专题检测(一) 集合与常用逻辑用语

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专题检测（一） 集合与常用逻辑用语
一、选择题
1．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)·(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝( )
A．{1} B．{1,2}
C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
解析：选C 因为B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1所以A∪B＝{0,1,2,3}．
2．(2017·成都一诊)命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是( )
A．若a≤b，则a＋c≤b＋c B．若a＋c≤b＋c，则a≤b
C．若a＋c>b＋c，则a>b D．若a>b，则a＋c≤b＋c
解析：选A 命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题
为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”．
3．(2017·广西三市第一次联考)设集合A＝{x|8＋2x－x2>0}，集合B＝{x|x＝2n－1，n
∈N*}，则A∩B等于( )
A．{－1,1} B．{－1,3}
C．{1,3} D．{3,1，－1}
解析：选C ∵A＝{x|－2∴A∩B＝{1,3}．

4．(2017·郑州第二次质量预测)已知集合A＝{x|log2x≤1}，B＝x 1x>1，则A∩(∁RB)
＝( )
A．(－∞，2] B．(0,1]
C．[1,2] D．(2，＋∞)
解析：选C 因为A＝{x|0或x≥1}＝{x|1≤x≤2}．
5．(2017·北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”
的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A ∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.
∴当λ<0，n≠0时，m·n<0.

反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0⇔cos〈m，n〉<0⇔〈m，n〉∈π2，π，
当〈m，n〉∈π2，π时，m，n不共线．
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故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．
6．(2018届高三·湘中名校联考)已知集合A＝{x|x2－11x－12＜0}，B＝{x|x＝2(3n＋1)，
n∈Z}，则A∩B等于( )
A．{2} B．{2,8}
C．{4,10} D．{2,4,8,10}
解析：选B 因为集合A＝{x|x2－11x－12＜0}＝{x|－1＜x＜12}，集合B为被6整除余
数为2的数．又集合A中的整数有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11，故被6整除余数为2的数有2
和8，所以A∩B＝{2,8}．
7．(2017·石家庄调研)设全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|(x＋2)(x－1)<0}，则( )
A．A∩B＝∅ B．A∪B＝U
C．∁UB⊆A D．∁UA⊆B
解析：选A 由(x＋2)(x－1)<0，解得－2∪B＝{x|x>－2}，∁UB＝{x|x≥1或x≤－2}，A⊆∁UB，∁UA＝{x|x<1}，B⊆∁UA，故选A.

8．若x∈A，则1x∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝




－1，0，13，12，1，2，3，4

的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为( )
A．15 B．16
C．28 D．25
解析：选A 本题关键看清－1和1本身也具备这种运算，这样所求集合即由－1,1,3

和13，2和12这“四大”元素所能组成的集合．所以满足条件的集合的个数为24－1＝15.

9．(2017·郑州第一次质量预测)已知命题p：1a>14，命题q：∀x∈R，ax2＋ax＋1>0，则
p成立是q成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 命题p等价于00，必有a＝0或






a>0，
a2－4a<0，
则0≤a<4，所以命题p是命题q的充分不必要条件．

10．已知f(x)＝3sin x－πx，命题p：∀x∈0，π2，f(x)<0，则( )
A．p是假命题，綈p：∀x∈0，π2，f(x)≥0

B．p是假命题，綈p：∃x0∈0，π2，f(x0)≥0
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C．p是真命题，綈p：∃x0∈0，π2，f(x0)≥0
D．p是真命题，綈p：∀x∈0，π2，f(x)>0
解析：选C 因为f′(x)＝3cos x－π，所以当x∈0，π2
时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，即对∀x∈0，π2，f(x)真命题．而p的否定为∃x0∈0，π2，f(x0)≥0，故选C.
11．已知命题p：函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点；命题q：函数y＝x
2－a

在(0，＋∞)上是减函数．若p且綈q为真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(－∞，2]
C．(1,2] D．(－∞，1]∪(2，＋∞)
解析：选C 由题意可得，对命题p，令f(0)·f(1)<0，即－1·(2a－2)<0，得a>1；对命

题q，令2－a<0，即a>2，则綈q对应的a的范围是(－∞，2]．因为p且綈q为真命题，

所以实数a的取值范围是(1,2]．
12．在下列结论中，正确的个数是( )

①命题p：“∃x0∈R，x20－2≥0”的否定形式为綈p：“∀x∈R，x2－2<0”；

②O是△ABC所在平面上一点，若OA―→·OB―→＝OB―→·OC―→＝OC―→·OA―→，则O是△ABC的
垂心；

③“M>N”是“23M>23N”的充分不必要条件；
④命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 由特称(存在性)命题与全称命题的关系可知①正确．

∵OA―→·OB―→＝OB―→·OC―→，
∴OB―→·(OA―→－OC―→)＝0，即OB―→·CA―→＝0，
∴OB―→⊥CA―→.
同理可知OA―→⊥BC―→，OC―→⊥BA―→，故点O是△ABC的垂心，∴②正确．
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∵y＝23x是减函数，
∴当M >N时，23M<23N，当23M>23N时，M∴“M>N”是“23M>23N”的既不充分也不必要条件，∴③错误．
由逆否命题的写法可知，④正确．
∴正确的结论有3个．
二、填空题

13．设命题p：∀a>0，a≠1，函数f(x)＝ax－x－a有零点，则綈p：
________________________.
解析：全称命题的否定为特称(存在性)命题，綈p：∃a0>0，a0≠1，函数f(x)＝ax0－x

－a0没有零点．
答案：∃a0>0，a0≠1，函数f(x)＝ax0－x－a0没有零点

14．设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合M＝x，y y－3x－2＝1，P＝{(x，y)|y≠x
＋1}，则∁U(M∪P)＝________.
解析：集合M＝{(x，y)|y＝x＋1，且x≠2，y≠3}，
所以M∪P＝{(x，y)|x∈R，y∈R，且x≠2，y≠3}．
则∁U(M∪P)＝{(2,3)}．
答案：{(2,3)}

15．已知命题p：不等式xx－1＜0的解集为{x|0＜x＜1}；命题q：在△ABC中，“A＞B”
是“sin A＞sin B”成立的必要不充分条件．有下列四个结论：①p真q假；②“p∧q”为
真；③“p∨q”为真；④p假q真，其中正确结论的序号是________．
解析：解不等式知，命题p是真命题，在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的充
要条件，所以命题q是假命题，所以①③正确．
答案：①③
16．a，b，c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大，那么a的年龄最小”和命
题B：“如果c不是年龄最小，那么a的年龄最大”都是真命题，则a，b，c的年龄由小到
大依次是________．

解析：显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此我们应该从它们的逆否命题来
看．
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由命题A可知，当b不是最大时，则a是最小，所以c最大，即c>b>a；而它的逆否
命题也为真，即“若a的年龄不是最小，则b的年龄是最大”为真，即b>a>c.
同理，由命题B为真可得a>c>b或b>a>c.
故由A与B均为真可知b>a>c，所以a，b，c三人的年龄大小顺序是：b最大，a次之，
c最小．
答案：c，a，b