历年数列高考题汇编

历年数列高考题汇编
1、〔全国新课标卷理〕
等比数列的各项均为正数，且{}n a 212326231,9.a a a a a +==
〔1〕求数列的通项公式.
〔2〕设 求数列的前项和.
解：〔Ⅰ〕设数列{an}的公比为q ，由得所以.有条件可知a>0,故.
由得，所以.故数列{an}的通项式为an=. 〔Ⅱ 〕
(12...)(1)2
n n n =-++++=-
故12112()(1)1n b n n n n =-=--++
12111111112...2((1)()...())22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++ 所以数列的前n 项和为1
{}n
b 21n
n -+ 2、〔全国新课标卷理〕设数列满足 （1） 求数列的通项公式；{}n a （2） 令，求数列的前n 项和n n b na =n S
解〔Ⅰ〕由已知，当n ≥1时，
.
而 所以数列{}的通项公式为. 〔Ⅱ〕由知
3521
1222322n n S n -=⋅+⋅+⋅+
+⋅ ①
从而 ②235721
21222322n n S n +⋅=⋅+⋅+⋅+
+⋅
①-②得 .
即 211
[(31)22]
9n n S n +=-+
3.设是公比大于1的等比数列，Sn 为数列的前n 项和．已知S3=7,且
a1+3,3a2,a3+4构成等差数列．〔1〕求数列的通项公式；〔2〕令，求数列的前n 项和Tn ． .
4、〔辽宁卷〕已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10 〔I 〕求数列{an}的通项公式； 〔II 〕求数列的前n 项和
解：〔I 〕设等差数列的公差为d ，由已知条件可得
解得11,1.a d =⎧⎨
=-⎩
故数列的通项公式为 ………………5分{}n a 2.
n a n =-
〔II 〕设数列，即，
12.2242n n n S a a a =+++ 所以，当时，1n >
121
1111222211121()
2422
121(1)22n n n n n n
n n n n
S a a a a a a n n
------=+++--=-+++--=--- =所以.2n n 1
.2n n n S -= 综上，数列11{
}.22n n n n a n n S --=的前项和
5、〔陕西省〕
已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.〔Ⅰ〕求数列{an}的通项; 〔Ⅱ〕求数列{2an}的前n 项和Sn.
解 〔Ⅰ〕由题设知公差d ≠0，
由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得＝，121
d +1812d
d ++ 解得d ＝1，d ＝0〔舍去〕， 故{an}的通项an ＝1+〔n －1〕×1＝n.
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知=2n ，由等比数列前n 项和公式得
Sn=2+22+23+…+2n==2n+1-2(12)
12n --
6、〔全国卷〕
设等差数列{}的前项和为，公比是正数的等比数列{}的前项和为，已知的通项公式.
解： 设的公差为，的公比为
{}n a d {}n b q
由得 ①3317a b +=212317
d q ++= 由得 ②3312T S -=24q q d +-= 由①②及解得 0q >2,2q d ==
故所求的通项公式为
1
21,32n n n a n b -=-=⨯
7、〔浙江卷〕已知公差不为0的等差数列的首项为，且，，成等比数
列．〔Ⅰ〕求数列的通项公式； 〔Ⅱ〕对，试比较与的大小．
解：设等差数列的公差为，由题意可知{}n a d
2214111(
)a a a =⋅
即，从而
因为
2111()(3)a d a a d +=+21a d d =10,.
d d a a ≠==所以
故通项公式.
n a na =
〔Ⅱ〕解：记
所以211(1())
111111122()[1()]
12222
12n n n n T a a a -=+++=⋅=--
从而，当时，；当0
a >1
1n T a <
110,.n a T a <>时
8、〔湖北卷〕
成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的、、.
〔I 〕 求数列的通项公式；
〔II 〕 数列的前n 项和为，求证：数列是等比数列.
9、〔2010年山东卷〕
已知等差数列满足：，，的前项和为{}n a 73=a 2675=+a a {}n a n n S 〔Ⅰ〕求及；
解：〔Ⅰ〕设等差数列的首项为，公差为，
由于，，所以，，
73=a 2675=+a a 7
21=+d a 261021=+d a
解得，，由于， ，31=a 2=d d n a a n )1(1-+=2)
(1n n a a n S +=
所以，
12+=n a n )
2(+=n n S n
〔Ⅱ〕因为，所以
因此
)
11
1(41)1(41+-=+=
n n n n b n
故n n b b b T +++= 21)1113121211(41+-++-+-=n n
)1
11(41+-=n )1(4+=n n
所以数列的前项和{}n b n )1(4+=n n T n 〔Ⅱ〕令〔〕，求数列的前项和为.
10、〔重庆卷〕
已知是首项为19，公差为-2的等差数列，为的前项和.{}n a n S {}n a n 〔Ⅰ〕求通项及；
〔Ⅱ〕设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前项和.
11、〔四川卷〕
已知等差数列的前3项和为6，前8项和为-4. 〔Ⅰ〕求数列的通项公式； 〔Ⅱ〕设，求数列的前n 项和
Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得解答可得，，于是 ．
0121
123n n S q q q n q -=+++
+
若，将上式两边同乘以q 有．
1q ≠()121121n n
n qS q q n q n q -=+++-+
两式相减得到
()121
11n n n q S n q q q q --=-----
．
11n n
q nq q -=--()1
11
1n n nq
n q q +-++=
-
于是．
()()
12
11
1n n n nq n q S q +-++=
-
若，则．1
q =()11232n n n S n +=+++
+=
所以， (12)
12、〔上海卷〕
已知数列的前项和为，且，{}n a n n S 585n n S n a =--*n N ∈
证明：是等比数列；并求数列的通项公式{}1n a -{}n a
解：由 〔1〕
可得：，即.
同时 〔2〕
从而由可得：(2)(1)-1
115()
n n n a a a ++=-- 即：，从而为等比数列，首项，公比为，通项公式为，从而
*151(1),6n n a a n N +-=-∈{1}n a -1115a -=-5615115*()6n n a --=-15
15*()1
6n n a -=-+。