2021届高三数学精准培优专练数列求通项公式(文) 学生版

合集下载

高三数学精准培优专题练习12：数列求和(含答案解析)

培优点十二数列求和1．错位相减法例1：已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，且，，．（1）求数列与的通项公式；（2）记，，求证：．【答案】（1），；（2）见解析．【解析】（1）设的公差为，的公比为，则，，即，解得：，，．（2），①，②得，∴所证恒等式左边，右边，即左边右边，所以不等式得证．2．裂项相消法例2：设数列，其前项和，为单调递增的等比数列，，．（1）求数列，的通项公式；{}n a n n S {}n b 112a b ==4427a b +=4410S b -={}n a {}n b 1121n n n n T a b a b a b -=+++L n *∈N 12210n n n T a b +=-+31n a n =-2n n b ={}n a d {}n b q 3441127327a b a d b q +=⇒++=34411104610S b a d b q -=⇒+-=332322786210d q d q ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩32d q =⎧⎨=⎩31n a n ∴=-2n n b =()()231234222nn T n n =-⋅+-⋅++⋅L ()()23+1231234222n n T n n =-⋅+-⋅++⋅L -②①()()()()123124213123222222312321n n n n n T n n -++-∴=--⋅+++++⋅=--⋅+⋅-L ()10223112n n =⋅---()102231n n =⋅--()210231102nn n a b n =-+=--+⋅={}n a n 23n S n =-{}n b 123512b b b =1133a b a b +=+{}n a {}n b（2）若，求数列的前项和．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）时，，当时，符合上式，，∵为等比数列，，设的公比为，则，而，，解得或，∵单调递增，，．（2），．一、单选题1．已知等差数列中，，，则项数为（）A ．10B ．14C ．15D ．17【答案】C 【解析】∵，∴，∴，，故选C ．2．在等差数列中，满足，且，是前项的和，若取得最大值，则（）()()21nn n n b c b b =--{}n c n n T 63n a n =-+12n n b +=11121n n T +=--2n ≥()22133163n n n a S S n n n -⎡⎤=-=----=-+⎣⎦1n =113a S ==-63n a n ∴=-+{}n b 31232512b b b b ∴==28b ∴={}n b q 21328,8b b b b q q q q====315a =-113383158a b a b q q ∴+=+⇒-+=-+2q =12q =-{}n b 2q ∴=21222n n n b b -+∴=⋅=()()()()()()111112211222121212121n n nn n n n n n c +++++===-------112231111111212121212121n n n n T c c +⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 1111111212121n n ++=-=----{}n a 918S =240n S =()4309n a n -=>()199599182a a S a +===52a =()()()154230240222n n n n a a n a a n S -+++====15n ={}n a 4737a a =10a >n S {}n a n n S n =对点增分集训A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】设等差数列首项为，公差为，由题意可知，，，二次函数的对称轴为，开口向下，又∵，∴当时，取最大值．故选C ．3．对于函数，部分与的对应关系如下表：123456789375961824数列满足：，且对于任意，点都在函数的图象上，则（）A ．7554B ．7549C ．7546D ．7539【答案】A【解析】由题意可知：，，，，，点都在函数的图象上，则，，，，，则数列是周期为4的周期数列，由于，且，故．故选A ．4．设等差数列的前项和，，，若数列的前项和为，则（）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C【解析】为等差数列的前项和，设公差为，，，1a d 14330a d +=10a >()()2111352233n n n da S na n n -=+=-358754n ==.n *∈N 9n =n S ()y f x =x y xy{}n x 11x =n *∈N ()1n n x x +,()y f x =122015x x x ++⋅⋅⋅+=()13f =()35f =()56f =()61f =()13f =L ()1n n x x +,()y f x =11x =23x =35x =46x =511x x =={}n x 201545033=⨯+123415x x x x +++=()122015503151357554x x x ++⋅⋅⋅+=⨯+++={}n a n n S 44a =515S =11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭m 1011m =n S {}n a n d 44a =515S =则，解得，则．由于，则，解得．故答案为10．故选C ．5．在等差数列中，其前项和是，若，，则在，，，中最大的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由于，，∴可得，，这样，，，，，，，而，，∴在，，，中最大的是．故选C ．6．设数列的前项和为，则对任意正整数，（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵数列是首项与公比均为的等比数列．∴其前项和为．故选D ．7．已知数列满足，，，，若恒成立，则的最小值为（）A ．0B ．1C ．2D ．【答案】D【解析】由题意知，，由，4534155a S a =⎧⎨==⎩1d =()44n a n n =+-=()1111111n n a a n n n n +==-++11111110112231111m S m m m =-+-++-=-=++L 10m ={}n a n n S 90S >100S <11S a 22S a L 99S a 11S a 88S a 55S a 99S a ()19959902a a S a +==>()()110105610502a a S a a +==+<50a >60a <110S a >220Sa >L 550S a >660S a <L 990S a <125S S S <<<L 125a a a >>>L 11S a 22S a L 99S a 55S a (){}1n-n nS n nS=()112nn ⎡⎤--⎣⎦()1112n --+()112n-+()112n--(){}1n-1-n ()()()()11111112nn n S ⎡⎤-----⎣⎦=--={}n a 11a =()()121211n n n a n a +-=++()()12212141n nn n a n a b n +--+=-12n n T b b b =++⋅⋅⋅+n m T >m 1212121n n n a ab n n +=-+-()()121211n n n a n a +-=++得，∴，∴恒成立，，故最小值为，故选D ．8．数列的前项和为，若，则（）A ．2018B ．1009C ．2019D ．1010【答案】B【解析】由题意，数列满足，∴，故选B ．9．已知数列中，，则等于（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设，由，解得，令，故．故选A ．10．已知函数，且，则（）A ．20100B ．20500C ．40100D ．10050【答案】A【解析】，当为偶数时，，当为奇数时，，故()()111112121212122121n n a a n n n n n n +⎛⎫-==- ⎪+--+-+⎝⎭12111111111112133521212212n n T b b b n n n ⎛⎫⎛⎫=+++=⨯-+-++-=⨯-< ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭L L 12n T <12m ≥m 12{}n a n n S ()1nn a n =-⋅2018S ={}n a ()1nn a n =-⋅2018123420172018123420172018S a a a a a a =+++++=-+-+--+L L ()()()1234201720181009=-++-+++-+=L {}n a ()12321n n a a a a n *+++⋅⋅⋅+=-∈N 2222123n a a a a +++⋅⋅⋅+()1413n-()1213n-41n -()221n -()12321n n n S a a a a n *=+++⋅⋅⋅+=-∈N 1112,,n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩12n n a -=214n n n b a -==()22221231413nn a a a a +++⋅⋅=⋅+-()223sin 2n f n n -⎛⎫=π ⎪⎝⎭()n a f n =123200a a a a ++++=L ()n a f n =n ()2223sin 2n f n n n -⎛⎫=π=⎪⎝⎭n ()2223sin 2n f n n n -⎛⎫=π=-⎪⎝⎭222221232001234199200a a a a ++++=-+-++L L --．故选A ．11．已知数列满足：，，，则的整数部分为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】，∴原式，当时，，∴整数部分为1，故选B ．12．对于任意实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，．已知数列满足，其前项和为，若是满足的最小整数，则的值为（）A ．305B ．306C ．315D ．316【答案】D【解析】由题意，，当时，可得，（1项）当时，可得，（2项）当时，可得，（4项）当时，可得，（8项）当时，可得，（16项）当时，可得，（项）则前项和为，，()()()()211220019920019912319920020100=-+++-+=+++++=L L {}n a 112a =21a =()112n n n a a a n n *+-=+∈≥N ,132435111a a a a a a ++201820201a a +⋅⋅⋅+1111111111111111n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a +-+-+-+-+--++--=+⇒-=⇒=⇒-=111111111111n n n n n n n n n a a a a a a a a a +--+-+⎛⎫⇒=-=- ⎪⎝⎭1223201820192019202020192020111112a a a a a a a a a a =-++-=-L 3n ≥()201920202019202011121,2n a a a a a >⇒>⇒-∈x []x x []33=[]122-=-．[]121=．{}n a []2log n a n =n n S 0n 2018n S >0n []2log n a n =1n =10a =1222n ≤<231a a ==2322n ≤<4572a a a ====L 3422n ≤<89153a a a ====L 4522n ≤<1617314a a a ====L L L122n n n +≤<12212n n n a a a n ++====L 2n n 1234122232422n n S n =⨯+⨯+⨯+⨯++⨯L 234512122232422n n S n +=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯L两式相减得，∴，此时，当时，对应的项为，即，故选D ．二、填空题13．已知数列满足，记为的前项和，则__________．【答案】440【解析】由可得：当时，有， ①当时，有， ②当时，有， ③有，有，则．故答案为440．14．的最大整数．若，，，，则__________．【答案】，【解析】第一个等式，起始数为1，项数为，，第二个等式，起始数为2，项数为，，第三个等式，起始数为3，项数为，，2341222222n n n S n +-=+++++-⋅L()1112222122018n n n n S n n +++=⋅-+=-+>8n ≥8n =83162a a =0316n ≥{}n a()()112nnn a a n n---=≥n S {}na n 40S =()()112nn n a a n n ---=≥2n k =2212k k a a k --=21n k =-212221k k a a k --+=-21n k =+21221k k a a k ++=++①②22241k k a a k -+=--③①21211k k a a +-+=()()40135739246840S a a a a a a a a a a =+++++++++++L L ()109110715231071084402⨯=⨯++++=+⨯+⨯=L 13S =++=210S =++++=321S =++++++=L n S =()21n n +()n *∈N2234121=-=-113S =⨯2259432=-=-225S =⨯22716943=-=-337S =⨯L第个等式，起始数为，项数为，，，故答案为，．15．已知函数，则________；【答案】2018【解析】∵，设， ①则， ②得，∴．故答案为2018．16．定义为个正整数，，，的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则_________；【答案】【解析】∵数列的前项的“均倒数”为，∴，解得，∴，当时，，当时，上式成立，则，∴，，则．故答案为．n n ()22121n n n +-=+()21n S n n =+()n *∈N ()21n S n n =+()n *∈N ()113sin 22f x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭122018201920192019f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()111113sin 13sin 12222f a f a a a a a ⎛⎫⎛⎫+-=+-++-+--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112sin sin 222a a ⎛⎫⎛⎫=+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭122018201920192019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭201820171201920192019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+①②1201822018403620192019S f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2018S =12nnp p p +++L n 1p 2p L n p {}n a n 15n 5n n a b =12231011111b b b b b b +++=L 1021{}n a n 15n15n n S n=25n S n =115a S ==2n ≥()()221551105n n n a S S n n n -⎡⎤=-=--=-⎣⎦1n =105n a n =-215nn a b n ==-()()111111212222121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭1223101111111111111111011233557192122121b b b b b b ⎛⎫⎛⎫+++=⨯-+-+-++-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L 1021。

【高考复习】数学2021高考数列的通项与求和提分专练(含答案)

【高考复习】数学2021高考数列的通项与求和提分专练（含答案）数列是以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数，以下是数学2021高考数列的通项与议和伊明专练，恳请学生深入细致搞题。

一、选择题1.未知{an}为等差数列，其前n项和为sn，若a3=6，s3=12，则公差d等同于()a.1b.c.2d.3答案：c命题立意：本题主要考查等差数列的通项公式、求和公式，考查运算求解能力.解题思路：根据未知，a1+2d=6,3a1+3d=12，Champsaurd=2，故挑选c.2.已知数列{an}的前n项和sn=an-1(a0)，则{an}()a.一定就是等差数列b.一定是等比数列c.或者就是等差数列，或者就是等比数列d.既不可能是等差数列，也不可能是等比数列答案：c命题立意：等差数列和等比数列的基本运算就是中考经常考查的重点，本题根据数列的前n项和解通项公式，扩散等差数列和等比数列的定义，彰显了基本知识的应用领域，同时也彰显了分类探讨的思想，对能力建议较低，应予以注重.解题思路：sn=an-1(a0)，an=即an=当a=1时，an=0，数列{an}是一个常数列，也是等差数列;当a1时，数列{an}是一个等比数列，故选c.3.在数列{an}中，若对任一的n均存有an+an+1+an+2为定值(nn*)，且a7=2，a9=3，a98=4，则数列{an}的前100项的和s100等同于()a.132b.299c.68d.99答案：b解题思路：设an+an+1+an+2=x，则an+1+an+2+an+3=x，两式作差得an=an+3，所以数列{an}为周期数列并且周期t=3，a98=a332+2=a2，a9=a32+3=a3，a7=a1，所以s100=33s3+a1=299，故挑选b.4.已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn=lgan，b3=18，b6=12，则数列{bn}的前n项和的最大值等于()a.126b.130c.132d.134答案：c解题思路：bn+1-bn=lgan+1-lgan=lg=lgq(常数)，{bn}为等差数列.设公差为d，由bn=-2n+240，得n12，{bn}的前11项为正，第12项为零，从第13项起为负，s11，s12最大且s11=s12=132.5.在数列{an}中，a1=1，a2=2，若an+2=2an+1-an+2，则an等同于()a.n3-n+b.n3-5n2+9n-4c.n2-2n+2d.2n2-5n+4答案：c命题立意：本题考查等差数列的定义与通项公式、累加法求数列的通项公式，难度中等.解题思路：依题意得(an+2-an+1)-(an+1-an)=2，因此数列{an+1-an}就是以1领衔项，2为公差的等差数列，an+1-an=1+2(n-1)=2n-1.当n2时，an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)++(an-an-1)=1+1+3++(2n-3)=1+=(n-1)2+1=n2-2n+2.又a1=1=12-21+2，因此an=n2-2n+2，故挑选c.6.(天津模拟)已知数列{an}满足a1=0，an+1=(nn*)，则a20=()a.0b.-1c1.d.2答案：b命题立意：本题主要考查数列的周期性，难度中等.解题思路：因为数列{an}满足用户a1=0，an+1=(nn*)，a2=-，a3=，a4=0，t=3，则a20=a2=-，故挑选b.二、填空题7.未知数列{an}中，a1=1，an+1=(-1)n(an+1)，记sn为{an}前n项的和，则s2013=________.答案：-1005命题立意：本题主要考查递推数列的有关知识，要求考生掌握常见的几类求递推数列的通项与前n项和，首先是与等差(等比)数列相关的递推数列，其次是一阶线性递推数列，还有具有周期性的数列.本题就是一种具有周期性的递推数列.解题思路：由a1=1，an+1=(-1)n(an+1)只须该数列就是周期为4的数列，且a1=1，a2=-2，a3=-1，a4=0.所以s2013=503(a1+a2+a3+a4)+a2013=503(-2)+1=-1005.8.在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a3+a4=11a2a4，且它的前2n项的和等于它的前2n项中偶数项之和的11倍，则数列{an}的通项公式an=________.答案：102-n命题立意：本题考查等比数列的通项公式及其前n项和公式等科学知识，考查学生的运算能力.解题思路：设等比数列{an}的公比为q，前2n项和为s2n，前2n项中偶数项之和为tn，由题意知q1，则s2n=，tn=.由题意可知s2n=11tn，即=.解得q=(或令n=1，则s2=11t1，即a1+a2=11a2，化简得a1=10a2，故q=).又a3+a4=11a2a4，所以a1q2+a1q3=11aq4，化简得1+q=11a1q2，将q=代入可得a1=10，故an=a1qn-1==102-n.9.未知各项都为正数的数列{an}，其前n项的和为sn，且sn=(+)2(n2)，若bn=+，且数列{bn}的前n项的和为tn，则tn=________.答案：解题思路：-=，则=n，sn=n2a1，an=sn-sn-1=(2n-1)a1，bn=+=2+-，tn=+++=2n+2-=.10.数列{an}满足用户a1=3，an-anan+1=1，an则表示{an}的前n项之积，则a2013=________.答案：-1命题立意：本题与常考的求等差、等比数列的通项公式或前n项和不同，本题考查给定数列的前n项之积，这就要求考生能根据已知数列，得到数列的性质.求解本题的关键是得到{an}的周期.解题思路：由a1=3，an-anan+1=1，得an+1=，所以a2==，a3=-，a4=3，所以{an}就是以3为周期的数列，且a1a2a3=-1，又2013=3671，所以a2013=(-1)671=-1.三、解答题11.数列{an}的前n项和为sn，且sn=(an-1)，数列{bn}满足用户bn=bn-1-(n2)，且b1=3.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;(2)设立数列{cn}满足用户cn=anlog2(bn+1)，其前n项和为tn，谋tn.解析：(1)对于数列{an}有sn=(an-1)，sn-1=(an-1-1)(n2)，由-，得an=(an-an-1)，即an=3an-1，当n=1时，s1=(a1-1)=a1，Champsaura1=3，则an=a1qn-1=33n-1=3n.对于数列{bn}，存有bn=bn-1-(n2)，可得bn+1=bn-1+，即=.bn+1=(b1+1)n-1=4n-1=42-n，即bn=42-n-1.(2)由(1)所述cn=anlog2(bn+1)=3nlog242-n=3nlog224-2n=3n(4-2n).tn=231+032+(-2)33++(4-2n)3n，3tn=232+033++(6-2n)3n+(4-2n)3n+1，由-，得-2tn=23+(-2)32+(-2)33++(-2)3n-(4-2n)3n+1=6+(-2)(32+33++3n)-(4-2n)3n+1，则tn=-3++(2-n)3n+1=-+3n+1.12.未知数列{an}为等比数列，其前n项和为sn，未知a1+a4=-，且对于任一的nn+存有sn，sn+2，sn+1成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)未知bn=n(nn+)，记tn=++++，若(n-1)2m(tn-n-1)对于n2恒设立，谋实数m的范围.解析：(1)设公比为q，s1，s3，s2成等差数列，2s3=s1+s2，2a1(1+q+q2)=a1(2+q)，得q=-，又a1+a4=a1(1+q3)=-，a1=-，an=a1qn-1=n.(2)∵bn=n，an=n，=n2n，tn=12+222+323++n2n，2tn=122+223+324++(n-1)2n+n2n+1，①-，得-tn=2+22+23++2n-n2n+1，tn=-=(n-1)2n+1+2.若(n-1)2m(tn-n-1)对于n2恒成立，则(n-1)2m[(n-1)2n+1+2-n-1]，(n-1)2m(n-1)(2n+1-1)，m.令f(n)=，f(n+1)-f(n)=-=0，f(n)为减至函数，f(n)f(2)=.m.即m的值域范围就是.13.数列{an}是公比为的等比数列，且1-a2是a1与1+a3的等比中项，前n项和为sn;数列{bn}是等差数列，b1=8，其前n项和tn满足tn=nbn+1(为常数，且1).(1)谋数列{an}的通项公式及的值;(2)比较++++与sn的大小.解析：(1)由题意得(1-a2)2=a1(a3+1)，即2=a1，Champsaura1=，an=n.又即Champsaur或(比涅).=.(2)由(1)知sn=1-n，sn=-n+1，又tn=4n2+4n，数学2021中考数列的通项与议和伊明专练及答案的全部内容就是这些，数学网期望学生可以考进理想的大学。

数列求通项公式练习题及答案

数列求通项公式练习题及答案练题
1. 求等差数列的通项公式，已知公差为3，首项为5。

2. 求等差数列的通项公式，已知首项为2，末项为20，公差为2。

3. 求等差数列的通项公式，已知首项为10，公差为-2，求第6项。

4. 求等差数列的通项公式，已知首项为1，公差为0.5，求第10项。

5. 求等差数列的通项公式，已知首项为3，公差为-1/2，求第8项。

答案
1. 等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$
公差为3，首项为5，代入公式得：$a_n = 5 + (n-1) \cdot 3$
2. 等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$
首项为2，末项为20，公差为2，代入公式得：$20 = 2 + (n-1) \cdot 2$
化简为：$18 = (n-1) \cdot 2$
3. 等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$
首项为10，公差为-2，求第6项，代入公式得：$a_6 = 10 + (6-1) \cdot -2$
4. 等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$
首项为1，公差为0.5，求第10项，代入公式得：$a_{10} = 1 + (10-1) \cdot 0.5$
5. 等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$
首项为3，公差为$-\frac{1}{2}$，求第8项，代入公式得：$a_8 = 3 + (8-1) \cdot -\frac{1}{2}$
以上是数列求通项公式练习题及答案。

2021届高考文科数学数列求通项、求和提分卷

4．数列中，，，若，则（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，
利用累加法可得，∴ ，
∵ ，∴ ，，．
5．数列的通项公式，前项和为，则（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意有，因为；∴ ；
∴ 的每四项和为，∴数列的每四项和为．
而，∴ ．
6．已知数列各项都是正数，且，则数列的通项
∵ ，∴当时，，
∵ ，，∴ ，∴当时，，∴ ，
∴ 是公比为，首项的等比数列，∴通项公式为．
，
①
②
①—②得：
．
11．已知数列，为数列的前项和，求使不等式成立的最小
正整数（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】已知数列，
∵ ，
∴ ，
不等式，即，解得，
∴使得不等式成立的最小正整数的值为．
2021届高考文科数学数列求通项、求和提分卷
1．已知数列的前项和，则数列的通项公式为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ ，∴ ，∴ ，
又，∴数列的通项公式为，∴ ．
2．已知数列的首项，其前项和满足，则为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，①，所以当时，，②
时，，可得，
当为偶数时，，即有，
当为奇数时，，可得，
即有．
16．等差数列中，，，若表示不超过的最大整数，（如，，）．
令，则数列的前项和为．
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，

高中数学公式大全数列的通项公式与求和公式

高中数学公式大全数列的通项公式与求和公式高中数学公式大全：数列的通项公式与求和公式数列是指按照一定规律排列的一组数，而数列的通项公式和求和公式则是研究数列的重要内容。

在高中数学中，数列的通项公式和求和公式是学习和应用数列的基础。

本文将详细介绍数列的通项公式和求和公式的定义、推导以及应用案例。

一、数列的通项公式数列的通项公式又称为数列的第n项公式，它可以用来表示数列的任意一项，是数列的核心公式。

对于通项公式的推导，我们先来看一个常见的数列——等差数列。

1. 等差数列的通项公式等差数列是指数列中的每一项与前一项的差等于同一个常数d。

设等差数列的第一项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1) * d其中，aₙ表示等差数列的第n项，n表示项数。

举例：对于数列1, 3, 5, 7, 9...来说，其通项公式为：aₙ = 2n - 12. 等比数列的通项公式等比数列是指数列中的每一项与前一项的比等于同一个常数q。

设等比数列的第一项为a₁，公比为q，则等比数列的通项公式为：aₙ = a₁ * q^(n-1)其中，aₙ表示等比数列的第n项，n表示项数。

举例：对于数列2, 4, 8, 16, 32...来说，其通项公式为：aₙ = 2^(n-1)二、数列的求和公式数列的求和公式是用来计算数列前n项和的公式，对于不同类型的数列，求和公式也各不相同。

下面我们来介绍两种常见的数列求和公式——等差数列的求和公式和等比数列的求和公式。

1. 等差数列的求和公式对于等差数列的前n项和，求和公式为：Sₙ = (n/2) * (a₁ + aₙ)其中，Sₙ表示等差数列的前n项和。

举例：对于等差数列1, 3, 5, 7, 9...来说，其前n项和的求和公式为：Sₙ = (n/2) * (1 + 2n - 1) = n^22. 等比数列的求和公式对于等比数列的前n项和，求和公式为：Sₙ = (a₁ * (q^n - 1)) / (q - 1)其中，Sₙ表示等比数列的前n项和。

高中数学-数列求通项公式方法汇总及经典练习(含答案)

高中数学-数列求通项公式方法汇总及经典练习（含答案）1、定义法：直接求首项和公差或公比。

2、公式法：1 (1) (2)n n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩两种用途（列举），结果要验证能否写成统一的式子．例、数列{}n a 的各项都为正数，且满足()()2*14nna S n N +=∈，求数列的通项公式．解一：由()()2*14nna S n N +=∈得()()()221114411n n n n n aS S a a +++=-=---化简得()()1120n n n n a a a a +++--=，因为10,2n n n a a a +>∴-=，又()2111441S a a ==-得11a =，故{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以21n a n =-．解二：由()()2*14nn a S n N +=∈，可得()11,12n n n a S S n -=-∴=--≥化简可得)211n S -=，即1=，又11S =，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，∴n =，从而2n S n =，所以121n n n a S S n -=-=-，又11a =也适合，故21n a n =-．练习：已知数列{a n }的前n 项和S n 满足120n n n a S S -+=（2n ≥），a 1=21，求n a ．答案：a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--=)2()1(21)1(21n n n n ．扩展一：作差法例、在数列}{n a 中，11a =，212323(1)n a a a na n n ++++=-+，求n a ．解：由212323(1)n a a a na n n ++++=-+，得2123123(1)(2)1n a a a n a n n -++++-=-+-，两式相减，得66n na n =-+，∴ 1 (=1)66 (2)n n a n n n⎧⎪=-⎨≥⎪⎩．练习（理）：已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求n a ．解：由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥，得1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+，两式相减，得1n n n a a na +-=，即11(2)n na n n a +=+≥，所以13222122![(1)43]2n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⨯=又由已知，得2122a a a =+，则211a a ==，代入上式，得!13452n n a n =⋅⋅⋅⋅⋅=，所以，{}n a 的通项公式为 1 (1)! (2)2n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩．扩展二、作商法例、在数列}{n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2123n a a a a n ••••=，求n a ．解：∵2123n a a a a n ••••=，∴21232(1)n a a a a n -••••=-，故当2n ≥时，两式相除，得22(1)n n a n =-， ∴221 (=1) (2)(1)n n a n n n ⎧⎪=⎨≥⎪-⎩．3、叠加法：对于型如)(1n f a a n n =-+类的通项公式．例、在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .答案：na n 14-=. 例、已知数列{}n a 满足112231n n n n a a ++=++-（*n N ∈），352a =，求通项n a .解：由112231n nn n aa ++=++-，两边同除以12n +，得()111131112222n n n n n n n a a n ++++-=-+≥，列出相加得121212121332323212212121-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=---n a a n n n n又由已知求得16a =，∴()*231n n n n N a n ∈=•++．练习：已知数列}a {n 满足3a 132a a 1nn 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式．答案：1n 32n 31332a n nn -+=++--⋅=．4、叠乘法：一般地，对于型如1+n a =f (n)·n a 的类型例（理）、已知数列{}n a 满足112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式．解：因为112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则12(1)5n n na n a +=+，故13211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅121[2(11)5][2(21)5][2(11)5]3n n n n --=-+-++⨯⨯(1)1(1)(2)21122[(1)32]53325!n n n n n n n n n ---+-+++-=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，所以数列{}n a 的通项公式为(1)12325!n n n n a n --=⨯⨯⨯．练习：在数列{a n }中，112a =，11(1n n n a a a n --=⋅+≥2），求n a ．答案：）1(1+=n n a n ． 5、构造法：型如a n+1=pa n +f(n) (p 为常数且p ≠0， p ≠1)的数列(1)f(n)= q (q 为常数) 一般地，递推关系式a +1=pa n +q (p 、q 为常数，且p ≠0，p ≠1)等价与)1(11pqa p p q a n n --=--+，则{p q a n --1}为等比数列，从而可求n a ．例、已知数列{}n a 满足112a =，132n n a a --=（2n ≥），求通项n a ．解：由132n n a a --=，得111(1)2n n a a --=--，又11210a -=≠，所以数列{1}n a -是首项为12，公比为12-的等比数列，∴11111(1)()1()22n nn a a -=---=+-．练习：已知数列}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a ，求通项n a ．答案：12-=n na ．(2) f(n)为等比数列，如f(n)= q n (q 为常数) ，两边同除以q n ，得111+=++nn n n qa p q a q ，令nn n a b q =，则可转化为b n+1=pb n +q 的形式求解．例、已知数列{a n }中，a 1=65，1111()32n n n a a ++=+，求通项n a ．解：由条件，得2 n+1a n+1=32(2 n a n )+1，令b n =2 n a n ，则b n+1=32b n +1，b n+1-3=32（b n -3）易得 b n =3)32(341+--n ，即2 n a n =3)32(341+--n ， ∴ a n =n n 2332+-．练习、已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求通项n a ．答案：31()222nn a n =-．(3) f(n)为等差数列，如1n n a Aa Bn C +=++型递推式，可构造等比数列．（选学，注重记忆方法）例、已知数列{}n a 满足11=a ，11212n n a a n -=+-（2n ≥），求．解：令n n b a An B =++，则n n a b An B =--，∴11(1)n n a b A n B --=---，代入已知条件，得11[(1)]212n n b An B b A n B n ---=---+-，即11111(2)(1)2222n n b b A n A B -=++++-，令202A +=，1022A B +-=，解得A=－4，B=6，所以112n n b b -=，且46n n b a n =-+， ∴{}n b 是以3为首项、以12为公比的等比数列，故132n n b -=，故13462n n a n -=+-．点拨：通过引入一些尚待确定的系数，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）求解．练习：在数列{}a n 中，132a =，1263n n a a n --=-，求通项a n ．答案：a n nn -+=69912·()．解：由1263n n a a n --=-，得111(63)22n n a a n -=+-，令11[(1)]2n n a An B a A n B -++=+-+，比较系数可得：A=－6，B=9，令n n b a An B =++，则有112n n b b -=，又1192b a A B ==++，∴{}n b 是首项为92，公比为12的等比数列，所以b n n =-92121()，故a n n n-+=69912·()． (4) f(n)为非等差数列，非等比数列法一、构造等差数列法例、在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>，求数列{}n a 的通项公式．解：由条件可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴数列2n n n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是首项为0，公差为1的等差数列，故21nnn a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴(1)2n n n a n λ=-+．练习：在数列{a n }中，a na n a n n n n n 1132212==+++++，()()()，求通项a n 。

数列通项公式专题含详细答案

65. 已知的前项和
t ，则 t t t ‴
A.
B. ‸
C.
D. ‸
66. 已知
log t t ，我们把使乘积
间 ‴㘴 ‴ 内所有的劣数的个数为
A.
B. 晦
t t 为整数的数称为“劣数”，则在区
C. 晦
D. ‴
67. 已知数列 A.
满足
，
‴t t t
B. t
C.
，则当
时，等于 D.
第 6页（共 21 页）高中数学解题研究会 QQ 群 339444963
B. 若
总有 ∥ 成立，则数列
C. 若
总有
成立，则数列
t㘴 C.
t且
，那么 ‴ D. ‸
㘴 t，
㘴t ，
，下列命题中
是等差数列是等比数列，则数列是等比数列
53. 在数列中， A. t ln C. t ln
，t
t ln t ，则
B. t
ln
D. t t ln
54. 数列 A. C.
A.
‴
60. 已知数列 A. ‴
61. 已知数列 A. ‸
62. 已知数列 A.
C.
中满足
B.
‸， t
B. ‸
的前项和为，若 B. ‴
的前项和
㘴 t 晦㘴
C.
晦‴
，则的最小值为
D.
‴‸
C. 晦
D.
，则
C.
‴ ‴
，则
‴ ‴t ‴
‴
的值为 D. ‴
的前项和
B.
t晦
D.
㘴㘴
63. 数列满足
A. ‴

天津市2021届高三数学总复习之综合专题：数列通项公式的求法

天津市2021届高三数学总复习之综合专题：数列通项公式的求法天津市2021届高三数学总复习之综合专题：数列通项公式的求法-序列辅助序列通项公式的构造1、递推公式满足an?1①当g(n)为常数想法：使用待定系数法，一个？1.C一GN类型cand化为an?1?x?c?an?x?的形式，从而构造新数列（待定系数法，构造等比级数）？一十、那么A1呢？一个等比序列，X为第一项，C 为公共比。

例1：序列an满足an?1?2an?1，a1?2，求数列?an?的通项公式。

解决方案：那么通过？1.2安？1.来一杯怎么样？1.1.2（an？1），即an?1?1?2，得新数列?an?1?是以一一a1?1?2?1?1为首项，以2为公比的等比数列，?an?1?2n?1，即通项an?2n?1?1。

② 当G（n）是一类一阶函数时思路：利用待定系数法，构造数列例2：已知数列{an}满足an?1设an?1?an?kn?b?，使其为等比数列；2安？（2n？1）和A1？2.找到序列？一通用术语公式。

k(n1)b2(anknb)，解得k?2,b?1，求得an?5?2n?1?2n?1。

③ 当G（n）是一类指数函数时思路：观察g(n)的形式，如果g(n)的底数与an的系数c相同时，则把an?1同时除以cn?1?c?an?g?n?两边，从而构造一个等差序列；如果G（n）的基与an的系数C不同，它可以用来定系数法构造一个等比数列，其具体构造方法有两种，详见例4题。

例3：已知序列{an}满足？1.2安？3.2n，a1？2.求序列{an}的通项公式。

解：an?1?2an?3?2n两边除以2n?1，得一安南？那么呢NN1nn？1222222系列？an33？一是公差的等差序列，第一项为1，得到，？1.（n？1）？nn222？2.所以数列{an}的通项公式为an例4：已知数列31? （n？）2n22，求数列?an?的通项公式。

?an?满足a1?1，an?1?3an?2n（n?n?）解决方案1：让一个？1.十、2n？1.3（an？x？2n）？十、1.{an？2n}g.p.因此是一个？3n？2n解法2：由an?1?3an?2n知一13an1an33，制造BN？，那么BN呢？1.bnb11222n？122n22n∴bn3？（）n，那么？3n？2n2例5：在数列一中等，A1？？1，一个？1.2安？4.3n？1.找到序列？一通用术语公式。

第6讲数列求通项(累加法)(解析版)

第6讲数列求通项（累加法）一、必备秘籍累加法（叠加法）若数列{}n a 满足)()(*1N n n f a a n n ∈=-+，则称数列{}n a 为“变差数列”，求变差数列{}n a 的通项时，利用恒等式)2()1()3()2()1()()()(1123121≥-+⋅⋅⋅++++=-+⋅⋅⋅+-+-+=-n n f f f f a a a a a a a a a n n n 求通项公式的方法称为累加法。

具体步骤：21(1)a a f -= 32(2)a a f -= 43(3)a a f -=1(1)n n a a f n --=-将上述1n -个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：2132431()()()()n n a a a a a a a a --+-+-++-=(1)(2)(3)(1)f f f f n ++++-整理得：1n a a -=(1)(2)(3)(1)f f f f n ++++-二、例题讲解1．（2021·重庆垫江县·垫江第五中学校高三月考）已知在数列{}n a 中，()1113,22n n n a a a n --==+≥.（1）求数列{}n a 的通项公式；【答案】（1）21nn a =+【分析】（1）当2n ≥时利用累加法得到21nn a =+，再检验1n =时也成立，即可得解；【详解】解：（1）因为()1122n n n a a n --=+≥，所以()1122n n n a a n ---=≥当2n ≥时，()()()()3122121341222n n n a a a a a a a a ---+-+-++-=+++所以()1121212n n a a ---=-，()2n ≥，所以21n na=+，()2n ≥，又当1n =时13a =，满足条件，所以21nn a =+；2．（2021·合肥市第八中学高三其他模拟（文））在数列{}n a 中，1111,1(1)2nn n a a a n n +⎛⎫==+++⋅ ⎪⎝⎭．（1）设nn a b n=，求数列{}n b 的通项公式；【答案】（1）()*21n n b n N =-∈【分析】（1）将已知条件变形为121n n na a n n+=++，由此可得12n n n b b +=+，再采用累加法求解出{}n b 的通项公式；【详解】（1）由已知有121n n na a n n+=++， 12n n n b b +∴=+，又111b a ==，当2n ≥时，()()()121112212,2,......,2n n n n n n b b b b b b ------=-=-=，所以121122...2n n n b b ---=+++，所以12122...21n n n b --=++++，所以()1122112n n n b -==--；当1n =时，11b =符合2n ≥的情况，所以()*21n n b n N =-∈；三、实战练习1．（2021·济南市·山东师范大学附中高三开学考试）设数列{}n a 满足()113,23n n n a a a n N *+=-=⋅∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；【答案】（1）3nn a =；【分析】（1）利用累加法即可求得数列{}n a 的通项公式；【详解】（1）123n n n a a +-=⋅，1123n n n a a --∴-=⋅，21223n n n a a ----=⋅，，2123a a -=⨯，()12116312323233331n n n n a a ---∴-=⨯+⨯++⨯==--，3n n a ∴= ，经检验，13a =也满足.所以数列{}n a 的通项公式为3nn a =2．（2021·安徽高三开学考试（文））已知数列{}n a 满足：112,2nn n a a a +==+.（1）求{}n a 的通项公式；【答案】（1）2n n a =；【分析】(1) 利用累加法，即可求解通项公式. 【详解】（1）由已知得12nn n a a +-=，当n ≥2时，()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-()12121222222212n n n---=++++=+=-又12a =，也满足上式，故2n n a =3．（2021·山东日照市·高三开学考试）我国南宋时期的数学家杨辉，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律．此图称为“杨辉三角”，也称为“贾宪三角”．在此图中，从第三行开始，首尾两数为1，其他各数均为它肩上两数之和．（1）把“杨辉三角”中第三斜列各数取出按原来的顺序排列得一数列：1，3，6，10，15，…，写出n a 与()*1,2n a n n -∈≥N 的递推关系，并求出数列{}n a 的通项公式；【答案】（1）1n n a a n --=，(1)2n n n a +=；【分析】（1）首先找出递推关系，利用递推关系即可计算出数列{}n a 的通项公式. 【详解】解：（1）由“杨辉三角”的定义可知：11a =，2n ≥时，1n n a a n --= 所以有()()112n n n n n a a a a a ---=-+-+()211(1)a a a n n ⋅⋅⋅+-+=+-(1)212n n ++++=故(1)2n n n a +=4．（2021·河南高三三模（理））设数列{}n a 满足12a =，()1234nn n a a +-=⨯．（1）求数列{}n a 的通项公式；【答案】（1）212n n a -=；【分析】（1）由题意得1342nn n a a +-=⨯，利用累加法，结合等比数列求和公式，即可得答案.【详解】解：（1）由已知，1342nn n a a +-=⨯，所以121342a a -=⨯，232342a a -=⨯，343342a a -=⨯⋅⋅⋅1342n n n a a +-=⨯，各项累加可得()23111334(14)44442(41)2214n nn n a a +--+++⋅⋅⋅+==⨯=--，又12a =，所以121422n n n a ++=⨯=，所以2(1)12122n n n a -+-== 5．（2021·江苏）已知数列{}n a 满足132a =，112n n n n na a n -=--. （1）求数列{}n a 的通项公式；【答案】（1）2n nna n =+；【分析】（1）将等式化简为1112n n n a a n n --=--，利用累加法即可求得结果；【详解】（1）因为112n n n n n a a n -=--，所以1112n n n a a n n --=--. 因为2121212a a -=-，3231322a a -=-，…，1112n n n a a n n --=--，所以112321111111121122222212n n n n a a n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-=-+++=-=- ⎪⎝⎭-，于是2n nna n =+. 当1n =时，113122a =+=，所以2n nn a n =+. 6．（2021·江苏南京市第二十九中学高三月考）已知数列{}n a 满足1(1)1(N*)n n na n a n +-+=∈，且11a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；【答案】（1）21n a n =-；（2）2332n nn S +=-. 【分析】（1）由题意，左右同除(1)n n +得：11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++，利用累加法即可求得数列{}n a 的通项公式；【详解】（1）由1(1)1n n na n a +-+=，两边同时除以(1)n n +得：11111n n a a n n n n +-=-++ 从而有：11111n n a a n n n n--=---，，2111122a a -=-，累加可得：1111n a a n n-=-，所以21(2)n a n n =-≥，又=1n 满足等式，从而21n a n =-；【点睛】本题考查累加法求数列的通项、错位相减法求数列的前n 项和，若出现1()n n b b f n --=时（()f n 为关于n 的表达式），用累加法求通项；若出现1()nn b f n b -=时，用累乘法求通项，本题难点在于根据条件，左右同除(1)n n +，构造11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++，符合累加法的形式，即可进行求解，考查分析理解，计算化简的能力，属于中档题.7．（2021·天津市宝坻区大口屯高级中学）已知数列{}n a 满足：11a =，()1121n n n a na n ++-=+（1）求数列{}n a 的通项公式；【答案】(1) n a n =; (2) 证明见解析. 【分析】(1) 设n n c na =，111c a ==，则121n n c c n +-=+,用累加法可先求出2n c n =，从而得到答案.【详解】（1）因为()1121n n n a na n ++-=+设n n c na =，111c a ==，则121n n c c n +-=+()()()112211n n n n n c c c c c c c c ---=-+-++-+ ()()2112212111n n =⨯-++⨯-+++⨯++()22121n n n =+++-+=⎡⎤⎣⎦由2n n c na n ==，则n a n =。

数列通项公式求法大全（配练习测试及参考答案）

数列通项公式的十种求法一、公式法二、累加法)(1n f a a n n +=+例1已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

2n a n =例2已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+´+=，，求数列{}n a 的通项公式。

（3 1.n n a n =+-）三、累乘法n n a n f a )(1=+例3已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+´=，，求数列{}n a 的通项公式。

（(1)12325!.n n n n a n --=´´´）评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n n na n a +=+´转化为12(1)5n n na n a +=+，进而求出13211221n n n n a a a a a a a a a ---×××××，即得数列{}n a 的通项公式。

例4已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-³，，求{}na 的通项公式。

（!2n n a =）评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+³转化为11(2)n na n n a +=+³，进而求出132122nn n n a a a a a a a ---××××，从而可得当2n n a ³时，的表达式，最后再求出数列{}na 的通项公式。

四、待定系数法q pa a n n +=+1()n f pa a n n +=+1n n n qa pa a +=++12（其中p ，q均为常数）。

例5已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+´=，，求数列{}n a 的通项公式。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

n 1 n2
2 1
a1
na1
3n
，
∴ an1 an 3n 1 3n 3 ，
则数列an是首项为 3 ，公差为 3 的等差数列，通项公式为 an 3n ．
一、选择题 1．【答案】B
【解析】根据题意可得 an1 an 2n ，
∴
(a2
a1 )
(a3
a2 )
(a10
a9 )
2
22
29
2(1 29 ) 1 2
（1）求证：数列an 1 是等比数列；
（2）求数列 {an } 的通项公式．
1
三、累加累乘法
例 3：已知数列
an
满足 a2
6
，
an an1
an
n(n N*) ，求数列
an
的通项公式．
对点增分集训
一、选择题
1．已知数列 an 满足 a1 1， an1 an 2n ，则 a10 （）
4
15．已知数列{an}， a1 1 ， n N ， an1 2an 1 ．（1）求证：{an 1} 是等比数列；（2）设 bn 2n an （ n N ），求数列{bn}的前 n 项和．
5
培优点十一数列求通项公式答案
例 1：【答案】C
【解析】因为数列an 的前 n 项和 Sn 2n2 n ，
（2）由（1）可得 an 1 2 3n1 ，解得 an 2 3n1 1．
例 3：【答案】 an 3n ．
【解析】a2
6
，
an an1
an
n
n N*
，
∴ a1 3 且 nan1
n 1
an
，即
an1 an
n 1 n，
由累乘法得 an
an an1
an1 an2
a2 a1
a1
n n 1
所以当 n 2 时， an Sn Sn1 2n2 n [2(n 1)2 (n 1)] 4n 1 ，
当 n 1 时， a1 S1 3 ，符合上式，所以综上 an 4n 1．
例 2：【答案】（1）证明见解析；（2） an 2 3n1 1 ．
【解析】（1）证明：∵ an1 3an 2 ，∴ an1 1 3 an 1 ．又∵ a1 1 2 ，∴an 1 是等比数列，首项为 2 ，公比为 3 ．
S1
a1
1 2
1 2
a1
，所以
a1
1 3
，
又当 n
2 时， Sn
Sn1
an
1 2
1 2
an
1 2
1 2
an1
，即
an an1
1， 3
所以数列 {an } 是首项为
1 3
，公比为
1 3
的等比数列，所以 an
(1)n ，故选 3
D．
4．【答案】A
【解析】由题意可得 a2
a1
ln 2, a3
a2
ln
．
10．记 Sn 为数列 an 的前 n 项和，若 S2 3 ， an1 Sn 1(n N*) ，则通项公式 an
．
11．在数列 an 中， a1 1， a2 2 ， an1 3an 2an1 n 2 ，则 an ________．
12．在数列{an}中，已知 a1
1，
an1 n 1
2an n
1(n N* ) ，则使得 ak
378 成立的正整数 k 的最小值
为_________．
三、解答题
13．已知 Sn 是等差数列an 的前 n 项和，且 Sn 2n2 15n ．（1）求数列an 的通项公式；
3
（2） n 为何值时， Sn 取得最大值并求其最大值．
14．已知数列an 的前 n 项和为 Sn 且 Sn 2an 1 (n N*) ，求数列an的通项公式．
A．1024
B．1023
C．2048
D．2047
2．已知数列{an} 的前 n 项和 Sn n2 6n ，第 k 项满足 5 ak 8 ，则 k （）
A．9
B．8
C．7
D．6
3．设 Sn 是数列{an}的前 n 项和，且 Sn
1 2
1 2
an
，则 an
（
）
A． 1 ( 1 )n1 32
A．63
B．31
C．64
D．32
6．已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a1 1 ， an1 3Sn 2 ，则 a4 （）
A． 64
B． 80
C． 256
D． 320
7．数列 an 中，
a1
1, an1
Байду номын сангаас
an
1 3n(n 1)
(n N* ) ，则
a10
（
）
A． 35 27
B． 8 27
B． 1 ( 2 )n1 23
C． 2 (1)n 1 33
D． (1)n 3
2
4．在数列an 中，
a1
2,
an1
an
ln(1
1) n
，则
an
（
）
A． 2 ln n
B． 2 ln(n 1)
C． 2 n ln n
D．1 n ln n
5．已知数列a1 中， a1 1， an1 2an 1 n N ， Sn 为其前 n 项和，则 a6 的值为（）
1022
，
∴ a10 a1 1022 ，∴ a10 1023 ．
6
2．【答案】C
【解析】 n 1 时， a1 S1 5 ； n 2 时， an Sn Sn1 2n 7 ，
∴ an 2n 7 ，∴ 5 2k 7 8 ，解得 k 7 ，故选 C．
3．【答案】D
【解析】由题意，得
C． 13 10
D． 3 10
8．已
知
数列
an
的前
n
项和为
Sn
，
且
a1
5
，
an
1 2
an1
6n
2
，若
对任意的
n N*
，
1 p Sn 4n 3 恒成立，则实数 p 的取值范围为（）
A． 2,3
B． 2, 3
C． 2, 4
D．2, 4
二、填空题
9．已知数列{an} 的前 n 项和公式为 Sn 2n2 n 1 ，则数列{an}的通项公式为
3 2
,
,
an
an1
ln
n， n 1
将以上 n 1个等式两边相加可得 an
a1
ln
n n 1 n 1 n 2
2 1
2 ln n ，应选
A．
5．【答案】A
【解析】由条件可得 an1 1 2(an 1) ，即an 1 是以 a1 1 2 为首项，以 2 为公比的等比数列，
所以 an 1 2 2n1 2n ， an 2n 1， a6 26 1 63 ，故选 A．
2021 届高三精准培优专练
培优点数列求通项公式
一、公式法
例 1：数列an 的前 n 项和 Sn 2n2 n n N* ，则 an （
A． an 2n 1
B． an 2n 1
C． an 4n 1
）
D． an 3n 2
二、构造法
例 2：已知数列{an}满足 a1 1， an1 3an 2 ．