3(学生)_平行线的判定例题与讲解_
平行线的判定
平行线的判定 平行线的判定1 【典型例题】 1. 如何判断下面的两条直线a、b是否平行？
答案：a∥ b 理由：同位角相等，两直线平行 难度：1 【巩固练习】 1、 如图：∠B=60∘，∠1=________∘时，DE//BC，理由是________
考点： 平行线的判定 分析： 根据同位角相等两直线平行即可得证：DE∥BC． 解答： ∵∠B=60∘,∠1=60∘， ∴∠B=∠1， ∴DE∥BC，理由是同位角相等，两直线平行。 故答案为：60，同位角相等，两直线平行。 难度：1
2、如图，已知∠𝐶=70∘，当∠𝐴𝐸𝐷等于（ ）时，𝐷𝐸 // 𝐵𝐶
．
A. 20∘ B. 70∘ C. 110∘ D. 180∘ 【考点】 平行线的判定与性质 【难度】 1 【解答】 解：∥ ∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐶=70∘， ∥ 𝐷𝐸 // 𝐵𝐶． 故选𝐵． 【答案】 B 难度：1
3、如图，两直线a，b被第三条直线c所截，若∠1=50∘∠2=130∘，则直线a，b的位置关系是________．
考点： 平行线的判定，对顶角、邻补角 难度：2 分析： 因为∠2与∠3是邻补角，由已知便可求出∠3=∠1，利用同位角相等，两直线平行即可得出a，b的位置关系． 解答： ∵∠2+∠3=180°，∠2=130°， ∴∠3=50° ∵∠1=50° ∴∠1=∠3 ∴a∥b(同位角相等，两直线平行) 难度：2 4、如图，已知∠1=∠2，试说明AB//CD．
考点： 平行线的判定，对顶角 难度：2 分析： 因为∠2与∠3是对顶角，由已知便可求出∠3=∠1，利用同位角相等，两直线平行即可得出a，b的位置关系． 解答： ∵∠1=∠2 又∵ ∠2=∠3 ∴∠1=∠3 ∴a∥b(同位角相等，两直线平行)
5、如图所示，已知𝐴𝐷平分∠𝐶𝐴𝐸，∠𝐵=∠1，证明：𝐴𝐷 // 𝐵𝐶． 【考点】 平行线的判定与性质 难度：2 【解答】 证明：∥ 𝐴𝐷平分∠𝐶𝐴𝐸， ∥ ∠1=∠2， ∥ ∠𝐵=∠1， ∥ ∠2=∠𝐵， ∥ 𝐴𝐷 // 𝐵𝐶． 【答案】 证明：∥ 𝐴𝐷平分∠𝐶𝐴𝐸， ∥ ∠1=∠2， ∥ ∠𝐵=∠1， ∥ ∠2=∠𝐵， ∥ 𝐴𝐷 // 𝐵𝐶．
平行线的判定
求证：DE ∥AB证明：∵∠B=∠BCG=110°（ ） ∴AB ∥FG （ ）∴∠BCF+ ∠B =180°（ ） 即∠BCF= 180°—∠B = 180°—110°= 70° ∵∠BCD=150°∴∠FCD= ∠BCD —∠BCF= 150°—70°= 80° 又∵∠D=100°∴（ ∠ ＋ ∠ ）=100°＋80°=180° ∴FG ∥ED （ ） ∴AB ∥ED （ ） 例 3:如下图，已知∠ABE +∠DEB = 180°，∠1 =∠2，求证：∠F =∠G．课堂练习1、如图，标有角号的7个角中共有_____对内错角，_____对同位角，_____对同旁内角.2、下列结论中，正确的个数是多少个（ ） （1）在同一平面内不相交的两条线段必平行； （2）在同一平面内不相交的两条直线必平行； （3）在同一平面内不平行的两条线段必相交； （4）在同一平面内不平行的两条直线必相交．A ．1B ．2C ．3D ．4 3、如图，下列能判定AB ∥CD 的条件有（ ）个．12ACB FG E D（1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．A 、1B 、2C 、3D 、44、下列四个图中若∠1=∠2，能够判定AB ∥CD 的是（ ）A ．B ．C ．D ．5、所示，∠1=∠2，∠BAC=200，∠ACF=800.FC 与AD 平行吗？为什么？课后练习1、如图1,若∠2=∠6,则______∥____ 如果∠3+∠4+∠5+∠6=180°那么__∥__, 如果∠9=_____,那么AD∥BC; 如果∠9=_____,那么AB∥CD.2、如图2，在下列结论给出的条件中，不能判定AB ∥DF 的是（ ） A 、∠2＋∠A = 180° B 、∠3 = ∠A C 、∠1 = ∠4 D 、∠1 = ∠A3、如图，已知CD ⊥AD ，DA ⊥AB ，∠1＝∠2。
最新平行线的判定与性质典型题课件ppt
∴∠FED+∠CDE=180°(两直线平行，同旁内角互补)
∵∠CDE=152°∴∠FED=28°
∴∠BED=∠BEF+∠FED=50°+28°=78°
练习
5.如图所示,把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠,
若
？
G
B
解：依题意得：AD//BC,∠DEF=∠MEF
平行线的判定与性质典型题
平行线的判定与性质的区别
平行线的判定
平行线的性质
条件
结论
条件
结论
同位角相等
同位角相等
内错角相等 两直线平行 两直线平行 内错角相等
同旁内角互补
同旁内角互补
平行线的判定回答了：满足怎样条件的两条直线才平行. 平行线的性质回答了：由两条直线平行能得到什么结论.
例题讲解
例1：已知∠3=45 °，∠1与∠2互余，
练习
A的B度∥数CD. ,∠ABE=130°,∠CDE=15A2°,求∠BBED
F 130° E 152°
解：如图过点E做EF//AB。
C
D
∴∠ABE+∠BEF=180°(两直线平行，同旁内角互补)
∵∠ABE=130°∴∠BEF=50°(等式的性质)
∵AB//EF,AB//CD∴EF//CD(分别平行于第三条直线的两直线平行)
∠BAE=∠CDF
解：如图∵AB//CD
A
B
？
1
∴∠BAD=∠CDA(两直线平行，内错角相等) F
2
E
又∵AE//DF
？
∴∠1=∠2(两直线平行，内错角相等)
C
图2
D
∴∠BAD-∠1=∠CDA-∠2(等式性质1)
平行线的性质与判定
A
G
D
例题赏析 例2、如图，已知AB∥CD, ∠BAE=45°， ∠D=∠C,你能求出∠D 、∠C 、 ∠B的度数吗？
E
解： ∵AB∥CD (已知）
A
B
∴∠BAE=∠D
(两直线平行
同位角相等）
同旁内角互补） D
C
∴∠B+ ∠C =180°(两直线平行 ∵∠BAE=45°（已知） ∴ ∠D = 45° ∵ ∠D=∠C （等量代换） （已知）
一、平行线的判定方法：
•同位角相等，两直线平行； •内错角相等，两直线平行； •同旁内角互补，两直线平行； 平行于同一条直线的两条直线平 行 同一平面内，垂直于同一条直线 的两条直线互相平行。
4 3 8 5 7 6 2
1
a
b
二、平行线的性质：
两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补。
证明：∵ ∠1=∠ACB（已知）
B 3
A 1 E
2
F平行） ∴ ∠2 =∠DCF（两直线平行，内错角相等）
又∵ ∠2=∠3（已知）
∴ ∠3 =∠DCF（等量代换） ∴ CD∥FH（同位角相等，两直线平行）
6.如图已知AD∥BC,且DC⊥AD于D.
(1)DC与BC有怎样的位置关系？说说你的理由。 (2)你能说明∠1+∠2=180°吗？ A 1 解：（1）∵ DC⊥AD于D(已知)
E
F B ∴ AB∥DC (同位角相等，两直线平行)
C
达标检测
1、如图，能判定DE∥BC的条件是（ D） A、∠C=∠DAB B、∠C=∠FAE
C、∠C+∠FAD=180° D、∠C=∠EAC
D
平行线的判定3原创初中数学课件
理由是__同__旁__内__角__互__补__，__两__直__线__平__行__.
A
（4）从∠5=∠_A__B_C__，可以推出AB∥CD， 1
B
2
理由是_同__位__角__相__等___，__两__直__线__平__行________.
D 3
4
5 C
课堂小结
判定两条直线平行的方法
文字叙述
符号语言
线平行
∴a∥b
图形
c
1
a
3
4 2
b
理由是___内__错__角__相__等__，__两__直__线__平__行__.
1
B
2
（2）从∠___2___=∠___3___，可以推出AD∥BC，
理由是__内__错__角__相__等__，__两__直__线__平__行__.
D 3
4
5 C
4.如图：
（3）从∠ABC +∠__B_C_D__=180°，可以推出AB∥CD ，
_同___位__角___ 相 等 ， 两 直 ∵∠___1_=_∠___2__（已知），
线平行
∴a∥b
_内___错__角___ 相 等 ， 两 直 ∵_∠___3_=_∠___2__（已知），
线平行
∴a∥b
_同__旁___内__角__互补，两直 ∵_∠___2_+_∠___4_=_1_8__0_°_，
图示
两条直线被第三条
c
同位角相等， 直线所截，如果同 a
两直线平行 位角相等，那么这 b
1
两条直线平行符号Βιβλιοθήκη 言∵∠1=∠2， ∴a∥b
思考： 两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角、内错角和 同旁内角，由同位角相等可以判定两直线平行.
专题52平行线及其判定精讲(学生版)
专题 5.2 平行线及其判定一、知识点平行线定义；平行公理：同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
平行线的判定1．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．2．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．3．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．二、考点点拨与训练考点1:平面内两直线位置关系典例：（2020·石家庄市第四十一中学九年级期中）下列命题中，真命题有（）（1）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；（2）内错角相等；（3）对顶角相等；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（5）如果一条直线和两条直线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直.（6）点到直线的垂线段叫做点到直线的距离A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个方法或规律点拨本题考查了对顶角、内错角、点到直线的距离，点与线、线与线等的关系，掌握相关的定义与性质是解题关键．巩固练习1．（2020·浙江金华市·七年级期中）下列说法正确的是（）A．没交点的两直线一定平行B．两直线平行一定没交点C．没交点的线段一定平行D．相交的两直线可能平行2．（2020·河南省淮滨县第一中学七年级期末）在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（）A．相交或垂直B．垂直或平行C．平行或相交D．相交或垂直或平行3．（2020·忠县乌杨初级中学校七年级月考）在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（）A．相交或平行B．相交或垂直C．平行或垂直D．不能确定4．（2019·山西七年级月考）已知 AOB 内部有一点M ，过点M 画OA的平行线，这样的直线（）A．有且只有一条B．有两条C．有三条D．有无数条5．（2020·山东省昌乐第一中学七年级月考）下列说法正确的有()①两点之间的所有连线中，线段最短②相等的角叫对顶角③过一点有且只有一条直线与已知直线平行④不相交的两条直线叫做平行线⑤直线外一点到该直线的所有线段中垂线最短⑥在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直A．1个B．2 个C．3个D．4 个6．（2020·嘉峪关市第六中学七年级月考）同一平面内，两条直线的位置关系有（）A．相交、垂直B．相交、平行C．垂直、平行D．相交、垂直、平行7．（2020·河南省淮滨县第一中学七年级期末）如果a//c，a 与b 相交，b//d，那么d 与c 的关系为．8．（2019·山西七年级月考）如图所示，直线a ，b 被直线c 所截，∠1＝∠2，则直线a ，b 的位置关系为（用符号表示）．9．（2020·广东广州市·绿翠现代实验学校七年级月考）同一平面内，两条直线的位置关系有．考点2：平行公理及应用典例：（2020·江苏南京市·七年级期中）下列命题中的真命题是（）A．在同一平面内，a、b、c 是直线，如果a∥b，b⊥c，则a∥cB．在同一平面内，a、b、c 是直线，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥cC．在同一平面内，a、b、c 是直线，如果a∥b，b∥c，则a∥cD．在同一平面内，a、b、c 是直线，如果a∥b，b∥c，则a⊥c方法或规律点拨本题主要考查平行线和垂直的判定，掌握平行线和垂直的判定方法是解题的关键．巩固练习1．（2020·湖南永州市·七年级期末）下列说法中不正确的是（）A．三条直线a ，b ，c 若a / /b ，b / /c ，则a / /cB．在同一平面内，若直线a / /b ，c ⊥a ，则c ⊥bC．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行2．（2019·四川绵阳市·七年级期末）已知a,b,c是同一平面内的不同直线，下列说法正确的是（）A．若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交B．若a / /b ，b / /c ，则a / /cC．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cD．若a, b, c 两两相交，有三个交点3．（2020·凉州区洪祥乡洪祥中学七年级期末）下列说法错误的是（ ）A ．过任意一点 P 可作已知直线m 的一条平行线 B ．同一平面内的两条不相交的直线是平行线 C ．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行 D ．平行于同一条直线的两条直线平行4．（2020·河南许昌市·七年级期末）在统一平面内有三条直线 a 、b 、c ，下列说法：①若a / /b ， b / /c ，则a / /c ；②若 a ⊥ b ， b ⊥ c ，则 a ⊥ c ，其中正确的是（ ）A ．只有①B ．只有②C ．①②都正确D ．①②都不正确 5．（2020·江苏淮安市·七年级期末）下列命题中，是真命题的有（）①同位角相等；②对顶角相等；③同一平面内，如果直线 l 1∥l 2，直线 l 2∥l 3，那么 l 1∥l 3；④同一平面内， 如果直线 l 1⊥l 2，直线 l 2⊥l 3，那么 l 1∥l 3． A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个6．（2021·全国九年级专题练习）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘 AB 的垂线 a 和 b ，得到 a ∥b ，理由是（ ）A ．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短B ．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行C ．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线D ．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 考点 3：平行线的判定典例：（2020·河南新乡市·七年级期末）如图，点 E 在 AC 的延长线上，给出的五个条件：① ∠3 = ∠4； ② ∠1 = ∠2 ；③ ∠A = ∠DCE ；④ ∠D = ∠DCE ；⑤ ∠D + ∠ABD = 1800 ．能判断 AB / /CD 的有．方法或规律点拨本题主要考查平行线的判定定理，掌握“内错角相等，两直线平行”，“同位角相等，两直线平行”，“同旁内角互补，两直线平行”，是解题的关键．巩固练习1．（2021·广东佛山市·八年级期末）如图，直线a、b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是（）A．∠1＝∠3 B．∠2＋∠4＝180°C．∠1＝∠4 D．∠1＋∠4＝180°2．（2021·福建三明市·七年级期末）如图是利用直尺和三角板过直线l 外一点P作直线l 的平行线的方法，这样做的依据是（）A．同位角相等，两直线平行B．两直线平行，同位角相等C．两直线平行，内错角相等D．内错角相等，两直线平行3．（2020·珠海市紫荆中学七年级期中）如图，在下列给出的条件中，能判定DF //AB的是（）A．∠4＝∠3 B．∠1＝∠A C．∠1＝∠4 D．∠4+∠2＝180°4．（2021·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级期末）如图，能判定DE / / AC 的条件是（）A．∠1 =∠3 B．∠3 =∠C C．∠2 =∠4 D．∠1+∠2 = 180︒5．（2020·浙江金华市·七年级期中）如图，点E在BC 的延长线上，则下列条件中，不能判定AB / /CD 的是（）A．∠1 =∠2 B．∠3 =∠4 C．∠B =∠DCE D．∠D +∠1 +∠3 = 180︒ 6．（2020·黑龙江哈尔滨市·七年级期末）如图，下列条件：①∠1 =∠5；②∠2 =∠6；③④∠4 =∠8，其中能判定AB//CD 的是（）A．①②B．②③C．①④D．②④7．（2020·福建福州市·七年级期末）如图，能判断直线AB∥CD的条件是（）∠3 =∠7；A．∠3 +∠4 =180︒B．∠3 =∠4 C．∠1+∠3 = 180︒D．∠1 =∠28．（2020·上海同济大学实验学校七年级期中）如图，已知直线a、b、c，若∠1＝∠2＝60°，且∠2＝∠3，则图中平行线组数为（）A．0 B．1 C．2 D．39．（2020·吉林长春市·七年级期末）如图，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠B=∠DCE；④∠B+∠BAD=180°，其中能推出AB//CD 的是（）A．①②B．①③C．②③D．②④10．（2021·全国七年级）如图，已知下列条件不能判定直线a / /b 的是（）A．∠1 =∠2 B．∠3 =∠4 C．∠1 =∠4 D．∠4 +∠5 = 180︒ 11．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图，直线a，b被直线c所截，现给出下列四个条件：（1）∠1 =∠5；（2）∠1 =∠7 ；（3）∠2 +∠3 =180︒；（4）∠4 =∠7 ，其中能判定a//b的条件的序号是（）A．（1），（2）B．（1），（3）C．（1），（4）D．（3），（4）12（．2020·浙江金华市·七年级期末）如图，点E在AB的延长线上，下列四个条件：①∠1 =∠3；②∠2=∠4；③∠DAB =∠CBE ；④∠D +∠BCD = 180︒．其中能判断AD//CB 的是（填写正确的序号即可）．13．（2020·浙江金华市·七年级期末）下列说法中：（1）不相交的两条直线叫做平行线；（2）经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；（3）垂直于同一条直线的两直线平行；（4）直线a//b ，b//c ，则a//c ；（5）两条直线被第三条直线所截，同位角相等．其中正确的是．14．（2021·全国七年级）如图，已知∠1＝∠3，∠2+∠3＝180°，请说明AB与DE平行的理由．解：将∠2 的邻补角记作∠4，则∠2+∠4＝°（）因为∠2+∠3＝180°（）所以∠3＝∠4（）因为（）所以∠1＝∠4（）所以AB//DE（）15．（2020·陕西宝鸡市·七年级期中）数学活动课上，小亮把两个含30°角的三角板按照如图所示方式摆放，点C ，E ，F ，B 在同一条直线上，他让小明判断直线AB 与CD 的位置关系，小明很快说出了答案并讲出了判断的依据.请你猜猜小明的答案和理由.16．（2020·甘肃张掖市·张掖四中八年级期末）已知：如图，∠C =∠1，∠2和∠D互余，∠1和∠D互余，求证：AB//CD ．考点4：与平行线有关的作图问题典例：．（2021·南京外国语学校七年级期末）如图，所有小正方形的边长都是1个单位，A､B､C均在格点上仅用无刻度直尺画图：（1）过点A 画线段BC 的平行线AD ；（2）过点B 画线段BC 的垂线，垂足为B；（3）过点C 画线段AB 的垂线，垂足为E；（4）线段CE 的长度是点C 到直线的距离；（5）线段CA ､CE 的大小关系是（用“<”连接），理由是．方法或规律点拨本题考查了垂线段最短和点到直线的距离的知识，解题的关键是理解有关垂线段的性质及能进行简单的基本作图．巩固练习1．（2018·山东济南市·七年级期中）如图所示的方格纸中，每个方格均为边长为1的正方形，我们把每个小正方形的顶点称为格点，已知A、B、C 都是格点．请按以下要求作图（注：下列求作的点均是格点）（1）过点C 作一条线段CD ，使CD 平行且等于AB ；（2）过点B 作线段AB 的垂线段BE ；（3）过点C 作线段AB 的垂线段CF ，并判断CF 与BE 的位置关系；（4）求 ABC 的面积．2．（2021·北京通州区·首师大附中通州校区七年级期末）如图，点P是 AOB 的边OB 上的一点．（1）过点P 画OB 的垂线，交OA于点E；（2）过点P 画OA的垂线，垂足为H；（3）过点P 画OA的平行线PC ；（4）若每个小正方形的边长是1，则点P 到OA的距离是；（5）线段PE,PH,OE的大小关系是（用“<”连接）．3．（2020·射阳县实验初级中学七年级期末）利用网格画图，每个小正方形边长均为1（1）过点C 画AB 的平行线CD；（2）仅用直尺,过点C 画AB 的垂线，垂足为E；（3）连接CA、CB，在线段CA、CB、CE 中，线段最短，理由．（4）直接写出△ABC 的面积为．4．（2021·南京外国语学校七年级期末）如图，所有小正方形的边长都是1个单位，A､B､C均在格点上仅用无刻度直尺画图：（1）过点A 画线段BC 的平行线AD ；（2）过点B 画线段BC 的垂线，垂足为B；（3）过点C 画线段AB 的垂线，垂足为E；（4）线段CE 的长度是点C 到直线的距离；（5）线段CA ､CE 的大小关系是（用“<”连接），理由是． 5．（2021·江苏苏州市·七年级期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A,B,C都在格点上．(1)找一格点D ，使得直线CD //AB ，画出直线CD ；(2)找一格点E ，使得直线AE ⊥BC 于点F ，画出直线AE ，并注明垂足F ；(3)找一格点G ，使得直线BG ⊥AB ，画出直线BG ；(4)连接AG ，则线段AB, AF, AG 的大小关系是(用“<”连接)．6．（2020·南平市建阳第三中学七年级开学考试）已知方格纸上点O和线段AB，根据下列要求画图：（1）画直线OA；（2）过B 点画直线OA 的垂线，垂足为D；（3）取线段AB 的中点E，过点E 画BD 的平行线，交AO 于点F．7．（2020·上饶市实验中学七年级期末）如图，平面上有一条直线AB以及AB外一点P，请你只用一块含30°角的三角板经过P 点画直线CD 使CD∥AB，简单说明你的画法．8．（2020·广西钦州市·七年级期末）如图，CA,AB,CD都是射线，且AB / /CD ．（1）按要求画图：过A 画CD 的垂线，垂足为E ，过E 画AC 的平行线交AB 于F ；（2）在（1）画出的图形中，比较AC 与AE 的大小，并写出理由．9．（2019·广东广州市·七年级期末）如图，直线CD与直线AB相交于C，解答下列问题.（1）过点P 画PQ∥CD，交AB 于点Q；（2）过点P 画PR⊥CD，垂足为R，连接PC，判断PC 与PR 的大小，并说明理由10．（2019·天津和平区·七年级期中）阅读材料后完成．有这样一个游戏，游戏规则如下所述：如图①—图④，都是边长为1的5⨯ 5网格图，其中每条实线称为格线，格线与格线的交点称为格点．在图①和图②中，可知EF ⊥EH , LM ⊥AB ．在图③ 和图④中，可知CD / / AB ．根据上面的游戏规则，同学们开始闯关吧！第一关：在图⑤的6⨯6网格图中，所给各点均为格点，经过给定的一点（不包括边框上的点），在图中画出一条与线段AB 垂直的线段（或者直线）BC ，再画出与线段AB 平行的一条线段（或者直线）EF ．第二关：在图⑥的6⨯6网格图中，所给各点均为格点，经过两对给定的点，构造两条互相垂直的直线．（在图中直接画出）11．（2019·陕西西安市·七年级期中）如图，由相同边长的小正方形组成的网格图形，A、B、C 都在格点上，利用网格画图．（1）过点C 画AB 的平行线CF ，标出F 点；（2）过点B 画AC 的垂线BG ，垂足为点G ，标出G 点；（3）点B 到AC 的距离是线段的长度；（4）线段BG 、AB的大小关系为：BG AB（填“>”、“<”或“=”）．12．（2019·山西七年级月考）（1）如图，点M代表某个公园，直线l 代表公园M 附近的一条公路．根据实际需要，计划在公路l 上某处设置一个公交站点，并使其距离公园M 最近，请在公路l 上画出公交站点的位置，并写出画图依据（不需要尺规作图）；（2）将一副透明的直角三角尺，按如图所示的位置摆放．如果把三角尺的每条边看成线段，线段AB 分别和DE ，CE 相交于点F 和点G ，请根据图形回答下列问题．①找出图中两条互相垂直的线段，并用符号表示出来（写出一对即可）；②找出图中两条互相平行的线段，并用符号表示出来（写出一对即可）．。
平行线的判定(基础)知识讲解
平行线的判定（基础）知识讲解【要点梳理】要点一、平行线的画法及平行公理1.平行线的画法用直尺和三角板作平行线的步骤：①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.2.平行公理及推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.要点二、平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.【典型例题】类型一、平行公理及推论1．下列说法中正确的有 ( )①一条直线的平行线只有一条；②过一点与已知直线平行的直线只有一条；③因为a∥b，c∥d，所以a∥d；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．A．1个 B 2个 C．3个 D．4个【答案】 A【解析】一条直线的平行线有无数条，故①错；②中的点在直线外还是在直线上位置不明确，所以②错，③中b与c的位置关系不明确，所以③也是错误的；根据平行公理可知④正确，故选A．【总结升华】本题主要考察的是“平行公理及推论”的内容，要正确理解必须要抓住关键字词及其重要特征，在理解的基础上记忆，在比较中理解．举一反三：【变式】直线a∥b，b∥c，则直线a与c的位置关系是 .【答案】平行类型二、平行线的判定2.已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB∥CD．21GF E D C BA【思路点拨】首先由BE ⊥FD ，得∠1和∠D 互余，再由已知，∠C=∠1，∠2和∠D 互余，所以得∠C=∠2，从而证得AB ∥CD ．【答案与解析】证明：∵BE ⊥FD ，∴∠EGD=90°，∴∠1+∠D=90°，又∠2和∠D 互余，即∠2+∠D=90°，∴∠1=∠2，又已知∠C=∠1，∴∠C=∠2，∴AB ∥CD ．【总结升华】此题考查的知识点是平行线的判定，关键是由BE ⊥FD 及三角形内角和定理得出∠1和∠D 互余．举一反三：【变式1】如图，能判定EC ∥AB 的条件是（ ）A ．∠B=∠ACEB ．∠A=∠ECDC ．∠B=∠ACBD ．∠A=∠ACE【答案】D.提示：A 、两个角不是同位角、也不是内错角，故选项错误；B 、两个角不是同位角、也不是内错角，故选项错误；C 、不是EC 和AB 形成的同位角、也不是内错角，故选项错误；D 、正确．【变式2】已知，如图，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∠1＝∠2，求证：AB//CD．【答案】∵∠1＝∠2∴ 2∠1＝2∠2 ，即∠ABC＝∠BCD∴ AB//CD （内错角相等，两直线平行）3.如图所示，由(1)∠1＝∠3，(2)∠BAD＝∠DCB，可以判定哪两条直线平行．【思路点拨】试着将复杂的图形分解成“基本图形”．【答案与解析】解：(1)由∠1＝∠3，可判定AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；(2)由∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3得：∠2＝∠BAD-∠1＝∠DCB-∠3＝∠4（等式性质），即∠2＝∠4可以判定AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．综上，由（1）（2）可判定：AD∥BC，AB∥CD.【总结升华】本题探索结论的过程采用了“由因索果”的方法．即在条件下探索由这些条件可推导出哪些结论，再由这些结论推导出新的结论，直到得出结果．4.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？【答案与解析】解：这两条直线平行.理由如下：如图：∵ b⊥a, c⊥a∴∠1＝∠2＝90°∴ b∥c (同位角相等，两直线平行) ．【总结升华】本题的结论可以作为两直线平行的判定方法.举一反三：【变式】已知，如图，EF⊥EG，GM⊥EG，∠1＝∠2，AB与CD平行吗？请说明理由．【答案】解：AB∥CD．理由如下：如图：∵ EF⊥EG，GM⊥EG (已知)，∴∠FEQ＝∠MGE＝90°(垂直的定义)．又∵∠1＝∠2(已知)，∴∠FEQ -∠1＝∠MGE -∠2 (等式性质)，即∠3＝∠4．∴ AB∥CD (同位角相等，两直线平行)．。
5-平行线的判定方法(2-3个课时)
甲地
2.一弯形轨道ABCD的拐角ABC=120º , 那么当另一拐角BCD= 60 º 时,ABCD. 3.如图,在屋架上要加一根横梁DE,若 ABC=33º ,那么ADE= 33 º 时才能使 DEBC. A D C E D B C A B
知识应用
知识应用 4.用两块相同的三角板按如图所示的 方式作平行线,能解释其中道理的依据 是 内错角相等，两直线平行 . 5.如图是小民家买的一个铝合金制作的镜 框,他想知道这镜框相对的两边是否平行, 你能帮他想一想办法吗?并说明你的理由?
平行线的判定
例:已知直线AB和直线外一点P,过点P 画一条直线和已知直线AB平行.
●
P
A
B
推平行线法
例:已知直线AB和直线外一点P,过点P 画一条直线和已知直线AB平行.
●
P
2
A
1
B
推平行线法
一般地,判断两直线平行有下面的方法:
两条直线被第三条直线所截,如 果同位角相等,那么这两条直线平行. 简单地说,
知识应用
6.一学员在广场上练习驾驶汽车, 两次拐弯后,行驶方向与原来相同,这 两次拐弯的角度可能是（ B ）
A.第一次向右拐50º ,第二次向左拐130º B.第一次向左拐30º ,第二次向右拐30º C.第一次向右拐50º ,第二次向右拐130º D.第一次向左拐50º ,第二次向左拐130º
知识应用
l1
l2
2
l3
课内作业
4.如图,木工师傅用直尺画出工件边 缘的两条垂线,这两条垂线平行吗?为 什么? a b 解：这两条垂线平行. ∵a、b都垂直于工件边缘 ∴ ∠1=∠2 =90°(垂直定义) ∴a∥b(同位角相等，两直线平行)
10.3平行线的性质讲解与例题
10．3 平行线的性质1．掌握平行线的三个性质，即“两直线平行，同位角相等”、“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”．2．熟练地运用平行线的性质解决有关的计算题和说理问题．3．能熟练地综合运用平行线的判定和性质解决有关的计算和推理问题．1．平行线的性质(1)平行线的性质性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单地说：两直线平行，同位角相等；几何符号语言：因为AB∥CD，所以∠3＝∠2(两直线平行，同位角相等)．性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单地说：两直线平行，内错角相等；几何符号语言：因为AB∥CD，所以∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等)．性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单地说：两直线平行，同旁内角互补．几何符号语言：因为AB∥CD，所以∠4＋∠2＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．(2)平行线性质的理解①“同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”都是在两条直线平行的条件下推出来的结论，单独说“同位角相等”“内错角相等”“同旁内角互补”是错误的．②平行线的三个性质特征的大前提都是“两条平行线被第三条直线所截”，离开这个前提就不存在同位角、内错角相等，同旁内角互补．③由平行线的性质可以推出同位角、内错角、同旁内角的关系，所以一定要结合图形认清角的类型．【例1－1】如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线a，b中的直线b上，如果∠1＝40°，则∠2的度数是( )．A．30° B．45° C．40° D．50°解析：∵a∥b，∠1＝40°，∴∠3＝∠1＝40°.∵∠2＋∠3＋∠4＝180°，∠4＝90°，∴∠2＝50°.答案：D【例1－2】如图，已知AD∥BC，∠B＝30°，DB平分∠ADE，则∠DEC＝( )．A．30° B．60° C．90° D．120°解析：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠B＝30°.再根据角平分线的概念，得∠BDE＝∠ADB＝30°，再根据两条直线平行，内错角相等，得∠DEC＝∠ADE＝60°.故选B．答案：B【例1－3】如图，AB∥DC，AD∥BC，问∠A与∠C有怎样的大小关系？分析：因为已知两组直线分别平行，根据平行线的性质，知道角与角之间有一定数量关系．解：∠A＝∠C．理由如下：因为AD∥BC(已知)，所以∠A＋∠B＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．又因为AB∥DC(已知)，所以∠C＋∠B＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．故∠A＝∠C(同角的补角相等)．2．平行线的性质与判定的联系与区别(1)平行线的判定与性质的联系都有同位角、内错角、同旁内角与两直线平行．而平行线的特征(性质)与两直线平行的条件(判定)正好把条件与结论对调．(2)平行线的判定与性质的区别在解决问题时，要正确区分和使用两条直线平行的判定和性质．①平行线的判定是以“角的相等或互补”为前提，得到“两条直线平行的关系”，是从“数量关系”得到“位置关系”．②平行线的性质是以“两直线平行”为前提，得到“角的相等或互补”，是从“位置关系”得到“数量关系”．同旁内角互补，两直线平行两直线平行，同旁内角互补(1)从角的关系得到直线平行，用直线平行的判定；从平行线得到角相等或互补关系，用平行线的性质．(2)两条直线平行的判定方法是说明两条直线平行的理论依据，两条直线平行的性质是说明角相等或互补的理论依据，二者的因果关系如下：【例2－1】如图所示，下列推理及依据都正确的是( )．A．因为DE∥BC，所以∠AED＝∠C．依据是：同位角相等，两直线平行B．因为∠BED＝∠CBE，所以DE∥BC．依据是：同位角相等，两直线平行C．因为DE∥BC，所以∠BED＝∠CBE.依据是：两直线平行，内错角相等D．因为∠AED＝∠C，所以DE∥BC．依据是：两直线平行，同位角相等解析：A中依据应是：两直线平行，同位角相等；B中依据应是：内错角相等，两直线平行；D中依据应是：同位角相等，两直线平行；故应选C．答案：C【例2－2】如图所示，完成下面的说理过程．因为DE∥BC，所以∠B＋__________＝180°()．因为∠B＝∠3，所以__________∥__________( )．因此∠B＋__________＝180°()．故∠4＝∠2(同角的补角相等)．解析：解决此题要弄清各角的位置关系：∠1和∠3是内错角；∠B和∠4、∠2分别是同旁内角；∠B和∠3是同位角．答案：∠4 两直线平行，同旁内角互补AB EF同位角相等，两直线平行∠2 两直线平行，同旁内角互补3．利用平行线的性质求角的度数由两条直线平行，可以得到角的相等或互补关系，再结合对顶角、角平分线、垂直、平角等有关知识可以求出角的度数．若不能根据已知条件直接求出角的度数或找到角的关系，需要先适当地引平行线，然后综合借助平行线的性质求解．同位角相等、内错角相等、同旁内角互补都是平行线特有的性质，解题时切不可忽略前提条件：“两直线平行”．当两直线不平行时，同位角、内错角就不相等，同旁内角也不互补．【例3】如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，已知∠1＝∠2＝50°，GM 平分∠HGB交直线CD于点M，则∠3＝( )．A ．60°B ．65°C ．70° D．130°解析：因为∠1＝∠2＝50°，所以AB ∥CD ．因此∠BGH ＝180°－∠2＝130°.又GM 平分∠HGB ，所以∠BGM ＝12∠HGB ＝65°.因为AB ∥CD ，所以∠3＝∠BGM ＝65°. 答案：B4．平行线的性质与判定方法的综合运用 平行线的判定与性质中的因果关系是倒置的．平行线的判定是由角的数量关系来确定线的位置关系，平行线的性质是由线的位置关系来确定角的数量关系．对判定方法而言，“两直线平行”是结论，而对性质而言，“两直线平行”则是必不可少的前提条件．若先知道角，结论应是平行；若先知道平行，结论应是角相等或互补．在应用平行线的性质与判定方法进行推理时，必须搞清推理中的“层次”及因果的转化，从而正确地选择理由，进行推理．这类题目中既要应用性质求得角相等或互补，再对角与角之间进行代换，得到新的角相等或互补，从而说明另外一组平行线；或先有角相等或互补得到两直线平行，再说明新的角相等或互补．【例4－1】如图，已知∠1＝110°，∠2＝110°，∠3＝70°，求∠4的度数．解：因为∠1＝110°(已知)，所以∠5＝70°(邻补角定义)．因为∠3＝70°(已知)，所以∠5＝∠3(等式的性质)．因此AB ∥CD (同位角相等，两直线平行)．于是∠6＝180°－∠2＝180°－70°＝110°(两直线平行，同旁内角互补)．故∠4＝∠6＝70°(对顶角相等)．【例4－2】如图，已知AB ∥DE ，∠ABC ＋∠DEF ＝180°，求证：BC ∥EF .证明：因为AB ∥DE (已知)，所以∠ABC ＋∠1＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．因为∠ABC ＋∠DEF ＝180°(已知)，所以∠1＝∠E (同角的补角相等)．故BC∥EF(同位角相等，两直线平行)．5．平行线的性质与判定在生活中的应用有关平行线的性质与判定在生活中的应用的问题中主要是求角的度数，解答时要观察图形的结构特征，在实际问题中构造平行线或相等、互补的角，利用平行线的性质与判定方法，将已知角向待求角转化．生活中的实际问题，需要转化为数学问题，如方位中的平行线问题，正北与正北方向是平行的……，这些常识应当掌握．【例5】如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°.甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西__________°.解析：先根据题意画出图形，利用平行线的性质解答即可．如右上图，因为AC∥BD，∠1＝48°，所以∠2＝∠1＝48°，根据方向角的概念可知，乙地所修公路的走向是南偏西48°.答案：48。
(完整版)《平行线的判定与性质的综合运用》教学课件
6.如图，AB，CD，EF，MN均为直线，∠2=∠3=70°， ∠GPC=80°，GH平分∠MGB，求∠1的度数.
解：∵∠2=∠3=70°(已知)， ∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)， ∴∠BGP=∠GPC(两直线平行，内错角相等)， ∵∠GPC=80°(已知)， ∴∠BGP=80°(等量代换)， ∴∠BGM=180°-∠BGP=100°(平角的定 义)，
(完整版)《平行线的判定与性质的综合运用》教学课件
平行线的性质
第2课时 平行线的判定与性质的综合运用
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
三、平行线的基本性质3
思考：类似地，已知两直线平行，能否得到同旁内角
之间的数量关系？ 如图,已知a//b,那么2与4有什么关系呢？为什么?
解: ∵a//b （已知）,
A.80° B.65° C.60°
D.55°
3.如图，BD⊥AB，BD⊥CD，则∠a的度 数是（ A ） A.50° B.40° C.60° D.45°
4.已知AB∥DE，试问∠B，∠E，∠BCE有什么关系.请
完成填空：
A 解：过点C作CF∥AB， 则_∠__B__=_∠__1__ （ 两直线平行，内错角相等 ）. C
B
1
F
2
又∵AB∥DE，AB∥CF，
D
E
∴__C_F__∥__D_E____（平行于同一直线的两条直线平行 ）.
∴∠E＝∠__2__（两直线平行，内错角相等）.
∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2（等式的性质），
即∠B＋∠E＝∠BCE．
5.已知：如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC与G， ∠E=∠3，试问：AD是∠BAC的平分线吗？若是， 请说明理由．
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3平行线的判定
基础知识
1．平行线的判定公理
(1)平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直
线平行．简单记为：同位角相等，两直线平行．
如图，推理符号表示为：
∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD.
重点 同位角相等，两直线平行
①平行线的判定公理是证明两直线平行的原始依据；②应用时，应先确定同位角及形
成同位角的是哪两条直线；③本判定方法是由两同位角相等(数量关系)来确定两条直线平
行(位置关系)，所以在推理过程中要先写“两角相等”，然后再写“两线平行”．
(2)平行公理的推论：
①垂直于同一条直线的两条直线平行．若a⊥b，c⊥b，则a∥c；
②平行于同一条直线的两条直线平行．若a∥b，c∥b，则a∥c.
【例1】 工人师傅想知道砌好的墙壁的上下边缘AB和CD是否平行，于是找来一根笔
直的木棍，如图所示将其放在墙面上，那么，他通过测量∠EGB和∠GFD的度数，就知道墙
壁的上下边缘是否平行了．请问：∠EGB和∠GFD满足怎样的条件时，墙壁的上下边缘才会
平行？你的依据是什么？
2．平行线的判定定理
(1)判定定理1
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
简单记为：同旁内角互补，两直线平行．
符号表示：如下图，∵∠2＋∠3＝180°，
∴AB∥CD.
重点 同旁内角互补，两直线平行
①定理是根据公理推理得出的真命题，可直接应用；②应用时，找准哪两个角是同旁
内角，使哪两条直线平行．
(2)判定定理2
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单记为：内错角相等，两直线平行．
符号表示：如上图，
∵∠2＝∠4，∴AB∥CD.
【例2－1】 如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线AB和CD，
这是根据________，两直线平行．
【例2－2】 如图，下列说法中，正确的是( )．
A．因为∠A＋∠D＝180°，所以AD∥BC B．因为∠C＋∠D＝180°，所以AB∥CD
C．因为∠A＋∠D＝180°，所以AB∥CD D．因为∠A＋∠C＝180°，所以AB∥CD
3．平行线的判断方法
平行线的判定方法主要有以下六种：
(1)平行线的定义(一般很少用)．(2)同位角相等，两直线平行．
(3)同旁内角互补，两直线平行．(4)内错角相等，两直线平行．
(5)同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行．
(6)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
【例3】 如图，直线a，b与直线c相交，形成∠1，∠2，„，∠8共八个角，请你填
上你认为适当的一个条件：__________，使a∥b.
思维拓展
4．平行线判定的应用
(1)平行线的生活应用
数学来源于生活，同样生活中也有大量的平行线，其判定平行的方法也常在生活中遇
到．如木工师傅判定所截得的木板的对边是否平行，工人师傅判定所制造的机器零件是否
符合平行的要求„„
对于生活中的平行线判断，关键是利用工具确定与平行有关的角是否相等，比较常用
的是利用直角尺判断同位角是否相等，从而判定两直线是否平行．
(2)平行线在数学中的运用
平行线判定方法在数学中的运用主要通过角之间的关系判定两条直线平行，进一步解
决其他有关的问题．常见的条件探索题就是其应用之一．探索题是培养发散思维能力的题
型，它具有开放性，所要求的答案一般不具有唯一性．解决探索性问题，不仅能提高分析
问题的能力，而且能开阔视野，增加对知识的理解和掌握．
判定平行的关键 :判定两直线平行，关键是确定角的位置关系及大小关系．
【例4－1】 如图，一个零件ABCD需要AB边与CD边平行，现只有一个量角器，测得
拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，这个零件合格吗？__________(填“合格”或“不合
格”)．
【例4－2】 已知：如图在四边形ABCD中，∠A＝∠D，∠B＝∠C，试判断AD与BC的
位置关系，并说明理由．