3 14． 321S S S <<【解析】设,,()OA a OB b OC c a b c ===>>，过棱OA 且平分三棱锥的体积的截面交侧面OBC 于OD ，是Rt BOC ∆斜边BC 的中线，故1111()224S OA BC == ，同理可得231144S S ==结合a b c >>，易得321S S S <<．三、解答题： 15．本小题满分13分解：（Ⅰ）当1n =时，112a S ==当2212,[(1)(1)]2n n n n a S S n n n n n -≥=-=+--+-=时，所以，2n a n = ……………………………………3分由121n n b b +=-得：112(1),n n b b +-=-所以，{}1n b -是以111b -=为首项，2为公比的等比数列．所以，1111(1)22n n n b b ---=-= ，所以，121n n b -=+ …………………6分（Ⅱ）证明：当1n =时，11012121111log 2log (21)2T c a b ====<⋅+ …………………7分当2n ≥时，12211log 2log (21)n n n n c a b n -==⋅+ 12112log 22(1)n n n n -<=-111()21n n =-- …………………10分故11111222132(1)n T n n ⎛⎫<++++ ⎪⨯⨯-⎝⎭… 1111111(1)()()222231n n ⎛⎫=+-+-++- ⎪-⎝⎭ (11111112222)n ⎛⎫=+-<+= ⎪⎝⎭ 综上，1n T <成立． ……………………………………13分 16．本小题满分13分解：（1）因为A 点的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，根据三角函数定义可知，40,sin 25παα<<=，得3cos 5α=， …………………2分∴22sin sin 2cos cos 2αααα++＝22sin 2sin cos 203cos 1αααα+=-…………………5分（Ⅱ）因为060AOB ∠=，所以cos COB ∠=0cos(60)COA ∠+=)60cos(+α …………………6分所以由余弦定理得222||||||2||||cos BC OC OB OC OB BOC =+-∠=)3cos(22πα+-…………………9分ππαππαπ6532,26<+<∴<< ，2cos )3cos(65cos ππαπ<+<∴，即cos()023πα-<+<， …………………11分23||22+<<∴BC ，…………………13分 17．本小题满分13分【解答】由茎叶图知甲乙两同学的成绩分别为：甲：82 81 79 88 80 乙：85 77 83 80 85 （Ⅰ）派乙参赛比较合适， ……………………………………1分理由如下：甲的平均分82x =甲，乙的平均分82x =乙，甲乙平均分相同；………………………3分又甲的标准差的平方（即方差）210S =甲，乙的方差29.6S =乙，22S S>乙甲；……………………………………5分甲乙平均分相同，但乙的成绩比甲稳定，∴派乙去比较合适；……………………………………6分（Ⅱ）记乙同学在一次数学竞赛中成绩高于80分为事件A ，有3()5P A =， ……………………………………7分X 可能取值为：0，1，2，3， ……………………………………8分其分布列为：X 0 1 23P812536125 54125 27125……………………………………12分∴8365627901231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．…………………………………13分或直接使用下法：X 服从二项分布3(3,)5B ，故EX np =95=．【注】本题第（Ⅰ）小题的结论唯一但理由不唯一，只要考生从统计学的角度给出其合理解答即可得分．如还可有如下解释：法2 从统计学的角度看，甲获得85分以上（含85分）的概率115P =，乙获得85分以上（含85分）的概率225P =，甲的平均分82x =甲，乙的平均分82x =乙，平均分相同； ∴派乙去比较合适．法3 若从学生得82分以上（含82分）去分析：甲获得82分以上（含82分）的概率125P =，乙获得82分以上（含82分）的概率235P =，甲的平均分82x =甲，乙的平均分82x =乙，平均分相同；∴派乙去比较合适． 18．本小题满分13分解法一：（Ⅰ）因为⊥PD 底面ABCD ，又AB ⊂平面ABCD ，所以AB PD ⊥；因为ABCD 是正方形，所以AB CD ⊥，又PD AD D = ，所以AB ⊥平面PAD ．在PDA ∆中，因为PD AD =，E 为PA 的中点，所以PA ED ⊥，由根据三垂线定理可得知：PB DE ⊥…………………………4分（Ⅱ）设AC 交BD 于点O ，因为BD AC ⊥，PD AC ⊥，所以⊥AC 平面PBD ．作F PB OF 于点⊥，连结AF ，则PB AF ⊥，所以OFA ∠是二面角D PB A --的平面角由已知得，1,PA AB PB ==所以3PA AB AF PB ⋅==，所以sin 23==∠AF AO OFA ，所以060=∠OFA ，所以二面角D PB A --的大小为060．…………………………………8分（Ⅲ）当M 是PB 中点时，有⊥PC 平面ADM ．……………9分证明：取PC 的中点,H 连结MH 、DH ，则//MH BC ，所以//MH AD ，故平面ADM 即平面ADHM ．所以CD AD ⊥，所以PC AD ⊥，又PC DH PC ⊥⊥因为，所以平面ADHM ，PC ⊥所以ADM 平面．……………………………………13分解法二：以D 为原点，以DA 、DC 、DP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则)0,0,0(D ，(0,0,1)P ，(1,1,0)B ，(1,0,0)A ，(0,1,0)C （Ⅰ）11(,0,)22DE = ，(1,1,1)PB =-，所以1111(1,1,1)(,0,)02222PB DE ⋅=-⋅=-=所以PB DE ⊥，即PB DE ⊥（Ⅱ）(0,0,1)DP = ，(1,1,1)PB =- ， (0,1,0)AB =，设平面PBD 的一个法向量为),,(1111z y x n =，则11110,0z x y z =⎧⎨+-=⎩ 取)0,1,1(1-=n ．设平面PBA 的一个法向量为),,(2222z y x n =，则22220,x y z y +-=⎧⎨=⎩ 取)1,0,1(2=n ．所以21,cos 21>=<n n ，所以二面角D PB A --的大小为060．（Ⅲ）令(01),PM PB λλ=<< 则(,,),(1,0,1),PM AP λλλ=-=-AM = 所以P M A P + =(1,,1),λλλ--(0,1,1)PC =-由已知，AD PC ⊥，要使⊥PC 平面ADM ，只须AM PC ⊥，即0,AM PC ⋅= 则有(1)0λλ--=，得21=λ，所以当M 是PB 中点时，有⊥PC 平面ADM ． 19．解：（Ⅰ）由题意知：,4,4221==⨯⨯bc b c 22,284==a a ，解得 2==c b∴ 椭圆的方程为14822=+y x ………………………… 6分（Ⅱ）假设存在椭圆上的一点),(00y x P ，使得直线21,PF PF 与以Q 为圆心的圆相切，则Q 到直线21,PF PF 的距离相等，)0,2(),0,2(21F F -1PF ： 02)2(000=+--y x y y x2PF ： 02)2(000=--+y x y y x …………………… 8分2220022001)2(|3|)2(||d y x y y x y d =++=+-=………… 9分化简整理得： 0832********=++-y x x …………… 10分 ∵ 点在椭圆上，∴ 822020=+y x解得：20=x 或 80=x （舍） ………………………… 13分20=x 时，20±=y ，1=r ，∴ 椭圆上存在点P ，其坐标为)2,2(或)2,2(-，使得直线21,PF PF 与以Q 为圆心的圆1)1(22=+-y x 相切… ……………… 14分 20．本小题满分14分解：（1）（i ）由,12ln )(+++=x b x x f 得⋅++-='22)1(1)(x x bx x x f 因为1>x 时，,0)1(1)(2>+=x x x h 所以函数)(x f 具有性质)(b P ．……………………………………2分（ii ）当2≤b 时，由1>x 得,0)1(121222>-=+-≥+-x x x bx x 所以,0)(>'x f 从而函数)(x f 在区间),1(+∞上单调递增．……………………………………4分当2>b 时，解方程012=+-bx x ，得24,242221-+=--=b b x b b x ．因为124,12422422221>-+=<<-+=--=b b x b b b b b x 所以当),1(2x x ∈时，0)(<'x f ；当),(2+∞∈x x 时．0)(>'x f ；当2x x =时=')(x f 0．从而函数)(x f 在区间),1(2x 上单调递减，在区间),(2+∞x 上单调递增．……………………………………8分综上所述，当2≤b 时，函数)(x f 的单调增区间为),1(+∞；当2>b 时，函数)(x f 的单调减区间为),24,1(-+b b 单调增区间为).,24(2+∞-+b b ……………………………………9分（2）由题设知，)(x g 的导函数),12)(()(2+-='x x x h x g 其中函数0)(>x h 对于任意的),1(+∞∈x 都成立，所以，当1>x 时，,0)1)(()(2>-='x x h x g 从而)(x g 在区间),1(+∞上单调递增．……………………………………10分 ①当∈m （0，1）时，有,)1()1(11121x x m mx x m mx =-+>-+=α222)1(x x m mx =-+<α，得),(21x x ∈α，同理可得),(21x x ∈β，所以由)(x g 的单调性知))(),(()(),(21x g x g g g ∈βα，从而有<-|)()(|βαg g |)()(|21x g x g -，符合题设．……………………………………11分 ②当0≤m 时，有,)1()1(22221x x m mx x m mx =-+≥-+=α11121)1()1(x mx x m mx x m =+-≤+-=ββ，于是1,1>>βα及)(x g 的单调性知)()()()(21αβg x g x g g ≤<≤，所以≥-|)()(|βαg g |)()(|21x g x g -，与题设不符……………………………………12分 ③当1≥m 时，同理可得21,x x ≥≤βα，进而得≥-|)()(|βαg g |)()(|21x g x g -，与题设不符． ……………………………………13分因此，综合①②③得所求的m 的取值范围为（0，1）．……………………………………14分。

北京市十一学校2011届高三12月月考数学试卷(理科)

北京市十一学校2011届高三12月月考数学试卷（理5—16班）命题人：贺思轩 2010．12．2一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

请将答案直接填在答题纸对应题号后的空格内1、设全集U=R ，集合}02|{2<-=x x x A ，103x B x x ⎧-⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则集合A ðU B=（）A ．}10|{<<x xB ．}10|{≤<x xC ．}20|{<<x xD ．}1|{≤x x2、等差数列{}n a 中，n S 是前n 项的和，若205=S ，则=++432a a a （） A ． 9 B ． 12 C ． 15 D ． 183、在ABC ∆中，如果sin A C =，30B=，那么角A 等于（） A ．30B ．45C ．60D ．1204、若向量a ，b 满足||||1a b ==，且a ·b +b ·b =23，则向量a ，b 的夹角为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5、一组合体三视图如右，正视图中正方形边长为2，俯视图为正三角形及内切圆，则该组合体体积为（） A ．B ．43π CD ．43π6、已知直线a 、b 和平面α、β，下面命题中的假命题是（）A ．若//a β，//αβ，a α⊄，则//a αB ．若//a β，//b α，//αβ，则//a bC ．若a α⊥，//b β，//αβ，则a b ⊥D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥ 7、若椭圆或双曲线上存在点P ，使得点P 到两个焦点的距离之比为2：1，则称此椭圆或双曲线存在“F 点”，下列曲线中存在“F 点”的是（） A ． 122=-y xB ．1242522=+y x C ．11522=-y x D ．1151622=+y x 8、给出如下四个命题：①四个非零实数a 、b 、c 、d 依次成等比数列的充要条件是ad bc =；②设a ，b R ∈，且0ab ≠，若1a b <，则1ba>；③若()2log f x x =，则()f x 是偶函数；④若直线y x a =+与曲线2194x x y ⋅-=有两个交点，则a =错误命题个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案直接填在答题纸对应题号后的横线上。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学测试题（理工类） 2011.4

（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题共40分）注意事项： 1．答第一部分前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上.考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回. 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1．若集合2{|, }MyyxxR，{|2, }NyyxxR，则MNI等于

（A）0, （B）(,) （C） （D）{(2, 4)，(1, 1)} 2．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是（A）8，8 （B）10，6 （C）9，7 （D）12，4

3．极坐标方程4cos化为直角坐标方程是（A）22(2)4xy （B）224xy （C）22(2)4xy （D）22(1)(1)4xy

4．已知{}na是由正数组成的等比数列，nS表示{}na的前n项的和．若13a，24144aa，则10S的值是（A）511 （B） 1023 （C）1533 （D）3069 5．函数)2(cos2xy的单调增区间是（A）π(π, π)2kk kZ （B）π(π, ππ)2kk kZ （C）(2π, π2π)kkkZ （D）(2ππ, 2π2π)kkkZ

6．已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于

（A）612 （B）33

（C）64 （D）233

7．如图，双曲线的中心在坐标原点O，, AC 分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D.若双曲线的离心率

为2，则BDF的余弦值是

（A）77 （B）577

（C） 714 （D）5714 8．定义区间(, )ab，[, )ab，(, ]ab，[, ]ab的长度均为dba，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如, (1, 2)[3, 5)的长度(21)(53)3d. 用[]x表示不超过x的最大整数，记{}[]xxx，其中xR. 设()[]{}fxxx，()1gxx，若用123,,ddd分别表示不等式()()fxgx，方程()()fxgx，不等式()()fxgx解集区间的长度，则当02011x≤≤时，有（A）1231, 2, 2008ddd （B）1231, 1, 2009ddd

（C）1233, 5, 2003ddd （D）1232, 3, 2006ddd

侧视图正视图 1 俯视图

x y

O C B A F

D 第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．复数13iz，21iz，则12zz等于 .

10．在二项式6(2)x的展开式中，第四项的系数是 . 11．如右图，在三角形ABC中，D，E分别为BC，AC的中点，F为AB上的点，且B4AAF. 若ADxAFyAE ，则实数x ，实数y .

12．执行右图所示的程序框图，若输入5.2x，则输出y的值为．

13．如下图，在圆内接四边形ABCD中, 对角线, ACBD相交于点E．已知23BCCD，2AEEC，30CBD，则CAB ，AC的长是．

A B

C D E

· F

开始

输入x

是 ?i≥5 输出y 结束

xy |2|yx 否

0, 0yi

1ii 14．对于各数互不相等的整数数组),,,,(321niiii (n是不小于3的正整数)，对于任意的

,{1,2,3,,}pqn，当qp时有qpii，则称pi，qi是该数组的一个“逆序”，一

个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于；若数组123(,,,,)niiii中的逆序数为n，则数组11(,,,)nniii



中

的逆序数为 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分）

在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知3cos24C. （Ⅰ）求sinC；（Ⅱ）当2ca，且37b时，求a.

16．（本小题满分13分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，且//ADBC，

90ABCPAD，侧面PAD底面ABCD. 若12PAABBCAD.

（Ⅰ）求证：CD平面PAC；（Ⅱ）侧棱PA上是否存在点E，使得//BE平面PCD？若存在，指出点E 的位置并证明，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求二面角APDC的余弦值.

17．（本小题满分13分）在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个

球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是23．（Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望；（Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？

A B

C D 18．（本小题满分13分）已知函数2()ln20)fxaxax (.

（Ⅰ）若曲线()yfx在点(1,(1))Pf处的切线与直线2yx垂直，求函数()yfx的单调区间；（Ⅱ）若对于(0,)x都有()2(1)fxa成立，试求a的取值范围；

（Ⅲ）记()()()gxfxxbbR .当1a时，函数()gx在区间1[, ]ee上有两个零点，求实数b的取值范围.

19．（本小题满分14分）已知(2, 0)A，(2, 0)B为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于

A，B的动点，且APB面积的最大值为23．

（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD 为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．

20．（本小题满分14分）有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为

mka(,1,2,3,,, 3mknn≥，公差为md，并且123,,,,nnnnnaaaa成等差数列．

（Ⅰ）证明1122mdpdpd （3mn≤≤，12,pp是m的多项式），并求12pp的值；（Ⅱ）当121, 3dd时，将数列{}md分组如下： 123456789(), (,,), (,,,,),ddddddddd(每组数的个数构成等差数列)．

设前m组中所有数之和为4()(0)mmcc，求数列{2}mcmd的前n项和nS．（Ⅲ）设N是不超过20的正整数，当nN时，对于（Ⅱ）中的nS，求使得不等式 1(6)50nnSd成立的所有N的值．北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学测试题答案（理工类） 2011.4 一、选择题: 题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案 A C A D A B C B

二、填空题: 题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）

答案 1+2i 160 2 1 0.8 30 6 4

232nn

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由已知可得2312sin4C.所以27sin8C. 因为在ABC中，sin0C，

所以14sin4C. „„„„„„„„„„„„„„6分

（Ⅱ）因为2ca，所以114sinsin28AC. 因为ABC是锐角三角形，所以2cos4C，52cos8A. 所以sinsin()BACsincoscossinACAC 1425214848437

8.

由正弦定理可得：37sinsinaBA，所以14a. „„„„„„„„„„13分 16．（本小题满分13分）解法一：

（Ⅰ）因为 90PAD，所以PAAD. 又因为侧面PAD底面ABCD，且侧面PAD底面ABCDAD，