北京市十一学校2016届高三上学期12月月考数学(理)试题含答案
2016年北京高考数学理科答案与解析
2016年北京高考数学（理科）答案与解析1. C【解析】集合{|22}A x x =-<<，集合{|1,0,1,2,3}B x =-，所以{1,0,1}A B =-I .2. C【解析】可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为()1,2，最大值为2124⨯+=.1,2()2x +y =02x-y=0x =0x +y =33. B【解析】开始1a =，0k =；第一次循环12a =-，1k =；第二次循环2a =-，2k =，第三次循环1a =，条件判断为“是”跳出，此时2k =.4. D【解析】若=a b r r 成立，则以a r ，b r 为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形，+a b r r ，a b -r r表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以+=a b a b -r r r r不一定成立，从而不是充分条件；反之，+=a b a b -r r r r 成立，则以a r ，b r为边组成平行四边形，则该平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以=a b r r不一定成立，从而不是必要条件.5. C【解析】 A .考查的是反比例函数1y x=在()0,+∞单调递减，所以11x y <即110x y -<所以A 错； B .考查的是三角函数sin y x =在()0,+∞单调性，不是单调的，所以不一定有sin sin x y >，B 错；C .考查的是指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,+∞单调递减，所以有1122xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以C 对；D 考查的是对数函数ln y x =的性质，ln ln ln x y xy +=，当0x y >>时，0xy >不一定有ln 0xy >，所以D 错.6．A【解析】通过三视图可还原几何体为如图所示三棱锥，则通过侧视图得高1h =，底面积111122S =⨯⨯=，所以体积1136V Sh ==.7．A【解析】点π,4P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭上，所以πππ1sin 2sin 4362t ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移个单位，即πsin 2()sin 23y x s x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，所以π+π,6s k k =∈Z ，所以的最小值为π6.8．B【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：①红+红，则乙盒中红球数加个； ②黑+黑，则丙盒中黑球数加个；③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加个； ④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加个．因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机． ③和④对B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样． 综上，选B ．9.1-【解析】()()()11i i 1i ++=-++a a a∵其对应点在实轴上 ∴10+=a ，1=-a10.60【解析】由二项式定理得含2x 的项为()2226C 260-=x x11.2【解析】将极坐标转化为直角坐标进行运算cos =x ρθ，sin =y ρθ直线的直角坐标方程为10--=x∵2cos =ρθ，()222sin cos 2cos +=ρθθρθ∴222+=x y x圆的直角坐标方程为()2211-+=x y圆心()1,0在直线上，因此AB 为圆的直径，2=AB12.6【解析】∵3542+=a a a ∴40=a∵16=a ，413=+a a d ∴2=-d ∴()61661662⨯-=+=S a d13. 2【解析】不妨令B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，则双曲线图象如图∵OABC 为正方形，2=OA∴==c OB ，π4∠=AOB∵直线OA 是渐近线，方程为=b y x a ，∴tan 1=∠=bAOB a又∵2228+==a b c ∴2=aOCBAyx14．2，1a <-．【解析】由()323330x x x '-=-=，得1x =±，如下图，是()f x 的两个函数在没有限制条件时的图象．⑴ ()()max 12f x f =-=；⑵ 当1a -≥时，()f x 有最大值()12f -=；当1a <-时，2x -在x a >时无最大值，且()3max23a x x ->-．所以，1a <-．15．【解析】⑴ ∵222a c b+=+∴222a c b +-=∴222cos 2a c b B ac +-===∴π4B ∠=⑵∵πA B C ++=∴3π4AC +=cos A C +()A A A =++ A A =+πsin()4A =+∵3π4A C +=∴3(0,π)4A ∈∴ππ(,π)44A +∈∴πsin()4A +最大值为1上式最大值为116． 【解析】⑴81004020⨯=，C 班学生40人 ⑵在A 班中取到每个人的概率相同均为15设A 班中取到第个人事件为,1,2,3,4,5i A i = C 班中取到第j 个人事件为,1,2,3,4,5,6,7,8j C j =A 班中取到i j A C >的概率为i P所求事件为D则1234511111()55555P D P P P P P =++++ 12131313145858585858=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 38= ⑶10μμ<三组平均数分别为7,9,8.25,总均值08.2μ=但1μ中多加的三个数据7,9,8.25,平均值为8.08，比0μ小， 故拉低了平均值17．【解析】⑴∵面PAD I 面ABCD AD =面PAD ⊥面ABCD∵AB ⊥AD ，AB ⊂面ABCD ∴AB ⊥面PAD ∵PD ⊂面PAD ∴AB ⊥PD 又PD ⊥PA ∴PD ⊥面PAB⑵取AD 中点为O ，连结CO ，PO∵CD AC ==∴CO ⊥AD∵PA PD = ∴PO ⊥AD以O 为原点，如图建系 易知(001)P ，，，(110)B ，，，(010)D -，，，(200)C ，，， 则(111)PB =-u u u v ，，，(011)PD =--u u u v ，，，(201)PC =-u u u v，，，(210)CD =--u u u v，，设n v为面PDC 的法向量，令00(,1)n x y =v ， 011,120n PD n n PC ⎧⋅=⎪⎛⎫⇒=-⎨⎪⎝⎭⋅=⎪⎩v u u u v v v u u u v ，，则PB 与面PCD 夹角θ有sin cos ,n θ=<v u u u⑶假设存在M 点使得BM ∥面PCD设AM APλ=，()0,','M y z由（2）知()0,1,0A ，()0,0,1P ，()0,1,1AP =-u u u r ，()1,1,0B ，()0,'1,'AM y z =-u u u u r有()0,1,AM AP M λλλ=⇒-u u u u r u u u r∴()1,,BM λλ=--u u u u rOx yz PABCD∵BM ∥面PCD ，n u u r为PCD 的法向量 ∴0BM n ⋅=u u u u r r即102λλ-++=∴1=4λ∴综上，存在M 点，即当14AM AP =时，M 点即为所求.18．【解析】 （I ）()e a x f x x bx -=+Q∴()e e (1)e a x a x a x f x x b x b ---'=-+=-+∵曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+ ∴(2)2(e 1)4f =-+，(2)e 1f '=- 即2(2)2e 22(e 1)4a f b -=+=-+①2(2)(12)e e 1a f b -'=-+=- ② 由①②解得：2a =，e b =（II ）由（I ）可知：2()e e x f x x x -=+，2()(1)e e x f x x -'=-+令2()(1)e x g x x -=-，∴222()e (1)e (2)e x x x g x x x ---'=---=-∴g 的最小值是(2)(12)e 1g =-=-∴()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=-> 即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立 ∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间.19．【解析】⑴由已知，112c ab a ==，又222a b c =+，解得2,1,a b c ===∴椭圆的方程为2214x y +=. ⑵方法一：设椭圆上一点()00,P x y ，则220014x y +=.直线PA ：()0022y y x x =--,令0x =，得0022M y y x -=-. ∴00212y BM x =+- 直线PB ：0011y y x x -=+,令0y =，得001N x x y -=-. ∴0021x AN y =+- 0000000000220000000000221122222214448422x y AN BM y x x y x y x y x y x y x y x y x y ⋅=+⋅+--+-+-=⋅--++--+=--+将220014x y +=代入上式得=4AN BM ⋅故AN BM ⋅为定值.方法二：设椭圆 上一点()2cos ,sin P θθ，直线PA:()sin 22cos 2y x θθ=--,令0x =，得sin 1cos My θθ=-. ∴sin cos 11cos BM θθθ+-=-直线PB :sin 112cos y x θθ-=+,令0y =，得2cos 1sin N x θθ=-. ∴2sin 2cos 21sin AN θθθ+-=-2sin 2cos 2sin cos 11sin 1cos 22sin 2cos 2sin cos 21sin cos sin cos 4AN BM θθθθθθθθθθθθθθ+-+-⋅=⋅----+=--+=故AN BM ⋅为定值.20．【解析】⑴ (){}25G A =，⑵ 因为存在1n a a >，设数列A 中第一个大于1a 的项为k a ，则1k i a a a >≥，其中21i k -≤≤，所以()k G A ∈，()G A ≠∅． ⑶ 设A 数列的所有“G 时刻”为12k i i i <<<L ，对于第一个“G 时刻”，有11i i a a a >≥，1231i i =-L ，，，，则 111111i i i a a a a ---≤≤．对于第二个“G 时刻”()21i i >，有21i i i a a a >≥（2121i i =-L ，，，）．则212211i i i i a a a a ---≤≤．类似的321i i a a -≤，…，11k k i i a a --≤．于是，()()()()11221211k k k k k i i i i i i i i k a a a a a a a a a a ----+-++-+-=-L ≥． 对于N a ，若()N G A ∈，则k i N a a =；若()N G A ∉，则k N i a a ≤，否则由⑵，知1k k i i N a a a +L ，，，中存在“G 时刻”，与只有k 个“G 时刻”矛盾．从而，11k i N k a a a a --≥≥，证毕．。
2016届北京市十一学校高三上学期12月月考数学(文科)
2016届北京市十一学校高三上学期12月月考数学（文科）一、选择题（共8小题；共40分）1. 若集合A=x x2=1，B=x x2−3x+2=0，则集合A∪B= A. 1B. 1,2C. −1,1,2D. −1,1,−22. “k=1”是“直线l1：kx+y+2=0与直线l2：x+ky−k=0平行”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件3. 已知x>0，y>0，且2x+y=1，则xy的最大值是 A. 14B. 18C. 4D. 84. 抛物线x2=12ay a≠0的焦点坐标是 A. a2,0 B. a2,0或 −a2,0C. 0,18a D. 0,18a或0,−18a5. 如图是某个三棱锥的三视图，其中主视图是等边三角形，左视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的侧面积为是 A. 3B. +C. +D. +6. 过点M2,0作圆x2+y2=1的两条切线MA，MB（A，B为切点），则MA⋅MB= A. −12B. −32C. 12D. 327. 已知函数f x=x4+ax2+bx+c c<0，若函数是偶函数，且f f0=c4+c，则函数f x的零点的个数 A. 0B. 2C. 3D. 48. 在平面直角坐标系xOy中，记不等式组x+y≥0,x−y≤0,y≤2,所表示的平面区域为D，在映射T：u=x+y,v=x−y,的作用下，区域D内的点x,y对应的象为点u,v，则由点u,v所形成的平面区域的面积为 A. 2B. 4C. 8D. 16二、填空题（共6小题；共30分）9. 设复数z满足i z=−3+2i，则z的共轭复数z= ______．10. 已知直线l1：x+3y−6=0与直线l2：kx−y+m=0，k>0,0<m<2，若l1，l2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则k= ______．11. 已知椭圆x2a +y2b=1a>b>0的离心率是13，则双曲线x2a−y2b=1的两条渐近线方程为______．12. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=4，b=5，并且S△ABC=53，则边c的长度为______．13. 已知过定点−1,0的动圆与直线x=1相切，则此动圆圆心轨迹方程是______．14. 已知点P3,4和圆C：x−22+y2=4．A，B是圆C上的两个动点，且 AB =23，则圆心到直线AB的距离d= ______；OP⋅ OA+OB（O为坐标原点）的取值范围是______．三、解答题（共6小题；共78分）15. 设数列a n的前n项和为S n=2a n−2n，（1）求a1，a4；（2）证明：a n2n是等差数列；（3）求a n的前n项和S n．16. 已知函数f x=4cosωx⋅sin ωx+π4ω>0的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f x在区间0,π2的单调区间．17. 在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=2x−4，l2：y=x−1，设圆C的半径为1，圆心在l1上．（1）若圆心C也在直线l2上，①求圆C的方程；②过点A2,0作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆在直线l2截得的弦长为2，求圆C的方程．18. 如图，在三棱锥P−ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC．设D，E分别为PA，AC中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求证：BC⊥平面PAB；（3）试问在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行?若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．19. 已知函数f x=x ln x，g x=x3+ax2−x+2；,1，求函数g x的解析式；（1）如果函数g x的单调减区间为 −13（2）在1的条件下，求函数g x的图象过点P1,1的切线方程；（3）对任意的x∈0,+∞，若不等式2f x≤gʹx+2恒成立，求实数a的取值范围．F的直线l与20. 已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为0,1，离心率为e=5坐标轴不垂直，且交椭圆于A，B两点．（1）求椭圆的方程；（2）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C，B，N三点共线?若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由；（3）设M m,0是线段OF（O为坐标原点）上的一个动点，且 MA+MB⊥AB，求m的取值范围．答案第一部分1. C2. A3. B4. C5. D6. D7. B8. C第二部分9. 2−3i10. 311. y=±223x12. 2113. y2=−4x14. 1；2,22第三部分15. （1）因为a1=S1，2a1=S1+2，所以a1=2，S1=2．n=2时，S2=2a2−22，a2=6；n=3时，S3=2a3−8，a3=16；n=4时，S4=2a4−16，a4=40．所以a1=2，a4=40．（2）由题设S n=2a n−2n，S n+1=2a n+1−2n+1，以上两式相减可得a n+1=2a n+1−2a n−2n，即a n+1−2a n=2n，即a n+12n+1−a n2n=12（常数）．所以a n2n 是首项为1，公差为12的等差数列．（3）由2可得a n2n =1+12n−1=12n+1，即a n=n+1⋅2n−1，所以S n=2n+12n−1−2n=n⋅2n．16. （1）f x=4cosωx⋅sin ωx+π4=22sinωx cosωx+22cos2ωx=2sin2ωx+cos2ωx+2=2sin2ωx+π4+ 2.因为f x的最小正周期为π，且ω>0，所以2π2ω=π，故ω=1．（2）由1知，f x=2sin2x+π4+2．若0≤x≤π2，则π4≤2x+π4≤5π4．当π4≤2x+π4≤π2，即0≤x≤π8时，f x单调递增；当π2≤2x+π4≤5π4，即π8≤x≤π2时，f x单调递减．综上可知，f x在区间0,π8上单调递增，区间π8,π2上单调递减．17. （1）①由题设，圆心C是直线y=2x−4和y=x−1的交点，解得点C3,2．所以圆的方程是x−32+y−22=1．②由题可知，若切线的斜率不存在，直线x=2是圆C的一条切线．若切线的斜率存在，设切线方程为y=k x−2，则k2+1=1，解得k=34，即3x−4y−6=0．综上所述，所求切线方程为x=2和3x−4y−6=0．（2）因为圆心在直线l1上，所以不妨设圆心C的坐标为a,2a−4，因为圆在直线l2截得的弦长为，所以半弦长为22，且半径为1，圆心C到直线l2的距离为1−222=22，即2=22，所以3−a =1，解得a=4或a=2．所以圆心分别为4,4或2,0，所求圆C的方程为x−42+y−42=1或x−22+y2=1．18. （1）因为点E是AC中点，点D为PA的中点，所以DE为三角形PAC的中位线，所以DE∥PC．又因为DE⊄面PBC，PC⊂面PBC，所以DE∥平面PBC．（2）因为平面PAC⊥面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，又PA⊂平面PAC，PA⊥AC，所以PA⊥面ABC．所以PA⊥BC．又因为AB⊥BC，且PA∩AB=A，所以BC⊥面PAB．（3）当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行．取AB中点F，连接EF，连接DF．1可知DE∥平面PBC．因为点E是AC中点，点F为AB的中点，所以EF为三角形ABC的中位线，所以EF∥BC．又因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC．又因为DE∩EF=E，所以平面DEF∥平面PBC，所以平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．19. （1）因为函数g x的单调减区间为 −13,1，所以gʹx=3x2+2ax−1<0的解集是 −13,1，所以将x=1代入方程3x2+2ax−1=0，解得a=−1，所以g x=x3−x2−x+2．（2）设切点为x0,y0，则gʹx=3x2−2x−1，所以切线的斜率为k=gʹx0=3x02−2x0−1，又因为切线过点1,1，所以切线方程为y−1=3x02−2x0−1x−1．因为切点在切线上也在曲线上，所以y0=x03−x02−x0+2y0−1=3x02−2x0−1x0−1解出x0=0,y0=2,或x0=1,y0=1.所以切线方程为y=1或x+y−2=0．（3）依题意有2x ln x≤3x2+2ax−1+2在x∈0,+∞上恒成立，所以a≥ln x−32x−12x恒成立．设 x=ln x−3x2−12x，即需求 x的最大值．ʹx=1x −32+12x=−x−13x+12x，令 ʹx=0，所以x=1或x=−13（舍）．当0<x<1时， ʹx>0，当x>1时， ʹx<0，所以x=1时， x取得最大值， x max=−2，所以a≥−2，所以a的取值范围是−2,+∞．20. （1）由已知b=1，由e=5得a2−b2a2=45，所以a2=5，椭圆的方程为x25+y2=1．（2）右焦点为F2,0，设直线l的方程为y=k x−2k≠0，A x1y1，B x2,y2．联立直线和椭圆的方程有x2+5y2=5,y=k x−2,化简整理后得1+5k2x2−20k2x+20k2−5=0，Δ>0恒成立．由根与系数的关系，有x1+x2=20k21+5k2,x1x2=20k2−51+5k2.因为点C与点A关于x轴对称，所以C x1,−y1．假设存在N x0,0满足题意，则BN=x0−x2,−y2，CN=x0−x1,y1．因为C，B，N三点共线，所以BN∥CN，所以x0−x2y1=−y2x0−x1，即y1+y2x0=x2y1+ x1y2．因此x0=k x1−2x2+k x2−2x1 k x1−2+k x2−2=2x1x2−2x1+x212=2⋅20k2−51+5k2−2⋅20k21+5k220k21+5k2−4=5 2 .所在存在定点N52,0，使得C，B，N三点共线．（3）由已知0≤m≤2，而MA+MB=x1−m,y1+x2−m,y2=x1+x2−2m,y1+y2，AB=x2−x1,y2−y1．因为 MA+MB⊥AB，所以x1+x2−2m,y1+y2⋅x2−x1,y2−y1=0，即x1+x2−2m x2−x1+k x1−2+k x2−2k x2−2−k x1−2=0，因为x1≠x2，所以1+k2x1+x2−2m−4k2=0，所以m=8k21+5k．因为k2=m8−5m >0，所以0<m<85，即当0<m<85时， MA+MB⊥AB．。
2016年北京市高考理科数学试题及答案-高考试卷
2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合A =B =，则（A ）（B ）（C ） （D ）（2）若x,y 满足 2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x+y 的最大值为（A ）0 （B ）3 （C ）4 （D ）5（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为（A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）4（4）设a ,b 是向量，则“=a b ”是“+=-a b a b ”的（A ） 充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知x,y R,且x y o，则（A）-（B）（C）(-0 （D）lnx+lny(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）（B）（C）（D）1(7)将函数图像上的点P（，t）向左平移s（s﹥0）个单位长度得到点P′.若P′位于函数的图像上，则（A）t=，s的最小值为（B）t=，s的最小值为（C）t=，s的最小值为（D）t=，s的最小值为（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C）乙盒中红球不多于丙盒中红球（D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． （9）设a R ，若复数（1+i ）（a+i ）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________。
2016年高考试卷(数学理)北京卷-解析版
2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合A=B=，则（A）（B）（C）（D）（2）若x,y满足，则2x+y的最大值为（A）0 （B）3（C）4 （D）5（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，学优高考网则输出的k值为（A）1（B）2（C）3（D）4（4）设a,b是向量，则“I a I=I b I”是“I a+b I=Ia-b I”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知x,y R,且x y o，则（A）-（B）（C）(-0 （D）lnx+lny(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）（B ） （C ） （D ）1(7)将函数图像上的点P （ ，t ）向左平移s （s ﹥0） 个单位长度得到点P ′.若 P ′位于函数的图像上，则（A ）t = ，s 的最小值为 （B ）t = ，s 的最小值为 （C ）t = ，s 的最小值为 （D ）t = ，s 的最小值为（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，学优高考网则 （A ）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B ）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C ）乙盒中红球不多于丙盒中红球 （D ）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）设a R ，若复数（1+i ）（a+i ）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________。
精编2016年北京市高考数学理科试题和答案
2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合A=B=，则（A）（B）（C）（D）（2）若x,y满足，则2x+y的最大值为（A）0 （B）3（C）4 （D）5（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（A）1（B）2（C）3（D）4（4）设a,b是向量，则“I a I=I b I”是“I a+b I=Ia-b I”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知x,y R,且x y o，则（A）-（B）（C）(-0 （D）lnx+lny(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）（B）（C）（D）1(7)将函数图像上的点P（，t）向左平移s（s﹥0）个单位长度得到点P′.若P′位于函数的图像上，则（A）t=，s的最小值为（B）t=，s的最小值为（C）t=，s的最小值为（D）t=，s的最小值为（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C）乙盒中红球不多于丙盒中红球（D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）设a R ，若复数（1+i ）（a+i ）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________。
（10）在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）（11）在极坐标系中，直线与圆交于A ，B 两点， 则=____________________.（12）已知为等差数列，为其前n 项和，若 ，，则.（13）双曲线 的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点。
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北京市2016届高三数学理优题精练数 列一、选择、填空题1、（2015年北京高考）设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是A.若021>+a a ，则032>+a aB.若031>+a a ，则021<+a aC.若210a a <<，则312a a a >D.若01<a ，则()0)(3212>--a a a a2、（2014年北京高考）若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =______时，{}n a 的前n 项和最大.3、（2013年北京高考）若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝__________；前n 项和S n ＝__________.4、（朝阳区2015届高三一模）设S n 为等差数列的前n 项和。
若，则通项公式＝＿＿＿＿。
5、（东城区2015届高三二模）已知{}n a 为各项都是正数的等比数列，若484a a ⋅=，则567a a a ⋅⋅=（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）646、（丰台区2015届高三一模）在等比数列}{n a 中，344a a +=，22a =，则公比q 等于(A) -2(B) 1或-2(C) 1(D)1或27、（海淀区2015届高三二模）若等比数列{}n a 满足2664a a =，3432a a =，则公比q =_____；22212n a a a +++= ．8、（石景山区2015届高三一模）等差数列{}n a 中，11,m k a a k m==()m k ≠，则该数列前mk 项之和为（ ） A ．12mk - B ．2mkC ．12mk +D ．12mk + 9、（西城区2015届高三一模）若数列a n 满足a 1 = －2，且对于任意的m , n ∈N ＊，都有m n m n a a a += , 则3a = ；数列{ a n } 前10 项的和S 10 = .10、（大兴区2015届高三上学期期末）已知数列{}n a 为等差数列，若134a a +=，2410a a +=，则{}n a 的前n 项和n S =_____．11、（丰台区2015届高三上学期期末）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，如果12a =，3522a a +=，那么3S 等于_____12、（北京四中2015届高三上学期期中）在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则该数列前11项和11S ＝ .13、（东城区示范校2015届高三上学期综合能力测试）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若02,2111=+=+n n S a a ，...,2,1=n ，则数列{}n a 的通项公式为=n a _______________ 14、（东城区2015届高三4月综合练习（一））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28S =，412S =，则{}n a 的公差d = ．15、（）已知,4,m n 是等差数列，那么m n ⋅=______；mn 的最大值为______二、解答题 1、（2015年北京高考）已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ， 361≤a ，且⎩⎨⎧>-≤=+18,36218,2.1n nn n n a a a a a () 2,1=n ． 记集合{}*∈=N n a M n ．（Ⅰ）若61=a ，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．2、（2014年北京高考）对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤，其中112max{(),}k k T P a a a -+++表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数，（1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值. （2）记m 为,,,a b c d四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小.（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.3、（2013年北京高考）已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之后各项a n ＋1，a n ＋2，…的最小值记为B n ，d n ＝A n －B n .(1)若{a n }为2,1,4,3,2,1,4,3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N *，a n ＋4＝a n )，写出d 1，d 2，d 3，d 4的值；(2)设d 是非负整数，证明：d n ＝－d (n ＝1,2,3，…)的充分必要条件为{a n }是公差为d 的等差数列； (3)证明：若a 1＝2，d n ＝1(n ＝1,2,3，…)，则{a n }的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.4、（朝阳区2015届高三一模）若数列 中不超过 f (m )的项数恰为b m (m ∈N * )，则称数列是数列 的生成数列，称相应的函数 f (m )是生成的控制函数。
北京市西城区2016届高三上学期期末考试数学理试题(WORD版)-含答案
北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2016.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|1}A x x =>，集合{2}B a =+，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(,1]-∞- （B ）(,1]-∞（C ）[1,)-+∞（D ）[1,)+∞2. 下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ）（A ）21y x =+ （B ）e e x x y -=- （C ）lg ||y x = （D ）2y x =3. 设命题p ：“若1sin 2α=，则π6α=”，命题q ：“若a b >，则11a b<”，则（ ） （A ）“p q ∧”为真命题 （B ）“p q ∨”为假命题 （C ）“q ⌝”为假命题 （D ）以上都不对4. 在数列{}n a 中，“对任意的*n ∈N ，212n n n a a a ++=”是“数列{}n a 为等比数列”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个 几何体的表面积是（ ） （A ）1623+ （B ）1625+ （C ）2023+ （D ）2025+侧(左)视图正(主)视图俯视图22 1 1开始 4x >输出y 结束否 是 输入xy=12○1 6. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（ ）（A ）32 （B ）32- （C ）14（D ）14-7. 某市乘坐出租车的收费办法如下：不超过4千米的里程收费12元;超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元.相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中○1处应填（ ） （A ）12[]42y x =-+（B ）12[]52y x =-+（C ）12[]42y x =++（D ）12[]52y x =++8. 如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =.如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立，那么λ的取值范围是（ ） （A ）(0,7) （B ）(4,7) （C ）(0,4) （D ）(5,16)-第Ⅱ卷（非选择题 共110分）E FD P C A BB OC A NM二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =____.10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若A B =，3a =，2c =，则cos C =____.11．双曲线C ：221164x y -=的渐近线方程为_____；设12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，P 为C 上一点，且1||4PF =，则2||PF =____.12．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=，3AB =，4BC =，点O 为BC 的中点，以BC 为直径的半圆与AC ，AO 分别相交于点M ，N ，则AN =____；AMMC= ____.13. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有____种.（用数字作答）14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤ 且该食品在4C 的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论： ○1 该食品在6C 的保鲜时间是8小时；○2 当[6,6]x ∈-时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少； ○3 到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ○4 到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间. 其中，所有正确结论的序号是____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数3()cos (sin 3cos )2f x x x x =+-，x ∈R . （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设0α>，若函数()()g x f x α=+为奇函数，求α的最小值.16．（本小题满分13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下： 甲 6 6 9 9 乙79xy（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（Ⅱ）如果7x y ==，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值.（结论不要求证明）17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=,2AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：//ME 平面PAB ； （Ⅲ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成的角相等，求PMPD的值.18．（本小题满分13分）F CADPMB E已知函数2()1f x x =-，函数()2ln g x t x =，其中1t ≤．（Ⅰ）如果函数()f x 与()g x 在1x =处的切线均为l ，求切线l 的方程及t 的值； （Ⅱ）如果曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点，求t 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，点3(1,)2A 在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点1P ，2P （两点均不在坐标轴上），且使得直线1OP ，2OP 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）在数字21,2,,()n n ≥的任意一个排列A ：12,,,n a a a 中，如果对于,,i j i j *∈<N ，有i j a a >，那么就称(,)i j a a 为一个逆序对. 记排列A 中逆序对的个数为()S A .如=4n 时，在排列B ：3, 2, 4, 1中，逆序对有(3,2)，(3,1)，(2,1)，(4,1)，则()4S B =.（Ⅰ）设排列 C ： 3, 5, 6, 4, 1, 2，写出()S C 的值；（Ⅱ）对于数字1，2，，n 的一切排列A ，求所有()S A 的算术平均值；（Ⅲ）如果把排列A ：12,,,n a a a 中两个数字,()i j a a i j <交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列A '：12,,,n b b b ，求证：()()S A S A '+为奇数.北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．C 3．B 4．B 5．B 6．C 7．D 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．13i -- 10．7911．12y x =±12 12． 132- 91613．54 14．○1 ○4 注：第11，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：3()cos (sin 3cos )2f x x x x =+- 23sin cos (2cos 1)2x x x =+-13sin 2cos222x x=+ ………………4分πsin(2)3x =+，………………6分所以函数()f x 的最小正周期2π=π2T =. ………………7分由ππππ2π+23222x k k -+≤≤，k ∈Z ，得5ππππ+1212x k k -≤≤， 所以函数()f x 的单调递增区间为5ππππ+]1212[k k -,，k ∈Z . ………………9分 （注：或者写成单调递增区间为5ππππ+)1212(k k -,，k ∈Z . ） （Ⅱ）解：由题意，得π()()sin(22)3g x f x x αα=+=++，因为函数()g x 为奇函数，且x ∈R ，所以(0)0g =，即πsin(2)03α+=， ………………11分所以π2π3k α+=，k ∈Z ， 解得ππ26k α=-，k ∈Z ，验证知其符合题意. 又因为0α>， 所以α的最小值为π3. ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记 “从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件A ， ………………1分 由题意，得2421()C 3P A ==， 所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为13. ……4分（Ⅱ）解：由题意，X 的所有可能取值为13，15，16，18， ………………5分且3(13)8P X ==，1(15)8P X ==，3(16)8P X ==，1(18)8P X ==，………………7分所以X 的分布列为：X 13 15 16 18P38 1838 18……………… 8分 所以3131()13151618158888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………10分（Ⅲ）解：x 的可能取值为6，7，8. ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=， 所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥. ………………1分 因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=，所以PA ⊥底面ABCD . ………………2分又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥. ………………3分 又因为PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC . ………………4分 （Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点， 所以//MF PA ，又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，FADPMz所以//MF 平面PAB . ………………5分 同理，得//EF 平面PAB . 又因为=MFEF F ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ，所以平面//MEF 平面PAB . ………………7分又因为ME ⊂平面MEF ，所以//ME 平面PAB . ………………9分（Ⅲ）解：因为PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，所以,,AP AB AC 两两垂直，故以,,AB AC AP 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0),(1,1,0)A B C P D E -，所以(2,0,2)PB =-，(2,2,2)PD =--，(2,2,0)BC =-， ………………10分 设([0,1])PMPDλλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=--， 所以(2,2,22)M λλλ--，(12,12,22)ME λλλ=+--，易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)=m . ………………11分 设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ， 由0BC ⋅=n ，0PB ⋅=n ，得220,220,x y x z -+=⎧⎨-=⎩ 令1x =, 得(1,1,1)=n . ………………12分因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos ,||cos ,|ME ME <>=<>m n ，即||||||||||||ME ME ME ME ⋅⋅=⋅⋅m n m n ， ………………13分所以 2|22|||3λλ-=， 解得332λ-=，或332λ+=（舍）. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：求导，得()2f x x '=，2()tg x x'=，(0)x >． ………………2分 由题意，得切线l 的斜率(1)(1)k f g ''==，即22k t ==，解得1t =． ……………3分 又切点坐标为(1,0)，所以切线l 的方程为220x y --=． ………………4分（Ⅱ）解：设函数2()()()12ln h x f x g x x t x =-=--，(0,)x ∈+∞． ………………5分 “曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点”等价于“函数()y h x =有且仅有一 个零点”．求导，得2222()2t x th x x x x-'=-=. ………………6分① 当0t ≤时，由(0,)x ∈+∞，得()0h x '>，所以()h x 在(0,)+∞单调递增．又因为(1)0h =，所以()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意． ………………8分② 当1t =时，当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：x(0,1)1(1,)+∞()h x '-0 +()h x↘↗所以()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，min()(1)0h x h ==，故()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意． ………………10分③ 当01t <<时， 令()0h x '=，解得x t =．当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：x(0,)tt(,)t +∞()h x '-0 +()h x↘↗所以()h x 在(0,)t 上单调递减，在(,)t +∞上单调递增， 所以当x t =时，min()()h x h t =． ………………11分因为(1)0h =，1t <，且()h x 在(,)t +∞上单调递增， 所以()(1)0h t h <=.又因为存在12e(0,1)t-∈ ，111122()12ln 0tttth t ----=--=>ee ee ，所以存在0(0,1)x ∈使得0()0h x =，所以函数()y h x =存在两个零点0x ，1，与题意不符.综上，曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点时，t 的范围是0{|t t ≤，或1}t =.………………13分19．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：由题意，得32c a =，222a b c =+， ………………2分 又因为点3(1,)2A 在椭圆C 上，所以221314ab+=， ………………3分解得2a =，1b =，3c =，所以椭圆C 的方程为1422=+y x . ………………5分（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为225x y +=. ………………6分 证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为222(0)x y r r +=>.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=. ………………7分由方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得0448)14(222=-+++m kmx x k ， ………………8分 因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以2221(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+. ………………9分由方程组222,,y kx m x y r =+⎧⎨+=⎩ 得2222(1)20k x kmx m r +++-=， ………………10分则22222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->.设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221km x x k -+=+，221221m r x x k -⋅=+， ………………11分设直线1OP ，2OP的斜率分别为1k ，2k ， 所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++=== 222222222222222111m r km k km m m r k k k m r m r k --⋅+⋅+-++==--+， ………………12分将2241m k =+代入上式，得221222(4)14(1)r k k k k r -+⋅=+-.要使得12k k 为定值，则224141r r-=-，即25r =，验证符合题意. 所以当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足12k k 为定值14-. ………………13分当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±， 此时，圆225x y +=与l 的交点12,P P 也满足1214k k =-. 综上，当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足斜率之积12k k 为定值14-. ………………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()10S C =； ………………2分 （Ⅱ）解：考察排列D ：121,,,,n n d d d d -与排列1121,,,,n n D d d d d -：，因为数对(,)i j d d 与(,)j i d d 中必有一个为逆序对（其中1i j n <≤≤）， 且排列D 中数对(,)i j d d 共有2(1)C 2n n n -=个， ………………3分 所以1(1)()()2n n S D S D -+=. ………………5分 所以排列D 与1D 的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -. ………………6分 而对于数字1，2，，n 的任意一个排列A ：12,,,n a a a ，都可以构造排列A 1：121,,,,n n a a a a -，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -. 所以所有()S A 的算术平均值为(1)4n n -. ………………7分（Ⅲ）证明：○1当1j i =+，即,i j a a 相邻时， 不妨设1i i a a +<，则排列A '为12112,,,,,,,,i i i i n a a a a a a a -++，此时排列A '与排列A ：12,,,n a a a 相比，仅多了一个逆序对1(,)i i a a +，所以()()1S A S A '=+，所以()()2()1S A S A S A '+=+为奇数. ………………10分 ○2当1j i ≠+，即,i j a a 不相邻时，假设,i j a a 之间有m 个数字，记排列A ：1212,,,,,,,,,,i m j n a a a k k k a a ，先将i a 向右移动一个位置，得到排列A 1：12112,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k a k k a a -，由○1，知1()S A 与()S A 的奇偶性不同， 再将i a 向右移动一个位置，得到排列A 2：121123,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k k a k k a a -，由○1，知2()S A 与1()S A 的奇偶性不同，以此类推，i a 共向右移动m 次，得到排列A m ：1212,,,,,,,,,,m i j n a a k k k a a a ， 再将j a 向左移动一个位置，得到排列A m +1：1211,,,,,,,,,,i m j i n a a a k k a a a -，以此类推，j a 共向左移动m +1次，得到排列A 2m +1：121,,,,,,,,,j m i n a a a k k a a ，即为排列A '，由○1，可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化， 而排列A 经过21m +次的前后两数交换位置，可以得到排列A '， 所以排列A 与排列A '的逆序数的奇偶性不同， 所以()()S A S A '+为奇数.综上，得()()S A S A '+为奇数. ………………13分。
北京市中央民族大学附属中学2016届高三上学期12月月考数学(理)试题缺答案
中央民族大学附属中学2015-2016学年第一学期12月试题高三数学（ 理科）一、选择题： (本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.抛物线y x 22-=的焦点坐标是（）A.(-1,0)B.（1，0）C.(0，-21）D. (0， 21） 2.设非零实数a,b 满足a ＜b ，则下列不等式中一定成立的是（） A. b1＞1a B. 2＜b ab C. ＞0b a + D. ＜0b a - 3.设R a ∈，则“a=1”是直线012:1=-+y ax l 与直线04)1(:2=+++y a x l 平行，的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件4.相距1600m 的两个哨所A ，B,听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声音速度是320m/s, 在A 哨所听到爆炸声的时间比在B 哨所听到时迟4s.若以AB 所在直线为x 轴、以线段AB 的中垂线为 y 轴，则爆炸点所在曲线的方程可以是（） A. ＞0)(156440043560022x y x =- B. ＞0)(14806402222x y x =- C. 156440043560022=+y x D. 14806402222=+y x 5.己知βα,於是两个不同平面，m 、n 是两条不同直线，下列选项中错误的是（）A.若 m∥n,α⊥m ,则α⊥nB. 若 m∥α, n =βα ,则n m ∥C.若βα⊥⊥m m ,,则βα∥D.若βα⊂⊥m m ,,则βα⊥6.已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如右图所示，左视图的面积是（） A. 2 B. 32 C. 22 D. 42 7.己知点M(2，-3). N(-3,-2),直线1:+-=a ax y l 与线段MN 相交，则实数a 的取值范围是 （）A. ]43,4[-B. ),43[]4,(+∞--∞C. ),4[]43,(+∞--∞ D. ]4,43[- 8.若直线 被圆C:jcV<所截的弦长不小于2，则予2. PIS /与下列曲线一定有公共点的是（）A. 1)1(22=+-y xB. 122=-y xC. 2x y = D. 1222=+y x 二、填空题：（(本大题共6小题，每小题5分，共30分）9.若复数)()(2R x ii x x x z ∈-+=为纯虚数，则x 等于 . 10.直线x y 2=为双曲线)0＞,0＞(1:2222b a by a x C =-的—条渐近线，则双曲线C 的离心率是 .11.动点在圆122=+y x 上移动时，它与定点B （3，0）连线的中点的轨迹方程是 。
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【最新整理，下载后即可编辑】本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|||2}A x x=<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B=（）A.{0,1}B.{0,1,2}C.{1,0,1}- D.{1,0,1,2}-【答案】C考点：集合交集.2.若x，y满足203x yx yx-≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y+的最大值为（）A.0B.3C.4D.5【答案】C【解析】试题分析：作出如图可行域，则当yxz+=2经过点P时，取最大值，而)2,1(P ，∴所求最大值为4，故选C.考点：线性规划.3.执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为（ ）A.1B.2C.3D.4开始输入ak =0,b =aa =b 输出k结束k =k +111a a=-+否是【答案】B考点：算法与程序框图4.设a ，b 是向量，则“||||a b =”是“||||a b a b +=-”的（ ）xy OPA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】试题分析：由22||||()()0a b a b a b a b a b a b +=-⇔+=-⇔⋅=⇔⊥，故是既不充分也不必要条件，故选D.考点：1.充分必要条件；2.平面向量数量积. 5.已知x ，y R ∈，且0x y >>，则（ ） A.110x y-> B.sin sin 0x y -> C.11()()022x y -<D.ln ln 0x y +> 【答案】C考点： 函数性质6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A.16B.13C.12D.1【答案】A 【解析】试题分析：分析三视图可知，该几何体为一三棱锥P ABC -，其体积111111326V =⋅⋅⋅⋅=，故选A.考点：1.三视图；2.空间几何体体积计算.7.将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）A.12t =，s 的最小值为6π B.32t =，s 的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3π D.32t =，s 的最小值为3π【答案】A考点：三角函数图象平移8.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ） A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 【答案】C 【解析】试题分析：若乙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个均是红球；若乙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球是一红一黑，且红球放入甲盒；若丙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个球是一红一黑：且黑球放入甲盒；若丙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球都是黑球；A：由于抽到的两个球是红球和黑球的次数是奇数还是偶数无法确定，故无法判定乙盒和丙盒中异色球的大小关系，而抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数应是相等的，故选C.考点：概率统计分析.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.设a R∈，若复数(1)()++在复平面内对应的点位于实轴上，则i a ia=_______________.【答案】1-.【解析】试题分析：(1)()1(1)1++=-++∈⇒=-，故填：1-.i a i a a i R a考点：复数运算10.在6-的展开式中，2x的系数为__________________.（用数(12)x字作答）【答案】60.考点：二项式定理.11.在极坐标系中，直线cos3sin10ρθρθ-=与圆2cosρθ=交于A，B 两点，则||AB =______. 【答案】2 【解析】试题分析：分别将直线方程和圆方程化为直角坐标方程：直线为310x y --=过圆22(1)1x y -+=圆心，因此2AB =，故填：2.考点：极坐标方程与直角方程的互相转化.12.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______..【答案】6 【解析】试题分析：∵{}n a 是等差数列，∴35420a a a +==，40a =，4136a a d -==-，2d =-，∴616156615(2)6S a d =+=⨯+⨯-=，故填：6． 考点：等差数列基本性质.13.双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a =_______________. 【答案】2考点：双曲线的性质14.设函数33,()2,x x x a f x x x a⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2，(,1)-∞-. 【解析】试题分析：如图作出函数3()3g x x x =-与直线2y x =-的图象，它们的交点是(1,2)A -，(0,0)O ，(1,2)B -，由2'()33g x x =-，知1x =是函数()g x 的极大值点， ①当0a =时，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，因此()f x 的最大值是(1)2f -=；②由图象知当1a ≥-时，()f x 有最大值是(1)2f -=；只有当1a <-时，由332a a a -<-，因此()f x 无最大值，∴所求a 的范围是(,1)-∞-，故填：2，(,1)-∞-．考点：1.分段函数求最值；2.数形结合的数学思想.三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15.（本小题13分） 在∆ABC 中，2222+=+a c b ac . （1）求B ∠ 的大小；（2）求2cos cos A C + 的最大值. 【答案】（1）4π；（2）1.22cos cos()224A A A π=+=-，因为304A π<∠<，所以当4A π∠=时，2cos A C +取得最大值1.考点：1.三角恒等变形；2.余弦定理. 16.（本小题13分）A 、B 、C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；（2）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（3）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1μ，表格中数据的平均数记为μ，试判断0μ和1μ的大小，（结论不要求证明）【答案】（1）40；（2）38；（3）10μμ<.3323133222122111C A C A C A C A C A C A C A C A E = 45352515342414C A C A C A C A C A C A C A因此)()()()()()()()()(3323133222122111C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P E P +++++++=8340115)()()()()()()(45352515342414=⨯=+++++++C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P（3）根据平均数计算公式即可知，01μμ<. 考点：1.分层抽样；2.独立事件的概率；3.平均数 17.（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，5AC CD ==（1）求证：PD ⊥平面PAB ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AM AP的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（23；（3）存在，14AMAP=【解析】试题分析：（1）由面面垂直性质定理知AB⊥平面PAD ；根据线面垂直性质定理可知PD AB ⊥，再由线面垂直判定定理可知⊥PD 平面PAB ；（2）取AD 的中点O ，连结PO ，CO ，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系O xyz -，利用向量法可求出直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）假设存在，根据A ，P ，M 三点共线，设AP AM λ=，根据//BM 平面PCD ，即0=⋅n BM ，求λ的值，即可求出AM AP的值.试题解析：（1）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以⊥AB⊥，AB平面PAD，所以PD又因为PDPA⊥，所以⊥PD平面PAB；考点：1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用. 18.（本小题13分） 设函数()a x f x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，（1）求a ，b 的值； （2）求()f x 的单调区间.【答案】（Ⅰ）2a =，b e =；（2）)(x f 的单调递增区间为(,)-∞+∞.【解析】试题分析：（1）根据题意求出()f x '，根据(2)22f e =+，(2)1f e '=-，求a ，b 的值； （2）由题意知判断)(x f '，即判断11)(-+-=x e x x g 的单调性，知()0g x >，即()0f x '>，由此求得()f x 的单调区间.考点：导数的应用. 19.（本小题14分） 已知椭圆C ：22221+=x y a b（0a b >>）3，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N.求证：BM AN ⋅为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）根据离心率为2，即2c a =，OAB ∆的面积为1，即112ab =，椭圆中222a b c =+列方程求解；（2）根据已知条件分别求出AN ，||BM 的值，求其乘积为定值.228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN . 综上，BM AN ⋅为定值.考点：1.椭圆方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系.20.（本小题13分）设数列A ：1a ，2a ,…N a (N ≥).如果对小于n (2n N ≤≤)的每个正整数k 都有k a ＜n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”.记“)(A G 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合.（1）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出)(A G 的所有元素； （2）证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则∅≠)(A G ； （3）证明：若数列A 满足n a -1n a - ≤1（n=2,3, …,N）,则)(A G 的元素个数不小于N a -1a .【答案】（1）()G A 的元素为2和5；（2）详见解析；（3）详见解析.如果∅≠i G ，取i i G m min =，则对任何iim n k i a a a m k <≤<≤,1.从而)(A G m i ∈且1+=i i n m .又因为p n 是)(A G 中的最大元素，所以∅=p G .考点：数列、对新定义的理解.。
【北京卷】2016年高考数学理科试题(Word版,含答案)
2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合A=B=，则（A）（B）（C）（D）（2）若x,y满足，则2x+y的最大值为（A）0 （B）3（C）4 （D）5（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（A）1（B）2（C）3（D）4（4）设a,b是向量，则“I a I=I b I”是“I a+b I=Ia-b I”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知x,y R,且x y o，则（A）-（B）（C）(-0 （D）lnx+lny(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）（B）（C）（D）1(7)将函数图像上的点P（，t）向左平移s（s﹥0）个单位长度得到点P′.若P′位于函数的图像上，则（A）t=，s的最小值为（B）t=，s的最小值为（C）t=，s的最小值为（D）t=，s的最小值为（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C）乙盒中红球不多于丙盒中红球（D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）设a R ，若复数（1+i ）（a+i ）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________。
（10）在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）（11）在极坐标系中，直线与圆交于A ，B 两点，则 =____________________.（12）已知为等差数列，为其前n 项和，若，，则.（13）双曲线 的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B为该双曲线的焦点。
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北京十一学校2016届高三十二月月考 2015.12.12 数学卷（理科） 时间：120分钟 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：（本题共8道小题,在每一小题只有一个正确答案，每小题5分，满分共40分） 1.复平面内，复数ii1对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.已知集合121|xxA，集合0lg|xxB，则BA（ ） A．0|xx B．1|xx C．0|1|xxxx D．
4.下列函数既是奇函数，又在区间1,1上单调递减的是（ ） A．xxfsin B．1xxf C．xxxf22ln D．1,021aaaaxfxx 5.已知圆111:22yxC与x轴的公共点为A，与y轴的公共点为B，设劣弧AB的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是（ ）
A．22xy B．211xy C．22xy D．21xy 6.已知平面向量ba,的夹角为120，且1ba，则ba的最小值为（ ） A． 1 B． 3 C． 2 D． 6 7.已知函数xf满足111xfxf，当1,0x时，xxf，若在区间1,1上方程0mmxxf恰好有两个不同的实根，则实数m的取值范围是（ ）
A．21,0 B．21,0 C．31,0 D．,21 8.正方体DCBAABCD的棱长为1，FE,分别是棱CCAA,的中点，过直线FE,的平面分别与棱DDBB、交于NM,，设1,0,xxBM，给出以下四个命题： ①BDBDMENF平面平面； ②当且仅当21x时，四边形MENF的面积最小； ③四边形MENF周长1,0,xxfL是单调函数； ④四棱锥MENFC的体积xhV为常值函数； 以上命题中假命题．．．的序号为（ ） A．①④ B．② C．③ D．③④ 二、填空题：（本题共6道小题，每小题5分，满分30分）
9.在极坐标中，点4,2到圆cos2的圆心的距离为_____________. 10.若点)4,4(P为抛物线pxy22上一点，则抛物线焦点坐标为____________；点P到抛物线的准线的距离为______________. 11.在ABC中，若7,5,120BCABA，则CBsinsin的值为____________. 12.如图是某几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积为_________________；表面积为________________.
13.若不等式组ayxyxyx,62,0,1表示的平面区域是一个四边形，则实数a的取值范围是__________. 14.曲线C是平面内到直线1:1xl和直线1:2yl的距离之积等于常数02kk的点的轨迹.给出下列四个结论：①曲线C过点1,1；②曲线C关于点1,1对称；③若点P在曲线C上，点BA,分别在直线21,ll上，则PBPA不小于k2；④设0P为曲线C上任意一点，
则点0P关于直线1x，点1,1及直线1y对称的点分别为321PPP、、，则四边形
3210PPPP的面积为定值22k.
其中，所有正确结论的序号是_____________. 三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答时应写出文字说明、演算步骤或证明过程.） 15.（本小题13分）
已知函数.,43cos33sincos2Rxxxxxf （I）求xf的最小正周期； （II）求xf在区间4,4上的最大值和最小值. 16.（本小题13分） 已知na是首项为1，公差为2的等差数列.
（I）求na的通项公式及11nnaa的前n项和； （II）设nS表示na的前n项和，nb是首项为2的等比数列，公比q满足01442Sqaq，求nb的通项公式及其前n项和nT.
17.（本小题14分） 如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD是正方形，ABCDPAD平面平面，FE,
分别为BDPA,中点，2ADPDPA. （I）求证：PBCEF平面//； （II）求二面角PEDF的余弦值； （III）在棱PC上是否存在一点G，使EDFGF平面？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由. 18.（本小题13分） 已知函数.0,12ln2142122axaxaxxf （I）求函数xf的单调区间； （II）当41a时，存在,210x，20221axf，求实数a的取值范围. 19.（本小题14分） 已知椭圆01:2222babyaxC的右焦点为)0,1(F，短轴的端点分别为21,BB，且aFBFB21.
（I）求椭圆C的方程； （II）过点F且斜率为0kk的直线l交于椭圆于NM,两点，弦MN的垂直平分线与x轴
相交于点D.与MN的交点为P，试求MNDP的取值范围. 20.（本小题13分） 若数列,,,,,,21012aaaaa满足Znaaannn311，则称na具有性质A. （I）若数列nnba、具有性质A，k为给定的整数，c为给定的实数.以下四个数列中哪些具有性质A？请直接写出结论. ①na；②nnba；③kna；④nca. （II）若数列na具有性质A，且满足1,010aa. （i）直接写出Znaann的值； （ii）判断na的单调性，并证明你的结论. （III）若数列na具有性质A，且满足20152004aa.求证：存在无穷多个整数对ml,，满足mlaamt. 北京十一学校2016届高三十二月月考答案 2015.12.12
数学卷（理科） 时间：120分钟 一、选择题：BAACADBC 二、填空题：
9. 1 10. 0,1；5 11. 53 12. 38；32246 13. 5,3 14. ②③ 三、解答题：
15.解：（I）由已知，有43cos3cos23sin21cos2xxxxxf………………1分 43cos23cossin212xxx
43cos432sin41xx………………3分 xx2cos432sin41 3sin2cos3cos2sin21xx………………4分 32sin21x………………5分 所以，xf的最小正周期22T………………6分 （II）当4,4x时，6,6532x………………7分
故由当2,6532x，即12,4x时，xf单调递减；………………8分 故由当6,232x，即4,12x时，xf单调递增；………………9分 以及414,2112,414fff………………10分 得当4x时，xf取到最大值41； 当12x时，xf取到最大值21………………13分
故121121211212111nnnnaann，………………4分 有12121121121121215131213112111113221nnnnnaaaaaann
…6分 （II）由（I）得，21212121231nnnaannSnn………………8分 16,744Sa.因为01442Sqaq，即01682qq………………9分
所以042q，从而4q………………10分 又因21b，是nb公比4q的等比数列，所以12111242nnnnqbb………………11分
从而nb得前n项和1432111nnnqqbT………………13分 考点：等差数列、等比数列、数列求和. 16.解： （I）如图，连接AC.因为四边形ABCD是正方形，所以AC与BD互相平分. 又因为F是BD中点，所以F是AC中点. 在PAC中，E是PA中点，F是AC中点，所以PCEF//.………………2分 又因为PBCPCPBCEF平面，平面，………………3分 所以PBCEF平面//. ………………4分 （II）取AD中点O.在PAD中，因为PDPA， 所以ADPO. 因为ABCDPAD平面平面，且ADABCDPAD平面平面， 所以ABCDPO平面 因为ABCDOF平面， 所以OFPO. 又因为F是AC中点， 所以ADOF.………………5分 如图，以O为原点，OPOFOA,,分别为zyx,,轴，OA为单位长建立空间直角坐标系……6分 因为2ADPDPA，所以3OP，则0,0,1,0,2,1,0,2,1),0,0,1(,0,0,0DCBAO
0,1,0,23,0,21,3,0,0FEP
.
于是0,1,1,23,0,23,0,2,0DFDEAB. 因为PADOF平面，所以0,1,0OF是平面PAD的一个法向量.………………7分