北交大激光原理_第4章_谐振腔部分

.第三章光学谐振腔理论一、学习要求与重点难点学习要求1．了解光学谐振腔的构成、分类和模式等基本知识，及其研究方法。

2．理解腔的损耗和无源腔的单模线宽。

3．掌握传播矩阵和光学谐振腔的稳定条件。

4．理解自再现模积分本征方程，了解针对平行平面腔模的数值迭代解法，理解针对球面对称共焦腔模式积分本征方程的近似方法及其解。

5．掌握等价共焦腔方法，掌握谐振腔的模式概念和光束特性。

6．了解非稳腔的模式理论。

重点1．谐振腔的作用，谐振腔的构成和分类，腔和模的联系；2．传播矩阵分析方法；3．光学谐振腔的稳定条件；4．模自再现概念；5．自再现模积分本征方程的建立，及其近似；6．球面对称共焦腔积分本征方程的近似方法，及其解；7．谐振腔的横纵模式和光束特性；8．稳定谐振腔的等价共焦腔。

难点1．传播矩阵的近似；2．非稳腔；3．模自再现概念；4．自再现模积分本征方程的建立5．球面对称共焦腔积分本征方程的近似方法，及其解；6．谐振腔的横纵模式和光束特性；WORD 专业.二、知识点总结,,mnq TEM m n q ⇔⎧⎧⎫→−−−−→⎪⎪→⎪⎨⎬⎪→→→−−−−→⎪⎪⎨⎩⎭⎪⇔--⎪⎩→驻波条件自再现模分立的本征态有限范围的电磁场形成驻波纵模光的频率（振荡频率，空间分布）模式的形成反映腔内光场的分布谐振腔的作用腔和模的联系衍射筛选横模光场横向能量分布腔内存在的电磁场激光模式模式的表示方法：横模指数，纵模指数衍射理论：不同模式按场分布，损耗，谐振频率来区分，理论方法几何光学＋干涉仪理12121212()11)12()10101,1A D A D A D g g or g g L L g g R R ⎧⎨⎩+<+>⇒+±<<==⇒=-=-论：忽略镜边缘引起的衍射效应，不同模式按传输方向和谐振频率区分－粗略但简单明了光腔的损耗－光子的平均寿命－无源腔的Q值－无源腔的线宽1-1<稳定腔2（非稳定腔适用任何形式的腔，只要列出往返矩阵就能判断其稳定与否1共轴球面腔的稳定条件：稳定判据＝临界腔2只使用于简单的共轴球面镜腔⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩（直腔）1． 谐振腔衍射积分方程推导⎧⎧⎫→−−−−−−→−−−−→→⎨⎬⎨⎩⎭⎩自再现模的概念求解方法引进复常数因子解析解：特殊腔（对称共焦腔）本征函数－振幅和相位分布（等相位面）菲涅尔基尔霍夫积分公式推广到谐振腔自再现模积分方程数值求解（数值迭代法）本征值－模的损耗、相移和谐振频率WORD 专业.⎧⎧22/0000(1)(1)2(,)N 11[4(,1)(,1)]arg (1)2x y L mn mn om on mn mn mn x y c e NR C R C kL m n λπμδγπφγφ+-⎧⎪=⎪→→⎨⎪⎪⎩=-=-→→∆==-+++∆基模：角向长椭球函数；本征函数振幅和相位高阶横模不是很小时，厄密～高斯函数相位分布：反射镜构成等相位面方形镜：对单程损耗：称本征值径向长椭球函数单程相移：共焦谐振频率：谐振条件2＝-腔的自再现模2/0000[2(1)]4(,)N arg (21)2mnq r L mn mn mn c q m n L x y c e kL m n λππνμπφγφ-⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋅→=+++⎪⎪⎩⎩⎧⎪=⎪→→⎨⎪⎪⎩→∆==-+++∆q 2基模：超椭球函数；本征函数振幅和相位高阶横模不是很小时，拉盖尔～高斯函数相位分布：反射镜构成等相位面圆形镜：单程损耗：只有精确解能够给出。

本征值单程相移：谐振频率：谐振条件2＝[2(21)]4mnq c q m n L πν⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⋅→=+++⎪⎪⎪⎩⎩⎩-q 2222()0000(,,,()()2()lim x y w z z w x y z A E e w z w z w z z θ+-→∞⎪=⎪⎪⎪→⎨⎪⎪⎪=⎪⎩000基模振幅：E 模体积腔内行波场等相位面：腔轴线附近近似为球面远场发散角：一般稳定球面腔共焦腔与稳定球面腔的等价关系三、典型问题的分析思路1．纵模间隔问题 根据纵模频率间隔的公式计算2q cL νη=，问题还可以变为腔长如何选择，可获得单纵模输出等。

2．分析某一谐振腔的稳定性问题这类问题分三种情况，第一种是只由两个球面镜组成的共轴球面镜腔，可以利用下面的稳定腔判据公式：121212120101,1g g or g g L L g g R R <<===-=- 第二种情况是两个球面镜组成的共轴球面镜腔中插入其它光学元件。

这时要首先写出这个谐振腔的传输矩阵。

利用下面的稳定判据公式：()11)12()1A D A D A D +<+>+±1-1<稳定腔2（非稳定腔1＝临界腔2分析谐振腔各参数所应满足的条件。

第三种情况是非共轴球面镜腔，如折叠腔和环形腔。

求环形腔、折叠腔的往返矩阵时，要将其化为直腔，如果考虑象散，需要对往返矩阵的修正。

对于共轴球面镜腔的近(傍)轴光线2R f =。

而对于环形腔和折叠腔（非共轴球面腔），由于象散，球面镜在子午面和弧矢面的焦距不共点。

其中子午面为环形回路所在平面，弧矢面为包含回路一边长，垂直于子午面的平面。

对于在由光轴组成的平面传输的子午光线，cos 2R f θ=子午。

对于在与此垂直的平面传输的弧矢光线，2cos R f θ=弧矢，θ为光轴与球面镜法线的夹角。

3．谐振腔损耗问题光学谐振腔积分方程的特征值e αεβγ+=，它的实部决定腔损耗，特征值γ的虚部决定光波的单程相移。

将特征值代入11q q U U γ+=中得：1i q q U e U e αβ--+=。

即e α-表示腔经单程度越后自再现模的振幅衰减。

即γ的实部决定腔损耗，β表示每经一次度越的相位滞后，所以γ的虚部决定的单程相移。

单程损耗:2221111mn m n m n mn δσσχχγ=-=-=- 单程相移: 1arg arg mn m n mn δσσγΦ==共焦腔模的谐振条件22mn q δπΦ=-⨯1[(1)]221[(21)]22mnq mnq c q m n L c q m n L νηνη⎧=+++⎪⎪⇒⎨⎪=+++⎪⎩方形镜共焦腔谐振频率圆形镜共焦腔谐振频率4．共焦腔问题例如求方形镜或圆形镜共焦腔面上各阶（低阶）横模的节线位置。

对于方形镜共焦腔，镜面上的高阶横模与基模光斑尺寸之比为00ms ns s sw w w w ==而圆形镜共焦腔镜面上的高阶横模的光斑半径pls os w =。

只要求得了镜面上基模光斑的大小，就可求出高阶横模的光斑半径。

我们知道方形镜和圆形镜镜面上基模光斑的大小都为0s w =方形镜共焦腔和圆形镜共焦腔的基模光束的振幅分布、基模光斑尺寸、等相位面的曲率半径及光束发散角都完全相同。

基模场振幅分布()()()z w y x e z w w E A z y x E 222000000,,+-=基模光斑尺寸()2020*******⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=f z w f z w f z L z w s πλ 0s w 镜面上基模的光斑半径，0w 高斯光束的基模的腰斑半径，坐标原点选在腔的中心。

腰斑尺寸：0w === ()()0s w z w f w =±==焦腔基模体积： 202000122s L V L w λπ==高阶模体积:()()212122120λπL n m w w L V ns ms mn ++== (模阶次愈高模体积愈大)等相位面（共焦场的等相位面近似为球面）的曲率半径：()200000z f f R z z f z f z ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ ()0022Lz f R z f L =±=±==——等相位面与共焦腔镜面重合。

()()00000;z R z z R z =→∞→∞→∞——等相位面为平面(共焦腔基模光束)远场发散角：()2lim z w z z θ→∞=[弧度]πλ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+πλ=θ∞→f z f z L z e 2122lim 22122121ln 20.9392e Lλθθ==5．一般稳定球面腔问题可以借助于其等价共焦腔行波场的解析解的特性表达出来，此处可参考教科书。

6．非稳定谐振腔问题关于非稳定谐振腔的问题主要包括求出共轭像点1P 和2P 的位置；计算非稳腔的能量损耗率、几何放大率等。

共轭像点1P 和2P 的位置分别为12,l l ，由球面镜成像公式122211112112L l l R L l l R ⎧-=⎪+⎪⎨⎪-=⎪+⎩ 解得：21212 11211212 212L L R L L R L R L R R lL L R L L R L R L R R l⎧---⨯-⨯--=⎪⎪⎨---⨯-⨯--⎪=⎪⎩（）+（）（）（）（）+（）（）（）几何放大率镜1M的单程放大率'111ama=镜2M的单程放大率'222ama=非稳腔对几何自再现波型在腔往返一周的放大率12M m m=对望远镜非稳定腔（实共焦腔和虚共焦腔）212121222111'1'RRmmMRRaamaam======平均单程能量损耗1212111111m m MξΓΓ==-单程＝－－往返能量损耗1222212111111m m MξΓΓ==-往返＝－－四、思考题1.光学谐振腔的作用是什么？2.光学谐振腔的构成要素有哪些，各自有哪些作用？3.光学谐振腔有哪些常用研究方法？4.什么是光学谐振腔的模式？对纵、横模的要求各是什么？其中含有什么物理思想？5.光学谐振腔的横模模斑形状是客观存在，还是有人为因素，为什么？6.光学谐振腔的稳定条件是什么，有没有例外？稳定条件的导出根据何在？7.所谓“自洽”在光学谐振腔模式讨论中是如何应用的？8.谐振腔稳定条件的推导过程中，只是要求光线相对于光轴的偏折角小于90度。

因此，谐振腔稳定条件是不是一个要求较低的条件，为什么？9.共焦腔是什么腔？稳定性如何？10.共焦腔是不是稳定腔？为什么？11.什么样的光学谐振腔腔存在焦点？12.试分析ABCD定律在光学谐振腔分析中的作用。

13.一般稳定球面镜谐振腔与其等价共焦谐振腔，有什么相同，有什么不同？14.非稳腔的优点是什么？15.几何损耗存在于哪一类型的谐振腔中？16.光学谐振腔的衍射损耗与其什么参数相关？17.稳定谐振腔有哪些可能的形式？与非稳定谐振腔相比有哪些缺点？18.Fox-Li的数值迭代法解平行平面镜谐振腔，有哪些结论，有哪些意义？19.分别由方形镜和圆形镜组成稳定谐振腔有没有区别，为什么？20.为什么说光学谐振腔积分方程的特征值γ的实部决定腔损耗？21.为什么说光学谐振腔积分方程的特征值γ的虚部决定光波的单程相移？22.稳定球面谐振腔旁轴光线的单程相对功率损耗1-1/γ2，它与单程衍射损耗因子之间有何关系？23.如果使用一个参数描述稳定谐振腔的衍射损耗大小，你愿意用哪个，为什么？24.为什么说对称共焦腔非常重要？25.试由行波场导出圆形镜共焦腔的波前表示。