最新湖北省黄冈、华师附中等八校2019届高三年级第一次联考数学(文)试题
大学第一附属中学、黄石二中、孝感高中、荆州中学等八校2019届高三上学期第一次联考文数试题解析(解析版)
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|}A x y x ==，{|lg(2)}B x y x ==-，则A B =（ ）A ．[0,2]B ．[0,2)C ．(,2]-∞D ．(,2)-∞ 【答案】D 【解析】试题分析：由已知A R =，又20x ->得2x <，即(.2)B =-∞，所以(,2)A B =-∞，故选D ．考点：集合的运算．2．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2i e 表示的复数在复平面中位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B考点：复数的几何意义．3．已知()sin f x x x =-+，命题:0,2p x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，()0f x <，则（ ） A ．p 是假命题，:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∀∈≥ ⎪⎝⎭B ．p 是假命题，00:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∃∈≥ ⎪⎝⎭C ．p 是真命题，:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∀∈≥ ⎪⎝⎭D ．p 是真命题，00:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∃∈≥ ⎪⎝⎭【答案】D考点：命题的真假，命题的否定．4．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论错误的是（ ）A ．0d <B ．70a =C ．95S S >D ．6S 与7S 均为n S 的最大值 【答案】C 【解析】试题分析：6565S S a S =+>⇒60a >，67S S =7760a S S ⇒=-=，8787S S a S =+<80a ⇒<，870d a a =-<，从而当8n ≥时，都有80a <，6S 与7S 均为n S 的最大值，由70a =，得680a a +=，所以856785S S a a a S =+++=，而9898S S a S =+<，即95S S <，所以C 错误，故选C ． 考点：等差数列的性质．【名师点睛】求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解． (2)邻项变号法： ①a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .5．若偶函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，2(log 3a f =），4(log 5)b f =，32(2)c f =，则,,a b c 满足（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a << 【答案】B 【解析】试题分析：由已知()f x 在[0,)+∞上单调递增，422log 5log log 3=<，所以b a <，又3222log 3log 422<=<=，所以a c <，即b a c <<，故选B ．考点：比较大小，函数的单调性． 6．已知正数,x y 满足20350x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩，则2z x y =--的最小值为（ ）A ．2B ．0C ．-2D ．-4 【答案】D考点：简单的线性规划问题．7．在等腰ABC ∆中，4BC =，AB AC =，BA BC ⋅=（ ） A ．4- B ．4 C ．8- D ．8 【答案】D 【解析】试题分析：cos BA BC BA BC ABC ⋅=∠cos BA ABC BC =∠⋅22114822BC ==⨯=，故选D ．考点：向量的数量积． 8．要得到函数()cos(2)3f x x π=+的图象，只需将函数()sin(2)3g x x π=+的图象（ ） A ．向左平移2π个单位长度 B ．向右平移2π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度【答案】C考点：三角函数图象变换．9．已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）A．60++ B．60++ C．60+ D．60+ 【答案】A 【解析】试题分析：题设三视图是下图中几何体ABCDEF 的三视图，由三视图中的尺寸，知其表面积为142ADE S ∆=⨯⨯=4624ABCD S =⨯=,1(63)4182ABFE DCFE S S ==⨯+⨯=,142BCF S ∆=⨯=，4第9题图所以ABFE DCFE ABCD ADE BCF S S S S S S ∆∆=++++60=++，故选A ．FEDCBA考点：几何的表面积．10．函数222,1,()log (1),1,x x f x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩且()3f a =-，则(5)f a -=（ ）A ．74-B ．54-C ．34-D ．14- 【答案】A考点：分段函数．11．点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，,O P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图，那么点P 所走的图形是（ ）BCDAOPOPOPPO【答案】C考点：函数的图象问题．【名师点睛】本题考查实际问题的函数图象表示．作函数的图象，不管有没有函数的解析式，我们都能够通过研究函数的一些性质，描出函数的大致图象，研究函数定义域，函数图象与坐标轴（横、纵轴）的交点，对称性（对称轴、对称中心），单调性，周期性，极值（最值），凹凸性等等．12．若函数()y f x =对任意(,)22x ππ∈-满足()cos ()sin 0f x x f x x '+>，则下列不等式成立的是（ ） A ．()()34f f ππ-<- B()()34f ππ<C ．(0)2()3f f π> D．(0)()4f π>【答案】A 【解析】试题分析：设()()cos f x g x x =，则2'()cos ()sin '()cos f x x f x xg x x+=，由题意'()0g x >，所以()g x 是增函数，又34ππ-<-，所以()()34g g ππ-<-，即()()34cos()cos()34f f ππππ--<--，即()()34f ππ-<-，故选A ．考点：导数与函数的单调性．【名师点睛】本题考查函数的导数与单调性的关系．解此类题的关键是构造一个函数，使其导数与已知不等式相关（如能相等进最好的了），象本题一样构造出函数()()cos f x g x x=， 2'()cos ()sin '()cos f x x f x xg x x+=，这样由已知可得'()0g x >，从而得出新函数()g x 的单调性，利用单调性得出所要的结论．第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知平面直角坐标系中，角α终边过点(2,1)P ，则2cos sin 2αα+的值为 ． 【答案】85考点：三角函数的定义，二倍角公式．14．已知向量(2,1)a =，(2,3)b =-，且()(3)ka b a b -+，则实数k 等于 ．【答案】13- 【解析】试题分析：由已知(22,3)ka b k k -=-+，3(8,8)a b +=-，由()(3)ka b a b -+得8(22)8(3)k k --=+，解得13k =-．考点：向量平行的坐标表示．15．函数21y ax =-在[0,2]上的最大值是7，则指数函数xy a =在[0,3]上的最大值与最小值之和为 ． 【答案】9【解析】试题分析：显然21y ax =-在[0,2]上是单调的，0x =时，1y =-，所以417a -=，2a =，函数2xy =在[0,3]上的最小值为021=，最大值为328=，和为9． 考点：函数的最值．【名师点睛】1．一次函数()f x ax b =+不是增函数就是减函数，所以其在闭区间上的最值一定在区间端点处取得．2．指数函数xy a =(01)a a >≠且与对数函数log a y x =(01)a a >≠且在01a <<时是减函数，在1a >时，是增函数，所以这两类函数的单调性要按a 分类． 16．埃及数学中有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单分数和的形式．例如2115315=+，能够这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人12，不够，每人13，余13，再将这13分成5份，每人得115，这样每人分得11315+．形如2(5,7,9,11,)n n =的分数的分解：2115315=+，2117428=+，2119545=+，按此规律，211= ；2n= (5,7,9,11,)n =． 【答案】11666+；111(1)22n n n +++考点：归纳推理，合情推理．【名师点睛】1.归纳是依据特殊现象推断出一般现象,因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围.2.归纳的前提是特殊的情况,所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的.特别提醒：归纳推理所得结论未必准确,有待进一步证明,但对数学结论和科学的发现很有用. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在等比数列{}n a 中，公比1q >，22a =，前三项和37S =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2log n n b a =，121n n n c b b ++=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）12n n a -=；（2）1nn +．(Ⅱ)由(Ⅰ)中, 12n n a -=,122log log 21n n n b a n -===-…………8分∴121111()(n 1)1n n n c b b n n n ++===-⋅⋅++ ………………10分∴1111)111()3121()211(21+=+-=+-++-+-=+++=n nn n n c c c T n n ……12分 考点：等比数列的前n 项和，裂项相消法求和．18．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，60CAB ∠=，4AC =，BC = （1）求ABC ∆的面积；（2）若函数()sin()f x M x ωϕ=+(0,0,)2M πωϕ>><的图象经过A 、C 、B 三点，且A 、B 为()f x 的图象与x 轴相邻的两个交点，求()f x 的解析式．【答案】（1）；（2）()4sin()63f x x ππ=+．第18题图)36sin(4)(ππ+=∴x x f ． ………………12分 考点：三角形的面积，余弦定理，三角函数的解析式．【名师点睛】确定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的解析式的步骤：1.求A,b ,确定函数的最大值M 和最小值m ,则A=,b=. 2.求ω,确定函数的周期T ,则ω=.3.求φ,常用方法有：(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A,ω,b 已知)或代入图象与直线y=b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).(2)五点法：确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx+φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx+φ=;“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx+φ=;“第五点”为ωx+φ=2π.19．（本小题满分12分）如图，已知长方形ABCD 中，AB =AD =，M 为DC的中点．将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．（1）求证：AD BM ⊥； （2）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，三棱锥E ADM -的体积与四棱锥D ABCM -的体积之比为1:3？第19题图【答案】（1）证明见解析；（2）E 为DB 的中点．考点：面面垂直的性质，线线垂直，棱锥的体积．20．（本小题满分12分）小明同学制作了一个简易的网球发射器，可用于帮忙练习定点接发球，如图1所示，网球场前半区、后半区总长为23.77米，球网的中间部分高度为0.914米，发射器固定安装在后半区离球网底部8米处中轴线上，发射方向与球网底部所在直线垂直．为计算方便，球场长度和球网中间高度分别按24米和1米计算，发射器和网球大小均忽略不计．如图2所示，以发射器所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上的球场中轴线上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1米．已知若不考虑球网的影响，网球发射后的轨迹在方程2211(1)(0)280y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向相关．发射器的射程是指网球落地点的横坐标．（1）求发射器的最大射程；（2）请计算k 在什么范围内，发射器能将球发过网（即网球飞行到球网正上空时，网球离地距离大于1米）？若发射器将网球发过球网后，在网球着地前，小明要想在前半区中轴线的正上空选择一个离地面2.55米处的击球点正好击中网球，试问击球点的横坐标a 最大为多少？并请说明理由．【答案】（1）20米；（2）1922k <<，击球点的横坐标 a 最大为14．(Ⅱ)网球发过球网，满足8x =时1y >． 所以244(1)15k k -+>，即242090k k -+<， 第20题图所以1922k << ………………8分 依题意：关于k 的方程2211(1) 2.55280ka k a -+=在19,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上有实数解 即222402040a k ak a -++= ………………9分22240204(0)a k ak a a -++≠()222160042040a a a ∆=-+≥得14a ≤， ………………11分 此时107k =，球过网了， 所以击球点的横坐标 a 最大为14 ………………12分考点：函数的应用．21．（本小题满分12分）已知函数(),xf x e x R =∈．（1）若直线y kx =与()f x 的反函数的图象相切，求实数k 的值；（2）若0m <，讨论函数2()()g x f x mx =+零点的个数． 【答案】（1）1e；（2）当2(,)4e m ∈-∞-时，函数()g x 有三个零点； 当24e m =-时，函数()g x 有两个零点；当2(,0)4e m ∈-时函数()g x 有一个零点．(Ⅱ) 函数2()()g x f x mx =+的零点的个数即是方程2()0f x mx +=根的个数， 等价于两个函数2()xe h x x=与函数y m =-图象交点的个数．当2(,)4e m ∈-∞-时，曲函数2()xe h x x=与函数y m =-图象交点的个数为3.…………11分综上所述，当2(,)4e m ∈-∞-时，函数()g x 有三个零点； 当24e m =-时，函数()g x 有两个零点； 当2(,0)4e m ∈-时函数()g x 有一个零点．………………12分 考点：利用导数求曲线的切线，函数的零点．【名师点睛】曲线()y f x =“在点00(,)P x y 处的切线”与“过点00(,)P x y 的切线”的区别与联系：①曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线是指P 为切点，切线斜率为0'()k f x =的切线，是唯一的一条切线．②曲线()y f x =过点00(,)P x y 的切线，是指切线经过P 点．点P 能够是切点，也能够不是切点，而且这样的直线可能有多条．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22．（本小题满分10分）选修4-1 几何证明选讲如图，BC 是圆O 的直径，点F 在弧BC 上，点A 为弧BF 的中点，作AD BC ⊥于点D ，BF 与AD 交于点E ，BF 与AC 交于点G ．（1）证明：AE BE =；（2）若9AG =，7GC =，求圆O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）10．（2）由ABG ACB ∆∆知2916AB AG AC =⋅=⨯12AB = ……………8分直角ABC ∆中由勾股定理知20BC = ……………9分圆的半径为10 ……………10分考点：圆周角定理，相似三角形的性质．23．（本小题满分10分）选修4-4 极坐标与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=，曲线13cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）． （1）求曲线1C 的普通方程；（2）若点M 在曲线1C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值．【答案】（1）22194x y +=；（2．（2）曲线C 的普通方程是：2100x y +-= ……………5分设点(3cos ,2sin )M αα，由点到直线的距离公式得：)10d αϕ--其中34cos ,sin 55ϕϕ==………9分0αϕ∴-=时，min d =98(,)55M………10分 考点：椭圆的参数方程，坐标变换，点到直线距离公式．24．（本小题满分10分）选修4-5 不等式证明选讲 已知函数()1020f x x x =-+-，且满足()1010f x a <+()a R ∈的解集不是空集．（1）求实数a 的取值范围；（2）求24a a +的最小值． 【答案】（1）0a >；（2）3考点：不等式有解问题，基本不等式．。
湖北省黄冈、华师附中等八校2019届高三上学期第一次联考数学(理)试题(精编含解析)
）
A. 1 B. 3 C. 4 D. 9 【答案】B 【解析】
【分析】
先根据角的终边经过的点，求得 cosa 的值，然后代入函数的解析式，求得对应的函数值.
( ) 【详解】由于角a 的终边经过点 P - 3, - 4 ，故 cosa =
-3
= - 3 ，故
(- 3)2 +(- 4)2 5
f
(cosa)
( ) 域内的点和 - 2, 0 连线的斜率比 y = 2x +2 的斜率要小，故 C 选项正确.所以选 C.
【点睛】本小题主要考查线性规划的 问题，考查方向有可行域的面积，点到直线的距离，两点连线的斜率还有特殊点等几个方向.属于基础题.
( ) ( ) ( ) { } 8.将向量列 a1 = x1, y1 ， a2 = x2 , y2 ，…， an = xn , yn 组成的系列称为向量列 an ，并记向量列
形式，通过解方程组求得这几个量来求得通项公式.
6.下列有关命题的说法正确的是（ ）
A. $ x Î (0,p ) ，使得 2 +sin x = 2 成立． sin x
B. 命题 p ：任意 x Î R ，都有 cos x £ 1，则 Øp ：存在 x0 Î R ，使得 cos x0 £ 1．
C. 命题“若 a > 2 且 b > 2 ，则 a +b > 4 且 ab > 4 ”的逆命题为真命题．
( ) 画出可行域，通过求出可行域的面积、可行域内点到 x 轴的距离、可行域内点和 - 2, 0 连线的斜率的范围、
通过特殊点判断 x0 + y0 的值是否为 2 ，根据四个结果判断四个选项的正误. 【详解】画出可行域如下图所示：有图可知，可行域面积是无限大的，可行域内的点到 x 轴的距离也是没
湖北省黄冈中学、华师一附中、襄阳五中、荆州中学等八校2019届高三第二次联考数学(文)试题(解析版)
2018-2019学年湖北省黄冈中学、华师一附中、襄阳四中、襄阳五中、荆州中学等八校高三（下）第二次联考数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）cos（﹣300°）等于（）A．﹣B．﹣C．D．2．（5分）已知复数z＝x+yi（x，y∈R），若，则|z|＝（）A．{0}B．{1}C．∅D．3．（5分）已知集合A＝{x|0＜log2（x+5）＜2}，B＝{}，则A∩B＝（）A．{0}B．{1}C．∅D．{x|﹣4＜x＜﹣1} 4．（5分）用反证法证明命题：“a，b，c∈R，a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0，则a＞0，b＞0，c＞0”时应假设为（）A．a，b，c均不为正数B．a，b，c至少有一个正数C．a，b，c不全为正数D．a，b，c至多有一个正数5．（5分）设，是单位向量，且，的夹角为60°，则＝3+的模为（）A．B．13C．4D．166．（5分）设l，m表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，Q表示一个点，给出下列四个命题，其中正确的命题是（）①Q∈α，l⊂α⇒Q∈l②l∩m＝Q，m⊂β⇒l∈β③l∥m，l⊂α，Q∈m，Q∈α⇒m⊂α④α⊥β，且α∪β＝m，Q∈β，Q∈l，l⊥α∈βA．①②B．②③C．②③D．③④7．（5分）函数f（x）＝cos2x﹣sin2x﹣2sin x cos x（其中）的值域是（）A．[﹣1，1]B．[，]C．[，1]D．[﹣1，] 8．（5分）已知三棱锥的三视图如图所示，且各顶点在同一球面上，则该球体的表面积是（）A．12πB．10πC．8πD．6π9．（5分）已知a＝ln2，b＝log23，c＝log58，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a10．（5分）在△ABC中，AC＝，BC＝，则∠B的取值范围是（）A．B．^C．或D．或11．（5分）两个好朋友小聪和小明，在同一天小聪从深圳到黄石，中午到武汉站的时间为13：30，然后再乘坐城际铁路到黄石，中间有1小时在武汉站候车室休息．小明从沌口开发区坐出租车到武汉站，小明到达武汉站的时间为14：00〜15：00之间任一时刻到达，然后乘坐发车时间为15：30的高铁到北京，那么两个好朋友能够在武汉站会面的概率是（）A．B．C．D．12．（5分）已知双曲线（a＞b＞0）的左焦点为F，过原点直线与双曲线相交于A，B两点，已知|AB|＝20，|AF|＝16，且cos，则双曲线的离心率（）A．5B．3C．2D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）某高中对学生春节期间观看亚洲杯的调查，该校高一有800人，高二有900人，高三有1300人，现采用分层抽样随机抽取60人，则高三年级应抽取人．14．（5分）在直角△AOB中，∠AOB＝90°，，OC平分∠AOB且与AB相交于C，则在上的投影为．15．（5分）已知抛物线方程为x2＝12y，过抛物线的焦点作倾斜角为60°的直线与抛物线相交于A，B两点，则|AB|＝．16．（5分）已知函数，给出下列命题，其中正确命题的序号是．（1）x1，x2是f（x）＝3的两个不相等的根，则；（2）是函数f（x）的对称中心；（3）也是函数的对称中心；（4）是函数f（x）的对称轴．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且，在正项等比数列{b n}中，b3＝a2，b4＝a4．求（1）{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n＝令T n＝c1+c2+…+c n，求T10．18．（12分）如图：正三棱柱ABC﹣A1B1C1中BC＝2，CC1＝2，点P在平面ABB1A1中，且PA1＝PB1＝（1）求证：PC1⊥AB；（2）求三棱锥P﹣A1B1C的体积19．（12分）某公司准备加大对一项产品的科技改造，经过充分的市场调研与模拟，得到x，y之间的一组数，其中x单位：百万元）是科技改造的总投入，y（单位：百万元）是改造后的额外收益．其中是对当地GDP的增长贡献值．（1）若从五组数据中任取两组，求至少有一组满足G（x，y）≥25的概率；（2）对于表中数据，甲、乙两个同学给出的拟合直线方程为：l1：y＝2x+1，，试用最小二乘法判断哪条直线的拟合程度更好．（附；Q越小拟合度越好．）20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率是椭圆上三个不同的点，F为其右焦点，且|AF|，|BF|，|CF|成等差数列（1）求椭圆的方程；（2）求m+p的值；（3）若线段AC的垂直平分线与x轴交点为D，求直线BD的斜率k．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+ax2+bx．（1）函数f（x）在（1，f（1））点的切线l方程为2x+y＝0，求a，b的值，并求函数f （x）的最大值；（2）当a＝0，b＝l且t∈（0，+∞），关于x的方程tf（x）＝x2有唯一实数解，求实数t的值．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4一4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，已知直线l：p（cosθ+sinθ）＝2与曲线C：C：p＝4cosθ．（1）若直线l与曲线C有两个交点A，B，求|AB|；（2）若点P是曲线上与A，B相异的任一点，求△PAB面积的最大值．[选修4一5：不等式选讲]23．（1）已知函数f（x）＝|x﹣2a|+|x+b|（a＞0，b＞0）的最小值为2，求a与b的关系；（2）若a，b满足（1）中的条件，求9a+3b的最小值．2018-2019学年湖北省黄冈中学、华师一附中、襄阳四中、襄阳五中、荆州中学等八校高三（下）第二次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）cos（﹣300°）等于（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】利用三角函数关系式与诱导公式即可求得cos（﹣3000）的值．【解答】解：∵cos（﹣300°）＝cos（﹣360°+60°）＝cos60°＝．故选：C．【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，属于基础题．2．（5分）已知复数z＝x+yi（x，y∈R），若，则|z|＝（）A．{0}B．{1}C．∅D．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得x，y值，代入复数模的计算公式求解．【解答】解：∵，∴2+4i＝（1+i）（x+yi）＝（x﹣y）+（x+y）i，则，即x＝3，y＝1．∵z＝x+yi，∴|z|＝．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件及复数模的求法，是基础题．3．（5分）已知集合A＝{x|0＜log2（x+5）＜2}，B＝{}，则A∩B＝（）A．{0}B．{1}C．∅D．{x|﹣4＜x＜﹣1}【分析】分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A＝{x|0＜log2（x+5）＜2}＝{x|﹣4＜x＜﹣1}，B＝{}＝{y|y＝0}，∴A∩B＝∅．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（5分）用反证法证明命题：“a，b，c∈R，a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0，则a＞0，b＞0，c＞0”时应假设为（）A．a，b，c均不为正数B．a，b，c至少有一个正数C．a，b，c不全为正数D．a，b，c至多有一个正数【分析】由于用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立【解答】解：∵用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，而“a＞0，b＞0，c＞0”的否定为：“a，b，c不全为正数”，故选：C．【点评】本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题．5．（5分）设，是单位向量，且，的夹角为60°，则＝3+的模为（）A．B．13C．4D．16【分析】根据条件即可得出，从而可求出，进而可得出的模．【解答】解：∵；∴；∴．故选：A．【点评】考查单位向量的概念，向量夹角的定义，以及向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法．6．（5分）设l，m表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，Q表示一个点，给出下列四个命题，其中正确的命题是（）①Q∈α，l⊂α⇒Q∈l②l∩m＝Q，m⊂β⇒l∈β③l∥m，l⊂α，Q∈m，Q∈α⇒m⊂α④α⊥β，且α∪β＝m，Q∈β，Q∈l，l⊥α∈βA．①②B．②③C．②③D．③④【分析】根据空间点，线面之间的位置关系进行判断即可．【解答】解：①Q∈α，l⊂α，则Q∈l不一定成立，故①错误，排除A，②l∩m＝Q，m⊂β，则l∈β不一定成立，只有两个不同的点同时在平面β内才成立，故②错误，排除B，C，③l∥m，l⊂α，Q∈m，Q∈α⇒m⊂α，正确④α⊥β，且α∪β＝m，Q∈β，Q∈l，l⊥α∈β，正确故选：D．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及空间点，线面位置关系的判断，结合定义和性质是解决本题的关键．7．（5分）函数f（x）＝cos2x﹣sin2x﹣2sin x cos x（其中）的值域是（）A．[﹣1，1]B．[，]C．[，1]D．[﹣1，]【分析】利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域求得f （x）的值域．【解答】解：函数f（x）＝cos2x﹣sin2x﹣2sin x cos x＝cos2x﹣sin2x＝cos（2x+），∵，∴2x+∈[，]，∴cos（2x+）∈[﹣1，]，故f（x）∈[﹣，1]，故选：C．【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的定义域和值域，属于基础题．8．（5分）已知三棱锥的三视图如图所示，且各顶点在同一球面上，则该球体的表面积是（）A．12πB．10πC．8πD．6π【分析】根据题意把该三棱锥放入长方体中，知三棱锥的外接球即为长方体的外接球，求出外接球的表面积．【解答】解：根据三视图知，把该三棱锥放入长宽高分别为2、、的长方体中，如图所示；则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，所以外接球的直径满足（2R）2＝PC2＝22++＝12，所以外接球的表面积是4πR2＝12π．故选：A．【点评】本题考查了三视图与直观图的关系，也考查了空间想象能力与转化能力，是基础题．9．（5分）已知a＝ln2，b＝log23，c＝log58，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【分析】容易得出，从而得出a，b，c的大小关系．【解答】解：∵，；∴a＜c＜b．故选：A．【点评】考查对数函数的单调性，以及对数的运算．10．（5分）在△ABC中，AC＝，BC＝，则∠B的取值范围是（）A．B．^C．或D．或【分析】设AB＝x（），利用余弦定理建立cos B关于x的函数，从而求出B的范围．【解答】解：设AB＝x，则，由余弦定理可得，＝，根据余弦函数的性质可知，．故选：B．【点评】本题考查余弦定理的应用，属于中档题目．11．（5分）两个好朋友小聪和小明，在同一天小聪从深圳到黄石，中午到武汉站的时间为13：30，然后再乘坐城际铁路到黄石，中间有1小时在武汉站候车室休息．小明从沌口开发区坐出租车到武汉站，小明到达武汉站的时间为14：00〜15：00之间任一时刻到达，然后乘坐发车时间为15：30的高铁到北京，那么两个好朋友能够在武汉站会面的概率是（）A．B．C．D．【分析】由题意知本题是一个几何概型，以面积为测度，根据面积之比得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，且于小明到达的时间有关，∵试验发生包含的所有事件对应的测度为14：00﹣15：00＝60分钟，其中能够在武汉站会面的测度为14：00﹣14：30＝30分钟∴两人能够会面的概率p＝＝，故选：D．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，利用面积为测度是解决本题的关键．12．（5分）已知双曲线（a＞b＞0）的左焦点为F，过原点直线与双曲线相交于A，B两点，已知|AB|＝20，|AF|＝16，且cos，则双曲线的离心率（）A．5B．3C．2D．【分析】在△AFB中，由余弦定理可得|AF|2＝|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF，即可得到|BF|，设F′为双曲线的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．即可得到a，c，进而求得离心率．【解答】解：在△AFB中，|AB|＝20，|AF|＝16，且cos，由余弦定理可得|AF|2＝|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF，从而可得（|BF|﹣12）2＝0，解得|BF|＝12．设F′为双曲线的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．∴|BF′|＝16，|FF′|＝10．∴2a＝|16﹣12|，2c＝20，解得a＝2，c＝10．∴e＝＝5．故选：A．【点评】熟练掌握余弦定理、双曲线的定义、对称性、离心率、矩形的性质等基础知识是解题的关键．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）某高中对学生春节期间观看亚洲杯的调查，该校高一有800人，高二有900人，高三有1300人，现采用分层抽样随机抽取60人，则高三年级应抽取26人．【分析】利用分层抽样的性质直接求解．【解答】解：某高中对学生春节期间观看亚洲杯的调查，该校高一有800人，高二有900人，高三有1300人，现采用分层抽样随机抽取60人，则高三年级应抽取：60×＝26．故答案为：26．【点评】本题考查高三应抽取人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（5分）在直角△AOB 中，∠AOB ＝90°，，OC 平分∠AOB 且与AB 相交于C ，则在上的投影为．【分析】如图距离直角坐标系，求出C 的坐标，利用向量的数量积求解即可． 【解答】解：在直角△AOB 中，∠AOB ＝90°，如图：建立直角坐标系，，OC 平分∠AOB 且与AB 相交于C ，可得A （1，0），B （0，2），AB 的方程为：2x +y ＝2，则C （，），则在上的投影为：＝＝．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的应用，求解C 的坐标是解题的关键．15．（5分）已知抛物线方程为x 2＝12y ，过抛物线的焦点作倾斜角为60°的直线与抛物线相交于A ，B 两点，则|AB |＝ 12+6 ．【分析】直线l 的方程与抛物线方程联立得关于x 的一元二次方程，可得x 1+x 2值，再根据抛物线定义即可求得弦长．【解答】解：抛物线方程为x 2＝12y ，可得焦点坐标（0，3），由题意得：直线l 的方程为y ＝x +3，代入x 2＝12y ，得：x 2﹣12x ﹣36＝0．设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则：x 1+x 2＝12，由抛物线定义得：弦长|AB |＝x 1+x 2+p ＝12+6．故答案为：12+6．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查抛物线的性质与方程，属中档题．16．（5分）已知函数，给出下列命题，其中正确命题的序号是（1）（2）（3）．（1）x1，x2是f（x）＝3的两个不相等的根，则；（2）是函数f（x）的对称中心；（3）也是函数的对称中心；（4）是函数f（x）的对称轴．【分析】（1）根据正切函数的周期性进行判断（2）根据正切函数的对称中心即可判断（2）（3）（4）正切函数不存在对称轴【解答】解：（1）函数的最小正周期T＝，若x1，x2是f（x）＝3的两个不相等的根，则x1﹣x2＝，k≠0，则成立；（2）由2x+＝，得x＝﹣，即函数的对称中心为（﹣，0），k∈Z，当k＝0时，是函数f（x）的对称中心；故（2）正确，（3）由（2）知是函数的对称中心，故（3）正确；（4）f（x）只有对称中心，没有对称轴，即是函数f（x）的对称轴错误，故正确的是（1）（2）（3），故答案为：（1）（2）（3）【点评】本题主要考查与正切函数有关的命题的真假判断，结合正切函数的周期性以及对称性是解决本题的关键．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且，在正项等比数列{b n}中，b3＝a2，b4＝a4．求（1）{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n＝令T n＝c1+c2+…+c n，求T10．，计算可得所【分析】（1）由数列的递推式：n＝1时，a1＝S1；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1求{a n}的通项公式，再由等比数列的通项公式可得所求；（2）由题意可得T10＝（a1+a3+a5+a7+a9）+（b2+b4+b6+b8+b10），计算可得所求和．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，且，可得n＝1时，a1＝S1＝3；n≥2时，a n＝S n﹣S n＝n2+n+1﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）﹣1＝2n，﹣1则a n＝；在正项等比数列{b n}中，b3＝a2，b4＝a4．可得b3＝a2＝4，b4＝a4＝8，可得公比q＝2，首项b1＝1，则b n＝2n﹣1；（2）c n＝，可得T10＝（a1+a3+a5+a7+a9）+（b2+b4+b6+b8+b10）＝（3+6+10+14+18）+（2+8+32+128+512）＝733．【点评】本题考查数列的递推式的运用，以及等比数列的通项公式，考查数列的求和方法：分组求和，化简运算能力，属于中档题．18．（12分）如图：正三棱柱ABC﹣A1B1C1中BC＝2，CC1＝2，点P在平面ABB1A1中，且PA1＝PB1＝（1）求证：PC1⊥AB；（2）求三棱锥P﹣A1B1C的体积【分析】（1）设A1B1的中点为D，连接PD与DC1，由已知可得PD⊥A1B1，同理DC1⊥A1B1，由线面垂直的判定可得A1B1⊥平面PDC1，得到A1B1⊥PC1．则PC1⊥AB；（2）由已知直接利用等积法求三棱锥P﹣A1B1C的体积．【解答】（1）证明：设A1B1的中点为D，连接PD与DC1，∵PA1＝PB1，∴PD⊥A1B1，同理DC1⊥A1B1，又PD∩DC1＝D，∴A1B1⊥平面PDC1，∴A1B1⊥PC1．又∵AB∥A1B1，∴PC1⊥AB；（2）解：∵△A1B1C1为正三角形，边长为2，PA1＝PB1＝．∴＝．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19．（12分）某公司准备加大对一项产品的科技改造，经过充分的市场调研与模拟，得到x，y之间的一组数，其中x单位：百万元）是科技改造的总投入，y（单位：百万元）是改造后的额外收益．其中是对当地GDP的增长贡献值．（1）若从五组数据中任取两组，求至少有一组满足G（x，y）≥25的概率；（2）对于表中数据，甲、乙两个同学给出的拟合直线方程为：l1：y＝2x+1，，试用最小二乘法判断哪条直线的拟合程度更好．（附；Q越小拟合度越好．）【分析】（1）由题知后两组数据满足条件，从五组数据中任意取出两组有10种情况，满足条件有后面两组，有一且满足条件的有2×3＝6种，两组均可有1种，共7种情况，由此能求出至少有一组满足G（x，y）≥25的概率．．（2）列表格求出Q1＜Q2，从而直线L1拟合度更好．【解答】解：（1）由题知后两组数据满足条件：从五组数据中任意取出两组有10种情况，（如ABCDE中取出两个有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种），满足条件有后面两组，有一且满足条件的有2×3＝6种，（如AD，BD，CD《AE，BE，CE），两组均可有1种，（如DE），共7种情况，故至少有一组满足G（x，y）≥25的概率P＝．（2）如表格：＝4，＝17.5，Q1＜Q2，∴直线L1拟合度更好．【点评】本题考查概率的求法，考查最小二乘法的应用，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率是椭圆上三个不同的点，F为其右焦点，且|AF|，|BF|，|CF|成等差数列（1）求椭圆的方程；（2）求m+p的值；（3）若线段AC的垂直平分线与x轴交点为D，求直线BD的斜率k．【分析】（1）根据椭圆的离心率公式和点在椭圆上，即可求出椭圆的方程，（2）由椭圆的第二定义，结合|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，即可求出m+n＝6，（3）利用点差法求出直线AC的斜率，可得直线AC的方程，即可求出点D的坐标，可得直线BD的斜率k．【解答】解：（1）∵e＝＝，∴a＝2c，b＝c，将点B代入可得+＝1，∴+＝1，解得c＝2，∴椭圆的方程为+＝1．（2）由椭圆的第二定义|BF|＝ed＝e（﹣x0）＝a﹣3e，同理可得|AF|＝a﹣me，|BF|＝a﹣pe，∵|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，∴m+p＝6．（3）∵+＝1，+＝1，两式相减可得（m+p）（m﹣p）＝﹣（n+q）（n﹣q），∴k AC＝＝﹣，∴AC的中垂线为y﹣＝（n+q）（x﹣3），令y＝0可得x＝，∴D（，0）为定点，∴k BD＝﹣．【点评】本题考查了椭圆的方程的求法，椭圆的性质，点差法，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+ax2+bx．（1）函数f（x）在（1，f（1））点的切线l方程为2x+y＝0，求a，b的值，并求函数f （x）的最大值；（2）当a＝0，b＝l且t∈（0，+∞），关于x的方程tf（x）＝x2有唯一实数解，求实数t的值．【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由已知切线方程可得a，b；进而得到f（x）的单调性和极值、最值；（2）当a＝0时，方程tf（x）＝x2即x2﹣tx﹣tlnx＝0，令g（x）＝x2﹣tx﹣tlnx，对其进行求导，利用导数来函数的单调性和最值，解方程可得所求值．【解答】解：（1）函数f（x）＝lnx+ax2+bx的导数为f′（x）＝+2ax+b，在（1，f（1））点的切线斜率为k＝1+2a+b，由题意可得1+2a+b＝﹣2，且a+b＝﹣2，可得a＝b＝﹣1，f（x）＝lnx﹣x2﹣x的导数为f′（x）＝﹣2x﹣1，由f′（x）＝0，可得x＝（﹣1舍去），当0＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞时，f′（x）＜0，f（x）递减，可得x＝处，f（x）取得极大值，且为最大值﹣ln2﹣；（2）a＝0，b＝1时，方程tf（x）＝x2即x2﹣tx﹣tlnx＝0，设g（x）＝x2﹣tx﹣tlnx，解g′（x）＝2x﹣t﹣＝0，得x1＝（x1＜0舍去），x2＝，可得g（x）在x∈（0，x2）单调增加，在x∈（x2，+∞）单调减少，最大值为g（x2），因为tf（x）＝x2有唯一实数解，g（x）有唯一零点，所以g（x2）＝0，由即，得x2+2lnx2﹣1＝0，因为h（x）＝x+lnx﹣1单调递增，且h（1）＝0，所以x2＝1，从而t＝1．【点评】此题考查利用导数来研究函数的切线，最值和函数的单调性，考查构造函数法和方程思想，此题是一道中档题．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4一4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，已知直线l：p（cosθ+sinθ）＝2与曲线C：C：p＝4cosθ．（1）若直线l与曲线C有两个交点A，B，求|AB|；（2）若点P是曲线上与A，B相异的任一点，求△PAB面积的最大值．【分析】（1）直接利用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ及x2+y2＝ρ2即可化极坐标方程为直角坐标方程，求出圆心坐标为（2，0），半径为2，可得直线过圆心，得|AB|＝2r＝4；（2）令∠PAB＝θ，（θ∈（0，）），代入三角形面积公式，由正弦函数的值域求解．【解答】解：（1）由l：ρ（cosθ+sinθ）＝2，得x+y＝2．由C：ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，得x2+y2﹣4x＝0，即（x﹣2）2+y2＝4．∴圆心坐标为（2，0），半径为2．∵直线过圆心，∴|AB|＝2r＝4；（2）令∠PAB＝θ，（θ∈（0，）），则．当时取最大值．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查极坐标化直角坐标，是基础题．[选修4一5：不等式选讲]23．（1）已知函数f（x）＝|x﹣2a|+|x+b|（a＞0，b＞0）的最小值为2，求a与b的关系；（2）若a，b满足（1）中的条件，求9a+3b的最小值．【分析】（1）利用绝对值不等式的性质进行求解即可，（2）利用基本不等式的性质进行转化求解．【解答】解：（1）f（x）＝|x﹣2a|+|x+b|≥|x﹣2a﹣（x+b）|＝|2a+b|，即f（x）的最小值为|2a+b|，若f（x）的最小值为2，∴|2a+b|＝2，∵a＞0，b＞0∴2a+b＝2．（2）若a，b满足（1）中的条件，则2a+b＝2．则9a+3b≥2＝2＝2＝6，当且仅当2a＝b＝1，即a＝，b＝1时取等号即.9a+3b的最小值为6．【点评】本题主要考查函数最值的应用，结合绝对值不等式的性质以及利用基本不等式的性质是解决本题的关键．。
湖北省八所名校2019届高三第一次联考试题(数学理)
湖北省鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中 八中 荆州中学 孝感高中 襄阳四中 襄阳五中2019届高三八校第一次联考数学（理科）试题2018年12月12日下午15：00—17:00第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|||1}A x x =≥，{},B y y ==，则A B = （ ） A.[1,2]B.[1,)+∞C.(,1][1,2]-∞-D.[0,1]2.已知复数2iz i=（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）B.C.D. 3.设log a =2019log b =120192018c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A.a b c >>B.a c b >>C.c a b >>D.c b a >>4.设函数540()03x x x f x x +<⎧=⎨≥⎩，若角α的终边经过点(3,4)P --，则[(c o s )]f f α的值为（ ）A.1B.3C.4D.95.已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项13a =，且247,,a a a 成等比数列，数列{}n b 的前n 项和n S 满足()2n n S n N *=∈，，数列{}n c 满足(),n n n c a b n N *=∈，则数列{}n c 的前3项和为（ ） A.31 B.34 C.62 D.596.下列有关命题的说法正确的是（ ） A.(0,)x π∃∈，使得2sin 2sin x x+=成立. B.命题p ：任意x R ∈，都有cos 1x ≤，则p ⌝：存在0x R ∈，使得0cos 1x ≤. C.命题“若2a >且2b >，则4a b +>且4ab >”的逆命题为真命题.D.若数列{}n a 是等比数列，*,,m n p N ∈则2m n p a a a ⋅=是2m n p +=的必要不充分条件.7.设不等式组02201x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域为w ，则（ ）A.w 的面积是92B. w 内的点到x 轴的距离有最大值C. 点(,)A x y 在w 内时，22yx <+ D. 若点00(,)p x y w ∈，则002x y +≠ 8.将向量列111222(,),(,),(,)n n n a x y a x y a x y ==⋅⋅⋅= 组成的系列称为向量列{}n a，并记向量列{}n a 的前n 项和为123n n S a a a a =+++⋅⋅⋅+，如果一个向量列从第二项起每一项与前一项的和都等于同一个向量 p，那么称这样的向量列为等和向量列。
湖北省黄冈中学、华师一附中、襄阳四中、襄阳五中、荆州中学等八校2019届高三第二次联考数学(文)试题答案
湖北省八校2019届高三第二次联考数学试卷（文科）参考答案一、选择题：题号123456789101112答案DDCCADCAABDA二、填空题：13.2614.2315.4816.（1）（2）（3）三、解答题：17.解：(1)当111 3n a S ===…………………………………………………………（1分）()()212 111n n S n n -≥=-+-+1 2n n n a S S n -∴=-=……………………………………………………（3分）综上()()3 12 2n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩…………………………………………（4分）32444, 8 2b a b a q ====∴=3132n n n b b q --==…………………………………………（6分）(2)101210T c c c =+++ ()()135********=a a a a a b b b b b +++++++++…………………………（8分）()()3+6+10+14+18+2+8+32+128+512=…………………………………（10分）=733…………………………………………（12分）18.(1)证明：设11A B 的中点为D ，连PD 与1DC 11PA PB = 11 PD A B ∴⊥……………………………………………………………（2分）同理111DC A B ⊥…………………………………………………………（3分）111A B PDC ∴⊥平面111 A B PC ∴⊥……………………………………………………………（5分）又∵AB ∥A 1B 11 PC AB∴⊥…………………………………………（6分）(2)1111111P A B C C PA B C PA B V V V ---==……………………………………………………（8分）11=21323⨯⨯⨯…………………………………………（12分）19.解:（1）由题知后两组数据满足条件……………………………………………………（2分）617101010+=从五组数据中任意取出两组有10种情况（如ABCDE 中取出两个有AB AC ，，AD AE BC BD BE CD CE DE ，，，，，，，共10种）满足条件有后面两组，有一组满足条件的有23=6⨯种（如AD BD CD ，，，AE BE CE ，，），两组均可有1种（如DE ）共有7种情况.……………（6分）（建议答案正确不扣分.）（2）如表格x23578y 5812141621y x =+57111517x 23578y581214165322y x =-3.56111618.5222221011114Q =++++=…………………………………………（9分）222222 1.5212 2.517.5Q =++++=12Q Q <…………………………………………（11分）∴直线1l 拟合程度更好…………………………………………（12分）20．解：(1)1c e == 2a c =b =…………………………………………(1分)设椭圆方程2222143x y c c+=将点B 代入得24c =……………………………………………………………………（3分）∴椭圆方程为2211612x y +=…………………………………………（4分）(2)由椭圆第二定义23B a BF ed e x a e c⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭……………………………（6分）同理AF a me =-，BF a pe=- AF BF BF ，，成等差数列 6m p ∴+=…………………………………………（8分）（建议直接用焦半径公式不扣分.）(3)2211612m n += ,2211612p q +=两式相减得()()()()1612m p m p n q n q +-+-=-9 2()AC n q k m pn q -∴==--+ AC ∴的中垂线为()()2329n q y n q x +-=+-……………………………（10分）令0y =得34x =3 04D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，为定点…………………………………………（11分）9BD k ∴=-…………………………………………（12分）21.解：(1)1'()2f x ax b x=++………………………………………………………………（1分）'(1)2(1)2f f =-⎧⎨=-⎩ 1 1a b ∴=-=-…………………………………………（4分）2 ()ln (0)(21)(1)'()f x x x x x x x f x ∴=-->-+=-…………………………………………………（5分）当21,0(∈x 时，)(,0)('x f x f >递增当),21(+∞∈x 时，)(,0)('x f x f <递减即max 13()ln 224f x f ⎛⎫==--⎪⎝⎭…………………………………………（7分）(2)令22()()ln g x x tf x x t x tx=-=--()22'() 0x tx tg x x x--=>……………………………………………（8分）令22=0xtx t --的两根为12,x x 1202t x x ⋅=-<不妨设120x x <<当),0(2x x ∈时，)(,0)('x g x g <递减当),(2+∞∈x x 时，)(,0)('x g x g >递增()0g x =有唯一实数解22'()0()0g x g x =⎧⎨=⎩即22222220 ln 0 x tx t x t x tx --=⎧⎪⎨--=⎪⎩①②2222=ln + x t x tx 代入①式得()22ln 10t x x +-=…………………………………………………………（10分）0 ()ln 1t h x x x >=+- 在()0+∞，递增且(1)0h =即21x =代入①式1t ∴=…………………………………………（12分）（其它解法酌情给分，如分离变量法.）22.解：(1)将直线l 与曲线C 化成平面直角坐标方程分别为2x y +=，()222+4x y -=…………………………………………（3分）直线过圆心），02( 24AB r ∴==…………………………………………（5分）(2)令⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=∠2π,0θθPAB则PAB S ∆14sin 4cos 4sin 24PABS θθθ=⨯⨯=≤ ……………………………（8分）4π=θ取最大值…………………………………………（10分）23.解(1)()()222x a x b x a x b a b-++≥--+=+ ……………………………（3分）min ()22f x a b =+=（或分段求最小值） 22a b ∴+=…………………………………………（5分）(2)936ab+≥===……………………………………(9分)（当且仅当,12==b a 即1,21==b a 时取=“”）……………………………（10分）。
大学第一附属中学、黄石二中、孝感高中、荆州中学等八校2019届高三上学期第一次联考文数试题解析(原卷版)
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学、黄石二中、孝感高中、荆州中学等八校2019届高三上学期第一次联考文数试题第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|}A x y x ==，{|lg(2)}B x y x ==-，则A B =（ ）A ．[0,2]B ．[0,2)C ．(,2]-∞D ．(,2)-∞2．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2i e 表示的复数在复平面中位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知()sin f x x x =-+，命题:0,2p x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，()0f x <，则（ ） A ．p 是假命题，:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∀∈≥ ⎪⎝⎭B ．p 是假命题，0:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∃∈≥ ⎪⎝⎭C ．p 是真命题，:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∀∈≥ ⎪⎝⎭D ．p 是真命题，0:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∃∈≥ ⎪⎝⎭4．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论错误的是（ ）A ．0d <B ．70a =C ．95S S >D ．6S 与7S 均为n S 的最大值5．若偶函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，2(log 3a f =），4(log 5)b f =，32(2)c f =，则,,a b c 满足（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<6．已知正数,x y 满足20350x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩，则2z x y =--的最小值为（ ）A ．2B ．0C ．-2D ．-47．在等腰ABC ∆中，4BC =，AB AC =，BA BC ⋅=（ ） A ．4- B ．4 C ．8- D ．8 8．要得到函数()cos(2)3f x x π=+的图象，只需将函数()sin(2)3g x x π=+的图象（ ）A ．向左平移2π个单位长度 B ．向右平移2π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度9．已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）A．60++ B．60++ C．60+ D．60+10．函数222,1,()log (1),1,x x f x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩且()3f a =-，则(5)f a -=（ ）A ．74-B ．54-C ．34-D ．14- 11．点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，,O P 两点连线的距离y 与4第9题图点P 走过的路程x 的函数关系如图，那么点P 所走的图形是（ ）BCDAOPOPOPPO12．若函数()y f x =对任意(,)22x ππ∈-满足()cos ()sin 0f x x f x x '+>，则下列不等式成立的是（ ） A()()34f ππ-<- B()()34f ππ< C ．(0)2()3f f π> D．(0)()4f π>第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知平面直角坐标系中，角α终边过点(2,1)P ，则2cos sin 2αα+的值为 ． 14．已知向量(2,1)a =，(2,3)b =-，且()(3)ka b a b -+，则实数k 等于 ．15．函数21y ax =-在[0,2]上的最大值是7，则指数函数xy a =在[0,3]上的最大值与最小值之和为 ．16．埃及数学中有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单分数和的形式．例如2115315=+，能够这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人12，不够，每人13，余13，再将这13分成5份，每人得115，这样每人分得11315+．形如2(5,7,9,11,)n n =的分数的分解：2115315=+， 2117428=+，2119545=+，按此规律，211= ；2n= (5,7,9,11,)n =．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在等比数列{}n a 中，公比1q >，22a =，前三项和37S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2log n n b a =，121n n n c b b ++=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，60CAB ∠=，4AC =，BC = （1）求ABC ∆的面积；（2）若函数()sin()f x M x ωϕ=+(0,0,)2M πωϕ>><的图象经过A 、C 、B 三点，且A 、B 为()f x 的图象与x 轴相邻的两个交点，求()f x 的解析式．第18题图19．（本小题满分12分）如图，已知长方形ABCD 中，AB =AD =，M 为DC的中点．将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ． （1）求证：AD BM ⊥；（2）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，三棱锥E ADM -的体积与四棱锥D ABCM -的体积之比为1:3？第19题图20．（本小题满分12分）小明同学制作了一个简易的网球发射器，可用于帮忙练习定点接发球，如图1所示，网球场前半区、后半区总长为23.77米，球网的中间部分高度为0.914米，发射器固定安装在后半区离球网底部8米处中轴线上，发射方向与球网底部所在直线垂直．为计算方便，球场长度和球网中间高度分别按24米和1米计算，发射器和网球大小均忽略不计．如图2所示，以发射器所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上的球场中轴线上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1米．已知若不考虑球网的影响，网球发射后的轨迹在方程2211(1)(0)280y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向相关．发射器的射程是指网球落地点的横坐标．（1）求发射器的最大射程；（2）请计算k 在什么范围内，发射器能将球发过网（即网球飞行到球网正上空时，网球离地距离大于1米）？若发射器将网球发过球网后，在网球着地前，小明要想在前半区中轴线的正上空选择一个离地面2.55米处的击球点正好击中网球，试问击球点的横坐标a 最大为多少？并请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数(),xf x e x R =∈．（1）若直线y kx =与()f x 的反函数的图象相切，求实数k 的值； （2）若0m <，讨论函数2()()g x f x mx =+零点的个数．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1 几何证明选讲如图，BC 是圆O 的直径，点F 在弧BC 上，点A 为弧BF 的中点，作AD BC ⊥于点D ，BF 与AD 交于点E ，BF 与AC 交于点G ．（1）证明：AE BE =；第20题图（2）若9AG =，7GC =，求圆O 的半径．23．（本小题满分10分）选修4-4 极坐标与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=，曲线13cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）．（1）求曲线1C 的普通方程；（2）若点M 在曲线1C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值．24．（本小题满分10分）选修4-5 不等式证明选讲已知函数()1020f x x x =-+-，且满足()1010f x a <+()a R ∈的解集不是空集． （1）求实数a 的取值范围； （2）求24a a +的最小值．。
湖北省黄冈中学等八校2019届高三第一次(12月)联考数学理试题及答案
2019届高三八校第一次联考数学（理科）试题2018年12月12日下午15：00—17:00第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{|||1}A x x =≥，{3sin 1},B y y x ==+，则A B =（ ）A.[1,2]B.[1,)+∞C.(,1][1,2]-∞-D.[0,1]2.已知复数32iz i-=（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A.32B. 32-C.32iD. 32i -3.设2018log 2019a =，2019log 2018b =，120192018c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A.a b c >>B.a c b >>C.c a b >>D.c b a >>4.设函数540()03x x x f x x +<⎧=⎨≥⎩，若角α的终边经过点(3,4)P --，则[(cos )]f f α的值为（ ）A.1B.3C.4D.95.已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项13a =，且247,,a a a 成等比数列，数列{}n b 的前n 项和n S 满足()2n n S n N *=∈，，数列{}n c 满足(),n n n c a b n N *=∈，则数列{}n c 的前3项和为（ ）A.31B.34C.62D.596.下列有关命题的说法正确的是（ ） A.(0,)x π∃∈，使得2sin 2sin x x+=成立. B.命题p ：任意x R ∈，都有cos 1x ≤，则p ⌝：存在0x R ∈，使得0cos 1x ≤. C.命题“若2a >且2b >，则4a b +>且4ab >”的逆命题为真命题.D.若数列{}n a 是等比数列，*,,m n p N ∈则2m n p a a a ⋅=是2m n p +=的必要不充分条件.7.设不等式组02201x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域为w ，则（ ）A.w 的面积是92B. w 内的点到x 轴的距离有最大值C. 点(,)A x y 在w 内时，22yx <+ D. 若点00(,)p x y w ∈，则002x y +≠8.将向量列111222(,),(,),(,)n n n a x y a x y a x y ==⋅⋅⋅=组成的系列称为向量列{}n a ，并记向量列{}n a 的前n 项和为123n n S a a a a =+++⋅⋅⋅+，如果一个向量列从第二项起每一项与前一项的和都等于同一个向量 p ，那么称这样的向量列为等和向量列。
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.. .. 2019届高三第一次联考数学（文科）试题 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知线段上,,ABC三点满足2BCAB=，则这三点在线段上的位置关系是（ ）
A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据向量的线性关系得到BC和 AB是共线同向的，且BC=2AB,进而得到答案. 【详解】根据题意得到BC和 AB是共线同向的，且BC=2AB,故得到选项为A. 故答案为：A. 【点睛】这个题目考查了向量的线性关系，考查了向量的数乘的应用，较为简单. 2.含一个量词的命题“0xR$?，使得2010x+<”的否定是（ ）
A. 0xR$?，使得2010x+? B. 0xR$?
，使得2010x+>
C. 2,10xRx"?? D. 2,10xRx"?< 【答案】C 【解析】 【分析】 根据特称命题的否定形式书写即可，即换量词，否结论，不变条件. 【详解】特称命题的否定形式为全称命题，根据特称命题的否定形式书写为：2,10xRx"??.
故答案为：C. 【点睛】一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论． 3.集合{}{}3,2,,aABab==，若{}1AB?，则ABÈ=（ ）
A. {}0,3 B. {}1,2,3 C. {}1,2 D. {}0,1,3 【答案】D .. .. 【解析】 【分析】 根据集合的交集得到参数值，再由集合的并集的概念得到结果. 【详解】集合{}{}3,2,,aABab==，若{}1AB?则2a=1,a=0,故b=1。
故得到ABÈ
= {}0,1,3.
故答案为：D. 【点睛】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集;（2）看这些元素满足什么限制条件;（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．
4.已知函数()2,3,9,3,xxfxxxì
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数的解析式得到()24f=，()()()245fff==.
【详解】函数()2,3,9,3,xxfxxxì<ï
=í
-+?ï
î
,() 24f=,()()() 245.fff==
故答案为：B。 【点睛】解决分段函数求值问题的策略 (1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式;(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决;(3)求f(f(f(a)))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则。
5.《九章算术》中“开立圆术”曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径”.“开
立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求球的直径d的公式：13169dV骣琪=琪桫.若球的半径为1r=，根据“开立圆术”的方法计算该球的体积为（ ） A. 43p B. 916 C. 94 D. 92
【答案】D 【解析】 .. .. 【分析】 根据公式13169dV骣琪=琪桫得，131629V骣琪=琪桫，解得v即可
【详解】根据公式13169dV骣琪=琪桫得，131629V骣琪=琪桫，解得92V=． 故选D． 【点睛】本题考查了数学文化，属于基础题．也考查了球的体积的计算，较为简单. 6.已知向量()()0,1,2,1ab==，且()baal+^，则实数l的值为（ ）
A. 2 B. 2- C. 1 D. 1- 【答案】D 【解析】 【分析】 ()2,1ball+=+,() baal+^,即()=1+01.baalll+??-
【详解】已知向量()()0,1,2,1ab==，()2,1ball+=+,() baal+^,即()
=1+01.baalll+??-
故答案为：D. 【点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题. (2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法. (3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 7.设等差数列{}na的前n项和为nS，若4520,30,40mSSa===，则m=
A. 6 B. 10 C. 20 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】 等差数列{}na的前n项和为nS，若4520,30,SS==进而得到5a=10
【详解】等差数列{}na的前n项和为nS，若4520,30,SS==进而得到5a=10， 根据等差数列的性质得到53305Sa==，故3a=6，根据等差数列的性质得到.. .. 532,2aadd-==,5 402m5maa==+-（）,解得m=20. 故答案为：C. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质. 8.下列各图都是正方体的表面展开图，将其还原成正方体后，所得正方体完全一致（数码相对位置相同）的
是（ ）
A. （Ⅰ）和（Ⅳ） B. （Ⅰ）和（Ⅲ） C. （Ⅱ）和（Ⅲ） D. （Ⅱ）和（Ⅳ）
【答案】B 【解析】 【分析】 分别判断出还原成正方体后，相对面的标号，可得答案． 【详解】（Ⅰ）图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面； （Ⅱ）图还原后，①⑥对面，②⑤对面，③④对面； （Ⅲ）图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面； （Ⅳ）图还原后，①⑤对面，②④对面，③⑥对面； 综上，可得还原成正方体后，其中两个完全一样的是（Ⅰ）和（Ⅲ） 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是正方体的几何特征，正方体的表面展开图，难度中档．
9.将函数()sin26fxxp骣琪=+琪桫的图象向左平移6p个单位，得到函数()gx的图象，则下列说法正确的是
（ ） A. 直线2xp=是()gx的图象的一条对称轴 B. 362gp骣琪=琪桫 C. ()gx的周期为2p D. ()gx为奇函数 【答案】A 【解析】 【分析】
通过平移变换得到()sin(2)=cos2x2gxxp=+，依次判断各个选项即可. .. .. 【详解】将函数()sin26fxxp骣琪=+琪桫的图象向左平移6p个单位，得到函数()gx的图象，()sin(2)=cos2x2gxxp=+,直线2xp=代入表达式得到结果为-1，是对称轴处的取值，故A正确；
6gp骣琪=琪
桫
cos3p=12，故B正确；()gx的周期为4p，故C不正确；()gx为偶函数，故D不正确。
故答案为：A. 【点睛】这个题目考查了y=Asin（ωx+∅）图象的变换以及图像的性质，函数图像平移满足左加右减的原则，这一原则只针对x本身来说，需要将其系数提出来，再进行加减.
10.若函数()241yx=---的图象与直线20xym-+=有公共点，则实数m的取值范围为（ ）
A. 251251轾---+犏臌， B. 2511轾--犏臌，． C. 2511轾-+-犏臌， D. []31-，
【答案】B 【解析】 【分析】 将函数变形为()()22140xyy-+=?，表示的是以（1，0）为圆心，2为半径的圆的下半部分，与直线20xym-+=有公共点，一个临界是相切，一个临界是过点（-1，0），列式求值即可.
【详解】函数()241yx=--- 可化简为：()()22140xyy-+=?，表示的是以（1，0）为圆心，2为半径的圆的下半部分，与直线20xym-+=有公共点，根据题意画出图像：
一个临界是和圆相切，即圆心到直线的距离等于半径，1+22515mm=?--正值舍去； 另一个临界是过点（-1，0）代入得到m=1. 故答案为：B.