三角函数与角度的换算与计算
3用计算器求三角函数
3用计算器求三角函数三角函数是数学中研究角和角度的函数关系。
计算器是一种用来简化数学运算的工具，可以用来计算三角函数的值。
在计算器上，一般有正弦函数sin(x)，余弦函数cos(x)，正切函数tan(x)，以及它们的反函数arcsin(x)，arccos(x)，arctan(x)等。
正弦函数sin(x)的定义是一个周期函数，其定义域是实数集，值域是[-1,1]。
首先，将角度换算为弧度，然后输入弧度到计算器中，即可得到对应角度的正弦值。
余弦函数cos(x)定义也是一个周期函数，其定义域是实数集，值域也是[-1,1]。
同样地，将角度换算为弧度，然后输入弧度到计算器中，即可得到对应角度的余弦值。
正切函数tan(x)的定义域是除去在π/2 + kπ (k为整数)时的奇数倍的定义域外的实数集，值域是所有实数。
和正弦函数、余弦函数不同，不需要转换为弧度，直接输入角度即可得到对应角度的正切值。
反正弦函数arcsin(x)的定义域是[-1,1]，值域是[-π/2,π/2]。
输入x值到计算器中，即可得到对应反正弦值。
反余弦函数arccos(x)的定义域和值域与反正弦函数相同。
输入x值到计算器中，即可得到对应反余弦值。
反正切函数arctan(x)的定义域是实数集，值域是[-π/2,π/2]。
输入x值到计算器中，即可得到对应反正切值。
除了以上常用的三角函数，计算器还可以计算其他相关的三角函数，如正割函数sec(x)，余割函数csc(x)，反正割函数arcsec(x)，反余割函数arccsc(x)，双曲正弦函数sinh(x)，双曲余弦函数cosh(x)，双曲正切函数tanh(x)，等等。
在计算器上使用三角函数时，需要注意一些常见的错误，如输入的角度单位问题、定义域问题、计算精度问题等。
在使用计算器求三角函数前，可以先了解一些三角函数的基本概念和性质，以避免出错。
总之，计算器是一个方便计算三角函数的工具，可以计算一些常见的三角函数，同时还支持一些其他相关的三角函数。
任意角和弧度制、任意角的三角函数及诱导公式
任意角和弧度制、任意角的三角函数及诱导公式一、任意角1、角的概念的推广：角可以看成是由一条射线（起始边）旋转到一个新的位置（终边）所形成的图形。
（1）按旋转方向不同分为正角（逆时针）、负角（顺时针）、零角．（2）角具有无界性；意思是说任意角的范围是（3）按终边位置不同分为象限角和轴线角．（约定以原点和x的正半轴组成的射线为起始边）（4）角具有周期性： 终边相同的角不一定相等；终边相同的角相差3600 的整数倍。
2、角与角的位置关系的判断（终边相同的角、对称关系的角）★与任意角 终边相同的所有的角构成一个集合，这个集合可表示为：【注意】（1）终边与终边共线(的终边在终边所在直线上) .（2）终边与终边关于轴对称.（3）终边与终边关于轴对称.（4）终边与终边关于原点对称.（5）终边在轴上的角可表示为：；终边在轴上的角可表示为：；终边在坐标轴上的角可表示为：.例1：与角的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿。
练习1（1）与1991°终边相同的最小正角是______,绝对值最小的角是_________．（2）－1120°角所在象限是（3）把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（4）终边在第二象限的角的集合可以表示为（5）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（ ）A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C（6）下列结论中正确的是( )A.小于90°的角是锐角B.第二象限的角是钝角C.相等的角终边一定相同D.终边相同的角一定相等（7）下列角中终边与330°相同的角是（ B ）A．30° B．-30° C．630° D．-630°例2：若是第二象限角，则是第_____象限角。
三角函数
非常容易 只要按照步骤 轻易解出
公式1的原理
• • • • • • • • 公式一：sin（a+2kπ）= sin a （其中 cos（a+2kπ）= cos a k∈Z） tan（ a+2kπ）= tan a 在圆中弧度2π表示一个圆周 即360° 2kπ（k∈Z）表示k个圆周 无论转多少个圆周 最终角a 不会改变 例如：sin420°=sin-300° cos1.5π=cos-0.5π
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ化为锐角三角函数
第1步 化简 把角度化到-90°（-π/2）＜a＜270°（3/2π） 的范围 第2步 判断 角的大小用公式 大于180°小于270°用公式2 小于180°大于90°用公式4 小于0°大于-90°用公式3 例子： sin 510° tan -11/3π cos 650°25′ =sin(360°+150°) =tan(-4π+1/3π) =cos(720°- 69°35′) =sin 150° =tan(1/3π) =cos(- 69°35′) =sin(180°-30°) =tan(π-2/3π) =cos 69°35′ =sin 30° =-tan(2/3π) 这类题目 考试可能作为计算题或选择（预计分值10-25）
公式5，6原理
公式5：sin (π/2-a)= cos a 公式6：sin (π/2+a)= cos a cos(π/2-a)= sin a cos(π/2+a)= -sin a 如图： sin a=AB/OB cos(π/2-a)=B’A’/OB’ AB=A’B’ OB=O’B’ 所以sin a=cos(π/2-a) 同理可得出其他公式
函数大小比较
进行函数值大小比较 首先应该化简 把函数名化为相同 再把数值化到(sin大于-π/2 cos大于-π)范围内的最小值 然后判断是否属于同一单调区间 如果是则按增减区间 数值大小进行判断 如果不是则用诱导公式化为同一单调区间 例： sin680°与sin940° 化简后 sin-20°与sin250° sin-20°=sin(180°-200°)=sin200° π/2＜200°＜250°＜3/2π sin在[π/2 ,3/2π]是减区间 所以sin200°＞sin250° 所以sin680°＞sin740°
三角函数基础公式
三角函数基础公式知识点一：1．终边相同的角凡是与终边相同的角，都可以表示成的形式.要点诠释：(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(3)终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.特例：终边在x轴上的角集合，终边在y轴上的角集合，终边在坐标轴上的角的集合.在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小.2．弧度和角度的换算(1)角度制与弧度制的互化：弧度，弧度，弧度(2)弧长公式：(是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：.(3)角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径.知识点二：任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式、诱导公式：1.三角函数定义：角终边上任意一点为，设则：要点诠释：三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,,．2.三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦(为正)；3.特殊角的三角函数值2 sincostan4.5.诱导公式(奇变偶不变，符号看象限):sin()=sin，cos()=-cos，tan()=-tansin()=-sin，cos()=-cos，tan()=tansin()=-sin，cos()=cos，tan()=-tansin()=-sin ，cos()=cos，tan()=-tansin()=sin ，cos()=cos，tan()=tan，sin()=cos，cos()=sinsin()=cos，cos()=-sin要点诠释：(1)要化的角的形式为(为常整数)；(2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；(3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；(4)；.【典型例题】题型一：三角函数的概念例1.已知角的终边过点，求的三个三角函数值.练习1.已知角的终边上一点，且，求的值.例2．已知、的终边有下列关系，分别求、间的关系式。
同角三角函数间的基本关系式总结
同角三角函数间的基本关系式总结·平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·积的关系：sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,·三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·ta nβ)·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·ta nγ-tanγ·tanα)·辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα·半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0cosx+cos2x+...+cosnx= [sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx证明：左边=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx （积化和差）=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右边等式得证sinx+sin2x+...+sinnx= - [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx证明:左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx) =- [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边等式得证三角函数角度换算公式总结公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)高二数学公式总结向量公式：1.单位向量：单位向量a0=向量a/|向量a|2.P(x,y) 那么向量OP=x向量i+y向量j|向量OP|=根号（x平方+y平方）3.P1(x1,y1) P2(x2,y2)那么向量P1P2=｛x2-x1,y2-y1｝|向量P1P2|=根号[(x2-x1)平方+(y2-y1)平方]4.向量a=｛x1,x2｝向量b=｛x2,y2｝向量a*向量b=|向量a|*|向量b|*Cosα=x1x2+y1y2Cosα=向量a*向量b/|向量a|*|向量b|(x1x2+y1y2)= ————————————————————根号(x1平方+y1平方)*根号（x2平方+y2平方）5.空间向量：同上推论（提示：向量a=｛x,y,z｝）6.充要条件：如果向量a⊥向量b那么向量a*向量b=0如果向量a//向量b那么向量a*向量b=±|向量a|*|向量b|或者x1/x2=y1/y27.|向量a±向量b|平方=|向量a|平方+|向量b|平方±2向量a*向量b=(向量a±向量b)平方三角函数公式：1.万能公式令tan(a/2)=tsina=2t/(1+t^2)cosa=(1-t^2)/(1+t^2)tana=2t/(1-t^2)2.辅助角公式asint+bcost=(a^2+b^2)^(1/2)sin(t+r) cosr=a/[(a^2+b^2)^(1/2)]sinr=b/[(a^2+b^2)^(1/2)]tanr=b/a3.三倍角公式sin(3a)=3sina-4(sina)^3cos(3a)=4(cosa)^3-3cosatan(3a)=[3tana-(tana)^3]/[1-3(tana^2)]4.积化和差sina*cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2cosa*cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2sina*sinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/25.积化和差sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] sina-sinb=2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2] cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] cosa-cosb=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]。
特殊角的三角函数值及用计算器求角的三角函数值
（1）我们要用到科学计算器中的 键： sin cos tan
（2）按键顺序
◆如果锐角恰是整数度数时，以 “求sin18°”为例，按键顺序如下：
按键顺序 显示结果
sin18°
sin 18 sin18
0.309 016 994
∴ sin18°= 0.309 016 994≈0.31
1、用科学计算器求一般锐角的三角函数值：
7
4
=
显示结果
17.30150783
如果再按“度分秒健”就换算成度分 秒， °′″
即∠ α＝17o18’5.43”
2.熟练掌握用科学计算器由已知三角函
数值求出相应的锐角.
例如：sin A=0.9816，∠A＝
；
cos A＝0.8607，∠A＝
；
tan A＝56.78，∠A＝
。
小结 :
1.30°、45°、60°角的三角函数值， 并且进行计算；
（1）m的值；（2）∠A与∠B的度数．
活动4
当锐角A是特殊角时，可以求得这些角的正弦、余 弦、正切值；如果锐角A不是这些特殊角，怎样得 到它的三角函数值呢？
我们可以用计算器来求锐角的三角函数值。 sin37°24′ sin37°23′ cos21°28′ cos38°12′
用科学计算器求一般锐角的三角函数值：
两块三角尺中有几个不同的锐 角？分别求出这几个锐角的正 弦值、余弦值和正切值．
60°
30° 45°
45°
设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a
另一条直角边长＝ 2a2 a2 3a
sin 30o a 1 2a 2
30°
cos 30o 3a 3 2a 2
tan 30o a 3 3a 3
任意角的三角函数与求值计算资料
解： Q x 3, y 4,
r (3)2 （-4)2 5.
sin 4 ,
5
cos 3 ,
5
tan 4 .
3
y o
x
r
P(3, 4)
讨论 讨论正弦、余弦和正切函数的定义域、
值域？
三角函数
定义域
y sin x y cos x y tan x
r
cos x ;
r
tan y .
x
一、任意角的三角函数定义
y
r
的终边 P(x, y)
y 的终边
P(x, y)
r
o
x
ox
sin y r
cos x
r
tan y
x
P(x, y)
y o
x
r
的终边
y o
x
r
P(x, y) 的终边
范例1 已知角α的终边上一点P(-3,-4),
第4章 任意角的三角函数
与求值计算
4.1 角的概念的推广与弧度制
引言
1.初中所学角是如何定义的？
具有公共顶点的两条射线组成的图形。
2.初中学习过哪些角？
锐角、直角、钝角、平角、和周角
3.初中学习的角的范围？
0o 360o
引言
时钟慢了10分钟，应如何校？ 分针应转多少度？
一、任意角
(2)5cos 3sin 4sin 3 4 tan 0 3cot
2
2
2
4
范例4 判断下列三角函数值的符号.
三角函数公式与方法汇总
一、三角函数的基本概念和同角三角函数关系(一)知识内容1. 角的概念的推广⑴角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.其中顶点，始边，终边称为角的三要素.角可以是任意大小的.⑵角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角.①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角； ②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角. ⑶在直角坐标系中讨论角：①角的顶点在原点，始边在x 轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角.2.终边相同的角的集合：设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{}360,Z S k k ββα==+⋅︒∈.集合S 的每一个元素都与α的终边相同，当0k =时，对应元素为α.3.弧度制和弧度制与角度制的换算⑴角度制：把圆周360等分，其中1份所对的圆心角是1度，用度作单位来度量角的制度叫做角度制.<教师备案>一些特殊角的度数与弧度数的对应表：板块一：任意角的概念与弧度制⑵1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.任一已知角α的弧度数的绝对值lrα=，这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制.⑶弧度与角度的换算：180πrad = ，1801rad 57.305718π︒⎛⎫'=≈︒=︒ ⎪⎝⎭板块二：任意角的三角函数(一）知识内容1.三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r =>，那么 ⑴比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin yr α=； ⑵比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x rα=； ⑶比值y x叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=；⑷比值x y叫做α的余切，记作cot α，即cot xy α=；⑷比值r x 叫做α的正割，记作sec α，即sec rxα=； ⑸比值r y叫做α的余割，记作csc α，即csc r y α=.2.三角函数的定义域、值域3.由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知： ⑴正弦值yr对于第一、二象限为正（0,0y r >>），对于第三、四象限为负（0,0y r <>）；⑵余弦值xr对于第一、四象限为正（0,0x r >>），对于第二、三象限为负（0,0x r <>）；⑶正切值yx对于第一、三象限为正（,x y 同号），对于第二、四象限为负（,x y 异号）. 可以用下图表示：说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值.4.同角三角函数的基本关系式：平方关系：22sin cos 1x x +=，22sec tan 1x x -=，22csc cot 1x x -= 商数关系：sin tan cos x x x =，cos cot sin xx x= 倒数关系：111sec ,csc ,tan cos cos cot x x x x x x===6.诱导公式：⑴角α与2π()k k α+⋅∈Z 的三角函数间的关系；sin(2π)sin k αα+=,cos(2π)cos k αα+=,tan(2π)=tan k αα+;⑵角α与α-的三角函数间的关系；sin()sin αα-=-,cos()cos αα-=,tan()tan αα-=-;⑶角α与(21)π()k k α++∈Z 的三角函数间的关系；[]sin (21)πsin k αα++=-,[]cos (21)πcos k αα++=-,[]tan (21)πtan k αα++=;⑷角α与2πα+的三角函数间的关系.πsin cos 2αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,πcos sin αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,πtan cot αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.4.三角函数式的化简与三角恒等式的证明是个难点，需要学生熟悉并灵活运用所学的公式与知识，一般情况下，化简的基本思路是：减少角的种数，减少三角函数的种数，适当配凑和拆分，统一切割化弦等等.二、三角函数的图象与性质（一）知识内容⑴单位圆：半径等于单位长的圆叫做单位圆.设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x 轴交点分别为(1,0)A ，(1,0)A '-，而与y 轴的交点分别为(0,1)B ，(0,1)B '-.由三角函数的定义可知，点P 的坐标为(cos ,sin )αα，即(cos ,sin )P αα.其中cos OM α=，sin ON α=.α)这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T （或T '），则tan AT α=(或AT '). ⑵有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向.具有方向的线段叫做有向线段.规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负. ⑶三角函数线的定义：板块一：任意角的概念与弧度制设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T .我们就分别称有向线段MP ，OM，AT 为正弦线、余弦线、正切线.(一) 知识内容1.2.函数()()sin 0,0,y A x A x ωϕω=+>>∈R 的图象的作法――五点法①确定函数的最小正周期2πT ω=；②令x ωϕ+＝0、π2、π、3π2、2π，得x ϕω=-、1π()2ϕω-、1(π)ϕω-、13π()2ϕω-、1(2π)ϕω-，于是得到五个关键点(,0)ϕω-、1π((),1)2ϕω-、1((π),0)ϕω-、13π((),1)2ϕω--、1((2π),0)ϕω-； ③描点作图，先作出函数在一个周期内的图象，然后根据函数的周期性，把函数在一个板块一：三角函数的图象周期内的图象向左、右扩展，得到函数()()sin 0,0,y A x A x ωϕω=+>>∈R 的图象．3.()()sin 0,0,y A x A x ωϕω=+>>∈R 的图象函数()()sin 0,0,y A x A x R ωϕω=+>>∈的图象可以用下面的方法得到：先把sin y x = 的图象上所有点向左(0)ϕ>或向右(0)ϕ<平行移动||ϕ个单位；再把所得各点的横坐标缩短(1)ω>或伸长(01)ω<<到原来的1ω倍（纵坐标不变）；再把所得的各点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍（横坐标不变），从而得到sin()y A x ωϕ=+的图象．当函数sin()y A x ωϕ=+表示一个振动量时：A 叫做振幅；T 叫做周期；1T叫做频率；x ωϕ+叫做相位，ϕ叫做初相．上面是一种函数的平移缩放的过程，可以用这种方法来把一种三角函数转换成另外一种三角函数．下面把这个过程分解一下： (1)相位变换要得到函数sin()(0)y x ϕϕ=+≠的图象，可以令x x ϕ=+，也就是原来的x 变成了现在的x ϕ+，相当于x 减小了(0)ϕϕ<，即可以看做是把sin y x =的图象上的各点向左(0)ϕ>或向右(0)ϕ<平行移动||ϕ个单位而得到的．这种由sin y x =的图象变换为sin()y x ϕ=+的图象的变换，使相位由x 变为x ϕ+，我们称它为相位变换．它实质上是一种左右平移变换． (2)周期变换要得到函数sin (0,1)y x ωωω=>≠的图象，令x x ω=，即现在的x 缩小到了原来的ω倍，就可以看做是把sin y x =的图象上的各点的横坐标缩短(1)ω>或伸长(01)ω<<到原来的1ω倍（纵坐标不变）得到，由sin y x =的图象变换为sin y xω=的图象，其周期由2π变为2πω，这种变换叫周期变换．周期变换是一种横向的伸缩．(3)振幅变换要得到sin (0,1)y A x A A =>≠且的图象，令yy A=，即相当于y 变为原来的A 倍，也就是把sin y x =的图象上的各点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的．这种变换叫做振幅变换．振幅变换是一种纵向的伸缩．(一）知识内容<教师备案>1．函数图象平移基本结论小结如下：(0)()()a a y f x y f x a >=−−−−−−→=+左移个单位(0)()()a a y f x y f x a >=−−−−−−→=-右移个单位(0)()()a a y f x y a f x >=−−−−−−→-=上移个单位(0)()()a a y f x y a f x >=−−−−−−→+=下移个单位1()()y f x y f x ωω=−−−−−−−−→=各点横坐标变成原来的倍()()y f x Ay f x =→=1各点纵坐标变成原来的倍A()()x y f x y f x =−−−−→-=绕轴翻折这些新的解析式可以由图象上任意一点变换后的对应关系得出，以左移a 个单位的解析式变化为例：设00(,)P x y 为()y f x =左移a 个单位后所得图象上的任意一点，则将Ｐ右移a 个单位得到的00'(,)P x a y +必在()y f x =的图象上，故00()y f x a =+，又00(,)P x y 点任意，故()y f x =的图象左移a 个单位得到的新的函数的解析式为：()y f x a =+．板块二：三角函数图象变换()()y f x y f x =−−−−→=-绕y 轴翻折函数变换可以用下图表示：板块三：三角函数的性质1.三角函数的性质2.sin=的性质y x=与siny x。
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三角函数与角度的换算与计算在数学中，三角函数是一类描述角度与边长之间关系的函数。
它们是解决各种三角形相关问题的重要工具。
而要正确地进行三角函数的计算与运用，我们首先需要了解角度的换算与计算方法。
一、角度的换算
角度是衡量旋转或转动的大小的单位。
我们常用的角度单位有度（°）、弧度（rad）和梯度（grad）。
下面分别介绍它们之间的换算关系：
1. 度与弧度的换算
在常见问题中，度数是最常用的角度单位。
而在某些计算中，我们需要将度数换算为弧度。
弧度（rad）是以圆周上与半径相等的弧长所对应的角度。
一个完整的圆周对应的弧长等于半径的长度，因此1弧度约等于57.30°。
所以，我们可以得到度与弧度的换算公式：
弧度 = 度× π/180
度 = 弧度× 180/π
2. 度与梯度的换算
梯度（grad）是另一种用于表示角度的单位。
它以直角三角形的
两条直角边长度之比作为角度定义，与度和弧度不同。
1梯度等于
90/100度。
因此，我们可以得到度与梯度的换算公式：
梯度 = 度 × 10/9
度 = 梯度 × 9/10
二、三角函数的计算
在解决与三角形相关的问题时，我们需要用到一些常见的三角函数，包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）、余切（cot）、正割（sec）和余割（csc）。
1. 正弦函数（sin）
在一个直角三角形中，正弦函数定义为对边长度与斜边长度之比。
对于一个角度为θ的直角三角形，该比值可以用正弦函数进行表示：
sin(θ) = 对边/斜边。
通过角度的换算，我们可以将三角函数的计算问题转化为以弧度
为单位的问题。
2. 余弦函数（cos）
余弦函数定义为直角三角形的邻边长度与斜边长度之比。
对于角
度为θ的直角三角形，该比值可以用余弦函数进行表示：cos(θ) = 邻边/斜边。
3. 正切函数（tan）
正切函数定义为直角三角形的对边长度与邻边长度之比。
对于角度为θ的直角三角形，可以用正切函数表示：tan(θ) = 对边/邻边。
4. 余切函数（cot）
余切函数定义为直角三角形的邻边长度与对边长度之比。
对于角度为θ的直角三角形，可以用余切函数表示：cot(θ) = 邻边/对边。
5. 正割函数（sec）
正割函数定义为直角三角形的斜边长度与邻边长度之比。
对于角度为θ的直角三角形，可以用正割函数表示：sec(θ) = 斜边/邻边。
6. 余割函数（csc）
余割函数定义为直角三角形的斜边长度与对边长度之比。
对于角度为θ的直角三角形，可以用余割函数表示：csc(θ) = 斜边/对边。
通过掌握以上三角函数的定义和计算方法，我们可以在解决各类与三角形相关的问题时，有效地利用角度的换算与三角函数的计算。
总结：
本文介绍了角度的换算与计算方法，以及常见的三角函数的定义和计算公式。
通过了解角度的换算和三角函数的计算，我们可以更加准确地处理与三角形相关的各类问题，为数学的学习和应用提供了有力的工具。
参考文献：
无。