浙江省余姚市余姚中学数列的概念单元测试题含答案

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浙江省宁波市余姚市城区学校联考2024-2025学年九年级上学期数学第一次教学质量测试卷(含答案)

2024学年第一学期九年级第一次教学质量检测数学试题卷考试时间：120分钟满分：120分一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1．已知的半径为5，点P 在内，则的长可能是（）A ．4B ．5C ．6D ．72．下列函数是二次函数的是（）A ．B ．C ．D ．3．抛物线的顶点坐标是（）A ．B ．C ．D ．4．将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位后所得到的抛物线的解析式为（）A ．B ．C ．D ．5．小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是（）A．B ．C ．D ．6．三角形的外心具有的性质是（）A ．到三边的距离相等 B ．到三个顶点的距离相等C ．外心在三角形外D ．外心在三角形内7．已知函数，下列结论正确的是（）A ．函数图象开口向下 B ．函数图象过点C ．函数图象与x 轴无交点D ．当时，y 随x 的增大而减小8．已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系为（）A ．B ．C ．D ．9．如图，抛物线与直线的交点为，．当时，x 的取值范围是（）O e O e OP 23y x =-43y x=22(2)y x x=+-232y x =-22(3)4y x =++()3,4()3,4-()3,4-()3,4--23y x =23(2)3y x =+-23(2)3y x =++23(2)3y x =-+23(2)3y x =--59134912223y x x =--()1,1-1x …()13,A y -()21,B y ()32,C y 2(2)y x m =-++1y 2y 3y 132y y y >>123y y y >>321y y y >>312y y y >>21y ax bx c =++2y kx m =+()1,3A -()6,1B 12y y >A ．B ．或C ．或D ．10．已知二次函数（a 是常数，）的图象上有和两点．若点A ，B 都在直线的下方，且则m 的取值范围是（）A．B ．C ．D ．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．二次函数中，二次项系数是________，一次项系数是________．12．抛物线与y 轴的交点坐标是________．13．在相同条件下选取一定数量的小麦种子做发芽试种，结果如表所示：试种数量200500100015002000发芽的频率0.780.820.790.810.80在相同的条件下，估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为________．（结果精确到0.1）14．已知直角三角形的两条边长为6和8，则其外接圆的半径为________．15．如图，中，，将绕点C 顺时针旋转得到，使点B 的对应点D 恰好落在边上，、交于点F ．若，则的度数是________．（用含的代数式表示）16．在平面直角坐标系中，已知点，，连结，在线段上有一动点P ，过点P 作轴，轴，垂足分别是M ，N ，记四边形的面积为S ，则S 的取值范围是________．三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分）16x <<01x <<6x >1x <6x >31x -<<24y ax ax =-0a >()1,A m y ()22,B m y 3y a =-12y y >4332m <<413m <<423m <<2m <2345y x x =-+227y x x =-+-ABC △78ACB ∠=︒ABC △EDC △AB AC ED BCD α∠=EFC ∠α()1,3A ()4,1B AB AB PM x ⊥PN y ⊥OMPN17．根据事件发生的可能性不同对下列事件进行判断，并在括号内填写“必然事件”、“不可能事件”或“不确定事件”：（1）在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下．（）（2）从装有黄球和红球的袋子里摸出白球．（）（3）余姚明年五一节当天的最高气温是30℃．（）（4）三角形的内角和为180°．（）（5）购买一张彩票刚好中奖．（）（6）一个标准大气压下，气温为5℃时，冰能融化成水．（）（7）手可摘星辰．（）（8）三点确定一个圆．（）18．在网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上．建立如图所示的直角坐标系．（1）请在图中标出的外接圆的圆心P 的位置，并写出P （__，__）；（2）将绕点A 逆时针旋转90°得到，画出．19．现有三张正面分别写有2，3，5的不透明卡片，卡片除正面数字外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀．（1）从中随机抽取一张卡片，求抽取写有5的卡片的概率；（2）从中先抽取一张卡片，记下数字后放回，搅拌均匀后再抽取一张，求抽取的两张卡片上的数字之和为偶数的概率，用列表法或画树状图的方法加以说明．20．如图，已知二次函数的图象经过点和．（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．ABC △ABC △ABC △ADE △ADE △22y ax x c =++()1,1A -()0,4B -（2）当时，请根据图象直接写出x 的取值范围．21．已知二次函数，当时，求函数y 的取值范围．小胡同学的解答如下：解：当时，则；当时，则；所以函数y 的取值范围为．小胡的解答正确吗？________（填“正确”或“错误”）如果错误，请写出正确的解答过程．22．某游乐园要建造一个圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心3m 处达到最高，高度为5m ．如图，以水平方向为x 轴，喷水池中心为原点O 建立直角坐标系．若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，已知装饰物的设计高度为4m ，（1）求第一象限中的抛物线的表达式；（2）若有一只蜻蜓恰好在水平距离喷水池中心12m 的地方（地面或水面）停留，那么当喷泉喷水时，蜻蜓是否会受到影响？先判断再利用所学的数学知识说明理由．23．杭州亚运会期间，某网店经营亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，每盒进价为30元，出于营销考虑，要求每盒商品的售价不低于30元且不高于42元，在销售过程中发现该商品每周的销售量y （件）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系：当销售单价为32元时，销售量为40件：当销售单价为36元时，销售量为32件．（1）请求出y 与x 的函数关系式；（2）设该网店每周销售这种商品所获得的利润为w 元，①写出w 与x 的函数关系式：②将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？24．已知二次函数（b ，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．（1）求二次函数的表达式；（2）若点向左平移m （）个单位长度，向上平移（）个单位长度后，恰好落在1y - (2)23y x x =-+22x -……2x =-()2(2)22311y =--⨯-+=2x =222233y =-⨯+=311y (2)y x bx c =++()3,9A -12x =-()1,2B 0m >4m +的图象上，求m 的值并判断点是否落在的图像上；（3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为2.25，求n 的取值范围．2y x bx c =++()3,m 10C m --+2y x bx c =++2x n - (2)y x bx c =++2024学年第一学期九年级第一次教学质量检测数学答案考试时间：120分钟满分：120分一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）题号12345678910答案ADCDCBDBCB二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．3，12．13．0.814．4或515．16．三、解答题（17~21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分）17．（1）（必然事件）（5）（不确定事件）（2）（不可能事件）（6）（必然事件）（3）（不确定事件）（7）（不可能事件）（4）（必然事件）（8）（不确定事件）…………………………每空1分18．（1）图中标出圆心P 的位置…………………………2分…………………………2分（2）如图，即为所求…………………………4分19．（1）P （抽取写有5的卡片）…………………………3分（2）…………………………3分P （两张卡片上的数字之和为偶数）…………………………2分20．（1）…………………………2分4-()0,7-31682α︒-121324S ≤≤()5,3P ADE △13=59=224y x x =+-顶点…………………………2分（2）或…………………………4分21．错误…………………………2分正确的解答过程为：二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，∵∴当时，y 取得最小值，此时，……………………2分当时，y 取得最大值，此时……………………2分∴当时函数y 的取值范围为．……………………2分22．（1）设第一象限的函数为（），由题意，可知在图象上，则，解得，∴………………………………………4分（2）蜻蜓不会受到影响，理由如下：………………………………………1分令，（不合舍去）………………………………………4分∵∴蜻蜓在喷水池外，不会受到影响………………………………………1分23．（1）………………………………………3分（2）①………………………………………3分②……………………………………2分当在范围内，w 取到最大，最大值为242……………1分答：销售单价定为41元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大，最大利润是242元．………………………………1分24．（1）………………………………3分()1,5--3x ≤-1x ≥223y x x =-+1x =22x -......1x =1232y =-+=2x =-44311y =++=22x -......211y (2)(3)5y a x =-+0a ≠()0,42(3)54a -+=19a =-21(3)59y x =--+0y =210(3)59x =--+13x =+23x =-312+<2104y x =-+()()302104w x x =--+221643120x x =-+-()2216431203042w x x x =-+-……22(41)242x =--+41x =3042x (2)3y x x =++（2）点B 平移后的点为代入得：解得（不合舍去）∴m 的值为………………………………2分∴当∴点C 落在的图像上………………………………2分（3）当时，由题意，当时，最大值与最小值的差为∴（不合舍去）………………………………1分当时，当时y 最大，最大值为2.75∴最大值与最小值的差为，符合题意．……………………2分当时，最大值与最小值的差为解得，，（不合均舍去）．………………………………1分综上所述，n 的取值范围为．………………………………1分()1,6m m -+2y x bx c =++26(1)13m m m +=-+-+12m =+22m =-2+1,8C-1x =-)21138y =--+=2y x bx c =++2x =-5y =12n <-()253 2.25n n -++=1212n n ==-112n - (1)2x =-5 2.75 2.25-=1n >23 2.75 2.25n n ++-=11n =22n =-112n -≤≤。

浙江省湖州中学数列的概念练习题(有答案)

一、数列的概念选择题1．设数列{},{}n n a b 满足*172700,,105n n n n n a b a a b n N ++==+∈若6400=a ，则（） A ．43a a >B ．43a bD ．44<a b2．在数列{}n a 中，10a =，1n a +，则2020a =（） A ．0B ．1C．D3．对于实数,[]x x 表示不超过x 的最大整数.已知正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1240S S S +++=（）A ．135B ．141C ．149D ．1554．已知数列{}n a 的前n 项和为()*22nn S n =+∈N ，则3a=( )A ．10B ．8C ．6D ．45．已知数列{}n a 的通项公式为23nn a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则数列{}n a 中的最大项为（）A ．89B ．23C ．6481D ．1252436．数列23451,,,,,3579的一个通项公式n a 是（） A ．21nn + B ．23nn + C ．23nn - D ．21nn - 7．数列{}n a 满足 112a =，111n na a +=-，则2018a 等于( )A ．12B ．－1C ．2D ．38．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1221,1n n a a S a +===-，则下列命题错误的是A ．21n n n a a a ++=+B ．13599100a a a a a ++++=C ．2499a a a a +++=D ．12398100100S S S S S ++++=-9．已知数列{}n a 满足11a =),2n N n *=∈≥，且()2cos3n n n a b n N π*=∈，则数列{}n b 的前18项和为（）A ．120B ．174C ．204-D ．373210．已知数列{}n a 的通项公式为2n a n n λ=-（R λ∈），若{}n a 为单调递增数列，则实数λ的取值范围是（） A ．(),3-∞B ．(),2-∞C ．(),1-∞D ．(),0-∞11．数列{}n a 前n 项和为n S ，若21n n S a =+，则72019a S +的值为（） A ．2B ．1C ．0D ．1-12．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用.比如意大利数学家列昂纳多—斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…即121a a ==，当n ≥3时，12n n n a a a --=+，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用.若此数列的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则20S 的值为（） A ．24B ．26C ．28D ．3013．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*1n S n N n =∈，，则2a =（） A ．12-B ．16-C ．16D ．1214．已知数列{}n b 满足12122n n b n λ-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若数列{}n b 是单调递减数列，则实数λ的取值范围是（） A ．101,3B ．110,23⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(-1，1)D ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭15．已知数列{}n a 满足112n a +=+112a =，则该数列前2016项的和为（） A ．2015B ．2016C ．1512D ．3025216．历史上数列的发展，折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……即F （1）=F （2）=1，F （n ）=F （n －1）＋F （n －2），()*3n n N≥∈，，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新数列{}n b ，则b 2020=（） A ．3B ．2C ．1D ．017．已知数列{}n a 满足1N a *∈，1,2+3,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数，若{}n a 为周期数列，则1a 的可能取到的数值有（） A ．4个B ．5个C ．6个D ．无数个18．已知数列{}n a 满足00a =，()11i i a a i +=+∈N ，则201kk a=∑的值不可能是（） A ．2B ．4C ．10D ．1419．数列{}n a 满足：12a =，111nn na a a ++=-()*n N ∈其前n 项积为n T ，则2018T =（） A ．6-B ．16-C ．16D ．620．已知等差数列{}n a 中，13920a a a ++=，则574a a -=（） A ．30B ．20C ．40D ．50二、多选题21．已知数列0,2,0,2,0,2,，则前六项适合的通项公式为（）A ．1(1)nn a =+-B ．2cos2n n a π= C ．(1)2sin2n n a π+= D ．1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--22．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（） A ．－4B ．－2C ．0D ．223．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．68a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 24．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（） A ．01q <C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T25．已知数列{}n a 满足112a =-，111n na a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（）A ．2-B ．23C ．32D ．326．已知S n 是等差数列{}n a (n ∈N *)的前n 项和，且S 5>S 6>S 4，以下有四个命题，其中正确的有（）A ．数列{}n a 的公差d <0B ．数列{}n a 中S n 的最大项为S 10C ．S 10>0D ．S 11>027．在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，前n 项和为n S ，则（） A ．4619a a a a >B ．130S >，140S <，则78a a >C ．若915S S =，则n S 中的最大值是12SD ．若2n S n n a =-+，则0a =28．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（）A ．11285a a a a +=+B ．56110a a a a <C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103a = D ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 29．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15110,20,a a a 则（）A ．80a 的n 的最大值为1230．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==，则（） A ．25n a n =-B ．310na nC ．228n S n n =- D ．24n S n n =-31．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，717S S =，则（） A ．0d C ．13n S S ≤D ．当且仅当0nS <时，26n ≥32．公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．110S =B ．10n n S S -=（110n ≤≤）C ．当110S >时，5n S S ≥D ．当110S <时，5n S S ≥33．（多选题）在数列{}n a 中，若221n n a a p --=，（2n ≥，*n N ∈，p 为常数），则称{}n a 为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（）A ．若{}n a 是等差数列，则{}2n a 是等方差数列B ．(){}1n-是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列34．{} n a 是等差数列，公差为d ，前项和为n S ，若56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（） A ．0d D ．170S <35．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（） A ．100a = B ．当9n =或10时，n S 取最大值 C ．911a a <D ．613S S =【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、数列的概念选择题 1．C 解析：C 【分析】由题意有1328010n n a a +=+且6400=a ，即可求34,a a ，进而可得34,b b ，即可比较它们的大小. 【详解】由题意知：1328010n n a a +=+，6400=a ， ∴345400a a a ===，而700n n a b +=， ∴34300b b ==，故选：C 【点睛】本题考查了根据数列间的递推关系比较项的大小，属于简单题.2．A解析：A写出数列的前几项，找寻规律，求出数列的周期，问题即可解. 【详解】10a =，1n a +1n =时，2a 2n =时，3a 3n =时，4a ； ∴ 数列{}n a 的周期是320206733110a a a ⨯+∴===故选：A. 【点睛】本题考查周期数列. 求解数列的周期问题时，周期数列的解题方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n 项的和.3．D解析：D 【分析】利用已知数列的前n 项和求其n S 得通项，再求[]n S 【详解】解：由于正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，所以当1n =时，得11a =，当2n ≥时，111111[()]22n n n n n n n S a S S a S S --⎛⎫=+=-+⎪-⎝⎭ 所以111n n n n S S S S ---=-，所以2=n S n ，因为各项为正项，所以=n S 因为[][][]1234851,1,[]1,[][]2S S S S S S =======,[]05911[][]3S S S ====,[]161724[][]4S S S ==== ,[]252635[][]5S S S ==== ,[]363740[][]6S S S ====.所以[][][]1240S S S +++=13+25+37+49+511+65=155⨯⨯⨯⨯⨯⨯，故选：D此题考查了数列的已知前n 项和求通项，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题.4．D解析：D 【分析】根据332a S S =-，代入即可得结果. 【详解】()()3233222224a S S =-=+-+=.故选：D. 【点睛】本题主要考查了由数列的前n 项和求数列中的项，属于基础题.5．A解析：A 【分析】由12233nn n n a a +-⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，当n <2时，a n ＋1－a n >0，当n <2时，a n ＋1－a n >0，从而可得到n ＝2时，a n 最大. 【详解】解：112222(1)3333n n nn n n a a n n ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{}n a 中的最大项为a 2或a 3，且2328239a a ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭. 故选：A . 【点睛】此题考查数列的函数性质：最值问题，属于基础题.6．D解析：D 【分析】根据数列分子分母的规律求得通项公式. 【详解】由于数列的分母是奇数列，分子是自然数列，故通项公式为21n na n =-. 故选：D本小题主要考查根据数列的规律求通项公式，属于基础题.7．B解析：B 【分析】先通过列举找到数列的周期，再求2018a . 【详解】n=1时，234511121,1(1)2,1,121,22a a a a =-=-=--==-==-=- 所以数列的周期是3，所以2018(36722)21a a a ⨯+===-. 故选：B 【点睛】本题主要考查数列的递推公式和数列的周期，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.8．C解析：C 【分析】21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到A 正确；由A 选项得到13599a a a a +++⋯+=1123459798a a a a a a a a ++++++⋯++=981001S a +=进而得到B正确；同理可得到C 错误；由21n n S a +=-得到12398S S S S +++⋯+=123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-=100100.S -进而D 正确. 【详解】已知21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到2121n n n n n n a a a a a a ++++=-⇒=+，故A 正确；根据A 选项得到13599a a a a +++⋯+=1123459798a a a a a a a a ++++++⋯++=981001S a +=，故B 正确；24698a a a a +++⋯+=2234569697a a a a a a a a ++++++⋯++=1234569697a a a a a a a a ++++++⋯++=97991S a =-，故C 不正确；根据2123981n n S a S S S S +=-+++⋯+=，123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-= 100100.S -故D 正确. 故答案为C. 【点睛】这个题目考查了数列的应用，根据题干中所给的条件进行推广，属于中档题，这类题目不是常规的等差或者等比数列，要善于发现题干中所给的条件，应用选项中正确的结论进行其它条件的推广.9．B解析：B 【分析】将题干中的等式化简变形得211n n a n a n --⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式，由此计算出()32313k k k b b b k N *--++∈，进而可得出数列{}nb 的前18项和.【详解】)1,2n a n N n *--=∈≥，将此等式变形得211n n a n a n --⎛⎫= ⎪⎝⎭，由累乘法得22232121211211123n n n aa a n a a a a a n n--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()2cos3n n n a b n N π*=∈，22cos 3n n b n π∴=， ()()222323134232cos 231cos 29cos 233k k k b b b k k k k k k πππππ--⎛⎫⎛⎫∴++=--+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭592k =-，因此，数列{}n b 的前18项和为()591234566921151742⨯+++++-⨯=⨯-=. 故选：B. 【点睛】本题考查并项求和法，同时也涉及了利用累乘法求数列的通项，求出32313k k k b b b --++是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.10．A解析：A 【分析】由已知得121n n a a n λ+-=+-，根据{}n a 为递增数列，所以有10n n a a +->，建立关于λ的不等式，解之可得λ的取值范围. 【详解】由已知得221(1)(1)21n n a a n n n n n λλλ+-=+-+-+=+-，因为{}n a 为递增数列，所以有10n n a a +->，即210n λ+->恒成立，所以21n λ<+，所以只需()min 21n λ<+，即2113λ<⨯+=，所以3λ<，故选：A. 【点睛】本题考查数列的函数性质：递增性，根据已知得出10n n a a +->是解决此类问题的关键，属于基础题.11．A解析：A 【分析】根据21n n S a =+，求出1a ，2a ，3a ，4a ，⋯⋯，寻找规律，即可求得答案. 【详解】21n n S a =+当1n =，1121a a =+，解得：11a = 当2n =，122221a a a +=+，解得：21a =- 当3n =，32132221a a a a ++=+，解得：31a = 当4n =，4321422221a a a a a +++=+，解得：41a =-⋯⋯当n 奇数时，1n a = 当n 偶数时，1n a =-∴71a =，20191S =故720192a S += 故选：A. 【点睛】本题主要考查了根据递推公式求数列值，解题关键是掌握数列的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12．B解析：B 【分析】先写出新数列的各项，找到数列的周期，即得解. 【详解】由题意可知“斐波那契数列”的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，此数列的各项求得：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，1……，则其周期为6，其中1+1+2+3+1+0=8，则201819201812S S b b S b b =++=++381126=⨯++=，故选：B.13．A解析：A 【分析】令1n =得11a =，令2n =得21212S a a =+=可解得2a . 【详解】因为1n S n =，所以11111a S ===，因为21212S a a =+=，所以211122a =-=-. 故选：A14．A解析：A 【分析】由题1n n b b +>在n *∈N 恒成立，即16212nn λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭，讨论n 为奇数和偶数时，再利用数列单调性即可求出. 【详解】数列{}n b 是单调递减数列，1n n b b +∴>在n *∈N 恒成立，即()122112+1222nn n n λλ-⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，即16212nn λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭，当n 为奇数时，则()6212nn λ>-+⋅恒成立，()212n n -+⋅单调递减，1n ∴=时，()212n n -+⋅取得最大值为6-，66λ∴>-，解得1λ>-；当n 为偶数时，则()6212nn λ<+⋅恒成立，()212n n +⋅单调递增，2n ∴=时，()212n n +⋅取得最小值为20，620λ∴<，解得103λ<，综上，1013λ-<<. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查已知数列单调性求参数，解题的关键由数列单调性得出16212nn λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭恒成立，需要讨论n 为奇数和偶数时的情况，这也是容易出错的地方. 15．C解析：C【分析】通过计算出数列的前几项确定数列{}n a是以2为周期的周期数列，进而计算可得结论．【详解】依题意，11 2a=，211122a=，3111222a=+=，⋯从而数列{}n a是以2为周期的周期数列，于是所求值为20161(1)151222⨯+=，故选：C【点睛】关键点睛：解答本题的关键是联想到数列的周期性并找到数列的周期.16．A解析：A【分析】根据条件得出数列{}n b的周期即可.【详解】由题意可知“兔子数列”被4整除后的余数构成一个新数列为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，……则可得到周期为6，所以b2020=b4=3，故选：A17．B解析：B【分析】讨论出当1a分别取1、2、3、4、6时，数列{}n a为周期数列，然后说明当19a≥时，分1a为正奇数和正偶数两种情况分析出数列{}n a不是周期数列，即可得解.【详解】已知数列{}n a满足1Na*∈，1,2+3,nnnn naaaa a+⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数.①若11a=，则24a=，32a=，41a=，54a=，，以此类推，可知对任意的n*∈N，3n na a+=，此时，{}n a为周期数列；②若12a=，则21a=，34a=，42a=，51a=，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；③若13a =，则26a =，33a =，46a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，2n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；④若14a =，则22a =，31a =，44a =，52a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；⑤若15a =，则28a =，34a =，42a =，51a =，64a =，，以此类推，可知对任意的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列； ⑥若16a =，则23a =，36a =，43a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，2n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；⑦若17a =，则210a =，35a =，48a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列； ⑧若18a =，则24a =，32a =，41a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列.下面说明，当19a ≥且1N a *∈时，数列{}n a 不是周期数列.（1）当(3412,2a ⎤∈⎦且1N a *∈时，由列举法可知，数列{}n a 不是周期数列；（2）假设当(()112,23,k k a k k N +*⎤∈≥∈⎦且1N a *∈时，数列{}n a 不是周期数列，那么当(()1212,23,k k a k k N ++*⎤∈≥∈⎦时. 若1a 为正偶数，则(1122,22k k a a +⎤=∈⎦，则数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，从而可知，数列{}n a 不是周期数列；若1a 为正奇数，则((121321323,232,2k k k k a a ++++⎤⎤=+∈++⊆⎦⎦且2a 为偶数，由上可知，数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，进而可知数列{}n a 不是周期数列.综上所述，当19a ≥且1N a *∈时，数列{}n a 不是周期数列.因此，若{}n a 为周期数列，则1a 的取值集合为{}1,2,3,4,6. 故选：B. 【点睛】本题解题的关键是抓住“数列{}n a 为周期数列”进行推导，对于1a 的取值采取列举法以及数学归纳法进行论证，对于这类问题，我们首先应弄清问题的本质，然后根据数列的基本性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决．18．B解析：B 【分析】先由题中条件，得到21221i i i a a a +-=+，由累加法得到202211221k k a a ==-∑，根据00a =，()11i i a a i +=+∈N ，逐步计算出221a 所有可能取的值，即可得出结果.【详解】由11i i a a +=+得()2221121i i i i a a a a +=+=++，则21221i i i a a a +-=+，所以2221121a a a -=+， 2232221a a a -=+，……，2202022121a a a -=+，以上各式相加可得：()2112022102212 (20202)kk a a a a a a=-=+++++=∑，所以20221211220k k a a a ==--∑，又00a =，所以2120211a a a =++=，则202211221k k a a ==-∑，因为()11i i a a i +=+∈N ，00a =，则0111a a =+=，所以11a =±，则2110a a =+=或2，所以20a =或2±；则3211a a =+=或3，所以31a =±或3±；则4310a a =+=或2或4，所以42a =±或4±或0；则5411a a =+=或3或5，所以51a =±或3±或5±；……，以此类推，可得：211a =±或3±或5±或7±或9±或11±或13±或15±或17±或19±或21±，因此221a 所有可能取的值为222222222221,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21，所以221122a -所有可能取的值为10-，6-，2，14，30，50，74，102，134，170，210；则201kk a=∑所有可能取的值为10，6，2，14，30，50，74，102，134，170，210，即ACD 都有可能，B 不可能. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于将题中条件平方后，利用累加法，得到20221211220k k a a a ==--∑，将问题转化为求221a 的取值问题，再由条件，结合各项取值的规律，即可求解.19．A解析：A 【分析】根据递推公式推导出()4n n a a n N *+=∈，且有12341a a a a=，再利用数列的周期性可计算出2018T 的值. 【详解】12a =，()*111++=∈-nn n a a n N a ，212312a +∴==--，3131132a -==-+，411121312a -==+，51132113a +==-，()4n n a a n N *+∴=∈，且()12341123123a a a a ⎛⎫=⨯-⨯-⨯= ⎪⎝⎭，201845042=⨯+，因此，()5042018450421211236T T a a ⨯+==⨯=⨯⨯-=-.故选：A. 【点睛】本题考查数列递推公式的应用，涉及数列周期性的应用，考查计算能力，属于中等题.20．B解析：B 【分析】利用等差数列{}n a 的通项公式代入可得574a a -的值. 【详解】由13920a a a ++=，得131020a d +=，则有5711144(4)631020a a a d a d a d -=+--=+=. 故选：B. 【点睛】考查等差数列通项公式的运用，知识点较为简单.二、多选题 21．AC 【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案．【详解】对于选项A ，取前六项得：，满足条件；对于选项B ，取前六项得：，不满足条件；对于选项C ，取前六项得：，解析：AC 【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案．【详解】对于选项A ，1(1)nn a =+-取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；对于选项B ，2cos 2n n a π=取前六项得：0,2,0,2,0,2--，不满足条件；对于选项C ，(1)2sin2n n a π+=取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；对于选项D ，1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件；故选：AC22．AB 【分析】由题意可得，利用裂项相相消法求和求出，只需对于任意的恒成立，转化为对于任意的恒成立，然后将选项逐一验证即可求解. 【详解】，，则，，，，上述式子累加可得：，，对于任意的恒成立解析：AB 【分析】由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++，则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111122a a -=-，上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n∴=-<， ()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确；对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确；对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误；对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误，故选：AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.23．ABD 【分析】根据，，，计算可知正确；根据，，，，，，累加可知不正确；根据，，，，，，累加可知正确. 【详解】依题意可知，，，，，，，，故正确；，所以，故正确；由，，，，，，可得，故不解析：ABD 【分析】根据11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，计算可知,A B 正确；根据12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，累加可知C 不正确；根据2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，累加可知D 正确. 【详解】依题意可知，11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，312112a a a =+=+=，423123a a a =+=+=，534235a a a =+=+=，645358a a a =+=+=，故A 正确； 7565813a a a =+=+=，所以712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=，故B 正确；由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，可得13572019a a a a a +++++=242648620202018a a a a a a a a a +-+-+-++-2020a =，故C 不正确；2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，所以2222212342019a a a a a +++++122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+- 20192020a a =，所以22212201920202019a a a a a +++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题.24．AD 【分析】分类讨论大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】 ①, 与题设矛盾. ②符合题意. ③与题设矛盾. ④ 与题设矛盾. 得，则的最大值为. B ，C ，错误. 故选：AD. 【点睛】解析：AD 【分析】分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】①671,1a a >>, 与题设67101a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意. ③671,1,a a <<与题设67101a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .∴B ，C ，错误.故选：AD. 【点睛】考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1*1n n a a qn N -=∈.25．BD 【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论．【详解】因为数列满足，，；；；数列是周期为3的数列，且前3项为，，3；故选：．【点睛】本题主要解析：BD 【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论．【详解】因为数列{}n a 满足112a =-，111n na a +=-，212131()2a ∴==--；32131a a ==-； 4131112a a a ==-=-；∴数列{}n a 是周期为3的数列，且前3项为12-，23，3；故选：BD ．【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题．26．AC 【分析】由，可得，且，然后逐个分析判断即可得答案【详解】解：因为，所以，且，所以数列的公差，且数列中Sn 的最大项为S5，所以A 正确，B 错误，所以，，所以C 正确，D 错误，故选：AC解析：AC 【分析】由564S S S >>，可得650,0a a ，且650a a +>，然后逐个分析判断即可得答案【详解】解：因为564S S S >>，所以650,0a a ，且650a a +>，所以数列的公差0d <，且数列{}n a 中S n 的最大项为S 5，所以A 正确，B 错误，所以110105610()5()02a a S a a +==+>，11111611()1102a a S a +==<，所以C 正确，D 错误，故选：AC27．AD 【分析】对于，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；对于，根据等差数列的前项和公式得到和，进而可得，由此可知，故不正确；对于，由得到，，然后分类讨论的符号可得答案；对于，由求出及解析：AD 【分析】对于A ，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；对于B ，根据等差数列的前n 项和公式得到70a >和780a a +<，进而可得80a <，由此可知78||||a a <，故B 不正确；对于C ，由915S S =得到，12130a a +=，然后分类讨论d 的符号可得答案；对于D ，由n S 求出n a 及1a ，根据数列{}n a 为等差数列可求得0a =.【详解】对于A ，因为46191111(3)(5)(8)a a a a a d a d a a d -=++-+215d =，且0d ≠，所以24619150a a a a d -=>，所以4619a a a a >，故A 正确；对于B ，因为130S >，140S <，所以77713()1302a a a +=>，即70a >，787814()7()02a a a a +=+<，即780a a +<，因为70a >，所以80a <，所以7878||||0a a a a -=+<，即78||||a a <，故B 不正确；对于C ，因为915S S =，所以101114150a a a a ++++=，所以12133()0a a +=，即12130a a +=，当0d >时，等差数列{}n a 递增，则12130,0a a <>，所以n S 中的最小值是12S ，无最大值；当0d <时，等差数列{}n a 递减，则12130,0a a ><，所以n S 中的最大值是12S ，无最小值，故C 不正确；对于D ，若2n S n n a =-+，则11a S a ==，2n ≥时，221(1)(1)n n n a S S n n a n n a -=-=-+--+--22n =-，因为数列{}n a 为等差数列，所以12120a a =⨯-==，故D 正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式是解题关键.28．AC【分析】令，则，根据，可判定A 正确；由，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；，根据，可判定D 错误.【详解】令，则，因为，所以为等差数列且公差，故A 正确；由，所以，故B 错误；解析：AC【分析】令1m =，则11n n a a a +-=，根据10a >，可判定A 正确；由256110200a a a a d -=>，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，根据02>d ，可判定D 错误.【详解】令1m =，则11n n a a a +-=，因为10a >，所以{}n a 为等差数列且公差0d >，故A 正确；由()()22225611011119209200a a a a a a d d a a d d -=++-+=>，所以56110a a a a >，故B错误；根据等差数列的性质，可得()213x x x -=+，所以13x =，213x -=，故1011109333a =+⨯=，故C 正确；由()111222n n n na d S d d n a n n -+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，因为02>d ，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列，故D 错误.故选：AC .【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法；1、作差比较法：根据1n n a a +-的符号，判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列；2、作商比较法：根据1(0n n na a a +>或0)n a <与1的大小关系，进行判定； 3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断.29．ACD【分析】由题可得，，，求出可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出可判断C ；令，解出即可判断D.【详解】设等差数列的公差为，则，解得，，，且，对于A ，，故A 正确；对于B ，的对称解析：ACD【分析】由题可得16a d =-，0d <，21322n d d S n n =-，求出80a d =<可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出49,S S 可判断C ；令213022n d d S n n =->，解出即可判断D. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()5111122+4++100a a a d a d +==，解得16a d =-，10a >，0d ∴<，且()21113+222n n n d d S na d n n -==-，对于A ，81+7670a a d d d d ==-+=<，故A 正确；对于B ，21322n d d S n n =-的对称轴为132n =，开口向下，故6n =或7时，n S 取得最大值，故B 错误；对于C ，4131648261822d d S d d d =⨯-⨯=-=-，9138191822d d S d =⨯-⨯=-，故49S S =，故C 正确；对于D ，令213022n d d S n n =->，解得013n <<，故n 的最大值为12，故D 正确. 故选：ACD.【点睛】方法点睛：由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值.30．AD【分析】设等差数列的公差为，根据已知得，进而得，故，.【详解】解：设等差数列的公差为，因为所以根据等差数列前项和公式和通项公式得：，解方程组得：，所以，.故选：AD.解析：AD【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知得1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩，进而得13,2a d =-=，故25n a n =-，24n S n n =-.【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为450,5S a ==所以根据等差数列前n 项和公式和通项公式得：1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩，解方程组得：13,2a d =-=，所以()31225n a n n =-+-⨯=-，24n S n n =-.故选：AD.31．AB【分析】根据等差数列的性质及可分析出结果.【详解】因为等差数列中，所以，又，所以，所以，，故AB 正确，C 错误；因为，故D 错误，故选：AB【点睛】关键点睛：本题突破口在于由解析：AB【分析】根据等差数列的性质及717S S =可分析出结果.【详解】因为等差数列中717S S =，所以89161712135()0a a a a a a ++++=+=，又10a >，所以12130,0a a ><，所以0d <，12n S S ≤，故AB 正确，C 错误；因为125251325()2502a a S a +==<，故D 错误，故选：AB【点睛】关键点睛：本题突破口在于由717S S =得到12130a a +=，结合10a >，进而得到12130,0a a ><，考查学生逻辑推理能力.32．BC【分析】设公差d 不为零,由，解得，然后逐项判断.【详解】设公差d 不为零,因为，所以，即，解得，，故A 错误；，故B 正确；若，解得，，故C 正确；D 错误；故选：BC解析：BC【分析】设公差d 不为零,由38a a =，解得192a d =-，然后逐项判断. 【详解】设公差d 不为零, 因为38a a =，所以1127a d a d +=+，即1127a d a d +=--，解得192a d =-， 11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=≠ ⎪⎝⎭，故A 错误； ()()()()()()221101110910,10102222n n n n n n d d na d n n n a n n S S d ----=+=-=-+=-，故B 正确；若11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=> ⎪⎝⎭，解得0d >，()()22510525222n d d d n n S n S =-=--≥，故C 正确；D 错误；故选：BC 33．BCD【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误.【详解】对于A 选项，取，则不是常数，则不是等方差数列，A 选项中的结论错误；对于B 选项，为常数，则是等方差数列，B 选项中的结论正解析：BCD【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误.【详解】对于A 选项，取n a n =，则()()()422444221111n n a a n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-=+-=+-⋅++⎣⎦⎣⎦()()221221n n n =+++不是常数，则{}2n a 不是等方差数列，A 选项中的结论错误；对于B 选项，()()22111110n n +⎡⎤⎡⎤---=-=⎣⎦⎣⎦为常数，则(){}1n -是等方差数列，B 选项中的结论正确；对于C 选项，若{}n a 是等方差数列，则存在常数p R ∈，使得221n n a a p +-=，则数列{}2n a 为等差数列，所以()221kn k n a a kp +-=，则数列{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列，C 选项中的结论正确；对于D 选项，若数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则存在m R ∈，使得n a dn m =+，则()()()()2221112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++，由于数列{}n a 也为等方差数列，所以，存在实数p ，使得221n n a a p +-=，则()222d n m d d p ++=对任意的n *∈N 恒成立，则()2202d m d d p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得0p d ==，此时，数列{}n a 为常数列，D 选项正确.故选BCD.【点睛】本题考查数列中的新定义，解题时要充分利用题中的定义进行判断，也可以结合特殊数列来判断命题不成立，考查逻辑推理能力，属于中等题.34．ABD【分析】结合等差数列的性质、前项和公式，及题中的条件，可选出答案.【详解】由，可得，故B 正确；由，可得，由，可得，所以，故等差数列是递减数列，即，故A 正确；又，所以，故C 不正确解析：ABD【分析】结合等差数列的性质、前n 项和公式，及题中的条件，可选出答案.【详解】由67S S =，可得7670S S a -==，故B 正确；由56S S <，可得6560S S a -=>，由78S S >，可得8780S S a -=<，所以876a a a <<，故等差数列{}n a 是递减数列，即0d <，故A 正确；又()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确；又因为等差数列{}n a 是单调递减数列，且80a <，所以90a <，所以()117179171702a a S a +==<，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列性质的应用，解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前n 项和的性质，本题要从题中条件入手，结合公式()12n n n a S S n --≥=，及()12n n n a a S +=，对选项逐个分析，可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题. 35．AD【分析】由求出，即，由此表示出、、、，可判断C 、D 两选项；当时，，有最小值，故B 错误.【详解】解：，，故正确A.由，当时，，有最小值，故B 错误.，所以，故C 错误.，，故D 正确.解析：AD【分析】由1385a a S +=求出100a =，即19a d =-，由此表示出9a 、11a 、6S 、13S ，可判断C 、D 两选项；当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误.【详解】解：1385a a S +=，111110875108,90,02d a a d a a d a ⨯++=++==，故正确A. 由190a d +=，当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误.9101110,a a d d a a d d =-==+=，所以911a a =，故C 错误.61656+5415392d S a d d d ⨯==-+=-， 131131213+11778392d S a d d d ⨯==-+=-，故D 正确. 故选：AD【点睛】考查等差数列的有关量的计算以及性质，基础题.。

高中数学选择性必修二 4 1 数列的概念(精练)(含答案)

4.1 数列的概念1．（2020·宜宾市南溪区第二中学校高一月考）已知数列28n na n =+，则数列{}n a 的第4项为（） A ．110B ．16C ．14 D ．13【答案】B【解析】依题意4244148246a ===+.故选：B. 2．（2020·浙江鄞州·宁波诺丁汉附中高一期中）已知数列的通项公式是()()31{22n n n a n n +=-是奇数是偶数，则23⋅a a 等于（） A ．70 B ．28C ．20D ．8【答案】C【解析】因为()()31{22n n n a n n +=-是奇数是偶数，所以，所以23⋅a a =20.故选C.3．（2020·广西田阳高中高一月考）已知数列的一个通项公式为()11312n n n n a +-+=-，则5a = （） A ．12B ．12-C ．932D ．932-【答案】A 【解析】()11312n n n n a +-+=-，则()51551531122a +-+=-=.故选：A. 4．（2020·广西田阳高中高一月考）已知数列2,5,22,11…，则25是这个数列的（） A ．第六项 B ．第七项C ．第八项D ．第九项【答案】B题组一根据通项求项【解析】由数列前几项归纳可知通项公式为n a =,=时,7n =,为数列第七项，故选B.5．（2020·浙江鄞州·宁波咸祥中学高一期中）已知数列{}n a 的通项公式为22n a n n =+，则10(a = )A ．100B ．110C ．120D ．130【答案】C【解析】数列{}n a 的通项公式为22n a n n =+，则21010210120a =+⨯=.故选：C.6．（2020·四川高一期中）已知数列{}n a 的通项公式是1(2)2n a n n =+，则220是这个数列的( ) A ．第19项 B ．第20项 C ．第21项D ．第22项【答案】B【解析】由题意，令1(2)2202n n +=，则(2)440n n +=，解得20n =或22n =-；因为*n N ∈，所以20n =，即220是这个数列的第20项.故选：B.7．（2020·四川省苍溪实验中学校高一期中）已知数列2，4，……，则8是该数列的第________项【答案】118=，解得11n =，所以8是该数列的第11项，故答案为：11.8．（2020·上海高二课时练习）在数列{}n a 中，已知()*cos2n n a n N π=∈，则{}n a 的前6项分别为______. 【答案】0,1,0,1,0,1--【解析】易得1cos02a π==，2cos 1a π==-，33cos02a π==，4cos 21a π==，55cos 02a π==，66cos12a π==-.故答案为：0,1,0,1,0,1-- 9．（2020·上海高二课时练习）已知数列{}n a 的通项公式为1(2)n a n n =+，那么199是这数列的第_____项.【答案】9【解析】令11(2)99n n =+，即22990n n +-=，解得9n =或11-(舍去)，则199是这数列的第9项，故答案为: 9. 10．（2020·上海高二课时练习）数列{}n a 中，1003n a n =-（*n N ∈），该数列从第_____项开始每项均为负值. 【答案】34【解析】令10030n a n =-<，解不等式得：1003n >，由于*n N ∈，故34n =.故答案为：34.1．（2020·江西高一月考）数列3579,,,24816--，…的一个通项公式为（） A ．()n n n n21a 12+=-⋅ B ．()nn n 2n 1a 12+=-⋅C ．()n n 1n n 21a 12++=-⋅ D ．()n 1n n2n 1a 12++=-⋅【答案】D【解析】根据分子、分母还有正负号的变化，可知，()12112n n nn a ++=-⋅.故选D. 题组二根据项写通项2．（2020·四川双流·艺体中学）数列2，43，85，167，329…的一个通项公式a n 等于（） A ．221nn -B ．2n nC ．221nn -D ．221nn +【答案】C【解析】数列2，43，85，167，329… 可写成：12211⨯-，22221⨯-，32231⨯-，42241⨯-，52251⨯-… 所以通项公式a n 2=21nn -.故选C. 3．（2020·上海市杨浦高级中学）已知数列1、0、1、0、，可猜想此数列的通项公式是（）.A ．()()1*11n n a n N -⎡⎤=+-∈⎣⎦B ．()()*1112nn a n N ⎡⎤=+-∈⎣⎦C ．()()()()1*111122n n a n n n N +⎡⎤=+-+--∈⎣⎦ D ．()()*11cos 2n a n n N π=-∈【答案】D【解析】对于A 选项，()011121a =+-=≠，不合乎题意；对于B 选项，()1111012a =⨯-=≠，不合乎题意；对于C 选项，()4311121312a ⎡⎤=⨯+-+⨯=≠⎣⎦，不合乎题意；对于D 选项，当n 为奇数时，cos 1n π=-，此时()11112n a =⨯+=，当n 为偶数时，cos 1n π=，此时()11102n a =⨯-=，合乎题意. 故选：D.4．（2018·吉林宽城·长春市养正高中高一期中）根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式n a =__________．【答案】54n -【解析】第一图点数是1；第二图点数6=1+5 ;第三图是11=1+25 ；第四图是16=1+35 则第n 个图点数=1+(n-1)554n a n 故答案为：54n -5．（2019·山东东营·）已知数列{}n a 的前4项依次为23，45-，67，89-，试写出数列{}n a 的一个通项公式n a =______.【答案】12(1)21n nn +-+ 【解析】2，4，6，8，的通项公式为2n ，3，5，7，9，的通项公式为21n ，正负交替的通项公式为1(1)n +-，所以数列{}n a 的通项公式12(1)21n n n a n +=-+.故答案为：12(1)21n n n +-+ 6．（2020·全国高一课时练习）写出下列各数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：（1）5784,,2,,,245--⋯（2）246810,,,,,315356399（3）5,55,555,5555,（4）2,0,2,0,2,0,【答案】（1）()131n n n a n ++=-；（2）()2221n n a n =-；（3）()51019n na =-；（4）()111n n a -=+- 【解析】解（1）考虑到第2，4项的分母恰好是所在项的序号，于是这个数列的前4项可以改写成4567,,,1234--，这4项的分母都与项的序号相同，分子都恰好是序号加3，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为()131n n n a n++=-. （2）考虑到分子2,4,6,8,10恰好是序号的2倍，所以分子应为2n .分母22222321,1541,3561,6381,99101=-=-=-=-=-都为分子的平方数减去1，因此它的一个通项公式为()2221n na n =-.（3）这个数列的第n 项可以是n 个5组成的n 位数555n n a ↑=，用代数式替代省略号，可考虑前4项改写成55559,99,999,99999999⨯⨯⨯⨯，其中9999999999，，，又可表示成1234101,101,101,101----，这里的10的正整数次幂的指数恰好与数列中项的序号相等，所以它的一个通项公式为()51019n n a =-. （4）211,011=+=-，考虑到其每一项与序号的关系将前几项分别写成：()()()()012311,11,11,11+-+-+-+-，因此它的一个通项公式为()111n n a -=+-.1．（2020·眉山市东坡区多悦高级中学校高一期中）在数列{}n a 中，已知11a =，25a =，()*21n n n a a a n N ++=-∈，则5a 等于（）A ．4-B ．5-C ．4D ．5【答案】B【解析】由()*21n n n a a a n N++=-∈知：3214a a a 4321a a a 5435a a a故选：B2．（2020·自贡市第十四中学校高一期中）数列3,7,11,15,的一个通项公式是（）A ．41n a n =+B ．21n a n =+C ．41n a n =-D ．21n a n =-【答案】C【解析】因为数列3，7，11，15⋯的一个通项公式为41n -，故数列3，7，11，15，⋯的一个通项公式是41n a n =-，故选：C ． 3．（2019·河北廊坊·高一期末）数列{}n a 的前几项为11121,3,,8,222，则此数列的通项可能是（）A ．542n n a -=B ．322n n a -=C ．652n n a -=D ．1092n n a -=【答案】A题组三根据递推公式求项【解析】数列为16111621,,,,22222其分母为2，分子是首项为1，公差为5的等比数列，故通项公式为542n n a -=. 4．（2020·安徽黄山·高一期末）数列1111,,,,...24816--的一个通项公式是（） A ．1(1)2+-n nB ．(1)2-n nC ．sin 2nn πD ．cos(1)2nn π+【答案】B 【解析】()111122-=-⨯，()2211142=-⨯，()3311182-=-⨯，()44111162=-⨯ 所以其通项公式是：(1)2-nn 故选：B5．（2020·武汉外国语学校高一月考）数列4，6，10，18，34，……的通项公式n a 等于（） A ．12n + B ．21n + C ．22n + D ．22n +【答案】C【解析】234521134522,22,22,22,22a a a a a =+=+=+=+=+22n n a ∴=+故选：C6．（2020·浙江越城·绍兴一中期中）在数列{}n a 中，()1111,1(2)nnn a a n a --==+≥，则5a 等于A ．32B ．53C ．85D ．23【答案】D【解析】已知1a 逐一求解2345122323a a a a ====，，，．故选D7．（2020·吉林前郭尔罗斯县第五中学高一期中）数列12-，2，92-，8，252-，…它的一个通项公式可以是（）A ．()212nn n a =-B ．()2112n n n a +=- C ．22n n a =D ．1n n a n =-+ 【答案】A【解析】将1n =代入四个选项可得A 为12-,B 为12,C 为12,D 为12-.所以排除B 、C 选项. 将2n =代入A 、D,得A 为2,D 为23-,所以排除D 综上可知,A 可以是一个通项公式故选：A 8．（2019·息县第一高级中学高二月考（文））数列1-，3，7-，15，…的一个通项公式可以是（） A ．()(1)21nnn a =-⋅- B ．(1)(21)nn a n =-⋅- C ．()1(1)21n n n a +=-⋅-D ．1(1)(21)n n a n +=-⋅-【答案】A【解析】将1n =代入四个选项，可知C 中11,a =D 中11,a =所以排除C 、D.当3n =，代入B 可得35,a =-所以排除B ，即A 正确，故选：A.9．（2018·安徽六安一中高一期末（文））已知*n N ∈，给出4个表达式：①0,1,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，②1(1)2n n a +-=，③1cos 2n n a π+=，④sin 2n n a π=.其中能作为数列：0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是（） A ．①②③ B ．①②④C ．②③④D ．①③④【答案】A【解析】①②③逐一写出为010101，，，，，可以，④逐一写出为1010101，，，，，，不满足，故选A ．10．（2020·湖北十堰·高一期末）数列1111,,,57911--，…的通项公式可能是n a =（） A ．1(1)23n n --+B ．(1)32nn -+C ．1(1)32n n --+D ．(1)23nn -+【答案】D【解析】由115a =-，排除A ，C ，由217a =，排除B.故选：D.11.（2020·金华市曙光学校高一开学考试）数列1-，3，5-，7，9-，，的一个通项公式为（）A ．21n a n =-B ．(1)(12)nn a n =-- C ．(1)(21)nn a n =--D ．1(1)(21)n n a n +=--【答案】C【解析】∵数列{a n }各项值为1-，3，5-，7，9-，，∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，∴|a n |＝2n ﹣1 又∵数列的奇数项为负，偶数项为正，∴a n ＝（﹣1）n （2n ﹣1）．故选C ．1．（2019·云南东川明月中学高一期中）数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++,则{}n a 的通项公式n a = _____.【答案】()()3122n nn ⎧=⎪⎨≥⎪⎩ 【解析】当1n =时,113a S ==；题组四公式法求通项当2n ≥时,()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦； ∴()()3122n n a n n ⎧=⎪=⎨≥⎪⎩故答案为()()3122n n n ⎧=⎪⎨≥⎪⎩2．（2019·湖南岳阳）已知数列{}n a ，若1222n a a na n +++=，则数列{}1n n a a +的前n 项和为__________．【答案】41n n + 【解析】因为122++2n a a na n +⋯=所以1212++12n 1n a a n a （）（）-+⋯-=- 两式相减得2n na =所以2n a n=设数列{}1n n a a +的前n 项和为S n 则1223342111n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a ---+=+++⋅⋅⋅++2222222222221223342111n n n n n n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅⨯+⨯+⨯---+ 1111111111141223342111n n n n n n ⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅-+-+- ⎪---+⎝⎭ 144111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭3．（2020·上海市金山中学期中）已知数列{}n a 的前n 项和2231n S n n =-+，则n a =__________．【答案】0,145,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩【解析】当1n =时，110a S ==当2n ≥时，由2231n S n n =-+，得212(1)3(1)1n S n n -=---+，两式相减，145n n n a S S n -=-=-，将1n =代入上式，110a =-≠，∴通项公式为0,145,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩故答案为0,145,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩. 4．（2019·黑龙江哈尔滨市第六中学校期中）已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且2n S n =，则n a =_______【答案】21n -.【解析】当1n =时，111a S ==当2n ≥且*n N ∈时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-综上所述：21n a n =-，*n N ∈本题正确结果：21n -5．（2020·河北石家庄·辛集中学）在数列{}n a 中，已知其前n 项和为23n n S =+，则n a =__________．【答案】15,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩【解析】当2n ≥时，111(23)(23)2n n n n n n a S S ---=-=+-+=；当1n =时，11235a S ==+=，不满足上式。

宁波市选修二第一单元《数列》测试(有答案解析)

一、选择题1．已知数列{}n a 为等差数列，首项为2，公差为3，数列{}n b 为等比数列，首项为2，公比为2，设n n b c a =，n T 为数列{}n c 的前n 项和，则当2020n T <时，n 的最大值是（） A ．8B ．9C ．10D ．112．数列{}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,...,n F 成为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，记该数{}n F 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（） A ．201920212S F =+ B ．201920211S F =- C ．201920202S F =+D ．201920201S F =-3．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若202020210,0S S <>，则下列判断错误的是（）A ．数列{}n a 单调递增B ．10100a <C ．数列{}n a 前2020项最小D ．10110a >4．等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足11a >，10210310a a ->，102103101a a -<-，则使得1n T >成立的最大自然数n 的值为（）A ．102B ．203C ．204D ．2055．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若110,,22n n a a S >=<，则等比数列{}n a 的公比的取值范围是（） A ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，1n n a S +=，若(0,2020)n a ∈，则称项n a 为“和谐项”，则数列{}n a 的所有“和谐项”的平方和为（） A ．1111433⨯- B ．1211433⨯- C ．1012433⨯+D ．1112433⨯+7．已知数列{}n b 满足12122n n b n λ-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若数列{}n b 是单调递减数列，则实数λ的取值范围是（）A ．101,3B ．110,23⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(-1，1)D ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭8．已知数列{}n a 满足11a =，122n n a a n n+=++，则10a =（） A ．259B ．145 C ．3111D ．1769．数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1+a 2+a 3+…+a n =3n ﹣1，则a 12+a 22+a 32+…+a n 2等于（） A ．n 2(31)-B ．()n1912- C ．n 91- D ．()n1314- 10．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若535,9a a =则95SS =（） A ．1B ．1-C ．2D ．1211．等比数列{} n a 的前n 项和为n S ，若63:3:1S S =，则93:S S =（） A ．4:1 B ．6:1C ．7:1D ．9:112．定义12...nnp p p +++为n 个正数12,,......n p p p 的“均倒数”，若已知正整数数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则12231920111b b b b b b +++=（） A ．1920 B ．120C ．1011 D ．111二、填空题13．已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为13-，其前n 项和记为n S ，若对任意的*n N ∈，均有13n nA SB S ≤-≤恒成立，则B A -的最小值为______. 14．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，满足212n n n a a S +=，且0n a >，则64S =____．15．在数列{}n a 中，11a =，22a =，()*212n n n a a a n ++=+∈N ，记()321nn n n c a λ=-⨯-，若对任意的*n ∈N ，1n n c c +>恒成立，则实数λ的取值范围为______.16．已知正项数列{}n a 和{}n b 满足：①11a =，23a =；②12n n n a a b ++=，211n n n b b a ++=.则数列{}n a 的通项公式为na =___________. 17．等差数列{}n a 中，若15939a a a ++=，371127a a a ++=，则数列{}n a 前11项的和为__________．18．设数列{}n a 是首项为1的正项数列，且()221110n n n n n a na a a +++-+⋅=，则它的通项公式n a =______.19．对于数列{}n a ，定义11222n nn a a a A n-+++=为数列{}n a 的“好数”，已知某数列{}n a 的“好数”12n n A +=，记数列{}-n a kn 的前n 项和为n S ，若6n S S ≤对任意的*n ∈N 恒成立，则实数k 的取值范围为________.20．设数列{}n a 满足15a =，且对任意正整数n ，总有()()13344n n n a a a +++=+成立，则数列{}n a 的前2020项和为______.三、解答题21．已知等比数列{n a }的各项均为正数，1a +3a ==5，且其前n 项和n S 满足72S =33S . （1）求数列的通项公式；（2）若()()111nn n n a b a a +=++求数列{n a }的前n项和n T22．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()*12n n a S n N =-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式，（2）设函数13()log f x x =，()()()12n n b f a f a f a =+++，1231111n nT b b b b =+++求证：2n T <． 23．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2512a a +=，424S S =. （1）求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；（2）若11n n n n a b S S ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .24．在公差不为0的等差数列{}n a 的前10项和为65，1a 、3a 、7a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．25．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n S a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21nn b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 26．已知各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，212n n n S a a =+，*n ∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式.（2）设数列{}n b 满足：11b =，()122n n n b b a n --=≥，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .求证：2n T <.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列{}n c 的通项公式，利用数列的分组求和法可得数列{}n c 的前n 项和n T ，验证得答案．【详解】解：由题意得：323(1)1n a n n ⨯-=+-=，2nn b =，2321n n n n b c a a ==⨯-=，123n T c c c ∴=+++…n c +123321321321=⨯-+⨯-+⨯-+…321n +⨯-(1233222=⨯+++…)2n n +-()212312n n ⨯-=⨯--1326n n +=⨯--，当8n =时，98326815222020T =⨯--=<；当9n =时，109326930572020T =⨯--=>，n ∴的最大值为8.故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是求出数列{}n c 的通项公式，利用分组求和求出数列{}n c 的前n 项和n T .2．B解析：B 【分析】利用迭代法可得21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，可得21n n F S +=+，代入2019n =即可求解.【详解】由题意可得该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，则211112n n n n n n n n n n F F F F F F F F F F ++----=+=++=+++1211232n n n n n n n n n F F F F F F F F F -------=+++=++++=123211n n n n F F F F F F ---=+++++++，所以21n n F S +=+，令2019n =，可得201920211S F =-，故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是理解数列新定义的含义得出21n n n F F F ++=+，利用迭代法得出21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，进而得出21n n F S +=+.3．C解析：C 【分析】结合等差数列的求和公式及等差数列的性质可得101010110,0a a <>，从而可求出公差的符号，进而可确定单调性，进而可确定和最小问题. 【详解】因为202020210,0S S <>，即()()12021202012020210,02022a a a a ++<>，所以12020120210,0a a a a +<+>.因为10101011120201011120210,20,a a a a a a a +=+<=+> 所以101010110,0a a <>，所以101110100d a a =->，所以数列{}n a 是单调递增数列，前1010项和最小，所以C 错误. 故选:C . 【点睛】关键点睛：本题的关键是由等差数列的求和公式对已知条件进行变形，整理出12020120210,0a a a a +<+>，再结合等差数列的性质求出101010110,0a a <>，确定公差后即可确定单调性及最值问题.4．C解析：C 【分析】由题意可得1021031a a >，1021031,1a a ><，利用等比数列的性质即可求解. 【详解】由10210310a a ->，即1021031a a >，则有21021a q ⨯>，即0q >。

数列综合测试题含标准答案

数列综合测试题(经典)含标准答案(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数列综合测试题第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

)1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )B ．1C ．2D ．32．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )3.(理)已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．54．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为正偶数时，n 的值可以是( )A ．1B ．2C ．5D ．3或115．已知a >0，b >0，A 为a ，b 的等差中项，正数G 为a ，b 的等比中项，则ab 与AG 的大小关系是( )A ．ab ＝AGB ．ab ≥AGC ．ab ≤AGD ．不能确定6．各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为( )或5－127．数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －49，当该数列的前n 项和S n 达到最小时，n 等于( )A．24 B．25C．26 D．278．数列{a n}是等差数列，公差d≠0，且a2046＋a1978－a22012＝0，{b n}是等比数列，且b2012＝a2012，则b2010·b2014＝( )A．0 B．1C．4 D．89．已知各项均为正数的等比数列{a n}的首项a1＝3，前三项的和为21，则a3＋a4＋a5＝( )A．33 B．72C．84 D．18910．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，S3＝a5，a m＝2011，则m＝( ) A．1004 B．1005C．1006 D．100711．设{a n}是由正数组成的等差数列，{b n}是由正数组成的等比数列，且a1＝b1，a2003＝b2003，则( )A．a1002>b1002B．a1002＝b1002C．a1002≥b1002D．a1002≤b100212．已知数列{a n}的通项公式为a n＝6n－4，数列{b n}的通项公式为b n＝2n，则在数列{a n}的前100项中与数列{b n}中相同的项有( )A．50项B．34项C．6项D．5项第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．已知数列{a n}满足：a n＋1＝1－1a n，a1＝2，记数列{a n}的前n项之积为P n，则P2011＝________.14．秋末冬初，流感盛行，荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n}，已知a1＝1，a2＝2，且a n＋2－a n＝1＋(－1)n(n∈N*)，则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人．15．已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，12a3,2a2成等差数列，则a3＋a10a1＋a8＝________.16．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，且从上到下所有公比相等，则a＋b＋c的值为________．三、解答题()17．设数列{a n }的前n 项和为n S =2n 2，{b n }为等比数列，且a 1=b 1，b 2(a 2 －a 1)=b 1。

浙江省余姚市余姚中学2024届高三下学期第四次段考数学试题试卷

浙江省余姚市余姚中学2024届高三下学期第四次段考数学试题试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合{}(2)0A x x x =->，{}10B x x =->，则A B =A ．{}10x x x ><或B ．{}12x x <<C ．{|2}x x >D ．{}1x x >2．已知等差数列{}n a 的公差为-2，前n 项和为n S ，若2a ，3a ，4a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，则n S 的最大值为（） A ．5B ．11C ．20D ．253．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（）种. A ．408B ．120C ．156D ．2404．函数cos 23sin 20,2y x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的单调递增区间是（） A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 5．如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（）A ．2B ．83C ．6D ．86．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任意一点，若圆()()22001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（）． A ．(]1,2 B ．(]1,4C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞ 7．已知复数41iz i=+，则z 对应的点在复平面内位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限8．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数，则()2log 5f ，31log 5f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()5log 3f 的大小关系是（）A ．()()3521log log 3log 55f f f <<⎛⎫⎪⎝⎭B ．()()3251log log 5log 35f f f <<⎛⎫⎪⎝⎭C ．()()5321log 3log log 55f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< D ．()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< 9．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为( )A ．10B ．50C ．60D ．14010．若21i iz =-+，则z 的虚部是A ．3B ．3-C ．3iD ．3i -11．已知集合{}{}22(,)4,(,)2xA x y x yB x y y =+===，则AB 元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．412．已知集合{}1,0,1,2A =-，()(){}120B x x x =+-<，则集合A B 的真子集的个数是（）A ．8B ．7C ．4D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届浙江省宁波市九校(余姚中学高三下学期联合考试数学试题含解析

2025届浙江省宁波市九校（余姚中学高三下学期联合考试数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是( ) A ．αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ B ．//αβ，m β⊥ C ．αβ⊥，//m βD ．n ⊂α，m n ⊥2．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为（） A ．19B ．29C ．13D ．493．若集合{|A x N x =∈=，a = ）A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉4．已知i 为虚数单位，复数()()12z i i =++，则其共轭复数z =（） A ．13i +B ．13i -C ．13i -+D ．13i --5．已知m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，n ⊂α，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊥，则//n αD ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥6．设全集U =R ，集合2{|340}A x x x =-->，则UA =（）A ．{x |-1 <x <4}B ．{x |-4<x <1}C ．{x |-1≤x ≤4}D ．{x |-4≤x ≤1}7．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点(3,4)P -，则sin 2α=（）． A ．1225-B ．2425-C ．165D ．858．为计算23991223242...100(2)S =-⨯+⨯-⨯++⨯-，设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（）A ．100i C ．100i ≤D ．100i ≥9．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（）A ．B ．2C ．D ．10．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为2317,,927n S S S ==，则12n a a a 的最小值为（） A ．24()27B ．34()27C ．44()27D ．54()2711．设α，β是方程210x x --=的两个不等实数根，记n nn a αβ=+（n *∈N ）.下列两个命题（）①数列{}n a 的任意一项都是正整数； ②数列{}n a 存在某一项是5的倍数. A ．①正确，②错误 B ．①错误，②正确 C ．①②都正确 D ．①②都错误12．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（）A ．-1B ．1C ．0D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

(常考题)人教版高中数学选修二第一单元《数列》测试(含答案解析)(4)

一、选择题1．已知数列{}n a 中，12a =，111(2)n n a n a -=-≥，则2021a 等于（） A ．1-B ．12-C ．12D ．22．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题，其中正确的命题的个数是（）①若100S =，则280S S +=；②若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；③若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大；④若78S S <，则89S S <．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．已知数列{}n a 满足2122111,16,2n n n a a a a a ++===则数列{}n a 的最大项为（） A ．92B ．102C ．8182D ．1124．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且351024a a a ++=，则13S 的值为（） A ．8B ．13C ．26D ．1625．已知数列{}n a 满足11a =，122n n a a n n+=++，则10a =（） A ．259B ．145 C ．3111D ．1766．已知正项等比数列{}n a 的公比不为1，n T 为其前n 项积，若20172021T T =，则20202021ln ln a a =（） A ．1:3B ．3:1C ．3:5D ．5:37．已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，则下列命题一定正确的是（） A ．若S 2021＞0，则a 3+a 1＞0 B ．若S 2020＞0，则a 3+a 1＞0 C ．若S 2021＞0，则a 2+a 4＞0D ．若S 2020＞0，则a 2+a 4＞08．两等差数列{}n a 和{}n b ，前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b ++的值为（） A ．14924B ．7914C ．165D ．51109．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若535,9a a =则95S S =（） A ．1B ．1-C ．2D ．1210．函数()2cos 2f x x x =-{}n a ，则3a =（） A ．1312πB ．54π C ．1712πD ．76π 11．已知数列{}n a 是等比数列，11a >，且前n 项和n S 满足11lim n n S a →∞=，那么1a 的取值范围是（） A．(B ．()1,4C ．()1,2D ．()1,+∞12．已知等比数列{}141,1,8n a a a ==，且12231n n a a a a a a k ++++<，则k 的取值范围是（） A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题13．数列{}n a 满足2121231722222n n a a a a n n -+++⋅⋅⋅+=-，若对任意0λ>，所有的正整数n 都有22n k a λλ-+>成立，则实数k 的取值范围是_________．14．将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯，三种，其中34⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解，当(),,p q p q p N q N **⨯≤∈∈是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数()f n q p =-，例如(12)431f =-=，则数列(){}3nf 的前2020项和为______．15．设数列{}n a 是以4为首项，12为公比的等比数列，其前n 项和为{}n S ，则{}n S 的前n 项和为_________.16．计算：111113355720192021++++=⨯⨯⨯⨯__________．17．已知{}{},n n a b 均为等差数列，其前n 项和分别为,n n S T ，且233n n S n T n -=+，则55a b ＝________.18．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足318S =，3180n S -=，270n S =，则n =________.19．数列{}n a 满足， 123231111212222n na a a a n ++++=+，写出数列{}n a 的通项公式__________.20．正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()22n nn S a a n N *++∈，设()2112n n n na c S +=-⋅，则数列{}n c 的前2019项的和为___________.三、解答题21．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()*214,21n n S a S n N +==+∈．数列{}nb 是首项为1a ，公差不为零的等差数列，且127,,b b b 成等比数列．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若nn nb c a =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，且n T m <恒成立，求m 的取值范围． 22．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n +1－t ，求证：数列{a n }是等比数列的充要条件为t ＝3．23．已知正项数列{}n a 满足2220n n a na n --=，数列(){}12n nn aa -⋅+的前n 项和为n S ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S ．24．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n S a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21nn b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n a s 在直线22y x =-，上n *∈N ．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．26．已知各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，212n n n S a a =+，*n ∈N . （1）求数列{}n a 的通项公式.（2）设数列{}n b 满足：11b =，()122n n n b b a n --=≥，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .求证：2n T <.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C【分析】先计算出{}n a 的前几项，然后分析{}n a 的周期性，根据周期可将2021a 转化为2a ，结合12a =求解出结果.【详解】因为12a =，所以23412311111,11,12,......2a a a a a a =-==-=-=-= 所以3211111111111111111111n n nn n n n na a a a a a a a +++-=-=-=-=-=-=------，所以{}n a 是周期为3的周期数列，所以20213673+2212a a a ⨯===，故选：C. 【点睛】思路点睛：根据递推公式证明数列{}n a 为周期数列的步骤：（1）先根据已知条件写出数列{}n a 的前几项，直至出现数列中项循环，判断循环的项包含的项数A ；（2）证明()*n A n a a A N+=∈，则可说明数列{}na 是周期为A 的数列.2．B解析：B 【分析】①②③根据条件可分析数列是首项为正数，公差小于0的等差数列，所以存在*n N ∈，使10n n a a +≥⎧⎨≤⎩，再结合等差数列的前n 项和公式判断选项；④利用公式1n n n S S a --=()2n ≥，判断选项.【详解】 ①若100S =，则()()110561010022a a a a ++==，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以50a >，60a <，那么()()()()18281212458402a a S S a a a a a a ++=++=+++>，故①不成立； ②若412S S =，则()124561289...40S S a a a a a -=+++=+=，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以80a >，90a <，()115158151502a a S a +==>，()()11689161616022a a a a S ++===，则使0n S >的最大的n 为15，故②成立； ③()115158151502a a S a +==>，()()116168916802a a S a a +==+<，则90a <，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以{}n S 中的最大项是8S ，故③正确； ④若78S S <，则8780S S a -=>，但989S S a -=，不确定9a 的正负，故④不正确. 故选：B 【点睛】方法点睛：一般等差数列前n 项和的最值的常用方法包含：1.单调性法，利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，便可求得等差数列前n 项和的最值；2.利用二次函数的性质求最值，公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和2n S An Bn =+（,A B 为常数）为关于n的二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题.3．B解析：B 【分析】本题先根据递推公式进行转化得到21112n n n n a a a a +++=．然后令1n n na b a +=，可得出数列{}n b 是等比数列．即11322nn n a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭．然后用累乘法可求出数列{}n a 的通项公式，根据通项公式及二次函数的知识可得数列{}n a 的最大项．【详解】解：由题意，可知： 21112n n n na a a a +++=．令1n n n ab a +=，则112n n b b +=． 21116a b a ==， ∴数列{}n b 是以16为首项，12为公比的等比数列． 111163222n nn b -⎛⎫⎛⎫∴== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．∴11322nn n a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭． ∴1211322aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2321322a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，111322n n n a a --⎛⎫= ⎪⎝⎭．各项相乘，可得： 12111111(32)222n n na a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(1)2511()22n n n --⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2115(1)221122n n n ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211552212n n n --+⎛⎫= ⎪⎝⎭21(1110)212n n -+⎛⎫= ⎪⎝⎭．令2()1110f n n n =-+，则，根据二次函数的知识，可知：当5n =或6n =时，()f n 取得最小值． ()2551151020f =-⨯+=-，()2661161020f =-⨯+=-，()f n ∴的最小值为20-．∴211(1110)(20)1022101112222n n -+⨯--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．∴数列{}n a 的最大项为102．故选：B ．【点睛】本题主要考查根据递推公式得出通项公式，构造新数列的方法，累乘法通项公式的应用，以及利用二次函数思想求最值；4．B解析：B 【分析】先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=，再根据()11313713132a a S a +==求解出结果.因为()351041072244a a a a a a ++=+==，所以71a =，又()1131371313131132a a S a +===⨯=，故选：B. 【点睛】结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=；（2）当{}n a 为等比数列，则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.5．B解析：B 【分析】由122n n a a n n +=++转化为11121n n a a n n +⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，利用叠加法，求得23na n =-，即可求解. 【详解】由122n n a a n n +=++，可得12112(1)1n n a a n n n n +⎛⎫-==- ⎪++⎝⎭，所以()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+11111111222*********n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭122113n n ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，所以102143105a =-=. 故选：B. 【点睛】数列的通项公式的常见求法：对于递推关系式可转化为1()n n a a f n +-=的数列，通常采用叠加法（逐差相加法）求其通项公式；对于递推关系式可转化为1()n na f n a +=的数列，并且容易求数列{()}f n 前n 项积时，通常采用累乘法求其通项公式；对于递推关系式形如1n n a pa q +=+的数列，可采用构造法求解数列的通项公式.6．A解析：A由20172021T T =得20182019202020211a a a a =，由等比数列性质得20182021201920201a a a a ==，这样可把2020a 和2021a 用q 表示出来后，可求得20202021ln ln a a ．【详解】{}n a 是正项等比数列，0n a >，0n T ≠，*n N ∈，所以由2017202120172018201920202021T T T a a a a ==⋅，得20182019202020211a a a a =，所以20182021201920201a a a a ==，设{}n a 公比为q ，1q ≠，22021201820213()1a a a q ==，2202020192020()1a a a q==，即322021a q =，122020a q =，所以1220203202121ln ln ln 123ln 3ln ln 2qa q a q q ===．故选：A ．【点睛】本题考查等比数列的性质，解题关键是利用等比数列性质化简已知条件，然后用公比q 表示出相应的项后可得结论．7．A解析：A 【分析】根据等比数列的求和公式及通项公式，可分析出答案. 【详解】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，当1q ≠时，202112021(1)01a q S q-=>-，因为20211q-与1q -同号，所以10a >，所以2131(1)0a a a q +=+>，当1q =时，2021120210S a =>，所以10a >，所以1311120a a a a a +=+=>，综上，当20210S >时，130a a +>，故选：A易错点点睛：利用等比数列求和公式时，一定要分析公比是否为1，否则容易引起错误，本题需要讨论两种情况.8．A解析：A 【分析】在{}n a 为等差数列中，当(m n p q m +=+，n ，p ，)q N +∈时，m n p q a a a a +=+．所以结合此性质可得：2202171521a a Sb b T +=+，再根据题意得到答案．【详解】解：在{}n a 为等差数列中，当(m n p q m +=+，n ，p ，)q N +∈时，m n p q a a a a +=+．所以1212202171521121121()2121()2a a a a Sb b T b b ⨯+⨯+==+⨯+⨯，又因为723n n S n T n +=+，所以22071514924a ab b +=+．故选：A ．【点睛】本题主要考查等差数列的下标和性质，属于中档题．9．A解析：A 【分析】利用等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质可得结果. 【详解】在等差数列{a n }中，由5359a a =，得()()9955115392199555952a a S a a a S a +==⨯=⨯=+ 故选：A 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n 项和，是基础题．10．B解析：B 【分析】先将函数化简为()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈，再求3a 即可. 【详解】解：∵()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭∴ 令()0f x =得：2263x k πππ-=+或22263x k πππ-=+，k Z ∈， ∴4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈， ∴ 正数零点从小到大构成数列为：12355,,,4124a a a πππ===故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的性质，数列的概念，考查数学运算求解能力，是中档题.11．A解析：A 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，可知10q -<<或01q <<，计算出111lim 1n n a S q a →∞==-，可得出q 关于1a 的表达式，结合q 的范围，可解出1a 的取值范围. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由于11lim n n S a →∞=，则10q -<<或01q <<， ()111n n a q S q-=-，则()11111lim lim11n n n n a q a S qq a →∞→∞-===--，得211q a =-. ①若10q -<<，则21110a -<-<，即2112a <<，11a >，解得1a <<； ②当01q <<，则21011a <-<，得2101a <<，11a >，则2101a <<不成立.综上所述，1a的取值范围是(. 故选A. 【点睛】本题考查利用极限求等比数列首项的取值范围，解题的关键就是得出公比与首项的关系，结合公比的取值范围得出关于首项的不等式，考查运算求解能力，属于中等题.12．D解析：D 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由11a =，418a =，可得318q =，解得q ．可得n a ．可得1124n n na a +=⨯．利用等比数列的求和公式及其数列的单调性即可得出．【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，11a =，418a =， 318q ∴=，解得12q =． 11111()()22n n n a --=⨯=．12111111()()()22224n n n n n n a a --+∴===⨯．12231211(1)111212442()2(1)144434314n n n n na a a a a a +-∴++⋯+=++⋯⋯+=⨯=-<-． 12231n n a a a a a a k +++⋯+<，23k． k ∴的取值范围是：2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．故选：D ．【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题13．【分析】记设根据即可求出从而得到再根据题意可得分参利用基本不等式即可求出实数k 的取值范围【详解】记设当时；当时当时也满足上式所以即显然当时当时因此的最大值若存在必为正值当时因为当且仅当时取等号所以的解析：,2⎛-∞ ⎝⎭【分析】记12n n n b a -=，设21212317222222n n n S a a a a n n -=+++⋅⋅⋅+=-，根据1112n n n S n b S S n -=⎧=⎨-≥⎩即可求出n b ，从而得到n a ，再根据题意可得()m 2ax 2n k a λλ-+>，分参利用基本不等式即可求出实数k 的取值范围．【详解】记12n n n b a -=，设21212317222222n n n S a a a a n n -=+++⋅⋅⋅+=-，当1n =时，117322b =-=-；当2n ≥时，()()21217171142222n n n b S n S n n n n -⎡⎤-----=-⎢⎥⎣⎦=-=．当1n =时，13b =-也满足上式，所以()*4n b n n N =-∈，即142n n n a --=．显然当3n ≤时，0n a <，40a =，当5n ≥时，0n a >，因此n a 的最大值若存在，必为正值．当5n ≥时，()1324n n a n a n +-=-，因为()151024n n a na n +--=≤-，当且仅当5n =时取等号．所以n a 的最大值为116．故()m 2ax 1126n k a λλ>=-+，变形得，3116k λλ<+，而31162λλ+≥=，当且仅当λ=时取等号，所以k <．故答案为：,2⎛-∞ ⎝⎭．【点睛】本题主要考查n S 与n a 的关系1112n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩应用，不等式恒成立问题的解法应用，以及基本不等式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．解题关键是记12n n n b a -=，设21212317222222n n n S a a a a n n -=+++⋅⋅⋅+=-，利用通项n b 与前n 项和n S 的关系1112n nn Sn b S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出通项n b ，再利用数列的单调性进而求出数列中的最大值，由基本不等式解出．14．【分析】先通过归纳得再利用等比数列求和得解【详解】由题意得归纳得则故答案为：【点睛】关键点睛：解答本题的关键在通过特殊值归纳出归纳出这个结论之后后面利用等比数列求和就迎刃而解了解析：101031-【分析】先通过归纳得()()2111233323,3330k kk k k k k f f ---=-=⨯=-=，再利用等比数列求和得解. 【详解】由题意得()()232(3)312,3330,333236f f f =-==-==-=⨯=，()4223330f =-=，归纳得()()2111233323,3330k kk k kkkf f ---=-=⨯=-=，则()()()()()()232020352019(3)333(3)333f f f f f f f f ++++=++++012100923232323=⨯+⨯+⨯++⨯()10101210091010132333323113-=⨯++++=⨯=--．故答案为：101031- 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在通过特殊值归纳出()()2111233323,3330k k k k k k k f f ---=-=⨯=-=，归纳出这个结论之后，后面利用等比数列求和就迎刃而解了.15．【分析】先根据题意得由于数列是以为首项为公比的等比数列进而利用分组求和法求和即可得答案【详解】解：由等比数列的前项和公式得由于数列是以为首项为公比的等比数列设的前项和则故答案为：【点睛】本题考查等比解析：3288n n -+-【分析】先根据题意得382nn S -=-，由于数列{}32n-是以4为首项，12为公比的等比数列，进而利用分组求和法求和即可得答案. 【详解】解：由等比数列的前n 项和公式得()13141121818211212n n n n n a q S q -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪-⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦===-=-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，由于数列{}32n-是以4为首项，12为公比的等比数列，设{}n S 的前n 项和n T ，则31412188812881212n nn nT n n n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-=--=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 故答案为：3288n n -+- 【点睛】本题考查等比数列求和，分组求和，考查运算能力，是基础题.本题解题的关键是求出382n n S -=-，再结合数列{}32n -是以4为首项，12为公比的等比数列，再次求和即可. 16．【分析】用裂项相消法求和【详解】故答案为：【点睛】本题考查裂项相消法求和数列求和的常用方法：设数列是等差数列是等比数列（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列的解析：10102021【分析】用裂项相消法求和．【详解】111111111111(1)()()1335572019202123235220192021++++=-+-++-⨯⨯⨯⨯111010(1)220212021=-=．故答案为：10102021．【点睛】本题考查裂项相消法求和．数列求和的常用方法：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法；（4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．17．【分析】根据等差数列的前n 项和公式有结合已知条件令即可得进而求【详解】∵均为等差数列令公差分别为则有∴令则有∴故答案为：【点睛】思路点睛：利用等差数列的前n 项和公式结合等差数列通项公式的特点合理假设解析：54【分析】根据等差数列的前n 项和公式有11(1)2n n n S na d -=+，12(1)2n n n T nb d -=+，结合已知条件，令122,1d d ==即可得11,a b ，进而求55a b . 【详解】∵{}{},n n a b 均为等差数列，令公差分别为12,d d ，则有11(1)2n n n S na d -=+，12(1)2n n n T nb d -=+， ∴11121222323n n S nd a d n T nd b d n +--==+-+，令122,1d d ==，则有111,22a b =-=， ∴5115124544a a db b d +==+，故答案为：54【点睛】思路点睛：利用等差数列的前n 项和公式，结合等差数列通项公式的特点合理假设即可得到数列的基本量11(1)2n n n S na d -=+，12(1)2n n n T nb d -=+，则有11121222n n S nd a d T nd b d +-=+-.结合已知233n n S n T n -=+，假设122,1d d ==，即可求11,a b . 18．15【分析】根据等差数列的前项和与等差数列的性质求解【详解】因为所以又所以故解得故答案为：15【点睛】本题考查等差数列的前项和等差数列的性质利用等差数列的性质求解可以减少计算量解析：15 【分析】根据等差数列的前n 项和与等差数列的性质求解，【详解】因为32318S a ==，所以26a =，又2311390n n n n n n a a S S a a ----=++-==，所以130n a -=.故()()12127022n n n n a a n a a S -++===，解得15n =. 故答案为：15．【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，等差数列的性质，利用等差数列的性质求解可以减少计算量．19．【分析】当时有作差可求出再验证是否成立即可得出答案【详解】当时由所以—可得所以当时所以不满足上式所以故答案为：【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法做题的关键是掌握属于中档题解析：16,12,2n n n a n +=⎧=⎨≥⎩【分析】当2n ≥时，有()12312311111211212222n n a a a a n n --+++=-+=+-，作差可求出12n n a +=，再验证1a 是否成立，即可得出答案.【详解】当2n ≥时，由123231111212222n na a a a n ++++=+, 所以()12312311111211212222n n a a a a n n --+++=-+=+-， —可得()1212122n n a n n =+--=，所以1222n n n a +⋅==，当1n =时，112132a =+=，所以16a =，不满足上式，所以16,12,2n n n a n +=⎧=⎨≥⎩. 故答案为： 16,12,2n n n a n +=⎧=⎨≥⎩【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法，做题的关键是掌握1n n n a S S -=-，属于中档题.20．【分析】直接利用递推关系式求出数列的通项公式进一步利用裂项相消法求出数列的和【详解】解：正项数列的前项和为①则②②-①得：整理得：当时解得：所以：数列是以1为首项1为公差的等差数列则所以：则：数列的解析：20212020-【分析】直接利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【详解】解：正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，22()n nn S a a n N *=+∈①，则221112n n n n n a a a a a +++=-+-②，②-①得：221112n n n n n a a a a a +++=-+-，整理得：11n n a a +-=，当1n =时，21112S a a =+，解得：11a =，所以：数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列. 则11n a n n =+-=，所以：2(1)22n n n n nS ++==. 则：()()21111121nn n n n a c S n n +⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭，数列{}n c 的前2019项的和为：201911111122320192020T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++⋅⋅⋅-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，112020=--， 20212020=-. 故答案为：20212020- 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题．三、解答题21．（1）13-=n n a ，43n b n =-；（2）9+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，. 【分析】（1）运用数列的递推式和等比数列的通项公式可得{}n a ，再由等差数列的通项公式以及等比的定义，解方程可得公差，进而得到所求通项公式；（2）利用错位相减法求出()34391223nn n T +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易得92n T <，进而可得结果. 【详解】（1）∵()*121n n a S n N+=+∈，当2n ≥时，121n n a S -=+，两式相减化简可得：13n n a a +=, 即数列{}n a 是以3为公比的等比数列，又∵24S =，∴1134a a +=，解得14a =，即13-=n n a ，设数列{}n b 的公差为d ，111b a ==，∵127,,b b b 成等比数列，∴()()21161d d ⨯+=+，解得4d =或0d =（舍去），即43n b n =-， ∴数列{}n a 和{}n b 的通项公式为13-=n n a ，43n b n =-. （2）由（1）得1433n n n n b n c a --==， ∴()0121111159433333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()12311111594333333nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得：()1212111114444333333n nn T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()13433nn ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∴()34391223nn n T +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即有92n T <恒成立， n T m <恒成立，可得92m ≥，即m 的范围是9+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，. 【点睛】一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解． 22．证明见解析. 【分析】由定义法分别结合n a 和n S 的关系分别证明充分性和必要性成立即可. 【详解】当n ＝1时，S 1＝32－t ＝9－t ，当n ≥2时，由S n ＝3n +1－t 得S n -1＝3n －t ，两式相减得a n ＝3n +1－3n ＝2·3n （n ≥2），（1）充分性已知t ＝3，此时S 1＝32－t ＝9－3＝6，令n ＝1，得a 1＝2·31＝6＝S 1，所以a n ＝2·3n （n ∈N *）所以13n na a +=，所以数列{a n }是等比数列．（2）必要性因为数列{a n }是等比数列，所以a 1＝2·31＝6，又因为S 1＝9－t ，所以9－t ＝6，所以t ＝3，综上所述：数列{a n }是等比数列的充要条件为t ＝3．【点睛】关键点睛：本题考查等比数列的判断和证明，解题的关键是利用n a 和n S 的关系得出()232n n a n =⋅≥，再根据充分必要的定义证明.23．（1）2n a n =；（2）()()123?216n n S n n n +=-+++. 【分析】（1）由已知得()()20n n a n a n -+=且0n a >，即可得通项公式.（2）由（1）有()()122122nnn n a a n n -⋅+=-⋅+，利用分组、错位相减法求n S .【详解】（1）由2220n n a na n --=得()()20n n a n a n -+=，又{}n a 为正项数列，∴2n a n =．（2）由（1）知()()122122nnn n a a n n -⋅+=-⋅+，令n T 为数列(){}212nn -⋅的前n 项和，则()123123252212n nTn =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，∴()23412123252212n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，两式相减，得()123112222222212nn n T n +-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--⨯，所以()()2112212221212n n nT n ++⨯⨯--=+--⨯-，所以()12326n n T n +=-⨯+，令n B 为数列{}2n 的前n 项和，则()()1212n n n B n n +=⨯=+，所以()()123216n n n n S T B n n n +=+=-⨯+++．【点睛】关键点点睛：（1）由已知方程，将n a 作为未知数求正解，即为数列通项公式. （2）将所得数列分为(){}212nn -⋅、{}2n 两组分别求和，应用错位相减、等差数列前n项和公式求n S . 24．（1）12n n a ；（2）12n n T n +=⋅．【分析】（1）由1(2)n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 是等比数列，（先求出10a ≠），可得通项公式；（2）由（1）得n b ，用错位相减法求和．【详解】解：（1）当1n =时，1112S a +=，解得11a =．因为21n n S a =-，①所以当2n ≥时，1121n n S a --=-，②①-②得，1122n n n n S S a a ---=-，所以12n n a a -=．故数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，其通项公式为12n n a ．（2）由题知，(1)2nn b n =+⋅，所以123223242(1)2nn T n =⨯+⨯+⨯+⋯++，③23412223242(1)2n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋯++，④③-④得，()123122222(1)2nn n T n +-=++++⋯+-+()112122(1)2212n n n n n ++⨯-=+-+=-⋅-．所以12n n T n +=⋅．【点睛】方法点睛：本题考查求等比数列的通项公式，考查错位相减法求和．数列求和的常用方法：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组（并项）求和法；（5）倒序相加法．25．（1）2nn a =；（2）1(1)222n n n n T ++=+-．【分析】（1）利用公式11,1=,2n n n S n a S S n -=⎧⎨-≥⎩求{}n a 的通项公式；（2）由题得2nn b n =+，再利用分组求和求数列{}n b 的前n 项和n T ．【详解】解：（1）∵点(),n n a S 在直线22y x =-上，n *∈N ， ∴22n n S a =-．当1n =时，1122a a =-，则12a =，当2n 时，22n n S a =-，1122n n S a --=-．两式相减，得122n n n a a a -=-，所以12n n a a -=．所以{}n a 是以首项为2，公比为2等比数列，所以2nn a =．（2）2nn b n =+，()23(123)2222n n T n =+++⋯++++++，所以1(1)222n n n n T ++=+-．【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法.要根据数列的通项特征选择合适的方法求解. 26．（1）12n a n =；（2）证明见解析. 【分析】（1）212n n n S a a =+，*n N ∈．2n 时，利用1n n n a S S -=-，及其等差数列的通项公式即可得出．（2）11b =，12(2)n n n b b a n n --==，利用112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-+⋯⋯+-+，及其裂项求和方法即可得出n T ．进而证明结论．【详解】解：（1）①当1n =时，得211112S a a =+，211112a a a ∴=+ ∴112a =或0（舍去）； ②当2n ≥时，211112n n n S a a ---=+， ∴221111122n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-- 221111022n n n n a a a a --∴---= ()()()111102n n n n n n a a a a a a ---∴-+-+= ()11102n n n n a a a a --⎛⎫∴+--= ⎪⎝⎭. 又∵{}n a 各项为正， ∴1102n n a a ---=，112n n a a -∴-= ∴{}n a 为首项是12，公差是12的等差数列， ∴()1112n a a n d n =+-=. （2）由题得，1n n b b n --=121n n b b n --∴-=-┇323b b ∴-=212b b ∴-=，所有式子相加，得1231n b b n n -=++⋅⋅⋅+-+()()212222n n n n -++-==. 又∵11b =，∴22n n n b +=， ∴()212211211n b n n n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭， ∴111111212231n T n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭ 1221211n n ⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭. 又∵10n +>，∴2n T <.【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．。

宁波市选修二第一单元《数列》测试(含答案解析)

一、选择题1．在各项为正的递增等比数列{}n a 中，12664a a a =，13521a a a ++=，则n a =（） A ．12n +B ．12n -C ．132n -⨯D ．123n -⨯2．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题，其中正确的命题的个数是（）①若100S =，则280S S +=；②若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；③若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大；④若78S S <，则89S S <．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（） A ．3(4)f x x =+B ．2()4f x x =C ．3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4()log f x x =4．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，数列{}n b 满足1111n n nb a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（） A ．1B ．2C ．3D ．45．已知无穷等比数列{}n a 的各项的和为3，且12a =，则2a =（） A ．13B ．25C ．23D ．326．设数列{}n a 满足122,6,a a ==且2122n n n a a a ++-+=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则121024102410241024a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦（） A ．1022 B ．1023 C ．1024 D ．10257．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3()(),(1)32f x f x f -=-=，数列{}n a 满足11a =，且21n nS a n n=-，(n S 为{}n a 的前n 项和，*)n N ∈，则56()()f a f a +=（）A ．1B ．3C ．-3D ．08．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若1611a a a ⋅⋅=-16117b b b π++=，则3948tan1b b a a +-⋅的值是（）A ．3- B．1- C ．33-D ．39．删去正整数1，2，3，4，5，…中的所有完全平方数与立方数（如4，8），得到一个新数列，则这个数列的第2020项是（） A ．2072B ．2073C ．2074D ．207510．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若130S >，140S <，则n S 取最大值时n 的值为（） A ．6B ．7C ．8D ．1311．在等差数列{}n a 中，若12336a a a ++=，11121384a a a ++=，则59a a +=（） A ．30B ．35C ．40D ．4512．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，25a =，535S =.数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若对一切n ∈+N 都有21n m T +>恒成立，则m 能取到的最小整数为（）A ．1-B ．0C ．1D ．2二、填空题13．数列{}n a 的前n 项和是11,1,0,31n n n n n S a a S a a +=≠=+，若2020k a =，则k =______.14．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，满足212n n n a a S +=，且0n a >，则64S =____．15．数列{}n a 的前n 项和n S 满足22n n S a =-，则数列{}n a 的通项公式n a =______.16．已知：等比数列{}n a 的前n 项和23nn S a =⋅-，则5a =______．17．如图所示，正方形ABCD 的边长为5cm ，取正方形ABCD 各边的中点,,,E F G H ，作第2个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的中点,,,I J K L ，作第3个正方形IJKL ，依此方法一直继续下去.如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于___2cm ？18．已知等差数列{} n a 的前n 项和为n S ，若1100OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则100S =____________.19．定义：称12nn p p p +++为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若数列{a n }的前n项的“均倒数”为121n -，则数列{a n }的通项公式为a n =_________. 20．已知首项为1a ，公比为q 的等比数列{}n a 满足443210q a a a ++++=，则首项1a 的取值范围是________.参考答案三、解答题21．诺贝尔奖每年发放一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类做出最有贡献人．每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增．资料显示：1998年诺贝尔奖发奖后的基金总额(即1999年的初始基金总额)已达19516万美元，基金平均年利率为 6.24%r =．（1）求1999年每项诺贝尔奖发放奖金为多少万美元(精确到0.01)；（2）设n a 表示()1998n +年诺贝尔奖发奖后的基金总额，其中*n N ∈，求数列{}n a 的通项公式，并因此判断“2020年每项诺贝尔奖发放奖金将高达193.46万美元”的推测是否具有可信度．22．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()*231n n S a n N =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()()111nn n n a b a a +=--，n T 是数列{}n b 的前n 项和，若对任意的*n ∈N ，不等式141n k T n >-+都成立，求实数k 的取值范围. 23．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，162a a +=，40a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及相应的n 的值. 24．对于任意的*n N ∈，数列{}n a 满足1212121212121n n a n a a n ---++⋅⋅⋅+=++++. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是各项均为正数的等比数列，14a b =，______，28b =，1334b b -=，是否存在正整数k ，使得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前k 项和34kT ≥，若存在，求出k 的最小值；若不存在，说明理由.从①420S =，②332S a =，③3423a a b -=这三个条件中任选一个补充到上面问题中并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）26．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n a s 在直线22y x =-，上n *∈N ．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】设其公比为q ，由等比数列通项公式得34a =，进而得2333221a a a q q++=，解得2q =±或12q =±，再根据数列单调性即可得2q ，进而得12n na【详解】{}n a 为等比数列，设其公比为q ，()3362312611364a a a a q a q a ∴====，则34a =，13521a a a ∴++=，2333221a a a q q∴++=，即2244421q q++=，解得2q =±或12q =±，又{}n a 各项为正且递增，2q ∴=，3313422n n n n a a q ---∴==⨯=．故选：B ．【点睛】本题解题的关键是先根据题意得34a =，进而将13521a a a ++=转化为2333221a a a q q++=求q ，考查运算求解能力，是中档题. 2．B解析：B 【分析】①②③根据条件可分析数列是首项为正数，公差小于0的等差数列，所以存在*n N ∈，使10n n a a +≥⎧⎨≤⎩，再结合等差数列的前n 项和公式判断选项；④利用公式1n n n S S a --=()2n ≥，判断选项.【详解】 ①若100S =，则()()110561010022a a a a ++==，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以50a >，60a <，那么()()()()18281212458402a a S S a a a a a a ++=++=+++>，故①不成立； ②若412S S =，则()124561289...40S S a a a a a -=+++=+=，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以80a >，90a <，()115158151502a a S a +==>，()()11689161616022a a a a S ++===，则使0n S >的最大的n 为15，故②成立；③()115158151502a a S a +==>，()()116168916802a a S a a +==+<，则90a <，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以{}n S 中的最大项是8S ，故③正确； ④若78S S <，则8780S S a -=>，但989S S a -=，不确定9a 的正负，故④不正确. 故选：B 【点睛】方法点睛：一般等差数列前n 项和的最值的常用方法包含：1.单调性法，利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，便可求得等差数列前n 项和的最值；2.利用二次函数的性质求最值，公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和2n S An Bn =+（,A B 为常数）为关于n的二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题.3．D解析：D 【分析】把点列代入函数解析式，根据{x n }是等比数列，可知1n nx x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数，可判断出{y n }是等差数列．【详解】对于A ，函数3(4)f x x =+上的点列{x n ，y n }，有y n ＝43n x +，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于B ，函数2()4f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝24n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝()222214441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于C ，函数3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ，y n }，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝133()()44n nx x +-＝33()()144n q x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于D ，函数4()log f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝4log n x，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝114444log log log log n n n nx x x x q ++-==为常数，故{y n }是等差数列；故选：D ．【点睛】方法点睛：判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法.4．B解析：B 【分析】由题意可得221114n na a +-=，运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-，求得14n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果【详解】解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得221114n na a +-=，所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，所以2114(1)43n n n a =+-=-，因为0n a >，所以n a =，所以1111n n nb a a +=+=所以14n b ==，所以201220T b b b =++⋅⋅⋅+111339(91)244=++⋅⋅⋅+=⨯-=，故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和，解题的关键是由已知条件得221114n n a a +-=，从而数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，进而可求n a =，14nb ==，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题5．C解析：C 【分析】设等比数列的公比为q ，进而根据题意得()21lim lim31n n n n q S q→+∞→+∞-==-，且()0,1q ∈，从而解得13q =，故223a =【详解】解：设等比数列的公比为q ，显然1q ≠，由于等比数列{}n a 中，12a = 所以等比数列{}n a 的前n 项和为：()()112111n n n a q q S qq--==--，因为无穷等比数列{}n a 的各项的和为3，所以()21lim lim31n n n n q S q→+∞→+∞-==-，且()0,1q ∈，所以231q =-，解得13q =，所以2123a a q ==. 故选：C. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意将问题转化为()21lim lim31n n n n q S q→+∞→+∞-==-，且()0,1q ∈，进而根据极限得13q =，考查运算求解能力，是中档题. 6．B解析：B 【分析】由2122n n n a a a ++-+=变形得()2112n n n n a a a a +++---=，令1n n n b a a +=-，可得n b 为等差数列，求得{}n b 通项进而求得{}n a 通项，结合裂项公式求1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和，再由最大整数定义即可求解【详解】由()12121222n n n n n n n a a a a a a a +++++--=-+⇒=-，设1n n n b a a +=-，则12n nb b ，{}n b 为等差数列，1214b a a =-=，公差为2d =，故22=+n b n ，112n n n b n a a --==-，()1221n n a a n ---=-，，2122a a -=⨯，叠加得()()121n a a n n -=+-，化简得2n a n n =+，故()111111n a n n n n ==-++，所以 1210241024102410241111111024110241223102410251025a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++=⨯-+-++-=⨯-⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1024102410231025⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦ 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查构造数列的使用，等差通项的求解，叠加法求前n 项和，裂项公式求前n 项和，新定义的理解，综合性强，常用以下方法：（1）形如()1n n a a f n --=的数列，常采用叠加法求解；（2）常见裂项公式有：()11111n n n n =-++，()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭7．C解析：C 【分析】判断出()f x 的周期，求得{}n a 的通项公式，由此求得56()()f a f a +. 【详解】依题意定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3()()2f x f x -=，所以()333332222f x f x f x fx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=---=--=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()()32f x f x f x ⎛⎫=---=--= ⎪⎝⎭，所以()f x 是周期为3的周期函数.由21n n S a n n=-得2n n S a n =-①，当1n =时，11a =，当2n ≥时，()1121n n S a n --=--②，①-②得11221,21n n n n n a a a a a --=--=+（2n ≥），所以21324354213,217,2115,2131a a a a a a a a =+==+==+==+=，652163a a =+=.所以56()()f a f a +=()()()()()()()316331013211013f f f f f f f +=⨯++⨯=+=--=-故选：C 【点睛】如果一个函数既是奇函数，图象又关于()0x a a =≠对称，则这个函数是周期函数，且周期为4a .8．A解析：A 【分析】由等比数列和等差数的性质先求出39b b +和48a a ⋅的值，从而可求出3948tan 1b b a a +-⋅的值【详解】解：因为数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，1611a a a ⋅⋅=-16117b b b π++=，所以36a =-，637b π=，所以6a =673b π=，所以3961423b b b π+==，24863a a a ⋅==，所以39481473tan tan tan()tan(2)tan 113333b b a a πππππ+==-=-+=-=-⋅-，故选：A 【点睛】此题考查等差数列和等比数列的性质的应用，考查三角函数求值，属于中档题9．C解析：C 【分析】由于数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯共有2025项，其中有45个平方数，12个立方数，有3个既是平方数，又是立方数的数，所以还剩余20254512+31971--=项，所以去掉平方数和立方数后，第2020项是在2025后的第()20201971=49-个数，从而求得结果. 【详解】∵2452025=，2462116=，20202025<，所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉45个平方数，因为331217282025132197=<<=，所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉12个立方数，又66320254<<，所以在从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中有3个数即是平方数，又是立方数的数，重复去掉了3个即是平方数，又是立方数的数，所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉平方数和立方数后还有20254512+31971--=项，此时距2020项还差2020197149-=项，所以这个数列的第2020项是2025492074+=，故选：C. 【点睛】本题考查学生的实践创新能力，解决该题的关键是找出第2020项的大概位置，所以只要弄明白在数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯去掉哪些项，去掉多少项，问题便迎刃而解，属于中档题.10．B解析：B 【解析】分析：首先利用求和公式，根据题中条件130S >，140S <，确定出780,0a a ><，从而根据对于首项大于零，公差小于零时，其前n 项和最大时对应的条件就是10n n a a +≥⎧⎨≤⎩，从而求得结果.详解：根据130S >，140S <，可以确定11371147820,0a a a a a a a +=>+=+<，所以可以得到780,0a a ><，所以则n S 取最大值时n 的值为7，故选B.点睛：该题考查的是有关等差数列的前n 项和最大值的问题，在求解的过程中，需要明确其前n 项和取最大值的条件10n n a a +≥⎧⎨≤⎩，之后就是应用题的条件，确定其相关项的符号，从而求得结果.11．C解析：C 【分析】利用等差数列性质，若++m n p q ＝，则++m n p q a a a a ＝及等差中项公式可求. 【详解】因为 12336a a a ++=，由等差中项公式，得2336a =，同理11121384a a a ++=，得12384a =，2123+3=81036+42a a ∴=．212+=40a a ∴ 21529+=40a a a a ∴+=故选：C ．【点睛】本题考查等差数列性质与等差中项公式.（1）如果{}n a 为等差数列，若++m n p q ＝，则++m n p q a a a a ＝ ()*m n p q N ∈，，，．（2）{}n a 为等差数列，则有11n n n a a a ＝2-++.12．B解析：B 【分析】根据25a =，535S =求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出数列的和，然后由21n m T +>恒成立求解.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，25a =，535S =. 设首项为1a ，公差为d ，所以115545352a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，故32(1)21n a n n =+-=+，所以111111()·(21)(23)22123n n a a n n n n +==-++++，所以11111111111()()23557212323236n T n n n =-+-+⋯+-=-<+++. 因为对于一切n ∈+N 都有21n m T +>恒成立，所以1216+m ，解得512≥-m ，故m 的最小整数为0. 故选：B . 【点睛】本题主要考查数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，还考查了运算和求解的能力，属于中档题.二、填空题13．1347【分析】当时则两式相减得到得到代入数据计算得到答案【详解】解：当时当时由则两式相减得到因为故数列的奇数项为以为首项3为公差的等差数列；偶数项为以为首项3为公差的等差数列；所以当为奇数时成立；解析：1347 【分析】当2n ≥时131n n n S a a +=+则1131n n n S a a --=+，两式相减得到113n n a a +--=，得到31,2231,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数，代入数据计算得到答案. 【详解】解：当1n =时，2112312S a a a =+∴=当2n ≥时，由131n n n S a a +=+则1131n n n S a a --=+，两式相减得到()113n n n n a a a a +-=- 因为0n a ≠113n n a a +-∴-=，故数列的奇数项为以1为首项，3为公差的等差数列；偶数项为以2为首项，3为公差的等差数列；所以31,2231,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数当k 为奇数时，202013473122k a k k ==-=∴，成立；当k 为偶数时，404220203312k a k k ∴==-=，不成立；故答案为：1347 【点睛】本题考查了数列的通项公式，灵活运用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩是解题的关键.14．8【分析】由与的关系化简结合等差数列的定义得出数列是等差数列进而求出【详解】当时当时由题意可知整理得所以数列是以为首项为公差的等差数列则故答案为：【点睛】解决本题的关键是由与的关系对化简结合等差数列解析：8 【分析】由n S 与n a 的关系化简212n n n a a S +=，结合等差数列的定义得出数列{}2n S 是等差数列，进而求出2n S n =，【详解】当1n =时，111S a ==当2n ≥时，由题意可知()()21112n n n n n S S S S S ---+=-，整理得2211n n S S --=所以数列{}2n S 是以1为首项，1为公差的等差数列，则2n S n =64264S ∴=，0n a >，648S ∴=故答案为：8 【点睛】解决本题的关键是由n S 与n a 的关系对212n n n a a S +=化简，结合等差数列的定义进行求解.15．【分析】本题首先可根据得出然后令求出的值最后根据等比数列的定义即可得出结果【详解】因为所以则即当时解得故数列是首项为公比为的等比数列故答案为：【点睛】思路点睛：已知求的一般步骤：（1）当时由求的值；解析：2n【分析】本题首先可根据22n n S a =-得出()122n n a a n -=≥，然后令1n =，求出1a 的值，最后根据等比数列的定义即可得出结果.【详解】因为22n n S a =-，所以()11222n n S a n --=-≥，则()112222n n n n n a S S a a --=-=---，即()122n n a a n -=≥，当1n =时，11122S a a ==-，解得12a =，故数列{}n a 是首项为2、公比为2的等比数列，2nn a =，故答案为：2n . 【点睛】思路点睛：已知n S 求n a 的一般步骤：（1）当1n =时，由11a S =，求1a 的值；（2）当2n ≥时，1n n n a S S -=-，求得n a 的表达式；（3）检验1a 的值是否满足（2）中n a 的表达式，若不满足则分段表示n a ，（4）写出n a 的完整的表达式.16．48【分析】由求出结合等比数列求得值从而可得【详解】由题意时又是等比数列所以解得所以故答案为：48【点睛】易错点睛：由前项和求时要注意中有不包括而解题时要注意否则易出错解析：48 【分析】由n S 求出n a ，结合等比数列求得a 值，从而可得5a ．【详解】由题意2n ≥时，11123(23)2n n n n n n a S S a a a ---=-=⋅--⋅-=⋅，又1123a S a ==-，{}n a 是等比数列，所以32222223a a aa a a ===-．解得3a =．所以453248a =⨯=．故答案为：48．【点睛】易错点睛：由前n 项和n S 求n a 时，要注意1n n n a S S -=-中有2n ≥，不包括1a ，而11a S =，解题时要注意，否则易出错．17．50【分析】根据题意正方形边长成等比数列正方形的面积等于边长的平方可得代入求出的通项公式然后根据等比数列的前n 项和的公式得到的和即可求解【详解】记第1个正方形的面积为第2个正方形的面积为第n 个正方形解析：50 【分析】根据题意，正方形边长成等比数列，正方形的面积等于边长的平方可得2n n S a =，代入求出n S 的通项公式，然后根据等比数列的前n 项和的公式得到123n s S S S +++⋯+的和即可求解. 【详解】记第1个正方形的面积为1S ，第2个正方形的面积为2S ，⋯，第n 个正方形的面积为n S ，设第n 个正方形的边长为n a ,则第nn ，所以第n +1个正方形的边长为1n n a +=，1n n a a +∴=，即数列{n a }是首项为15a =的等比数列，152n n a -∴=⋅，数列{n S }是首项为125S =，公比为12的等比数列， 123125(1)1250(1)1212n n nS S S S -+++⋯+==⋅-∴-，所以如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于50, 故答案为：5018．【分析】先证明出当三点共线（该直线不过原点）且时可得出然后利用等差数列的求和公式可求得的值【详解】当三点共线（该直线不过原点）时则与共线则存在使得即可得因为且三点共线（该直线不过原点）则由等差数列求解析：50【分析】先证明出当A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ）且OB xOA yOC =+时，1x y +=，可得出11001a a +=，然后利用等差数列的求和公式可求得100S 的值.【详解】当A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ）时，则AB 与AC 共线，则存在R λ∈，使得AB AC λ=，即()OB OA OC OA λ-=-，可得()1OB OA OC λλ=-+，OB xOA yOC =+，()11x y λλ∴+=-+=，因为1100OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则11001a a +=，由等差数列求和公式可得()110010010010015022a a S +⨯===.故答案为：50. 【点睛】本题考查等差数列求和，同时也考查了平面向量三点共线结论的推导与应用，考查计算能力，属于中等题.19．4n －3【解析】分析：由题意结合新定义得到数列的前n 项和公式然后求解数列的通项公式即可详解：设数列的前n 项和为由题中的新定义可知：则：当时当时且时则数列的通项公式为：点睛：新定义主要是指即时定义新概解析：4n －3. 【解析】分析：由题意结合新定义得到数列的前n 项和公式，然后求解数列的通项公式即可. 详解：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，由题中的新定义可知：121n n S n =-，则：()2212n S n n n n =-=-，当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()()()221221143n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦，且1n =时，1431n a -==，则数列{}n a 的通项公式为：43n a n =-.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.20．【分析】利用等比数列通项公式可整理已知等式得到令可得到由函数的单调性可求得的取值范围【详解】由得：令则在上单调递减；在上单调递减；综上所述：的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查函数值域的求解问题涉解析：[)2,2,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦【分析】利用等比数列通项公式可整理已知等式得到211211q q a q q⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-++，令1t q q =+可得到1111a t t =-+++，由函数的单调性可求得1a 的取值范围. 【详解】由443210q a a a ++++=得：43211110q a q a q a q ++++=，224213211211111q q q q q a q q q q q q q⎛⎫+-+ ⎪+⎝⎭∴=-=-=-++++++. 令(][)1,22,t q q=+∈-∞-+∞，则()()2211211211111t t t a t t t t +-+--=-=-=-+++++，111t t -+++在(],2-∞-上单调递减，12112a ∴≥+-=；111t t -+++在[)2,+∞上单调递减，1122133a ∴≤-++=-；综上所述：1a 的取值范围为[)2,2,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦.故答案为：[)2,2,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查函数值域的求解问题，涉及到等比数列通项公式的应用；关键是能够将1a 表示为关于q 的函数，利用分离常数法可确定函数的单调性，进而利用函数单调性求得函数的最值，从而得到所求的取值范围.三、解答题21．（1）101万美元；（2）()1201251 3.12%n n a -=⋅+；该推测具有可信度．【分析】（1）由题意可得1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为()1195161 6.24%19516 6.24%2⨯+-⨯⨯，即可求解；（2）由题意知{}n a 是以1999年诺贝尔奖发奖后基金总额120125a =为首项，公比为1 3.12%q =+的等比数列，即可得{}n a 的通项公式，计算2019年诺贝尔奖发奖后基本总额为21a ，比较后即可判断. 【详解】（1）由题意得1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为()1195161 6.24%19516 6.24%20124.8992201252⨯+-⨯⨯=≈万美元，每项诺贝尔奖发放奖金为1119516 6.24%101.483210162⎛⎫⨯⨯⨯=≈ ⎪⎝⎭万美元；（2）由题意得120125a =，()()211111 6.24% 6.24%1 3.12%2a a a a =⋅+-⋅⋅=⋅+，()()()23222111 6.24% 6.24%1 3.12%1 3.12%2a a a a a =⋅+-⋅⋅=⋅+=⋅+…所以()1201251 3.12%n n a -=⋅+，2019年诺贝尔奖发奖后基本总额为()2021201251 3.12%a =⋅+， 2020年每项诺贝尔奖发放奖金为21116.24%193.4662a ⨯⨯⨯≈万美元，故该推测具有可信度．【点睛】关键点点睛：本题的关键点是理解题意，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，结合1999年的初始基金总额19516即可求1999年每项诺贝尔奖发放奖金，结合题意()1201251 3.12%n n a -=⋅+，求出()2021201251 3.12%a =⋅+即可估算2020年每项诺贝尔奖发放奖金，进而可推断是否具有可信度．22．（1）3nn a =；（2）1,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【分析】（1）由1(2)n n n a S S n -=-≥得出n a 的递推关系，结合1a 得{}n a 等比数列，从而得通项公式；（2）用裂项相消法求得和n T ，不等式可变形为()11231n n k -+>-，令()11()231n n f n ++=-，再用作差法得出()f n 的单调性，得最大项，从而得k 的取值范围．【详解】（1）因为数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()231n n S a n N *=-∈，所以当2n ≥时，()11231n n S a --=-，两式相减得：1233n n n a a a -=-，即13(2)nn a a n ，又1n =时，()11231S a =-，解得：130a =≠，所以数列{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，从而3nn a =（2）由（1）知：()()()()113113131nn n n n n n a b a a ++==----111123131n n +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，所以，12n n T b b b =+++1223111111112313131313131n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11112231n +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，对任意的n *∈N ，不等式141n kT n >-+都成立，即11111223141n k n +⎛⎫->- ⎪-+⎝⎭，化简得：()11231n n k -+>-，令()11()231n n f n ++=-，因为()()()()1211221(21)31(1)()023*********n n n n n n n n f n f n +++++++--⋅-+-=-=<---⋅-，故()f n 单调递减，所以max 1[()](1)8f n f ==，故18k >，所以，实数k 的取值范围是1,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：本题考查求等比数列的通项公式，考查裂项相法法求和，数列不等式恒成立问题．数列求和方法有：公式法，错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法，倒序相加法等，用作差法确定数列的单调性求出数列的最大（小）项是求数列最值的常用方法． 23．（1）28n a n =-+；（2）当3n =或4时，n S 最大，最大值为12. 【分析】（1）本题首先可设公差为d ，然后根据162a a +=得出1252a d +=，根据40a =得出130a d +=，最后通过计算即可求出d 、1a 的值以及数列{}n a 的通项公式；（2）本题首先可根据0d <得出数列{}n a 是递减数列，然后根据当4n >时0n a <以及当04n <<时0n a >即可求出n S 的最大值.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为162a a +=，所以1252a d +=，因为40a =，所以130a d +=，联立1125230a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得2d =-，16a =，故62128na n n .（2）因为数列{}n a 是等差数列，20d =-<，所以数列{}n a 是递减数列，因为40a =，当4n >时，0n a <；当04n <<时，0n a >，所以当3n =或4时，n S 取最大值，()()34441462122S S ⨯-==⨯+⨯-=.【点睛】方法点睛：求数列通项公式的常见方法有：公式法、n S 与n a 关系法、累加法、累乘法、构造法，考查计算能力，是中档题.24．（1）7,121,2n n n a n n =⎧=⎨++≥⎩；（2）217,1322,22n n n S n n n +=⎧⎪=⎨+++≥⎪⎩. 【分析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得结果；（2）当1n =时，117S a ==，当2n ≥时，分组后利用等差等比数列的求和公式可求得结果. 【详解】（1）1212121212121n n a n a a n ---++⋅⋅⋅+=++++①，当2n ≥时，得()112121112212121n n a n a a n ------++⋅⋅⋅+=+++②. ①-②得121n na n-=+，∴()212n n a n n =++≥，又11112721a a -=⇒=+不满足上式，综上得7,121,2n nn a n n =⎧=⎨++≥⎩. （2）当1n =时，117S a ==，当2n ≥时，23722123121nn S n =++++++++++()()()()212121271122n n n n ---+=+++--213222n n n +++=+，综上得，217,1322,22n n n S n n n +=⎧⎪=⎨+++≥⎪⎩. 【点睛】易错点点睛：第一问利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求通项公式时，容易忽视1n =的情况造成错误；第二问求和是也容易忽视1n =的情况.25．答案见解析【分析】设等比数列{}n b 的公比为(0)q q >，将13,b b 用2,b q 表示，建立q 的方程，求解得出4b ，即为1a ，选①或②或③，均可求出等差数列的公差，进而求出n S ，从而得出1nS ，最后利用裂项相消法求出1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前k 项和k T ，然后求解不等式34k T ≥，即可求出k 的最小值. 【详解】解：由题可知，28b =，1334b b -=，设等比数列{}n b 的公比为q （0q >），则218b b q q ==，328b b q q ==，于是8384q q -⨯=，即2620q q +-=，解得：12q =，23q =-（舍去），所以22421822b b q ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，若选①：则142a b ==，420S =，则41434202S a d ⨯=+=，解得2d =，所以()21222n n n S n n n -=+⨯=+，则()111111n S n n n n ==-++，于是121111111111122311k k T S S S k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 令13114k -≥+，解得：3k ≥，因为k 为正整数，所以k 的最小值为3；若选②：则142a b ==，332S a =，则()311323222S a d a d ⨯=+=+，解得：12a d ==，下同①；若选③：则142a b ==，3423a a b -=，则()()113238a d a d +-+=，解得：43d =，于是()2142422333n n n S n n n -=+⨯=+，则()1313112242n S n n n n ⎛⎫=⨯=- ⎪++⎝⎭，于是3111111114324112k T k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 311114212k k ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭93118412k k ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭，令34k T ≥，即9311384124k k ⎛⎫-+≥ ⎪++⎝⎭，得111122k k +≤++，得240k k --≥，所以12k +≥或12k ≤，又因为k 为正整数，解得：3k ≥，所以k 的最小值为3.【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的基本量的计算、等差数列的前n 项和以及利用裂项相消法求数列和，解题的关键在于熟练掌握等差等比和数列相关公式以及裂项相消法求和，考查计算求解能力.26．（1）2n n a =；（2）1(1)222n n n n T ++=+-．【分析】（1）利用公式11,1=,2n nn S n a S S n -=⎧⎨-≥⎩求{}n a 的通项公式；（2）由题得2n n b n =+，再利用分组求和求数列{}n b 的前n 项和n T ．【详解】解：（1）∵点(),n n a S 在直线22y x =-上，n *∈N ，∴22n n S a =-．当1n =时，1122a a =-，则12a =，当2n 时，22n n S a =-，1122n n S a --=-．两式相减，得122n n n a a a -=-，所以12n n a a -=．所以{}n a 是以首项为2，公比为2等比数列，所以2n n a =．（2）2n n b n =+，()23(123)2222n n T n =+++⋯++++++，所以1(1)222n n n n T ++=+-．【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法.要根据数列的通项特征选择合适的方法求解.。

高考数学数列单元测试卷及答案试题

(3)设Sn是数列{an}的前n项和，当n≥2时，Sn与(n＋ )a是否有确定的大小关系？假设有，请加以证明，假设没有，请说明理由．
(文)P1(a1，b1)，P2(a2，b2)，…，Pn(an，bn)(n∈N*)都在函数y＝log x的图象上．
(1)假设数列{bn}是等差数列，求证数列{an}是等比数列；
三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分)
17．(本小题满分是10分)数列{an}是首项a1＝4的等比数列，且S3，S2，S4成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log2|an|，Tn为数列{ }的前n项和，求Tn.
解：(1)当q＝1时，S3＝12，S2＝8，S4＝16，不成等差数列．
∴n0＝2021或者(huòzhě)2021.
(文)(1)∵an＋1－2an＝0，
∴a3＝2a2，a4＝2a3，又a3＋2是a2、a4的等差中项，
∴a1＝2，a2＝4，
∴数列(shùliè){an}是以2为首项，2为公比的等比数列(děnɡ bǐ shù liè)，那么
an＝2n.
(2)∵Sn＝2n＋1－2，又bn＝log2(Sn＋2)，∴bn＝n＋1.
12．数列{an}满足an＋1＝＋，且a1＝，那么该数列的前2021项的和等于()
A. B．3015
C．1005D．2021
答案：A
解析：因为a1＝，又an＋1＝＋，所以a2＝1，
从而(cóng ér)a3＝，a4＝1，
即得an＝，故数列(shùliè)的前2021项的和等于S2021＝1005(1＋ )＝ .应选(yīnɡ xuǎn)A.
3．设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，那么等于()

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一、数列的概念选择题 1．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（）

A．184 B．174 C．188 D．160 2．已知数列{}na满足1nnnaa，则20201aa（） A．20201010 B．20191010 C．20202020 D．

20192019

3．已知数列{}na的前n项和为*22nnSnN，则3a( ) A．10 B．8 C．6 D．4 4．已知数列1,3,5,,21,n，则21是这个数列的（） A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第21项

5．数列na满足111nnaa，12a，则2a的值为（）

A．1 B．-1 C．13 D．

3

6．数列na满足 112a，111nnaa，则2018a等于( ) A．12 B．－1 C．2 D．3 7．若数列的前4项分别是1111,,,2345，则此数列的一个通项公式为（） A．1(1)nn B．(1)nn C．1(1)1nn D．

(1)1nn



8．若数列na满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有1nnaa成立，则称数列

na为周期数列，周期为T．

已知数列na满足111,10,{1,01nnnnnaaammaaa ，则下列结论错误的是（） A．若34a，则m可以取3个不同的数；

B．若2m，则数列na是周期为3的数列；

C．存在mQ，且2m，数列na是周期数列； D．对任意TN且2T，存在1m，使得na是周期为T的数列．

9．已知数列na满足1221nnnaaa，nN，若1102a，则（） A．8972aaa B．

9108

2aaa

C．6978aaaa D．

71089

aaaa

10．已知数列{an}满足112,0,2121,1.2nnnnnaaaaa若a1=35,则a2019 = ( ) A．15 B．25 C．35 D．

11．数列na前n项和为nS，若21nnSa，则72019aS的值为（） A．2 B．1 C．0 D．

1

12．若数列{an}满足1112,1nnnaaaa，则2020a的值为（）

A．2 B．－3 C．12 D．

13．已知数列na的前n项和为nS，若*1nSnNn，，则2a（）

A．12 B．16 C．16 D．

14．已知数列265nann则该数列中最小项的序号是（） A．3 B．4 C．5 D．6 15．已知数列na满足：11a，145nnaa，则na（）

A．85233n B．

185233n

C．85433n D．

185433n

16．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……则此数列的第40项为（）．

A．648 B．722 C．800 D．882 17．公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…满足21(1),nnnaaan那么

24620201aaaa=（）

A．2021a B．2022a C．2023a D．

2024

a 18．数列na满足：12a，111nnnaaa*nN其前n项积为nT，则2018T（） A．6 B．16 C．16 D．

19．已知数列na的前n项和为nS，已知13nnS，则34aa（） A．81 B．243 C．324 D．216

20．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（） A．174 B．184 C．188 D．160 二、多选题

21．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组

成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是（） A．a8＝34 B．S8＝54 C．S2020＝a2022－1 D．a1＋a3＋a5＋…＋

a2021＝a2022

22．(多选题)已知数列na中，前n项和为nS，且23nnnSa，则1nnaa的值不可能为

（） A．2 B．5 C．3 D．4 23．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为Fn，则Fn的通项公式为（）

A．

(1)1()2nnFn

B．11,2FnFnFnn且

11,21FF

C．



11515225nnFn





D．



11515225nnFn





24．已知等差数列na的前n项和为nS，公差为d，且35a，73a，则（）

A．12d B．12d C．918S D．

936S 25．首项为正数，公差不为0的等差数列na，其前n项和为nS，则下列4个命题中正确的有（） A．若100S，则50a，60a；

B．若412SS，则使0nS的最大的n为15；

C．若150S，160S，则nS中7S最大；

D．若89SS，则78SS. 26．已知等差数列{}na的前n项和为,nS且15110,20,aaa则（）

A．80a B．当且仅当n= 7时，nS取得最大值

C．49SS D．满足0nS的n的最大值为12 27．等差数列na中，nS为其前n项和，151115,aSS，则以下正确的是（） A．

1d

B．

413

aa

C．nS的最大值为

D．使得0nS的最大整数

15n

28．设na是等差数列，nS是其前n项和，且56678,SSSSS，则下列结论正确的是（） A．0d B．

0a

C．95SS D．67nSSS与均为的最大值

29．设d为正项等差数列na的公差，若0d，32a，则（）

A．244aa B．224154aa C．15111aa D．

1524

aaaa

30．首项为正数，公差不为0的等差数列na，其前n项和为nS，现有下列4个命题中正确的有（） A．若100S，则280SS；

B．若412SS，则使0nS的最大的n为15 C．若150S，160S，则nS中8S最大

D．若78SS，则

SS

31．在下列四个式子确定数列na是等差数列的条件是（） A．naknb（k，b为常数，*nN）； B．2nnaad（d为常数，

*nN）；

C．*2120nnnaaanN； D．na的前n项和

21nSnn