河南省濮阳市范县濮城镇中学九年级数学上册 24.1.3 弧.弦.圆心角导学案
人教版九上数学第24章 圆 24.1.3 弧 弦 圆心角教案+学案
人教版九年级数学（上）第24章圆24.1圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角教案【教材内容】1．圆心角的概念；2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，•相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，•那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．【教学目标】1．了解圆心角的概念;2．掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．【教学重点】通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题．【教学难点】弧、弦、圆心角之间的相等关系是论证同圆或等圆中弧相等、角相等、线段相等的主要依据．【教学过程设计】一、情境导入人类为了获得健康和长寿，经过不断的实践探索，到十九世纪末才提出“生命在于运动”的口号．要健康长寿，更重要的是每天要摄取均衡的营养包括蛋白质、糖类、脂肪、维生素、矿物质、纤维和水．根据中国营养学会公布的“中国居民平衡膳食指南”，每人每日摄取量如图．你能求出各扇形的圆心角吗？二、合作探究知识点一：圆心角 【类型一】圆心角的识别例1 如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是( )A ．∠ABCB ．∠AOBC ．∠OABD ．∠OCB 解析：根据圆心角的概念，∠ABC 、∠OAB 、∠OCB 的顶点分别是B 、A 、C ，都不是圆心O ，因此都不是圆心角．只有B 中的∠AOB 的顶点在圆心，是圆心角．故选B.方法总结：确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是．知识点二：圆心角的性质 【类型一】利用圆心角的性质求角例2 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，C 、D 是BE ︵的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE 的大小是( )A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°解析：∵C 、D 是BE ︵的三等分点，∴BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE .∵∠AOE ＝60°，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE ＝13×(180°－60°)＝40°，∴∠COE ＝80°.故选C.方法总结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点三：圆心角、弦、弧之间的关系 【类型一】结合三角形内角和求角例3 如图所示，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B ＝70°，则∠A ＝________．解析：由AB ︵＝AC ︵，得这两条弧所对的弦AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C .因为∠B ＝70°，所以∠C ＝70°.由三角形的内角和定理可得∠A 的度数为40°.故答案为40°.方法总结：在应用弧、弦、圆心角之间的关系定理时，注意根据具体的需要选择有关部分，本题只需由两弧相等，得到两弦相等就可以了．【类型二】弧相等的简单证明例4 如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是OA ，OB 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，垂足分别为M ，N .求证：AC ︵＝BD ︵.解析：根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，可先证明它们所对的圆心角相等或它们所对的弦相等．证法1：如图所示，连接OC ，OD ，则OC ＝OD .∵OA ＝OB .又M ，N 分别是OA ，OB 的中点，∴OM ＝ON .又∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，∴∠CMO ＝∠DNO ＝90°.∴Rt △CMO ≌Rt △DNO .∴∠1＝∠2.∴AC ︵＝BD ︵.证法2：如图①所示，分别延长CM ，DN 交⊙O 于点E ，F .∵OM ＝12OA ，ON ＝12OB ，OA ＝OB ，∴OM ＝ON .又∵OM ⊥CE ，ON ⊥DF ，∴CE ＝DF ，∴CE ︵＝DF ︵.又∵AC ︵＝12CE ︵，BD ︵＝12DF ︵.∴AC ︵＝BD ︵.图①图②证法3：如图②所示，连接AC ，BD .由证法1，知CM ＝DN .又∵AM ＝BN ，∠AMC ＝∠BND ＝90°，∴△AMC ≌△BND .∴AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵.方法归纳：在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等．知识点四：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 例5 如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为EF ．（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？ （2）如果OE=OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？•为什么？∠AOB 与∠COD 呢？解析：（1）要说明OE=OF ，只要在直角三角形AOE 和直角三角形COF 中说明AE=CF ，即说明AB=CD ，因此，只要运用前面所讲的定理即可．（2）∵OE=OF ，∴在Rt △AOE 和Rt △COF 中， 又有AO=CO 是半径，∴Rt △AOE ≌Rt•△COF ，∴AE=CF ，∴AB=CD ，又可运用上面的定理得到AB =CD 解：（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE=OF 理由是：∵∠AOB=∠COD ∴AB=CD∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD ∴AE=12AB ，CF=12CD ∴AE=CF 又∵OA=OC ∴Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴OE=OF（2）如果OE=OF ，那么AB=CD ，AB =CD ，∠AOB=∠COD 理由是：∵OA=OC ，OE=OF ∴Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴AE=CF又∵OE ⊥AB ，OF ⊥CDD∴AE=12AB，CF=12CD∴AB=2AE，CD=2CF∴AB=CD∴AB=CD，∠AOB=∠COD方法归纳：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．三、教学小结师生一起总结本节学习知识要点：1．圆心角的概念；2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用．【板书设计】24.1 圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角1.圆心角的识别2.圆心角的性质3.弧、弦、圆心角之间的关系4.运用弧、弦、圆心角的关系进行证明与计算【课堂检测】1．(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的弦也．在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，•所对的弦也．(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，•所对的也相等．2. 如图，在⊙O中，AB=AC∠ACB=60 °，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC3. 如图，AB，CD是⊙O的两条弦。
九年级数学上册 24.1.3 弧、弦、圆心角教案 新人教版(1)(2021学年)
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24。
1.３弧、弦、圆心角一、教学目标１。
理解圆心角的概念,掌握圆的中心对称性和旋转不变性。
2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.3。
理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义。
二、课时安排１课时三、教学重点探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.四、教学难点理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义.五、教学过程(一）导入新课问题1 圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?问题2 圆绕圆心旋转任意一个角度后，能与原来的图形重合吗？（二)讲授新课活动内容1：活动1:小组合作探究1；圆心角的定义1.圆心角：顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOＢ。
2。
圆心角∠AＯB 所对的弧为弧AB。
3.圆心角∠AOB所对的弦为AＢ。
任意给圆心角,对应出现三个量:圆心角、弧、弦判一判：判别下列各图中的角是不是圆心角,并说明理由。
探究2: 圆心角、弧、弦之间的关系在⊙O中,如果∠AOB= ∠COD,那么,AB与CD,弦ＡB与弦ＣD有怎样的数量关系?明确：由圆的旋转不变性，我们发现：在⊙O中,如果∠ＡOB＝∠COD,那么，AB CD，弦AB=弦CD探究３:如图,在等圆中,如果∠AOB=∠ＣO ′ D,你发现的等量关系是否依然成立？为什么？明确:通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆,我们发现:如果∠ＡOB=∠COＤ，那么，弧AB=弧CD，弦ＡＢ=弦CD。
九年级数学上册 24.1.3 弧、弦、圆心角教案 (新版)新人教版
24.1.3 弧、弦、圆心角教学目标(1)知识目标：理解圆的定义，理解弧，弦，半圆，直径等有关概念及它们之间的联系(2)能力目标：通过感受图形的运动变化，感受图形在运动变化中的特点和规律(3)情感目标：经历探索相关结论，发展学生的思考问题能力，发现新规律的能力教学重点有关圆心角的定理及推论，它们在解题中的应用教学难点探索定理和推导及其应用教具多媒体幻灯片时间安排教学引入：5分钟探索新知：15分钟典例分析：10分钟巩固练习：8分钟应用拓展：6分钟小结：1分钟课后小结通过观察图形的运动变化，学生感受图形在运动变化中的特点和规律，对于学生而言，学习数学显得更加有趣。
圆心角、弦、弧教学方法：采取引导发现法，创设合理的问题情境，激发学生思维的积极性，充分展现学生的主体作用．组织教学：学生16人，要求积极思考、实验；教学过程一、教学引入（学生活动1）老师提问：圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心.二、探索新知1、圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角2、（学生活动2）（学生活动2）判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
2、（1）将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A1OB1的位置。
∠AOB=∠A1OB1，AB=A1B1，弧AB=弧A1B1（2）⊙O与⊙O1是等圆时，∠AOB =∠A1OB1，请问上述结论还成立吗？为什么?（利用圆的旋转的不变性）3、归纳：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
4、（学生活动3）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，你能得什么结论？在同圆或等圆中，如果两条弦相等呢？5、归纳：同圆或等圆中，两个圆心角、两条圆心角所对的弧、两条圆心角所对的弦中如果有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。
6、引申：(1) 圆心角 (2) 弧 (3) 弦，知一得二静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r 的点组成的图形．7、（学生口答）练习：1、如图3，AB、CD是⊙O的两条弦。
人教版-数学-九年级上册- 24.1.3弧 弦 圆心角 导学案
一、新课导入1、我们已经学习过圆，圆既是中心对称图形又是轴对称图形，把一个圆绕圆心旋转多少度可以与自身重合？2、你知道什么是圆心角吗？圆心角和这所对的弧、弦有特殊关系吗？二、学习目标1、掌握圆心角的定义，能判断一个角是否圆心角。
2、掌握圆心角、弧、弦之间的关系。
三、研读课本认真阅读课本的内容，完成以下练习。
（一）划出你认为重点的语句。
（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。
研读一、认真阅读课本要求：知道圆心角的定义，了解圆既是中心对称图形又是轴对称图形，圆还是旋转对称图形。
一边阅读一边完成检测一。
检测练习一、1、顶点在圆心的角叫圆心角。
2、下列4个图形中，只有④中的角在圆心上，所以只有④中的角是圆心角；3、圆是轴对称图形，它的对称轴是过圆心的直线；圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心；把圆绕圆心旋转任意一个角度都可以与自身重合，所以圆是旋转对称图形。
4、圆心角的两条边和圆有两个交点，这两个点之间的弧是圆心角所对的弧，连接这两个点的线段是圆心角所对的弦。
5、完成尝试应用(1)如下图所示，在⊙O中，若∠AOB=∠COD，把∠AOB绕点O旋转，当OA与OC重合时，OB与OD重合，AB与CD重合，弧AB与弧CD重合，∠AOB与∠COD重合. (2)在⊙O中，若圆心角∠AOB与圆心角∠COD相等，那么，弦AB=弦CD，弧AB=弧CD.小结：在同圆或等圆中相等的圆心角，所对的弧相等，所对的弦也相等.研读二、认真阅读课本要求：思考“探究”中的问题，探索在同圆或等圆中，两个圆心角、这两个圆心角所对的弧、这两个圆心角所对的弦之间的关系。
问题探究：6、因为圆是旋转对称图形，可得：(1)、在⊙O中，若弧AB与弧CD相等，那么，弦AB=弦CD，∠AOB=∠COD，(2)、在⊙O中，若弦AB与弦CD相等，那么，弧AB=弧CD，∠AOB=∠COD，结论：在同圆或等圆中，两个圆心角、这两个圆心角所对的弧、这两个圆心角所对的弦，这三组量中有一组量相等，其余两组量就相等。
人教版九年级数学上册导学案 24.1.3 弧、弦、圆心角
课题：24.1.3 弧、弦、圆心角
一、学习目标：
了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．
二、学习重点：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对弦也相等及其两个推论和它们的应用
三、学习难点：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．
四、自主探究
请同学们完成下题．
已知△OAB，如图所示，作出绕O点旋转30°的图形．
.
A
B
O
五、合作探究
自学课本Ｐ82---P83思考下列问题：
1. 圆心角定义？
2、弧、弦、圆心角定理：
现在它的证明方法就转化为前面的说明了，•这就是又回到了我们的数学思想上
去呢──化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弧也相等．
六、当堂检测：
如图，∠AOB=90°，C、D是AB三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=BF=CD．
七、我的收获。
九年级数学上册(人教版)24.1.3弧、弦、圆心角教学设计
（1）学生观察弓箭图片，思考并回答问题。
（2）教师总结：弓箭的形状类似于圆的一部分，这就是我们今天要学习的弧、弦、圆心角。
（二）讲授新知，500字
1.教学活动设计：
在讲授新知环节，我将通过讲解、举例、演示等方法，让学生掌握弧、弦、圆心角的概念及其相互关系。
2.教学过程：
（1）教师讲解弧、弦、圆心角的概念，并通过黑板演示相关图形。
为了巩固本节课所学内容，确保学生对弧、弦、圆心角的概念、性质及相互关系有更深入的理解，特此布置以下作业：
1.基础巩固题：
（1）请学生完成课本24.1.3节的练习题1、2、3，以巩固弧、弦、圆心角的基本概念。
（2）从生活实例中找出至少3个与弧、弦、圆心角相关的现象，并简要说明它们之间的关系。
2.能力提升题：
（2）学生跟随教师思路，理解并掌握相关概念。
（3）教师通过实例讲解弧、弦、圆心角的相互关系，如圆周角定理等。
（三）学生小组讨论，500字
1.教学活动设计：
在此环节，我将组织学生进行小组讨论，旨在培养学生的合作精神和解决问题的能力。
2.教学过程：
（1）教师提出讨论主题，如：“如何证明圆周角定理？”
（2）学生分组讨论，共同探究解决问题的方法。
（二）过程与方法
1.通过观察、操作、猜想、验证等教学活动，引导学生自主探究弧、弦、圆心角的性质，培养他们的观察力和逻辑思维能力。
2.运用生活中的实例，让学生感受数学知识在实际问题中的应用，提高他们运用数学知识解决实际问题的能力。
3.采用小组合作、讨论交流等形式，培养学生的团队协作能力和语言表达能力。
（3）各小组汇报讨论成果，教师给予点评和指导。
（四）课堂练习，500字
2017年秋季学期新版新人教版九年级数学上学期24.1.3、弧、弦、圆心角导学案5
24.1.3 弧、弦、圆心角学习目标: 1.结合图形了解圆心角的概念,学会辨别圆心角.2.探究圆心角,弦,弧之间的关系定理,并能运用这些关系解决有关问题.学习重点: 圆心角,弦,弧之间的相等关系学习难点：从圆的旋转不变性出发,得到圆心角,弦,弧之间的相等关系 【学前准备】【导入】【自主学习，合作交流】1.动动眼：如图, 观察下列圆中的角有什么特点？圆3圆2圆1结论:我们把像这样的，顶点在 的角叫做圆心角. 2.动动口： 回答下列问题：(1)圆是中心对称图形吗？若是，它的对称中心是什么？(2)让圆旋转30°、60°，或者是任意一个角度，它都能够与原图形重合吗？3．动动脑：如下图，将⊙O 的圆心角∠AOB 绕圆心旋转到∠A /OB /的位置,你能发现哪些等量关系？为什么？图1 图2 结论:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧 ,所对的弦 在同圆或等圆中, 如果两条弧相等能得到什么结论?两条弦相等呢?4．动动手：在上图中，过点O 分别作OC ⊥AB ，OD ⊥A /B /，垂足为C 、D ，OC 和OD 有什么关系？（像OC 和OD的这样的线段叫弦心距）.5.练一练：根据图形,你能把上面的结论用几何语言表示出来吗? 如图,AB,CD 是⊙O的两条弦.【精讲点拔】【当堂检测】1.下列说法正确吗?若不正确,指出错误原因.（1）如图1，小雨说:“因为和所对的圆心角都是∠O,所以有.”（2）如图2，小华说:“因为AB=CD,故AB 所对的等于CD 所对的.”图1 图22.在同圆或等圆中,如果,那么AB与CD的关系是（）A.A B＞CDB.AB＝CDC.AB＜CDD.无法确定3.如图，AB是⊙O 的直径，,∠COD=35°，求∠AOE的度数.【课堂小结】【课后作业】（一）必做题：2.如图所示,D、E分别是⊙O的半径OA、OB上的点,CD⊥OA于D,CE⊥OB于E,CD=CE,试说明与的关系.（二）选做题：如图所示,已知AB是⊙O的弦, =,半径OE,OF分别交AB于点C,D.求证:△OCD为等腰三角形.【评价】【课后反思】。
数学人教版九年级上册24.1.3 弧、弦、圆心角的关系教学设计
第24 章（课）第1.3 节弧、弦、圆心角第1 课时（说明：本节课预习作业题应在前一节导学案中体现出来）教学设计：教学过程设计一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容活动11.按下面的步骤做一做：(1)在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下；(2)在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′，如图1所示，圆心固定．注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合．图1(3)将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合．通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由．(课件：探究三量关系)师生活动设计：教师叙述步骤，同学们一起动手操作．由已知条件可知∠AOB＝∠A′O′B′；由两圆的半径相等，可以得到∠OAB＝∠OBA＝∠O′A′B′=∠O′B′A′；由△AOB≌△A′O′B′，可得到AB＝A′B′；由旋转法可知''=．AB A B在学生分析完毕后，教师指出在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O′A′重合时，由于∠AOB＝∠A′O′B′．这样便得到半径OB与O′B′重合．因为点A和点A′重合，点B和点B′重合，所以AB 和''A B重合，弦AB与弦A′B′重合，即''=，AB=A′B′．AB A B进一步引导学生语言归纳圆心角、弧、弦之间相等关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．2．根据对上述定理的理解，你能证明下列命题是正确的吗？（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等．师生活动设计：本问题由学生在思考的基础上讨论解决，可以证明上述命题是真命题．二、主体活动，巩固新知，进一步理解三量关系定理．活动2：1．如图2，在⊙O中，AB AC=，∠ACB＝60°，求证∠AOB=∠AOC=∠BOC．图2学生活动设计：学生独立思考，根据对三量定理的理解加以分析．由AB AC=，得到=，△ABC是等腰三角形，由∠ACB＝60°，得到△ABC是等边三角形，AB ACAB=AC=BC，所以得到∠AOB=∠AOC=∠BOC．教师活动设计：这个问题是对三量关系定理的简单应用，因此应当让学生独立解决，在必要时教师可以进行适当的启发和提醒，最后学生交流自己的做法．〔证明〕∵A B A C=∴AB=AC，△ABC是等腰三角形．又∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA．∴∠AOB=∠AOC=∠BOC．2．如图3，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，求∠BOD的度数．图3学生活动设计：学生分析，由BC＝CD＝DA可以得到这三条弦所对的圆心角相等，所以考虑连接OC，得到∠AOD=∠DOC=∠BOC，而AB是直径，于是得到∠BOD＝23×180°＝120°．教师活动设计：此问题的解决方式和活动3类似，不过要注意学生对辅助线OC的理解，添加辅助线OC的原因．三、拓展创新、应用提高，培养学生的应用意识和创新能力活动3：定理“在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？师生活动设计：小组讨论，可以在教师的引导下，举出反例说明条件“在同圆或等圆中”不能去掉，比如可以请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图．图4如图4所示，虽然∠AOB=∠A′O′B′，但AB≠A′B′，''≠．AB A B教师进一步引导学生用同样的思路考虑命题：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等中的条件“在同圆和等圆中”课堂练习:1.下列图形既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )A.等边三角形B.等腰三角形C.角D.圆2.如图,AB是O的直径,BC CD DE=,求∠AOE的度数.==,∠COD353.如图,AB=CD,AD=4cm,试说明BC=4cm.当堂检测1.下列说法中,正确的是( )A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等,所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等 2.如图,O 中,AB AC =,∠C 75=,求∠A 的度数.3.如图,AD =BC ,比较AB 与CD 的长度,并证明你的结论.4.如图,AB 、AC 、BC 都是O 的弦,且∠CAB =∠CBA ,求证:∠COB =∠COA .5.如图,A、B是O上的两点,∠AOB120=,C为AB的中点,求证:四边形OACB是菱形.6.如图,AB是O的弦,C、D为弦AB上的两点,且OC=OD,延长OC、OD分别交O于点E、F.求证:AE BF=五、当堂反馈，布置作业1、《导学案》教后反思。
人教版九年级数学上册 24.1.3 弧、弦、圆心角 学案
24.1.3 弧、弦、圆心角学习目标：了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧、弦心距中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．一、导学过程：（阅读教材P82 — 83 , 完成课前预习）1、知识准备（1）圆是轴 图形，任何一条 所在直线都是它的对称轴．（2）垂径定理 推论 ．2、预习导航。
（1）圆心角：顶点在 的角叫做圆心角。
（2）等圆：能够 的圆叫做等圆，同圆或等圆的半径 。
（3）弧、弦、弦心距、圆心角的关系：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的弦也 ．同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 相等，•所对的弦也 ，所对的弦心距也 。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的 、 、相等．注：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也 。
二、课堂练习。
1．如果两个圆心角相等，那么（ ）A ．这两个圆心角所对的弦相等B ．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D ．以上说法都不对2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD ，则两条弧AB 与CD 的关系是（ ）A. AB=2CD B ．AB>2CD C ．AB<2CD D ．不能确定3. 一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．4．如图，在⊙O 中，AB=AC ，∠AOB=60 °，求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC三、课堂小结在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的弦也 ．在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 、 、相等．四、反馈检测。
O B C A1．如图，⊙O 中，如果AB=2CD ，那么（ ）．A ．AB=ACB ．AB=AC C ．AB<2ACD ．AB>2AC 2．如图，以平行四边形ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交BC 、AD 于E、F ，若∠D=50°，求BE 的度数和BF 的度数．3.如图，在⊙O 中，C 、D 是直径AB 上两点，且AC=BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M 、N •在⊙O 上．（1）求证：AM =BN （2）若C 、D 分别为OA 、OB 中点，则AM=MN=NB 成立吗？4．如图，∠AOB=90°，C 、D 是AB 三等分点，AB 分别交OC 、OD 于点E 、F ，求证：AE=BF=CD ．教&改~先&锋*网 教!改~先&锋*网 教!改^先&锋*网 教^改~先^锋*网 /5.如图 ， AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，求弦CE 长度。
新人教九年级上册第24章24.1.3 弧、弦、圆心角(导学案)
新人教九年级上册第24章24.1.3 弧、弦、圆心角一、新课导入1.导入课题：问题1：圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？问题2：把圆绕着圆心旋转一个任意角度，旋转之后的图形还能与原图形重合吗？这节课我们利用圆的任意旋转不变性来探究圆的另一个重要定理.(板书课题)2.学习目标：(1)知道圆是中心对称图形，并且具有任意旋转不变性.(2)知道什么样的角是圆心角，探究并得出弧、弦、圆心角的关系定理.(3)初步学会运用弧、弦、圆心角定理解决一些简单的问题.3.学习重、难点：重点：弧、弦、圆心角关系定理.难点：探究并证明弧、弦、圆心角关系定理.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：教材第83页至第84页例3之前的内容.(2)自学时间：8分钟.(3)自学方法：完成探究提纲.(4)探究参考提纲：①剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°和任意角度，观察旋转前后的两个图形是否重合，并填空：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心；把圆绕着圆心旋转任意一个角度，旋转之后的图形都与原图形重合.②顶点在圆心的角叫做圆心角.重合④结论：在在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量都相等.2.自学：学生结合自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：观察学生能否在提纲的指导下顺利完成整个探究活动.②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.(2)生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化：(1)弧、弦、圆心角关系定理，尤其是定理成立的前提条件是“在同圆或等圆中”.(2)该定理可以实现角、线段(弦)、弧的相互转换.(3)练习：如图，AB,CD是⊙O的两条弦.解：相等.理由：∵OE⊥AB,OF⊥CD，由垂径定理得AE=BE=AB，CF=DF=CD.又AB=CD,∴AE=CF.在Rt△AOE和Rt△COF中，OA=OC,AE=CF,∴Rt△AOE≌Rt△COF，∴OE=OF.1.自学指导：(1)自学内容：教材第84页例3.(2)自学时间：3分钟.(3)自学方法：阅读理解，推理论证.(4)自学参考提纲：它们所对的弦AB=BC=AC，或证明它们都是120°.b.在每一步后面填上相应的依据:证明：∴AB=AC(在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的弦相等).又∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形).即AB=BC=AC，∴∠AOB=∠BOC=∠AOC(在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆心角相等).c. 你还有其他的证法吗？∴AB＝AC. 又∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形.易证△AOB≌△BOC≌△AOC,∴∠AOB=∠BOC=∠AOC.2.自学：学生结合自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：观察学生是否会用定理实现角、线段、弧的转换.②差异指导：看图逐步适应从直线到曲线的过渡.(2)生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化：弧、弦、圆心角的关系定理是证弧等、弦等、角等的常用定理.三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：这节课你学到了哪些知识？还存在哪些疑惑？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生的学习态度、积极性，小组合作情况、存在的问题等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思)：(1)本节课学生通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，得出了圆的中心对称性、圆心角定理及推论，可以发展学生勇于探究的良好习惯，培养动手解决问题的能力.(2)本节课中，教师应让学生掌握解题方法，即要证弦相等或弧相等或圆心角相等，可先证其中一组量对应相等.掌握这个解题方法有助于提升学生的抽象思维能力.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固(70分)A．36°B．72°C．108°D．48°2.(15分)如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是半圆上两个三等分点，则∠COD=60°.3.(15分)如图，在⊙O中，点C是的中点，∠A=50°，则∠BOC=40°．二、综合应用(20分)6. (20分)如图，A,B 是⊙O 上的两点，∠AOB=120°，C 的中点，求证：四边形OACB 是菱形.证明：∵C 是AB 的中点，∴AC=BC ，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°. 又∵OA=OC=OB,∴△AOC 与△BOC 是等边三角形.∴∠A=60°. 又∠AOB=120°,∴AC ∥OB. ∵AC=OC=OB,∴四边形OACB 是平行四边形. 又OA=AC,∴四边形OACB 是菱形.三、拓展延伸(10分)7.(10分)如图，在⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点E ，AB=CD ． (1)求证：△AEC ≌△DEB ；(2)点B 与点C 关于直线OE 对称吗？试说明理由．(2)解：对称.理由：连接OB 、OC. 则OB=OC. 由(1)知BE=CE ，连接BC ，则OE 垂直平分BC. ∴点B 与点C 关于直线OE 对称.。
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弧.弦.圆心角
学科 数学 课题 弧.弦.圆心角 年级 九年级 课时 第三课时 课型 探究课
流程 具 体 内 容 方 法 指 导
一、
目
标
导
学
1. 了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用。 2、会运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题 3. 通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题。
二、
自
主
学
习
1.已知△OAB，如图所示，作出绕O点旋转30°、45°、60°的图形． 2、按照下列步骤进行小组活动： ⑴在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O和⊙O' ⑵在⊙O和⊙O'中,分别作相等的圆心角∠AOB、∠'''BOA，连接AB、''BA ⑶将两张纸片叠在一起，使⊙O与⊙O'重合（如图） ⑷固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA与OA'重合 在操作的过程中，你有什么发现，请与小组同学交流 _______________________________________________ 方法指导
温馨提示：
（用时 分
钟）
三、
问
题
探
究
1、上面的命题反映了在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦的关系，对于这三个量之间的关系，你还有什么思考？请与小组同学交流. 你能够用文字语言把你的发现表达出来吗? 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的_______________相等,___________________相等。 2、圆心角、弧、弦之间的关系： 在_________中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有_____相等，那么它们所对应的其余各组量都分别_______. 方法指导
温馨提示：
（用时 分
钟）
B
A
O
O
B
A
2
3、试一试：如图，已知⊙O、⊙O'半径相等，AB、CD分别是⊙O、⊙
O'的两条弦填空：
（1）若AB=CD，则 __________，__________。
（2）若AB= CD，则 __________，_________。（3）
若∠AOB=∠COD，则____________，
_____________________.
4、在圆心角、弧、弦这三个量中，角的大小可以
用度数刻画，弦的大小可以用长度刻画，那么如何
来刻画弧的大小呢？
弧的大小：圆心角的 与它所对的弧的
_______ 相等.
5.知识梳理：
①在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两
条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；
②圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
四、
反
馈
提
升
1．如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF． （1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？ （2）如果OE=OF，那么AB与CD的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？ 2、如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠AOC=∠BOC∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？ 3、已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE=BF，AC与BD相等吗？为什么？ 方法指导
温馨提示：
（用时 分
钟）
O
D
C
︵ ︵
O
B
A
C
O
B
A
C
D
EF
⌒ ⌒
OBACED
F
3
五、 达 标 运 用 1．如果两个圆心角相等，那么（ ） A．这两个圆心角所对的弦相等; B．这两个圆心角所对的弧相等 C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等; D．以上说法都不对 2、画一个圆和圆的一些弦，使得所画图形满足下列条件： （1）是中心对称图形，但不是轴对称图形； （2）既是轴对称图形，又是中心对称图形。 3、如图,在⊙O中, = ,∠1=30°,则∠2=__________
4. 一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角为________
5. ⊙O中，直径AB∥CD弦，60度数AC，则∠BOD=______。
6. 在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为
_______.
7.如图，AB是直径，BC︵＝CD︵＝DE︵，∠BOC＝40°，∠AOE的度数是
______________ 。
8.已知，如图，AB是⊙O的直径，M,N分别为AO,BO
的中点，CM⊥AB,DN⊥AB,垂足分别为M,N。求证：
AC=BD
方法指导
温馨提示：
限时 分钟
C
1
2 A
B
D
ｏ
AC =
BD
4
总 结 与 反 思 【知识梳理】
【收获与反思】
O
B
A
C
MDN