历年数列高考题大全答案
高考文科数学数列经典大题训练(附答案)
1.〔此题总分值14 分〕设数列a的前n项和为S n,且S n4a n3(n1,2,)，n〔1〕证明: 数列a n是等比数列；〔2〕假设数列b满足b n1a n b n(n1,2,)，b12，求数列b n的通项公n式．2.〔本小题总分值12分〕等比数列a的各项均为正数，且n2 2a3a1,a9aa.123261.求数列a n的通项公式.2.设blogaloga......loga,求数列n31323n 1bn的前项和.3.设数列a满足n2n1 a12,a1a32nn〔1〕求数列a的通项公式；n〔2〕令b n na n，求数列的前n项和S n3.等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．〕，求数列{b n}的前n项和S n．〔Ⅰ〕求数列{a n}的通项公式；n﹣1*〔Ⅱ〕设b n=〔4﹣a n〕q〔q≠0，n∈N× 5.数列{a n}满足，，n∈N．〔1〕令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列；〔2〕求{a n}的通项公式．...4.解：〔1〕证：因为S n4a n3(n1,2,)，那么S n14a n13(n2,3,)，所以当n2时，a SS14a4a1，nnnnn4整理得aa1．5分nn3由S43，令n1，得a14a13，解得a11．n an所以分a是首项为1，公比为n43的等比数列．7〔2〕解：因为4n1 a()，n3由b1ab(n1,2,)，得nnn4n1 bb()．9分n1n3由累加得()()()b n bbbbbbb12`132nn14n11()43n1＝23()1，〔n2〕，43134n1 当n=1时也满足，所以)1b3(．n35.解：〔Ⅰ〕设数列{a n}的公比为q，由 2a39a2a6得32a39a4所以21q。
有条件9可知a>0,故1q。
311a。
故数列{a n}的通项式为a n=33由2a13a21得2a13a2q1，所以1n。
〔Ⅱ〕b logaloga...logan111111(12...n)n(n1)2故12112() bn(n1)nn1n111111112n ...2((1)()...()) bbb223nn1n1 12n...所以数列1{}bn2n 的前n 项和为n16.解：〔Ⅰ〕由，当n≥1 时，a1[(a1a)(a a1)(a2a1)]a1nnnnn2n12n33(222)222(n1)1。
全国卷数列高考题汇总附答案
数列专题高考真题(2014·I) 17. (本小题满分12分) 已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列并说明理由.(2014·II) 17.（本小题满分12分） 已知数列满足=1，.（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；（Ⅱ）证明： .(2015·I)（17）（本小题满分12分）为数列的前项和.已知，（Ⅰ）求的通项公式：（Ⅱ）设 ,求数列的前项和。
(2015·I I)（4）等比数列满足，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( )（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84(2015·I I)（16）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________． (2016·I)（3）已知等差数列前9项的和为27，，则（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97(2016·I)（15）设等比数列满足的最大值为__________。
(2016·II)（17）（本题满分12分）S n 为等差数列的前项和，且=1 ，=28 记，其中表示不超过的最大整数，如.（I ）求，，；（II ）求数列的前1 000项和.(2016·III)（12）定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若，则不同的“规范01数列”共有 （A ）18个（B ）16个（C ）14个（D ）12个(2016·III)（17）（本小题满分12分）已知数列的前项和，其中（I ）证明是等比数列，并求其通项公式；（II ）若 ，求.(2017·I)4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8(2017·I)12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。
【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 数列大题(原卷版及解析版)
(1)求 的通项公式；
(2)记 为 的前 项和，若 ，求 ．
(1) 或 ；(2)
【答案】【官方解析】（1）设 的公比为 ，由题设得
由已知得 ，解得 （舍去）， 或
故 或
（2）若 ，则 ，由 ，得 ，此方和没有正整数解
若 ，则 ，由 ，得 ，解得
【答案】解析：（1）设 的公差为 ，由题意得 ．
由 得 ，所以 的通项公式为 ．
（2）由（1）得 ．
所以当 时， 取得最小值，最小值为 ．
8．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知数列 的前 项和 ,其中 .
(Ⅰ)证明 是等比数列,并求其通项公式;
(Ⅱ)若 ,求 .
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .
【解析】(Ⅰ)由题意得 ,故 , , .
所以数列 是以 为首项，以 为公差等差数列;
（2）由（1）可得，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
,
,
当n=1时， ,
当n≥2时, ,显然对于n=1不成立,
∴ ．
【点睛】本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和与项的关系，数列的前n项积与项的关系，其中由 ,得到 ，进而得到 是关键一步；要熟练掌握前n项和，积与数列的项的关系，消和（积）得到项（或项的递推关系），或者消项得到和（积）的递推关系是常用的重要的思想方法．
【解析】（1）设 的公比为 ， 为 的等差中项，
，
；
（2）设 前 项和为 ， ，
，①
，②
① ②得，
，
．
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题．
近6年来高考数列题分析(以全国卷课标Ⅰ为例)
近5年来高考数列题分析（以全国卷课标Ⅰ为例）单的裂项相消法和错位相减法求解数列求和即可。
纵观全国新课标Ⅰ卷、Ⅱ卷的数列试题，我们却发现，新课标卷的数列题更加注重基础，强调双基，讲究解题的通性通法。
尤其在选择、填空更加突出，常常以“找常数”、“找邻居”、“找配对”、“构函数”作为数列问题一大亮点.从2011年至2015年，全国新课标Ⅰ卷理科试题共考查了8道数列题，其中6道都是标准的等差或等比数列，主要考查等差或等比数列的定义、性质、通项、前n项和、某一项的值或某几项的和以及证明等差或等比数列等基础知识。
而文科试题共考查了9道数列题，其中7道也都是标准的等差或等比数列，主要考查数列的性质、求通项、求和、求数列有关基本量以及证明等差或等比数列等基础知识。
1．从试题命制角度看，重视对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的考查。
2．从课程标准角度看，要求学生“探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和的公式，能在具体问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题”。
3．从文理试卷角度看，尊重差异，文理有别，体现了《普通高中数学课程标准（实验）》的基本理念之一“不同的学生在数学上得到不同的发展”。
以全国新课标Ⅰ卷为例，近五年理科的数列试题难度整体上要比文科的难度大一些。
如2012年文科第12题“数列 满足 ，求的前60项和”是一道选择题，但在理科试卷里这道题就命成了一道填空题，对考生的要求自然提高了。
具体来看，全国新课标卷的数列试题呈现以下特点：●小题主要考查等差、等比数列的基本概念和性质以及它们的交叉运用，突出了“小、巧、活”的特点，难度多属中等偏易。
●大题则以数列为引线，与函数、方程、不等式、几何、导数、向量等知识编织综合性强，内涵丰富的能力型试题，考查综合素质，难度多属中等以上，有时甚至是压轴题，难度较大。
（一）全国新课标卷对数列基本知识的考查侧重点1．考查数列的基本运算，主要涉及等差、等比数列的通项公式与前项和公式。
等差数列等比数列高考历年真题
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【考点16】等差数列、等比数列2009年考题1.（2009安徽高考）已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ）（A ）21 （B ）20 （C ）19 （D ） 18【解析】选B.由1a +3a +5a =105得33105,a =即335a =，由246a a a ++=99得4399a =即433a = ，∴2d =-，4(4)(2)412n a a n n =+-⨯-=-，由10n n a a +≥⎧⎨<⎩得20n =.2．（2009安徽高考）已知为等差数列，，则等于（ ）A. -1B. 1C. 3 D .7【解析】选B.∵135105a a a ++=即33105a =∴335a =同理可得433a =∴公差432d a a =-=-. ∴204(204)1a a d =+-⨯=.3．（2009福建高考）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4， 则公差d 等于（ ）A ．1B 53C.- 2 D 3 【解析】选C.∵31336()2S a a ==+且3112 =4 d=-2a a d a =+∴.4．（2009海南宁夏高考）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m ma a a -++-=，2138m S -=,则m =（ ）（A ）38 （B ）20 （C ）10 （D ）9【解析】选C.因为{}n a 是等差数列，所以，112m m m a a a -++=，由2110m m ma a a -++-=，得：2m a －2m a ＝0，所以，m a ＝2，又2138m S -=，即2))(12(121-+-m a a m ＝38，即（2m －1）×2＝38，解得m ＝10.5.（2009广东高考）已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++= （ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA. (21)n n -B. 2(1)n +C. 2nD. 2(1)n -【解析】选C.由25252(3)n n a a n -⋅=≥得n n a 222=，0>n a ，则n n a 2=， +⋅⋅⋅++3212log log a a2122)12(31log n n a n =-+⋅⋅⋅++=-.6.（2009广东高考）已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a = （ ）A. 21B.22C. 2D.2 【解析】选B.设公比为q ,由已知得()22824111a q a q q a q ⋅=,即22q =,因为等比数列}{n a 的公比为正数，所以2q =故21222a a q ===. 7.（2009辽宁高考）设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若 63S S =3 ，则 69SS =（ ）（A ） 2 （B ） 73 （C ） 83（D ）3【解析】选B.设公比为q ,则36333(1)S q S S S +=＝1＋q 3＝3 Þ q 3＝2于是63693112471123S q q S q ++++===++. 8．（2009辽宁高考）已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝（ ）（A ）－2 （B ）－12 （C ）12（D ）2【解析】选B. a 7－2a 4＝a 3＋4d －2(a 3＋d)＝2d ＝－1 Þ d ＝－12.9．（2009湖南高考）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于（ ）.A ．13B ．35C ．49D ． 63 【解析】选C.172677()7()7(311)49.222a a a a S +++====故选C. 或由21161315112a a d a a a d d =+==⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩, 716213.a =+⨯= 所以1777()7(113)49.22a a S ++=== 10．（2009四川高考）等差数列｛n a ｝的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前10项之和是（ ）A. 90B. 100C. 145D. 190【解析】选B.设公差为d ，则)41(1)1(2d d +⋅=+.∵d ≠0，解得d ＝2，∴10S ＝100.11．（2009辽宁高考）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655,S S -=则4a = 【解析】∵S n ＝na 1＋12n(n －1)d ∴S 5＝5a 1＋10d,S 3＝3a 1＋3d∴6S 5－5S 3＝30a 1＋60d －(15a 1＋15d)＝15a 1＋45d ＝15(a 1＋3d)＝15a 4 答案:3112．（2009山东高考）在等差数列}{n a 中,6,7253+==a a a ,则____________6=a .【解析】设等差数列}{n a 的公差为d ,则由已知得⎩⎨⎧++=+=+6472111d a d a d a 解得132a d =⎧⎨=⎩,所以61513a a d =+=.答案:13.13.（2009海南宁夏高考）等比数列{n a }的公比0q >, 已知2a =1，216n n n a a a +++=，则{n a }的前4项和4S =【解析】由216n n n a a a +++=得：116-+=+n n n q q q ，即062=-+q q ，0q >，解得q ＝2，又2a =1，所以，112a =，21)21(2144--=S ＝152。
数列高考试题及答案
数列高考试题及答案数列是高考数学中的重要内容，也是学生们常常遇到的难点之一。
下面将介绍几道典型的数列高考试题及答案，帮助学生们更好地理解和掌握数列的相关知识。
一、选择题1. 设数列{an}满足an = 2n，若数列{bn}为数列{an}的前20项之和，则b20 = （）。
A. 400B. 420C. 440D. 460答案：C解析：首先利用数列的前n项和公式Sn = n(a1 + an)/2，可以求得数列{an}的前20项之和为S20 = 420。
而题目中要求的是数列{bn}的第20项，根据题意可知{bn}的第n项为数列{an}的前n项之和，因此b20 = S20 = 420。
2. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n^2 - 2n，若数列{bn}满足bn =2an - 1，则数列{bn}的前5项依次为（）。
A. 17, 44, 83, 134, 197B. 23, 50, 89, 140, 203C. 17, 46, 87, 140, 205D. 23, 44, 87, 142, 209答案：C解析：首先计算数列{an}的前5项为a1 = 1, a2 = 10, a3 = 25, a4 = 46, a5 = 73。
然后利用数列{bn}的通项公式bn = 2an - 1，可以求得数列{bn}的前5项为b1 = 1, b2 = 19, b3 = 49, b4 = 91, b5 = 145。
因此选项C为正确答案。
二、填空题1. 设数列{an}满足a1 = 2，a2 = 5，an = an-1 + an-2（n ≥ 3），则a4 = （）。
答案：11解析：根据数列的通项公式an = an-1 + an-2，可以依次计算出数列的前4项为a1 = 2, a2 = 5, a3 = 7, a4 = 12。
因此a4 = 12。
三、解答题1. 已知数列{an}的通项公式为an = n^3 + n，计算数列{an}的前4项及前n项之和。
高考数学数列大题训练50题含答案解析
高考数学《数列》大题训练50题1 ．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足11a =，2(1)n n S n a =+.（1）求{n a }的通项公式； （2）求和T n =1211123(1)na a n a ++++.2 ．已知数列}{n a ，a 1=1，点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线0121=+-y x 上. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）函数)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 ，求函数)(n f 最小值. 3 ．已知函数xab x f =)( (a ，b 为常数)的图象经过点P （1，81）和Q （4，8）(1) 求函数)(x f 的解析式；(2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数，n S 是数列{a n }的前n 项和，求n S 的最小值。
4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15．求n S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式．5 ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S c ca =+-，其中c 是不等于1-和0的实常数.（1）求证: {}n a 为等比数列；（2）设数列{}n a 的公比()q f c =，数列{}n b 满足()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥，试写出1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，并求12231n n b b b b b b -+++的结果.6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线，且点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上. (1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15，求数列{a n }中的最小项.7 ．已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322a a a +++ (1)2n n a -+8n =对任意的∈n N*都成立，数列1{}n n b b +-是等差数列．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）问是否存在k ∈N *，使得(0,1)k k b a -∈？请说明理由．8 ．已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a nn n n 且中（I ）试求a 2，a 3的值；（II ）若存在实数}3{,nn a λλ+使得为等差数列，试求λ的值. 9 ．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1,211++=⋅=+n n S a n a n n ，（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）令n nn S T 2=，∈当n 为何正整数值时，1+>n n T T ：∈若对一切正整数n ，总有m T n ≤，求m 的取值范围。
全国卷数列高考题汇总附答案完整版
全国卷数列高考题汇总附答案Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】数列专题高考真题(2014·I) 17. (本小题满分12分)已知数列{a a}的前a项和为a a，a1=1，a a≠0，a a a a+1=aa a−1，其中a为常数.（Ⅰ）证明：a a+2−a a=a；（Ⅱ）是否存在a，使得{a a}为等差数列并说明理由.(2014·II) 17.（本小题满分12分）已知数列{a a}满足a1=1，a a+1=3a a+1.（Ⅰ）证明{a a+12}是等比数列，并求{a a}的通项公式；（Ⅱ）证明：1a1+1a2+⋯+1a a<32.(2015·I)（17）（本小题满分12分）a a为数列{a a}的前a项和.已知a a>0,a a2+2a a=4a a+3，（Ⅰ）求{a a}的通项公式：（Ⅱ）设a a=1a a a a+1,求数列{a a}的前a项和。
(2015·I I)（4）等比数列{a a}满足a1=3（A）21 （B）42 （C）63 （D）84(2015·I I)（16n．(2016·I)（3）已知等差数列{a a}前9项的和为27，a10=8，则a100=（A）100 （B）99 （C）98 （D）97(2016·I)（15）设等比数列{a a}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a a的最大值为__________。
(2016·II)（17）（本题满分12分）S为等差数列{a a}的前a项和，且a1=1 ，a7=28 记a a=[aaa a a]，其中n[a]表示不超过a的最大整数，如[0.9]=0，[aa99]=1.（I）求a1，a11，a101；（II）求数列{a a}的前1 000项和.(2016·III)（12）定义“规范01数列”{a a}如下：{a a}共有2a项，其中a项为0，a项为1，且对任意a≤2a，a1,a2,,a a中0的个数不少于1的个数.若a=4，则不同的“规范01数列”共有（A）18个（B）16个（C）14个（D）12个(2016·III)（17）（本小题满分12分）已知数列{a n}的前a项和S n=1+aa a，其中a≠0（I）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；，求a.（II）若S n=3132(2017·I)4A．1 B．2 C．4D．8(2017·I)12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。
高考数学《数列》大题训练50题含答案解析
一．解答题（共30小题）1．（2012•上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k；（3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式．2．（2011•重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n．3．（2011•重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）．（Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3．（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤．4．（2011•浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n项和为S n，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n；（Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n 与B n的大小．5．（2011•上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，…，c n，…（1）写出c1，c2，c3，c4；（2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…；（3）求数列{c n}的通项公式．6．（2011•辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10（I）求数列{a n}的通项公式；（II）求数列{}的前n项和．7．（2011•江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值；（2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列？若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由．8．（2011•湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5．（I）求数列{b n}的通项公式；（II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列．9．（2011•广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2）（1）求数列{a n}的通项公式；（4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1．10．（2011•安徽）在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作T n，再令a n=lgT n，n≥1．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=tana n•tana n+1，求数列{b n}的前n项和S n．11．（2010•浙江）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S5S6+15=0．（Ⅰ）若S5=5，求S6及a1；（Ⅱ）求d的取值范围．12．（2010•四川）已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．13．（2010•四川）已知数列{a n}满足a1=0，a2=2，且对任意m、n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2a m+n﹣1+2（m﹣n）2（1）求a3，a5；（2）设b n=a2n+1﹣a2n﹣1（n∈N*），证明：{b n}是等差数列；（3）设c n=（a n+1﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{c n}的前n项和S n．14．（2010•陕西）已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项；（Ⅱ）求数列{2an}的前n项和S n．15．（2010•宁夏）设数列满足a1=2，a n+1﹣a n=3•22n﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列的前n项和S n．16．（2010•江西）正实数数列{a n}中，a1=1，a2=5，且{a n2}成等差数列．（1）证明数列{a n}中有无穷多项为无理数；（2）当n为何值时，a n为整数，并求出使a n＜200的所有整数项的和．17．（2009•陕西）已知数列{a n}满足，，n∈N×．（1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列；（2）求{a n}的通项公式．18．（2009•山东）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意的n∈N*，点（n，S n），均在函数y=b x+r（b＞0）且b≠1，b，r均为常数）的图象上．（1）求r的值；（2）当b=2时，记b n=n∈N*求数列{b n}的前n项和T n．19．（2009•江西）数列{a n}的通项，其前n项和为S n，（1）求S n；（2），求数列{b n}的前n项和T n．20．（2009•辽宁）等比数列{a n}的前n项和为s n，已知S1，S3，S2成等差数列，（1）求{a n}的公比q；（2）求a1﹣a3=3，求s n．21．（2009•湖北）已知数列{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a2a6=55，a2+a7=16（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{a n}和数列{b n}满足等式a n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．22．（2009•福建）等比数列{a n}中，已知a1=2，a4=16（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项，试求数列{b n}的通项公式及前n项和S n．23．（2009•安徽）已知数列{a n}的前n项和S n=2n2+2n，数列{b n}的前n项和Tn=2﹣b n（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n2•b n，证明：当且仅当n≥3时，c n+1＜c n．24．（2009•北京）设数列{a n}的通项公式为a n=pn+q（n∈N*，P＞0）．数列{b n}定义如下：对于正整数m，b m是使得不等式a n≥m成立的所有n中的最小值．（Ⅰ）若，求b3；（Ⅱ）若p=2，q=﹣1，求数列{b m}的前2m项和公式；（Ⅲ）是否存在p和q，使得b m=3m+2（m∈N*）？如果存在，求p和q 的取值范围；如果不存在，请说明理由．25．（2008•浙江）已知数列{x n}的首项x1=3，通项x n=2n p+np（n∈N*，p，q为常数），且成等差数列．求：（Ⅰ）p，q的值；（Ⅱ）数列{x n}前n项和S n的公式．26．（2008•四川）设数列{a n}的前n项和为S n=2a n﹣2n，（Ⅰ）求a1，a4（Ⅱ）证明：{a n+1﹣2a n}是等比数列；（Ⅲ）求{a n}的通项公式．27．（2008•四川）在数列{a n}中，a1=1，．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）令，求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅲ）求数列{a n}的前n项和T n．28．（2008•陕西）已知数列{a n}的首项，，n=1，2，3，…．（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．29．（2008•辽宁）在数列{a n}，{b n}是各项均为正数的等比数列，设．（Ⅰ）数列{c n}是否为等比数列？证明你的结论；（Ⅱ）设数列{lna n}，{lnb n}的前n项和分别为S n，T n．若a1=2，，求数列{c n}的前n项和．30．（2008•辽宁）在数列{a n}，{b n}中，a1=2，b1=4，且a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列．（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{a n}，{b n}的通项公式，并证明你的结论；（2）证明：．答案与评分标准一．解答题（共30小题）1．（2012•上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k；（3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式．考点：数列递推式；数列的函数特性。
数列(全国高考题)
全国高考数列题1、(本小题满分14分)已知函数f(x)=x-sinx ，数列{a n }满足：0＜a 1＜1，a n+1=f(a n )，n=1，2，3，…．证明：(Ⅰ)0＜a n+1＜a n ＜1；(Ⅱ)a n+1＜61a n 3．2、（本小题１２分）已知正项数列{}n a ，其前n 项和n S 满足21056,n n n S a a =++且1215,,a a a 成等比数列，求数列{}n a 的通项.n a3、（本小题满分14分）已知公比为q(0＜q ＜1)的无穷等比数列{a n }各项的和为9，无穷等比数列{a n 2}各项的和为581。
（Ⅰ）求数列{a n }的首项a 1和公比q ：（Ⅱ）对给定的k(k=1,2,…,n),设T {k}是首项为a k ，公差为2a k -1的等差数列，求数列T {2}的前10项之和： （Ⅲ）设b i 为数列)(i T 的第i 项，s n =b 1+b 2+…+b n ，求s n ，并求正整数m(m ＞1),使得lim ∞→n m n n s 存在且不等于零。
（注：无穷等比数列各项的和即当n ∞→时该无穷等比数列前n 项和的极限）4、(本小题满分14分)在m(m ≥2)个不同数的排列p 1p 2…p m 中，若1≤i ＜j ≤m 时p i ＞p j (即前面某数大于后面某数)，则称i p 与j p 构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列(n+1)n(n-1)…321的逆序数为n a ，如排列21的逆序数1a =1，排列321的逆序数2a =3，排列4321的逆序数3a =6．(Ⅰ)求4a 、5a ，并写出n a 的表达式；(Ⅱ)令n b =nn n n a a a a 11+++,证明 2n ＜1b +2b +…+n b ＜2n+3， n=1，2，…．5、（本小题满分12分）已知正项数列}{n a ，其前n 项和S n 满足10S n =2n a ＋5a n ＋6，且a 1，a 3，a 15成等比数列，求数列}{n a 的通项a n .6、（本小题满分12分）在数列{}n a 中，11a =，2112(1)n n a a n +=+.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令112n n n b a a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n S . （Ⅲ）求数列{}n a 的前n 项和n T .7、(本小题满分14分)已知数列{a n }满足：a 1=23,且a n =12311-+--n a na n n (n ≥2,n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对一切正整数n ，不等式a 1²a 2²…²a n ＜2²n!恒成立.8、已知有穷数列{n a }共有2k 项（整数k ≥2），首项1a ＝2．设该数列的前n 项和为n S ，且1+n a ＝n S a )1(-＋2（n ＝1，2，┅，2k －1），其中常数a ＞1．（1）求证：数列{n a }是等比数列；（2）若a ＝2122-k ，数列{n b }满足n b ＝)(log 1212n a a a n⋅⋅⋅（n ＝1，2，┅，2k ），求数列{n b }的通项公式； （3）若（2）中的数列{n b }满足不等式|1b －23|＋|2b －23|＋┅＋|12-k b －23|＋|k b 2－23|≤4，求k 的值．9、（本小题满分14分）设数列}{n a 、}{n b 、}{n c 满足：2+-=n n n a a b ，2132++++=n n n n a a a c （n =1,2,3,…）， 证明}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b （n =1,2,3,…）10、(本小题满分14分)已知各项均为正数的数列{a n }满足1122++--n n n n a a a a =a n a n+1，n ∈N *． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n =a 21+a 22+…+a 2n ，T n =22221111na a a ++，求S n +T n ，并确定最小正整数n ，使S n +T n 为整数．11、设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意正整数n ，a n +S n =4096.(1)求数列{a n }的通项公式：(2)设数列{log 2a n }的前n 项和为T n .对数列{T n }，从第几项起T n ＜-509？12、（本小题满分12分）在数列{}n a 中，11a =，2112(1)n n a a n +=+⋅. （Ⅰ）证明数列2{}n a n是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令112n n n b a a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅲ）求数列{}n a 的前n 项和n T .13、（本小题满分12分）数列}{a n 的前n 项和为S n ，已知211=a ，s n =n 2a n -n(n-1),n=1，2… （Ⅰ）写出s n 与s n 1-的递推关系式（n ≥2）,并求s n 关于n 的表达式： （Ⅱ）设))((,)(1R p p n x f b x s f n n n n n ∈==+求数列｛b n ｝的前n 项和T n 。
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历年数列高考题大全答案Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】历年高考《数列》真题汇编1、(2011年新课标卷文) 已知等比数列{}n a 中，113a =，公比13q =．（I ）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12nn a S -=（II ）设31323log log log n n b a a a =+++，求数列{}n b 的通项公式．解：（Ⅰ）因为.31)31(311n n n a =⨯=-,2311311)311(31nn n S -=--= 所以,21nn a S --（Ⅱ）n n a a a b 32313log log log +++= ).......21(n +++-= 2)1(+-=n n所以}{n b 的通项公式为.2)1(+-=n n b n 2、(2011全国新课标卷理）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== （1）求数列{}n a 的通项公式.(2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和.解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以219q =。
有条件可知a>0,故13q =。
由12231a a +=得12231a a q +=，所以113a =。
故数列{a n }的通项式为a n =13n 。
（Ⅱ?）111111log log ...log n b a a a =+++ 故12112()(1)1n b n n n n =-=--++ 所以数列1{}n b 的前n 项和为21nn -+3、（2010新课标卷理）设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=（1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S解（Ⅰ）由已知，当n ≥1时，111211[()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+21233(222)2n n --=++++2(1)12n +-=。
而 12,a =所以数列{n a }的通项公式为212n n a -=。
（Ⅱ）由212n n n b na n -==⋅知35211222322n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅ ①从而 23572121222322n n S n +⋅=⋅+⋅+⋅++⋅ ② ①-②得 2352121(12)22222n n n S n -+-⋅=++++-⋅ 。
即 211[(31)22]9n n S n +=-+4、（20I0年全国新课标卷文） 设等差数列{}n a 满足35a =，109a =-。
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值。
解：（1）由a m = a 1 +（n-1）d 及a 1=5，a 10=-9得解得192{a d ==-数列{a n }的通项公式为a n =11-2n 。
……..6分(2)由(1) 知S n =na 1+(1)2n n -d=10n-n 2。
因为S n =-(n-5)2+25.所以n=5时，S n 取得最大值。
5、（2011年全国卷）设等差数列{}n a 的前N 项和为n S ,已知26,a =12630,a a +=求n a 和n S 6、（ 2011辽宁卷）已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和．解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110,21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得11,1.a d =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- ………………5分 （II ）设数列1{}2n n n a n S -的前项和为，即2111,122nn n a a S a S -=+++=故， 所以，当1n >时，=.2n n 所以1.2n n n S -= 综上，数列11{}.22n n n n a nn S --=的前项和 7、（2010年陕西省）已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n }的通项; （Ⅱ）求数列{2an }的前n 项和S n . 解 （Ⅰ）由题设知公差d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得121d +＝1812dd++，解得d ＝1，d ＝0（舍去）， 故{a n }的通项a n ＝1+（n －1）×1＝n . (Ⅱ)由（Ⅰ）知2ma =2n，由等比数列前n 项和公式得S n =2+22+23+ (2)=2(12)12n --=2n+1-28、（2009年全国卷）设等差数列{n a }的前n 项和为n s ，公比是正数的等比数列{n b }的前n 项和为n T ，已知1133331,3,17,12,},{}n n a b a b T S b ==+=-=求{a 的通项公式。
解： 设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q由3317a b +=得212317d q ++= ① 由3312T S -=得24q q d +-= ② 由①②及0q >解得 2,2q d ==故所求的通项公式为 121,32n n n a n b -=-=⨯ 9、（2011福建卷）已知等差数列{a n }中，a 1=1，a 3=-3.（I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）若数列{a n }的前k 项和S k =-35，求k 的值. 10、（2011重庆卷）设是公比为正数的等比数列，,.(Ⅰ)求的通项公式。
(Ⅱ)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和.11、（2011浙江卷）已知公差不为0的等差数列}{n a 的首项为)(R a a ∈，且11a ，21a ，41a 成等比数列． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）对*N n ∈，试比较n a a a a 2322221...111++++与11a 的大小． 解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可知2214111()a a a =⋅ 即2111()(3)a d a a d +=+，从而21a d d = 因为10,.d d a a ≠==所以故通项公式.n a na =（Ⅱ）解：记22222111,2n nn n T a a a a a =+++=因为所以211(1())111111122()[1()]1222212n n n n T a a a -=+++=⋅=--从而，当0a >时，11n T a <；当110,.n a T a <>时 12、（2011湖北卷）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{}n b 中的b 、b 、b 。
(I) 求数列{}n b 的通项公式；(II) 数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：数列54n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列。
13、（2010年山东卷）已知等差数列{}n a 满足：73=a ，2675=+a a ，{}n a 的前n 项和为n S （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令112-=n n a b （*N n ∈），求数列{}n b 的前n 项和为n T 。
解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由于73=a ，2675=+a a ，所以721=+d a ，261021=+d a ， 解得31=a ，2=d ，由于d n a a n )1(1-+=，2)(1n n a a n S += ， 所以12+=n a n ，)2(+=n n S n（Ⅱ）因为12+=n a n ，所以)1(412+=-n n a n因此)111(41)1(41+-=+=n n n n b n故n n b b b T +++= 21)1113121211(41+-++-+-=n n )111(41+-=n )1(4+=n n 所以数列{}n b 的前n 项和)1(4+=n n T n14、（2010陕西卷）已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n }的通项; （Ⅱ）求数列{2an }的前n 项和S n . 解 （Ⅰ）由题设知公差d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得121d +＝1812dd++，解得d ＝1，d ＝0（舍去）， 故{a n }的通项a n ＝1+（n －1）×1＝n . (Ⅱ)由（Ⅰ）知2ma =2n ，由等比数列前n 项和公式得S m =2+22+23+ (2)=2(12)12n --=2n+1-2.、15、（2010重庆卷）已知{}n a 是首项为19，公差为-2的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和. （Ⅰ）求通项n a 及n S ；（Ⅱ）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T . 16、（2010北京卷）已知||n a 为等差数列，且36a =-，60a =。
（Ⅰ）求||n a 的通项公式；（Ⅱ）若等差数列||n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求||n b 的前n 项和公式 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d 。
因为366,0a a =-= 所以112650a d a d +=-⎧⎨+=⎩ 解得110,2a d =-=所以10(1)2212n a n n =-+-⋅=-（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q 因为212324,8b a a a b =++=-=-所以824q -=- 即q =3所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)4(13)1n n n b q S q-==-- 17、（2010浙江卷）设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数{a n }的前n 项和为S n ，满足S 2S 6＋15＝0. （Ⅰ）若S 5＝S .求S n 及a 1; （Ⅱ）求d 的取值范围. 解：(Ⅰ)由题意知S 0=5-15S -3,a =S -S =-8 所以11105,58.Sa d a d +=⎧⎨-=-⎩解得a 1=7所以S =-3,a 1=7(Ⅱ)因为SS +15=0,所以(5a 1+10d )(6a 1+15d )+15=0,即2a 12+9da 1+10d 2+1=0. 故(4a 1+9d )2=d 2-8. 所以d 2≥8.故d 的取值范围为d ≤-22 18、（2010四川卷） 已知等差数列{}n a 的前3项和为6，前8项和为-4。