第二章组合逻辑函数
第2章 逻辑代数基础
A B
冗余律： AB A C BC AB A C
证明： AB A C BC
AB A C ( A A) BC
AB A C ABC A BC
互补率A+A=1 分配率 A(B+C)=AB+AC 0-1率A+1=1
AB(1 C) A C(1 B)
1、并项法
利用公式Ａ＋Ａ＝1，将两项合并为一项，并消去一个变量。 运用分配律 变并 相 和 包 量成 同 反 含 Y1 ABC A BC BC ( A A ) BC BC 的一 时 变 同 若 因项 ， 量 一 两 BC BC B(C C ) B 子， 则 ， 个 个 。并 这 而 因 乘 运用分配律 消两其子积 去项他的项 Y2 ABC AB AC ABC A( B C ) 互可因原中 ABC ABC A( BC BC) A 为以子变分 反合都量别 运用摩根定律
（2）反演规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式 中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”， “1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么 所得到的表达式就是函数Y的反函数Y（或称补函数）。这个规 则称为反演规则。例如：
Y AB CD E
Y A B C D E
A A B A 吸收率： A ( A B) A
A ( A B) A B A A B A B
证明： A A B ( A A)(A B)
分配率 A+BC=(A+B)(A+C)
1 ( A B)
互补率A+A=1
逻辑函数及其化简
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2.4 逻辑函数及其表示方法
2.4 .1逻辑函数
逻辑函数的定义 实际的逻辑问题描述
2.4 .2逻辑函数的表示方法
逻辑真值表
逻辑函数式
逻辑图
各种表示方法间的互相转换
2.4 .3逻辑函数的两种标准形式
最小项
最小项表达形式
最大项
最大项表达形式
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2.4.1 逻辑函数
例如 : L ( A B )( A C)，则其对偶式为 L' AB AC
如恒等式( A B )( A C ) A BC成立, 则其对偶式为AB AC A( B C )也成立。 例如：1 A A,0 A 0成立。 则其对偶式为0 A A,1 A 1也成立。
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一、(逻辑)真值表 利用表格的形式罗列逻辑函数输入变量的所有可能取值及输
出变量之间的一一对应的数值关系的一种数值表。
输入
例如：举重裁判电路
A
B
C
的真值表
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
输出 Y 0 0 0 0 0 1 ABC 1 ABC 1 ABC
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二、逻辑函数式 把输出与输入变量的关系写成与，或、非等运算的组合关
系式.
例如： Y AB AC
Y F ( A, B, C)
Y A( B C )
ABC ABC ABC
逻辑代数基础
所得到的图形叫n变量的卡诺图。
逻辑相邻的最小项：如果两个最小项只有一个变量互为反变 量，那么，就称这两个最小项在逻辑上相邻。 如最小项 m6=ABC、与
m7 =ABC 在逻辑上相邻 m7
m6
两变量卡诺图 AB 0 1 m0 m1 0 AB AB 1 mB AB A 2 m3 三变量卡诺图 B
四变量卡诺图 CD AB 00 01 11 10 00 m0 m1 m3 m2 01 m4 m5 m7 m6 A 11 m12 m13 m15 m14
b.去括号
ABC ABC AB
ABC ABC AB(C C )
ABC ABC ABC ABC
m3 m5 m7 m6 m(3,5,6,7)
三、 用卡诺图表示逻辑函数
1、卡诺图的引出 卡诺图：将n变量的全部最小项都填入小方格内，并使具有 逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，这样,
L CD 00 01 AB 00 1 1 01 11 10 1 0 1 0 0 0 11 10 1 0 1 1 1 0 1 1
例2 画出下式的卡诺图
L ( A, B, C , D) ( A B C D)( A B C D)( A B C D)
解
( A B C D)( A B C D) 1. 将逻辑函数化为最小项表达式
结合律：A + B + C = (A + B) + C
A · · = (A · · B C B) C
A 分配律： ( B + C ) = AB + AC
A + BC = ( A + B )( A + C )
《数字电子技术》电子教案
《数字电子技术》电子教案第一章：数字电路基础1.1 数字电路概述介绍数字电路的定义、特点和应用解释数字信号与模拟信号的区别1.2 数字逻辑基础介绍逻辑门的概念和分类详细讲解与门、或门、非门、异或门等基本逻辑门的工作原理和真值表1.3 逻辑函数与逻辑代数介绍逻辑函数的定义和表示方法讲解逻辑代数的运算法则和规则第二章：组合逻辑电路2.1 组合逻辑电路概述介绍组合逻辑电路的定义和特点解释组合逻辑电路的输入输出关系2.2 常用组合逻辑电路讲解编码器、译码器、多路选择器、算术逻辑单元等常用组合逻辑电路的工作原理和真值表2.3 组合逻辑电路的设计方法介绍组合逻辑电路的设计方法和步骤举例讲解组合逻辑电路的设计过程第三章：时序逻辑电路3.1 时序逻辑电路概述介绍时序逻辑电路的定义和特点解释时序逻辑电路的输入输出关系3.2 常用时序逻辑电路讲解触发器、计数器、寄存器等常用时序逻辑电路的工作原理和真值表3.3 时序逻辑电路的设计方法介绍时序逻辑电路的设计方法和步骤举例讲解时序逻辑电路的设计过程第四章：数字电路仿真与实验4.1 数字电路仿真软件介绍介绍常见的数字电路仿真软件及其功能解释如何使用仿真软件进行数字电路的仿真4.2 数字电路实验指导讲解数字电路实验的目的和意义详细讲解如何进行数字电路实验的操作步骤和注意事项4.3 常见数字电路故障分析与维修介绍常见数字电路故障的类型和原因讲解如何进行数字电路故障分析和维修的方法和技巧第五章：数字系统设计与应用5.1 数字系统设计概述介绍数字系统设计的定义和目标解释数字系统设计的基本流程和方法5.2 数字系统设计工具与方法介绍常见的数字系统设计工具及其功能讲解数字系统设计的具体方法和步骤5.3 数字系统应用案例分析分析常见的数字系统应用案例讲解数字系统在实际应用中的优势和局限性第六章：数字电路设计实例6.1 微处理器设计介绍微处理器的基本结构和工作原理讲解微处理器的指令系统和发展趋势6.2 数字信号处理器设计介绍数字信号处理器的基本结构和工作原理讲解数字信号处理器的应用领域和发展趋势6.3 数字通信系统设计介绍数字通信系统的基本原理和组成讲解数字通信系统的调制解调技术、信道编码和误码纠正技术第七章：数字电路测试与维护7.1 数字电路测试概述介绍数字电路测试的目的和意义讲解数字电路测试的方法和分类7.2 数字电路测试方法介绍静态测试和动态测试两种方法讲解组合逻辑测试向量和时序逻辑测试向量的方法7.3 数字电路维护与故障排除介绍数字电路维护的基本要求和注意事项讲解数字电路故障的诊断和排除方法第八章：数字集成电路8.1 数字集成电路概述介绍数字集成电路的分类和特点解释集成电路的封装方式和应用领域8.2 集成电路的制造工艺讲解集成电路的制造工艺流程介绍常见的集成电路制造工艺和技术8.3 集成电路的可靠性分析介绍集成电路可靠性的重要性和评价指标讲解集成电路可靠性的提高方法和故障分析第九章：嵌入式系统9.1 嵌入式系统概述介绍嵌入式系统的定义、特点和应用解释嵌入式系统的基本组成和架构9.2 嵌入式处理器和编程语言介绍嵌入式处理器的基本结构和分类讲解嵌入式编程语言的选择和使用方法9.3 嵌入式系统的设计与开发介绍嵌入式系统设计与开发的基本流程讲解嵌入式系统硬件和软件的设计要点第十章：数字电路技术在现代社会的应用10.1 数字电路技术在通信领域的应用介绍数字电路技术在通信领域的应用实例讲解数字电路技术在移动通信、光纤通信等领域的应用原理和优势10.2 数字电路技术在计算机领域的应用介绍数字电路技术在计算机领域的应用实例讲解数字电路技术在微处理器、存储器等计算机硬件领域的应用原理和优势10.3 数字电路技术在其他领域的应用介绍数字电路技术在工业控制、医疗设备、家用电器等领域的应用实例讲解数字电路技术在这些领域的应用原理和优势重点和难点解析重点一：数字电路的逻辑基础和逻辑函数解析：数字电路的核心是逻辑门和逻辑函数，这是理解数字电路其他部分的基础。
第二章 逻辑代数基础
A B A B
______
A (B C) A (B C) A B C
__________ _____
A ( B C ) A B C A B C
________
3.反演定理
对于任意一个逻辑式 Y ，若将其中所有的“•”换成 “＋”， “＋”换成“•”，0换成1，1换成0，原变量 __ 换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是 Y
2、非逻辑真值表 A 0 1 Y
3 、非逻辑函数式
Y=A 或： Y A
1
0
4、 非逻辑符号
A
1
Y
或： 5 、 非逻辑运算 0=1 1=0
四、 几种最常见的复合逻辑运算
1 、 与非 Y=A B A B & Y
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y 1 1 1 0
3 、 同或 Y= AB+A B =A⊙B A B Y
（还原律）
证明： A B A B A ( B B ) A 1 A
4.
A ( A B) A
（吸收律）
证明： A ( A B) A A A B A A B A (1 B) A 1 A
5. A B A C B C A B A C
c. 非非律： ( A) A
A+A=A
d. 吸收律：A + A B = A
A (A+B) = A
A AB A B
e. 摩根定律： ( AB) A B
A .B A B 反演律（摩根定律）： A B A B
2 逻辑函数及其化简
1 1 1 1 1 1
AD
B
11
A 冗余项
AC
10
∴ F2 ( A, B, C, D) = AB + BC + AD
C
AB
例：用公式化简法得到下式，问是否最简， 若不是请化简之。
F3 ( A , B, C) = A B + AC + AB + BC
填项：
A
0 1
BC00
C
01 1 11 1 10
1
第二章 逻辑代数基础
§2.1 逻辑代数运算法则 §2.2 逻辑函数的化简 §2.3 卡诺图法
§2.1 逻辑代数运算法则
依据： 1.逻辑变量只取：0 、1两种状态。 2.与、或、非是三种最基本的逻辑运算。 与普通代数运算法则类似的：分配 律、结合律、交换律等。 与普通代数运算法则不同的： A•A=A A+A=A A = A (还原律）
= B + BD + ABD + ABCD
吸收消去
= B + BD
（长中含短，留下短）
吸收消去 （长中含反，去掉反） ∴F1 = B + D（最简与或式）
F2 = AD + AD + AB + AC + BD + ACEF+ BEF + DEFG
A
吸收消去 （长中含短，留下短）
(合并项)
= A + AC + BD + BEF + DEFG
ABD
D
01
（ + C) C
直接填入
11
10
01 11
1
1
B A
逻辑函数的基本运算与定律
数字电路与系统东南大学信息科学与工程学院第二章逻辑函数及其简化基本逻辑运算常用复合逻辑运算逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本规则逻辑代数的常用公式逻辑函数及其描述方法逻辑函数的简化二值逻辑◆逻辑代数是用来处理命题之间逻辑关系的代数系统；◆在逻辑代数中，命题可以用逻辑变量代表；命题之间的逻辑关系，用逻辑函数表示；◆在数字电路中，信息用二进制表示，因此在这里只研究二值逻辑；◆逻辑代数又称布尔代数，开关代数。
在这里，是一个由逻辑变量真假（或取值0，1 ）、以及用“与”、“或”、“非”3种基本运算构成的代数系统。
◆对于二值逻辑，任何逻辑命题只有真（True)和假（False) 两个可能；◆逻辑变量是一种二值变量。
仅取0、1（或者真、假）两种逻辑值◆逻辑变量的真和假称为逻辑真值，用数码1和0表示，1代表逻辑真，而0表示逻辑假。
◆逻辑代数中的1和0是逻辑常量，它们不具备数的性质，无大、小、正、负之分，仅仅表示真、假两个相反的逻辑状态；◆数字电路中的两种状态，可以用二值逻辑表示；◆逻辑代数的三种基本逻辑运算：非(NOT)、与(AND)、或(OR)非逻辑和非运算◆“若前提为真，结论则为假，若前提为假，结论反而为真”，这样的逻辑关系称为非逻辑。
电路状态表开关A灯L断亮通灭实例电路A0110真值表非门符号与逻辑和与运算◆“所有前提皆为真，结论才为真”，这种逻辑关系称为与逻辑；◆与逻辑表明只有当所有前提条件均具备时，结论命题才为真；开关A 开关B 灯L 断断灭断通灭通断灭通通亮电路实例状态表AB L=A•B 000010100111真值表与门符号或逻辑和或运算◆“若一个或一个以上前提为真，则结论为真”，这样的逻辑关系称为或逻辑；开关A 开关B 灯L 断断灭断通亮通断亮通通亮电路实例状态表A B L=A+B 000011101111真值表或门符号2.1 基本逻辑运算― 或逻辑和或运算逻辑运算的优先级和逻辑运算的完备集◆三种基本逻辑运算如在逻辑运算式中同时出现时，其优先顺序由高到低为：非运算、与运算、或运算；◆若需要更改运算次序，可以通过加括号实现；◆一个代数系统，如果仅用它所定义的运算中的某一组就能实现所有的运算，则这一组运算是完备的，称为完备集；◆任何复杂的逻辑运算，都可以由与、或、非三种基本逻辑运算组合来实现的，所以逻辑运算{与，或，非}是一个完备集；三种基本逻辑电路的符号国标GB4728.12-85、美国MIL-STD-806B、原部颁标准SJ1223-772.2 常用的复合逻辑运算在基本逻辑运算的基础上，通过多种基本逻辑运算的组合定义了与非、或非、与或非、异或和同或这几种新的逻辑运算，称为复合逻辑运算。
逻辑函数的公式法化简
=AB + ABC
=AB + C
数字电路与逻辑设计
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厚夜博学
第二章逻辑函数及其简化
数字电路与逻辑设计
4 .配项法：
利用公式 A + A = 1、A - A = 0、AB + AC = AB + AC + BC，将某一
数字电路与逻辑设计
! !!在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，才能将逻辑函数化为最简。
例7:化简逻辑函数： L = AD + AD + AB + AC + BD + ABEF + BEF
解：L = A + AB + AC + BD + ABEF + BEF
（利用 A + A = 1 ）
=A + AC + BD + BEF （利用A+AB=A）
乘积项展开为两项，或添加某乘积项，再与其它乘积项进行合并化简。
例 6： L = AB + AC + BCD
=AB + AC + BCD( A + A)
=AB + AC + ABCD + ABCD
=AB + AC
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第二章逻辑函数及其简化
=AC+CD
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数电2-逻辑函数与逻辑门
A 1=? A A 0=? A
4〉同或： A⊙ B = A B=AB + AB 相同为1 相异为0
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二、逻辑函数及其表示方法
1> 真值表
例1：三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的原则决定，试 建立该逻辑函数。
解：第一步：设置自变量和因变量。 第二步：状态赋值。
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4 逻辑证明
（1）用简单的公式证明略为复杂的公式。 例3.1.1 证明吸收律 A + AB = A + B 证： A + AB= A(B + B) + AB = AB + AB + AB = AB + AB + AB + AB
= A(B + B) + B(A + A) = A + B
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一、与或非代数系统基本逻辑关系
3、非： Y= A Y
(逻辑补) 取反
X 例： 1 = ? 0
0=? 1
A= ? A
*运算顺序：非〉与〉或
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4、其他常用逻辑运算
1>与非 ——由与运算和非运算组合而成。
推广：ABC=ABC=A+B+C A+B+C=A+B+C=A B C
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1、常用公式 2〉AB+AC+BC=AB+AC 证明： AB+AC+BC= AB+AC+(A+A)BC
第二章逻辑代数
性质3：任意两个不同的最小项的乘积必为0。
第2章
（3）最小项的性质
3 变量全部最小项的真值表 A B C m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 。 0 1 1 变量 0 ABC 0取值为 0 001情况下，各最小项之和为 1 0 0 0 0 1 0 0 【因为其中只有一个最小项为 0 0 0 0 1 1，其余全为 0 0 0。】 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1
第2章
2.卡诺图的特点
（1）最小项的相邻性
任何两个最小项如果他们只有一个因子不同，其余因子
都相同，则称这两个最小项为相邻最小项。 显然，m0与m1具有相邻性，而
m1 (A BC) 与
m 2 (ABC)不相
邻，因为他们有两个因子不相同。m3与m4也不相邻，而m3与m2
相邻。
相邻的两个最小项之和可以合并成一项，并消去一个变 量。如：
AB1 CDE F AB
运用摩根定律
例2： Y2 A B CD ADB A BCD AD B (A AD) (B BCD) 如果乘积项是另外一个乘 积项的因子，则这另外一 A1 D B1 CD 个乘积项是多余的。 AB
如： Y AB AC ①求出反函数的 最简与或表达式
Y AB AC (A B)( A C) AB AC BC AB AC
②利用反演规则写出函 数的最简或与表达式 最简或与表达式