知识点——集合与常用逻辑用语教学提纲

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《第一章-集合与常用逻辑用语》大单元整体教学设计

《第一章-集合与常用逻辑用语》大单元整体教学设计

《第一章集合与常用逻辑用语》大单元整体教学设计一、内容分析与整合(一)教学内容分析《第一章集合与常用逻辑用语》是高中数学学习的起点,为学生后续学习函数、数列、不等式等数学内容提供了重要的逻辑基础。

本章内容主要分为五个部分:集合的概念、集合间的基本关系、集合的基本运算、充分条件与必要条件、以及全称量词与存在量词。

这些内容不仅在数学内部逻辑上紧密相连,而且在实际问题解决中也具有广泛的应用价值。

集合是现代数学的基本概念之一,它是描述事物群体及其相互关系的重要工具。

通过学习集合的概念,学生能够理解集合的确定性、互异性、无序性,并掌握集合的表示方法(如列举法、描述法等)。

集合的学习有助于学生形成分类讨论的数学思想,为后续学习打下坚实基础。

集合间的基本关系主要包括子集、真子集、相等关系等。

这些关系揭示了集合之间的层次结构和相互联系,是学习集合运算和逻辑推理的基础。

学生需要掌握判断集合间关系的方法,并能根据具体问题灵活应用。

集合的基本运算包括并集、交集、补集等。

这些运算是集合论中的重要内容,也是解决实际问题中常用的数学工具。

学生需要掌握集合运算的定义、性质及运算法则,并能够进行复杂的集合运算。

充分条件与必要条件是逻辑推理中的基本概念,它们描述了条件与结论之间的逻辑关系。

通过学习充分条件与必要条件,学生能够理解命题之间的逻辑关系,掌握推理的基本方法,提高逻辑思维能力。

全称量词与存在量词是数学语言中的重要组成部分,它们用于描述具有普遍性或特殊性的数学命题。

学生需要理解全称命题与特称命题的区别,掌握全称量词与存在量词的含义及用法,并能够运用量词进行逻辑推理和命题证明。

(二)单元内容分析本单元内容不仅涵盖了集合论和逻辑推理的基础知识,更在数学学科中占据着举足轻重的地位。

集合论,作为现代数学大厦的基石之一,为我们提供了一个描述和研究数学对象及其相互关系的强大框架。

它使我们能够更清晰地理解和表达数学中的基本概念,为深入学习更复杂的数学知识打下坚实的基础。

集合与常用逻辑用语.docx

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集合与常用逻辑用语第一节集合一、基础知识1.集合的有关概念(1)集合元素的三个特性:确定性、无序性、互异性.元素互异性,即集合中不能出现相同的元素,此性质常用于求解含参数的集合问题中.(2)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法.(3)元素与集合的两种关系:属于,记为∈ ;不属于,记为?.(4)五个特定的集合及其关系图:N *或 N +表示正整数集, N 表示自然数集,Z 表示整数集, Q 表示有理数集,R 表示实数集.2.集合间的基本关系(1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素,则称 A 是 B 的子集,记作 A? B(或 B? A).(2)真子集:如果集合 A 是集合 B 的子集,但集合 B 中至少有一个元素不属于A,则称A 是B 的真子集,记作 A B 或 B A.A? B,既要说明 A 中任何一个元素都属于B,也要说明 B 中存在一个元素不A B?A≠ B.属于 A.(3)集合相等:如果 A? B,并且 B? A,则 A= B.A? B,A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性, B 中任意一两集合相等: A= B?A? B.个元素也符合 A 中元素的特性.(4)空集:不含任何元素的集合.空集是任何集合 A 的子集,是任何非空集合 B 的真子集.记作 ?.?∈ { ?} ,?? { ?} , 0??, 0?{ ?},0 ∈ {0} ,?? {0} .3.集合间的基本运算(1)交集:一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,称为 A 与 B 交集,记作A∩ B,即 A∩ B= { x|x∈ A,且 x∈ B} .(2)并集:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合,称为 A 与 B 并集,记作A∪ B,即 A∪ B= { x|x∈ A,或 x∈ B} .(3)补集:对于一个集合A,由全集U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,简称为集合 A 的补集,记作?U A,即 ?U A= { x|x∈ U,且 x?A} .求集合 A 的补集的前提是“ A是全集U的子集”,集合A其实是给定的条件.从全集中取出集合 A 的全部元素,剩下的元素构成的集合即为?U A.的的U二、常用结论(1)子集的性质:A? A, ?? A, A∩ B? A, A∩B? B.(2)交集的性质:A∩A= A, A∩?= ?, A∩ B=B∩ A.(3)并集的性质:A∪B= B∪ A,A∪ B? A, A∪ B? B, A∪ A= A, A∪ ?= ?∪A= A.(4)补集的性质:A∪?U A=U, A∩ ?U A= ?,?U(?U A)= A, ?A A= ?, ?A?= A.(5)含有 n 个元素的集合共有2n个子集,其中有2n- 1 个真子集, 2n- 1 个非空子集.(6)等价关系: A∩ B= A? A? B; A∪ B= A? A? B.考点一集合的基本概念[典例 ] (1)(2017全·国卷Ⅲ )已知集合 A= {( x,y)|x2+ y2= 1} ,B= {( x,y)|y= x} ,则 A∩ B 中元素的个数为 ()A . 3B. 2C.1D. 0b2 2 019 2 019(2)已知 a, b∈ R,若 a,a, 1={ a, a+ b,0} ,则 a+b的值为 ()A . 1B. 0C.- 1D.±1[解析 ] (1)因为 A 表示圆 x2+y2=1上的点的集合, B 表示直线 y= x 上的点的集合,直线 y= x 与圆 x2+ y2=1 有两个交点,所以A∩ B 中元素的个数为 2.b= 0,所以 b= 0,于是 a2=1,即 a= 1 或 a=- 1.又根据集合中(2)由已知得 a≠ 0,则a元素的互异性可知a= 1 应舍去,因此 a=- 1,故 a2 019+ b2 019= (- 1)2 019+ 02 019=- 1.[答案 ] (1)B(2)C[ 提醒 ]集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.[题组训练 ]1.设集合 A ={0,1,2,3} ,B = { x|- x ∈ A,1- x?A} ,则集合 B 中元素的个数为 ()A . 1B . 2C .3D . 4解析: 选 A若 x ∈ B ,则- x ∈ A ,故 x 只可能是 0,- 1,- 2,- 3,当 0∈B 时, 1-0= 1∈ A ;当- 1∈ B 时, 1- (- 1)= 2∈A ;当- 2∈ B 时, 1- (- 2)= 3∈A ;当- 3∈B 时, 1 -( -3) =4?A ,所以 B = { - 3} ,故集合 B 中元素的个数为 1.2.若集合 A ={ x ∈ R|ax 2- 3x + 2= 0} 中只有一个元素,则 a 等于 ()9 9 A. 2B.89C .0D . 0 或8解析:选 D若集合 A 中只有一个元素, 则方程 ax 2- 3x + 2=0 只有一个实根或有两个相等实根.当 a =0 时, x = 2,符合题意.329当 a ≠0 时,由 = (- 3) - 8a = 0,得 a = 8,所以 a 的值为90 或 .83.( 2018·厦门模拟 )已知 P={ x|2<x<k,x ∈N}, 若集合 P 中恰有 3 个元素,则 k 的取值范围为.解析: 因为 P 中恰有 3 个元素,所以 P={ 3, 4,5},故 k 的取值范围为 5<k ≤6.答案:( 5, 6]考点二 集合间的基本关系[典例 ](1)已知集合 A = { x|x 2- 3x + 2= 0,x ∈ R} , B = { x|0<x<5, x ∈ N} ,则 ()A . B? AB . A = BC .ABD . B A(2)(2019 湖·北八校联考 )已知集合 A = * 2- 3x<0} ,则满足条件 B? A 的集合 B 的{ x ∈ N |x 个数为 ()A . 2B . 3C .4D . 8(3)已知集合 A = { x|- 1<x<3} ,B = { x|- m<x<m} ,若 B? A ,则 m 的取值范围为 ________.[解析 ](1)由 x 2- 3x + 2=0 得 x = 1 或 x = 2,∴ A = {1,2} .由题意知 B = {1,2,3,4} ,比较 A , B 中的元素可知 A B ,故选 C.* 2*= {1,2},又 B? A,∴满足条件 B? A 的集合(2)∵ A= { x∈ N |x- 3x<0} = { x∈ N |0<x<3}B 的个数为22= 4,故选 C.(3)当 m≤0 时, B= ?,显然 B? A.当m>0 时,因为 A= { x|- 1<x<3} .若 B? A,在数轴上标出两集合,如图,所以-m≥-1,m≤ 3,所以0<m≤1.- m<m.综上所述, m 的取值范围为(-∞, 1].[答案 ](1)C (2)C(3)( -∞, 1][变透练清 ](变条件 )若本例 (2)中 A 不变, C= { x|0<x<5 , x∈ N} ,则满足条件A? B? C 的集合 B 1.的个数为 ()A . 1B. 2C.3D. 4解析:选 D因为 A= {1,2} ,由题意知 C={1,2,3,4} ,所以满足条件的 B 可为 {1,2} ,{1,2,3} ,{1,2,4} , {1,2,3,4} .(变条件 )若本例 (3)中,把条件“ B? A”变为“ A? B”,其他条件不变,则m 的取值2.范围为 ________.解析:若 A? B,由- m≤ - 1,得 m≥ 3,m≥3∴m 的取值范围为 [3,+∞ ).答案: [3,+∞ )3.已知集合A= {1,2} , B= { x|x2+ mx+ 1= 0, x∈ R} ,若 B? A,则实数m 的取值范围为________.解析:①若 B= ?,则=m2-4<0,解得-2<m<2;②若 1∈ B,则 12+ m+1= 0,解得 m=- 2,此时 B= {1} ,符合题意;2③若 2∈ B,则 2 + 2m+ 1= 0,解得 m=-5,此时 B= 2,1,不合题意.22综上所述,实数m 的取值范围为 [- 2,2).答案: [- 2,2)考点三集合的基本运算考法 (一 )集合的运算[典例 ](1)(2018天·津高考 )设集合A= {1,2,3,4} , B= { - 1,0,2,3} , C= { x∈ R|- 1≤ x<2} ,则 (A∪ B)∩ C= ()A . { - 1,1}B. {0,1}C.{ - 1,0,1}D. {2,3,4}(2)已知全集 U= R,集合 A= { x|x2- 3x-4>0} , B= { x|- 2≤ x≤2} ,则如图所示阴影部分所表示的集合为 ()A . { x|- 2≤x<4}B.{ x|x≤ 2 或 x≥ 4}C.{ x|- 2≤ x≤- 1}D. { x|- 1≤x≤ 2}[解析 ](1)∵ A={1,2,3,4} , B= { -1,0,2,3} ,∴A∪B={ -1,0,1,2,3,4} .又C={ x∈R|- 1≤x<2} ,∴(A∪B)∩ C= { - 1,0,1} .(2)依题意得 A= { x|x<- 1 或 x>4} ,因此 ?R A= { x|- 1≤ x≤ 4} ,题中的阴影部分所表示的集合为(?R A)∩ B= { x|- 1≤ x≤ 2} .[答案 ](1)C(2)D考法 (二 )根据集合运算结果求参数[典例 ](1)已知集合 A= { x|x2-x- 12>0} , B= { x|x≥ m} .若 A∩ B= { x|x>4} ,则实数 m 的取值范围是 ()A . (- 4,3)B. [- 3,4]C.( -3,4)D. (-∞, 4](2)(2019河·南名校联盟联考 )已知 A={1,2,3,4} ,B= { a+ 1,2a} ,若 A∩ B= {4} ,则 a=()A . 3B. 2C.2 或3D. 3 或 1[解析 ](1)集合 A= { x|x<-3或 x>4} ,∵ A∩ B={ x|x>4} ,∴- 3≤m≤ 4,故选 B.(2)∵ A∩ B= {4} ,∴ a+ 1=4或 2a=4.若 a+1= 4,则 a= 3,此时 B= {4,6} ,符合题意;若 2a= 4,则 a= 2,此时 B= {3,4} ,不符合题意.综上,a= 3,故选 A.[答案 ] (1)B(2)A[ 题组训练 ]1.已知集合A . {1}C .{0,1,2,3}解析: 选 CA = {1,2,3}因为集合 , B = { x|(x + 1)(x - 2)<0 , x ∈ Z} ,则B . {1,2}D . { -1,0,1,2,3}B = { x|- 1<x<2, x ∈Z} ={0,1} ,而 A ∪ B = ()A = {1,2,3} ,所以 A ∪B ={0,1,2,3} .2. (2019 ·庆六校联考重 )已知集合 A ={ x|2x 2+ x - 1≤0} , B = { x|lg x<2} ,则 (?R A) ∩B =()1, 1001, 2A. 2B. 2 1, 100D . ?C. 2解析: 选 A由题意得 A = - 1,1, B = (0,100),则 ?R A = (- ∞ ,- 1)∪1,+ ∞ ,2 2 所以 (?R A)∩ B =1, 100 .213.(2019 合·肥质量检测 )已知集合 A = [1,+∞ ),B = x ∈ R 2a ≤ x ≤2a - 1 ,若 A ∩ B ≠?,则实数 a 的取值范围是 ()1A . [1,+∞ )B. 2, 1 2,+∞D . (1,+∞ )C. 3解析: 选 A因为 A ∩ B ≠?,1a , 解得 a ≥ 1.所以 2a - 1≥1,a - 1≥2[ 课时跟踪检测 ]1.(2019 ·州质量检测福 )已知集合 A = { x|x = 2k + 1,k ∈ Z} ,B = { x|- 1<x ≤ 4} ,则集合 A ∩ B中元素的个数为 ()A . 1B . 2C .3D . 4解析: 选 B依题意,集合 A 是由所有的奇数组成的集合,故A ∩B = {1,3} ,所以集合A ∩B 中元素的个数为2.2.设集合U= {1,2,3,4,5,6} , A= {1,3,5} , B= {3,4,5} ,则 ?U(A∪ B)= ()A . {2,6}C.{1,3,4,5}解析:选 A因为A= {1,3,5}B. {3,6}D. {1,2,4,6},B= {3,4,5} ,所以 A∪ B= {1,3,4,5}.又U= {1,2,3,4,5,6},所以 ?U (A∪ B)= {2,6} .3.(2018 ·津高考天 )设全集为R,集合 A = { x|0< x< 2} ,B= { x|x≥1} ,则 A∩ (?R B)= ()A . { x|0< x≤1}B. { x|0<x< 1}C.{ x|1≤ x< 2}D. { x|0<x< 2}解析:选B∵全集为R, B= { x|x≥ 1} ,∴?R B= { x|x< 1} .∵集合 A= { x|0< x< 2} ,∴A∩ (?R B)= { x|0< x< 1} .4.(2018 ·宁毕业班摸底南)设集合 M= { x|x<4} ,集合 N= { x|x2- 2x<0} ,则下列关系中正确的是()A . M∩ N= MC.N∪ (?R M)= R解析:选 D由题意可得,B. M∪ (?R N)= MD. M∪ N= MN= (0,2), M= (-∞,4),所以M∪ N=M.5.设集合 A= x 1≤ 2x< 2, B= { x|ln x≤ 0} ,则 A∩B 为 () 2A.0,1B. [- 1,0) 21, 1D. [- 1,1]C. 21x- 1x1112,∴A= x- 1≤ x<.∵ln x≤0,解析:选 A ∵≤ 2 < 2,即 2 ≤<2 2,∴- 1≤ x<222即 ln x≤ ln 1,∴ 0<x≤1,∴ B= { x|0<x≤1} ,∴ A∩ B= x0<x<1. 26. (2019 郑·州质量测试 )设集合 A= { x|1<x<2} ,B= { x|x<a} ,若 A∩B= A,则 a 的取值范围是 ()A . (-∞, 2]B. (-∞, 1]C.[1,+∞ )D. [2,+∞ )解析:选 D 由 A∩B= A,可得 A? B,又因为 A= { x|1<x<2} ,B= { x|x<a} ,所以 a≥ 2.7.已知全集 U= A∪B 中有 m 个元素,(?U A?U B个元素.若 A∩ B 非空,则)∪ ()中有nA∩ B 的元素个数为 ()A . mn B. m+nC .n - mD . m - n解析: 选 D( )中有 n个元素,如图中阴影部分所示, 因为 (?U A )∪ ?U B又 U = A ∪ B 中有 m 个元素,故 A ∩B 中有 m -n 个元素.8.定义集合的商集运算为A = x x =m, m ∈A , n ∈B ,已知集合A = {2,4,6} ,B =Bnx x = k-1, k ∈ A,则集合 B∪ B 中的元素个数为 ()2AA . 6B . 7C .8D . 9解 析 : 选 B由 题 意 知 , B = {0,1,2} , B =0, 1, 1,1, 1,1, 则 B∪ B =A 2 4 63A1 1 1 10, 2, 4, 6, 1,3, 2 ,共有 7 个元素.9.设集合 A ={ x|x 2- x - 2≤ 0} , B = { x|x<1,且 x ∈ Z} ,则 A ∩ B = ________.解析: 依题意得 A = { x|(x + 1)(x - 2)≤ 0} = { x|- 1≤ x ≤ 2} ,因此A ∩B ={ x|- 1≤x<1, x∈ Z } = { -1,0} .答案: { - 1,0}10.已知集合 U = R ,集合 A = [- 5,2], B = (1,4) ,则下图中阴影部分所表示的集合为________.解析: ∵ A = [- 5,2],B = (1,4) ,∴ ?U B = { x|x ≤1 或 x ≥ 4} ,则题图中阴影部分所表示的集合为 (?U B)∩A = { x|- 5≤ x ≤ 1} .答案 : { x|- 5≤x ≤ 1}11.若集合 A ={( x , y)|y = 3x 2- 3x + 1} ,B = {( x , y)|y = x} ,则集合 A ∩ B 中的元素个数为 ________.解析: 法一: 由集合的意义可知, A ∩ B 表示曲线 y = 3x 2- 3x + 1 与直线 y = x 的交点构成的集合.1y = 3x 2- 3x + 1, x =3,x = 1, 联立得方程组解得或y = x ,1 y = 1,y =31 1故 A ∩ B = 3, 3 , 1, 1 ,所以 A ∩ B 中含有 2 个元素.法二: 由集合的意义可知, A ∩ B 表示曲线 y = 3x 2- 3x + 1 与直线 y =x 的交点构成的集合.因为 3x 2- 3x + 1= x 即 3x 2-4x + 1= 0 的判别式 >0,所以该方程有两个不相等的实根,所以 A∩B 中含有 2 个元素.答案:212.已知集合 A= { x|log2x≤ 2} ,B= { x|x< a} ,若 A? B,则实数 a 的取值范围是__________ .解析:由 log 2x≤ 2,得 0< x≤ 4,即A= { x|0<x≤ 4} ,而 B={ x|x< a} ,由于 A? B,在数轴上标出集合A, B,如图所示,则a> 4.答案: (4,+∞ )13.设全集U= R, A= { x|1≤ x≤ 3} , B= { x|2<x<4} , C= { x|a≤ x≤ a+ 1} .(1)分别求 A∩ B,A∪ (?U B);(2)若 B∪ C= B,求实数 a 的取值范围.解: (1)由题意知, A∩ B= { x|1≤ x≤ 3} ∩ { x|2<x<4} = { x|2<x≤ 3} .易知 ?U B= { x|x≤ 2 或x≥4} ,所以 A∪(?U B)= { x|1≤ x≤ 3} ∪ { x|x≤2 或 x≥ 4} = { x|x≤ 3 或 x≥ 4} .(2)由 B∪ C= B,可知 C? B,画出数轴 (图略 ),易知 2<a<a+ 1<4,解得 2<a<3.故实数 a 的取值范围是(2,3).。

集合与常用逻辑用语(高三复习、教案)

集合与常用逻辑用语(高三复习、教案)

第一章:集合与常用逻辑用语§·集合的概念及运算一、知识清单1.集合的含义与表示(1)集合:集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体,这些对象称为该集合的元素。

(2)常用的集合表示法:①列举法;②描述法;③数轴或图像表示法;④venn 图法2.集合的特性3.常用的集合常见数集的记法:特 性 理 解应 用确定性要么属于该集合,要么不属于,二者必居其一; 判断涉及的总体是否构成集合 互异性集合中的任意两个元素都是不同的;1.判断集合表示是否正确;2.求集合中的元素无序性集合的不同与元素的排列无关;通常用该性质判断两个集合的关系集合 (){}0|=x f x (){}0|>x f x (){}x f y x =| (){}x f y y =| ()(){}x f y y x =|, (){}x f y =集合的意义 方程()0=x f 的解集不等式()0>x f 的解集函数()x f y =的定义域函数()x f y =的值域函数()x f y =图像上的点集一个元素例子{}0|=x x{}0|>x x{}x y x =| {}x y y =| (){}x y y x =|, {}x y =集合 自然数集正整数集 整数集 有理数集实属集 复数集 符号NN *或N +ZQRC4.集合间的基本关系(1)集合间的关系文字描述符号表示子集集合A中任意元素都是集合B中元素真子集A是B的子集,但B中至少有一个元素不在A中相等集合A、集合B中元素完全相同(2)有限集合中子集的个数有限集合A中有n个元素集合A的子集个数2n集合A的非空子集个数2n-1集合A的真子集个数2n-1集合A的非空真子集个数2n-2【提醒】空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集。

符号表示为:5.集合的运算运算类型交集并集补集定义设A,B是两个集合,由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与集合B的交集,记作A∩B。

集合与常用逻辑用语教案

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第1讲集合与常用逻辑用语【知识导图】【知识讲解】知识点1 集合1.集合与元素(1)集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或∉表示.(3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法.(4)常见数集的记法2.集合间的基本关系3.={x |x ∈U 且例题1.1 (1)已知集合A ={(x ,y )|x ,y ∈N *,y ≥x },B ={(x ,y )|x +y =8},则A ∩B 中元素的个数为( )A.2B.3C.4D.6(2)已知集合A ={2a -1,a 2,0},B ={1-a ,a -5,9},且A ∩B ={9},则a =( )A.±3,5B.3,5C.-3D.5(3)已知集合A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪⎪32-x ∈Z,则集合A 中的元素个数为( ) A .2 B .3 C .4 D .5答案 (1)C ,(2)C ,(3)C解析 (1)A ∩B ={(x ,y )|x +y =8,x ,y ∈N *,且y ≥x }={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)}. (2)易知a 2=9或2a -1=9,∴a =±3或a =5.当a =3时,则1-a =a -5=-2,不满足集合中元素的互异性,舍去. 当a =5时,则A ∩B ={9,0},与题设条件A ∩B ={9}矛盾,舍去.当a =-3时,A ={-7,9,0},B ={4,-8,9},满足A ∩B ={9},故a =-3.(3)∵32-x∈Z ,∴2-x 的取值有-3,-1,1,3,又∵x ∈Z ,∴x 值分别为5,3,1,-1,故集合A 中的元素个数为4,故选C.例题1.2 (1)若集合M ={x ||x |≤1},N ={y |y =x 2,|x |≤1},则( )A.M =NB.M ⊆NC.M ∩N =∅D.N ⊆M(2)已知集合A ={x |(x +1)(x -6)≤0},B ={x |m -1≤x ≤2m +1}.若B ⊆A ,则实数m 的取值范围为________.答案 (1) D ,(2) 5(,2)[0,]2−∞− 解析 (1)易知M ={x |-1≤x ≤1},N ={y |y =x 2,|x |≤1}={y |0≤y ≤1},∴N ⊆M .(2)A ={x |-1≤x ≤6}. ∵B ⊆A ,∴B =∅或B ≠∅.当B =∅时,m -1>2m +1,即m <-2.符合题意.当B ≠∅时,⎩⎨⎧m -1≤2m +1,m -1≥-1,2m +1≤6.解得0≤m ≤52.得m <-2或0≤m ≤52.例题1.3 (1)设全集U ={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合A ={-1,0,1,2},B ={-3,0,2,3},则A ∩(∁U B )=( )A.{-3,3}B.{0,2}C.{-1,1}D.{-3,-2,-1,1,3}(2)已知集合A ={x ∈Z |x 2-4x -5<0},B ={x |4x >2m },若A ∩B 中有三个元素,则实数m 的取值范围是( ) A.[3,6)B.[1,2)C.[2,4)D.(2,4](3)已知集合A ={x |y =4-x 2},B ={x |a ≤x ≤a +1},若A ∪B =A ,则实数a 的取值范围为( ) A.(-∞,-3]∪[2,+∞) B.[-1,2] C.[-2,1]D.[2,+∞)答案 (1) C ,(2) C ,(3) C解析 (1) ∁U B ={-2,-1,1},∴A ∩(∁U B )={-1,1}.故选C.(2)因为x 2-4x -5<0,解得-1<x <5,则集合A ={x ∈Z |x 2-4x -5<0}={0,1,2,3,4},易知集合B ={x ⎪⎪x >m 2}.又因为A ∩B 中有三个元素,所以1≤m2<2,解之得2≤m <4.故实数m 的取值范围是[2,4). (3)集合A ={x |y =4-x 2}={x |-2≤x ≤2}, 因A ∪B =A ,则B ⊆A .又B ≠∅,所以有⎩⎨⎧a ≥-2,a +1≤2,所以-2≤a ≤1.例题1.4 (1) 对于任意两集合A ,B ,定义A -B ={x |x ∈A 且x ∉B },A *B =(A -B )∪(B -A ),记A ={x |x ≥0},B ={x |-3≤x ≤3},则A *B =________.(2) 若一个集合是另一个集合的子集,称两个集合构成“全食”;若两个集合有公共元素,但互不为对方子集,则称两个集合构成“偏食”.对于集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫-1,12,1,B ={x |ax 2=1,a ≥0},若两个集合构成“全食”或“偏食”,则a 的值为________.(3) 定义:设有限集合A ={x |x =a i ,i ≤n ,n ∈N *},S =a 1+a 2+…+a n -1+a n ,则S 叫做集合A 的模,记作|A |.若集合P ={x |x =2n -1,n ≤5,n ∈N *},集合P 含有四个元素的全体子集为P 1,P 2,…,P k ,k ∈N *,则|P 1|+|P 2|+…+|P k |=________.答案 (1) {x |-3≤x <0或x >3},(2) 0或1或4,(3) 100. 解析 (1) ∵A ={x |x ≥0},B ={x |-3≤x ≤3}, ∴A -B ={x |x >3},B -A ={x |-3≤x <0}. ∴A *B ={x |-3≤x <0或x >3}.(2) 因为B ={x |ax 2=1,a ≥0},若a =0,则B =∅,满足B 为A 的真子集,此时A 与B 构成“全食”, 若a >0,则B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x 2=1a =⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ,-1a . 若A 与B 构成“全食”或“偏食”,则1a =1或1a =12,解得a =1或a =4.综上a 的值为0或1或4. (3) 集合P ={1,3,5,7,9},依题意,集合P 含有四个元素的全体子集为{1,3,5,7},{1,3,5,9},{1,3,7,9},{3,5,7,9},{1,5,7,9},根据“模”的定义,|P 1|+|P 2|+…+|P k |=(1+3+5+7)+(1+3+5+9)+(1+3+7+9)+(3+5+7+9)+(1+5+7+9)=4×(1+3+5+7+9)=100.知识点2 常用逻辑用语 1. 命题及其关系(1)命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题, 判断为假的语句叫做假命题. (2)四种命题及其关系①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性.②两个命题为互逆命题或互否命题时,它们的真假性没有关系.2.充分条件与必要条件3.存在量词与全称量词(1)全称量词和存在量词(3)常用逻辑连接词命题中的或、且、非叫做逻辑联结词,命题p∧q,p∨q,¬p的真假判断例题2.1 (1)命题“若x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是()A.若x2≥1,则x≥1或x≤-1B.若-1<x<1,则x2<1C.若x>1或x<-1,则x2>1D.若x≥1或x≤-1,则x2≥1(2)下列命题中为真命题的是()A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题B.命题“若x>1,则x2>1”的否命题C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题答案(1)D,(2)A解析(1)命题的形式是“若p,则q”,由逆否命题的知识,可知其逆否命题为“若¬q,则¬p”的形式,所以“若x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤-1,则x2≥1”.故选D.(2)命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|,则x>y”,是真命题,故A正确;命题“若x>1,则x2>1”的否命题为“若x≤1,则x2≤1”,是假命题,故B错误;命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题为“若x≠1,则x2+x-2≠0”,是假命题,故C错误;命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题为“若x≤1,则x2≤0”,是假命题,故D错误.故选A.例题2.2 (1)已知空间中不过同一点的三条直线l,m,n.“l,m,n共面”是“l,m,n两两相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知条件p:x+y≠-2,条件q:x,y不都是-1,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(3)已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求实数m的取值范围.答案 (1) B ,(2) A ,(3)[0,3]解析 (1)由m ,n ,l 在同一平面内,可能有m ,n ,l 两两平行,所以m ,n ,l 可能没有公共点,所以不能推出m ,n ,l 两两相交.由m ,n ,l 两两相交且m ,n ,l 不经过同一点,可设l ∩m =A ,l ∩n =B ,m ∩n =C ,且A ∉n ,所以点A 和直线n 确定平面α,而B ,C ∈n ,所以B ,C ∈α,所以l ,m ⊂α,所以m ,n ,l 在同一平面内.故选B.(2)因为p :x +y ≠-2,q :x ≠-1或y ≠-1,所以┐p :x +y =-2,┐q :x =-1且y =-1,因为┐q ⇒┐p ,但┐p ⇒┐q ,所以┐q 是┐p 的充分不必要条件,即p 是q 的充分不必要条件. (3)由x 2-8x -20≤0,得-2≤x ≤10,∴P ={x |-2≤x ≤10}.∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件,则S ⊆P .∴⎩⎨⎧1-m ≥-2,1+m ≤10,解得m ≤3.又∵S 为非空集合,∴1-m ≤1+m ,解得m ≥0. 综上,m 的取值范围是[0,3].例题2.3 (1)命题p :∀x ∈(0,+∞),x 13≠x 15,则﹁p 为( )A .∃x 0∈(0,+∞),x 013=x 015B .∀x ∈(0,+∞),x 13=x 15 C .∃x 0∈(-∞,0),x 013=x 015 D .∀x ∈(-∞,0),x 13=x 15(2)下列命题中的假命题是( )A .∀x ∈R ,e x >0B .∀x ∈N ,x 2>0C .∃x 0∈R ,ln x 0<1D .∃x 0∈N *,sin π2x 0=1(3)若命题“∃t ∈R ,t 2-2t -a <0”是假命题,则实数a 的取值范围是____________. 答案 (1)A ,(2)B ,(3)(,1]−∞−解析 (1)由全称命题的否定为特称命题知,﹁p 为∃x 0∈(0,+∞),x 013=x 015,故选A.(2)对于B.当x =0时,x 2=0,因此B 中命题是假命题.(3)因为命题“∃t ∈R ,t 2-2t -a <0”为假命题,所以命题“∀t ∈R ,t 2-2t -a ≥0”为真命题,所以Δ=(-2)2-4×1×(-a )=4a +4≤0,即a ≤-1.例题2.4 设a,b,c是非零向量.已知命题p:a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中是真命题的是()A.p∨q B.p∧qC.(¬p)∧(¬q) D.p∧(¬q)答案A解析取a=c=(1,0),b=(0,1),显然a·b=0,b·c=0,但a·c=1≠0,∴p是假命题.又a,b,c是非零向量,由a∥b知a=x b;由b∥c知b=y c,∴a=xy c,∴a∥c,∴q是真命题.综上知p∨q是真命题,p∧q是假命题.又∵¬p为真命题,¬q为假命题.∴(¬p)∧(¬q),p∧(¬q)都是假命题.。

知识点——集合与常用逻辑用语教学提纲

知识点——集合与常用逻辑用语教学提纲

知识点一一集合与常用逻辑用语【知识梳理】一、集合及其运算1. 集合与元素(1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性______⑵元素与集合的关系是属于或不属于两种,用符号€或?表示.(3) 集合的表示法:列举法、描述法、图示______(4) 常见数集的记法2. 集合间的基本关系3•集合的基本运算【知识拓展】1•若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为艺,真子集的个数为2n- 1.2. A? B? A A B = A? A U B = B.3. A A (?U A) = ?; A U (?U A)= U; ?u(?u A)= A.二、命题及其关系、充分条件与必要条件1. 四种命题及相互关系2. 四种命题的真假关系⑴两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.3. 充分条件与必要条件(1)如果p? q,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;⑵如果p? q,但q p,贝U p是q的充分不必要条件;⑶如果p? q,且q? p,则p是q的充要条件:⑷如果q? p,且p q,则p是q的必要不充分条件:⑸如果p q,且q予H p,则p是q的既不充分也不必要条件.【知识拓展】1•两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性.2. 若A = {x|p(x)} , B = {x|q(x)},贝V⑴若A? B,则p是q的充分条件;⑵若A? B,则p是q的必要条件;⑶若A= B,贝U p是q的充要条件;(4) 若A?B,则p是q的充分不必要条件;(5) 若A?B,则p是q的必要不充分条件;(6) 若A B且A?B,则p是q的既不充分也不必要条件.【易错提醒】1. 描述法表示集合时,一定要理解好集合的含义一一抓住集合的代表元素.如:{xy = ig x}――函数的定义域;{y|y= ig x} -------- 函数的值域;{(x, y)|y= lg x}—函数图象上的点集.2. 易混淆0, ?, {0} : 0是一个实数;?是一个集合,它含有0个元素;{0}是以0为元素的单元素集合,但是0??,而?? {0}.3. 集合的元素具有确定性、无序性和互异性,在解决有关集合的问题时,尤其要注意元素的互异性.4. 空集是任何集合的子集. 由条件A? B, A A B= A, A U B= B求解集合A时,务必分析研究 A = ?的情况.5. 区分命题的否定与否命题,已知命题为“若p,则q”则该命题的否定为“若p,贝U q”其否命题为“若p,则q ”.6. 对充分、必要条件问题,首先要弄清谁是条件,谁是结论.精品文档【必会习题】1 已知集合 A = {1,3 , m}, B = {1 , m}, A U B = A ,则 m 等于( )A . 0 或,'3B . 0 或 3C . 1 或.;3D . 1 或 3答案 B解析 '-A U B = A ,/-B? A ,「m q i,3 , m} ,「m = 1 或 m = 3 或 m = m , 由集合中元素的互异性易知 m = 0或m = 3.2.设集合 A = {x|1<x<2} , B = {x|x<a},若A? B ,贝U a 的取值范围是( )A . {a|a >2}B . {a|a < 1}C . {a|a > 1}D . {a|a < 2}答案 A解析若A? B ,则a > 2,故选A. 3.已知集合 M = {x|— 3<x w 5}, N= {x|x<— 5 或 x>5},贝U M U N 等于( )A . {x|— 3<x<5}B . {x|— 5<x<5}C . {x|x<— 5 或 x> — 3}D . {x|x<— 3 或 x>5}答案 C解析 在数轴上表示集合 M 、N ,则M LN = {x|x< — 5或x>— 3},故选C.4. 满足条件{a}? A? {a , b , c}的所有集合A 的个数是()A . 1B . 2C . 3D . 4答案 D解析 满足题意的集合 A 可以为{a} , {a , b}, { a , c} , {a , b , c},共4个.5. 已知集合 U = R(R 是实数集),A = {x|— 1 w x < 1} , B ={xf — 2x<0},则 A U (?u B)等于(解析 B= {x|x 2— 2x<0} = (0,2), AL(?u B) = [ — 1,1] U — 3, 0] U 2 ,+s )= (—3, 1] L[2 ,+s ),故选 D. 6.“x<0”是 “ In(x + 1)<0”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件答案 B解析 ln(x + 1)<0,解得 0<x + 1<1,A . [ — 1,0]答案D B . [1,2] C . [0, 1]D . ( — 3 1]U [2 ,+s )/•—1<x<0,所以“x<0”是"—1<x<0”的必要不充分条件. 精品文档精品文档7. 给出以下四个命题:①若ab w 0,贝U a w0 或b< 0;②若a>b,则am2>bm2;③在△ ABC 中,若sin A = sin B,贝U A= B;④在一元二次方程ax2+ bx+ c= 0中,若b2—4ac<0,则方程有实数根.其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是()A .①B .②C .③D .④答案C&设U为全集,对集合A, B定义运算“ *”,A*B = ?u(A Q B),若X, Y, Z为三个集合,则(X*Y)*Z等于( )A. (X u Y)n ?U Z B . (X n Y)U ?U Z C.(?U X U?U Y)A Z D .(?u x n?U Y)U Z答案B解析-.X*Y= ?u(X n Y) ,•••对于任意集合X, Y, Z,(X*Y )*Z = ?u(x n Y)*z= ?u [?u(x n Y) n z] = (X n) u?u Z.ax 丄109.已知M是不等式------- w0的解集且5?M,贝V a的取值范围是__________________ .ax —25答案(一a, —2) u [5 ,+s )5a+ 10解析若5创,贝U w 0,5a—25•'( a+ 2)( a—5) w 0 且a^5, • —2w a v 5,••5?M 时,a<—2 或a>5.10•设命题p:实数x满足x2—4ax+ 3a2<0,其中a<0;命题q :实数x满足x2+ 2x —8>0,若q是p的必要不充分条件,则实数a的取值范围是 ________ .答案(一a, —4]解析由命题q:实数x满足x2+ 2x—8>0 ,得x<—4或x>2,由命题p :实数x 满足x2—4ax+ 3a2<0,其中a<0,得(x—3a)(x—a)<0 ,^'a<0 ,^3a<x<a,■•q是p的必要不充分条件,• a w —4, /a€( —a,—4].x+ 111.已知命题p:1 —一厂w 1,命题q : x2—2x+ 1 —m2<0(m>0),若p是q的充分不必要条件,则实数m 的取值范围是_____________ .答案(2,+a )x+ 1 x+1 x+1解析■ 1一——w 1? —1^—-— 1 w 1? 0w^-w 2? —1w x w 3,/p: —1 w x w 3;2 2 2精品文档■-x2—2x+ 1 —m2<0(m>0)? [x—(1 —m)][x—(1 + m)]<0? 1—m<x<1 + m,1—m<x<1 +m. 「.q••p是q的充分不必要条件,1—m<—1,••[ —1,3]是(1 —m,1 + m)的真子集,则解得m>2.1+m>3,。

《集合》集合与常用逻辑用语PPT

《集合》集合与常用逻辑用语PPT
方法点睛 x2是集合中的元素,则它既可能是1,也可能是0,或者是x,
需对其进行分类讨论.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
1.(多选)下列对象能构成集合的是(
)
A.所有的正数 B.等于2的数
C.接近0的数 D.不等于0的偶数
答案:ABD
2.若a是R中的元素,但不是Q中的元素,则a可以是(
合中元素的互异性;
3
2
当 2x2+5x=-3 时,x=- 或 x=-1(舍去),
3
2
3
x=- .
2
7
2
当 x=- 时,集合的三个元素分别为- ,-3,12,满足集合中元素的互
异性,故
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟解决此类问题的通法是:根据元素的确定性建立分类讨
论的标准,求得参数的值,然后将参数值代入检验是否满足集合中
(2)无限集:含有无限个元素的集合.
(3)一般地,我们把不含任何元素的集合称为空集.空集可以看作
是包含0个元素的集合.
(4)给定两个集合A和B,如果组成它们的元素完全相同,就称这两
个集合相等,记作A=B.
课前篇
自主预习




知识点四、常用数集及其表示
1.思考
我们曾经学习了哪些常见的数集?
提示:我们都学习过自然数集、正整数集、整数集、有理数集、
为聪明是没有明确划分标准的.
课前篇
自主预习




2.填空
(1)集合:把一些能够确定的、不同的对象看成一个整体,就说这

高中数学集合与常用逻辑用语知识点总结PPT课件

高中数学集合与常用逻辑用语知识点总结PPT课件

【注意】 (1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种 性质的命题; (2)一个全称量词命题可以包含多个变量; (3)有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需要把它补出来。 如:命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线 都互相平行”。
2、存在量词与存在量词命题 (1)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在 量词,并用符号“图片”表示. 【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有 的”等; (2)存在量词命题:含有存在量词的命题,叫作存在量词命题。
2、集合运算中的常用二级结论(1)并集的性质:A∪∅=A;A∪A=A;A∪B= B∪A;A∪B=A⇔B⊆A. (2)交集的性质:A∩∅=∅;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B. (3)补集的性质:A∪(∁UA)=U;A∩(∁UA)=∅.∁U(∁UA)=A;∁U(A∪B)= (∁UA)∩(∁UB);∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB).
【注意】 (1)从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有一些 元素具有某种性质的命题; (2)一个存在量词命题可以包含多个变量; (3)有些命题虽然没有写出存在量词,但其意义具备“存 在”、“有一个”等特征都是存在量词命题
3、命题的否定:对命题p加以否定,得到一个新的命题,记作“图片”, 读作“非p”或p的否定.
知识点5 全称量词与存在量词 1、全称量词与全称量词命题 (1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常 叫作全称量词,并用符号“图片”表示.
【注意】 (1)全称量词的数量可能是有限的,也可能是无限的,由有 题目而定; (2)常见的全称量词还有“一切”、“任给”等,相应的词 语是“都” (2)全称量词命题:含有全称量词的命题,称为全称量词命 题.

集合与常用逻辑用语知识点{知识点)

集合与常用逻辑用语知识点{知识点)

集合与常用逻辑用语知识点考向:这部分属于高考必考和热点内容。

主要以选择题和填空题的形式出现,属于简单题。

分值5分。

第1节:集合的概念与运算一.概念1.集合与元素的关系:∉∈,二者必居其一。

2.集合的分类:有限集,无限集,空集。

3.元素的特征:互异性,无序性,确定性。

4.集合的表示:描述法,列举法,venn 图,区间法(只用于表示实数)。

5.子集:}|{B x A x x B A ∈∈∀⇔⊆有 真子集:}|{00A x B x B x A x x B A ∉∈∃∈∈∀⇔⊂≠但且有集合A 中有n 个元素,则A 的子集有n 2个,非空子集有n 2-1个,真子集有n 2-1个,非空真子集有n 2-2个.6.常见的数集: C Q R Z N N ,,,,,*7. ,A ⊆∅)(非空A A ≠⊂∅二.运算交:}|{B x A x x B A ∈∈=且 并:}|{B x A x x B A ∈∈=或 补:}|{A x U x x A C U ∉∈=且三.运算法则 交换律:,,A B B A A B B A == 结合律:),()(),()(C B A C B A C B A C B A ==分配率:),()()(),()()(C A B A C B A C A B A C B A ==吸收率:A B A B A =⊂ ,摩根定律:)()()(B C A C B A C U U U =,)()()(B C A C B A C U U U =第2节:命题及其关系、充分条件与必要条件一.命题1.命题:可以判断真假的语句叫做命题。

判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题。

真命题为真,假命题一定为假,真命题为假,假命题一定为真。

2.四种命题:原命题:若p 则q ;逆命题:逆命题若q 则p ;否命题:若p ⌝则q ⌝;逆否命题:若q ⌝则p ⌝结论:(1)互为逆否的命题,同真同假; (2)原命题与逆命题,原命题与否命题,它们的真假性没有关系。

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知识点——集合与常用逻辑用语
【知识梳理】
一、集合及其运算
1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种,用符号∈或∉表示.
(3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集的记法
集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集
符号N N*(或N+)Z Q R 2.集合间的基本关系
关系自然语言符号语言Venn图
子集集合A中所有元素都在集合B中(即若
x∈A,则x∈B)
A⊆B
(或B⊇A)
真子集集合A是集合B的子集,且集合B中
至少有一个元素不在集合A中
A⊊B
(或B⊋A)
集合相等集合A,B中的元素相同或集合A,B
互为子集
A=B
3.集合的基本运算
运算自然语言符号语言Venn图
交集由属于集合A且属于集合B
的所有元素组成的集合
A∩B={x|x∈A且x∈B}
并集由所有属于集合A或属于集
合B的元素组成的集合
A∪B={x|x∈A或x∈B}
补集由全集U中不属于集合A的
所有元素组成的集合
∁U A={x|x∈U且x∉A}
【知识拓展】
1.若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n-1. 2.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B.
3.A∩(∁U A)=∅;A∪(∁U A)=U;∁U(∁U A)=A.
二、命题及其关系、充分条件与必要条件
1.四种命题及相互关系
2.四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系. 3.充分条件与必要条件
(1)如果p ⇒q ,则p 是q 的充分条件,同时q 是p 的必要条件; (2)如果p ⇒q ,但q
p ,则p 是q 的充分不必要条件;
(3)如果p ⇒q ,且q ⇒p ,则p 是q 的充要条件; (4)如果q ⇒p ,且p q ,则p 是q 的必要不充分条件; (5)如果p q ,且q
p ,则p 是q 的既不充分也不必要条件.
【知识拓展】
1.两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性. 2.若A ={x |p (x )},B ={x |q (x )},则 (1)若A ⊆B ,则p 是q 的充分条件; (2)若A ⊇B ,则p 是q 的必要条件; (3)若A =B ,则p 是q 的充要条件; (4)若A ⊊B ,则p 是q 的充分不必要条件; (5)若A ⊋B ,则p 是q 的必要不充分条件; (6)若A B 且A ⊉B ,则p 是q 的既不充分也不必要条件.
【易错提醒】
1.描述法表示集合时,一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如:{x |y =lg x }——函数的定义域;{y |y =lg x }——函数的值域;{(x ,y )|y =lg x }——函数图象上的点集.
2.易混淆0,∅,{0}:0是一个实数;∅是一个集合,它含有0个元素;{0}是以0为元素的单元素集合,但是0∉∅,而∅⊆{0}.
3.集合的元素具有确定性、无序性和互异性,在解决有关集合的问题时,尤其要注意元素的互异性. 4.空集是任何集合的子集.由条件A ⊆B ,A ∩B =A ,A ∪B =B 求解集合A 时,务必分析研究A =∅的情况. 5.区分命题的否定与否命题,已知命题为“若p ,则q ”,则该命题的否定为“若p ,则q ⌝”,其否命题为“若p ⌝,则q ⌝”.
6.对充分、必要条件问题,首先要弄清谁是条件,谁是结论.
【必会习题】
1.已知集合A={1,3,m},B={1,m},A∪B=A,则m等于()
A.0或 3 B.0或3 C.1或 3 D.1或3
答案 B
解析∵A∪B=A,∴B⊆A,∴m∈{1,3,m},∴m=1或m=3或m=m,
由集合中元素的互异性易知m=0或m=3.
2.设集合A={x|1<x<2},B={x|x<a},若A⊆B,则a的取值范围是()
A.{a|a≥2} B.{a|a≤1} C.{a|a≥1} D.{a|a≤2}
答案 A
解析若A⊆B,则a≥2,故选A.
3.已知集合M={x|-3<x≤5},N={x|x<-5或x>5},则M∪N等于()
A.{x|-3<x<5} B.{x|-5<x<5} C.{x|x<-5或x>-3} D.{x|x<-3或x>5} 答案 C
解析在数轴上表示集合M、N,则M∪N={x|x<-5或x>-3},故选C.
4.满足条件{a}⊆A⊆{a,b,c}的所有集合A的个数是()
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 D
解析满足题意的集合A可以为{a},{a,b},{a,c},{a,b,c},共4个.
5.已知集合U=R(R是实数集),A={x|-1≤x≤1},B={x|x2-2x<0},则A∪(∁U B)等于() A.[-1,0] B.[1,2] C.[0,1] D.(-∞,1]∪[2,+∞)
答案 D
解析B={x|x2-2x<0}=(0,2),
A∪(∁U B)=[-1,1]∪(-∞,0]∪[2,+∞)=(-∞,1]∪[2,+∞),故选D.
6.“x<0”是“ln(x+1)<0”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析ln(x+1)<0,解得0<x+1<1,
∴-1<x<0,所以“x<0”是“-1<x<0”的必要不充分条件.
7.给出以下四个命题: ①若ab ≤0,则a ≤0或b ≤0; ②若a >b ,则am 2>bm 2;
③在△ABC 中,若sin A =sin B ,则A =B ;
④在一元二次方程ax 2+bx +c =0中,若b 2-4ac <0,则方程有实数根. 其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( ) A .① B .② C .③ D .④ 答案 C
8.设U 为全集,对集合A ,B 定义运算“*”,A *B =∁U (A ∩B ),若X ,Y ,Z 为三个集合,则(X *Y )*Z 等于( )
A .(X ∪Y )∩∁U Z
B .(X ∩Y )∪∁U Z
C .(∁U X ∪∁U Y )∩Z
D .(∁U X ∩∁U Y )∪Z 答案 B
解析 ∵X *Y =∁U (X ∩Y ),∴对于任意集合X ,Y ,Z , ( X *Y )*Z =∁U (X ∩Y )*Z =∁U [∁U (X ∩Y )∩Z ]=(X ∩Y )∪∁U Z .
9.已知M 是不等式ax +10ax -25≤0的解集且5∉M ,则a 的取值范围是________________.
答案 (-∞,-2)∪[5,+∞) 解析 若5∈M ,则5a +10
5a -25≤0,
∴(a +2)(a -5)≤0且a ≠5,∴-2≤a <5, ∴5∉M 时,a <-2或a ≥5.
10.设命题p :实数x 满足x 2-4ax +3a 2<0,其中a <0;命题q :实数x 满足x 2+2x -8>0,若q 是p 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是________. 答案 (-∞,-4]
解析 由命题q :实数x 满足x 2+2x -8>0,得x <-4或x >2,
由命题p :实数x 满足x 2-4ax +3a 2<0,其中a <0,得(x -3a )(x -a )<0,∵a <0,∴3a <x <a , ∵q 是p 的必要不充分条件,∴a ≤-4,∴a ∈(-∞,-4].
11.已知命题p :⎪⎪⎪⎪
1-x +12≤1,命题q :x 2-2x +1-m 2<0(m >0),若p 是q 的充分不必要条件,则实数m
的取值范围是________. 答案 (2,+∞)
解析 ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪
1-x +12≤1⇔-1≤x +12-1≤1⇔0≤x +12≤2⇔-1≤x ≤3,∴p :-1≤x ≤3;
∵x 2-2x +1-m 2<0(m >0)⇔[x -(1-m )][x -(1+m )]<0⇔1-m <x <1+m ,∴q :1-m <x <1+m . ∵p 是q 的充分不必要条件,
∴[-1,3]是(1-m,1+m )的真子集,则⎩
⎪⎨⎪⎧
1-m <-1,
1+m >3,解得m >2.。

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