2014年辽宁高考理科数学试卷
2014学年高考理科数学年辽宁卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）答案解析【提示】根据复数的基本运算即可得到结论. 【考点】复数的四则运算 2.【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，系统抽样和分层抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即123p p p ==.故选D.【提示】利用二项式定理的展开式的通项公式，求解所求项的系数即可. 【考点】二项式定理 5.【答案】C【解析】根据不等式的性质可知，若x y >，则x y -<-成立，即p 为真命题，当1x =，1y =-时，满足x y >，但22x y >不成立，即命题q 为假命题，则①p q ∧为假命题；②p q ∨为真命题；③()p q ∧⌝为真命题；④()p q ⌝∨为假命题，故选：C.【提示】根据不等式的性质分别判定命题p ，q 的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论. 【考点】非、或、且，真假命题 6.【答案】D【解析】当[2,0)t ∈-时，运行程序如下，221(1,9]t t =+∈，(26]3,S t -=∈-，当[0,2]t ∈时，[,1]33S t ∈--=-，则(2,6][3,1][3,6]S ∈---=-，故选D.【提示】由题意可得001e ln()0xx a ---+=有负根，采用数形结合的方法可判断出a 的取值范围.BD DC AD DE DE =⇒=【提示】可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出C，F两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程中，消去参数p后，得到a，b的关系式，再寻求b的值.||OA OB OD++=||OA OB OD++的取值范围为||8OA OB OD++=+ ||OA OB OD++的最大值【提示】（Ⅰ）利用对立事件的概率公式，计算即可， AD CD AC AD-21277217147⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭37sin 23sin 6AC BACCBA∠=∠. 【提示】（Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos CAD ∠的值.（Ⅱ）根据cos CAD ∠，cos BAD ∠的值分别，求得sin BAD ∠和sin CAD ∠，进而利用两角和公式求得sin BAC ∠的值，最后利用正弦定理求得BC .【考点】解三角形，余弦定理，正弦定理19.【答案】（Ⅰ）如图，因为四边形11ACC A 为矩形，所以1CC AC ⊥. 同理1DD BD ⊥.因为11CC DD ∥，所以1CC BD ⊥. 而ACBD O =，因此1C C B D C A ⊥底面.由题设知，11O O C C ∥. 故1C O B D O A ⊥底面.（Ⅱ）如图2，过1O 作11O H OB ⊥于H ，连接1HC . 由（Ⅰ）知，1C O B D O A ⊥底面， 所以11111O O A B C D ⊥底面， 于是111O O AC ⊥.又因为四棱柱1111A B ABC C D D -的所有棱长都相等， 所以四边形1111A B C D 是菱形，因此1111AC B D ⊥，从而1111AC BDD B ⊥平面，1112OO O B OB =2O H =119【提示】（Ⅰ）由已知中，四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等，AC BD O =，11111AC B D O =，四边形11ACC A 和四边形11BDD B 均为矩形.可得111O O CC BB ∥∥且1CC AC ⊥，1BB BD ⊥，进而1OO AC ⊥，1OO BD ⊥，再由线面垂直的判定定理得到1O O ABCD ⊥底面；11(1)32nn -- n 1(1)2n n --++112121()121n ---+ 11(1)32nn --.11(1)32nn --. 【提示】（Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值，分别令1n =，2代入求出2a 和3a ，再由等差中项的性质列出关于p 的方程求解，利用“{}n a 是递增数列”对求出的p 的值取舍；（Ⅱ）根据数列的单调性和式子“1||n n n a a p +-=”、不等式的可加性，求出221nn a a --和1n n a a +-，再对数列{}n a 的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n 项和公式，求出数列{}n a 的奇数项、偶数项对应的通项22a b a +=，从而2(F22212m m ++，22214m m ++.APBQ 的面积2222213|222122mS d m m+==-+--.S 取得最小值2.【提示】（Ⅰ）由斜率公式写出1e ，2e 把双曲线的焦点用含有a ，b 的代数式表示，结合已知条件列关于a ，b 的方程组求解a ，b 的值，则圆锥曲线方程可求；（Ⅱ）设出AB 所在直线方程，和椭圆方程联立后得到关于y 的一元二次方程，由根与系数的关系得到AB 中点M 的坐标，并由椭圆的焦点弦公式求出AB 的长度，写出PQ 的方程，和双曲线联立后解出P ，Q 的坐标，由点到直线的距离公式分别求出P ，Q 到AB 的距离，然后代入三角形面积公式得四边形APBQ 的面n【提示】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决. 【考点】函数单调性，极值，导数的性质与应用。
2014辽宁高考数学卷辽宁卷
普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）第I 卷一、选择题（1） 已知全集U R =，{}0|A x x =≤，{}1|B x x =≥，则集合()U AB =ð （A ） {}0|x x ≥ （B ）{}1|x x ≤ （C ）{}1|0x x ≤≤ （D ）{}1|0x x <<（2） 设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ）A. 23i +B. 23i -C. 32i +D. 32i -（3） 已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则 （A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）c a b >> （D ）c b a >>（4） 已知,m n 表示两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）A. 若//,//m n αα，则//m nB. 若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥C. 若,m m n α⊥⊥，则//n αD. 若//,m m n α⊥，则n α⊥（5） 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b =0，b ·c =0，则a ·c =0；命题q ：若a ∥b ， b ∥c ，则a ∥c . 则下列命题中真命题是（A ）p q ∨ （B ）p q ∧ （C ） ()()p q ⌝∧⌝ （D ） ()p q ∨⌝（6） 若将一个质点随即投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（A ）2π （B ）4π （C ）6π （D ）8π（7） 某几何体三视图如图所示，则该几何体体积为（A ）82π- （B ）8π- （C ）82π- （D ）84π-（8） 已知点A （-2，3）在抛物线2:2C y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（A ）43- （B ） -1 （C ）34- （D ）12- （9） 设等差数列{}n a 中的公差为d ，若数列1{2}n aa为递减数列，则A. 0d <B. 0d >C. 10a d <D. 10a d >（10） 已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,0,2()121,,2x x f x x x π⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎫⎪-∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为（A ）1247,,4334⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（B ）3112,,4343⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （C ）1347,,3434⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（D ）3113,,4334⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （11） 将函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移2π个长度单位，所得图像对应函数 （A ）在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 （B ）在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 （C ）在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 （D ）在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 （12） 当[]2,1x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（A ）[]5,3-- （B ）96,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ （C ）[]6,2-- （D ）[]4,3-- 第II 卷二、填空题（13） 执行右侧的程序框图，若输入3n =，则输出T = .（14） 已知x ，y 满足约束条件220240330x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤，则目标函数34z x y =+的最大值为（15） 已知椭圆22:194x y C +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则AN BN += .（16） 对于0c >，当非零实数,a b 满足22420a ab b c -+-=且使|2|a b +最大时，124a b c++的最小值为______________ 三、解答题（17） （本小题满分12分）在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a c >，已知2BA BC =，1cos 3B =，3b =，求： （Ⅰ）a 和c 的值；（Ⅱ）()cos B C -的值。
10.2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）（答案版）
2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C AB =（ ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x << 2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i - 3.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5.设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b •=，0b c •=，则0a c •=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ） A ．144 B ．120 C ．72 D ．247.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．82π- B ．8π- C ．82π-D ．84π-8.设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（ ） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d > 9.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 10.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．4311.当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,3]-- B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]-- 12.已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足： ①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1|()()|||2f x f y x y -<-. 若对所有,[0,1]x y ∈，|()()|f x f y k -<，则k 的最小值为（ ） A ．12 B ．14 C ．12πD ．18第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.执行右侧的程序框图，若输入9x =，则输出y = .14.正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是 .15.已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .16.对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC •=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.18. （本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X .19. （本小题满分12分）如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，120ABC DBC ∠=∠=︒，E 、F 分别为AC 、DC 的中点. （1）求证：EF BC ⊥；（2）求二面角E BF C --的正弦值.20. （本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22122:1x y C a b-=过点P （1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程21. （本小题满分12分）已知函数8()(cos )(2)(sin 1)3f x x x x x π=-+-+，2()3()cos 4(1sin )ln(3)xg x x x x ππ=--+⋅-.证明：（1）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F. （1）求证：AB 为圆的直径； （2）若AC=BD ，求证：AB=ED.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N. （1）求M ； （2）当x M N ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.参考答案【选择题】1.D2.A3.C4.B5.A6.D7.B8.C9.B 10.D 11.C 12.B【填空题】 13.299 14.23 15.12 16.-2【解答题】17．解：（1）2,3.2,3∴5,6c ∴2-cos 23cos ,3,31cos 222====>=+=+====•==c a c a c a c a a acb c a B ac B ca BC BA b B 所以，解得，且 （2）2723)-cos(.2723sin sin cos cos )-cos(924sin ,972c -cos ,2,3,3322sin 31cos 222==+=∴==+=====∴=C B C B C B C B C ab b a C c b a B B 所以，18．解：（1）108.0.108.02)(501002.15.050003.0)50(,6.050)002.0004.0006.0()100≥(2所以，所求事件概率为，则且一日销量低于日销量不低于表示连续表示日销售量，则用==+==•=<==•++==b a baa aab A p A Y p b Y p a Y（2）.72.08.1.72.0)-1(,8.16.0*3.216.0)-1()3(.432.0)-1()2(.288.0)-1()1(.064.0)-1()0(∴).6.0,3(~,6.0100)1(.3,2,1,00333122321133003和分别为和方差望的分布列如下，数学期的概率知，日销量不低于由可取DX EX X a na DX na EX a a C x p a a C x p a a C x p a a C x p B X a X ==================19．解： （1）BCBC BC H EH FH EH FH EH FH BC H BCE BCF BE RT BCE ABC EC AE BA BC BF RT BCF CBD FC DF BD BC ⊥EF EF ⊥∴EFH ⊥∴∩BC,⊥BC,⊥21BH BC,⊥BC,⊥ΔΔ∴EC⊥,Δ∴120∠,,FC ⊥,Δ∴120∠,,所以，面则上，且在全等，设与三角形为且同理三角形为且==°===°=== （2）552θsin CD --552,sin 55113100100||||,cos ∴)1,1,3-(002321230210),,()0,23,21(),23,0,21(),0,0,21-(),0,23,0(),23,0,0()1,0,0(2.,,,HF ,∴HF ⊥⊥,12121212122221=>=<=++++++<==++=++========的正弦值所以，二面角，解出一个法向量，即满足：的法向量面的一个法向量显然，面轴建立坐标系为分别以）知由（BF E n n n n n n n n n y x z x BF n BE n z y x n BEF BF BE B F E n BCF BF BE z y x EH HC HC EH 20.解： （1）12-1231-)2,2(,,3).2,2(2,168211682116)(4214421,,4,,,222222222222242242242222====∴=+====++=++≥+++=++===y x a b c by a x P a b c a c P s n m r r n m r n m r n m s mn r r n m P r 所以，双曲线方程为，，中代入双曲线方程把点取最大值，这时时，仅当三角形面积由射影定理得为点上下两段线段长分别设圆半径（2）222222222222222211221121313 6.1630.(,),(,).0(P x y a b c c a bx y P b a a bx y l PA PB x my A x y B x y PA PB x y x +==+=+===+=•===•=椭圆过，焦点为设椭圆方程，，把点代入椭圆方程中，解得，所以，椭圆方程为由题知，直线过右焦点为，且设直线方程212121212221212121221212222212(((())2(1))0163(2)-30,yx x y y mymy y y m yy y y y y yy m y yy y x ym y y y =+=+=++++++=+++++=++=+=与椭圆方程联立得：由韦达定理得1222121222222222-32(1))0-3(1)0-3-30(-3-30-2m02m 0y y m m y yy y m m m m m =+++++=∴+++=++++=++++=++=+=∴=即12m m x y x y =======+所以，所求直线方程为或21.解：（1）上仅有一个零点，在所以，单调递减单调递减，且单调递减单调递增，单调递增上，，在上有零点，在，)2π0()(↓)1(sin 38-)2π)(-(cos )(∴↓)1(sin 38-↓)2π)(cos -(-∴↑0cos -↑02π)2π0()2π0()(∴0)2(38-)π2)(2π-()2π(,038-π)0(∴)1(sin 38-)2π)(-(cos )(x f x x x x x f y x y x x x y x x y x y x f f f x x x x x f ++==+=++=>+=>+=<=>=++= （2）（II ）考虑 ].,2[),23ln(4sin 1cos )(3)(ππππ∈--+-=x x x x x h 令,x t -=π则],2[ππ∈x 时，]2,0[π∈t 记)sin 1)(2()(3)(),21ln(4sin 1cos 3-)('t t t f t u t t t t t h t u ++=+-+==πππ则）（ 由（I ）得，当0)()2,(,0)(),0('0'0〈∈〉∈t u x t t u x t 时，当时，π在（0，0x ）上)(t u 是增函数，又)00(=u ，从而当),0(0x t ∈时，)(t u 0〉，所以)(t u 在],0(0x 上无零点。
2014辽宁高考数学理科
14高考辽宁（理）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C AB =（ ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x << 2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i - 3.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5.设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ∙=，0b c ∙=，则0a c ∙=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝6.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ） A ．144 B ．120 C ．72 D ．247.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．82π- B ．8π- C ．82π-D ．84π-8.设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（ ） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d >9.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 10.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．4311.当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,3]-- B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]-- 12.已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足：①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1|()()|||2f x f y x y -<-. 若对所有,[0,1]x y ∈，|()()|f x f y k -<，则k 的最小值为（ ） A ．12 B ．14 C ．12π D ．18二、填空题13.执行右侧的程序框图，若输入9x =，则输出y = .14.正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2y x=上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是 .15.已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .16.对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值. 18. （本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X .频率组距 /个19. （本小题满分12分）如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 分别为AC 、DC 的中点.（1）求证：EF BC ⊥；（2）求二面角E BF C --的正弦值.C20. （本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22122:1x y C a b-=过点P （1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.21. （本小题满分12分）已知函数8()(cos )(2)(sin 1)3f x x x x x π=-+-+，2()3()cos 4(1sin )ln(3)xg x x x x x π=--+-.证明：（1）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F. （1）求证：AB 为圆的直径； （2）若AC=BD ，求证：AB=ED.PA23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N. （1）求M ； （2）当x MN ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.参考答案一、选择题： 1. D解析： ∵A ∪B={x|x ≥1或x ≤0}，∴()U C A B ={|01}x x <<.故选D.考点：（1）1.1.3集合的基本运算. 难度：A 备注：高频考点2. A解析：∵(2)(2)5z i i --=，∴522z i i -=-，∴()()55(2)2223222iz i i iii i +=+=+=+--+.解析2： ∵(2)(2)5z i i --=，∴5(2)(2)242z i i z z i i =--=---，∴472i z z i +=-，∴()()()()4724723222i i i z i i i i +++===+--+.解析3：设z a bi =+，代入到已经中(2)(2)5a bi i i +--=，整理2(24)5a b b a i +-+--=，根据复数相等的概念得25240a b b a +-=⎧⎨--=⎩，解得a=2，b=3，所以z =23i +. 考点：（1）11.2.2复数的代数运算；（2）13.1.1函数与方程思想. 难度：A 备注：高频考点 3. C解析：∵1030221a -<=<=，22122211log log 10,log log 3log 2133b c =<===>=， ∴c ＞a ＞b解析2：首先将c 化简：1221log log 33c ==.画函数22,log x y y x ==的图像，如图所示：通过观察图像得：c ＞a ＞b考点：（1）2.4.3指数函数的性质及应用；（2）2.5.2对数函数的图象与性质；（3）13.1.1函数与方程思想；（4）13.1.5特殊与一般思想.备注：易错题. 4. B 解析:A ．若m ∥α，n ∥α，则m ，n 相交或平行或异面，故A 错；xB ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n ，故B 正确；C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，故C 错；D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α或n ⊥α，故D 错． 考点：（1）9.4.1直线与平面平行的判定与性质；（2）9.5.1直线与平面垂直的判定与性质. 难度：B 备注：易错题. 5. A解析:若0a b ∙=，0b c ∙=，则0a c ∙=”是个假命题，理由如下：若0a b ∙=，0b c ∙=，则a b b c ∙=∙，所以0a b b c ∙-∙=，即()0a c b -∙=，则不能说明0a c ∙=成立；“若//,//a b b c ，则//a c ”为真命题，理由如下：若//,//a b b c ，设,a b b c λμ==（0λμ⋅≠），所以()()a c c λμλμ==，可得//a c .则p ∨q ，为真命题，p ∧q ，（￢p ）∧（￢q ），p ∨（￢q ）都为假命题.考点：（1）1.2.1四种命题的关系及真假判断；（2）5.1.3平面向量的共线问题；（3）5.3.1平面向量的数量积运算. 难度：B 备注：易错题. 6.D解析：第一步：3人全排，有33A =6种方法，第二步：3人全排形成4个空，在前3个或后3个或中间两个空中插入椅子，有4种方法，第三步：根据乘法原理可得所求坐法种数为6×4=24种．解析2：将6把椅子依次编号为1，2,3，，4,5,6，故任何两人不相邻的做法，可安排：“1,3,5,”，“1,3,6”，“1,4,6”，“2,4,6”号位置就坐，故总数为433A =24.考点：（1）10.6.1分类加法计数原理的应用；（2）10.6.2分步乘法计数原理的应用；（3）10.6.4排列问题. 难度：B备注：高频考点. 7. D解析: 由三视图知：几何体是正方体切去两个14圆柱， 正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V=23﹣2×14×π×12×2=8﹣π．考点：（1）9.2.3由三视图求几何体的表面积、体积. 难度：B备注：高频考点 8.C解析：根据题意可得∵数列1{2}na a 为递减数列,∴111111111()()0222,22122nnn n n n a a a a a a a a a a d a a +++-->∴==>=，10a d ∴<.解析 2 ：由数列1{2}n a a 为递减数列,根据指数函数n y a =的性质，知10n a a <，得10,0n a a ><，或10,0n a a <>，当10,0n a a ><时，0d <，所以10a d <，，当10,0n a a <>时，0d >，所以10a d <，综上：10a d <.考点：（1）2.4.3指数函数的性质及应用；（2）6.2.2等差数列的基本量的计算；（3）13.1.3分类与整合思想.难度：B 备注：高频考点 9. B解析： 将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得函数为 23sin 23sin 2233y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以23222232k x k πππππ+≤-≤+，解得7131212k x k ππππ+≤≤+，所以函数在区间713[,]1212k k ππππ++上单调递减 ，所以A,C 都不正确；2222232k x k πππππ-+≤-≤+，解得71212k x k ππππ+≤≤+，所以函数在区间7,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上单调递增 ，当k=0时，函数在在区间7[,]1212ππ上单调递增. 考点：（1）4.4.1作y=Asin(wx+φ）的图象及图像变换（2）；4.3.2三角函数的单调性与周期性. 难度：B 备注：高频考点 10. D解析：抛物线C ：22y px =的准线方程为2px =-，焦点F （2,0），而点(2,3)A -在准线上，所以解得p=4，设B （m ，n ），抛物线在第一象限的方程为y =12y -'=，所以过点B的切线斜率为12k -=，而切线又过点A ，所以33n m -=+12-①，而点B 又在满足方程y =n =m=n=8，所以BF 的斜率为804823-=-.解析2：22y px =的准线方程为2px =-，焦点F （2,0），而点(2,3)A -在准线上，所以解得p=4，设直线AB 的方程为(3)2x k y =--，与方程22y px =联立，得22(3)2y pxx k y ⎧=⎨=--⎩，化简2824160y ky k -++=，26496640k k ∆=--=，所以k=2，（或k=-1舍去），将k=2代入2824160y ky k -++=中，可求得y=8，从而解得x=8，故B （8,8），所以BF 的斜率为804823-=-. 考点：（1）8.7.3直线与抛物线的位置关系；（2）3.1.3导数的几何意义. 难度：B备注：高频考点 11. C 解析:当0≤x ≤1时，ax 3-x 2+4x+3≥0可化为32341a x x x≥--+， 令()32341f x x x x =--+，则()432981f x x x x'=+-，当0≤x ≤1时，f ′（x ）＞0，f （x ）在（0，1]上单调递增，f （x ）max =f （1）=-6，∴a ≥-6；当-2≤x ＜0时，ax 3-x 2+4x+3≥0可化为32341a x x x≤--+， 当-2≤x ＜-1时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，当-1＜x ＜0时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，f （x ）min =f （-1）=-2，∴a ≤-2；综上所述，实数a 的取值范围是-6≤a ≤-2，即实数a 的取值范围是[-6，-2]．考点：（1）3.2.2导数与函数单调性；（2）7.2.2一元二次不等式恒能恰成立问题. 难度：C备注：高频考点解析2:先证4k ≤.不妨设01y x ≤<≤，（1） 若12x y -≤ ，则1111|(x)()||x |2224f f y y -<-≤⨯=；（2） 若12x y ->，有12x y -+<-，则|(x)()||(x)(1)(0)()||(x)(1)|f f y f f f f y f f -=-+-≤-|(0)()|f f y +-1111111111|x 1||0|(1x)(x )()2222222224y y y <-+-=-+=+-+<+⨯-= 所以14k ≤.由于对称性，同理可证明当01x y ≤<≤时，14k ≤；故：14k ≤再证14k ≥.为了证明这一点，我们需要构造一族函数.我们构造如下函数：11(),[0,]22(x)11()(1),(,1]22x x f x x εε⎧-∈⎪⎪=⎨⎪--∈⎪⎩ （其中ε 是远小于12 的正数）显然有(0)(1)0f f ==.接下来再验证条件（2）.同样不妨设01y x ≤<≤.（i ）当1,[0,]2x y ∈ 时，11|(x)()|()|x ||x |22f f y y y ε-=--<-（ii ）当1,[,1]2x y ∈时，11|(x)()||()(1x)()(1)|22f f y y εε-=-----11|()()||x |22y x y ε=--<-；（iii ）当11[,1],[0,]22x y ∈∈时，11|(x)()||()(1x)()|22f f y y εε-=----11|()(1x y)||x |22y ε=---<-（因为此时有1x y x y --<-和1x y x y -++<-，所以(1x y)||x |y --<-）.又因为11111|()(0)||()0|22242f f εε-=--=-，所以1142k ε>-，由于ε的任意性，令ε趋近与0，可得14k ≥. 由于对称性，同理可证明当01x y ≤<≤时，14k ≥； 综合14k ≤，所以只有14k =. 解析3 :依题意，由1|()()|||2f x f y x y -<-，得|()()|()()1||2f x f y f x f y x y x y --=<--，如图所示的函数y=f （x ）满足的条件函数之一（函数y=f （x ）的图像位于直线1l解析4：依题意，由1|()()|||2f x f y x y -<-，得|()()|()()1||2f x f y f x f y x y x y --=<--，13.1.3分类与整合思想.难度：D 备注：高频考点二、填空题 13.299解析：由程序框图知：第一次循环x=9，y=93+2=5，|5﹣9|=4＞1； 第二次循环x=5，y=53+2=113，|113﹣5|=43＞1；第三次循环x=113，y=119+2．|119+2﹣113|=49＜1，满足条件|y ﹣x|＜1，跳出循环，输出y=299．考点：（1）11.1.3程序框图的识别及应用. 难度：B 备注：高频考点 14.23解析：∵A （﹣1，﹣1），B （1，﹣1），C （1，1），D （﹣1，1）， ∴正方体的ABCD 的面积S=2×2=4，根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积()11231111182122113333S x dx x x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-=---+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰，则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是82343=．考点：（1）10.5.5与面积、体积有关的几何概型（2）3.4.3利用定积分求曲线所围图形的面积. 难度：B 备注：高频考点 15.12解析：如图：由M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，得12,F F 分别是线段MA ，MB 的中点，而MN 的中点为Q ，根据中位线定义，易得212QF BN =，112QF AN = ∵Q 在椭圆C 上，∴|QF 1|+|QF 2|=2a=6，∴|AN|+|BN|=2×6=12．解析2：设M ，N 的中点坐标为P ，(),M M M x y ，(),N N N x y ，(),P P P x y ,(),A A A x y ,(),B B B x y ,则M A x x +=-M B x x +=2M A P x x x +=，0M A y y +=，0M B y y +=,2M N P y y y +=,所以AN BN +=6=，所以|AN|+|BN|=2×6=12．考点：（1）8.5.1椭圆的定义；（2）8.5.3椭圆的几何性质. 难度：C备注：高频考点 16. -2解析：∵224240a ab b c -+-=，∴222211542416c b a ab b a b ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，由柯西不等式得，22222152224164b b a b a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++≥-=+⎢⎥⎢⎥⎢ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎣⎦⎣⎦， 故当|2a+b|最大时，有4462b a -=，∴32a b =，代入已知得210c b =，∴2223453451121122310222a b c b b b b b b ⎛⎫⎛⎫-+=-+=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当12b =时，取得最小值为-2. 类似的，还可以这样构造式子：22532232b b c a ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2222253332122232522b b ba ab a b ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++≥-+=+⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，剩下的步骤和解析1相同.解析2：∵224240a ab b c -+-=，∴()()225322388c a b a b =++-， 则()()225322388a b c a b c +=--≤，当32a b =时，取到等号，即|2|a b +取到最大值，将32a b =代入22424c a ab b =-+中，解得210c b =，下面步骤与解析1步骤一样.解析3：设t=2a+b ，则b=t-2a ，代入式子224240a ab b c -+-=中，整理可得22241840,a ta t c -+-=要保证关于a 的方程有解，则△=()()221842440t t c -⋅-≥，整理解t，t ≤|2|a b +≤，而只有△=0时，等号成立，即使|2|a b +最大，此时，()()1832322488t a b t a --+===⋅，即32a b =， 又()()22225552310888c t a b a b b ==+=+=， 所以223452411122222a b c b b b b ⎛⎫-+=-+=--≥- ⎪⎝⎭，当12b =时，上式取得最小值，解得3324a b ==，25102c b ==，所以当12b = ，34a =，52c =时，345a b c-+的最小值为-2.解析4：∵224240a ab b c -+-=，∴2215224b b c a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，设22b a θ-=，2θ=，则i n b θ=，2a θθ=，代入式子|2|a b +中，所以|2|c o ss i 1s i n ()a b θθθϕ+==+≤.当tan θ=时，等号成立，即2tan 22b a θ=-，整理得32a b =，代入到已知等式中解得210c b =， 所以223452411122222a b c b b b b ⎛⎫-+=-+=--≥- ⎪⎝⎭，当12b =时，上式取得最小值，解得33,24a b ==，25102c b ==，所以当12b = ，34a =，52c =时，345a b c-+的最小值解析5：令222244t a b a ab b =+=++，由已知可得22424c a ab b =-+，所以22222244144424424a a t a ab b b bc a ab b a a b b ⎛⎫++ ⎪++⎝⎭==-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，设a x b =，则 ()()()()2222321441633111442442421(21)421121x t x x x c x x x x x x x x -++-==+=+=+-+-+-+-+-++-381415≤+=+.当且仅当42121x x -=-即32x =或12x =-（舍）时，等式成立，所以32b a =，即32a b =时，|2|a b +取到最大值，将32a b =代入22424c a ab b =-+中，解得210c b =，下面步骤与其他解析步骤一样.考点：（1）12.3.4柯西不等式与排序不等式的简单应用；（2）2.6.5二次函数的图象与性质；（3）13.1.4化归与转化思想. 难度：D备注：典例. 三、解答题 17.（1）a=3，c=2；（2）2327解析：（1）2BA BC ∙=，1cos 3B =，cos 2BA BC B ∴∙=，即6a c ⋅=①，由余弦定理可得2221cos 23a cb B ac +-==，化简整理得2213a c +=②，①②联立，解得，a=3，c=2；（2）1cos ,sin 33B B =∴=因为a=3，3b =，c=2，由余弦定理可得2227cos 29ac b C ab -+==，sin 9C∴==，7123cos()cos cos sin sin 9327B C B C B C ∴-=+=⋅=.（2）在△ABC 中，1cos ,sin 3B B =∴==sin sin b c B C =可得sinsin 9c B C b ==，a b c =>，C ∴为锐角，7cos 9C ∴==，7123cos()cos cos sin sin 9327B C B C B C ∴-=+=⋅=. 考点：（1）5.3.1平面向量的数量积运算；（2）4.6.2利用余弦定理求解三角形； 难度：B备注：高频考点 18.（1）0.108；（2）1.8，0.72．解析：（1）设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个” B 表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此P （A 1）=（0.006+0.004+0.002）×50=0.6，P （A 2）=0.003×50=0.15， P （B ）=0.6×0.6×0.15×2=0.108，（Ⅱ）X 可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：()33(0)10.60.064P X C ==-=，()213(1)0.610.60.288P X C ==-=，()1223(2)0.610.60.432P X C ==-=,333(3)0.60.216P X C ===，随机变量X 的分布列为因为X ～B （3，0.6），所以期望E （X ）=3×0.6=1.8，方差D （X ）=3×0.6×（1﹣0.6）=0.72． 考点：（1）0.9.5二项分布的均值、方差；（2）13.1.7或然与必然思想. 难度：B 备注：典例19. （1）见解析；（2解析：（1）证明：由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系， 易得B （0，0，0），A （0，﹣1，D1，0），C （0，2，0），因而E （0，12，F12，0），所以EF =）， BC =（0，2，0），因此EF BC ⋅=0，所以EF ⊥BC ． （2）在图中，设平面BFC 的法向量1n =（0，0，1），平面BEF 的法向量2n =（x ，y ，z ）， 又BF =（12，0），BE =（0，12）， 由120n BF n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 解得其中一个法向量2n =（11）， 设二面角E ﹣BF ﹣C 的大小为θ，由题意知θ为锐角，则cos θ=|cos ＜1n ，2n ＞|=12125n n n n ⋅=因此sin θ解析2： （几何法）（1）延长CB ，过点A 作AG ⊥BC 交G ，连接DG ，因为2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=所以ABC ∆≅BCD ∆ 所以AC=DC ，又因为030ACB DCB ∠=∠=，GB=BGG所以AGC ∆≅GCD ∆，所以090AGC DGC ∠=∠=，即DB ⊥CG 而AG ⊥CG ，所以CG ⊥平面AGD ， 因为AD ⊂平面AGD ，所以CG ⊥AD因为E 、F 分别为AC 、DC 的中点. 所以EF//AD 所以CG ⊥EF （2）如图所示：过点E 分别作EO ⊥平面BDC ，交点O ，EH ⊥BF ，垂足H ，EM ⊥DC ，垂足M ，连接OH ，OM ， 则四边形HOMF 是矩形，根据三垂线定理可得，EHO ∠是二面角E BF C --所求的平面角，因为2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=所以由余弦定理可得AC=DC=在直角三角形AGB 和直角三角形BGD 中，AG=GD=sin60AB ⋅=因为E 、F 分别为AC 、DC 的中点， 所以EF=12AD= 由三角形面积公式可得4EF EF h EM FC⋅====,所以4FM ==即4HO =. 在△EBF 中GHO M4EFEF H EH BF⋅===cos HO EHO EH ∠===. 因为cos 0EHO ∠>，所以EHO ∠为锐角所以sin 5EHO ∠==. 即二面角E BF C --所求的平面角EHO ∠考点：（1）9.5.1直线与平面垂直的判定与性质；（2）.8.3求二面角. 难度：B备注：高频考点20. （1）221:12y C x -=；（2）102x y ⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭或102x y ⎛+-= ⎝⎭．解析：（1）设切点P （x 0，y 0），（x 0＞0，y 0＞0），则切线的斜率为0x y -， 可得切线的方程为0000()x y y x x y -=--，化为x 0x+y 0y=4． 令x=0，可得04y y =；令y=0，可得04x x =． ∴切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形的面积000014482S y x x y =⋅⋅=⋅ ∵2222000042x y x y =+≥⋅，当且仅当00x y =时取等号． ∴842S ≥=．此时P ．由题意可得22221a b -=，c e a ===a 2=1，b 2=2．故双曲线C 1的方程为221:12y C x -=．（2）由（Ⅰ）可知双曲线C 10），即为椭圆C 2的焦点．可设椭圆C 2的方程为22221113x y b b +=+（b 1＞0）． 把P代入可得22112213b b +=+ 22112213b b +=+，解得213b =, 因此椭圆C 2的方程为22163x y +=．由题意可设直线l 的方程为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立2226x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩()22230m y ++-=，∴1212232y y y y m-+==+．∴1212()x x m y y +=++=()2212121226632m x x m y y y y m-=++=+()()11222,2,2,AP x y BPx y =--=-∵AP BP ⊥，∴0AP BP ⋅=，∴))1212121240x x x x y y y y ++++=，∴22110m-+=，解得1-或m=1-，因此直线l的方程为：102x y ⎛⎫---=⎪ ⎪⎝⎭或102x y ⎛+--= ⎝⎭． 考点：（1）8.5.2椭圆的标准方程；（2）5.4.3平面向量与解析几何的综合问题；（3）7.3.2利用基本不等式求最值；（4）13.1.2数形结合思想；（5）13.1.4化归与转化思想.难度：D 备注：典例21.（1）见解析；（2）见解析.解析:根据题意可得，f′（x ）=﹣（1+sinx ）（π+2x ）﹣2x ﹣23cosx （Ⅰ）∵当x ∈（0，2π）时，f′（x ）＜0， ∴函数f （x ）在（0，2π）上为减函数，又f （0）=π﹣83＞0，f （2π）=﹣π2-163＜0；∴存在唯一的x 0∈（0，2π），使f （x 0）=0；（Ⅱ）考虑函数h （x ）=3()cos 1sin x xx π-+﹣4ln （3﹣2πx ），x ∈[2π，π]，令t=π﹣x ，则x ∈[2π，π]时，t ∈[0，2π]，记u （t ）=h （π﹣t ）=3cos 1sin t tt +﹣4ln （1+2πt ），则u′（t ）=3()(2)(1sin )f t t t π++，由（Ⅰ）得，当t ∈（0，x 0）时，u′（t ）＜0；在（0，x 0）上u （x ）是增函数，又u （0）=0，∴当t ∈（，x 0]时，u （t ）＞0， ∴u （t ）在（0，x 0]上无零点；在（x 0，2π）上u （t ）是减函数，由u （x 0）＞0，u （2π）=﹣4ln2＜0， ∴存在唯一的t 1∈（x 0，2π），使u （t 1）=0；∴存在唯一的t 1∈（0，2π），使u （t 1）=0；∴存在唯一的x 1=π﹣t 1∈（2π，π），使h （x 1）=h （π﹣t 1）=u （t 1）=0；∵当x ∈（2π，π）时，1+sinx ＞0，∴g （x ）=（1+sinx ）h （x ）与h （x ）有相同的零点，∴存在唯一的x 1∈（2π，π），使g （x 1）=0，∵x 1=π﹣t 1，t 1＞x 0，∴x 0+x 1＜π．考点：（1）3.1.2导数的运算；（2）3.2.2导数与函数单调性；（3）3.2.3导数与函数极值；（4）3.2.4导数与函数最值；（5）3.2.6导数与函数零点、方程的根. 难度：D备注：典例22. （1）见解析；（2）见解析.解析：（1）∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，∵PD为切线，∴∠PDA=∠DBA，∵∠PGD=∠EGA，∴∠DBA=∠EGA，∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BDA，∴∠NDA=∠PFA，∵AF⊥EP，∴∠PFA=90°．∴∠BDA=90°，∴AB为圆的直径；（2）连接BC，DC，则∵AB为圆的直径，∴∠BDA=∠ACB=90°，在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，∴Rt△BDA≌Rt△ACB，∴∠DAB=∠CBA，∵∠DCB=∠DAB，∴∠DCB=∠CBA，∴DC∥AB，∵AB⊥EP，∴DC⊥EP，∴∠DCE为直角，∴ED为圆的直径，∵AB为圆的直径，∴AB=ED．考点：（1）12.1.5圆的切线的性质与判定；难度：B备注：高频考点23. （1）cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（0≤θ＜2π，θ为参数）；（2）34sin 2cos ραα=-.解析：（1）在曲线C 上任意取一点（x ，y ），由题意可得点（x ，2y）在圆x 2+y 2=1上， ∴x 2+24y =1，即曲线C 的方程为 x 2+24y =1，化为参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（0≤θ＜2π，θ为参数）．（2）由2214220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，可得10x y =⎧⎨=⎩，02x y =⎧⎨=⎩，不妨设P 1（1，0）、P 2（0，2）， 则线段P 1P 2的中点坐标为（12，1）， 再根据与l 垂直的直线的斜率为12，故所求的直线的方程为y-1=12（x-12），即x-2y+32=0．再根据x=ρcos α、y=ρsin α 可得所求的直线的极坐标方程为ρcos α-2ρsin α+32=0，即34sin 2cos ραα=-．考点：（1）12.2.3极坐标方程的综合应用；（2）12.2.4参数方程与普通方程的互化；12.2.1极坐标和直角坐标的互化. 难度：B 备注：典例 24. （1）[0，43]；（2）见解析. 解析：（1）由f （x ）=2|x ﹣1|+x ﹣1≤1 可得1331x x ≥⎧⎨-≤⎩①，或111x x <⎧⎨-≤⎩②．解①求得1≤x≤43，解②求得 0≤x＜1．综上，原不等式的解集为[0，43]． （2）由g （x ）=16x 2﹣8x+1≤4，求得14-≤x≤34，∴N=[14-，34]，∴M∩N=[0，34]．∵当x ∈M∩N 时，f （x ）=1﹣x ，x 2f （x ）+x[f （x ）]2 =xf （x ）[x+f （x ）]=21142x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤14，故要证的不等式成立．考点：（1）1.1.3集合的基本运算；（2）12.3.2绝对值不等式的证明. 难度：C 备注：典例.。
高考辽宁数学答案
高考辽宁数学答案【篇一：2014年高考辽宁文科数学试题及答案(精校版)】文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集u?r,a?{x|x?0},b?{x|x?1}，则集合cu(ab)?（）a．{x|x?0}b．{x|x?1} c．{x|0?x?1} d．{x|0?x?1} 2. 设复数z满足(z?2i)(2?i)?5，则z?（）a．2?3i b．2?3i c．3?2i d．3?2i 3. 已知a?2?13，b?log211,c?log1，则（） 323a．a?b?cb．a?c?bc．c?a?b d．c?b?a 4. 已知m，n表示两条不同直线，?表示平面，下列说法正确的是（） a．若m//?,n//?,则m//n b．若m??，n??，则m?n c．若m??，m?n，则n//?d．若m//?，m?n，则n??5. 设a,b,c是非零向量，已知命题p：若a?b?0，b?c?0，则a?c?0；命题q：若a//b,b//c，则a//c，则下列命题中真命题是（）a．p?q b．p?q c．(?p)?(?q) d．p?(?q) 6. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形abcd中，其中ab=2，bc=1，则质点落在以ab为直径的半圆内的概率是（） a．????b． c． d． 24687. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）??b． 8? 42c．8?? d． 8?2?a．8?8. 已知点a(?2,3)在抛物线c：y2?2px的准线431 b．－1 c．? d．? 342aa9. 设等差数列{an}的公差为d，若数列{21n}为递减数列，则（）a．d?0 b．d?0 c．a1d?0 d． a1d?01?cos?x,x?[0,?1?210. 已知f(x)为偶函数，当x?0时，f(x)??，则不等式f(x?1)?2?2x?1,x?(1,??)??2的解集为（）12473112,?][,]4334434313473113c．[,][,] d．[?,?][,]34344334a．[,][,] b．[?11. 将函数y?3sin(2x??个单位长度，所得图象对应的函数（）32?7??7?]上单调递减 b．在区间[,]上单调递增 a．在区间[,12121212???? c．在区间[?,]上单调递减d．在区间[?,]上单调递增6363)的图象向右平移32?12. 当x?[?2,1]时，不等式ax?x?4x?3?0恒成立，则实数a的取值范围是（） a．[?5,?3] b．[?6,?] c．[?6,?2] d．[?4,?3]98第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 执行右侧的程序框图，若输入n?3，则输出t??2x?y?2?0?14. 已知x，y满足条件?x?2y?4?0，则目标函数z?3x?4y?3x?y?3?0?的最大值为 .x2y2??1，点m与c的焦点不重合，若m15. 已知椭圆c：94关于c的焦点的对称点分别为a，b，线段mn的中点在c上，则|an|?|bn|? .16. 对于c?0，当非零实数a，b满足4a?2ab?b?c?0，且使|2a?b|最大时，三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）在?abc中，内角a，b，c的对边a，b，c，且a?c，已知ba?bc?2，cosb?22124??的最小值为. abc1，3b?3，求：（1）a和c的值；（2）cos(b?c)的值.18. （本小题满分12分）某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率. 附：?2?n(n11n22?n12n21)，n1?n2?n?1n?2219. （本小题满分12分）如图，?abc和?bcd所在平面互相垂直，且ab?bc?bd?2，?abc??dbc?1200，e、f、g分别为ac、dc、ad的中点.（1）求证：ef?平面bcg；（2）求三棱锥d-bcg的体积. 附：椎体的体积公式v?1sh，其中s为底面面积，h为高. 3dc20. （本小题满分12分）圆x2?y2?4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为p（如图）. （1）求点p的坐标；（2）焦点在x轴上的椭圆c过点p，且与直线l:y?xa，b两点，若?pab的面积为2，求c的标准方程.21. （本小题满分12分）已知函数f(x)??(x?cosx)?2sinx?2，g(x)?(x??证明：（1）存在唯一x0?(0,（2）存在唯一x1?(请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2b铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ep交圆于e、c两点，pd切圆于d，g为ce上一点且pg?pd，连接dg并延长交圆于点a，作弦ab垂直ep，垂足为f. （1）求证：ab为圆的直径；a2x?1.??2)，使f(x0)?0；?2,?)，使g(x1)?0，且对（1）中的x0?x1??.【篇二：2014年辽宁省高考数学试卷(理科)答案与解析】ss=txt>参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．3．（5分）（2014?辽宁）已知a=，b=log2，c=log，则（）15．（5分）（2014?辽宁）设，，是非零向量，已知命题p：若?=0，?=0，则?=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）26．（5分）（2014?辽宁）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为7．（5分）（2014?辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）38．（5分）（2014?辽宁）设等差数列{an}的公差为d，若数列{}为递减数列，则（）9．（5分）（2014?辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象410．（5分）（2014?辽宁）已知点a（﹣2，3）在抛物线c：y=2px的准线上，过点a的直25【篇三：2014年辽宁高考理科数学试题逐题详解 (纯word解析版)】）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【2014年辽宁卷（理01）】已知全集u?r,a?{x|x?0},b?{x|x?1}，则集合cu(ab)?（）a．{x|x?0}b．{x|x?1}c．{x|0?x?1}d．{x|0?x?1}【答案】d【解析】a∪b={x|x≥1或x≤0}，∴cu（a∪b）={x|0＜x＜1}，故选：d【2014年辽宁卷（理02）】设复数z满足(z?2i)(2?i)?5，则z?（） a．2?3ib．2?3ic．3?2i d．3?2i【答案】a【解析】由（z﹣2i）（2﹣i）=5，得：∴z=2+3i．故选：a【2014年辽宁卷（理03）】已知a?2a．a?b?cb．a?c?bc．c?a?b d．c?b?a【答案】c 【解析】∵0＜a=＜2=1，b=log2＜log21=0，c=log，?13，b?log211,c?log1，则（） 323=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：c【2014年辽宁卷（理04）】已知m，n表示两条不同直线，?表示平面，下列说法正确的是（）a．若m//?,n//?,则m//n b．若m??，n??，则m?n c．若m??，m?n，则n//? d．若m//?，m?n，则n??b?c?0，【2014年辽宁卷（理05）】设a,b,c是非零向量，学科网已知命题p：若a?b?0，则a?c?0；命题q：若a//b,b//c，则a//c，则下列命题中真命题是（）a．p?qb．p?q c．(?p)?(?q) d．p?(?q)【答案】a【解析】若?=0，?=0，则?=?，即（﹣）?=0，则?=0不一定成立，故命题p为假命题，若∥，∥，则∥平行，故命题q为真命题，则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题，故选：a【2014年辽宁卷（理06）】6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（）a．144 b．120 c．72 d．24【答案】d【解析】3人全排，有【2014年辽宁卷（理07）】某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（） a．8?2? b．8??c．8?=6种方法，形成4个空，在前3个或后3个或中间两个空中插入 ??d．8?24【答案】b【解析】由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的【2014年辽宁卷（理08）】设等差数列{an}的公差为d，若数列{21n}为递减数列，则（）a．d?0 b．d?0c．a1d?0 d．a1d?0【答案】c【解析】∵等差数列{an}的公差为d，∴an+1﹣an=d，又数列{2∴【2014年辽宁卷（理09）】将函数y?3sin(2x?aa32}为递减数列，=＜1，∴a1d＜0．故选：c?3)的图象向右平移?个单位长度，所得2图象对应的函数（）a．在区间[?7?,1212?7?]上单调递增 b．在区间[,1212c．在区间[?d．在区间[?【答案】b【解析】把函数y=3sin（2x+]上单调递减????,]上单调递减63,]上单调递增 63）的图象向右平移个单位长度，）+]．得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣即y=3sin（2x ﹣由取k=0，得．，）．，得．∴所得图象对应的函数在区间[]上单调递增．故选：b【2014年辽宁卷（理10）】已知点a(?2,3)在抛物线c：y?2px的准线上，学科网过点a的直线与c在第一象限相切于点b，记c的焦点为f，则直线bf的斜率为（）a．【答案】d【解析】∵点a（﹣2，3）在抛物线c：y=2px的准线上，即准线方程为：x=﹣2，∴p＞0，=﹣2即p=4，∴抛物线c：y=8x，在第一象限的方程为y=2，2221234b． c． d． 2343，设切点b（m，n），则n=2又导数y′=2mm，则在切点处的斜率为，解得=2（，∴舍去），即∴切点b（8，8），又f（2，0），∴直线bf的斜率为，故选d【2014年辽宁卷（理11）】当x?[?2,1]时，不等式ax?x?4x?3?0恒成立，则实数a的取值范围是（）a．[?5,?3] b．[?6,?] c．[?6,?2] d．[?4,?3]zxxk【答案】c【解析】当x=0时，不等式ax﹣x+4x+3≥0对任意a∈r恒成立；当0＜x≤1时，ax﹣x+4x+3≥0可化为a≥32323298，令f（x）=，则f′（x）==﹣（*），当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增， f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；当﹣2≤x＜0时，ax﹣x+4x+3≥0可化为a≤32，由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．【2014年辽宁卷（理12）】已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足：①f(0)?f(1)?0；②对所有x,y?[0,1]，且x?y，有|f(x)?f(y)|?|x?y|. 2若对所有x,y?[0,1]，|f(x)?f(y)|?k，则k的最小值为（） a．1111 b．c． d．8242?。
2014年全国高考理科数学试题及答案-辽宁、四川、陕西、新课标
2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C A B =U （ ） A ．{|0}x x ≥ B ．{|1}x x ≤ C ．{|01}x x ≤≤ D ．{|01}x x <<2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i -3.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5.设,,a b c r r r是非零向量，学科 网已知命题P ：若0a b •=r r ，0b c •=r r ，则0a c •=r r ；命题q ：若//,//a b b c r r r r，则//a c r r ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝6.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ） A ．144 B ．120 C ．72 D ．247.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．82π- B ．8π- C ．82π-D ．84π-8.设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（ ） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d > 9.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 10.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，学 科网过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．4311.当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,3]-- B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]-- 12.已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足： ①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1|()()|||2f x f y x y -<-. 若对所有,[0,1]x y ∈，|()()|f x f y k -<，则k 的最小值为（ ） A ．12 B ．14C ．12πD ．18第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.执行右侧的程序框图，若输入9x =，则输出y = .14.正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是 .15.已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .16.对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC •=u u u r u u u r ，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值. 18. （本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X .19. （本小题满分12分）如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 分别为AC 、DC 的中点. （1）求证：EF BC ⊥；（2）求二面角E BF C --的正弦值.20. （本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22122:1x y C a b-=过点P 且离心率为3.（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.21. （本小题满分12分）已知函数8()(cos )(2)(sin 1)3f x x x x x π=-+-+，2()3()cos 4(1sin )ln(3)xg x x x x x π=--+-.证明：（1）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F. （1）求证：AB 为圆的直径； （2）若AC=BD ，求证：AB=ED.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N. （1）求M ；（2）当x M N ∈I 时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.2014年陕西高考数学试题（理）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|0},{|1,}M x x N x x x R =≥=<∈，则M N =I （ ）.[0,1]A .[0,1)B .(0,1]C .(0,1)D【答案】 B 【解析】B N M N M 选，).1,0[),11-(),,0[=∩∴=+∞=Θ2.函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是（ ）.2A π .B π .2C π .4D π【答案】 B 【解析】B T 选∴,π2π2||π2===ωΘ 3.定积分1(2)xx edx +⎰的值为（ ）.2Ae + .1B e + .C e .1De -【答案】 C 【解析】C e e e e x dx e x x x 选∴,-0-1|)()2(1001102∫=+=+=+Θ4.根据右边框图，对大于2的整数N ，输出数列的通项公式是（ ）.2n A a n = .2(1)n B a n =- .2n n C a = 1.2n n D a -=【答案】 C 【解析】C q a a a a a n 选的等比数列是.2,2∴,8,4,21321=====Θ5.已知底面边长为12则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）32.3A π .4B π .2C π 4.3D π【答案】 D 【解析】D r r r r 选解得设球的半径为.π3434V ∴,1,4)2(11)2(,32222====++=πΘ6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）1.5A2.5B3.5C 4.5D 【答案】 C 【解析】C p 选反向解题.53C 4C 4-1.2525=== 7.下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()12f x x = （B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3xf x =【答案】 D 【解析】D y f x f y x f D C y x y x y x 选而言，对不是递增函数只有.333)()(,3)(.++=•=•=+8.原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12zz =”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）（A ）真，假，真 （B ）假，假，真 （C ）真，真，假 （D ）假，假，假 【答案】 B 【解析】Bz z b a z b a z bi a z bi a z 选选择完成判断逆命题的真假即可逆否名称也为真，不需，原命题为真，则设，逆命题和否命题等价原命题和逆否名称等价.,||||∴,||||,-,.2122222111=+=+==+=设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若i i y x a =+（a 为非零常数， 1,2,,10i =L ），则12,10,y y y L 的均值和方差分别为（ ） （A ）1+,4a （B ）1,4a a ++ （C ）1,4 （D ）1,4+a【答案】 A 【解析】A 选变均值也加此数，方差不样本数据加同一个数，.10.如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降， 已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ）（A ）3131255y x x =- （B ）3241255y x x =-（C ）33125y x x =- （D ）3311255y x x =-+ 【答案】 A【解析】AA f x f f x f A f x 选符合只有，，而言，对即为极值点且），三次奇函数过点..053-53)5(53-1253x )(2-3-1)5(∴x 53-x 1251)(.0)5(,5,2-5(),0,0(23==′=′====′=Θ第二部分（共100分）二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11.已知,lg ,24a x a==则x =________. 【答案】 10【解析】.1010,21lg 12a ∴,lg ,224212a a========x a x a x 所以，Θ12.若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为_______.【答案】11-(22=+）y x 【解析】.11-(1),1,0(∴)1,0()0,1(22=+=）的标准方程为半径为圆心为，的对称点关于点y x x y Θ设20πθ<<，向量()()sin 2cos cos 1a b θθθ==r r ，，，，若b a ρρ//，则=θtan _______.【答案】 21【解析】.21tan θθ,cos θcos θsin 2θcos θ2sin ∴//).1,θ(cos ),θcos ,θ2(sin 22=====解得即Θ14.猜想一般凸多面体中，E V F ，，所满足的等式是_________.【答案】 2+=+E V F 【解析】.2+=+E V F 经观察规律，可得15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）.A (不等式选做题)设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=，则22m n +的最小值为.B （几何证明选做题）如图，ABC ∆中，6BC =，以BC 为直径的半圆分别交,AB AC于点,E F ，若2AC AE =,则EF =.C （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点(2,)6π到直线sin()16πρθ-=的距离是 【答案】 A 5 B 3 C 1【解析】A5.≤5)φθsin(∴5)φθsin(5os θ5θsin 5,os θ5,θsin 5∴,52222222222的最小值为所以，，则设n m n m n m n m c n m nb ma c b a b a ++=++=++=+=+===+ΘB.3,2,6∴Δ=∴===ΔEF AE AC BC CBEFAC AE ACB AEF ，且相似与Θ C1|1323-3|023-1,3(∴,2-3121os θρ-23θsin ρ)6π-θsin(ρ,1,3()6π,2(=++==+==••=d y x x y c 的距离）到直线点即对应直线）对应直角坐标点极坐标点Θ三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16. （本小题满分12分）ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. （I ）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （II ）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值.【答案】 （1） 省略 （2）21【解析】 （1）C)sin(A sinC sinA .∴C),sin(A sinB sinC.sinA 2sinB c,a b 2∴,,+=++=+=+=ΘΘ即成等差，c b a（2）.,21cosB 212ac ac -2ac 2ac b -2ac ≥2ac b -c a cosB ac.b ∴,,22222这时三角形为正三角形取最小值时，仅当又成等比，b c a c b a ====+==Θ17. （本小题满分12分）四面体ABCD 及其三视图如图所示，过棱AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面分 别交四面体的棱CA DC BD ，，于点H G F ，，.（I ）证明：四边形EFGH 是矩形；（II ）求直线AB 与平面EFGH 夹角θ的正弦值.【答案】 （1） 省略 （2）510【解析】 （1）.FG.⊥BCD ⊥,//∴,,AD//HG AD//EF,∴ADHG ADEF EFGH ⊂HG EF,EFGH,AD//HC AH EH//BC,∴EHBC EFGH,⊂EH EFGH,//B BCD⊥AD DC,⊥BD Δ,Δ为矩形所以，四边形，即面，且且共面和，面面同理且共面面面面且为等腰由题知，EHGF EF EF HG EF HG EF GC DG FB DF C RT BCD ====ΘΘ（2）510|,cos |sin 510252||||,cos ),0,1,1(0),,,()0,1-1(),2100(),1-20()0,0,1(),211,0(),0,1,0(),020(),100(,,DA ,DB ,DC (1)=><==<∴=======∴n AB n AB z y x EHGF G E F B A z y x θ所以，，解得一个则法向量，设面，，，，，，，，，，轴建系，则为知，分别以由18.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知点)2,3(),3,2(),1,1(C B A ，点),(y x P 在ABC ∆三边围成的 区域（含边界）上（1）若=++，；（2）设),(R n m n m ∈+=，用y x ,表示n m -，并求n m -的最大值.【答案】 （1） 22 （2）m-n=y-x, 1【解析】 （1）22|OP |22|OP |,2,2,0-2-3-1,0-3-2-1(0,0))-2,-3()-3,-2()-1,-1(PC PB PA ∴),,(),2,3(),3,2(),11(22==+=∴===++=++∴=++=++所以，解得，y x y x y y y x x x y x y x y x y x P C B A Θ（2）1---.1-)3,2(.,,-.--.2,2),1,2()2,1(y)x ,(∴,最大值为，所以，取最大值时，经计算在三个顶点求线性规划问题，可以代含边界内的最大值，属在三角形即求解得即n m x y n m x y B C B A ABC x y x y n m n m y n m x n m n m ==+=+=+=+=Θ19.（本小题满分12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上 的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：（1）设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列；（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2000元 的概率.【答案】 （1）（800,0.2）（2000,0.5）（4000,0.3） （2） 0.896【解析】 （1）3.06.0*5.0)4000(,5.04.0*5.06.0*5.0)2000(,2.04.0*5.0)800(.4000,2000,80040001000-10*50020001000-6*50020001000-10*3008001000-6*300.-*====+==========X p X p X p X X 三个，即，，，可以取考虑产量和价格，利润成本价格产量利润X 800 2000 4000 P0.20.50.3896.020*******.08.02.0*8.0*3)-1()-1(200023.8.03.05.02000)1(8001000-6*300.-*32333223的概率是季的利润不少于季中至少有所以，的概率季的利润不少于季中至少有则的概率知，一季利润不少于由，可以取考虑产量和价格，利润成本价格产量利润=+=+==+===p p C p p C P p X X20.（本小题满分13分）如图，曲线C 由上半椭圆22122:1(0,0)y x C a b y a b+=>>≥和部分抛物线22:1(0)C y x y =-+≤连接而成，12,C C 的公共点为,A B ，其中1C 的离心率为32. （1）求,a b 的值；（2）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q （均异于点,A B ），若AP AQ ⊥，求直线l的方程.【答案】 （1） a=2,b=1 （2） )1-(38-x y =【解析】 （1）14,3,1,2∴,23.1∴)0,1(),0,1-(1-2222222=+===+===+=x y c b a c b a a c b x y 椭圆方程为联立解得又，交于点抛物线ΘΘ（2）)1-(38-.38-,0)2(4-)2,1)(4-,(,0)2k -k - -k,()4k8- 1,44-(,0∴⊥),0,1-()2k --k ,1--k (,2k --k )1-(,1--k 0,1-k -:1-)4k8-,44-(,4k 8-)1-(,44-04-2-)4(,44)12x -(14),,(),,(),1-()0,1(222222222222222112212222222222211x y k k k k k k k k AQ AP AQ AP A Q x k y x kx x x y k k k P k x k y k k x k x k x k x x k x y y x Q y x P x k y B ===+=+=•+++=•====++=+++==+==++=++=+=所以，所求直线方程为解得即即即由韦达定理得联立得与即由韦达定理得，即联立得与的直线方程为设过Θ21.（本小题满分14分） 设函数()ln(1),()'(),0f x x g x xf x x =+=≥，其中'()f x 是()f x 的导函数.（1）11()(),()(()),n n g x g x g x g g x n N ++==∈，求()n g x 的表达式；（2）若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设n N +∈，比较(1)(2)()g g g n +++L与()n f n -的大小，并加以证明.【答案】 （1） nx x x g n +=1)(（2）,1](-∞ (3) 前式 > 后式【解析】 （1）+++++=++=+=++=+++=+==+=+++=+===+=+=′′=+=N n nx xx g xk xx g k n x k x kxx kx xx g kx x x g k n x xxx x xx g x x x g x g g x g x g x g xx x g x x f x x f x x g x x f n k k k n n ∈,1)(,.)1(1)(1∴)1(1111)(.1)(1≥21111)(1)(∴))(()()()(1)(,11)(∴,0≥),()(),1ln()(112111综上也成立时，当则时，假设当，，，ΘΘ （2）,1](-a 1.a 0.≥-1),0[∈∃0≥(x)h ,0),,0[∈∃∴0≥0≥h(x),0h(0))1(-1)1()-1(-11(x)h ,0.≥,1-)1ln(h(x)0.≥,≥1-)1ln(∴1)(),(≥)(22∞∈≤+′>=++=+++=′++=+++=所以，解得，即使上恒成立在则令a x t x t t x x x ax x x x a x x x ax x x x axx x x x g x ag x f ΘΘ（3）2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科数学一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
辽宁高考数学理科试卷(带详解)教学内容
2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,{|U R A x x ==≤0},{|B x x =≥1}，则集合()U A B =U ð（ ） A ．{|x x ≥0} B ．{|x x ≤1} C ．{|0x ≤x ≤1} D ．{|01}x x <<【测量目标】集合的基本运算. 【考查方式】集合的并集、补集. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题分析】由题意可知，A B U ＝{|01}x x x ≤或≥，所以()U A B =U ð{|01}x x <<．故选D. 2.设复数z 满足(2i)(2i)5z --=，则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i - 【测量目标】复数的基本性质和运算.【考查方式】复数的基本运算. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题分析】由(2i)(2i)5z --=，得52i 2iz -=-，故z ＝23i +.故选A. 3.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 【测量目标】对数的基本运算.【考查方式】对数的大小比较. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题分析】因为13021a -<=<，21log 03b =<，121log 3c =>121log 2c =＝1，所以c a b >>.故选C.4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥【测量目标】空间直线与直线，直线与平面的位置关系. 【考查方式】线线平行、垂直，线面平行、垂直的判定. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题分析】由题可知，若//,//,m n αα则m 与n 平行、相交或异面，所以A 错误；若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥，故B 正确；若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n α⊂，故C 错误．若//m α，m n ⊥，则//n α或n α⊥或n 与α相交，故D 错误．故选B.5.设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0⋅=a b ，0⋅=b c ，则0⋅=a c ；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝⌝∧D ．()p q ⌝∨【测量目标】向量的平行与垂直，真假命题的判定. 【考查方式】利用向量之间的位置关系对命题的真假进行判定. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题分析】由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当0≠b 时，,a c 一定共线，故命题q 是真命题．故p q ∨为真命题．故选A.6.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ） A ．144 B ．120 C ．72 D ．24 【测量目标】排列组合.【考查方式】利用插空法进行排列组合. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题分析】这是一个元素不相邻问题，采用插空法，3334A C 24=.故选D.7.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．82π- B ．8π- C ．π82-D ．π84-第7题图 【测量目标】几何体的体积、三视图.【考查方式】利用三视图对体积的考查. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题分析】根据三视图可知，该几何体是正方体减去两个体积相等的圆柱的一部分（占柱的14）后余下的部分，故该几何体体积为2×2×2－2×14×π×2＝8－π.故选B.8.设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a 为递减数列，则（ ）A ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d > 【测量目标】等差数列的基本性质.【考查方式】利用等差数列的性质对首项和公差的正负进行判断. 【难易程度】容易 【参考答案】C 【试题分析】令12n n b a a =，因为数列{}12n a a 为递减数列，所以111111122()212n n n n n nb a a a a a a d b a a +++==-=<，所得10a d <.故选C.9.将函数π3sin(2)3y x =+的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间π7π[,]1212上单调递减 B ．在区间π7π[,]1212上单调递增 C ．在区间ππ[,]63-上单调递减 D ．在区间ππ[,]63-上单调递增 【测量目标】三角函数的平移及性质.【考查方式】求正弦型三角函数平移后的单调区间. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题分析】由题可知，将函数π3sin(2)3y x =+的图像向右平移π2个单位长度得到函数2π3sin(2)3y x =-的图像，令π2π2k -+≤2π23x -≤π2π2k +，k ∈Z ，即ππ12k +≤x ≤7ππ12k +，k ∈Z 时，函数单调递增，即函数2π3sin(2)3y x =-的单调递增区间为π7ππ,π1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，可知当0k =时，函数在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．故选B.10.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．43【测量目标】抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系.【考查方式】求过抛物线准线并与抛物线相切的直线的斜率. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题分析】因为抛物线C ：22y px =的准线为2px =-，且点(2,3)A -在准线上，所以p ＝4.设直线AB 的方程为2(3)x m y +=-，与抛物线方程28y x =联立得到2824160y my m -++=，由题易知V ＝0，解得m ＝12- (舍)或者m ＝2，这时B 点的坐标为(8，8)，而焦点F 的坐标为(2，0)，故直线BF 的斜率804823BF k -==-.故选D.11.当[2,1]x ∈-时，不等式3243ax x x -++≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,3]-- B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]--【测量目标】函数的导函数、单调区间、最值. 【考查方式】通过给定函数值的范围，利用导函数求函数的单调区间并找出未知量的范围. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题分析】当2-≤0x <时，不等式转化为a ≤2343x x x --，令2343()(2x x f x x--=-≤0)x <， 则24489(9)(1)'()x x x x f x x x -++--+==，故()f x 在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，此时有a ≤14321+-=--.当0x =时，()g x 恒成立．当0x <≤1时，a ≥2343x x x --，令2343()(0x x g x x x --=<≤1)，则24489(9)(1)'()x x x x g x x x-++--+==， 故()g x 在(0，1]上单调递增，此时有a ≥14361--=-.综上，6-≤a ≤2-.故选C.12.已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足： ①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1|()()|||2f x f y x y -<-. 若对所有,[0,1]x y ∈，|()()|f x f y k -<，则k 的最小值为（ ） A ．12 B ．14 C ．12πD ．18【测量目标】函数概念的新定义，不等式的性质.【考查方式】给出新定义的函数，利用给定条件求解未知量的范围. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题分析】不妨设0≤y ≤x ≤1.当x y -≤12时，11|()()|||()22f x f y x y x y -<-=-≤14. 12x y ->时，|()()|()(1)(()(0))f x f y f x f f y f -=---≤1()(1)()(0)2f x f f y f -+-< 111110()2224x y x y -+-=--+<.故min 14k =.故选B.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.执行右侧的程序框图，若输入9x =，则输出y = .第13题图 【测量目标】程序框图的运算.【考查方式】利用程序框图进行基本运算. 【难易程度】容易 【参考答案】299【试题分析】当9x =时，5y =，则4y x -=；当5x =时，113y =，则43y x -=；当113x =时，299y =，则419y x -=<.故输出299y =.14.正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是 .第14题图 【测量目标】定积分的求解，随机事件的概率.【考查方式】利用定积分求出面积比，进而求出随机事件的概率. 【难易程度】容易 【参考答案】23【试题分析】正方形ABCD 的面积S ＝2×2＝4，阴影部分的面积1231111182(1)d 2()33S x x x x --=-=-=⎰，故质点落在阴影区域的概率82343P ==.15.已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .【测量目标】椭圆的定义及几何性质.【考查方式】椭圆的焦点以及椭圆的几何性质求解相关弧长. 【难易程度】中等 【参考答案】12【试题分析】取MN 的中点为G ，点G 在椭圆C 上．设点M 关于C 的焦点1F 的对称点为A ，点M 关于C 的焦点2F 的对称点为B ，则有112GF AN =，212GF BN =，所以122()412AN BN GF GF a +=+==.16.对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为 .【测量目标】基本不等式的基本应用.【考查方式】利用基本不等式求最值. 【难易程度】较难 【参考答案】－2【试题分析】由题知2222(2)3(43)c a b a b =-+++．221(43)(1)3a b ++≥222(2)43a b a b +⇔+≥23(2)4a b +，即2c ≥25(2)4a b +，当且仅当2243113a b =，即236a b λ==(同号)时， 2a b +240c λ=.223451111(4)288a b c λλλ-+=-=--≥2-， 当且仅当315,,422a b c ===时，345a b c-+取最小值2-.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在△ABC 中，内角,,A B C 的对边,,a b c 且a c >，已知2BA BC ⋅=u u u r u u u r ，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.【测量目标】两角差的余弦公式、向量的数量积.【考查方式】利用正弦定理和余弦定理解三角形中的边和角. 【难易程度】中等【试题分析】（1）由2BA BC ⋅=u u u r u u u r 得，cos 2c a B ⋅=，又1cos 3B =，所以6ac =.由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+.又3b =，所以2292213ac +=+⨯=.解22613ac a c =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2,33,2a c a c ====或. 因为a c >,3,2a c ∴==. （2）在△ABC中，sin 3B ===由正弦定理，得2sin sin 339c CB b ==⋅=，又因为a b c =>，所以C为锐角，因此7cos 9C ===. 于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=1723393927⋅+⋅=. 18. （本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：第18题图将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X .【测量目标】频率分布直方图，随机事件的概率随机变量的期望和方差. 【考查方式】以频率分布直方图为载体计算事件的概率、分布列、期望、方差. 【难易程度】中等 【试题分析】（Ⅰ）设1A 表示事件“日销售量不低于100个”，2A 表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此1()(0.0060.0040.002)500.6P A =++⨯= ， 2()0.003500.15P A =⨯=，()0.60.60.1520.108P B =⨯⨯⨯=.（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为033(0)(10.6)0.064P X C ==⋅-=,123(1)0.6(10.6)0.288P X C ==⋅-=,223(2)0.6(10.6)0.432P X C ==⋅-=,333(3)0.60.216P X C ==⋅=,分布列为X 0 1 2 3 P0.0640.2880.4320.21619. （本小题满分12分）如图，△ABC 和BCD △所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E F 、分别为AC 、DC 的中点.（1）求证：EF BC ⊥；（2）求二面角E BF C --的正弦值.第19题图1【测量目标】线线垂直的判定，二面角的正弦值.【考查方式】通过找线、面之间的位置关系，证明线线垂直，求二面角的三角函数值. 【难易程度】中等 【试题分析】（1）证明： （方法一）过E 作EO BC ⊥，垂足为O ，连OF ，第19题图2由△ABC ≌△DBC 可证出△FOC ≌△EOC ，所以π2EOC FOC ∠=∠=，即FO BC ⊥， 又EO BC ⊥，因此BC ⊥平面EFO ， 又EF ⊂平面EFO ，所以EF BC ⊥.（方法二）由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.第19题图3易得(0,0,0),(0,3)B A -,3,1,0)D -，(0,2,0)C ,因而1331(0,,0)22E F ,所以33((0,2,0)EF BC ==u u u r u u ur ，因此0EF BC ⋅=u u u r u u u r ,从而EF BC ⊥u u u r u u u r ，所以EF BC ⊥.（2）（方法一）在图2中，过O 作OG BF ⊥，垂足为G ，连EG ，由平面ABC ⊥平面BDC ，从而EO ⊥平面BDC ，又OG BF ⊥，由三垂线定理知EG 垂直BF . 因此EGO ∠为二面角E BF C --的平面角； 在△EOC 中，113cos30222EO EC BC ==⋅=o ，由△BGO ∽△BFC知，34BO OG FC BC =⋅=,因此tan 2EOEGO OG∠==,从而sin EGO ∠=255，即二面角E BF C --的正弦值为255. （方法二）在图3中，平面BFC 的一个法向量为1(0,0,1)=n ，设平面BEF 的法向量2(,,)x y z =n ，又3113(,,0),(0,,)22BF BE ==u u u r u u u r ,由220BF BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r n n 得其中一个2(1,3,1)=-n ，设二面角E BF C --的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则121212,cos |cos ,|||||||5θ=<>==⋅n n n n n n ，因sin θ=5=255，即二面角E BF C --的正弦值为255.20. （本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线22122:1x y C a b-=过点P 且离心率为3.（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.第20题图1【测量目标】直线与圆的位置关系，双曲线的标准方程及几何性质，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系.【考查方式】利用圆的切线的关系，双曲线的离心率求双曲线方程，通过椭圆与双曲线的的几何性质求解椭圆方程求出直线方程. 【难易程度】较难【试题分析】（1）设切点坐标为0000(,)(0,0)x y x y >>，则切线斜率为0x y -，切线方程为000()x y y x x y -=--，即004x x y y +=，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为000014482S x y x y =⋅⋅=.由22000042x y x y +=≥知当且仅当00x y =时00x y 有最大值，即S 有最小值，因此点P得坐标为 ，由题意知222222213a ba b a ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩解得221,2a b ==，故1C 方程为2212y x -=. （2）由（1）知2C的焦点坐标为(，由此2C 的方程为22221113x y b b +=+，其中10b >.由P 在2C 上，得22112213b b +=+，解得213b =，因此2C 方程为22163x y +=. 显然，l 不是直线0y =.设l的方程为x my =+1122(,),(,)A x y B x y由22163x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得22(2)30m y ++-=，又12,y y 是方程的根，因此122122232y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩①②，由1122x my x my ==1212221212122()66()32x x m y y m x x m y y y y m ⎧+=++=⎪⎪⎨-⎪=+++=⎪+⎩③④因1122),)AP x y BP x y ==u u u r u u u r由题意知0AP BP ⋅=u u u r u u u r ，所以12121212))40x x x x y y y y ++++=⑤ ，将①，②，③，④代入⑤式整理得22110m -+=，解得12m =-或12m =-+，因此直线l 的方程为1)0x y --=，或1)0x y +=.21. （本小题满分12分）已知函数8()(cos )(π2)(sin 1)3f x x x x x =-+-+，2()3(π)cos 4(1sin )ln(3)πx g x x x x =--+-. 证明：（1）存在唯一0π(0,)2x ∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1π(,π)2x ∈，使1()0g x =，且对（1）中的0x 有01πx x +<. 【测量目标】函数的零点.【考查方式】利用函数导函数的性质求解三角函数中的零点问题. 【难易程度】较难【试题分析】（1）当π(0,)2x ∈时，2'()(1sin )(π2)2cos 03f x x x x x =-++--<，函数()f x 在π(0,)2上为减函数，又28π16(0)π0,()π0323f f =->=--<，所以存在唯一0π(0,)2x ∈，使0()0f x =. （2）考虑函数3(π)cos 2π()4ln(3),[,π]1sin π2x x h x x x x -=--∈+，令πt x =-，则π[,π]2x ∈时，π[0,]2t ∈，记3cos 2()(π)4ln(1)1sin πt t u t h t t t =-=-++，则3()'()(π2)(1sin )f t u t t t =++ ， 由（1）得，当0(0,)t x ∈时，'()0u t >，当0π(,)2t x ∈时，'()0u t <.在0(0,)x 上()u t 是增函数，又(0)0u =，从而当0(0,]t x ∈时，()0u t >，所以()u t 在0(0,]x 上无零点.在0π(,)2x 上()u t 是减函数，由0π()0,()4ln 202u x u >=-<，存在唯一的10π(,)2t x ∈ ，使1()0u t =.所以存在唯一的10π(,)2t x ∈使1()0u t =.因此存在唯一的11ππ(,π)2x t =-∈，使111()()()0h x h t u t π=-==.因为当π(,π)2x ∈时，1sin 0x +>，故()(1sin )()g x x h x =+与()h x 有相同的零点，所以存在唯一的1π(,π)2x ∈，使1()0g x =.因1110π,x t t x =->，所以01πx x +<请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于,D G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F . （1）求证：AB 为圆的直径；（2）若AC BD =，求证:AB ED =.第22题图1【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】利用圆的性质证明相关结论. 【难易程度】中等 【试题分析】（1）因为PD PG =,所以PDG PGD ∠=∠.由于PD 为切线，故PDA DBA ∠=∠,又由于PGD EGA ∠=∠,故DBA EGA ∠=∠,所以DBA BAD EGA BAD ∠+∠=∠+∠,从而BDA PFA ∠=∠.由于AF 垂直EP ，所以90PFA ∠=o，于是90BDA ∠=o，故AB 是直径. (2)连接BC ，DC .第22题图2由于AB 是直径，故∠BDA =∠ACB =90°，在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB =BA ,AC =BD ， 从而Rt △BDA ≌Rt △ACB ，于是∠DAB =∠CBA .又因为∠DCB =∠DAB ,所以∠DCB =∠CBA ，故DC ∥AB .由于,AB EP ⊥所以,DC EP DCE ⊥∠为直角，于是ED 是直径，由（1）得ED =AB .23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】参数方程与极坐标方程转化为普通方程进行求解. 【难易程度】中等【试题分析】（1）设11(,)x y 为圆上的点，在已知变换下位C 上点（x ，y ），依题意，得112x x y y =⎧⎨=⎩ 由22111x y += 得22()12y x +=，即曲线C 的方程为2214y x +=，故C 得参数方程为 cos 2sin x t y t⎧⎨⎩＝＝ （t为参数）.(2)由2214220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得10x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩. 不妨设12(1,0),(0,2)P P ,则线段12P P 的中点坐标为1(,1)2,所求直线的斜率为12k =，于是所求直线方程为111()22y x -=-，化极坐标方程，并整理得 2cos 4sin 3ρθρθ-=-，即34sin 2cos ρθθ=-.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()f x ≤1的解集为M ，()g x ≤4的解集为N .（1）求M ；（2）当x M N ∈I 时，证明：22()[()]x f x x f x +≤14. 【测量目标】不等式选讲，集合的简单运算.【考查方式】函数与集合结合证明不等式. 【难易程度】中等 【试题分析】（1）33,[1,)()1,(,1)x x f x x x -∈+∞⎧=⎨-∈-∞⎩当x ≥1时，由()33f x x =-≤1得x ≤43，故1≤x ≤43； 当1x <时，由()1f x x =-≤1得x ≥0，故0≤1x <； 所以()f x ≤1的解集为{|0M x =≤x ≤4}3.(2)由2()1681g x x x =-+≤4得2116()4x -≤4,解得14-≤x ≤34，因此1{|4N x =-≤x ≤3}4，故{|0M N x =I ≤x ≤3}4.当x M N ∈I 时，()1f x x =-，于是22()[()]()[()]x f x x f x xf x x f x +⋅=+211()(1)()42x f x x x x =⋅=-=--≤14.。
全国高考辽宁省数学理试卷及答案精校版
2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C AB =（ ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x << 2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i - 3.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5.设,,a b c 是非零向量，学科 网已知命题P ：若0a b •=，0b c •=，则0a c •=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ） A ．p q ∨ B ．p q ∧ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．()p q ∨⌝**把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ） A ．144 B ．120 C ．72 D ．247.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．82π- B ．8π- C ．82π-D ．84π-8.设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}na a 为递减数列，则（ ）A ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d > 9.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 10.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，学 科网过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．4311.当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,3]-- B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3] 12.已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足： ①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1|()()|||2f x f y x y -<-. 若对所有,[0,1]x y ∈，|()()|f x f y k -<，则k 的最小值为（ ） A ．12 B ．14 C ．12π D ．18第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.执行右侧的程序框图，若输入9x =，则输出y = . 14.正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2y x=上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中， 则质点落在阴影区域的概率是 .15.已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += . 16.对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC •=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值. 18. （本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X .19. （本小题满分12分）如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 分别为AC 、DC 的中点.（1）求证：EF BC ⊥；（2）求二面角E BF C --的正弦值.20. （本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22122:1x y C a b-=过点P 且离心率为3.（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.21. （本小题满分12分）已知函数8()(cos )(2)(sin 1)3f x x x x x π=-+-+，2()3()cos 4(1sin )ln(3)xg x x x x ππ=--+-.证明：（1）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的x 0有01x x π+<.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F. （1）求证：AB 为圆的直径； （2）若AC=BD ，求证：AB=ED.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.（1）求M ； （2）当x MN ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学答案1. D2. A3. C4. B5. A6. D7. B8. C9. B 10. D 11. C 12. B 13.299C 14. 2315. 12 16. 2- 17.（Ⅰ）由2BA BC⋅=得，cos 2c a B ⋅=，又1cos 3B =，所以ac =6.由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+.又b =3，所以2292213ac +=+⨯=.解22613ac a c =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得a =2，c =3或a =3，c =2. 因为a >c ,∴ a =3，c =2. （Ⅱ）在ABC ∆中，22122sin 1cos 1().33B B =-=-=由正弦定理，得22242sin sin 339c CB b ==⋅=，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此22427cos 1sin 1()99C C =-=-=. 于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=17224223393927⋅+⋅=. 18.（Ⅰ）设1A 表示事件“日销售量不低于100个”，2A 表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此1()(0.0060.0040.002)500.6P A =++⨯= . 2()0.003500.15P A =⨯=. ()0.60.60.1520.108P B =⨯⨯⨯=.（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为033(0)(10.6)0.064P X C ==⋅-=,123(1)0.6(10.6)0.288P X C ==⋅-=,223(2)0.6(10.6)0.432P X C ==⋅-=,333(3)0.60.216P X C ==⋅=,分布列为X 0 1 2 3 P********因为X ~B (3,0.6),所以期望为E (X )=3×0.6=1.8，方差D （X ）=3×0.6×（1-0.6）=0.72 19.（Ⅰ）证明：（方法一）过E 作EO ⊥BC ，垂足为O ，连OF ，由△ABC ≌△DBC 可证出△EOC ≌△FOC ，所以∠EOC =∠FOC =2π，即FO ⊥BC ， 又EO ⊥BC ，因此BC ⊥面EFO ， 又EF ⊂面EFO ，所以EF ⊥BC .（方法二）由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 左垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.易得B （0,0,0），A (0，-1，3),D (3,-1,0)，C (0,2,0),因而1331(0,,),(,,0)2222E F ,所以33(,0,),(0,2,0)22EF BC =-=，因此0EF BC ⋅=,从而EF BC ⊥，所以EF BC ⊥. （Ⅱ）（方法一）在图1中，过O 作OG ⊥BF ，垂足为G ，连EG ，由平面ABC ⊥平面BDC ，从而EO ⊥平面BDC ，又OG ⊥BF ，由三垂线定理知EG 垂直BF . 因此∠EGO 为二面角E -BF -C 的平面角； 在△EOC 中，EO =12EC =12BC ·cos 30°=32，由△BGO ∽△BFC 知，34BO OG FC BC =⋅=,因此tan ∠EGO =2EOOG=,从而sin ∠EGO =255，即二面角E -BF -C 的正弦值为255. （方法二）在图2中，平面BFC 的一个法向量为1(0,0,1)n =，设平面BEF 的法向量2(,,)n x y z =，又3113(,,0),(0,,)2222BF BE ==,由220n BF n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得其中一个2(1,3,1)n =-，设二面角E -BF -C 的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则1212121cos |cos ,|||||||5n n n n n n θ⋅=<>==⋅，因sin θ=25=255，即二面角E -BF -C 的正弦值为255. 20.（Ⅰ）设切点坐标为0000(,)(0,0)x y x y >>，则切线斜率为0x y -，切线方程为0000()x y y x x y -=--，即004x x y y +=，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为000014482S x y x y =⋅⋅=.由22000042x y x y +=≥知当且仅当002x y ==时00x y 有最大值，即S 有最小值，因此点P 得坐标为(2,2) ， 由题意知222222213a ba b a ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩解得221,2a b ==，故1C 方程为2212y x -=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知2C 的焦点坐标为(3,0),(3,0)-，由此2C 的方程为22221113x y b b +=+，其中10b >.由(2,2)P 在2C 上，得22112213b b +=+，解得b 12=3，因此C 2方程为22163x y += 显然，l 不是直线y =0.设l 的方程为x =my +3，点1122(,),(,)A x y B x y由223163x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 得22(2)2330m y my ++-=，又12,y y 是方程的根，因此12212223232my y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩①②，由11223,3x my x my =+=+得1212222121212243()232663()32x x m y y m m x x m y y m y y m ⎧+=++=⎪⎪+⎨-⎪=+++=⎪+⎩③④因1122(2,2),(2,2)AP x y BP x y =--=--由题意知0AP BP ⋅=，所以121212122()2()40x x x x y y y y -++-++=⑤ ，将①，②，③，④代入⑤式整理得222646110m m -+-=，解得3612m =-或3612m =-+，因此直线l 的方程为36(1)302x y ---=，或36(1)302x y +--=. 21.（Ⅰ）当(0,)2x π∈时，2'()(1sin )(2)2cos 03f x x x x x π=-++--<，函数()f x 在(0,)2π上为减函数，又2816(0)0,()0323f f πππ=->=--<，所以存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =. （Ⅱ）考虑函数3()cos 2()4ln(3),[,]1sin 2x x h x x x x ππππ-=--∈+，令t x π=-，则[,]2x ππ∈时，[0,]2t π∈， 记3cos 2()()4ln(1)1sin t t u t h t t t ππ=-=-++，则3()'()(2)(1sin )f t u t t t π=++ ， 由（Ⅰ）得，当0(0,)t x ∈时，'()0u t >，当0(,)2t x π∈时，'()0u t <.在0(0,)x 上()u t 是增函数，又(0)0u =，从而当0(0,]t x ∈时，()0u t >，所以()u t 在0(0,]x 上无零点. 在0(,)2x π上()u t 是减函数，由0()0,()4ln 202u x u π>=-<，存在唯一的10(,)2t x π∈ ，使1()0u t =.所以存在唯一的10(,)2t x π∈使1()0u t =.因此存在唯一的11(,)2x t πππ=-∈，使111()()()0h x h t u t π=-==.因为当(,)2x ππ∈时，1sin 0x +>，故()(1sin )()g x x h x =+与()h x 有相同的零点，所以存在唯一的1(,)2x ππ∈，使1()0g x =.因1110,x t t x π=->，所以01x x π+<请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22.（Ⅰ）因为PD =PG ,所以∠PDG =∠PGD .由于PD 为切线，故∠PDA =∠DBA ,又由于∠PGD =∠EGA ,故∠DBA =∠EGA ,所以∠DBA +∠BAD =∠EGA +∠BAD ,从而∠BDA =∠PF A .由于AF 垂直EP ，所以∠PF A =90°，于是∠BDA =90°，故AB 是直径. (Ⅱ)连接BC ，DC .由于AB 是直径，故∠BDA =∠ACB =90°， 在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB =BA ,AC =BD ， 从而Rt △BDA ≌Rt △ACB ，于是∠DAB =∠CBA . 又因为∠DCB =∠DAB ,所以∠DCB =∠CBA ，故DC ∥AB . 由于,,AB EP DC EP DCE ⊥⊥∠所以为直角 于是ED 是直径，由（Ⅰ）得ED =AB .23.（Ⅰ）设11(,)x y 为圆上的点，在已知变换下位C 上点（x ，y ），依题意，得112x x y y =⎧⎨=⎩ 由22111x y += 得22()12y x +=，即曲线C 的方程为2214y x +=.，故C 得参数方程为 cos 2sin x t y t ⎧⎨⎩＝＝ （t 为参数）. (Ⅱ)由2214220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得：10x y =⎧⎨=⎩，或02x y =⎧⎨=⎩. 不妨设12(1,0),(0,2)P P ,则线段12P P 的中点坐标为1(,1)2,所求直线的斜率为12k =，于是所求直线方程为111()22y x -=-， 化极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3ρθρθ-=-，即34sin 2cos ρθθ=-.24.（Ⅰ）33,[1,)()1,(,1)x x f x x x -∈+∞⎧=⎨-∈-∞⎩当1x ≥时，由()331f x x =-≤得43x ≤，故413x ≤≤； 当1x <时，由()11f x x =-≤得0x ≥，故01x ≤<；所以()1f x ≤的解集为4{|0}3M x x =≤≤.(Ⅱ)由2()16814g x x x =-+≤得2116()4,4x -≤解得1344x -≤≤，因此13{|}44N x x =-≤≤，故3{|0}4MN x x =≤≤.当x MN ∈时，()1f x x =-，于是22()[()]()[()]x f x x f x xf x x f x +⋅=+2111()(1)()424x f x x x x =⋅=-=--≤.。
2014辽宁省高考压轴卷 数学理试题含答案
2014辽宁省高考压轴卷数学试卷（理）第I 卷（选择题 共60分）一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.全集U =R ，集合{10}A x x =+<，{30}B x x =-<，那么集合()U C A B =（ ）A {13}x x -≤<B {13}x x -<<C {1}x x <-D {3}x x >2．已知复数20141i z i=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．“4a <-”是“函数()3f x ax =+在区间[-1，1]上存在零点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．某大学生在22门考试中，所得分数如下茎叶图所示，则此学生考试分数的极差与中位数之和为A ．117B ．118C ．118．5D ．119．55．在ABC ∆中，90C =，且3CA CB ==，点M 满足2,BM MA CM CB =⋅则等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．66. 把函数)6sin(π+=x y 图象上各点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为 ( ) A ．2π-=x B ．4π-=x C ．8π=x D ．4π=x7. 已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，且a α⊥，b β⊥，则下列命题中的假命题是A ．若a ∥b ，则α∥βB ．若αβ⊥，则a b ⊥C ．若,a b 相交，则,αβ相交D ．若,αβ相交，则,a b 相交8．阅读右边的程序框图，输出的结果s 的值为A ．0 BCD．-9．实数y x ,满足条件2,4,20,x x y x y c ≥⎧⎪+≤⎨⎪-++≥⎩目标函数3z x y =+的最小值为5，则该目标函数y x z +=3的最大值为( )A. 10B. 12C. 14D. 1510. 如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，在锐二面角βα--y 的 β面上的曲线1C 在α上的正射影为曲线2C .2C 在xOy 系下的方程 为：()10122≤≤=+x y x ，平面α上的直线1:-=x y l 与平面β所成角的正弦值为46，曲线1C 的离心率为e ，则 A ．1=e B ．1>e C ．23=e D ．21=e11．设函数11,(,2)()1(2),[2,)2x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为A ．4B ．5C ．6D ．712．设等差数列{}n a 满足：22222233363645sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，公差(1,0)d ∈-．若当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是( ) A ．74,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．43,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦第II 卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
14年高考真题——理科数学(辽宁卷)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁）卷数学（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U R =，{}|0A x x =≤，{}|1B x x =≥，则集合()U AB =ð( )（A ）{}|0x x ≥ （B ）{}|1x x ≤ （C ）{}|01x x ≤≤ （D ）{}|01x x <<2．设复数z 满足()()225z i i --=，则z =( )（A ）23i + （B ）23i - （C ）32i + （D ）32i -3．已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则( ) （A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）c a b >> （D ）c b a >>4．已知,m n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） （A ）若//m α，//n α，则//m n （B ）若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ （C ）若m α⊥，m n ⊥，则//n α （D ）若//m α，m n ⊥，则n α⊥5．设,,a b c 是非零向量，已知命题p ：若0a b ⋅=，0b c ⋅=，则0a c ⋅=；命题q ：若//a b ，//b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是 ( )（A ）p q ∨ （B ）p q ∧ （C ）()()p q ⌝∧⌝ （D ）()p q ∨⌝ 6．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为( ) （A ）144 （B ）120 （C ）72 （D ）247．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) （A ）82π- （B ）8π- （C ）82π-（D ）84π-8．设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列{}12na a 为递减数列，则( ) （A ）0d < （B ）0d > （C ）10a d < （D ）10a d >9．将函数3sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应函数( ) （A ）在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 （B ）在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 （C ）在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 （D ）在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增10．已知点()2,3A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )（A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）4311．当[]2,1x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是( )（A ）[]5,3-- （B ）[]6,9-- （C ）[]6,2-- （D ）[]4,3--12．定义在[]0,1上的函数()f x 满足：①()()010f f ==；②对所有[],0,1x y ∈，且x y ≠，有()()1||||2f x f y x y -<-。
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2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知全集,{|0},{|1}URAxxBxx，则集合()UCAB（ ）
A．{|0}xx B．{|1}xx C．{|01}xx D．{|01}xx
2.设复数z满足(2)(2)5zii，则z（ ）
A．23i B．23i C．32i D．32i
3.已知132a，21211log,log33bc，则（ ）
A．abc B．acb C．cab D．cba
4.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）
A．若//,//,mn则//mn B．若m，n，则mn
C．若m，mn，则//n D．若//m，mn，则n
5.设,,abc是非零向量，学科 网已知命题P：若0ab，0bc，则0ac；命题q：若
//,//abbc
，则//ac，则下列命题中真命题是（ ）
A．pq B．pq C．()()pq D．()pq
6.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）
A．144 B．120 C．72 D．24
7.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．82 B．8 C．82 D．84
8.设等差数列{}na的公差为d，若数列1{2}naa为递减数列，则（ ）
A．0d B．0d C．10ad D．10ad
9.将函数3sin(2)3yx的图象向右平移2个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间7[,]1212上单调递减 B．在区间7[,]1212上单调递增
C．在区间[,]63上单调递减 D．在区间[,]63上单调递增
10.已知点(2,3)A在抛物线C：22ypx的准线上，学 科网过点A的直线与C在第一象限相切
于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（ ）
A．12 B．23 C．34 D．43
11.当[2,1]x时，不等式32430axxx恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[5,3] B．9[6,]8 C．[6,2] D．[4,3]
12.已知定义在[0,1]上的函数()fx满足：
①(0)(1)0ff；
②对所有,[0,1]xy，且xy，有1|()()|||2fxfyxy.
若对所有,[0,1]xy，|()()|fxfyk，则k的最小值为（ ）
A．12 B．14 C．12 D．18
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.执行右侧的程序框图，若输入9x，则输出y .
（7题） （13题） （14题）
14.正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)ABCD分别在抛物线2yx和2yx上，如图所
示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，学科网则质点落在阴影区域的概率是 .
15.已知椭圆C：22194xy，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，
B，线段MN的中点在C上，则||||ANBN .
16.对于0c，当非零实数a，b满足224240aabbc，且使|2|ab最大时，345abc的最
小值为 .
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
在ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c，且ac，已知2BABC，1cos3B，3b，求：
（1）a和c的值；
（2）cos()BC的值.
18. （本小题满分12分）
一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.
（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50
个的概率；
（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望
()EX
及方差()DX.
19. （本小题满分12分）
如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且2ABBCBD，0120ABCDBC，E、F
分别为AC、DC的中点.
（1）求证：EFBC；
（2）求二面角EBFC的正弦值.
20. （本小题满分12分）
圆224xy的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点
为P（如图），双曲线22122:1xyCab过点P且离心率为3.
（1）求1C的方程；
（2）椭圆2C过点P且与1C有相同的焦点，直线l过2C的右焦点且与2C交于A，B两点，若以
线段AB为直径的圆心过点P，求l的方程.
21. （本小题满分12分）
已知函数8()(cos)(2)(sin1)3fxxxxx，2()3()cos4(1sin)ln(3)xgxxxxx.
证明：（1）存在唯一0(0,)2x，使0()0fx；
（2）存在唯一1(,)2x，使1()0gx，且对（1）中的01xx.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B
铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.
22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲学科网
如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PGPD，连接DG并延长交圆于
点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.
（1）求证：AB为圆的直径；
（2）若AC=BD，求证：AB=ED.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
将圆221xy上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
（1）写出C的参数方程；
（2）设直线:220lxy与C的交点为12,PP，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立
极坐标系，求过线段12PP的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数()2|1|1fxxx，2()1681gxxx，记()1fx的解集为M，()4gx的解集为N.
（1）求M；
（2）当xMN时，证明：221()[()]4xfxxfx.
答案: