河北省普通高中学业水平考试2

河北省普通高中学业水平考试2 1 / 6 河北省普通高中学业水平考试

数 学 注意事项： 1．本试卷共4页，30道小题，总分100分，考试时间120分钟． 2．所有答案在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效．答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．

3．做选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选涂其它答案．

4．考试结束后，请将本试卷与答题卡一并收回． 一、选择题（本题共22道小题，1－10题，每题2分，11－22题，每题3分，共56分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．直线2x－y＋1＝0的斜率为 A． 1 2 B．2 C．－ 1 2 D．－2

2．半径为3的球的体积等于 A．9π B．12π C．36π D．54π

3．已知集合M＝{x|x＞－1}，下列关系式正确的是 A．{0}M B．0M C．{0}∈M D．∈M

4．在等差数列{an}中，a2＝2，a5＝10，则a8＝ A．16 B．18 C．20 D．50

5．不等式 1 x≥2的解集是 A．{x|0＜x≤2} B．{x|x≥ 1 2} C．{x|x≤ 1 2} D．{x|0＜x≤ 1 2} 6．函数y＝2x－1的值域是 A．(0，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(1，＋∞) D．( 1 2，＋∞)

7．已知sinx＝ 3 5，且  2＜x＜π，则tanx＝ A． 4 5 B．－ 4 5 C． 3 4 D．－ 3 4 8．函数f(x)＝2x＋x－2的零点所在的区间是 河北省普通高中学业水平考试2 2 / 6 A．(－1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)

9．一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为 A．1，3 B．2，1 C．2，1 D．1，2

10．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是 A．7 B．6

C．22 D．5 11．从装有3个红球、2个白球的口袋里随机取出一个球，得到红球的概率是 A． 1 5 B． 2 5 C． 3 5 D．1

12．等边三角形ABC的边长为2，则AB→·BC→＝ A．－2 B．2 C．－23 D．23 13．若a＞b，则下列不等式一定成立的是 A．ac＞bc B．a2＞b2 C．a＋c＞b＋c D． 1 a＜ 1 b

14．函数y＝3sin(2x＋  6)（x∈R）图象的一条对称轴方程是 A．x＝0 B．x＝－12 C．x＝  6 D．x＝  3 15．按右图表示的算法，若输入一个小于10的整数n，则输出n的值是 A．9 B．10 C．11 D．110

16．函数y＝sin(x－  3)（x∈R）的一个单调递增区间为 A．[－23，  3] B．[－  6，56] C．[  3，43] D．[56，116] 17．已知数列{an}，an＝2n＋1，那么数列{an}的前10项和为 A．211＋8 B．211－1 C．210＋9 D．210－2

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b＋c)(b＋c－a)＝bc，则

正视图 1 侧视图

俯视图

3

开始 S＞100? 是

否

结束 输出n

S＝n(n＋1) n＝n＋1

输入n 河北省普通高中学业水平考试2

3 / 6 A＝ A．30 B．60 C．120 D．150

19．已知实数x，y满足x≥0，y≥0，x＋4y≥4，则目标函数z＝x＋y的最小值是 A．0 B．5 C．4 D．1 20．某单位共有职工120人，其中男职工90人，现采用分层抽样（按男、女分层）的方法抽取一个样本，该样本中有9名女职工，则样本容量为 A．27 B．36 C．40 D．44

21．如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和AA1

的中点，则直线EF与平面ACC1A1所成的角等于

A．30 B．45 C．60 D．90

22．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)＋1，则f(5)＝ A．0 B．1 C． 1 2 D． 5 2

二、填空题（本大题共4道小题，每小题3分，满分12分）（注意：在试题卷上作答无．．．．．．．．．．．

效．）

23．sin165·cos15＝_________． 24．已知向量a＝(－2，3)，b＝(x，－6)，若a⊥b，则x＝___________． 25．函数f(x)＝lg(x2－1)的定义域是___________．

26．设有穷数列{an}的前n项和为Sn，定义数列{an}的期望和为Tn＝S1＋S2＋…＋Snn，若数列a1，a2，…，a9的期望和T9＝100，则数列2，a1，a2，…，a9的期望和T10＝________． 三、解答题（本大题共4道小题，满分32分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）

27．（本小题满分8分） 已知函数f(x)＝(sinx－cosx)2＋m，x∈R． （Ⅰ）求f(x)的最小正周期； （Ⅱ）若f(x)的最大值为3，求m的值．

D1

A1

A D

C1

B1

B C F

E 河北省普通高中学业水平考试2

4 / 6 28．（本小题满分8分） 数列{an}的前n项和Sn满足3Sn＝an＋4（n∈N*）． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若等差数列{bn}的公差为3，且b2a5＝－1，求数列{bn}的前n项和Tn的最小值．

29．（本小题满分8分） PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，PM2.5日均值在35微克/立方米及其以下空气质量为一级，在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级，在75微克/立方米及其以上空气质量为超标． 某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取6天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶），若从这6天的数据中随机抽出2天． （Ⅰ）求恰有一天空气质量超标的概率； （Ⅱ）求至多有一天空气质量超标的概率．

30．（本小题满分8分） 已知动点P与两个定点E(1，0)，F(4，0)的距离之比是 1 2． （Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程； （Ⅱ）直线l：y＝kx＋3与曲线C交于A，B两点，在曲线C上是否存在点M，使得四边形OAMB（O为坐标原点）为菱形，若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由．

8 3 4 7 9 3 1 9 3 7

PM2.5日均值(微克/m3) 河北省普通高中学业水平考试2

5 / 6 答 案 一、选择题 BCABD ADBDC CACCB BACDB AD 二、填空题 23． 1 4 24．－9 25．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 26．92 三、解答题 27．解：（Ⅰ）f(x)＝(sinx－cosx)2＋m＝m＋1－sin2x， 所以f(x)的最小正周期为T＝22＝． ………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当sin2x＝－1时，f(x)取最大值， 故有m＋2＝3，得m＝1． ………………8分 28．解：（Ⅰ）由3Sn＝an＋4，得3Sn－1＝an－1＋4，两式相减，得 3(Sn－Sn－1)＝(an＋4)－(an－1＋4)＝an－an－1，整理，得anan－1＝－ 1 2（n≥2）． 又3a1＝a1＋4，得a1＝2，所以数列{an}是以2为首项，以－ 1 2为公比的等比数列， 故有an＝2×(－ 1 2)n－1． ………………4分 （Ⅱ）由已知，得b2＝－ 1 a5＝－8，又等差数列{bn}的公差d＝3， 故bn＝b2＋(n－2)d＝3n－14，因此当n≤4时，bn＜0，当n≥5时，bn＞0， 所以n＝4时，{bn}的前n项和Tn最小，

最小值为T4＝4(b1＋b4)2＝－26． ………………8分 29．解：由茎叶图知：6天有4天空气质量未超标，有2天空气质量超标． 记未超标的4天为a，b，c，d，超标的两天为e，f．则从6天中抽取2天的所有情况为： ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，基本事件数为15。…河北省普通高中学业水平考试2 6 / 6 2分

（Ⅰ）记“6天中抽取2天，恰有1天空气质量超标”为事件A， 可能结果为：ae，af，be，bf，ce，cf，de，df，基本事件数为8．∴P(A)＝815． …5分 （Ⅱ）记“至多有一天空气质量超标”为事件B，“2天都超标”为事件C，其可能结果为ef， 故P(C)＝115，∴P(B)＝1－P(C)＝1415． …………………8分

30．解：（Ⅰ）设点P(x，y)，由(x－1)2＋y2(x－4)2＋y2＝ 1 2， 化简，得轨迹C的方程是：x2＋y2＝4． …………………4分 （Ⅱ）因为直线l：y＝kx＋3与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点， 所以|3|1＋k2 ＜2，解得k＞52或k＜－52． 假设存在点M，使得四边形OAMB为菱形，则OM与AB互相垂直且平分，所以原点O到直线l：y＝kx＋3的距离为d＝ 1 2|OM|＝1．所以|3|1＋k2 ＝1，解得k2＝8，即k＝±22 ，经验证满足条件． 所以存在两点M，使得四边形OAMB为菱形． …………………8分