长沙市一中2009-2010年高三第一次月考文科数学
2009届湖南长沙一中高三第四次月考理
2009届长沙市一中高三第四次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若A = {2，3，4}，B = {x | x = n ·m ，m ，n ∈A ，m ≠n }，则集合B 的元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．已知向量a = (1– sin θ，1)，b = (12，1+sin θ)，且a ∥b ，则锐角θ等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°3．双曲线2213x y -=的渐近线与其准线的夹角是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°4．在△ABC 中，“cos A = 2sin B sin C ”是“△ABC 为钝角三角形”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数y = 2sin(x ωθ+) (0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y = 2某两个交点的横坐标分别为x 1、x 2，若|x 2 – x 1|的最小值为π，则该函数的一个递增．区间可以是（ ） A ．(,)24ππ--B ．(,)44ππ-C ．(0,)2πD ．3(,)44ππ6．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1,S 2,S 4成等比数列，则21a a 等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．设a = sin13° + cos 13°，b=214︒c，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＜c ＜aB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a8．在R 上定义一种运算⊗：x ⊗y = x (1– y )．若不等式(x – a )⊗( x + a )＜1对任意实数x 成立，则（ ） A ．–1322a << B ．0＜a ＜2 C ．–1＜a ＜1 D ．3122a -<<9． 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A． B． C．)+∞ D ．)+∞ 10．定义在R 上的函数f (x )的图象关于点(–34，0)成中心对称，对任意的实数x 都有f (x ) = –f (x +32)，且f (–1) = 1，f (0) = – 2，则f (1) + f (2) + f (3) +…+f (2008)的值为（ ） A ．–2B ．–1C ．0D ．1第II 卷二、填空题：本大题共5小组，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上.11．已知符号函数sgn x =1,0,0,0,1,0.x x x >⎧⎪=⎨⎪-<⎩则不等式(x + 1)sgn x ＞2的解集是 ．12．已知点P (x ，y )的坐标满足条件1110x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩的最大值等于 ，最小值等于 ．13．如图，在平面斜坐标系xOy 中，∠xOy = 60°，该平面上任一点P 在斜坐标系中的斜坐标是这样定义的：若12OP xe ye =+（其中1e 、2e 分别为与x 轴、y 轴方向相同的单位向量），则P 点的斜坐标为 (x ，y )．若P 点的斜坐标为(3，–4)，则点P 到原点O 的距离|PO | = ．14．如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；依此类推，则第63行从左至右算第9个数字为 ．15．已知函数f (x ) =2,(0)21,(0)x e x ax x -⎧-≤⎨->⎩（a 是常数且a ＞0），对下列命题：①函数f (x )的最小值是–1；②函数f (x )在R 上存在反函数； ③对任意x 1＜0，x 2＜0且x 1≠x 2，恒有f (122x x +)＜12()()2f x f x +； ④对任意的x 1，x 2∈[–2，0]且x 1≠x 2，恒有|f (x 1) – f (x 2)|＜t |x 1 – x 2|(t ∈R )成立，t 的最小值是e 2，其中正确命题的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．(本题满分12分)向量a = (cos x + sin x x )，b = (cos x – sin x x )，f (x ) = a ·b ． （1）求函数f (x )的单调区间；（2）若2x 2 –πx ≤0，求函数f (x )的值域．17．(本题满分12分)定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3) = log 23且对任意x ，y ∈R 都有f (x + y ) = f (x ) + f (y )．（1）求证f (x )为奇函数；（2）若f (k ·3x ) + f (3x – 9x –2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围． 18．(本题满分12分)将圆x 2 + y 2 + 2x – 2y = 0按向量a = (1，–1)平移得到圆O ，直线l 和圆O 相交于A 、B 两点，若在圆O 上存在点C ，使0OC OA OB ++=，且OC =λa ． （1）求λ的值；（2）求弦AB 的长；（3）求直线l 的方程．19．(本题满分13分)边界为椭圆形的某运动场（如图所示），椭圆的左右焦点分别为F 1，F 2，椭圆上的点到焦点F 2的最小距离为10米，椭圆的离心率为45，①求椭圆的标准方程；②在运动场的右侧，有一条与F 1F 2垂直的目标线l ，它与F 2的距离为22.5米，运动员体能训练时，要求从F 2的正北方10米处一定点A 出发，在椭圆的内外折返快速奔跑，在椭圆的内部是草坪（软地）外部是塑胶跑道。
长沙市一中2009-2010年高三第三次模拟考试理科数学
长沙市一中2010届第三次模拟试卷理科数学一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数y 的定义域是 （ ）A ．[0),+∞B ．[1),+∞C ．(0),+∞D ．(1),+∞2．有下列四个命题，其中真命题是 （ ） A ．2,n n n ∀∈≥RB ．,,n m m n m ∃∈∀∈= R RC ．2,,n m m n ∃∈∃∈<R RD ．2,n n n ∀∈<R3．已知三棱柱的三视图如下图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为 （ ）A．B．C ．D ．64．函数f （x ）=ln ||(0)1(0)x x x x<⎧⎪⎨>⎪⎩的图象大致是 （ ）5．已知ΔABP 的顶点A 、B 分别为双曲线22:1169x y C -=的左、右焦点，顶点P 在双曲线C上，则|sin sin |sin A B P-的值等于A ．B ．C ．45D ．546．我市某机构调查小学生课业负担的情况，设平均每人每天做作业时间为x (单位：分钟)，按时间分下列四种情况统计：①0～30分钟；②30～60分钟；③60～90分钟；④90分钟及90分钟以上，有1 000名小学生参加了此项调查，下图是此次调查的流程图，已知输出的结果是600，则平均每天做作业时间在0～60分钟内的学生的频率是 ()A ．0.20B ．0.40C ．0.60D ．0.807．已知0＜a ＜1，0＜b ＜1，则函数2()log 2log 8a b f x x b x a =++的图象恒在x 轴上方的概率为（ ）A ．14B ．34C ．13D ．238．已知f (x )是R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )= 1222xx -，又a 是函数g (x ) =2ln(1)x x+-的正零点，则f （–2），f （a ），f （1.5）的大上关系是 （ ）A ．(1.5)()(2)f f a f <<-B ．(2)(1.5)()f f f a -<<C ．()(1.5)(2)f a f f <<-D ．(1.5)(2)()f f f a <-<二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡对应题号后的横线上）9．用0.618法确定的试点，则经过 次试验后，存优范围缩小为原来的0.6184倍． 10．在等差数列{a n }中，若a 2+a 4+a 6+a 8+a 10=80，则7812a a -的值为 ．11．已知复数12312,1,34z i z i z i =-+=-=-，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C ，若(,)OC λOA μOB λμ=+∈R ，则λμ+的值是 ．12．在极坐标系中，和极轴垂直相交的直线l 与圆4ρ=相交于A 、B 两点，若|AB |=4，则直线l 的极坐标方程为 ．13．在计算机的运行过程中，常常要进行二进制数与十进制数的转换与运算．如：十进制数8转换成二进制是1000，记作8（10）=1000（2）；二进制数111转换成十进制数是7，记作111（2）=7（10）．二进制的四则运算，如：11（2）+101（2）=1000（2），请计算：11（2）×111（2）+1111（2）= （2）．14．,x x ∀∈≠且0R ．不等式1|||5|1x a x+>-+恒成立，则实数a 的取值范围是 ．15．设集合M ={1，2，3，4，5，6}，对于a i ，b i ∈M ，记ii ia eb =且i i a b <，由所有i e 组成的集合设为：A ={e 1，e 2，…，e k }，则k 的值为 ；设集合B =1{A}i i i ie |e ,e e ''=∈，对任意e i ∈A ，j e '∈B ，则Μi j e e '+∈的概率为三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16．（本大题满分12分）上海世博会在游客入园参观的试运营阶段，为了解每个入口的通行速度，在一号入口处随机抽取甲、乙两名安检人员在一小时内完成游客入园人数的8次记录，记录人数的茎叶图如下：（1）现在从甲、乙两人中选一人担任客流高峰阶段的安检员，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位安检员参加合适？请说明理由；（2）若将频率视为概率，甲安检员在正式开园的一个工作日的4小时内,每个单位小时段安检人数高于80人的次数记为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ．17．（本大题满分12分）已知函数f (x ) = 2sin 21,.4x x x π⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭R（1）若函数h (x ) = f (x + t )的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，且t ∈(0，π)，求t 的值；（2）设p ：x ∈[,]42ππ，q ：|f (x ) – m |≤3，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18．（本大题满分12分）如图1所示，圆O 的直径AB = 6，C 为圆周上一点，BC = 3．过C作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 与直线l 、圆O 分别交于点D 、E ． （1）求∠DAC 的大小及线段AE 的长；（2）如图2所示,将△ACD 沿AC 折起，点D 折至点 P 处，且使得△ACP 所在平面与圆O 所在平面垂直，连结BP ，求二面角P —AB —C 大小的余弦值．图2图119．（本小题满分13分）2010年我国西南地区遭受特大旱灾，某地政府决定兴修水利，某灌渠的横截面设计方案如图所示，横截面边界AOB设计为抛物线型，渠宽AB为2m，渠深OC为1.5m，正常灌溉时水面EF距AB为0.5m．（1）求水面EF的宽度；（2）为了使灌渠流量加大，将此水渠的横截面改造为等腰梯形，受地理条件限制要求渠深不变，不准往回填土，只准挖土，试求截面等腰梯形的下底边长为多大时，才能使所挖的土最少？20．（本小题满分13分）已知函数f (x ) = 2ln ,(1)0.bax x f x--=（1）若函数f (x )在其定义域内为单调函数，求实数a 的取值范围； （2）若函数f (x )的图象在x = 1处的切线的斜率为0，且11()11n n n a f na a +'=-++． ①若a 1≥3，求证：a n ≥n + 2；②若a 1 = 4，试比较1231111211115n a a a a ++++++++ 与的大小，并说明你的理由．21．（本大题满分13分）已知F 1，F 2分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，半焦距为c ，直线2a x c=-与x 轴的交点为N ，满足121122,||2F F NF F F == ，设A 、B 是上半椭圆上满足NA λNB = 的两点，其中11[,]53λ∈．（1）求椭圆的方程及直线AB 的斜率k 的取值范围；（2）过A 、B 两点分别作椭圆的切线，两切线相交于一点P ，试问：点P 是否恒在某定直线上运动，请说明理由．理科数学参考答案1． 【解析】A 由2x –1≥0，求得x ≥0 2．【解析】B 对于选项A ，令12n =即可验证不正确；对于选项C 、选项D ，可令n = –1加以验证其不正确，故选B ．3．【解析】C 如图将三棱柱还原为直观图，由三视图知，三棱柱的高为4，设底面连长为a ，则,6a ==．故体积2643V =⨯⨯ 4．【解析】B 函数y =ln|x |（x ＜0）的图象与函数y =ln x 的图象关于y 轴对称，函数1(0)y x x=>的图象是反比例函数 1y x=的图象在每一象限的部分5．【解析】C 由题意得：|PB –P A |=8，|AB |=210=，从而由正弦定理，得|s i n s i n |||4s i n 5A B P B P A P A B --==．6．【解析】B 由流程图可见，当作业时间X 大于60时，S 将会增加1，由此可知S 统计的是作业时间为60分钟以上的学生数量，因此由输出结果为600知有600名学生的作业时间超过60分钟，因此作业时间在0~60分钟内的学生总数有1000–600=400名，所以所求频率为400/1000=0.4. ．7．【解析】D 因为函数图象恒在x 轴上方，则42log 32log 0ba ab -<，01,01,log 0,b a b a <<<<∴> log 0,a b >所以311log ,log 82a ab b >∴>，即12b a <．则建立关于a ，b 的直角坐标系，画出关于a 和b 的平面区域，如图．此时，可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量(Ω)1S =，满足图象在x 轴上方的事件A 所对应的几何度量1122()3S A a da ==⎰．所以()2()(Ω)3S A P A S ==． 8．【解析】A 当a ＞0时，易知g （x ）为增函数，而且g （2）=ln3 – 1＞0，g （1.5）=ln2.5–43＜lne –1=0，于是由零点存在定理可知在区间（1.5，2）内g （x ）存在零点，再由单调性结合题意可知a 就为这个零点，因此有 1.5＜a ＜2．又当x ≥0时，直接求导即得()2ln 2x f x'=，于是当x ＞1时，我们有2()2ln 21ln 21ln 10f x e '>-=->-=，由此可见f （x ）在(1,)+∞上单调增，可见必有(1.5)()(2)f f a f <<，而又由于f （x ）为偶函数，所以(1.5)()(2)f f a f <<-，故选A ．9．【解析】5次10．【解析】8 由已知得：21048666()()58016a a a a a a a ++++==⇒=，又分别设等差数列首项为a 1，公差为d ，则78111611116(7)(5)82222a a a d a d a d a -=+-+=+==．11．【解析】因为点A (–1，2 )，B (1，–1 )，C (3，–4 )．所以OC λOA μOB =+ (3,4)(1,2)λ⇒-=-+(1,1)μ-，因此324λμλμ-+=⎧⎨-=-⎩，即12λμ=-⎧⎨=⎩，所以1λμ+=．12．【解析】cos ρθ= 由该圆的极坐标方程为4ρ=知该圆的半径为4，又直线l 被该圆截得的弦长|AB |为4，设该圆圆心为O ，则∠AOB =60°，极点到直线l 的距离为4cos30d =︒=cos ρθ=13．【解析】100100 由题可知，在二进制数中的运算规律是“逢二进一”，所以 11（2）×111（2=10101（2），10101（2）+1111（2）=100100（2）．14．【解析】4＜a ＜6 不等式1|||5|1x a x +>-+对于一切非零实数x 均成立，可以先求出1||x x+的最小值，然后利用|5|1a -+小于这个最小值即可求解a 的取值范围．当x ＞0时，12x x +≥；当x ＜0时，1[()()]2x x --+-≤--．从而1||2x x+≥恒成立，所以不等式1|||5|1x a x+>-+对于一切非零实数x 均成立，可转化主|5|12a -+<，即|5|115146a a a -<⇒-<-<⇒<<．15．【解析】11；6121由题意知，a i ，b i ∈M ，a i ＜b i ，首先考虑M 中的二元子集有{1，2}，{1，3}，…，{5，6}，共15个，即为26C =15个．又a i ＜b i ，满足ji i ja ab b =的二元子集有： {1，2}，{2，4}，{3，6}，这时12i i a b =，{1，3}，{2，6}，这时13i i a b =，{2，3}，{4，6}，这时23i i a b =，共7个二元子集．故集全A 中的元素个数为k =15 – 7 +3=11． 列举A ={1111122334523456354556,,,,,,,,,,}，B ={2，3，4，5，6，354556223345,,,,,}131515243546232222222233334455,,,,,+=+=+=+=+=+=共6对．所求概率为：6121p =．16．【解析】（1）派甲参赛比较合适．理由如下：x 甲 =18(70×2 + 80×4 + 90×2 + 8 + 9 + 1 + 2 + 4 + 8 + 3 + 5) = 85， 18x =乙(70×1 + 80×4 + 90×3 + 5 + 0 + 0 + 3 + 5 + 0 + 2 + 5) = 85， 218s =甲[(78 – 85)2+ (79 – 85)2 + (81 – 85)2 + (82 – 85)2 + (84 – 85)2 + (88 – 85)2 + (90 – 85)2 + (92 – 85)2 + (95 – 85)2 ] = 35.5S 乙2=2222221[(7585)(8085)(8585)(9085)(9285)(9585)]8-+-+-+-+-+-=41∵22,x x s s =<甲乙乙甲， ∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适． （6分）注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分．如派乙参赛比较合适，理由如下： 从统计的角度看，甲检测85人以上（含85人）的概率P 1 = 38， 乙检测85人以上（含85人）的概率241.82P == ∵P 2＞P 1，∴派乙参赛比较合适．（2）记“甲安检员在一小时内完成安检人数高于80人”为事件A ，63().84P A == 随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，且ξ~B (4，34)．∴P (ξ= k ) = 4431,44kkk C -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭k = 01，2，3，4 …………8分所以变量ξ的分布列为：ξ1234P1256 12256 54256 108256 81256（10分）E ξ = 4×34= 3（12分）17．【解析】（1）∵2()2sin 11cos 2142f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 22sin 2,3x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（4分）∴h (x ) = f (x + t ) = 2sin (223x t π+-)，∴h (x )的图象的对称中心为,026k t ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，k ∈Z ，又已知点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭为h (x )的图象的一个对称中心，∴()23k t k ππ=+∈Z ， 而t ∈(0，π)，∴t =5.36ππ或（7分）（2）若p 成立，即当x ∈[,]42ππ时，22[,]363x πππ-∈，∴f (x )∈[1，2]，由|f (x ) – m |≤3⇒m – 3≤f (x )≤m + 3， ∵p 是q 的充分不必要条件，∴31,32m m -≤⎧⎨+≥⎩解得–1≤m ≤4，即m 的取值范围是[–1，4]．（12分）18． 【解析】（1）连结OC ，则OC ∥AD ，CB = OB = OC ，∴∠COB=∠EAO = 60°，∠CAO = 30°，∴Rt △AEB ≌Rt △BCA ， ∴CB = AE = 3．（5分）（2）①过P 作PH ⊥AC 于H ，由于平面P AC ⊥平面⊙O ，则PH ⊥平面⊙O ．过H 作HF ⊥AB 于F ，连结PF ，则PF ⊥AB ，故∠PFH 为二面角P —AB —C 的平面角．（8分）在Rt △APC 中，PH = AP ·sin30°= AC ·cos30°·sin30°= 1924=， AP 2= AH ·AC 得AH= 2AP AC = 在Rt △AFH 中，FH = AH sin30°， 故tan ∠PFH= 9cos PH PFH PF =∠=故…………12分②另解：过P 作PH ⊥AC 于H ，则PH ⊥平面⊙O ，过H 作HF ∥CB 交AB 于F ，以H 为原点，HF 、HA 、HP 分别为x 轴、y 轴、z轴建图2D立空间直角坐标．则H (0，0，0)，A，0，0)，B (，3，0)，P (0，0，94)．从而9(),(4AP AB==-，设平面P AB的法向量(,,),n x y z=则9.4(3)0yAP n zzAB n y⎧⎧==+=⎪⎪⎨⎨=⎪⎪⎩=-+=⎩即令x=1，从而n=，而平面ABC的法向量为(0,0,1).HP=故cos()n,HP==．…12分19．【解析】（1）建立如图所示的直角坐标系，则A(–1，1.5)，B (1，1.5)，C (0，1.5)．设抛物线方程为x2 = 2py (p＞0)，由点A (–1，1.5)代入方程，得到1 = 2p×1.5，即13p=，所以抛物线方程为x2 =23y，由点E的纵坐标为1，得到点E横坐标为，所以截面图m．（6分）（2）设抛物线上一点M23,(0),2t t t⎛⎫>⎪⎝⎭因为改造水渠时只准挖土，而且要求挖出的土最少，所以只能沿过点M与抛物线相切的切线挖土．由223x y=，即232y x=，求导得3y x'=，所以过点M的切线斜率为3t，切线方程为233()2y t t x t-=-，令y = 0，则1231,,2222t tx y xt===+令则，所以截面面积为S=121331(22)2222x x tt⎛⎫+⨯=+≥⎪⎝⎭t= 时等号成立．时，才能使所挖的土最少．（13分）20．【解析】（1）∵f (1) = a–b = 0，∴a = b，∴f′(x) =22aaxx+-．要使函数f (x)在其定义域内为单调函数，则在(0，+∞)内f′(x) 恒大于或等于零，或恒小于或等于零．222()ax a xf xx+-'=由()0f x'≥得221xax≥+而222112x xx x≤=+1a∴≥由()0f x'≤得221xax≤+而221xx>+a∴≤经验证a=0及a=1均合题意，故01a a≤≥或∴所求实数a的取值范围为a≥1或a≤0．（5分）（2）∵函数f (x )的图象在x = 1处的切线的斜率为0，∴f ′(1) = 0，即a + a – 2 = 0，解得a = 1，∴f ′(x ) = 211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴a n + 1 = f ′211 1.1n n n n na a na a ⎛⎫-+=-+ ⎪+⎝⎭（7分）①用数学归纳法证明：（i ）当n = 1时，a 1≥3 = 1 + 2，不等式成立；（ii ）假设当n = k 时不等式成立，即2,k a k ≥+那么a k – k ≥2＞0，∴a k + 1 = a k (a k – k ) + 1≥2 (k + 2) + 1 = (k + 3) + k + 2＞k + 3，也就是说，当n = k + 1时，a k + 1≥(k + 1) + 2．根据（i ）和（ii ），对于所有n ≥1，有a n ≥n + 2．（10分）②由a n + 1 = a n (a n – n ) + 1及①，对k ≥2，有a k = a k – 1 (a k –1 – k + 1) + 1≥a k –1 (k – 1 + 2 – k + 1) + 1 = 2a k –1 + 1，∴a k + 1≥2 (a k –1 + 1)≥22 (a k – 2 + 1)≥23 (a k –3 + 1)≥…≥2k –1 (a 1 + 1)．而11115a =+，于是当k ≥2时，111231111111,1111112k k n a a a a a a -≤⨯∴+++++++++111a ≤+211111112122(1)(1).1255522212n n n --++++=⨯=-<- （13分）21．【解析】(1)由于121122,||2F F NF F F == ，12212222||2,1||1,.c F F aNF ca b c ⎧==⎪⎪∴-==⎨⎪⎪=+⎩解得a 2=2，b 2=1，从而所求椭圆的方程为2212x y +=． （2分）,,,NA λNB A B N =∴三点共线，而点N 的坐标为（–2，0）．设直线AB 的方程为(2)y k x =+，其中k 为直线AB 的斜率，依条件知k ≠0． 由22(2),1,2y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得221(2)22,y y k -+=即22221420k y y k k +-+=．根据条件可知 222421Δ()80,0.k k k k ⎧+=->⎪⎨⎪≠⎩解得0||k <0k <． （5分）设1122(,),(,)A x y B x y ，则根据韦达定理，得212122242,,2121k k y y y y k k +==++又由NA λNB =，得1122(2,)(2,)x y λx y +=+，12122(2),.x λx y λy +=+⎧∴⎨=⎩从而12122(2),.x λx y λy +=+⎧⎨=⎩从而2222224(1),212.21k λy k k λy k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩消去2y 得22(1)821λλk +=+． 令2(1)11(),[,],53λφλλλ+=∈则222111()(2)1λφλλλλλ-''=++=-=．由于1153λ≤≤，所以()0φλ'<．()φλ∴是区间11[,]53上的减函数，从而11()()()35φφλφ≤≤，即1636(),35φλ≤≤216836,3215k ∴≤≤+1||2k ≤≤，而102k k <≤≤．故直 线AB的斜率的取值范围是1]2． （9分） （2）上半椭圆的方程为y =y '，且12y y ==1212,22PA PB x xk k y y =-=-． 解法一 切线P A 的方程是1111(),2x y y x x y -=--即2211111222x x x y y y y +=-+，又221122x y +=， 从而切线P A 的方程为11112x x y y y =-+，同理可得切线PB 的方程为22212x x y y y =-+， 由1112221,21,2x x y y y x x y y y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩可解得点P 的坐标（x 0，y 0）满足210211221021122(),,y y x x y x y x x y x y x y -⎧=-⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩再由12122(2),x λx y λy +=+⎧⎨=⎩得1221122112222(),x x x y x y y y y y ++=⇔-=- 210212()1,2()y y x y y -∴=-=--因此点P 恒在定直线x = – 1上运动. （13分）解法二 设点P 的坐标为（x 0，y 0），则可得切线P A 的方程是1001(),2x y y x x y -=-- 而点A （x 1，y 1）在此切线上，有110101()2x y y x x y -=--即2201011122,x x y y x y +=+又A 在 椭圆上，01022x x y y ∴+=有，① 同理可得020222x x y y +=．②根据①和②可知直线AB 的方程为，0022,x x y y +=而直线AB 过定点N （–2，0）， ∴00221x x -=⇒=-，因此，点P 恒在直线x = –1上运动．（13分）。
长沙市第一中学2020届高三上学期第一次月考数学(文科)试题
长沙市一中2020届高三月考试卷(一）数学（文科）长沙市一中高三文数备课组组稿 时量：120分钟 满分:150分一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知i 为虚数单位，若复数2)1(1i z -+=,则=||z A. 1B. 2C. 2D. 52.已知集合A={21|≤≤-x x }，B={2,1,0}，则=B A A. 21|≤≤-x x B. {2,1,0} C. {2,1-} D. {1,0}3. 通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好踢毽子，得到如下的列联表：附表：随机变量：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=经计算，统计量K 2的观测值4.762,参照附表，得到的正确结论是 A.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C.有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关" D.有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”4. 已知向量b a b k a +=-=),2,2(),2,(为非零向量，若)(b a a +⊥,则实数k 的值为 A.0 B.2 C.-2 D.15. 美学四大构件是:史诗、音乐、造型(绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为 A.21 B. 22 C. 23 D. 316.若21212,)21(,8.0log -===c b a π，则有A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a7.函数21)(xexx f -=的图象大致是8.如图，点A 为单位圆上—点，3π=∠xOA ，点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α 到点B )22,22(-，则=αsin A.462+- B. 462- C.462+ D . 462+-9. 已知函数MOD 是一个求余函数，记MOD(m ，n)表示m 除以n 的余数，例如MOD(13,3) = 1，下图是某个算法的程序框图，当输入m 的值为27时，则输出i 的值为A.2B.3C.4D.510.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C:0822=-++m x y x 与直线012=++y x 相交于A ，B 两点，若△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为A. 11B. 12C.-11D.-1211. 设椭圆C ：)0>,0>(12222b a by a x =+的两个焦点分别为F1,F2，22||21=F F ，P 是C 上一点，若a PF PF =-||||21，且31sin 21=∠F PF ，则椭圆C 的方程为A.13422=+y x B. 13622=+y x C. 14622=+y x D.12422=+y x 12.已知函数x x f x f sin 2)()(+-=，又当0≥x 时，1)('≥x f ，则关于x 的不等式)4(sin 2)2()(ππ-+-≥x x x f x f 的解集为A. ),4[+∞πB. ),4[+∞-πC.)4,[π-∞ D. )4,[π--∞二、填空题:本大题共4小题.每小题5分，共20分。
浏阳一中2009年下学期高三年级第一次月考试题理
浏阳一中2009年下学期高三年级第一次月考试题数学(理)命题:黄杏芳审题:黄六合时量:120分总分:150分一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共401、如图1，ABC内接于O，40A∠=，则OBC∠的度数为（）．A．20 B．40C．50 D．702、已知点P的极坐标为（1，π），那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程是（）A．ρ=1 B．ρ=cosθC．ρ=-θcos1D．ρ=θcos1 3．设,,1a b c>，则log2log4loga b cb c a++的最小值为（）．A．2 B．4 C．6 D．84．若||||a c b-<，则下列不等式中正确的是（）．A．a b c<+ B．a c b>- C．||||||a b c>- D．||||||a b c<+5、在同一坐标系中，将曲线y=2sin3x变为曲线y=sinx的伸缩变换是（）A．⎪⎩⎪⎨⎧==//213yyxxB．⎪⎩⎪⎨⎧==yyxx213//C．⎩⎨⎧==//23yyxxD．⎩⎨⎧==yyxx23//6．若梯形的中位线被它的两条对角线三等分，则梯形的上底a与下底b(a<b)的比是（）．A．12B．13C．23D．257、设P(x，y)是曲线C：⎩⎨⎧θ=θ+-=siny,cos2x（θ为参数，0≤θ<2π）上任意一点，则yx的取值范围是（）图1A ．[-3，3]B ．（-∞，3）∪[3，+∞]C ．[-33，33] D ．（-∞，33）∪[33，+∞]8．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,(,0]()x x x x ∈-∞≠，有2121()(()())0x x f x f x -->.则当*n N ∈时,有 (A)()(1)(1)f n f n f n -<-<+ (B) (1)()(1)f n f n f n -<-<+ (C) (1)()(1)f n f n f n +<-<- (D) (1)(1)()f n f n f n +<-<-二、 填空题：(本大题共7小题，每小题5分，共35分)9、若A=(3)(7)x x ++，B=(4)(6)x x ++，则A ，B 的大小关系为__________. 10、曲线θθρcos 3sin -=的直角坐标方程为 11．函数y =12．直线2()3x t y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩为参数上与点(2,3)A -的距离等于的点的坐标是_______．13．如图2，四边形ABCD 内接于O ， :1:2AD BC =，35AB =，40PD =，则过点P 的O 的切线长是图214．已知2()3(1)32x x f x k =-+⋅+，当x R ∈时，()f x 恒为正，则k 的取值范围是15．如图3已知：AB =，2BC =，1CD =，45ABC ∠=，则四边形ABCD 的面积为图3C三、 解答题：(本大题共6小题,共75分,16-18题12分,19—21题13分)16．过点(2P 作倾斜角为α的直线与曲线22121x y +=交于点,M N ， 求||||PM PN ⋅的值及相应的α的值． 17.设函数()|1|||f x x x a =-+-。
湖南省长沙市雅礼中学2009届高三第六次月考试卷文科数学
湖南省长沙市雅礼中学2009届高三月考试卷数学（文史类）命题：高三数学组 审卷：高三数学组本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟． 参考公式： 正棱锥、圆锥的侧面积公式 如果事件A 、B 互斥，那么 cl S 21=锥侧 P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么 其中，c 表示底面周长、l 表示斜高或 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 母线长如果事件A 在1次实验中发生的概率是 球的体积公式 P ，那么n 次独立重复实验中恰好发生k 334R V π=球 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径第I 卷(共40分)一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．已知全集U ={1,2,3,4,5}，集合M ＝{1,2,3}，N ＝{3,4,5}，则M ∩(U C N )＝Ａ．{1,2} Ｂ．｛4,5｝ Ｃ．｛3｝ Ｄ．｛1,2,3,4,5｝2．()()811x x -+的展开式中含7x 项的系数是Ａ．-21 Ｂ．21 Ｃ．28- Ｄ．283．已知a ,b ∈R ，且a >b ，则下列不等式中恒成立的是Ａ．a 2>b 2Ｂ．ba>1 Ｃ．lg(a －b)>0 4：已知⎩⎨⎧>+-≤=0,1)2(0,sin )(x x f x x x f π，则)61()61(--f f 的值为A ．2-B ．1-C ．1D ．25．给出下面四个命题：①“直线a 、b 为异面直线”的充分非必要条件是：直线a 、b 不相交； ②“直线l 垂直于平面α内所有直线”的充要条件是：l ⊥平面α； ③“直线a ⊥b ”的充分非必要条件是“a 垂直于b 在平面α内的射影”；④“直线a ∥平面β”的必要非充分条件是“直线a 至少平行于平面β内的一条直线”． 其中正确命题的个数是 Ａ．1个 Ｂ．2个Ｃ．3个 Ｄ．4个６．北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°, 第一排和最后一排的距离 为610米（如图所示）,旗杆底部与第一 排在一个水平面上．已知国歌长度约为50 秒，升旗手匀速升旗的速度为 Ａ．51（米/秒） Ｂ．53（米/秒） Ｃ．56（米/秒）７．已知P 是椭圆13422=+y x 上的一点，21,F F 是该椭圆的两个焦点，若21F PF ∆的内切圆半径为21，则21PF PF ⋅的值为 Ａ．23Ｃ．49- Ｄ．0８．若二次函数)(4)(2R x c x ax x f ∈+-=的值域为(]0,∞-，则ac c a 44-+-的最小值为 A 4B．C ．6D．第II 卷二．填空题：本大题共7小题，每小题5分（第14题第一空２分，第二空3分，第15题第一空3分，第二空2分），共35分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上． ９．0sin15010．若向量()12,23a λλ=+-与()4,1b =共线，则λ11．已知,x y 满足约束条件50,0,3,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则y x z +=21213．某商贸公司为了解员工对工资福利的满意度，用分层抽样的方法从销售、财务、人事三个部门的员工中抽取一个容量为20的样本。
湖南省长沙市第一中学2020届高三第一次月考数学(文)试题(含解析)
长沙市一中2020届高三月考试卷(一)数学(文科)长沙市一中高三文数备课组组稿 时量:120分钟 满分:150分一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知i 为虚数单位，若复数2)1(1i z -+=,则=||z (D) A. 1 B. 2C.2D.5【解析】依题意211212z i i i =+++=+，故z == D. 2.已知集合A={21|≤≤-x x }，B={2,1,0}，则=B A (B) 【解析】A={21|≤≤-x x }中整数有-1，0，，1，2，所以{}0,1,2A B =A. {|12}x x -≤≤B. {2,1,0}C. {2,1-}D. {1,0}3.通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好踢毽子得到如下的列联表:经计算，统计量K 2的观测值k≈4.762参照附表得到的正确结论是(A) A.在犯错误的概率不超过5％的前提下，认为爱好该项运动与性别有关” B.在犯错误的概率不超过5％的前提下，认“爱好该项运动与性别无关 C.有97.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D.有97.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【解析】由题意算得，K≈4.762>3.841，参照附表，可得在犯错误的概率不超过5％的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”故选A4. 已知向量(,2),(2,2),a k b a b =-=+为非零向量，若()a a b ⊥+,则实数k 的值为 (A) A.0 B.2 C.-2 D.1【解析】∵a =(k ，-2)，b = (2.2)，∴a b += (k +2，0)，∵()a a b ⊥+， ∴()(2)0a a b k k ⋅+=⋅+=∵a b +为非零向量，即k +2≠0，∴k ＝0. 故选A 5.美学四大构件是:史诗、音乐、造型(绘画、建筑等和数学素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描而学习几何体结构素描是学习素描最重要的 一步，某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截 面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆若“切面所在 平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为(C) A.21B. 22C. 23D. 31【解析】设圆柱底面圆的半径为R ，∵与底面成60°角的平面截圆柱，∴椭圆的半长轴长是2R ，半短轴长是R ，∴c =∴ c e a ==，故选C 6. 若21212,)21(,8.0log -===c b a π，则有 (B)A. a<b<cB. a <c<bC. c<a<bD. b<c<a【解】1110.8222211log 0,2()()022a c --=<==<>，所以a<c<b 选B 7.函数f(x)＝1的图象大致是【解析】由x ＞1时f (x )<0，排除B 、D ，又f (12)＞0，排除A 故选C8.如图+点A 为单位圆上一点，3π=∠xOA ，点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点B )22,22(-，则=αsin (C) A.462+- B. 462- C.462+ D. 462+-【解析】由题意得1sin sin[()](332ππαα=+-=-=，故选C9.已知函数MOD 是一个求余函数，记MOD(m ，n )表示m 除以n 的余数，例如MOD(13，3)=1，下图是某个算法的程序框图，当输入m 的值为27时，则输出i 的值为 (B)A.2B.3C.4D.5 【解析】当n ＝3，9，27时27能被n 整除，则最终i ＝3.10.在平面直角坐标系x O y 中，已知圆C:x 2+y 2+8x -m ＝0与直线012=++y x 相交于A ，B 两点.若△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为 (D)A.11B.12C.-11D.-12 【解析】C:(x +4)2+y ＝16-m ，圆心C(-4，0)到直线012=++y x的距离d ==所以弦长AB ==由△ABC 为等边三角形，所以=m ＝-12.11.设椭圆C: 22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为F1,F2，22||21=F F ，P 是C上一点，若a PF PF =-||||21，且31sin 21=∠F PF ，则椭圆C 的方程为 (D)A. 13422=+y xB. 13622=+y xC. 14622=+y xD. 12422=+y x【解析】由1212,2PF PF a PF PF a -=+=，解得1231,22PF a PF a ==，在△PF 1F 2中，由正弦定理:121221sin sin PF PF PF F PF F =∠∠，解得sin ∠PF 2F 1＝1，则∠PF 2F 1＝90°，又121sin 3PF F ∠=，可知tan ∠PF 1F 2，2c ＝，得212aPF ==解得a ＝2，c ，b =C 方程22142x y += 12.已知函数x x f x f s in 2)()(+-=，又当0≥x 时，1)('≥x f ，则关于x 的不等式)4(s in 2)2()(ππ-+-≥x x x f x f 的解集为 (A)A. ),4[+∞πB. ),4[+∞-πC. )4,[π-∞D. )4,[π--∞ 【解析】由f (x )＝f (-x )+2sin x ，知f (x )-sin x ＝f(-x)-sin(-x)，设g(x )＝f(x )-sin x则g(x )＝g(-x )，即g(x )为R 上的偶函数当x ≥0时，g ’(x )＝f ’(x )-cos x ≥f ’(x )-1≥0则g (x )在区间[0，+∞)上单调递增()())24f x f x x ππ≥--等价于()()22g x g x x x ππ≥-⇒≥-，解得4x π≥。
2020届长沙市一中高三第1次月考试卷-文数试卷
姓!名!
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长沙市一中高三文数备课组组稿
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KS解析湖南省长沙市开福区长沙市第一中学高三月月考数学试题Wor含解析
长沙市一中2020届高三月考试卷(一)数学(文科)一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.i 为虚数单位，复数()211z i =+-，则z =（）A. 1B. 2 2 5【答案】D【解析】【分析】化简z 为a bi +的形式，进而求得z .【详解】依题意2112i 12i z i =+-+=-，故()2125z =+-= D.【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数的模的运算，属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a bi +的形式，再根据题意求解.2.已知集合A ={|12x x -≤≤}，B ={0,1,2}，则A B =I ()A. {|12}x x -≤≤B. {0,1,2}C. {1,2-}D. {0,1} 【答案】B【解析】【分析】写出集合A 中的整数，然后与集合B 取交集，得到答案【详解】A ={|12x x -≤≤}中整数有-1，0，1，2，所以{}0,1,2A B =I故选B 项【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.3.通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好踢毽子，得到如下的列联表：随机变量22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++经计算，统计量K 2的观测值k 0≈4.762，参照附表，得到的正确结论是( )A. 在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B. 在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C. 有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D. 有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】A【解析】【分析】题目的条件中已经给出这组数据的观测值，只要把所给的观测值同节选的观测值表进行比较，发现它大于3.841，在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好这项运动与性别有关”．【详解】解：由题意算得，2K ≈ 4.762＞3.841，参照附表，可得在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好这项运动与性别有关”．故选：A ．【点睛】本题考查独立性检验的应用，题干给出了观测值，只要进行比较就可以得出正确选项。
湖南省长沙市第一中学2020届高三第一次月考数学(文科)试题 含答案
长沙市一中2020届高三月考试卷(一）数学（理科）时量：120分钟 满分:150分一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知i 为虚数单位，若复数2)1(1i z -+=,则=||z A. 1B. 2C. 2D. 52.已知集合A={21|≤≤-x x }，B={2,1,0}，则=B A A. 21|≤≤-x x B. {2,1,0} C. {2,1-} D. {1,0}3. 通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好踢毽子，得到如下的列联表：附表：随机变量：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=经计算，统计量K 2的观测值4.762,参照附表，得到的正确结论是 A.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C.有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关" D.有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”4. 已知向量b a b k a +=-=),2,2(),2,(为非零向量，若)(b a a +⊥,则实数k 的值为 A.0 B.2 C.-2 D.15. 美学四大构件是:史诗、音乐、造型(绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为 A.21 B. 22 C. 23 D. 316.若21212,)21(,8.0log -===c b a π，则有A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a7.函数21)(xexx f -=的图象大致是8.如图，点A 为单位圆上—点，3π=∠xOA ，点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α 到点B )22,22(-，则=αsin A.462+- B. 462- C.462+ D . 462+- 9. 已知函数MOD 是一个求余函数，记MOD(m ，n)表示m 除以n 的余数，例如MOD(13,3) = 1，下图是某个算法的程序框图，当输入m 的值为27时，则输出i 的值为A.2B.3C.4D.510.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C:0822=-++m x y x 与直线012=++y x 相交于A ，B两点，若△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为A. 11B. 12C.-11D.-1211. 设椭圆C ：)0>,0>(12222b a by a x =+的两个焦点分别为F1,F2，22||21=F F ，P 是C 上一点，若a PF PF =-||||21，且31sin 21=∠F PF ，则椭圆C 的方程为A. 13422=+y xB. 13622=+y x C.14622=+y x D. 12422=+y x 12.已知函数x x f x f sin 2)()(+-=，又当0≥x 时，1)('≥x f ，则关于x 的不等式)4(sin 2)2()(ππ-+-≥x x x f x f 的解集为 A. ),4[+∞π B. ),4[+∞-πC.)4,[π-∞ D. )4,[π--∞二、填空题:本大题共4小题.每小题5分，共20分。
长沙市一中2019届高三月考试卷(五)数 学(文科)
长沙市一中2019届高三月考试卷(五)数 学(文科)(考试范围：集合、逻辑用语、函数、导数、三角函数、 平面向量与复数、数列、不等式、概率统计、立体几何)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知命题p ：“x ∈R ，x 2＋1>0”；命题q ：“x ∈R ，sin x ＝2”则下列判断正确的是 ( )A.p 或q 为真，非p 为真B. p 或q 为真，非p 为假C.p 且q 为真， 非p 为真D.p 且q 为真，非p 为假 2.要得到一个奇函数，只需将函数f (x )＝sin(x －π3)的图象( )A.向右平移π6个单位B.向右平移π3个单位C.向左平移π6个单位D.向左平移π3个单位3.函数f (x )＝2x －3x的零点所在区间为 ( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)4.甲乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列判断正确的是 ( )A. x 甲>x 乙， 且乙比甲成绩稳定B. x 甲>x 乙，且甲比乙成绩稳定C.x 甲<x 乙， 且乙比甲成绩稳定D.x 甲<x 乙， 且甲比乙成绩稳定5.如右图是一个简单空间几何体的三视图，其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是 ( )A.36 B.4 3 C.433 D.836.设α、β为两个不同的平面，m 、n 为两条不同的直线，则以下判断不正确．．．的是 ( )A.若α∥β，m ⊥α，则m ⊥βB.若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nC.若α⊥β，α∩β＝n ，m α，m ⊥n ，则m ⊥βD.若m α，n α，m ∥β，n ∥β，则α∥β7.下列图象中有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)＝( )A.13B.－13C.53D.－538.已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( ) A.32 B.53 C.256D.不存在 选择题答题卡二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.函数y ＝2－x ＋log 3(1＋x)的定义域为 .10.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为100的样本，其频率分布直方图如图所示，则据此估计支出在[50,60)元的同学的概率为.11.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知B ＝π3，a ＝3，c ＝2，则△ABC 的面积为______.12.若向量a 、b 满足a ＋b ＝(2，－1)，a ＝(1,2)，则向量a 与b 的夹角等于 . 13.如图，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，异面直线BD 与B ′C 所成角为 ；直线A ′C 与平面ABCD 所成角的正弦值为 .x-y ≥014.满足约束条件 x+y ≤2 的点P (x ，y )所在区域的面积等于 .x+2y ≥215.若函数y ＝f (x )(x ∈D )同时满足下列条件：(1)f (x )在D 内为单调函数；(2)f (x )的值域为D 的子集，则称此函数为D 内的“保值函数”.已知函数f (x )＝a x ＋b －3ln a，g (x )＝ax 2＋b .①当a ＝2时，f (x )＝a x ＋b －3ln a 是[0，＋∞)内的“保值函数”，则b 的最小值为 ；②当－1≤a ≤1，且a ≠0，－1≤b ≤1时，g (x )＝ax 2＋b 是[0,1]内的“保值函数”的概率为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. (本小题满分12分)已知sin(π－α)＝45，α∈(0，π2).(1)求sin2α－cos 2α2的值；(2)求函数f (x )＝56cos αsin2x －12cos2x 的单调递增区间.17. (本小题满分12分)为了更好的开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的方法从“模拟联合国”， “街舞”， “动漫”，“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组，有关数据见下表(单位：人)(1)求a ，b ，c 的值；(2)若从“动漫”与“话剧”社团已抽取的人中选2人担任指导小组组长，求这2人分别来自这两个社团的概率.18. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，E 、F 分别为PC 、BD 的中点，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝22AD. (1)求证：EF ∥平面PAD ； (2)求证：PA ⊥平面PCD. 19. (本小题满分13分)某造船公司年造船量最多20艘，已知造船x 艘的产值函数为R (x )＝3700x ＋45x 2－10x 3(单位：万元)，成本函数为C (x )＝460x ＋500(单位：万元).(1)求利润函数p (x )；(提示：利润＝产值－成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)在经济学中，定义函数f (x )的边际函数Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x ).求边际利润函数Mp (x )，并求Mp (x )单调递减时x 的取值范围；试说明Mp (x )单调递减在本题中的实际意义是什么？(参考公式：(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3)20.(本小题满分13分)已知点列B 1(1，b 1)，B 2(2，b 2)，…，B n (n ，b n )，…(n ∈N )顺次为抛物线y ＝14x 2上的点，过点B n (n ，b n )作抛物线y ＝14x 2的切线交x 轴于点A n (a n,0)，点C n (c n,0)在x 轴上，且点A n ，B n ，C n 构成以点B n 为顶点的等腰三角形.(1)求数列{a n }，{c n }的通项公式；(2)是否存在n 使等腰三角形A n B n C n 为直角三角形，若有，请求出n ；若没有，请说明理由.(3)设数列{1a n ·(32＋c n )}的前n 项和为S n ，求证：23≤S n <43.21.(本小题满分13分)已知函数f (x )＝x (x －a )(x －b )，点A (s ，f (s ))，B (t ，f (t )).(1)若a ＝0，b ＝3，函数f (x )在(t ，t ＋3)上既能取到极大值，又能取到极小值，求t 的取值范围；(2)当a ＝0时，f (x )x ＋ln x ＋1≥0对任意的x ∈[12，＋∞)恒成立，求b 的取值范围；(3)若0<a <b ，函数f (x )在x ＝s 和x ＝t 处取得极值，且a ＋b <23，O 是坐标原点，证明：直线OA 与直线OB 不可能垂直.数 学(文科)答案一、选择题二、填空题：9. (－1,2] 10. 0.30 11. 32 12. 135°13.33 14. 13 . 15.① 2 ② 14三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分)解：(1)∵sin(π－α)＝45，∴sin α＝45，又∵α∈(0，π2)，∴cos α＝35， (2分)∴sin2α－cos 2α2＝2sin αcos α－1＋cos α2＝2×45×35－1＋352＝425，(6分)(2)f (x )＝56×35sin2x －12cos2x ＝22sin(2x －π4)，(9分)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z .(11分)∴函数f (x )的单调递增区间为[k π－π8，k π＋3π8]，k ∈Z .(12分)17. (本小题满分12分)解：(1)由表可知抽取比例为16，故a ＝4，b ＝24，c ＝2. (4分)(2)设“动漫”4人分别为：A 1，A 2，A 3，A 4；“话剧”2人分别为：B 1，B 2.则从中任选2人的所有基本事件为：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 3，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)， (B 1，B 2)共15个， (8分)其中2人分别来自这两个社团的基本事件为：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)共8个， (10分)所以这2人分别来自这两个社团的概率P ＝815. (12分)18. (本小题满分12分)解：(1)证明：连结AC ，则F 是AC 的中点，E 为PC 的中点故在△CPA 中， EF//PA ， (3分) 且平面PAD ，平面PAD ，∴EF ∥平面PAD. (6分) (2)证明：因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD∩平面ABCD ＝AD ，又CD ⊥AD ，所以，CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PA ， (9分) 又PA ＝PD ＝22AD ，所以△PAD 是等腰直角三角形， 且∠APD ＝π2， 即P A ⊥PD ， (11分)又CD ∩PD ＝D ， ∴P A ⊥平面PCD . (12分)19. (本小题满分13分)解：(1)p (x )＝R (x )－C (x )＝3700x ＋45x 2－10x 3－460x －500 ＝－10x 3＋45x 2＋3240x －500，(x ∈N ，1≤x ≤20) (3分)(2)p ′(x )＝－30x 2＋90x ＋3240＝－30(x －12)(x ＋9)， (6分)∴当0<x <12时，p ′(x )＞0，当x ＜12时，p ′(x )＜0.∴x ＝12时，p (x )有最大值. 即年造船量安排12 艘时，可使公司造船的年利润最大. (8分) (3)∵Mp (x )＝p (x ＋1)－p (x )＝－10(x ＋1)3＋45(x ＋1)2＋3240(x ＋1)－500－(－10x 3＋45x 2＋3240x －500) ＝－30x 2＋60x ＋3275＝－30(x －1)2＋3305，(x ∈N *,1≤x ≤19)所以，当x ≥1时，Mp (x )单调递减，x 的取值范围为[1,19]，且x ∈N . (11分) Mp (x )是减函数的实际意义：随着产量的增加，每艘船的利润在减少.(13分)20.(本小题满分13分)解：(1)∵y ＝14x 2，∴y ′＝x 2， y ′|x ＝n ＝n 2， 则点B n (n ，b n )作抛物线y ＝14x 2的切线方程为：y －n 24＝n 2(x －n )，令y ＝0，则x ＝n 2，即a n ＝n2；(3分)∵点A n ，B n ，C n 构成以点B n 为顶点的等腰三角形，则：a n ＋c n ＝2n ，∴c n ＝2n －a n ＝3n 2(5分)(2)若等腰三角形A n B n C n 为直角三角形，则|A n C n |＝2b nn ＝n 22n ＝2，∴存在n ＝ 2，使等腰三角形A 2B 2C 2为直角三角形 (9分)(3)∵1a n ·(32＋c n )＝1n 2(32＋3n 2)＝134n (n ＋1)＝43(1n －1n ＋1)(11分) ∴S n ＝43(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝43(1－1n ＋1)<43又1－1n ＋1随n 的增大而增大，∴当n ＝1时S n 的最小值为：43(1－11＋1)＝23，∴23≤S n <43(13分)21.(本小题满分13分)解：(1)当a ＝0，b ＝3时f (x )＝x 3－3x 2，∴f ′(x )＝3x 2－6x ，∴f (x )在(－∞，0)和(2，＋∞)上递增，在(0,2)上递减， (2分) 所以f (x )在0和2处分别达到极大和极小，由已知有t <0且t ＋3>2，因而t 的取值范围是(－1,0). (4分) (2)当a ＝0时，f (x )x ＋ln x ＋1≥0即x 2－bx ＋ln x ＋1≥0可化为x ＋ln x x ＋1x ≥b ，记g (x )＝x ＋ln x x ＋1x (x ≥12)，则g ′(x )＝1＋1－ln x x 2－1x 2＝x 2－ln xx 2.(6分)记m (x )＝x 2－ln x ，则m ′(x )＝2x －1x ，∴m (x )在(12，22)上递减，在(22，＋∞)上递增.∴m (x )≥m (22)＝12－ln 22>0 从而g ′(x )>0，∴g (x )在[12，＋∞)上递增因此g (x )min ＝g (12)＝52－2ln2≥b ，故b ≤52－2ln2. (9分)(3)假设OA ⊥OB ，即OA ·OB ＝(s ，f (s ))·(t ，f (t ))＝st ＋f (s )f (t )＝0 故(s －a )(s －b )(t －a )(t －b )＝－1，[st －(s ＋t )a ＋a 2][st －(s ＋t )b ＋b 2]＝－1 由s ，t 为f ′(x )＝0的两根可得，s ＋t ＝23(a ＋b )，st ＝ab3，(0<a <b )从而有ab (a －b )2＝9 (11分) (a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ＝9ab＋4ab ≥236＝12即a ＋b ≥23，这与a ＋b <23矛盾.故直线OA 与直线OB 不可能垂直. (13分)。
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1 2009年下学期长沙市一中高三第一次月考试卷 文 科 数 学 命题人：郑和斌 校对人：任竞争
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1. 设集合{|02}Axx，2{|1}Bxx.则AB= .
A．{|12}xx B．{|01}xx C．{|2}xx D．{|12}xx 2．若函数()fx满足(3)()fxfx，则函数()fx周期为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．直线143xy在y轴上的截距为（ ） A．3 B．4 C．3 D．4 4．正项等比数列{}na中，若5716aa，则6a . A．16 B．8 C．4 D．2 5．,ab是两条不相交的直线，则过直线b且平行于a的平面（ ） A．有且只有一个 B．至少有一个 C．至多有一个 D．只能有有限个
6．已知tan2，则sincossincos .
A．13 B．23 C．3 D．12 7．已知平面向量a=(3,1)，b=(,3)x，且ab，则x . A．3 B．1 C．1 D．3
8．圆221xy的圆心到直线yxb的距离为22，则b的值一定是（ ） A．1 B．0 C．1或1 D．2 2
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中横线上） 9．抛物线22xy的准线方程为 .
10．函数sinyx的图象先向左平移4，再向上平移1个单位得函数()yfx的图象，则()fx的解析式为 .
11．已知,,abc分别为ABC的三个内角,,ABC所对的边，且222ababc，则 C .
12．已知函数2()logfxx，若()()2fafb，则ab的最小值是 .
13．已知,xy满足约束条件101010xyxyy，则2zxy的最大值是 . 14．已知()fx是奇函数，定义域为{|R0}xxx且，若()fx在(0,)是增函数，且 (1)0f，则不等式()()fxfx的解集是 .
15．如图，将45直角三角板和30的直角三角板拼在一起，其中45直角三角板的斜边与30直角三角板的30角所对的直角边重合.
若DBxDCyDA，则x ，y . 3
长沙市一中高三月考试题（1） 文科数学答卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中横线上） 9． 10. 11. 12. 13. 14. 15. 三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 16．（本小题满分12分）已知函数22()2sincossincosfxxxxx.
（1）求()fx递增区间；（2）求()fx当[0,]2x时的值域. 4
17．（本小题满分12分）如图在三棱锥PABC中，ABPC，2AC，4BC，23AB，30PCA. （Ⅰ）求证：AB平面PAC； （Ⅱ）设二面角APCB的大小为，求tan的值.
18．（本题满分12分）先后抛掷一枚骰子，得到的点数分别记为,ab，按以下程序进行 运算： INPUT “,ab”；,ab
IF ab THEN yab ELSE yba END IF PRINT y END （Ⅰ）若3a，6b，求程序运行后计算机输出y的值；
（Ⅱ）若“输出y的值是2”为事件A，求事件A发生的概率. 5
19．（本小题满分13分）等差数列{}na的前n项和为nS，且545S，660S. （Ⅰ）求{}na的通项公式na； （Ⅱ）若数列{}na满足1(*)nnnbbanN
且13b，求1{}nb的前n项和nT.
20．（本小题满分13分）已知函数y=()Gx的图象过原点，其导函数为y=()fx，函数2()32fxxbxc且满足(1)(1)fxfx.
（Ⅰ）若()0fx，对[0,3]x恒成立，求实数c的最小值； （Ⅱ）设()Gx在xt处取得极大值，记此极大值为()gt，求()gt的值域. 6
21．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左焦点与短轴的两个端点构成边长为2的等边三角形，设11(,)Mxy，22(,)Nxy，12()xx是椭圆上不同的两点，且121240xxyy. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）求证：22124xx；
（Ⅲ）在x轴上是否存在一点(,0)Pt，使||||PMPN？若存在，求出t的取值范围， 若不存在，说明理由. 7
长沙市一中高三月考试题（1）参考答案及评分标准 文 科 数 学 一、选择题 1．B 2．D 3．C 4．C 5．B 6．A 7．C 8．C 二、填空题
9．12y 10．sin()14yx 11．60
12．4 13．1 14．(1,0)(1,) 15．13 3 三、解答题 16．（1）()sin2cos22sin(2)4fxxxx
由222242kxk得388kxk 递增区间为3[,]88kk(kZ)„„„„„„„„„„„„„„„6分 （2）[0,]2x，32[,]444x， 2sin()2sin42y 12y 值域为[1,2]„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分 17．证明：（Ⅰ）由已知，222BCABAC ABAC， 又ABPC， AB面PAC„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 （Ⅱ）作AMPC于M，连BM ABCP PC面BMA
PCBM AMB为二面角APCB的平面角 AMB，sin301AMAC
23tan231ABAM„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分
18．（Ⅰ）3y„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 8
（Ⅱ）先后抛掷一枚骰子，用(,)ab表示基本事件，可能出现6636个基本事件，事件A包含（1，3），（2，4），（3，5），（4，6），（3，1），（4，2），（5，3），（6，4）共8个基本事件.
由古典概率计算公式82()369PA.„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分
19．（Ⅰ）615a，由166()6602aaS，120155a 611552615aad
1(1)52(1)23naandnn„„„„„„„„„„„„„„„„6分
（Ⅱ）211bba 322433
11nnnbbabbabba
叠加111()(1)(521)(1)22nnaannnbb 2(3)(1)32nbnnnn
2111111[]2(2)22nbnnnnnn
111111111[]21324352nTnn
=1111[1]2212nn„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„13分 20．（Ⅰ）(1)(1)fxfx 13b 3b 2()36fxxxc
由()0fx得263cxx对[0,3]x恒成立. 设22()363(2)gxxxxx 2max()(1)31613gxg
3c，即C的最小值为3.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分
（Ⅱ）32()3Gxxxcx
()Gx在xt处取得极大值 2()360ftttc且1t 9
32322()33(63)gtttctttttt
即32()23gttt (,1)t 2()66gttt 令()0gt，得0t或1t 当0t时，()0gt，0t时()0gt 当0t时，()gt极小(0)0g 故()gt的值域为[0,].„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„13分 21．（Ⅰ）由题设知2,3,1acb.
椭圆C的方程为2214xy„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 （Ⅱ）由121240xxyy，得2222121216xxyy 221144xy，222244xy
222222221212121216164()xxyyxxxx
故22124xx„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分 （Ⅲ）假设存在点(,0)Pt，使得||||PMPN，则22221122()()xtyxty 22121221()(2)xxxxtyy
故12121212()()()(2)4xxxxxxxxt
12xx，1283xxt
又2222121212()()321829xxxxtxx，
1x，2x是方程2283218039tzz的两个根 由22644(3218)099tt，得323244t， 故存在点(,0)Pt，使得||||PMPN，且t的取值范围为3232(,)44.„„„13分