湖南城市学院-随机过程讲稿(10)
关键词 随机过程 状态与状态空间 样本函数 有限维分布函数 均值函数-PPT文档资料
例 5 ： 以 N () t表 示 0 , t 内 到 某 保 险 公 司 理 赔 的 人 数 。 则 N () t, t 0 是 连 续 时 间 离 散 状 态 的 随 机 过 程 , 状 态 空 间 是 0 , 1 , 2 , .
假 设 不 会 有 两 人 或 两 人 以 上 同 时 理 赔 , 设 第 i 人 理 赔 的 时 间 为 t ， i 则 0 t t t . . . , 对 应 的 样 本 函 数 为 ： 1 2 3
s
n
6
5
4
3
2
1
1
2
3
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5
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8
n
例2：考虑抛掷一颗骰子的试验：
( 1 )设 X 是 第 n 次 ( n 1 ) 抛 掷 的 点 数 ， n X , n 1 的 状 态 空 间 为 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 。 n ( 2 )设 Y 是 前 n 次 出 现 的 最 大 点 数 , Yn , 1 n n 的 状 态 空 间 仍 是 1 ,2 , 3 ,4 , 5 ,6 。
X :T S R X (t , e)
(1) X (t , )是随机变量
( 2 ) X ( , e ) 是 t 的 函 数 , 称 为 样 本 函 数
X ( t , e ) 所 有 可 能 取 值 的 全 体 称 为 状 态 空 间
对 随 机 过 程 的 一 次就 具 体 观 察 结 果 是 一 条 样 本 函 数
t T i
称 为 随 机 过 程 X () t, t T 的 有 限 维 分 布 函 数 族 它 完 全 确 定 了 随 机 过 程 的 统 计 特 性
随机过程教程
概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律 性的一门学科，是重要的一个数学分支。
2019/12/24
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随机现象的例子： 1. 买一张彩票，可能不中奖，也可能中一等奖、 二等奖、三等奖等。 2. 规定硬币的某一面为正面。掷这枚硬币时， 可能正面向上、也可能反面向上。
2019/12/24
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§1 随 机 事 件 的 概率
一 随机试验 二 事件间的关系与运算 三 频率与概率
2019/12/24
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一、 随 机 试验
§1 随机事件的概率
1) 随机试验（Experiment ）
这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样的 科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。
E2：抛一颗均匀的骰子，观察出现的点数S。2 : { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
E3：观察某一时间段通过某一路口的车辆数。S3 : {0,1,2,3……}
E4：观察某一电子元件的寿命。
S4 : { t | t 0 }
E5：观察某地区一昼夜的最低温度和最高温度。
S5 : { ( x , y ) | T 0 x y T1 }
教学目标
充分理解、熟练掌握教材的内容
熟练掌握基本的数学概念和定理 熟练掌握基本研究对象的数学描述
通过学习和习题练习，具备一定的解决问 题分析问题的能力
掌握一定的科学思想方法
对学习者的要求
三个重要环节
课前预习 课上认真听讲 课后认真复习消化、作业
经常进行阶段复习
掌握知识的窍诀：反复思维实践
第三讲 随机过程
• • 随机过程简记为 {xt} 或 xt。随机过程也常简称为过程。
随机过程
• 随机过程一般分为两类。一类是离散型的，一类 是连续型的。 • 如果一个随机过程{xt}对任意的tT 都是一个连 续型随机变量，则称此随机过程为连续型随机过 程。 • 如果一个随机过程{xt}对任意的tT 都是一个离 散型随机变量，则称此随机过程为离散型随机过 程。我们只考虑离散型随机过程。
随机过程
• 例如，对河流水位的测量。其中每一时刻 的水位值都是一个随机变量。如果以一年 的水位纪录作为实验结果，便得到一个水 位关于时间的函数xt。这个水位函数是预先 不可确知的。只有通过测量才能得到。而 在每年中同一时刻的水位纪录是不相同的。
随机过程
• 随机过程：由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程， 记为{x (s， t) ， sS ， tT }。其中S表示样本空间， T表示序数集。对于每一个 t， tT， x (· t ) 是样本空 ， 间S中的一个随机变量。 • 对于每一个 s， sS ， x (s， · 是随机过程在序数集T ) 中的一次实现。
随机过程
随机过程
• 为什么在研究时间序列之前先要介绍随机 过程？就是要把时间序列的研究提高到理 论高度来认识。时间序列不是无源之水。 它是由相应随机过程产生的。只有从随机 过程的高度认识了它的一般规律。对时间 序列的研究才会有指导意义。对时间序列 的认识才会更深刻。
随机过程
• 自然界中事物变化的过程可以分成两类。一类是 确定型过程，一类是非确定型过程。 • 确定型过程即可以用关于时间t的函数描述的过程。 例如，真空中的自由落体运动过程，电容器通过 电阻的放电过程，行星的运动过程等。 • 非确定型过程即不能用一个（或几个）关于时间t 的确定性函数描述的过程。换句话说，对同一事 物的变化过程独立、重复地进行多次观测而得到 的结果是不相同的。
湖南城市学院-随机过程讲稿(17)
l pii , p ljj 相互控制，同为无穷或有限，从而同为常返或非常 l 0
l 0
l 0
l 0
[定理7.11]如果j是非常返态，则对于每一个i，有
p
n 1
n
ij
和
lim pij 0
n
n
[定义7.12]如果有正整数d，d>1，只有当n=d, 2d, 3d,…时 态i是具有周期性的状态。
[定义7.9] 如果单个状态i构成一个闭集，则称这个状态i为吸 收态。 例题： 设有四个状态（0,1,2,3）的马尔可夫链，它的一步 转移概率矩阵为P，对其状态进行分类。
1 1 2 2 0 1 1 0 P 2 2 1 1 1 4 4 4 0 0 0
0 0 1 4 1
f ij P Tij n1X 0 i 0
n
[定义7.11] 对于马尔可夫链X(k)，定义自状态i出发迟早到达 状态j的概率为
fij
1 n
fij
n
1 n
P T
ij
n1X 0 i P Tij
[定理7.8] fij>0的充要条件是i→j。 [推论7.3] 状态i,j相通的充要条件是fij>0 和fji>0 。当i=j时，fii 的取值在0-1之间的一个数值，根据取值情况，把状态i分为： 若fii=1, 则称 i 为常返状态， 若fii<1, 则称 i 为非常返状态（或瞬时状态或称滑过的）。
n 1
由定义知状态0为常返态。 因此，由定理知I中所有状态都是常返态。 故此马氏链为不可约常返链。
7.2.4马尔可夫链的遍历性 [定义7.13]如果齐次马尔可夫链中，对于一切的i和j，存在 不依赖i的极限，即
随机过程讲义（第二章）（PDF）
第二章 随机过程的一般概念2.1 随机过程的基本概念和例子定义2.1.1：设(P ,,F )Ω为概率空间，T 是某参数集，若对每一个，是该概率空间上的随机变量，则称为随机过程(Stochastic Process)。
T t ∈),(w t X ),w t (X 随机过程就是定义在同一概率空间上的一族随机变量。
随机过程可以看成定义在),(w t X Ω×T 上的二元函数，固定Ω∈0w ，即对于一个特定的随机试验，称为样本路径(Sample Path)，或实现(realization)，这是通常所观测到的过程；另一方面，固定，是一个随机变量，按某个概率分布随机取值。
),(0w t X T t ∈0),(0w t X抽象一点：令，即∏∈=Tt T R R T R 中的元素为),(T t x X t t ∈=,为其Borel域(插乘)(T R B σ域)，随机过程实质上是()F ,Ω到())(,T T R R B 上的一个可测映射，在())(,T TR RB 上诱导出一个概率测度：T P ()B X P B P R B T T T ∈=∈∀)(),(B 。
一般代表的是时间。
根据参数集T 的性质，随机过程可以分为两大类： t 1)为可数集，如T {}L ,2,1,0=T 或{}L L ,1,0,1,−=T ，称为离散参数随机过程，也称为随机序列；2)为不可数集，如T {}0≥=t t T 或{}∞<<∞−=t t T ，称为连续参数随机过程。
随机过程的取值称为过程所处的状态(State)，所有状态的全体称为状态空间(State Space)。
通常以表示随机过程的状态空间。
根据状态空间的特征，一般把随机过程分为两大类：T t t X ∈),(S 1) 离散状态，即取一些离散的值； )(t X 2)连续状态，即的取值范围是连续的。
)(t X离散参数离散状态随机过程： Markov 链 连续参数离散状态随机过程： Poisson 过程 离散参数连续状态随机过程： *Markov 序列连续参数连续状态随机过程： Gauss 过程，Brown 运动例2.1.1：一醉汉在路上行走，以的概率向前迈一步，以q 的概率向后迈一步，以p r 的概率在原地不动，1=++r q p ，选定某个初始时刻，若以记它在时刻的位置，则就是直线上的随机游动(Random Walk)。
随机过程_课件---第三章
随机过程_课件---第三章第三章随机过程3.1 随机过程的基本概念1、随机过程定义3-1 设(),,F P Ω是给定的概率空间，T 为一指标集，对于任意t T ∈，都存在定义在(),,F P Ω上，取值于E 的随机变量()(),X t ωω∈Ω与它相对应，则称依赖于t 的一族随机变量(){},:X t t T ω∈为随机过程，简记(){}tX ω，{}tX 或(){}X t 。
注：随机过程(){,:,}X t t T ωω∈Ω∈是时间参数t 和样本点ω的二元函数，对于给定的时间是()00,,t T X t ω∈是概率空间(),,F P Ω上的随机变量；对于给定样本点()00,,X t ωω∈Ω是定义在T 上的实函数，此时称它为随机过程对应于0ω的一个样本函数，也成为样本轨道或实现。
E 称为随机过程的相空间，也成为状态空间，通常用""t X x =表示t X 处于状态x 。
2、随机过程分类：随机过程t X 按照时间和状态是连续还是离散可以分为四类：连续型随机过程、离散型随机过程、连续随机序列、离散随机序列。
3、有穷维分布函数定义3-2 设随机过程{}t X ，在任意n 个时刻1,,n t t 的取值1,,nt tX X 构成n 维随机向量()1,,n t t XX ，其n 维联合分布函数为：()()11,,11,,,,nnt t nt t nF x x P X x Xx ≤≤其n 维联合密度函数记为()1,,1,,n t tn f x x 。
我们称(){}1,,11,,:1,,,nt t n n Fx x n t t T ≥∈ 为随机过程{}t X 的有穷维分布函数。
3.2 随机过程的数字特征1、数学期望对于任何一个时间t T ∈，随机过程{}t X 的数学期望定义为()()tX t t E X xdF x μ+∞-∞==?()t E X 是时间t 的函数。
2、方差与矩随机过程{}t X 的二阶中心矩22()[(())],tX t t t Var X E X E X t T σ==-∈称为随机过程{}t X 的方差。
随机过程-第一章
• {X(t， e)，t∈T ，e∈Ω} 为一随机过程。
• 其实际意义就是： 若一物理过程，当时间t（或广义时间）固定，
过程所处的状态是随机的（不确定的），则此
过程就为随机过程。对该过程的一次记录（或
一个观察）就是一个现实，或称作随机过程的
一个样本函数或样本曲线。 • 固定t0，X（t0）是随机变量。 • 固定e0，X（t，e0）是一个现实，是t的函数，记 为 x(t)。
例4：具有随机初位相的简谐波。 X（t）=acos（ω0t+Φ），-∞<t<+∞， 其中a与ω0是正常数， Φ是在[0，2π]上均匀分布的随机变量。 一方面，随机过程X（t）是一族随机变量。 对每个固定t0， X（t0）= acos(ω0t+Φ)是个 随机变量。对（-∞，+∞）上有多少个t， 就对应多少个随机变量。∴对（-∞，+∞） 所有t，X（t）看作一族随机变量。 另一方面，随机过程是一族样本函数（曲线） 对样本空间Ω中每个基本事件e对应一个样本 函数，本例，Φ在Ω=[0，2π] 上任给定一个 相 位φi=e，就对应一个样本曲线，如：书P 4。
例6： 利用抛掷硬币的试验定义一个随机过程。
X（t） { sin π t，出现正面 ，记为记为 ω 0 e ，出现反面, 记 ω 1
t
(t R)
写出X（t）的所有样本函数（现实）
二、随机过程的的分布（有限维分布族） 1、对任意固定的t0∈T，随机过程X(t)的状态 X(t0)是一维随机变量， 其分布函数是P{X(t0)≤x} F(x，t0) 由于t的任意性，称F(x; t) = P{X(t) ≤x } 为随机过程X(t)的一维分布函数。 F(x，t)是与t有关的一维分布函数，在t，x平 面上是X(t)落在区间(X(t) ≤x)上的概率。
随机过程
部分描述
– 均值函数 – 相关函数、协相关函数 – （均方函数、方差函数）
本章的要求
掌握对随机现象从统计角度建立数学模型的基 本思想 熟练掌握三种基本随机对象的概念及其描述 技能要求
– – – – 根据基本事件的概率计算其他事件的概率 熟练运用全概率和Bayes公式 熟练掌握五种概率函数间的关系和性质 熟练掌握各种矩的计算
– 均值向量 – 相关矩阵，协相关矩阵 – 相关矩、协相关矩、相关系数
关于“随机过程”
一类随机变量的集合 时间离散：可数无穷维的随机向量 时间连续：不可数无穷维随机向量 所以：随机过程在本质上是随机变量概 念的推广和扩展，“维数”具备了时间 上的意义
随机过程的描述
完全描述
– 概率函数族（五种）
关于“概率集函数”
该集函数的原像是事件，原像对应的像 （数）是该事件的概率 满足三条公理和一些基本性质 是一种先验的定义 通常只在基本事件集合上给出，其他事 件上的定义根据可列可加性准则给出
条件概率和事件间的关系
条件概率 独立性 全概率公式 Bayes公式
概率空间和随机对象的关系
本章的作用
是全书内容的基础 要熟练掌握
The End
关于“样本空间”
随机系统所有输出样本点的集合 分为可数和不可数
– 可数样本空间可以用自然数集合或者其子集 表示 – 不可数样本空间可以用实数集合或者其子集 表示，也可以用欧氏空间来表示
关于“事件”
是观察者关心的一类样本点的集合，这 些样本点具有某类特征，因而称为事件 为了逻辑上相容性，规定所有事件的集 合满足Borel三公理 Borel 基于同一个样本空间可以构造多个Borel 事件集
《随机过程》 随机过程》 第2章小结