高考数学飘带函数与对均
2024高考数学知识点总结
2024高考数学知识点总结2024年高考数学考试是一场全新的挑战，考查的知识点涵盖了数学的各个方面。
下面将对2024年高考数学考试中的主要知识点进行总结。
一、函数及其应用函数是数学中非常重要的一个概念，它是描述两个变量之间关系的一种数学映射关系。
在高考数学中，函数的定义、函数的性质、函数及其图象、函数的增减性、函数的奇偶性等都是重要的考点。
此外，函数的应用也是高考数学中的一大考点，比如函数的模型建立、函数的最值问题、函数的最值确定等。
在备考过程中，要熟练掌握函数的相关知识，能够准确地进行函数的求导运算，并能够将函数的知识应用到实际问题中。
二、数列与数学归纳法数列是数学中的一种特殊数集，它按照一定的规律依次排列。
在高考数学中，数列的概念、数列的通项公式、数列的性质、数列的求和公式等都是重要的考点。
此外，数学归纳法也是高考数学中的一大重点，考生需要掌握数学归纳法的基本原理和步骤，并能够灵活运用到解决实际问题中。
三、平面几何与立体几何几何是数学的一个重要分支，它研究的是图形的特征和性质。
在高考数学中，平面几何和立体几何都是重要的考点。
在备考过程中，考生需要掌握直线的性质、平行线与垂直线的判定、角的性质、三角形的性质、四边形的性质、圆的性质等基本概念和定理，并能够将这些知识应用到解决实际问题中。
四、概率与统计概率与统计是高中数学课程中的重要内容，也是高考数学的重要考点。
在备考过程中，考生需要掌握事件与概率、随机变量与概率分布、样本调查等基本概念，并能够运用这些知识解决与概率与统计相关的问题。
五、解析几何解析几何是数学的一个重要分支，它是研究几何图形与坐标系之间的关系。
在高考数学中，解析几何是一个重要的考点。
考生需要掌握平面直角坐标系的性质及其应用、点、直线、圆等的解析表示、直线与圆的位置关系、直线与平面的位置关系、曲线、曲面等相关知识，并能够运用这些知识解决与解析几何相关的问题。
六、导数与微分导数与微分是数学中重要的概念和方法，也是高考数学的重点考点。
导数专题书目录
导数专题书目录第一篇独孤九剑——导数基础专题1总诀式——导数的前世今生第一讲导数基本定义第二讲导数运算法则第三讲复合函数求导第四讲同构函数求导专题2破剑式——数形结合遇导数第一讲导数的几何意义第二讲在点的切线方程第三讲过点的切线方程专题3破刀式——基本性质与应用第一讲单调性问题第二讲极值与最值第三讲恒能分问题专题4破枪式——抽象函数的构造第一讲求导法则与抽象构造第二讲幂函数及其抽象构造第三讲指数函数与抽象构造第四讲对数函数与抽象构造第五讲三角函数与抽象构造第六讲平移与奇偶抽象构造专题5破鞭式——分类讨论的策略第一讲不含参的四类问题第二讲含参数的五类问题专题6破索式——三次函数的探究第一讲基本性质第二讲切线问题第三讲四段论界定第四讲三倍角界定专题7破掌式——指对的破解逻辑第一讲指数模型第二讲对数模型专题8破箭式——六大同构函数论第一讲六大同构函数第二讲外部函数同构第三讲极值底层逻辑专题9破气式——零点与交点问题第一讲零点相关定理第二讲曲线交点问题第三讲零点个数问题第二篇如来神掌——导数选填的奇思妙解专题1心中有佛——秒解抽象函数构造第一讲抽象函数的积分构造第二讲“网红解法”的利弊专题2佛光初现——妙解参数取值范围第一讲零点比大小问题妙解双参比值问题第二讲零点比大小妙解指对单参数的问题第三讲恰到好处的取点妙解双参系列问题专题3金顶佛灯——数轴破整数个数解第一讲对数的取点技巧第二讲指数的取点技巧专题4佛动山河——平口单峰函数探秘第一讲平口二次函数问题第二讲平口对勾函数问题第三讲平口三次函数问题第四讲平口函数万能招数第五讲构造平口单峰函数第六讲必要探路最值界定第七讲倍角定理最值界定专题5佛问伽蓝——拉格朗日插值妙用第一讲三大微分中值定理简述第二讲拉格朗日中值定理应用专题6迎佛西天——构造函数速比大小第一讲构造基本初等函数第二讲构造母函数比大小第三讲构造混阶型比大小专题7天佛降世——琴生不等式破选填第一讲函数的凹凸性第二讲凹凸性的应用专题8佛法无边——极限思想巧妙应用第一讲前世今生论第二讲洛必达法则专题9万佛朝宗——选填压轴同构压制第一讲母函数原理概述第二讲同等双参需同构第三讲同构引出的秒解第三篇无涯剑道——导数三板斧升级篇专题1问剑求生——同类同构第一讲双元同构篇第二讲指对同构篇第三讲朗博同构篇第四讲零点同构篇第五讲同构保值篇第六讲同构导中切专题2持剑逆道——分类同构第一讲分而治之型第二讲端点效应型第三讲志同道合型第四讲分道扬镳型第五讲柳暗花明型专题3迎剑归宗——切点同构第一讲切线问题的进阶处理第二讲公切线问题几何探秘第三讲基本函数的切线找点第四讲跨阶函数的切线找点第五讲双变量乘积处理策略第四篇逍遥功——泰勒与放缩专题1逍遥剑法——泰勒展开第一讲泰勒基本展开式第二讲泰勒与切线找点第三讲泰勒与极值界定第四讲无穷阶极值界定第五讲泰勒与切线界定专题2逍遥刀法——京沪专线第一讲指数型“0”线第二讲对数型“0”线第三讲三角型“0”线专题3逍遥拳法——京九专线第一讲指数型“1”线第二讲对数型“1”线第三讲“e”线放缩论“n”线放缩论第四讲指对混阶放缩论第五讲指对三角放缩论第六讲高阶借位放缩论第七讲充分必要放缩论第八讲数列放缩系统论第五篇武当神功——点睛之笔专题1梯云纵——极点极值第一讲极值点本质第二讲唯一极值点第三讲存在极值点第四讲莫有极值点专题2太和功——隐点代换第一讲直接应用第二讲整体代换第三讲反代消参第四讲降次留参第五讲矛盾区间专题3峰回掌——跨阶找点第一讲找点初步认识第二讲找点策略阐述第三讲高次函数找点第四讲指对函数找点第五讲三角函数找点专题4太极剑——跳阶找点第一讲指对混阶找点第二讲指数三角找点第三讲对数三角找点第四讲终结混阶找点专题5八卦阵——必要探路第一讲端点效应第二讲极点效应第三讲显点效应第四讲隐点效应第五讲内点效应第六讲外点效应第七讲拐点效应第八讲弧点效应第六篇六脉神剑——明元之家专题1少商剑——三三来迟第一讲飘带函数减元第二讲点差法第三讲韦达定理的应用专题2商阳剑——四曾相识第一讲极值点偏移第二讲构造法第三讲拐点偏移第四讲泰勒公式专题3中冲剑——不讲五德第一讲换元构造第二讲对数平均不等式第三讲指数平均不等式第四讲广义对均第五讲深度剖析专题4関冲剑——七晴六遇第一讲零点差模型第二讲极值模型第三讲混合模型专题5少泽剑——第一讲复数三角形式第二讲棣莫弗定理第三讲复数的应用专题6少冲剑——第一讲斜率成等差等比问题第一讲数据逻辑及相关定理第二讲破解逻辑及突破压轴。
艺术生高考数学专题讲义考点函数与方程
艺术生高考数学专题讲义考点函数与方程函数是数学中非常重要的一个概念，也是高考数学中的一个重要考点。
掌握函数的概念，理解函数的性质和性质的应用，对于解决各类函数与方程问题起着关键作用。
一、函数的概念函数是数学中最基本的概念之一，通常用字母f,g,h等表示。
若有两个非空集合A和B，对于A中的每一个元素x，有B中唯一确定的一个元素y与之对应，那么就称y是x的函数值，记作y=f(x)，其中f表示函数，x称为自变量，y称为因变量。
函数的定义域为A，值域为B。
函数可以用数图、函数表或函数解析式的形式表示。
函数图像是函数和平面直角坐标系上解析式中自变量和因变量的对应关系的几何图形。
二、函数的性质1.定义域和值域：函数的定义域表示自变量的取值范围，值域表示因变量的取值范围。
2.奇偶性：若对于函数f(x)，有f(-x)=f(x)，则函数是偶函数；若有f(-x)=-f(x)，则函数是奇函数。
3.单调性：若对于函数f(x)，在定义域上，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则函数是增函数；若有f(x1)>f(x2)，则函数是减函数。
4.周期性：若对于函数f(x)，存在常数T>0，使得对于任意x，有f(x+T)=f(x)，则函数是周期函数。
三、函数的应用函数在数学中具有广泛的应用，常见的应用有以下几种：1.函数的图像问题：通过函数的图像，我们可以了解函数的性质，如定义域、值域、奇偶性、单调性等。
同时，可以通过图像求函数的解析式。
2.函数的复合问题：复合函数就是由两个函数组成的函数。
复合函数的求解要根据实际问题确定两个函数之间的关系，并运用函数的性质进行求解。
3.函数方程问题：函数方程就是与函数有关的方程。
通过解函数方程，可以确定函数的性质和未知数的值。
4.数列与数列极限问题：5.函数的应用问题：函数在各个学科中都有广泛的应用，如物理中的速度、加速度函数，化学中的反应速率函数等。
通过函数的应用，可以解决各类实际问题。
高考常用不等式
高考常用不等式
高考常用不等式是指在高考数学中常常出现的不等式。
这些不等式不仅在解题过程中有很大的用处，而且也对学生掌握数学知识有很大的帮助。
以下是一些高考常用不等式：
1、均值不等式：对于任意正实数a1,a2,...,an，有以下不等式成立：
其中，a1,a2,...,an的算术平均数为
2、柯西不等式：对于任意两个向量x=(x1,x2,...,xn)和
y=(y1,y2,...,yn)，有以下不等式成立：
其中，x和y的内积为
3、三角不等式：对于任意两个实数x和y，有以下不等式成立：
其中，|x|表示x的绝对值。
4、AM-GM不等式：对于任意n个正实数a1,a2,...,an，有以下不等式成立：
其中，a1,a2,...,an的几何平均数为
5、洛必达法则：对于两个函数f(x)和g(x)，若存在极限
则有以下不等式成立：
以上是高考常用不等式的一些例子。
在高考数学中，学生需要掌握这些不等式的使用方法，以便在解题过程中能够熟练运用。
同时，学生还需要理解这些不等式的证明过程，以提高自己的数学素养。
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高考数学遗漏的知识点汇总
高考数学遗漏的知识点汇总高考数学一直是令人望而生畏的科目之一，不仅考查的知识点广泛，而且难度系数也不容小觑。
面对这样一门重要的科目，考生常常会有一些遗漏的知识点，这些知识点可能因为自己平时的不注意或者因为教学的缺失而被忽略。
本文将对一些高考数学中常见的遗漏知识点进行汇总，希望能够提醒考生及时补充，提高复习的效果。
一、函数函数是高考数学中的重中之重，考生常常会遗漏一些函数的性质和应用。
其中包括函数的单调性、最值、对称性等。
函数的单调性是考察考生对函数增减性的掌握程度。
要理解函数在区间上的单调性，需要对函数的导数进行分析，求出导数的符号和零点。
常见的导数计算有常规法则、链式法则以及反函数的求导法则等。
在解题过程中要注意使用导数进行推导和判断。
最值问题是考察考生对函数在某个区间内取得最大值或最小值的掌握程度。
求最值的方法有很多种，一般有借助函数的导数来分析函数的增减性，以及利用函数的性质进行求解。
在解题过程中要注意考虑函数在区间边界处的取值情况。
对称性是指函数在某种变换下保持不变。
常见的对称性有偶函数和奇函数。
偶函数关于y轴对称，即f(x)=f(-x)，在坐标系中图像关于y轴对称；奇函数关于原点对称，即f(x)=-f(-x)，在坐标系中图像关于原点对称。
要掌握这些对称性的性质，并能够应用到具体的题目中去。
二、数列数列是高考数学中的必考内容，同样也是考生常常遗漏的知识点。
常见的数列有等差数列和等比数列。
等差数列的通项公式是考察考生对数列规律的掌握程度。
等差数列的通项公式为An=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
要根据已知条件求出等差数列的各项和，需要根据题目给出的条件利用等差数列的性质进行求解。
等比数列的通项公式是考察考生对数列规律的掌握程度。
等比数列的通项公式为An=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
要根据已知条件求出等比数列的各项和，需要根据题目给出的条件利用等比数列的性质进行求解。
2024年高考数学知识点归纳总结
2024年高考数学知识点归纳总结1. 函数与方程- 函数的定义与性质：定义域、值域、奇偶性、单调性等- 初等函数与非初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等- 函数的图像与性质：平移、反射、缩放等- 一元二次方程：求解方法、解的性质、根与系数的关系等- 二元一次方程组：解的存在唯一性、解的判别、解的性质等2. 三角函数与解析几何- 三角函数的定义与性质：正弦函数、余弦函数、正切函数等- 三角函数的图像与性质：周期性、对称性、增减性等- 三角函数的运算：和差化积、积化和差、倍角公式等- 解析几何的基本概念：点、直线、平面、距离、角度等- 解析几何中的基本定理：垂直定理、平行定理、相交定理等3. 概率与统计- 随机事件与概率：样本空间、事件的概率、事件的运算等- 概率的计算方法：古典概型、几何概型、排列组合等- 离散型随机变量与概率分布：离散型随机变量、概率质量函数、期望、方差等- 正态分布与标准正态分布：正态分布的性质、标准化、概率计算等- 统计与抽样：样本、总体、样本统计量、抽样分布等4. 数列与数列极限- 数列的定义与性质：有界性、单调性、极限等- 等差数列与等比数列：通项公式、求和公式、递推公式等- 数列的极限：极限存在性、夹逼定理、单调有界准则等- 无穷级数与数列项数的关系：收敛性、发散性、级数求和等- 函数极限：无穷小与无穷大、连续性、导数等5. 导数与微分- 导数的定义与性质：导数的计算、导数与函数的关系、高阶导数等- 函数的极值与最值：驻点、强弱单调性、极值判定等- 导数的应用：函数与图像的性质、曲线的弧长、曲率、斜率等- 微分与中值定理：微分的定义、中值定理的应用、不等式等- 函数的逼近与泰勒展开：泰勒公式、泰勒展开、误差估计等通过对以上知识点的归纳总结可以发现，2024年高考数学考试的重点主要集中在函数与方程、三角函数与解析几何、概率与统计、数列与数列极限以及导数与微分等方面。
2024高考数学必考知识点总结
2024高考数学必考知识点总结____年高考数学必考知识点总结一、函数与方程1. 函数的概念及性质- 函数的定义：函数是一种将自变量与因变量相互对应的关系。
- 函数的性质：定义域、值域、增减性、奇偶性、周期性等。
2. 一次函数与二次函数- 一次函数的特征：y = kx + b，k为斜率，b为截距。
- 二次函数的特征：y = ax² + bx + c，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
3. 指数函数与对数函数- 指数函数的特征：y = a^x，a为底数，a>0且a≠1。
- 对数函数的特征：y = loga(x)，a为底数，a>0且a≠1。
4. 三角函数- 正弦函数的特征：y = A sin(wx + φ)，A为振幅，w为角频率，φ为初相位。
- 余弦函数的特征：y = A cos(wx + φ)，A为振幅，w为角频率，φ为初相位。
5. 方程与不等式- 一元二次方程的求解方法。
- 一元一次不等式的求解方法。
二、数列与数列的极限1. 等差数列与等比数列- 等差数列的通项公式及求和公式。
- 等比数列的通项公式及求和公式。
2. 数列极限- 数列极限的定义及性质。
- 收敛数列与发散数列的判断方法。
三、平面几何1. 平面几何基本概念- 点、直线、线段、角度等基本概念。
- 垂直线、平行线、相交线、垂直平分线等相关性质。
2. 三角形的性质- 三角形的内角和与外角性质。
- 直角三角形、等腰三角形、等边三角形等特殊三角形的性质。
3. 相似三角形与勾股定理- 相似三角形的判定条件及性质。
- 勾股定理及其应用（求直角三角形的边长、判断三条边是否构成直角三角形等）。
4. 圆的性质- 圆的基本定义及性质（弧、弦、弦心角、弧度制等）。
- 相交弦定理、割圆定理、切线定理等。
四、立体几何1. 空间几何基本概念- 空间的基本概念（点、直线、平面、体积等）。
- 平行线与垂直线的判定方法。
2. 空间几何问题的解析法- 点、直线、平面的表示方法。
高考数学知识点归纳总结2024
高考数学知识点归纳总结2024数学作为高考必考科目，是很多学生头疼的一门课程。
为了帮助同学们全面复习数学，下面将对高考数学知识点进行归纳总结。
一、函数与方程1. 一次函数与二次函数一次函数的标准方程是y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
二次函数的标准方程是y = ax² + bx + c，其中a不为0。
掌握一次函数和二次函数的图像、性质及相关应用。
2. 幂指函数与对数函数幂指函数的标准方程为y = a^x，对数函数的标准方程是y = logₐx。
了解幂指函数与对数函数的性质、图像及相关应用。
3. 分式函数与根式函数分式函数的标准方程为y = f(x)/g(x)，其中f(x)和g(x)为多项式函数。
根式函数的标准方程为y = √(ax+b)，其中a和b为实数。
掌握分式函数与根式函数的性质、图像及相关应用。
4. 二次方程与不等式二次方程的标准形式为ax² + bx + c = 0，其中a不为0。
掌握二次方程的求解方法及相关性质。
不等式是数学中常见的一种关系表达式，掌握一元二次不等式的解法。
二、几何与立体几何1. 平面几何了解平面几何基本概念，包括点、线、线段、射线、角等。
掌握平面图形的性质及计算方法，如三角形、四边形、圆等。
2. 空间几何了解空间几何基本概念，包括平面与直线的位置关系、空间图形的投影等。
掌握空间几何图形的性质及计算方法，如立方体、棱柱、锥体等。
3. 三角函数与三角恒等式熟悉常用三角函数及其性质，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
熟练运用三角函数解决相关问题。
了解并掌握几个重要的三角恒等式。
三、概率与统计1. 概率了解概率的基本概念与性质，包括样本空间、事件、概率的计算等。
掌握概率计算的方法，包括等可能概型、组合与排列等。
2. 统计了解统计的基本概念与方法，包括样本调查、数据统计与分析等。
熟悉统计图表的绘制与分析，如直方图、折线图、饼图等。
四、解析几何1. 坐标系与坐标变换了解平面直角坐标系、极坐标系以及空间直角坐标系的基本概念与性质。
2022高考数学新课标Ⅰ、Ⅱ卷真题的解析和点评
2022高考数学新课标Ⅰ、Ⅱ卷真题的解析和点评（学习版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制学校：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高中数学常用放缩不等式
常用放缩不等式必备篇，进阶篇，拓展篇一：.必备篇(解析)①指数“0”线1.e x ≥x +1，(x ∈R )证明：f (x )=e x -x -1，令f (x )=e x -1=0，∴x 0=0∴f (x )≥f (0)=0∴e x ≥x +1,x ∈R 常见变式：Ⅰ.x n e x =e x +nlnx ≥x +nlnx +1，（x 0+nlnx 0=0)Ⅱ.e xxn =e x -nlnx ≥x -nlnx +1，(x 0-nlnx 0=0)Ⅲ.x ≥ln (x +1)，证明：①式同取对数PS ：千万注意Ⅰ和Ⅱ的取等条件！！！例如：e x x=e x -lnx ≥x -lnx +1，(经典的错误，标准的零分)x -lnx 取不到0正确：e xx =e (e x -lnx -1)≥e (x -lnx )，当x =1时：e x ≥ex2.xe x ≥x ，(x ∈R )证明：f (x )=xe x -x =x (e x -1)≥0，∴xe x ≥x ②指数“1”线1.e x ≥ex ，(x ∈R )证明：f (x )=e x -ex ，f (x )=e x -e =0，∴x 0=1∴f (x )≥f (1)=0，即e x ≥ex ，x ∈R 2.xe x ≥2ex -e ，(x ∈R )mst 涛哥数学证明：f (x )=xe x -2ex +e ，f (x )=(x +1)e x -2e∴f (x )在x ∈(-∞,1)上单调递减，在x ∈(1,+∞)上单调递增∴f (x )≥f (1)=0，即xe x ≥2ex -e ，x ∈R③对数“1”线：x 2-x ≥xlnx ≥x -1≥lnx ≥1-1x ≥lnxx，(x >0，x 0=1)1.x -1≥lnx证明：f (x )=x -1-lnx ，令f (x )=x -1x=0，∴x 0=1∴f (x )≥f (1)=0，∴x -1≥lnx ，x ∈(0，+∞)2.xlnx ≥x -1证明：：f (x )=xlnx -x +1，令f (x )=lnx =0，∴x 0=1∴f (x )≥f (1)=0，∴xlnx ≥x -1，x ∈(0，+∞)3.x 2-x ≥xlnx ，证明：1式左右同乘x4.1-1x ≥lnx x，证明：1式左右同除x5.lnx ≥1-1x，证明：2式左右同除x④：飘带函数：12(x -1x )≤lnx ≤2(x -1)x +1，0<x ≤12(x -1)x +1≤lnx ≤12(x -1x)，x ≥1 PS :谐音记忆,12(x -1x )为飘带函数，x >1时，就飘了,所以最大考试证明：①：令f (x )=lnx -2(x -1)x +1，∴f(x )=1x -4x (x +1)2=(x -1)2x (x +1)2≥0∴f (x )在x ∈(0，+∞)上单调递增，∵f (1)=0∴当0<x ≤1时，f (x )≤f (1)=0，即lnx ≤2(x -1)x +1∴当x ≥1时，f (x )≥f (1)=0，即lnx ≥2(x -1)x +1∴原式得证！mst 涛哥数学②：令g (x )=lnx -12(x -1x )，∴g(x )=-(x -1)22x 2≤0∴g (x )在x ∈(0，+∞)上单调递减，∵f (1)=0∴当0<x ≤1时，f (x )≥f (1)=0，即lnx ≥12(x -1x )∴当x ≥1时，f (x )≤f (1)=0，即lnx ≤12(x -1x)∴原式得证！⑤：对数均值不等式：x 1x 2<x 2-x 1lnx 2-lnx 1<x 1+x 221.左式证明：不妨设x 2>x 1，x 2x 1>1，由飘带函数得(过程需读者自证)∵lnt <12(t -1t )，t >1，∴ln x 2x 1<12(x 2x 1-x 1x 2)∴lnx 2-lnx 1<x 2x 1-x 1x 2=x 2-x 1x 1x 2∴x 1x 2<x 2-x 1lnx 2-lnx 1，∴原式得证！2.右式证明：不妨设x 2>x 1，x 2x 1>1，由飘带函数得(过程需读者自证)∵lnt>2(t-1)t+1，t>1，∴lnx2x1>2(x2x1-1)x2x1+1=2(x2-x1)x2+x1∴x2-x1lnx2-lnx1<x1+x22∴原式得证！⑥：指数均值不等式：e m+n2<em-e nm-n<e m+e n2证明：由对数均值不等式得x1x2<x2-x1lnx2-lnx1<x1+x22∴令x2=e m，x1=e n，m>n∴e m e n<e m-e nlne m-lne n <e m+e n2∴e m+n2<e m-e nm-n<e m+e n2，∴原式得证！对均：21a+1b<ab<a-blna-lnb<a+b2<a2+b22指均：e m+n2<em-e nm-n<e m+e n2二：进阶篇(120+)由带有佩亚诺余项(o (x n ))的麦克劳林(Maclaurin)公式:f (x )=f (0)+f (0)1!x +f 0 2!x 2+⋯⋯+f n (0)n !x n +o (x n )得到以mst 涛哥数学下常用函数的展开式e x=1+x +x 22+x 36+⋯⋯⋯⋯+x n n !+o (x n)ln (x +1)=x -x 22+x 33+⋯⋯+(-1)n -1x nn +o (x n )sinx =x -x 36+x 5120⋯⋯⋯⋯+(-1)n -1x 2n -1(2n -1)!+o (x 2n -1)cosx =1-x 22+x 424+⋯⋯⋯⋯+(-1)n x 2n (2n )!+o (x 2n)tanx =x +x 33+x 515⋯⋯⋯⋯⋯+o (x 5)(1+x )a=1+ax +a (a -1)2x 2+⋯⋯+a !n !(n -1)!x n +o (x n )PS ：记忆和注意1.sinx 是奇函数，只有奇次幂；cosx 是偶函数，只有偶次幂，ln (x +1)分母无阶乘2.建议读者最多只需掌握，指对前三项，三角前两项，无需背通式3.o (x n )：x →0时比x n 高阶的无穷小，简单理解为展开式与原函数的误差量即可①指数“0”线1.e x≥x 22+x +1，(x >0)证明：f (x )=e x-x 22-x -1,f (x )=e x -x -1≥0∴当x ≤0时，f (x )≤f (0)=0，即e x≤x 22+x +1∴当x ≥0时，f (x )≥f (0)=0，即e x≥x 22+x +12.e x -e -x ≥2x ，(x >0)证明：f (x )=e x -e -x -2x ，f (x )=e x +e -x -2≥2e x e -x -2=0，∴x 0=0∴f (x )在x ∈R 上单调递增，f (0)=0∴当x ≤0时，f (x )≤f (0)=0，即e x -e -x ≤2x ∴当x ≥0时，f (x )≥f (0)=0，即e x -e -x ≥2x3.e x +e -x ≥x 2+2，(x ∈R )证明：f (x )=e x +e -x -x 2-2,∵f x =e x -e -x -2x ，f (0)=0由2得∴f (x )在x ∈(-∞,0)上单调递减，在x ∈(0,+∞)上单调递增∴f (x )≥f (0)=0，即e x +e -x ≥x 2+24.e x -e -x ≥13x 3+2x ，(x >0)证明：f (x )=e x -e -x -13x 3-2x ，∵f (x )=e x +e -x -x 2-2由3得∴f (x )在x ∈R 上单调递增，f 0 =0∴当x ≤0时，f (x )≤f (0)=0，即e x -e -x ≤13x 3+2x∴当x ≥0时，f (x )≥f (0)=0，即e x -e -x ≥13x 3+2xPS :利用泰勒快速推导e x ≥1+x ，x ∈R e x ≥1+x +x 22,x ≥0 e x≥1+x +x 22+x 36,x ∈R 1.e x≥1+x +x 22e -x≤1-x +x 22e x -e -x ≥2x ，x ≥02.e x≥1+x +x 22+x 36e -x ≥1-x +x 22-x36e x +e -x ≥x 2+2，x ∈R 3.e x≥1+x +x 22+x 36+x 424e -x ≤1-x +x 22-x 36+x 424e x -e -x≥x 33+2x ，x ≥0②：对数“0”线1.x -x 22≤ln (x +1)≤x ，(x ≥0)证明：f (x )=ln (x +1)-x +x 22，f(x )=1x +1+x +1-2≥0(基本不等式)∴f(x)在x∈(-1，+∞)上单调递增，∵f(1)=0∴当-1<x≤0时，f(x)≤f(0)=0，即ln(x+1)≤x-x2 2∴当x≥0时，f(x)≥f(1)=0，即ln(x+1)≥x-x22③：指数“1”线1.e x≥ex+(x-1)2，(x≥0，x=0/x=1)证明：f(x)=e x-ex-(x-1)2，f (x)=e x-e-2(x-1)令f (x)=e x-2=0，∴x0=ln2∴f (x)在x∈(-∞，ln2)上单调递减，在x∈(ln2,+∞)上单调递增∵f (0)=3-e>0，f(ln2)<f(1)=0∴∃x1∈(0,ln2)，x2=1，使得f (x1)=f (x2)=0∴f(x)在x∈(-∞,x1)，(1,+∞)上单调递增，在x∈(x1,1)上单调递减∴当x≥0时，f(x)≥0，即e x≥ex+(x-1)2∴当x≤0时，f(x)≤0，即e x≤ex+(x-1)22.e x≥ex+e2(x-1)2,(x≥1) e x≥e2x2+e2，(x≥1)证明：f(x)=e x-ex-e2(x-1)2，f (x)=e x-ex≥0，(必备篇)∴f(x)在x∈R上单调递增，∵f(1)=0∴当x≥1时，f(x)≥f(1)=0，即e x≥ex+e2(x-1)2∴当x≤1时，f(x)≤f(x)=0，即e x≤ex+e2(x-1)23.(x-1)e x≥12x2-1证明：f(x)=(x-1)e x-12x2+1，f (x)=x(e x-1)≥0，(必备篇)∴f(x)在x∈R上单调递增，∵f(0)=0∴当x≥0时，f(x)≥f(0)=0，即(x-1)e x≥12x2-1∴当x≤0时，f(x)≤f(0)=0，即(x-1)e x≥12x2-1飘带函数找点1已知函数：f (x )=lnx -ax -1x +1，讨论函数f (x )的零点个数，并说明理由【解析】PS ：飘带函数隐藏性质：f (1x )=-lnx -a 1-x 1+x ，∴f (x )+f (1x)=0，即两零点之积为1∵f(x )=1x -2a (x +1)2=x 2+(2-2a )x +1x (x +1)2设函数f (x )的极值点为x 1，x 2，零点为x 3，x 4,x 5①当a ≤0时∴f (x )在x ∈(0，+∞)上单调递增，∵f (1)=0，∴f (x )有且仅有一个零点②当0<a ≤2时∵g (x )=x 2+(2-2a )x +1，∴∆=4a (a -2)≤0∴f (x )在x ∈(0，+∞)上单调递增，∵f (1)=0，∴f (x )有且仅有一个零点③当a >2时，x 1x 2=1x 1+x 2=2a -2∆=4a (a -2)≥0∴x 1∈(0，1)，x 2∈(1，+∞)∴f (x )在x ∈(0，x 1)和(x 2，+∞)上单调递增，在x ∈(x 1，x 2)上单调递减.第一个：∵f (1)=0，∴x 4=1(显零点)第二个：∵f (e a)=a -a e a -1e a +1=2ae a +1>0,∵e a >1，∴存在唯一零点x 5∈(x 2，e a )，使得f (x 5)=0第三个：方法1：∵f (1ea )=-a -a 1-e a 1+e a =-2a 1+e a <0，∵1e a <1∴存在唯一零点x 3∈(1ea ，x 1)，使得f (x 3)=0方法2：∵x 3x 5=1∴存在唯一零点x 3∈(1e a，x 1)，使得f (x 3)=0∴综上当a ≤2时，f (x )存在唯一零点当a >2时，f (x )存在三个零点x 4(1,0)x 11e ax 3x 2x 5e a飘带函数找点2已知函数f (x )=x -a (x -1x),ln 讨论函数f (x )的零点个数，并说明理由【解析】PS 1：飘带函数隐藏性质：f (1x )=-x ln -a (1x -x )，∴f (x )+f (1x )=0，即两零点之积为1PS 2:飘带变形x ln ≤x -1x ，x ∈(1，+∞)∵f(x )=1x -a (1+1x 2)=-ax 2+x -a x 2设函数f (x )的极值点x 1，x 2，零点为x 3，x 4，x 5①：当a ≤0时f (x )在x ∈(0，+∞)上单调递增，∵f (1)=0，∴f (x )有且仅有一个零点②：当a ≥12时，△=1-4a 2≤0f (x )在x ∈(0，+∞)上单调递减，∵f (1)=0，∴f (x )有且仅有一个零点③：当0<a <12时，x 1x 2=1x 1+x 2=1a ∆=1-4a 2>0 ∴x 1∈(0，1)，x 2∈(1，+∞)∴f (x )在x ∈(0，x 1)和(x 2，+∞)上单调递减，在x ∈(x 1，x 2)上单调递增.第一个：∵f (1)=0，∴x 4=1(显零点)第二个：∴f (x )<(x -1)(1x-a (x +1)x )∴f (1a 2-1)<0，∵1a2-1>1∴存在唯一零点x 5∈(x 2，1-a 2a2)，使得f (x 5)=0第三个：∵x 3x 5=1∴存在唯一零点x 3∈(a 21-a 2，x 1)，使得f (x 3)=0综上当a ≤0或a >0时，f (x )存在唯一零点当0<a <12时，f (x )存在三个零点x 4(1,0)x 2x 1x 51-a 2a 2x 3a 21-a 2④：三角放缩1正弦：x≥sinx≥x-x36,(x>0)左式证明：f(x)=sinx-x，f (x)=cosx-1≤0，f (x0)=0∴f(x)在x∈R上单调递减∴当x≤0时，f(x)≥f(0)=0，即sinx≥x∴当x≥0时，f(x)≤f(0)=0，即sinx≤x右式证明：g(x)=sinx-x+x36，g(x)=cosx-1+x22，且g(x0)=0∵g (x)=x-sinx，由左式得∴g (x)在x∈(-∞，0)上单调递减，在x∈(0，+∞)上单调递增∴g(x)在x∈mst涛哥数学R上单调递增∴当x≤0时，g(x)≤g(0)=0，即sinx≤x-x36∴当x≥0时，g(x)≥g(0)=0，即sinx≥x-x362余弦：1-x22≤cosx≤1，(x∈R)左式证明：f(x)=cosx-1+x22，f(x)=x-sinx∵由1式得f(x)在x∈(-∞，0)上单调递减，在x∈(0，+∞)上单调递增∴f(x)≥f(0)=0，即cosx≥1-x2 23正切：tanx≥x，(0≤x<π2)证明：f(x)=tanx-x，∴f (x)=1cos2x-1≥0∴f(x)在x∈R上单调递增∴当-π2<x≤0时，f(x)≤f(0)=0，即tanx≤x ∴当0≤x<π2时，f(x)≥f(0)=0，即tanx≥x4正切：tanx≥x+13x3，(0≤x<π2)证明：f(x)=tanx-x-x33，f(x)=1cos2x-1-x2=tan2x-x2≥0∴f(x)在x∈(-π2，π2)上单调递增∴当-π2<x≤0时，f(x)≤f(0)=0，即tanx≤x+13x3∴当0≤x<π2时，f(x)≥f(0)=0，即tanx≥x+13x3 PS：tan2x+1=sec2x=1cos2x常见变式：1.sinx≥2πx，(0≤x≤π2)证明：(小题)几何作图法：割线2.sinx-xcosx≥0，(0≤x≤π2)证明：f(x)=sinx-xcosx=cosx tanx-x由3得：tanx~x，∵x∈-π2,π2时，cosx≥0∴当0≤x≤π2时，f(x)≥f(0)=0，即sinx-xcosx≥0∴当-π2≤x≤0时，f(x)≤f(0)=0，即sinx-xcosx≤03.xcosx+2x-3sinx≥0，(x≥0)证明：f(x)=x3-sinx2+cosx，f(x)=(1-cosx)23(2+cosx)2≥0∴f(x)在x∈R上单调递增，∵f(0)=0∴当x≤0时，f(x)≤f(0)=0，即xcosx+2x-3sinx≤0∴当x≥0时，f(x)≥f(0)=0，即xcosx+2x-3sinx≥0PS：x3是sinx2+cosx在0处的切线(π2,1)y=sinxl:y=2πxe x -e -x2e x +e x2e x 2e -x 2-e x2拔高篇(130-140)一.130以下无需掌握：1.双曲正余切双曲正弦函数：shx =e x -e -x 2,奇函数双曲余弦函数：chx =e x +e -x 2,偶函数双曲正切函数：thx =shx chx =e x -e -xe x +e-x PS :有以下常用结论：1.th 2x =1-1ch 2x，ch 2x -sh 2x =12.(shx ) =chx ，(chx ) =shx ，(thx ) =1ch 2x 3.shx ，chx ，在第一象限无限趋近于e x2，无渐进线4.sh (x +y )=shxchy +chxshysh (x -y )=shxchy -chxshysh (2x)=2shxchx ch (x +y )=chxchy +shxshy ch (x -y )=chxchy -shxshy ch (2x )=ch 2x +sh 2x【解析】：由结论易知A 正确，B 错误,D 错误;C :设A (t ，e t +e -t2)，B (t ，e t -e -t 2)，∴AB =1et 为减函数，∴C 正确；综上AC 正确2.x-1x<lnx≤4(x-1)x+1,0<x≤1 4(x-1)x+1<lnx<x-1x,x>1证明：将x→x代入飘带放缩即可3.(2-x)e x≥2+x，x≤0(2-x)e x<2+x，x>0证明：将x→e x代入飘带放缩即可3.(140以下无需掌握)1.lnx<(x-1)(x+5)4x+2，(x>0)证明：f(x)=lnx-(x-1)(x+5)4x+2，∴f(x)=1x-x2+x+7(2x+1)2=(1-x)3x(2x+1)2∴f(x)在x∈(0，1)上单调递增，在x∈(1，+∞)上单调递减∴f(x)≤f(1)=0，即lnx<(x-1)(x+5)4x+2，(x>0)2.lnx≥3x2-3x2+4x+1，(x≥1)证明：f(x)=lnx-3x2-3x2+4x+1，f(x)=(x-1)4x(x2+4x+1)2≥0∴f(x)在x>0上单调递增，∵f(1)=0∴当x≥1时，f(x)≥f(1)=0，即lnx≥3x2-3x2+4x+1 3.e x≥ax2+1，x≥0，(a≈1.5441)通常取a=32，即ex≥32x2+14..ln1+x1-x≥2x+23x3，x≥0证明：∵ln(1+x)≥x-x22+x33-x44，ln(1-x)≤-x-x22-x33-x44∴ln(1+x)-ln(1-x)=ln1+x1-x≥2x+23x3，x≥0帕德逼近：。
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飘带函数与对均不等式
①0(1)1(2ln )1(21∈+-<<-x x x x x x ，，)1； ①
)1[)1
(21ln 1)1(2∞+∈-≤≤+-，，x x
x x x x ．
证明：构造函数)1(21ln )(x x x x f --=，则02)1(21211)(2
22≤--=--='x x x x x f ，
而0)1(=f ，故当10<<x 时，)1(21ln x x x －>；当1≥
x 时)1
(21ln x x x －≤． 构造函数1
)
1(2ln )(+--=x x x x g ，则0)1()1()1(41)(222≥+-=+-
='x x x x x x g ，而0)1(=f ，故当10<<x 时，1)1(2ln +<
x x x －；当1≥x 时，1
)
1(2ln +≥x x x －（证明对数平均不等式的常用模型）． 把上式中的x 换成1+x ，得：
①
]01(22)1ln(111211)2(21，，-∈+≤
+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++x x x
x x x x x x ； ④).,0[1
)2(21)1ln(22+∞∈++⋅≤+≤+x x x x x x x ，
【例1】（2019•沈阳模拟）设函数1()()2f x p x lnx x =--，2()(e
g x p x
=是实数，e 为自然对数的底数）
（1）若()f x 在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围；
（2）若在[1，]e 上至少存在一点0x ，使得00()()f x g x >成立，求p 的取值范围．
)0x 恒成立2
21x p x =+11，所以当1p 时，(f 为单调增函数．同理，要使“f 为单调减函数)0x 恒成立，再转化为“2
21x p
x =+所以当0p 时，()f x 在(0,+∞单调减函数．综上所述，f 在(0,)+∞为单调函数，1p 或0p 2)e
x x
=
在[1，]e 上为减函数，所以0p 时，由（1）知，]e 上递减，不合题意 1p 时，由（，]e 上为减函数，故只需()max f x >241
e
p e ⇒>-．
1p <<时，因10x ，[1x ∈11
()222lnx x lnx e lne x e
----<意，综上，p 的取值范围为(241
e
e -
【例2】（2020•鄂州月考）已知函数()1
lnx
f x x =-． （1）求()f x 的单调区间； （2）证明：1
()x
x f x e +>
（其中e 是自然对数的底数， 2.71828)e =⋯．
【例3】（2020•五月份模拟）已知函数2()1x f x e x ax =---． （1）当0a =时，求证：()0f x ；
（2）当0x 时，若不等式()0f x 恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若0x >，证明2(1)(1)x e ln x x -+>．
)0x 1a 时，在)0x ，()h x )(0)x h ，即)(0)0x f '=()f x ∴在增函数，()(0)0f x f ∴=，1
2
a
时满足条件；1a >时，令()0h x '=，解得2x ln a =，当2)a 上，0h ，()h x 单调递减， (0,2)ln a 时，有()(0)0h x =，即()f x '，()f x ∴在区间(0,2)ln a 为减函数，)(0)0f <=，不合题意，综上得实数a 的取值范围为1
(,]2
-∞；）得，当12
a =时，0x >，e ，0x >时，
【例4】证明：)1)(ln 1(221++≥-x x xe x
对数平均不等式的应用
(1)
x +(1)(1)x x x x ++因为1x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0g x g <=，从而不等式①成立；综合（I ）（II ）知，对,a b R +
∀∈，都有对数平均不等式(,)2
a b
ab L a b +≤≤成立，当且仅当a b =时，等号成立．
【例1】（2018•全国卷I ）已知函数()1
ln f x x a x x
=-+. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：
()()
1212
2f x f x a x x -<--．
只需证
1212ln ln 1x x x x -<-，由于12
12
1ln ln x x x x ->=-，故命题得证．
【例2】（2020•益阳期末）已知函数()f x lnx =． （1）当1x >时，比较()f x 与
2(1)
1
x x -+的大小； （2）若3()()()g x af x x ax a R =+-∈有两个极值点1x ，2x
，求证：
12()()23
g x g x a
x x ->-． 0a 时，p '323a x +=2121212lnx lnx a x x x x x -++-1212lnx lnx a x x --122
121
13lnx lnx x x x x x ->=
-+，不妨设1x 原不等式转化为得当1t >时，。