初二一次函数与几何题(附答案)
初二数学一次函数试题答案及解析
初二数学一次函数试题答案及解析1.儿童受伤，小红爸爸的公司急需用车，但又不准备买车，公司准备和一个个体车主或一家出租车公司签订月租车合同，设汽车每月行驶x千米，个体车主收费为y1元，出租车公司收费y2元，观察图象可知，当x_________时，选用个体车主较合算．【答案】＞1800．【解析】根据图象可以得到当x＞1800千米时，y1＜y2，则选用个体车较合算．故答案是＞1800．【考点】一次函数的应用．2.与直线y=2x+1关于x轴对称的直线是（）A．y="-2x+1"B．y=-2x-1C．D．【答案】B．【解析】∵直线y=f（x）关于x对称的直线方程为y=-f（x），∴直线y=2x+1关于x对称的直线方程为：-y=2x+1，即y=-2x-1．故选B．【考点】一次函数图象与几何变换．3.对于函数y=﹣5x+1，下列结论：①它的图象必经过点（﹣1，5）②它的图象经过第一、二、三象限③当x＞1时，y＜0④y的值随x值的增大而增大，其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】B．【解析】∵当x=-1时，y=-5×（-1）+1=-6≠5，∴此点不在一次函数的图象上，故①错误；∵k=-5＜0，b=1＞0，∴此函数的图象经过一、二、四象限，故②错误；∵x=1时，y=-5×1+1=-4，又k=-5＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＞1时，y＜-4，则y＜0，故③正确，④错误．综上所述，正确的只有：③ 故选B ．【考点】一次函数的性质．4. A 城有肥料300吨，B 城有肥料200吨，现要把这些肥料全部运往甲，乙两乡，从A 城往甲，乙两乡运肥料的费用分别为每吨20元和25元；从B 城往甲，乙两乡运肥料的费用分别为每吨25元和15元．现甲乡需要肥料260吨，乙乡需要肥料240吨．设从A 城运往甲乡的肥料为x 吨． （1）请你填空完成下表中的每一空：（3）怎样调运化肥，可使总运费最少？最少运费是多少？【答案】（1）填空见下表；（2）y==-15x+13100；(3) A 城运往甲乡的化肥为260吨，A 城运往乙乡的化肥为40吨，B 城运往甲乡的化肥为20吨，B 城运往乙乡的化肥为200吨，使总运费最少，最少为9200元【解析】（1）根据A 城运往甲乡的化肥为x 吨，则可得A 城运往乙乡的化肥为（300-x ）吨，B 城运往甲乡的化肥为（260-x ）吨，B 城运往乙乡的化肥为[240-（300-x ）]吨； （2）根据（1）中所求以及每吨运费从而可得出y 与x 大的函数关系； （2）x 可取60至260之间的任何数，利用函数增减性求出即可． 试题解析：（1）填表如下：（2）根据题意得出：y=20x+25（300-x ）+25（260-x ）+15[240-（300-x ）]=-15x+13100； （3）因为y=-15x+13100，y 随x 的增大而减小，根据题意可得：，解得：60≤x≤260，所以当x=260时，y最小，此时y=9200元．此时的方案为：A城运往甲乡的化肥为260吨，A城运往乙乡的化肥为40吨，B城运往甲乡的化肥为20吨，B城运往乙乡的化肥为200吨，使总运费最少，最少为9200元【考点】1.一次函数的应用；2.一元一次不等式组的应用．5.两个全等的直角三角形重叠放在直线上，如图14-1，AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=90°，将Rt△ABC在直线上向左平移，使点C从F点向E点移动，如图14-2所示.（1）求证：四边形ABED是矩形；请说明怎样移动Rt△ABC，使得四边形ABED是正方形？（2）求证：四边形ACFD是平行四边形；说明如何移动Rt△ABC，使得四边形ACFD为菱形？（3）若Rt△ABC向左移动的速度是1cm/s，设移动时间为t秒，四边形ABFD的面积为Scm.求s随t变化的函数关系式．【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）S=3t2+24．【解析】（1）四边形ACFD为Rt△ABC平移形成的，推出AD∥BE，AB∥DE，∠ABE=90°，根据矩形的判定得出即可；根据正方形的判定得出即可；（2）根据平移得出AD∥CF，AC∥DF，根据平行四边形的判定得出即可；根据菱形的判定得出即可；（3）根据平行四边形的性质得出AD=CF，求出BF，根据梯形的面积公式求出即可．试题解析：（1）证明：∵Rt△ABC从Rt△DEF位置平移得出图2，∴AD∥BE，AB∥DE，∠ABE=90°，∴四边形ABED是矩形；当Rt△ABC向左平移6cm时，四边形ABED是正方形；（2）证明：∵四边形ACFD为Rt△ABC平移形成的，∴AD∥CF，AC∥DF，∴四边形ACFD为平行四边形，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC==10cm，即当Rt△ABC向左平移10cm时，四边形ACFD为菱形；（3）解：分为以上图形中的三种情况，∵由（2）知：四边形ACFD为平行四边形，∴AD=CF=1s×tcm/s=tcm，∴BF=（8+t）cm，∵四边形ABFD的面积为Scm2，∴三种情况的四边形ABFD的面积S=（AD+BF）×AB=•（t+8+t）•6，S=3t2+24，即三种情况S随t变化的函数关系式都是S=3t2+24．【考点】几何变换综合题．6.甲、乙两地之间有一条笔直的公路L，小明从甲地出发沿公路L步行前往乙地，同时小亮从乙地出发沿公路L骑自行车前往甲地，小亮到达甲地停留一段时间，按原路原速返回，追上小明后（米）与行走的时间为x（分两人一起步行到乙地．如图，线段OA表示小明与甲地的距离为y1（米）与行走的时间为x（分钟）钟）之间的函数关系；折线BCDEA表示小亮与甲地的距离为y2之间的函数关系.请根据图像解答下列问题：（1）小明步行的速度是米/分钟，小亮骑自行车的速度米/分钟；（2）图中点F坐标是（，）、点E坐标是（，）；（3）求y1、y2与x之间的函数关系式；（4）请直接写出小亮从乙地出发再回到乙地过程中，经过几分钟与小明相距300米？【答案】(1)50，200；（2）8，400；32，1600；（3）y1=50x，y2=﹣200x+2000；（4）经过6.8分钟，9.2分钟，25.5分钟时与小明相距300米．【解析】（1）根据图象可知小明步行的速度是2000÷40=50米/分钟，小亮骑自行车的速度2000÷10=200米/分钟；（2）（3）分别设小明、小亮与甲地的距离为y1（米）、y2（米）与x（分钟）之间的函数关系式为y1=k1x，y2=k2x+b，由待定系数法根据图象就可以求出解析式；再进一步求得交点的坐标，得出点F、E的坐标即可；（4）分追击问题与相遇的过程中小亮与小明相距300米探讨得出答案即可．试题解析：（1）小明步行的速度是2000÷40=50米/分钟，小亮骑自行车的速度2000÷10=200米/分钟；（2）设小明与甲地的距离为y1（米）与x（分钟）之间的函数关系式为y1=k1x，代入点（40，2000）得：2000=40k1，解得k1=50，所以y1=50x，设小亮与甲地的距离为y2（米）与x（分钟）之间的函数关系式为y2=k2x+b，则代入点（0，2000）和（10，0）得，所以yBC=﹣200x+2000，由图可知24分钟时两人的距离为：S=24×50=1200，小亮从甲地追上小明的时间为24×50÷（200﹣50）=8分钟，也就是32分钟时为0，则y1=50x=1600，则点E坐标为（32，1600）；由题意得，解得，所以图中点F坐标是（8，400）；（3）由（2）可知y1=50x，yBC=﹣200x+2000（0≤x≤10），设S与x之间的函数关系式为：S=kx+b，由题意，，解得：，∴S=﹣150x+4800，即yED=﹣150x+4800（24≤x≤32）；（4）当0≤x≤10时，（2000﹣300）÷（50+200）=6.8（分钟）当8≤x≤10，300÷（50+200）+8=9.2（分钟）当24≤x≤32，则50x﹣（﹣150x+4800）=300，解得x=25.5（分钟）答：小亮从乙地出发再回到乙地过程中，经过6.8分钟，9.2分钟，25.5分钟时与小明相距300米．【考点】一次函数的应用．7.如图，函数y=ax﹣1的图象过点（1，2），则不等式ax﹣1＞2的解集是（）A．x＜1B．x＞1C．x＜2D．x＞2【答案】B【解析】先把点（1，2）代入y=ax﹣1，求出a的值，然后解不等式ax﹣1＞2即可．【考点】一次函数与一元一次不等式．8.甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s（米）与赛跑时间t（秒）的关系如图所示，则下列说法正确的是（）A．甲、乙两人的速度相同B．甲先到达终点C．乙用的时间短D．乙比甲跑的路程多【答案】B．【解析】结合图象可知：两人同时出发，甲比乙先到达终点，甲的速度比乙的速度快，故选B．【考点】函数的图象．9.一次函数的大致图象是（）【答案】A.【解析】主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b ＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．本题中因为a的取值不明确，故应分两种情况讨论，找出符合任一条件的选项即可．当a＞0时，直线经过一，三，四象限，选项A正确；当a＜0时，直线经过一，二，四象限，A、B、C、D均不符合此条件．故选A.【考点】一次函数的图象性质.10.某食品加工厂需要一批食品包装盒，供应这种包装盒有两种方案可供选择：方案1：从包装盒加工厂直接购买，购买所需的费用y1与包装盒数x满足如图的函数关系。
2024年中考数学复习重难点题型训练—一次函数与几何图形综合题一(含答案解析)
2024年中考数学复习重难点题型训练—一次函数与几何图形综合题二（含答案解析）类型一与三角形有关1.（2022·天津）如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x 轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是（）A．(5,4)B．(3,4)C．(5,3)D．(4,3)【答案】D【分析】利用HL证明△ACO≌△BCO，利用勾股定理得到OC=4，即可求解．【详解】解：∵AB⊥x轴，∴∠ACO=∠BCO=90°，∵OA=OB，OC=OC，∴△ACO≌△BCO(HL)，∴AC=BC=12AB=3，∵OA=5，∴=4，∴点A的坐标是（4，3），故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．2.（2020·宁夏中考真题）如图，直线542y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到11AO B ，则点1A的坐标是_____．【答案】（4，125）【解析】【分析】首先根据直线AB 来求出点A 和点B 的坐标，A 1的横坐标等于OB ，而纵坐标等于OB-OA ，即可得出答案．【详解】解：在542y x =+中，令x=0得，y=4，令y=0，得5042x =+，解得x=8-5，∴A （8-5，0），B （0，4），由旋转可得△AOB ≌△A 1O 1B ，∠ABA 1=90°，∴∠ABO=∠A 1BO 1，∠BO 1A 1=∠AOB=90°，OA=O 1A 1=85，OB=O 1B=4，∴∠OBO 1=90°，∴O 1B ∥x 轴，∴点A 1的纵坐标为OB-OA 的长，即为48-5=125；横坐标为O 1B=OB=4，故点A 1的坐标是（4，125），故答案为：（4，125）．【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及一次函数与坐标轴的交点问题，利用基本性质结合图形进行推理是解题的关键．3.（2021·广西贺州市·中考真题）如图，一次函数4y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，点P ，C 分别是线段AB ，OB 上的点，且45OPC ∠=︒，PC PO =，则点P 的标为________．【答案】(--【分析】过P 作PD ⊥OC 于D ，先求出A ，B 的坐标，得∠ABO=∠OAB=45°，再证明△PCB ≌△OPA ，从而求出BD ＝，OD ＝，进而即可求解．【详解】如图所示，过P 作PD ⊥OC 于D ，∵一次函数4y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，∴A(-4，0)，B(0，4)，即：OA=OB ，∴∠ABO=∠OAB=45°，∴△BDP 是等腰直角三角形，∵∠PBC＝∠CPO＝∠OAP＝45°，∴∠PCB＋∠BPC＝135°＝∠OPA＋∠BPC，∴∠PCB＝∠OPA，又∵PC＝OP，∴△PCB≌△OPA（AAS），∴AO＝BP＝4，∴Rt△BDP中，BD＝PD＝2＝2，∴OD＝OB−BD＝2，∴P（2，2）．故答案是：P（2，2）．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质，结合等腰三角形的性质，判定全等三角形是解决问题的关键．4.（2022·湖北黄冈）如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C 匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时，t的值为________．【答案】252+##2+25【分析】根据函数图像可得AB=4=BC ，作∠BAC 的平分线AD ，∠B ＝36°可得∠B ＝∠DAC ＝36°，进而得到ADC BAC △△，由相似求出BD 的长即可．【详解】根据函数图像可得AB=4，AB+BC=8，∴BC=AB=4，∵∠B ＝36°，∴72BCA BAC ∠∠︒＝＝，作∠BAC 的平分线AD ，∴∠BAD ＝∠DAC ＝36°＝∠B ，∴AD=BD ，72BCA DAC ∠∠︒＝＝，∴AD=BD=CD ，设AD BD CD x ===，∵∠DAC ＝∠B ＝36°，∴ADC BAC △△，∴AC DC BC AC =，∴x 4x 4x-=，解得：1225x =-+，225x =--，∴252AD BD CD ===，此时521AB BD t +==(s)，故答案为：52.【点睛】此题考查了图形与函数图象间关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程，关键是证明ADC BAC △△．5.（2020·四川内江?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A （-2，0），直线33:33l y x =+与x 轴交于点B ，以AB 为边作等边1ABA ∆，过点1A 作11//A B x 轴，交直线l 于点1B ，以11A B 为边作等边112A B A ∆，过点2A 作22//A B x 轴，交直线l 于点2B ，以22A B 为边作等边223A B A ∆，以此类推……，则点2020A 的纵坐标是______________【答案】20203(21)2-【解析】【分析】如图，过A 1作A 1C ⊥AB 与C ，过A 2作A 2C 1⊥A 1B 1于C 1，过A 3作A 3C 2⊥A 2B 2于C 2，先根据直线方程与x 轴交于点B （-1，0），且与x 轴夹角为30º，则有AB=1，然后根据平行线的性质、等边三角形的性质、含30º的直角三角形的性质，分别求的A 1、A 2、A 3、的纵坐标，进而得到A n 的纵坐标，据此可得A 2020的纵坐标，即可解答．【详解】如图，过A 1作A 1C ⊥AB 与C ，过A 2作A 2C 1⊥A 1B 1于C 1，过A 3作A 3C 2⊥A 2B 2于C 2，先根据直线方程与x 轴交于点B （-1，0），与y 轴交于点D （0，33），∴OB=1,OD=33,∴∠DBO=30º由题意可得：∠A 1B 1B=∠A 2B 2B 1=30º,∠B 1A 1B=∠B 2A 2B 1=60º∴∠A 1BB 1=∠A 2B 1B 2=90º，∴AB=1，A 1B 1=2A 1B=21，A 2B 2=2A 2B 1=22，A 3B 3=2A 3B 2=23，…A n B n =2n∴A 1C=2AB=2×1，A 1纵坐标为32×1=13(21)2-；A 2C 1=32A 1B 1=1322⨯，A2的纵坐标为32×1+1322⨯=013(22)2+=332⨯=23(21)2-；A 3C 2=32A 2B 2=2322⨯,A 3的纵坐标为32×1+1322⨯+2322⨯=0123(222)2++=372⨯=33(21)2-；…由此规律可得：A n C n-1=1322n -⨯,A n 的纵坐标为01213(2222)2n -++++ =3(21)2n -，∴A 2020=20203(21)2-，故答案为：20203(21)2-【点睛】本题是一道点的坐标变化规律探究，涉及一次函数的图象、等边三角形的性质、含30º角的直角三角形的性质，数字型规律等知识，解答的关键是认真审题，观察图象，结合基本图形的有关性质，找到坐标变化规律．6.（2022·陕西）如图，ABC 的顶点坐标分别为(23)(30)(11)A B C ----，，，，，．将ABC 平移后得到A B C '''V ，且点A 的对应点是(23)A '，，点B 、C 的对应点分别是B C ''，．(1)点A 、A '之间的距离是__________；(2)请在图中画出A B C '''V ．【答案】(1)4(2)见解析【分析】（1）由(23)A -，，(23)A '，得，A 、A '之间的距离是2-（-2）=4；（2）根据题意找出平移规律，求出103-1B C ''（，），（，），进而画图即可．(1)解：由(23)A -，，(23)A '，得，A 、A '之间的距离是2-（-2）=4．故答案为：4．(2)解：由题意，得103-1B C ''（，），（，），如图，A B C '''V 即为所求．【点睛】本题考查了坐标系中两点之间的距离求解以及平移求点坐标画图，题目相对较简单，掌握平移规律是解决问题的关键．7.（2021·贵州毕节市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点()11,1N 在直线:l y x =上，过点1N 作11N M l ⊥，交x 轴于点1M ；过点1M 作12M N x ⊥轴，交直线l 于点2N ；过点2N 作22N M l ⊥，交x 轴于点2M ；过点2M 作23M N x ⊥轴，交直线l 于点3N ；…；按此作法进行下去，则点2021M 的坐标为_____________．【答案】（20212，0）.【分析】根据题目所给的解析式，求出对应的1M 坐标，然后根据规律求出n M 的坐标，最后根据题目要求求出最后答案即可.【详解】解：如图，过点N 作NM ⊥x 轴于M将1x =代入直线解析式y x =中得1y =∴1OM MN ==，MON ∠=45°∵1ONM =∠90°∴1ON NM =∵1ON NM ⊥∴11OM MM ==∴1M 的坐标为（2，0）同理可以求出2M 的坐标为（4，0）同理可以求出3M 的坐标为（8，0）同理可以求出n M 的坐标为（2n ，0）∴2021M 的坐标为（20212，0）故答案为：（20212，0）.【点睛】本题主要考查了直线与坐标轴之间的关系，解题的关键在于能够发现规律.8.（2020·湖南湘西?中考真题）在平面直角坐标系中，O 为原点，点(6,0)A ，点B 在y 轴的正半轴上，30ABO ∠=︒．矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在,,OA AB OB 上，2OD =．将矩形CODE 沿x 轴向右平移，当矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为时，则矩形CODE 向右平移的距离为___________．【答案】2【解析】【分析】先求出点B 的坐标（0，3），得到直线AB 的解析式为：33y =+，根据点D 的坐标求出OC 的长度，利用矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为63列出关系式求出3D G '=，再利用一次函数关系式求出OD '=4，即可得到平移的距离.【详解】∵(6,0)A ，∴OA=6，在Rt △AOB 中，30ABO ∠=︒，∴63tan 30OA OB ==∴B （0，63），∴直线AB 的解析式为：33y =+，当x=2时，y=43∴E （2，3，即DE=3∵四边形CODE 是矩形，∴OC=DE=43设矩形CODE 沿x 轴向右平移后得到矩形C O D E ''''，D E ''交AB 于点G ，∴D E ''∥OB ，∴△AD G '∽△AOB ，∴∠AGD '=∠AOB=30°，∴∠EGE '=∠AGD '=30°，∴GE ''=,∵平移后的矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为，∴五边形C O D GE '''的面积为∴12O D O C EE GE ''''''⋅-⋅=,∴122EE ''⨯-⨯=,∴2EE '=,∴矩形CODE 向右平移的距离DD '=2EE '=，故答案为：2.【点睛】此题考查了锐角三角函数，求一次函数的解析式，矩形的性质，图形平移的性质，是一道综合多个知识点的综合题型，且较为基础的题型.9.（2021·浙江金华市·中考真题）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(，点B 在直线8:3l y x =上，过点B 作AB 的垂线，过原点O 作直线l 的垂线，两垂线相交于点C ．（1）如图，点B ，C 分别在第三、二象限内，BC 与AO 相交于点D ．①若BA BO =，求证：CD CO =．②若45CBO ∠=︒，求四边形ABOC 的面积．（2）是否存在点B ，使得以,,A B C 为顶点的三角形与BCO 相似？若存在，求OB 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①见解析；②552；（2）存在，44+-4，9，1【分析】（1）①等腰三角形等角对等边，则BAD AOB ∠=∠，根据等角的余角相等和对顶角相等，得到CDO COD ∠=∠，根据等角对等边，即可证明CD CO =；②添加辅助线，过点A 作AH OB ⊥于点H ，根据直线l 的解析式和角的关系，分别求出线段AB 、BC 、OB 、OC 的长，则11+22ABC CBO ABOC S S S AB BC OB OC =+=⨯⨯ 四边形；（2）分多钟情况进行讨论：①当点C 在第二象限内，ACB CBO ∠=∠时；②当点C 在第二象限内，ACB BCO ∠=∠时；③当点C 在第四象限内，ACB CBO ∠=∠时．【详解】解：（1）①证明：如图1，∵BA BO =，∴12∠=∠．∴BA BC ⊥，∴2590∠+∠=︒．而45∠=∠，∴2490∠+∠=︒．∵OB OC ⊥，∴1390∠+∠=︒．∴34∠=∠，∴CD CO =．②如图1，过点A 作AH OB ⊥于点H ．由题意可知3tan 18∠=，在Rt AHO 中，3tan 18AH OH ∠==．设3m AH =，8m OH =．∵222AH OH OA +=，∴()()22238m m +=，解得1m =．∴38AH OH ==，．∵4590CBO ABC ∠=︒∠=︒，，∴45ABH ∠=︒，∴3,tan 45sin 45AH AH BH AB ====︒︒∴5OB OH BH =-=．∵45OB OC CBO ⊥∠=︒，，∴tan 455,cos 45OB OC OB BC =⨯︒===︒，∴111522ABC S AB BC =⨯=⨯= ，112555222CBO S OB OC =⨯=⨯⨯= ：∴552ABC CBO ABOC S S S =+= 四边形．（2）过点A 作AH OB ⊥于点H ，则有38AH OH ==，．①如图2，当点C 在第二象限内，ACB CBO ∠=∠时，设OB t=∵ACB CBO ∠=∠，∴//AC OB ．又∵AH OB OC OB ⊥⊥，，∴3AH OC ==．∵AH OB AB BC ⊥⊥，，∴12902390∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴13∠=∠，∴AHB BOC ∽，∴AH HB BO OC=，∴383t t -=，整理得2890t t -+=，解得4t =±∴4OB =±②如图3，当点C 在第二象限内，ACB BCO ∠=∠时，延长AB CO ，交于点G ，则ACB GCB ≌，∴AB GB =．又∵AH OB OC OB ⊥⊥，，∴90AHB GOB ∠=∠=︒，而ABH GBO ∠=∠，∴ABH GBO ≌，∴142OB HB OH ===③当点C 在第四象限内，ACB CBO ∠=∠时，AC 与OB 相交于点E ，则有BE CE =．(a)如图4，点B 在第三象限内．在Rt ABC 中，1290,90ACB CAB ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴2CAB∠=∠∴AE BE CE ==，又∵,AH OB OC OB ⊥⊥，∴90AHE COE ∠=∠=︒，而AEH CEO∠=∠∴AHE COE ≌，∴142HE OE OH ===∴225AE AH HE =+=，∴5BE =，∴9OB BE OE =+=(b)如图5，点B 在第一象限内．在Rt ABC 中90,90ACB CAB CBO ABE ∠+∠=︒∠+∠=︒∴CAB ABE ∠=∠，∴AE BE CE ==．又∵,AH OB OC OB ⊥⊥，∴90AHE COE ∠=∠=︒而AEH CEO ∠=∠，∴AHE COE≌∴142HE OE OH ===∴5AE ==，∴5BE =，∴1OB BE OE =-=综上所述，OB 的长为44+4，9，1．【点睛】本题涉及到等腰三角形、等角的余角相等、利用切割法求四边形的面积和相似三角形等知识，综合性较强．在题中已知两个三角形相似时，要分情况考虑．10.（2020·河南中考真题）小亮在学习中遇到这样一个问题：如图，点D 是弧BC 上一动点，线段8,BC cm =点A 是线段BC 的中点，过点C 作//CF BD ，交DA 的延长线于点F ．当DCF ∆为等腰三角形时，求线段BD 的长度．小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：()1根据点D 在弧BC 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段,,BD CD FD 的长度，得到下表的几组对应值．操作中发现：①"当点D 为弧BC 的中点时， 5.0BD cm ="．则上中a 的值是②"线段CF 的长度无需测量即可得到"．请简要说明理由；()2将线段BD 的长度作为自变量x CD ,和FD 的长度都是x 的函数，分别记为CD y 和FD y ，并在平面直角坐标系xOy 中画出了函数FD y 的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数CD y 的图象；()3继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当DCF ∆为等腰三角形时，线段BD 长度的近似值．(结果保留一位小数)．【答案】（1）①5.0；②见解析；（2）图象见解析；（3）图象见解析；3.5cm 或5.0cm 或6.3cm ；【解析】【分析】（1）①点D 为弧BC 的中点时，△ABD ≌△ACD ，即可得到CD=BD ；②由题意得△ACF ≌△ABD ，即可得到CF=BD ；（2）根据表格数据运用描点法即可画出函数图象；（3）画出CF y 的图象，当DCF ∆为等腰三角形时，分情况讨论，任意两边分别相等时，即任意两个函数图象相交时的交点横坐标即为BD 的近似值．【详解】解：（1）①点D 为弧BC 的中点时，由圆的性质可得：AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD ，∴CD=BD=5.0，∴ 5.0a =；②∵//CF BD ，∴BDA CFA ∠=∠，∵BDA CFA BAD CAF AD AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF ≌△ABD ，∴CF=BD ，∴线段CF 的长度无需测量即可得到；（2）函数CD y的图象如图所示：（3）由（1）知=CF BD x =，画出CF y 的图象，如上图所示，当DCF ∆为等腰三角形时，①CF CD =，BD 为CF y 与CD y 函数图象的交点横坐标，即BD=5.0cm ；②CF DF =，BD 为CF y 与DF y 函数图象的交点横坐标，即BD=6.3cm ；③CD DF =，BD 为CD y 与DF y 函数图象的交点横坐标，即BD=3.5cm ；综上：当DCF ∆为等腰三角形时，线段BD 长度的近似值为3.5cm 或5.0cm 或6.3cm ．【点睛】本题考查一次函数结合几何的应用，学会用描点法画出函数图象，熟练掌握一次函数的性质以及三角形全等的判定及性质是解题的关键．11.（2020·河北中考真题）如图1和图2，在ABC ∆中，AB AC =，8BC =，3tan 4C =．点K 在AC 边上，点M ，N 分别在AB ，BC 上，且2AM CN ==．点P 从点M 出发沿折线MB BN-匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持APQ B∠=∠．（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将ABC∆的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当03x≤≤及39x≤≤时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角APQ∠扫描APQ∆区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若94AK=，请直接．．写出点K被扫描到的总时长．【答案】（1）3；（2）43MP=；（3）当03x≤≤时，24482525d x=+；当39x≤≤时，33355d x=-+；（4）23t s=【解析】【分析】（1）根据当点P在BC上时，PA⊥BC时PA最小，即可求出答案；（2）过A点向BC边作垂线，交BC于点E，证明△APQ∽△ABC，可得2APQABCS APS AB∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据SS上下=45可得24=9APQABCS APS AB∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得23APAB=，求出AB=5，即可解出MP；（3）先讨论当0≤x≤3时，P在BM上运动，P到AC的距离：d=PQ·sinC，求解即可，再讨论当3≤x≤9时，P在BN上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x，根据d=CP·sinC即可得出答案；（4）先求出移动的速度=936=14，然后先求出从Q 平移到K 耗时，再求出不能被扫描的时间段即可求出时间．【详解】（1）当点P 在BC 上时，PA ⊥BC 时PA 最小，∵AB=AC ，△ABC 为等腰三角形，∴PA min =tanC·2BC =34×4=3；（2）过A 点向BC 边作垂线，交BC 于点E，S 上=S △APQ ，S 下=S 四边形BPQC ，∵APQ B ∠=∠，∴PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ，∴AP AD PQ AB AC BC==，∴2APQABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，当S S 上下=45时，24=9APQ ABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴23AP AB =，AE=2BC ·tan 3C =，根据勾股定理可得AB=5，∴2253AP MP AB +==，解得MP=43；（3）当0≤x≤3时，P 在BM 上运动，P 到AC 的距离：d=PQ·sinC ，由（2）可知sinC=35，∴d=35PQ ，∵AP=x+2，∴25AP x PQ AB BC+==，∴PQ=285x +⨯，∴d=23855x +⨯⨯=24482525x +，当3≤x≤9时，P 在BN 上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x ，d=CP·sinC=35（11-x ）=-35x+335，综上()()24480325253333955x x d x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩；（4）AM=2<AQ=94，移动的速度=936=14，①从Q 平移到K ，耗时：92414-=1秒，②P 在BC 上时，K 与Q 重合时CQ=CK=5-94=114，∵∠APQ+∠QPC=∠B+∠BAP ，APQ B∠=∠∴∠QPC=∠BAP ，又∵∠B=∠C ，∴△ABP ∽△PCQ ，设BP=y ，CP=8-y ，AB BP PC CQ =，即51184y y =-，整理得y 2-8y=554-，（y-4）2=94，解得y 1=52，y 2=112，52÷14=10秒，112÷14=22秒，∴点K 被扫描到的总时长36-（22-10）-1=23秒．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，一次函数的应用，结合知识点灵活运用是解题关键．12.（2020·湖南衡阳?中考真题）如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上，8BC =，顶点A 在y 的正半轴上，2OA =，一动点E 从(3,0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和ABC ∆在BC 的同侧．设运动的时间为t 秒（0t ≥）．（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；（2）设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ，请问是存在t 值，使得9136S =若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒OD DC CD DO ---运动，到达点O 停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．【答案】（1）t=1；（2）存在，143t =，理由见解析；（3）可能，3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤理由见解析【解析】【分析】（1）用待定系数法求出直线AC 的解析式，根据题意用t 表示出点H 的坐标，代入求解即可；（2）根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4,用待定系数法求出直线AB 的解析式，求出点H 落在BC 边上时的t 值，求出此时重叠面积为169﹤9136，进一步求出重叠面积关于t 的表达式，代入解t 的方程即可解得t 值；（3）由已知求得点D （2，1），AC=,结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长．【详解】（1）由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)，设直线AC 的函数解析式为y=kx+b ，将点A 、C 坐标代入，得：402k b b +=⎧⎨=⎩，解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的函数解析式为122y x =-+，当点H 落在AC 边上时，点E(3-t ，0)，点H （3-t ，1），将点H 代入122y x =-+，得：11(3)22t =--+，解得：t=1；（2）存在，143t =，使得9136S =．根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4，设直线AB 的函数解析式为y=mx+n ，将点A 、B 坐标代入，得：402m n n -+=⎧⎨=⎩，解得：122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的函数解析式为122y x =+，当t ﹥4时，点E （3-t ，0）点H （3-t ，t-3），G(0，t-3)，当点H 落在AB 边上时，将点H 代入122y x =+，得：13(3)22t t -=-+，解得：133t =；此时重叠的面积为221316(3)(3)39t -=-=，∵169﹤9136，∴133﹤t ﹤5，如图1，设GH 交AB 于S ，EH 交AB 于T,将y=t-3代入122y x =+得：1322t x -=+，解得：x=2t-10，∴点S(2t-10，t-3)，将x=3-t 代入122y x =+得：11(3)2(7)22y t t =-+=-，∴点T 1(3,(7))2t t --，∴AG=5-t ，SG=10-2t ，BE=7-t ，ET=1(7)2t -，211(7)24BET S BE ET t ∆==- ,21(5)2ASG S AG SG t ∆==- 所以重叠面积S=AOB BET ASG S S S ∆∆∆--=4-21(7)4t --2(5)t -=2527133424t t -+-，由2527133424t t -+-=9136得：1143t =，29215t =﹥5(舍去)，∴143t =；（3）可能，35≤t≤1或t=4．∵点D 为AC 的中点，且OA=2,OC=4，∴点D （2，1），AC=,易知M 点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动；当0﹤t ﹤12时，M 在线段OD 上，H 未到达D 点，所以M 与正方形不相遇；当12﹤t ﹤1时，12+12÷（1+4）=35秒，∴t =35时M 与正方形相遇，经过1÷（1+4）=15秒后，M 点不在正方行内部，则3455t ≤≤；当t=1时，由（1）知，点F 运动到原E 点处，M 点到达C 处；当1≤t≤2时，当t=1+1÷（4-1）=43秒时，点M 追上G 点，经过1÷（4-1）=13秒，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），4533t ≤≤当t=2时，点M 运动返回到点O 处停止运动，当t=3时，点E 运动返回到点O 处,当t=4时，点F 运动返回到点O 处,当35t ≤≤时，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），综上，当3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤时，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）．【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合，涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．13.（2020·黑龙江哈尔滨?中考真题）已知，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线AB 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的负半轴交于点B ，OA OB =，过点A 作x 轴的垂线与过点O 的直线相交于点C ，直线OC 的解析式为34y x =，过点C 作CM y ⊥轴，垂足为,9M OM =．（1）如图1，求直线AB 的解析式；（2）如图2，点N 在线段MC 上，连接ON ，点P 在线段ON 上，过P 点作PD x ⊥轴，垂足为D ，交OC 于点E ，若NC OM =，求PE OD的值；（3）如图3，在（2）的条件下，点F 为线段AB 上一点，连接OF ，过点F 作OF 的垂线交线段AC 于点Q ，连接BQ ，过点F 作x 轴的平行线交BQ 于点G ，连接PF 交x 轴于点H ，连接EH ，若,DHE DPH GQ FG ∠=∠-=，求点P 的坐标．【答案】（1）12y x =-；（2）94；（3）1236(,)55P ．【解析】【分析】（1）根据题意求出A ，B 的坐标即可求出直线AB 的解析式；（2）求出N （3,9），以及ON 的解析式为y=3x ，设P （a ，3a ），表达出PE 及OD 即可解答；（3）如图，设直线GF 交CA 延长线于点R ，交y 轴于点S ，过点F 作FT ⊥x 轴于点T ，先证明四边形OSRA 为矩形，再通过边角关系证明△OFS ≌△FQR ，得到SF=QR ，进而证明△BSG ≌△QRG ，得到SG=RG=6，设FR=m ，根据GQ FG -=，以及在Rt △GQR 中利用勾股定理求出m 的值，得到FS=8，AR=4，证明四边形OSFT 为矩形，得到OT=FS=8，根据∠DHE=∠DPH ，利用正切函数的定义得到DE DH DH PD=，从而得到DH=32a ，根据∠PHD=∠FHT ，得到HT=2，再根据OT=OD+DH+HT ，列出关于a 的方程即可求出a 的值，从而得到点P 的坐标．【详解】解：（1）∵CM ⊥y 轴，OM=9，∴当y=9时，394x =，解得：x=12，∴C （12,9），∵CA ⊥x 轴，则A （12,0），∴OB=OA=12，则B （0，-12），设直线AB 的解析式为y=kx+b ，∴12012k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：112k b =⎧⎨=-⎩，∴12y x =-；（2）由题意可得，∠CMO=∠OAC=∠MOA=90°，∴四边形MOAC 为矩形，∴MC=OA=12，∵NC=OM ，∴NC=9，则MN=MC-NC=3，∴N （3,9）设直线ON 的解析式为1y k x =，将N （3，9）代入得：193k =，解得：13k =，∴y=3x ，设P （a ，3a ）∵PD ⊥x 轴交OC 于点E ，交x 轴于点D ，∴3(,)4E a a ，(a,0)D ，∴PE=39344a a a -=，OD=a ，∴9944a PE OD a ==；（3）如图，设直线GF 交CA 延长线于点R ，交y 轴于点S ，过点F 作FT ⊥x 轴于点T ，∵GF ∥x 轴，∴∠OSR=∠MOA=90°，∠CAO=∠R=90°，∠BOA=∠BSG=90°，∠OAB=∠AFR ，∴∠OSR=∠R=∠AOS=∠BSG=90°，则四边形OSRA为矩形，∴OS=AR，SR=OA=12，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=45°，∴∠FAR=90°-∠AFR=45°，∴∠FAR=∠AFR，∴FR=AR=OS，∵QF⊥OF，∴∠OFQ=90°，∴∠OFS+∠QFR=90°，∵∠SOF+∠OFS=90°，∴∠SOF=∠QFR，∴△OFS≌△FQR，∴SF=QR，∵∠SFB=∠AFR=45°，∴∠SBF=∠SFB，∴BS=SF=QR，∵∠SGB=∠RGQ，∴△BSG≌△QRG，∴SG=RG=6，设FR=m，则AR=m，∴QR=SF=12-m，∴=，-=，∵GQ FG∴66m m +-=+，∵QG 2=GR 2+QR 2，即222(6)6(12)m m +=+-，解得：m=4，∴FS=8，AR=4，∵∠OAB=∠FAR ，FT ⊥OA ，FR ⊥AR ，∴FT=FR=AR=4，∠OTF=90°，∴四边形OSFT 为矩形，∴OT=FS=8，∵∠DHE=∠DPH ，∴tan ∠DHE=tan ∠DPH ，∴DE DH DH PD=，由（2）可知，DE=34a ，PD=3a ，∴343a DH DH a=，解得：DH=32a ，∴tan ∠PHD=3232PD a DH a ==，∵∠PHD=∠FHT ，∴tan ∠FHT=2TF HT =，∴HT=2，∵OT=OD+DH+HT ，∴3282a a ++=，∴a=125，∴1236(,)55P 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及了一次函数解析式的求法，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数的定义等知识点，第（3）问难度较大，解题的关键是正确做出辅助线，熟悉几何的基本知识，综合运用全等三角形以及锐角三角函数的概念进行解答．类型二与平行四边形有关14.（2022·山东泰安）如图，四边形ABCD 为平行四边形，则点B 的坐标为________．【答案】()2,1--【分析】根据平行四边形的性质以及点的平移即可得出结论．【详解】解： 四边形ABCD 为平行四边形，∴DA CB ∥，即将D 点平移到A 的过程与将C 点平移到B 的过程保持一致，将D 点平移到A 的过程是：:134x --=-（向左平移4各单位长度）；:220y -=（上下无平移）；∴将C 点平移到B 的过程按照上述一致过程进行得到()24,1B --，即()2,1B --，故答案为：()2,1--．【点睛】本题考查平行四边形的性质及点的平移，掌握点的平移的代数表示是解决问题的关键．15.（2022·甘肃武威）如图1，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，动点P 从点A 出发，沿折线AD DC CB →→方向匀速运动，运动到点B 停止．设点P 的运动路程为x ，APB △的面积为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，则AB 的长为（）AB ．C ．D ．【答案】B【分析】根据图1和图2判定三角形ABD 为等边三角形，它的面积为【详解】解：在菱形ABCD 中，∠A=60°，∴△ABD 为等边三角形，设AB=a ，由图2可知，△ABD 的面积为∴△ABD 的面积24a ==解得：a=故选B【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．16.（2020·黑龙江牡丹江?中考真题）如图，已知直线AB 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，线段OA 的长是方程27180x x --=的一个根，12OB OA =．请解答下列问题：（1）求点A ，B 的坐标；（2）直线EF 交x 轴负半轴于点E ，交y 轴正半轴于点F ，交直线AB 于点C ．若C 是EF 的中点，6OE =，反比例函数k y x=图象的一支经过点C ，求k 的值；（3）在（2）的条件下，过点C 作CD OE ⊥，垂足为D ，点M 在直线AB 上，点N 在直线CD 上．坐标平面内是否存在点P ，使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P 的个数，并直接写出其中两个点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A （9，0），B （0，92）；（2）-18；（3）存在5个，（9，12）或（9，-12）或（1，0）或（-7，4）或（-15，0）.【解析】【分析】（1）解一元二次方程，得到点A 的坐标，再根据12OB OA =可得点B 坐标；（2）利用待定系数法求出直线AB 的表达式，根据点C 是EF 的中点，得到点C 横坐标，代入可得点C 坐标，根据点C 在反比例函数图像上求出k 值；（3）画出图形，可得点P 共有5个位置，分别求解即可.【详解】解：（1）∵线段OA 的长是方程27180x x --=的一个根，解得：x=9或-2（舍），而点A 在x 轴正半轴，∴A （9，0），∵12OB OA =，∴B （0，92）；（2）∵6OE =，∴E （-6，0），设直线AB 的表达式为y=kx+b ，将A 和B 代入，得：0992k b b =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：1292k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴AB 的表达式为：1922y x =-+，∵点C 是EF 的中点，∴点C 的横坐标为-3，代入AB 中，y=6，则C （-3，6），∵反比例函数k y x=经过点C ，则k=-3×6=-18；（3）存在点P ，使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形，如图，共有5种情况，在四边形DM 1P 1N 1中，M 1和点A 重合，∴M 1（9，0），此时P 1（9，12）；在四边形DP 3BN 3中，点B 和M 重合，可知M 在直线y=x+3上，联立：31922y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得：14x y =⎧⎨=⎩，∴M （1，4），∴P 3（1，0），同理可得：P 2（9，-12），P 4（-7，4），P 5（-15，0）.故存在点P 使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形，点P 的坐标为P 1（9，12），P 2（9，-12），P 3（1，0），P 4（-7，4），P 5（-15，0）.【点睛】本题考查了解一元二次方程，一次函数表达式，正方形的性质，反比例函数表达式，难度较大，解题的关键是根据图像画出符合条件的正方形.类型三最值问题17.（2020·江苏宿迁?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣12x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为()A．455B C．523D．655【答案】B【解析】【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．【详解】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，设Q(m，122m-+)，则PM=1m﹣，QM=122m-+，∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，∴∠QPM=∠PQ′N ，在△PQM 和△Q′PN 中，'90''PMQ PNQ QPM PQ N PQ Q P ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PQM ≌△Q′PN(AAS)，∴PN=QM=122m -+，Q′N=PM=1m ﹣，∴ON=1+PN=132m -，∴Q′(132m -，1m ﹣)，∴OQ′2=(132m -)2+(1m ﹣)2=54m 2﹣5m+10=54(m ﹣2)2+5，当m=2时，OQ′2有最小值为5，∴OQ′故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键18.（2020·湖南永州?中考真题）已知点()00,P x y 和直线y kx b =+，求点P 到直线y kx b =+的距离d可用公式d =C 的圆心C 的坐标为()1,1，半径为1，直线l 的表达式为26y x =-+，P 是直线l 上的动点，Q 是C 上的动点，则PQ 的最小值是（）A ．355B ．3515-C ．6515-D ．2【答案】B 【解析】【分析】过点C 作直线l 的垂线，交C 于点Q ，交直线l 于点P ，此时PQ 的值最小，利用公式计算即可.【详解】过点C 作直线l 的垂线，交C 于点Q ，交直线l 于点P ，此时PQ 的值最小，如图，∵点C 到直线l 的距离()00222116355112kx y b d k -+-⨯-+==++-，C 半径为1，∴PQ 的最小值是3515-，故选：B.【点睛】此题考查公式的运用，垂线段最短的性质，正确理解公式中的各字母的含义，确定点P与点Q最小时的位置是解题的关键.A B-，在x19.（2020·辽宁鞍山?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知(3,6),(2,2)CD=，线段CD在x轴上平移，当轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持1+的值最小时，点C的坐标为________．AD BC【答案】（-1，0）【解析】【分析】作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，得到此时AD+BC的值最小，求出直线AB″，得到点D坐标，从而可得点C坐标．【详解】解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，可知四边形B′B″DC为平行四边形，则B′C=B″D，由对称性质可得：BC=B′C，∴AD+BC=AD+B′C=AD+B″D=AB″，则此时AB″最小，即AD+BC最小，∵A（3，6），B（-2，2），∴B′（-2，-2），∴B″（-1，-2），设直线AB″的表达式为：y=kx+b，则632k bk b=+⎧⎨-=-+⎩，解得：2kb=⎧⎨=⎩，∴直线AB″的表达式为：y=2x，令y=0，解得：x=0，即点D坐标为（0，0），∴点C坐标为（-1，0），故答案为：（-1，0）．【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，一次函数表达式，解题的关键是找到AD+BC最小时的情形20.（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为．【分析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．首先证明点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．求出MN，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小．【解析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC＝CB，AM＝OM，∴MC=12OB＝1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（4，0），E（0，﹣3），∴OD ＝4，OE ＝3，∴DE =32+42=5，∵∠MDN ＝∠ODE ，∠MND ＝∠DOE ，∴△DNM ∽△DOE ，∴MN OE=DM DE，∴MN 3=35，∴MN =95，当点C 与C′重合时，△C′DE 的面积最小，最小值=12×5×（95−1）＝2，故答案为2．21.（2020·江苏连云港?中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B 是O 上一动点，点C 为弦AB 的中点，直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，则CDE △面积的最小值为________．【答案】2【解析】【分析】如图，连接OB ，取OA 的中点M ，连接CM ，过点M 作MN ⊥DE 于N ．首先证明点C 的运动轨迹是以M 为圆心，1为半径的⊙M ，设⊙M 交MN 于C′．求出MN ，当点C 与C′重合时，△C′DE的面积最小．【详解】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC=CB，AM=OM，∴MC=12OB=1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线y=34x-3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（4，0），E（0，-3），∴OD=4，OE=3，∴5 DE===，∵∠MDN=∠ODE，∠MND=∠DOE，∴△DNM∽△DOE，∴MN DM OE DE=，∴3 35 MN=，∴95 MN=，当点C 与C′重合时，△C′DE 的面积最小，△C′DE 的面积最小值1951225⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故答案为2．【点睛】本题考查三角形的中位线定理，三角形的面积，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型．22.（2020·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，A ，B 为⊙O 外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB ，得到⊙O 的弦A B ''（,A B ''分别为点A ，B 的对应点），线段AA '长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦12PP 和34P P ，则这两条弦的位置关系是；在点1234,,,P P P P 中，连接点A 与点的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B 都在直线y =+上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为1d ，求1d 的最小值；（3）若点A 的坐标为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为2d ，直接写出2d 的取值范围．【答案】（1）平行，P 3；（2）32；（3）233922d ≤≤。
部编数学八年级下册专题36一次函数中的旋转(解析版)含答案
专题36 一次函数中的旋转1．一次函数2y kx =+的图象绕着原点逆时针旋转90°后，经过点()1,3--，则k 的值为（ ）A ．13B ．13-C ．1-D ．12．若把一次函数y ＝kx +b 的图象先绕着原点旋转180°，再向右平移2个单位长度后，恰好经过点A (4，0)和点B (0，﹣2)，则原一次函数的表达式为（ ）A ．y ＝﹣12x ﹣1B ．y ＝﹣12x +1C ．y ＝12x +1D ．y ＝12x ﹣13．把直线l：y=kx+b绕着原点旋转180°，再向左平移1个单位长度后，经过点A（-2,0）和点B （0,4），则直线l的表达式是（）A．y=2x+2B．y=2x-2C．y=-2x+2D．y=-2x-2【答案】B【分析】先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出将直线AB向右平移1个单位长度后得到的解析式，然后将所得解析式绕着原点旋转180°即可得到直线l．【详解】解：设直线AB的解析式为y＝mx＋n．∵A（−2，0），B（0，4），∴204m nn-+ìí=î＝204m nn-ìíî＋＝＝，解得24mn=ìí=î，∴直线AB的解析式为y＝2x＋4．将直线AB向右平移1个单位长度后得到的解析式为y＝2（x−1）＋4，即y＝2x＋2，再将y＝2x＋2绕着原点旋转180°后得到的解析式为−y＝−2x＋2，即y＝2x−2，所以直线l的表达式是y＝2x−2．故选B．【点睛】本题考查了一次函数图象平移问题，掌握解析式“左加右减”的规律以及关于原点对称的规律是解题的关键．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（﹣2，3），将OA顺时针旋转90°得到OB，则直线AB的解析式为_____．5．如图，点A （﹣1，m ）在直线y =2x +3上，连结OA ，∠AOB =90°，点B 在直线y =﹣x +b 上，OA =OB ，则b =________．【答案】2【分析】先把点A 坐标代入直线y =2x +3，得出m 的值，然后得出点B 的坐标，再代入直线y =-x +b 解答即可．【详解】解：把A （-1，m ）代入直线y =2x +3，可得：m =-2+3=1，因为∠AOB =90°，OA =OB ，所以线段OA 绕点O 顺时针旋转90°，得线段OB ，所以点B 的坐标为（1，1），把点B 代入直线y =-x +b ，可得：1=-1+b ，∴b =2，故答案为：2．【点睛】此题考查一次函数图象上点的坐标特征，旋转中的坐标变换.关键是根据题意，利用旋转中的坐标变换规律求点的坐标．6．直线22y x =+绕坐标原点逆时针旋转90°后得到的直线解析式为____________________．7．如图，在平面直角坐标系中，()30A ，，()01B ，，线段AC 由线段AB 绕点A 顺时针旋转90°而得，则AC 所在直线的解析式是______．【答案】39y x =-##93y x=-+【分析】过点C 作CD x ^轴于点D ，易知()AAS ACD BAO ≌△△，从而求得点C 坐标，待定系数法即可求得直线AC 的解析式．【详解】解：∵()30A ，，()01B ，，∴31OA OB ==，，过点C 作CD x ^轴于点D ，则90AOB CDA Ð=Ð=°，∵90BAC Ð=°，∴90BAO ACD CAD Ð=Ð=°-Ð，∵BA AC =，∴()AAS ACD BAO ≌△△，∴1AD OB ==，3CD OA ==，∴()43C ，，设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，点C 坐标代入得：0334k b k b=+ìí=+î，解得：39k b =ìí=-î，∴直线AC 的解析式为39y x =-，故答案为：39y x =-．【点睛】本题是几何图形旋转的性质与待定系数法求一次函数解析式的综合题，利用全等三角形求得C 的坐标是解题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝－2x ＋4的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，将直线AB 绕点B 顺时针旋转45°，交x 轴于点C ，则直线BC 的函数表达式为_______．【答案】34y x =+##y =4+3x【分析】先求出点A 、B 的坐标，过点A 作AF ⊥AB ，交直线BC 于点F ，过点F 作EF ⊥x 轴，垂足为E ，然后由全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，求出点F 的坐标，再利用待定系数法，即可求出答案．【详解】解：∵一次函数y ＝－2x ＋4的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 两点，∴令0x =，则4y =；令0y =，则2x =，∴点A 为（2，0），点B 为（0，4），∴2OA =，4OB =；过点A 作AF ⊥AB ，交直线BC 于点F ，过点F 作EF ⊥x 轴，垂足为E ，如图，∴90AEF AOB Ð=Ð=°，∴90FAE BAE ABO BAE Ð+Ð=°=Ð+Ð，∴FAE ABO Ð=Ð，∵=45ABE а，∴△ABF 是等腰直角三角形，∴AF =AB ，∴△ABO ≌△FAE （AAS ），∴AO =FE ，BO =AE ，∴2FE =，4AE =，∴422OE =-=，∴点F 的坐标为（2-，2-）；设直线BC 为y ax b =+，则224a b b -+=-ìí=î，解得：34a b =ìí=î，∴直线BC 的函数表达式为34y x =+；故答案为：34y x =+；【点睛】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，以及旋转的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数22y x =-的图像分别交,x y 轴于点A ，B ，将直线AB 绕点B 按顺时针方向旋转45°，交x 轴于点C ，则直线BC 的函数表达式为____________．10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x＋4的图象分别与x轴，y轴相交于A，B两点．将直线AB绕点A逆时针旋转45°后，与y轴交于点C，则点C的坐标为______．∵∠CAD =45°，∴△CAD 是等腰直角三角形，∴AD =CD ，设OC m =在Rt △AOC 中，AO =∴2224AC AO OC =+=在等腰直角三角形ADC 11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数21y x =-的图像分别交x ，y 轴于点A ，B ，将直线AB 绕点B 按顺时针方向旋转45°，交x 轴于点C ，则直线BC 的函数表达式是_______．12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数22y x =--的图像分别交x ，y 轴于点A ，B ，将直线AB 绕点B 按顺时针方向旋转45°，交x 轴于点C ，则直线BC 的函数表达式是______．【答案】y =3x -2【分析】根据已知条件得到A （-1，0），B （0，-2），求得OA =1，OB =2，过A 作AF ⊥AB 交BC 于F ，过F 作FE ⊥x 轴于E ，得到AB =AF ，根据全等三角形的性质得到AE =OB =2，EF =OA =1，求得F （1，1），设直线BC 的函数表达式为：y =kx +b ，解方程组于是得到结论．【详解】解：∵一次函数y =-2x -2的图象分别交x 、y 轴于点A 、B ，∴令x =0，得y =-2，令y =0，则x =-1，∴A （-1，0），B （0，-2），∴OA =1，OB =2，过A 作AF ⊥AB 交BC 于F ，过F 作FE ⊥x 轴于E ，∵∠ABC =45°，∴△ABF 是等腰直角三角形，∴AB =AF ，∵∠OAB +∠ABO =∠OAB +∠EAF =90°，∴∠ABO =∠EAF ，在△ABO 和△FAE 中，ABO EAF AOB AEF AB AF Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△ABO ≌△FAE （AAS ），∴AE =OB =2，EF =OA =1，∴F （1，1），设直线BC 的函数表达式为：y =kx +b ，∴12k b b +=ìí=-î，解得32k b =ìí=-î，∴直线BC 的函数表达式为：y =3x -2，故答案为：y =3x -2．【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．13．如图，一次函数y x =+x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，把直线AB 绕点B 顺时针旋转30°交x 轴于点C ，则线段AC 长为______．由旋转的性质得：30ABC Ð=°122AD AB \==，2BD AB =设(0)OC m m =>，则AC OC =14．将直线y x =绕原点旋转90°，得直线l(1)画出直线l ；(2)求l 的解析式．【答案】(1)见解析(2)y x=-【分析】（1）如图，在y x =上取点()1,1,A 把A 绕原点顺时针旋转90°可得()1,1,B - 则直线OB 即为直线l ；（2）先确定直线l 是正比例函数，把()1,1B -代入直线l 的解析式，然后根据待定系数法求解即可．【详解】（1）解：如图，在y x =上取点()1,1,A 把A 绕原点顺时针旋转90°可得()1,1,B -再作直线OB ，则直线OB 为将直线y x =绕原点旋转90°的直线l ．（2）解：点O 绕原点O 顺时针旋转90°得到的点是它的本身，把()1,1B -代入解析式：∴1,k =-所以直线解析式是y x =-．【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换的知识，难度适中，掌握“点(),a b 绕原点顺时针旋转90°以后的点的坐标是(),b a -”是解本题的关键．15．（1）写出点(2,4)A -绕坐标原点逆时针旋转90°后所得对应点坐标是 ；（2）写出直线2y x =-绕坐标原点逆时针旋转90°后所得直线解析式是 ；（3）求直线22y x =--绕坐标原点逆时针旋转90°后所得直线解析式．【答案】（1）(4,2)--；（2）0.5y x =；（3）0.51y x =-【分析】（1）根据旋转的性质可直接得到旋转后的坐标；（2）根据点(2,4)A -是直线2y x =-上的一点，求出点(2,4)A -旋转后的点坐标，再根据待定系数法即可求得答案；（3）根据22y x =--过两点(1,0)-，(0,2)-，计算出点(1,0)-，(0,2)-旋转后的点坐标，再根据待定系数法求出函数的解析式．【详解】解：（1）如图所示，根据旋转的性质可得1B O BO =，1A O AO =，11AB A B =，∴点(2,4)A -绕坐标原点逆时针旋转90°后所得对应点坐标是(4,2)--；（2）∵点(2,4)A -是直线2y x =-上的一点，绕坐标原点逆时针旋转90°后所得对应点坐标是(4,2)--，设直线2y x =-绕坐标原点逆时针旋转90°后所得直线解析式为y kx =，将点(4,2)--代入，得()24k -=´-，得0.5k =，（3）∵直线22y x =--上过两点(1,0)-，(0,2)-，将其绕坐标原点逆时针旋转90°，得到对应点的坐标为(0,1)-，(2,0)，设过这两点的直线解析式为y kx b =+，则120b k b =-ìí+=î，解得0.51k b =ìí=-î ，∴旋转后的直线解析式为：0.51y x =-．【点睛】本题考查一次函数的解析式，解题的关键是根据题意得到直线上的点，再通过待定系数法求出解析式．16．规定：在平面直角坐标系内，某直线1l 绕原点O 顺时针旋转90°，得到的直线2l 称为1l 的“旋转垂线”．(1)求出直线2y x =-+的“旋转垂线”的解析式；(2)若直线1110()y k x k =+¹的“旋转垂线”为直线2y k x b =+．求证：121k k ×=-．17．（1）点(1,2)绕坐标原点逆时针旋转90°得到的点的坐标是 （2）直线22y x =-绕坐标原点逆时针旋转90°得到的直线解析式是 （3）求直线2y x =+关于原点对称的直线的解析式．由AOC OBD D @D 可得，DO =\点B 的坐标为(2,1)-，故答案为：(2,1)-；（2）如图，当0x =时，=2y -；当0y =时，2x =∴直线22y x =-与坐标轴交于绕坐标原点逆时针旋转90°后分别得到设CD 解析式为y kx b =+，则当0x =时，2y =；当0y =时，2x =-∴直线2y x =+与坐标轴交于(0,2)A ，(2,0)B -，关于原点对称的点分别为(0,2)C -，(2,0)D ，设CD 解析式为y kx b =+，则202b k b-=ìí=+î，解得12k b =ìí=-î，\直线CD 解析式为2y x =-．【点睛】本题考查了坐标系中点的旋转，直线的旋转问题，解题的关键是需要结合图形，根据点的旋转规律找直线旋转的解析式．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx ＋b 与x 轴交于点A （1，0），与y 轴交于点B （0，2）．(1)求直线AB 的表达式；(2)将△OAB 绕点O 逆时针旋转90°后，点A 落到点C 处，点B 落到点D 处，线段AB 上横坐标为34的点E 在线段CD 上对应点为点F ，求点F 的坐标．19．在平面直角坐标系中，直线l ：443y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A 、B 将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°后得到A OB ¢¢△ ．(1)求直线A B ¢¢的解析式；(2)若直线A B ¢¢与直线l 相交于点C ，求A BC ¢△的面积．20．（1）如图1，等腰直角三角形ABC 的直角顶点在直线l 上． 过点A 作AD l ^交于点D ， 过点B 作BE l ^交于点E ， 求证：ADC CEB @V V ；（2）如图2，在平面直角坐标系中，直线124l y x =+：分别与y 轴，x 轴交于点A ，B ， 将直线1l 绕点A 顺时针旋转45°得到2l ， 求2l 的函数表达式；（3）如图3，在平面直角坐标系，点()6,4B ， 过点B 作AB y ^交于点A ， 过点B 作BC x ^交于点C ， P 为线段BC 上的一个动点，点(),24Q a a -位于第一象限． 问点,,A P Q 能否构成以点Q 为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a 的值； 若不能， 请说明理由．【详解】解：（1）由题意可知AC CB =， 90ADC CEB Ð=Ð=°ABC Q V 为等腰直角三角形90ACB \Ð=°∴90ACD BCE Ð+Ð=°90ACD CAD Ð+Ð=°Q ，CAD BCE \Ð=Ð在ADC CEB 和V V 中90CAD BCE ADC CEB AC CB Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=îADCCEB \@V V ()AAS ．（2）由题意意可知点A 坐标为()04，，点B 坐标为()20-， 过点B 作1BC l ^交2l 于点C ， 过点C 作CE x ^轴交x 轴于点E ，由（1）的证明可知BEC AOB @V V24CE BO BE AO \====，\点C 坐标为()62-，设2l y kx b=+：2l Q 过点()()0462A C -，，，\ 426b k b =ìí=-+î，解得 134k b ì=ïíï=î，2143l y x \=+：．（3）如图：作线段AP 的中垂线记为3l ，由等腰三角形的性质可知，若点Q 存在，则一定在3l 上．①当点Q 在AB 下方时过点Q 作EF y ^轴交于点E ， 则EF BC ^交于点F ，由（2）的证明不难得出，AEQ QFPV V ≌AE QF \=， 即()4246a a --=-解得2a =， 则点()20Q ，与点Q 位于第一象限相矛盾，故2a =舍去②当点Q 在AB 上方时过点Q 分别作MN y ^轴交于点M ， 则MN CB ^的延长线交于点N ，由（2）的证明不难得出，QMA PNQV V ≌MA NQ \=， 即()2446a a --=- 解得143a =， 则点141633Q æöç÷èø，符合题意．综上，143a =．【点睛】本题主要考查了一次函数综合题、全等三角形的判定、全等三角形的性质、用待定系数法求函数解析式等知识点，利用全等三角形的性质得出关于a 的方程是解题关键．21．在平面直角坐标系中，一次函数21y x =-的图像分别交x 、y 轴于点A 、B ，将直线AB 绕点B 顺时针方向旋转45°，交x 轴于点C ．（1）求直线BC 的函数表达式；（2）若将直线AB 绕点B 逆时针方向旋转45°，请直接写出此时直线BC 的函数表达式．∵=45ABC а，90BAD Ð=°【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．22．如图，一次函数2y x b =+的图像经过点(1,3)M ，且与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点．（1）填空：b = ；（2）将该直线绕点A 顺时针旋转45o 至直线l ，过点B 作BC AB ^交直线l 于点C ，求点C 的坐标及直线l 的函数表达式．∵∠BDC=90°，∴∠CBD+∠BCD=∠CBD+∠ABD=90°∴∠BCD=∠ABD，同理，∠CBD=∠BAO，23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x轴、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C．(1)点A坐标是（ ， ）、点B坐标是（ ， ）；(2)求直线BC的函数表达式；(3)点M是射线BA上的点，在平面内是否存在点N，使得以M、N、B、C为顶点的四边形是菱形，如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．∵=45ABC а，∴ABF △是等腰直角三角形，∴AB AF =．∵OAB ABO OAB EAF Ð+Ð=Ð+Ð∴BM CN ∥，BC CN =．∵直线BM 为21y x =-，∴设直线CN 的函数表达式为2y x =∵直线BC 的函数表达式为：13y x =∴30C （，），∴60c +=，解得6c =-，∴BC CM =，设21M m m -（，）．∵BC CM =，01B -（，），∴22BC CM =，∴222213321m m +=-+-（）（），解得2m =或0（不合题意，舍去）24．如图，一次函数y x =+x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，把直线AB 绕点B 顺时针旋转30°交x 轴于点C ，则线段AC 长为（ ）A B ．C ．2D【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．。
(完整版)一次函数与几何图形综合题10及答案
专题训练：一次函数与几何图形综合1、直线y=-x+2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC=OB(1) 求AC 的解析式；(2) 在OA 的延长线上任取一点P,作PQ ⊥BP,交直线AC 于Q,试探究BP 与PQ 的数量关系，并证明你的结论。
(3) 在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M,BP 交AC 于N,下面两个结论：①(MQ+AC)/PM 的值不变；②(MQ-AC)/PM 的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。
2．(本题满分12分)如图①所示，直线L ：5y mx m =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点。
(1)当OA=OB 时，试确定直线L 的解析式；xyo BA CPQxyo BA CPQM第2题图①(2)在(1)的条件下，如图②所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ，BN ⊥OQ 于N ，若AM=4，BN=3，求MN 的长。
(3)当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE ，连EF 交y 轴于P 点，如图③。
问：当点B 在 y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。
3、如图，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，已知直线1l 的解析式为3y x =+，（1）求直线2l 的解析式；（3分）第2题图②第2题图③CB Al 2l 1xy（2）过A 点在△ABC 的外部作一条直线3l ，过点B 作作CF ⊥3l 于F 分别，请画出图形并求证：BE ＋CF ＝（3）△ABC 沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P ，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q ，与y 轴相交与点M ，且BP ＝CQ ，在△ABC 平移的过程中，①OM 为定值；②MC 为定值。
第19章专题20：一次函数与几何综合题(四)-通用版八年级下册数学专题练
19章专题：一次函数与几何综合题（三）1.如图，把长方形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA ，OC 分别落在x ，y 轴的的正半轴上，连接AC ，且AC=45，AO=2CO ．（1）求点A ，C 的坐标；（2）将纸片OABC 折叠，使点A 与点C 重合（折痕为EF ），求折叠后纸片重叠部分△CEF 的面积； （3）求EF 所在直线的函数表达式，并求出对角线AC 与折痕EF 交点D 的坐标．（1）∵AC=45，AO=2CO ，∵AC 2=OC 2+OA 2， ∴80=OC 2+4OC 2，∴OC=4，OA=8，∴A （8，0），C （0，4）； （2）设AC 的解析式为y=kx+b ，则⎩⎨⎧=+=084b k b ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=421b k ， ∴AC 的解析式为y=-21x+4； 设AC 与EF 交于点D ，由折叠知EF 垂直平分AC ，所以D 是矩形ABOC 的中心， ∴FD=DE ，∴EF 、AC 互相垂直平分， ∴重合部分AECF 是菱形， 设CF=x ，则AF=x ，BF=8-x ， ∵AB=4，∠B=90°， ∴x 2=42+（8-x ）2， ∴x=5，即CF=5， ∴重合部分的面积=5×4=20；（3）∵AC ⊥EF ，直线AC 表达式中的k 值为：-21，∴直线EF 表达式中的k 值为2， ∵A （8，0），C （0，4），且D 为AC 中点， ∴D （4，2），设直线EF 的表达式为：y=2x+b ，将点D 的坐标代入上式并解得： 则直线EF 解析式为：y=2x-6．2. 如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 分别交x 轴、y 轴于点A （-2，0）点B （0，4）；点P 在直线AB 的右侧，且∠APB=45°．（1）若△ABP 为直角三角形，求点P 的坐标； （2）如图2，若点P 在第四象限，且∠BAP=90°，AP 与y 轴交于点M ，BP 与x 轴交于点N ，连接MN ，求证：P 是△OMN 的一个外角平分线交点．【解答】（1）∵△ABP 是直角三角形，且∠APB=45°，∴只有∠ABP=90°或∠BAP=90°，如图3，Ⅰ、当∠ABP=90°时，∵∠APB=∠BAP=45°，∴AB=PB ，过点P 作PC ⊥OB 于C ，∴∠BPC+∠CBP=90°， ∵∠CBP+∠ABO=90°，∴∠ABO=∠BPC ，在△AOB 和△BCP 中，∠AOB=∠BCP=90°，∠ABO=∠BPC ，AB=BP ，∴△AOB ≌△BCP （AAS ），∴PC=OB=4，BC=OA=2， ∴OC=OB-BC=2，∴P （4，2）；Ⅱ、当∠BAP=90°时，过点P'作P'D ⊥OA 于D ，同Ⅰ的方法得，△ADP'≌△BOA ，∴DP'=OA=2，AD=OB=4，∴OD=AD-OA=2，∴P'（2，-2）；即：满足条件的点P （4，2）或（2，-2）； （2）如图2，由（2）知点P （2，-2），∵A （-2，0），∴直线AP 的解析式为y=-21x-1，∴M （0，-1），∴BM=5，同理：直线BP 的解析式为y=-3x+4，∴N （34，0），∴MN=35，过点P 作PH ∥AB 交x 轴于H ，∵∠BAP=90°，∴∠BAO+∠PAH=90°，∴∠BAO+∠ABM=90°，∴∠ABM=∠PAH ， 在△ABM 和△PAH 中，∠ABM=∠PAH ，AB=AP ，∠BAM=∠APH=90°， ∴△ABM ≌△PAH （ASA ），∴∠AMB=∠PHA ，AH=BM=5，∴∠PMG=∠PHA ，OH=AH-OA=3，∴H （3，0），∴NH=3-34=35=MN ，∵P （2，-2），M （0，-1），H （3，0），∴PM=5，PH=5，∴PM=PH ， ∴△PNM ≌△PNH （SSS ），∴∠AHP=∠PMN ，∴∠PMG=∠PMN ，即：MP 是△BMN 的一个外角的平分线．3. 如图1，在平面直角坐标系中，直线y=21x+4经过点A （310，m ），与x 轴，y 轴分别交于B ，C 两点，点D （0，-1），P （t ，0）（t ＞-8）（1）求m 的值和直线AD 的函数表达式；（2）连结CP ，当△BPC 是等腰三角形时，求t 的值；（3）若t=-4，点M ，N 分别在线段AB ，线段AD 上，当△PMN 是等腰直角三角形且∠MPN=45°时，求△PMN 的面积（1）直线y=21x+4经过点A （310，m ），则m=21×310+4=317， y=21x+4，令y=0，则x=-8，令x=0，则y=4，故点B 、C 的坐标分别为：（-8，0）、（0，4）； 设直线AD 的表达式为：y=kx-1，将点A 的坐标代入上式并解得：k=2， 故直线AD 的表达式为：y=2x-1； （2）点P （t ，0），点B 、C 的坐标分别为：（-8，0）、（0，4），PB 2=（t+8）2，PC 2=t 2+16，BC 2=80；当PB=PC 时，（t+8）2=t 2+16，解得：t=-3，当PB=BC 时，同理可得：t=-8+45（不合题意的值已舍去）；当PC=BC 时，同理可得：t=±8（舍去-8）；故t=-3或-8+45或8； （3）点P （-4，0），设点M （m ，21m+4），点N （n ，2n-1），①当∠PMN=90°时，如图1，PM=MN ，过点M 作MH ⊥x 轴于点H ，作GN ⊥MH 于点G ， ∵∠PMH+∠NMH=90°，∠NMH+∠MNG=90°， ∴∠PMH=∠MNG ，∠NGM=∠MHP=90°， ∴△NGM ≌△MHP （AAS ），∴GN=MH ，MG=PH ，即n-m=21m+4，21m+4-2n+1=m+4，解得：m=-2，故点M （-2，3）；△PMN 的面积=21PM 2=21（4+9）=213；②当∠MNP=90°时，MN=PN ，过点N 作x 轴的平行线交过点P 与y 轴的平行线于点H ，交过点M 与y 轴的平行线于点G ，同理可得：△MGN ≌△NHP （AAS ），则PH=GN ，HM=MG ，即1-2n=m-n ，n+4=21m+4-2n+1，解得：m=74，故点M （74，730），△PMN 的面积=21×（22PM ）2=49481；故答案为：213或49481．4. 直线y=-43x+6与x 轴相交于点B ，与y 轴相交于点A ． （1）求直线AB 与坐标轴围成的面积； （2）在x 轴上一动点P ，使△ABP 是等腰三角形；请直接写出所有P 点的坐标，并求出如图所示AP=PB 时点P 的坐标；（3）直线y=x+3与直线AB 相交于点C ，与x 轴相交于点D ；点Q 是直线CD 上一点，若△BQD 的面积是△BCD 的面积的两倍，求点Q 的坐标．（1）在当y=-43x+6中，令y=0时，x=8；当x=0时，y=6；∴△AOB 的面积=6×6×21=24； （2）如图，由（1）知A （0，6），B （8，0）， ∴OA=6，OB=8，∴AB=10， ∵△ABP 是等腰三角形；∴当AB=PB=10时，OP=18或2， ∴P （18，0）或（-2，0）， 当AB=AP 时，OP=OB=8， ∴P （-8，0）， 当AP=PB 时，如图所示：设OP=x ，则AP=BP=8-x ， 由AO 2+OP 2=AP 2，得：62+x 2=（8-x ）2，∴x=47此时P （47，0）；综上所述，点P 的坐标为（18，0）或（-2，0）或（-8，0）或P （47，0）；（3）由y=-43x+6以及y=x+3联立方程组求得x=712，y=733，∴C （712，733），∵△BQD 的面积是△BCD 的面积的两倍，∴Q 点的纵坐标为766或-766，把y=766代入y=x+3得x=745，把y=-766代入y=x+3得x=-787， 因此Q （745，766）或（-787，-766）．5. 如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y 1=kx+b 经过A （a ，0），B （0，b ）两点，且a 、b 满足（a-4）2+2-b =0，过点B 作BP ∥x 轴，交直线l 2：y 2=x 于点P ，连接PA ．（1）求直线AB 的函数表达式；（2）在直线l 2上是否存在一点Q ，使得S △BPQ =S △BPA ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点C （n ，0）是x 轴上的一个动点，点D 是y 轴上的一个动点，过点C 作x 轴的垂线交直线l 1、l 2于点M 、N ，若△MND 是等腰直角三角形，请直接写出符合条件的n 的值．（1）（a-4）2+2-b =0，则a=4，b=2，点A 、B 的坐标分别为：（4，0）、（0，2），把点A 、B 的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b 并解得：y=-21x+2； （2）存在，理由：点B （0，2），点P （2，2），则BP=2，S △APM =2， S △BPQ =S △BPA ，则点Q 的纵坐标为：0或4， 故点Q （0，0）或（4，4）；0，0）或（4，4）；（3）MN=|-21n+2-n|=|-23n+2|，x M =x N =n ，①当∠MDN=90°时，则x M =21MN ，即：21|-23n+2|=n ，解得：n=74或-4；②当∠DNM=90°（或∠DMN=90°）时，则x M =MN ，即|-23n+2|=n ，解得：n=54或4；符合条件的n 的值为：4或54或74或-4．。
【3套试卷】人教版八年级下册数学基础训练题： 第十九章 一次函数(含答案)
人教版八年级下册数学基础训练题：第十九章一次函数（含答案）一、选择题1.下列哪一个点在直线y=-2x-5上（）A. （2，-1）B. （3，1）C. （-2，1）D. （-1，-3）2.一次函数y=（m+1）x+5中，y的值随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A. m＜-1B. m＞-1C. m＞0D. m＜03.一次函数的图象经过点A（﹣2，﹣1），且与直线y=2x﹣3平行，则此函数的解析式为（）A. y=x+1B. y=2x+3C. y=2x﹣1D. y=﹣2x﹣54.某种签字笔的单价为2元，购买这种签字笔x支的总价为y元．则y与x之间的函数关系式为（）A. B. C. y=-2x D. y=2x5.某乡镇企业现在年产值是15万元，如果每增加100元投资，一年增加250元产值，那么总产值y(万元)与新增加的投资额x(万元)之间函数关系为( )A. y=25x+15B. y=2.5x+1.5C. y=2.5x+15D. y=25x+1.56.一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y<0时，x的取值范围是( )A. x>0B. x<0C. x>2D. x<27.如图所示的函数图象反映的过程是：小徐从家去菜地浇水，又去玉米地除草，然后回家，其中x表示时间，y表示小徐离他家的距离．读图可知菜地离小徐家的距离为（）A. 1.1千米B. 2千米C. 15千米D. 37千米8.如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x+3与直线l2：y=mx+n交于点A（﹣1，b），则关于x、y的方程组的解为（）A. B. C. D.9.一次函数y=kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b＜0的解集是（）A. x＞﹣2B. x＜﹣2C. x＞﹣4D. x＜﹣410.小明到离家900米的春晖超市卖水果，从家中到超市走了20分钟，在超市购物用了10分钟，然后用15分钟返回家中，下列图形中表示小明离家的时间与距离之间的关系是（）A. B. C. D.11.一次函数y=x+5的图象经过点P(a，b)和Q(c，d)，则a(c－d)－b(c－d)的值为（）A. 9B. 16C. 25D. 3612.一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象，如图所示，则不等式kx+b＞0的解集是（）A. x＜2B. x＜0C. x＞0D. x＞2二、填空题13.函数y=中，自变量x的取值范围为________ ．14.已知，函数y=（k﹣1）x+k2﹣1，当k________ 时，它是一次函数．15.当x=-1时，一次函数y=kx+3的值为5，则k的值为________ ．16.已知长方形的周长为30cm，一边长为ycm，另一边长为xcm，则y与x的关系式为________，其中变量是________，常量是________．17.根据如图所示的计算程序计算变量y的对应值，若输入变量x的值为- ，则输出的结果为 ________18.某书定价25元，如果一次购买20本以上，超过20本的部分打八折，试写出付款金额y （单位：元）与购书数量x（单位：本）之间的函数关系________．19.已知A地在B地的正南方3km处，甲、乙两人同时分别从A、B两地向正北方向匀速直行，他们与A地的距离S（km）与所行时间t(h)之间的函数关系如图所示，当他们行驶3h 时，他们之间的距离为________km.20.如图，已知点A和点B是直线y=x上的两点，A点坐标是（2，）．若AB=5，则点B的坐标是 ________．21.一次函数y=ax+b的图象如图，则关于x的不等式ax+b≥0的解集为________．22.某水库的水位在5小时内持续上涨，初始水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度y（米）与时间x（小时）（0≤x≤5）的函数关系式为________ ．三、解答题23.一次函数y＝kx＋b经过点(－4，－2)和点(2，4)，求一次函数y＝kx＋b的解析式。
八年级(初二)数学(一次函数)试题附答案解析
一、单选题（共7题；共14分）1.为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛．路线图如图1所示，点E为矩形ABCD边AD的中点，在矩形ABCD的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员P从点B出发，沿着B−E−D的路线匀速行进，到达点D．设运动员P的运动时间为t，到监测点的距离为y．现有y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这一信息的来源是（）．A. 监测点AB. 监测点BC. 监测点CD. 监测点D2.把直线y=2x﹣1向左平移1个单位，平移后直线的关系式为（）A. y=2x﹣2B. y=2x+1C. y=2xD. y=2x+23.如图，过点A0(1，0)作x轴的垂线，交直线l：y=2x于B1，在x轴上取点A1，使OA1=OB1，过点A1作x轴的垂线，交直线l于B2，在x轴上取点A2，使OA2=OB2，过点A2作x轴的垂线，交直线l于B3，…，这样依次作图，则点B8的纵坐标为( )A. （√5）7B. 2（√5）7C. 2（√5）8D. （√5）94.如图所示，一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k ≠0）与正比例函数y＝ax（a为常数，且a ≠0）相交于点P，则不等式kx+b>ax的解集是（）A. x>1B. x<1C. x>2D. x<25.如图，直线y＝x＋2与y轴相交于点A0，过点A0作x轴的平行线交直线y＝0.5x＋1于点B1，过点B1作y轴的平行线交直线y＝x＋2于点A1，再过点A1作x轴的平行线交直线y＝0.5x＋1于点B2，过点B2作y轴的平行线交直线y＝x＋2于点A2，…，依此类推，得到直线y＝x＋2上的点A1，A2，A3，…，与直线y＝0.5x＋1上的点B1，B2，B3，…，则A7B8的长为（）A. 64B. 128C. 256D. 5126.同一直角坐标系中，一次函数y1=k1x+b与正比例函数y2=k2x的图象如图所示，则满足y1≥y2的x取值范围是（）A. x≤﹣2B. x≥﹣2C. x＜﹣2D. x＞﹣27.如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（）A. M处B. N处C. P处D. Q处二、填空题（共6题；共6分）8.已知a、b为有理数，m、n分别表示5−√7的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+ b=________.9.设m、x、y均为正整数，且√m−√28=√x−√y，则（x+y+m）²=________.10.菱形0BCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为________．11.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+3 √2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线12.已知一次函数的图象过点且不经过第一象限，设，则m的取值范值是________；13.如图，点A的坐标为（-2，0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是________.三、计算题（共1题；共5分）14.计算：(1)√2+1√8+(√3−1)0(2)(−12)−1−3√13+(1−√2)0+√12四、解答题（共2题；共20分）15.楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．（1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为正整数），实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价﹣进价）16.如图所示，把矩形纸片OABC放入直角坐标系xOy中，使OA、OC分别落在x、y轴的正半轴上，连接AC，且AC=4 √5，OCOA =12（1）求AC所在直线的解析式；（2）将纸片OABC折叠，使点A与点C重合（折痕为EF），求折叠后纸片重叠部分的面积．（3）求EF所在的直线的函数解析式．五、综合题（共6题；共88分）17.已知四边形OABC是边长为4的正方形，分别以OA，OC所在的直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，直线l经过A，C两点．（1）写出点A，点C坐标并求直线l的函数表达式；（2）若P是直线l上的一点，当△OPA的面积是5时，请求出点P的坐标；（3）如图2，点D（3，﹣1），E是直线l上的一个动点，求出使|BE﹣DE|取得最大值时点E的坐标和最大值（不需要证明）．18.如下图所示，直线y＝－1x＋3与坐标轴分别交于点A，B，与直线y＝x交于点C，线段OA上的点Q2以每秒1个单位的速度从点O出发向点A作匀速运动，运动时间为t秒，连结CQ.（1）求出点C的坐标；（2）若△OQC是等腰直角三角形，则t的值为________；（3）综上所述，若△OCQ是等腰直角三角形，则t的值为2或4. (3)若CQ平分△OAC的面积，求直线CQ 对应的函数表达式.19.如图，直线l:y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C两点，点B的坐标是（-8，0），点A的坐标为（-6，0）.（1）求k的值.（2）若点P是直线l在第二象限内一个动点，当点P运动到什么位置时，△PAC的面积为3？并求出此时直线AP的解析式.（3）在x轴上是否存在一点M，使得△BCM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.20.如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y=34x+32与x轴交于点A，且经过点B（2，m），点C（3,0）.（1）求直线BC的函数解析式；（2）在线段BC上找一点D，使得△ABO与△ABD的面积相等，求出点D的坐标；（3）y轴上有一动点P，直线BC上有一动点M，若△APM是以线段AM为斜边的等腰直角三角形，求出点M的坐标；（4）如图2，E为线段AC上一点，连结BE，一动点F从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位运动到点E,再沿线段EA以每秒√2个单位运动到A后停止，设点F在整个运动过程中所用时间为t，求t的最小值.21.已知：如图，直线l1：y1=−x+n与y轴交于A(0,6)，直线l2：y2=kx+1分别与x轴交于点B(−2,0)，与y轴交于点C.两条直线相交于点D，连接AB.（1）直接写出直线l1、l2的函数表达式；（2）求ΔABD的面积；（3）在x轴上存在点P，能使ΔABP为等腰三角形，求出所有满足条件的点P的坐标.22.如图，己知函数y= 4x + 4的图象与坐标轴的交点分别为点A、B，点C与点B关于x轴对称，动点P、3Q分别在线段BC、AB上（点P不与点B、C重合）.且∠APQ=∠ABO（1）点A的坐标为________，AC的长为________；（2）判断∠BPQ与∠CAP的大小关系，并说明理由；（3）当△APQ为等腰三角形时，求点P的坐标.六、综合题（共1题；共11分）x+4的图像与x轴和y轴分别相交于A、B两点．动23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=−23点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动．点A 关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为t秒．（1）当t＝1秒时，点Q的坐标是________；3（2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式；（3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT＋PT的最小值．答案解析部分一、单选题1. C2. B3. B4. D5.【答案】 C6.【答案】 A7.【答案】 D二、填空题8.【答案】2.5 9.【答案】 256 10.【答案】（ 2√3−3,2−√3 ） 11.【答案】59≤m ≤1 12.【答案】 3+3√2 13.【答案】 (−1,−1)三、计算题14.【答案】 （1） 原式=√2−1−2√2+1=−√2（2）原式=−2−√3+1+2√3=√3−1四、解答题15.【答案】 解：（1）由题意，得当0＜x≤5时y=30．当5＜x≤30时，y=30﹣0.1（x ﹣5）=﹣0.1x+30.5．∴y=；（2）当0＜x≤5时，（32﹣30）×5=10＜25，不符合题意，当5＜x≤30时，[32﹣（﹣0.1x+30.5）]x=25，解得：x 1=﹣25（舍去），x 2=10．答：该月需售出10辆汽车．16.【答案】 （1）解：∵ OC OA =12 ，∴ 可设OC=x ，则OA=2x ，在Rt △AOC 中，由勾股定理可得OC 2+OA 2=AC 2 ，∴x 2+（2x ）2=（4 √5 ）2 ， 解得x=4或x=-4（不合题意，舍去），∴OC=4，OA=8，∴A （8，0），C （0，4），设直线AC 解析式为y=kx+b ，∴ {8k +b =0b =4， 解得： {k =−12 ，∴直线AC 解析式为y= −12 x+4（2）解：由折叠的性质可知AE=CE ，设AE=CE=y ，则OE=8-y ，在Rt △OCE 中，由勾股定理可得OE 2+OC 2=CE 2 ，∴（8-y ）2+42=y 2 ， 解得y=5，∴AE=CE=5，∵∠AEF=∠CEF ，∠CFE=∠AEF ，∴∠CFE=∠CEF ，∴CE=CF=5，∴S △CEF = 12 CF•OC= 12 ×5×4=10，即重叠部分的面积为10；（3）解：由（2）可知OE=3，CF=5，∴E （3，0），F （5，4），设直线EF 的解析式为y=k′x+b′，∴ {3k ′+b ′=05k ′+b ′=4 ， 解得： {k ′=2b ′=−6， ∴直线EF 的解析式为y=2x-6五、综合题17.【答案】 （1）解：∵四边形OABC 是边长为4的正方形，∴A （4，0）和C （0，4）；设直线l 的函数表达式y=kx+b （k≠0），经过A （4，0）和C （0，4）得 {0=4k +b b =4， 解之得 {k =−1b =4， ∴直线l 的函数表达式y=﹣x+4（2）解：设△OPA 底边OA 上的高为h ，由题意等 12 ×4×h=5，∴h= 52， ∴|﹣x+4|= 52 ，解得x= 32 或132 ∴P 1（ 32 ， 52 ）、P 2（132， −52 ）（3）解：∵O 与B 关于直线l 对称，∴连接OD 并延长交直线l 于点E ，则点E 为所求，此时|BE ﹣DE|=|OE ﹣DE|=OD ，OD 即为最大值，如图2．∴﹣1=3k 1 ， ∴k 1= −13∴直线OD 为 y =−13x ，解方程组： {y =−x +4y =−13x，得 {x =6y =−2 ， ∴点E 的坐标为（6，﹣2）． 又D 点的坐标为（3，﹣1） 由勾股地理可得OD= √10 ．18.【答案】 （1）解：由 {y =−12x +3y =x解得： {x =2y =2 ，∴点C 的坐标为(2，2)（2）4 3）解：令－ x ＋3＝0，得x ＝6， ∴A(6，0). ∴点Q 的坐标为(3，0)时，CQ 平分△OCA 的面积. 设直线CQ 的函数表达式为y ＝kx ＋b. 把C(2，2)，Q(3，0)代入y=kx+b 得： {3k +b =02k +b =2，解得k ＝－2，b ＝6， ∴当直线CQ 平分△OCA 的面积时，其对应的函数表达式为y ＝－2x ＋6. 19.【答案】 （1）解：直线l ：y=kx+6过点B （-8，0）， 0=-8k+6，K= 34（2）解：当x=0时，y= 34 x+6=6，∴点C 的坐标为（0，6） 如图，设点P 的坐标为（x ， 34 x+6），∴S △PAC =S △BOC +S △BAP +S △AOC = 12 ×8×6- 12 ×2（ 34 x+6）- 12 ×6×6=- 34 x取S △PAC =3，解得x=4，∴点P 的坐标为（4，3），设此时直线AP 的解析式为y=ax+b （a≠0）， 将A （-6，0），P （-4，3）代入y=ax+b ， 得 {-6a +b =0−4a +b =3 解得= a =32b =9，∴当点P 的坐标为（-44，3）时，△PAC 的面积为3，此时直线AP 的解析式为y= 32 x+9 （3）解：点M 的坐标为（-18，0）或（- 74 ，0）或（2，0）或（8，0） 20.【答案】 （1）解：将点B （2，m ）代入 y =34x +32 得m=3 ∴ B(2，3)C(3，0)设直线BC 解析式为 y =kx +b 得到 {2k +b =33k +b =0 ∴ {k =−3b =9 ∴直线BC 解析式为 y =−3x +9（2）解：如图，过点O 作 OD//AB 交BC 于点D∴S △ABC =S △ABD ， k AB =k OD =34 ∴直线OD 的解析式为y= 34x ，∴ 联立方程组{y =34xy =−3x +9解得 {x =125y =95∴D(125,95) （3）解：①如图，当P 点在y 轴负半轴时，作 M 1N ⊥OP 于点N ，∵直线AB 与x 轴相交于点A ，∴点A 坐标为（-2，0），∵∠APO+∠PAO=90°，∠APO+∠PNM 1=90° ∴∠PAO=∠PNM 1 ， 又∵AP=PM 1 ， ∠POA=∠PNM 1=90° ∴△AOP ≅ △PNM 1 ， ∴PN=OA=2， 设OP=NM 1=m ，ON=m-2 ∴ M 1(m ，2−m)代入y =−3x +9 解得 m =72 ∴ M 1(72,−32) ②如图，作 M 2H ⊥OP 于点H可证明△AOP ≅ △PHM 2 ，设HM 2=n ，OH=n-2∴ M 2(n,n −2)代入y =−3x +9 ，解得 n =114，∴M 2（114， 34 ），∴综上所述 M 1(72，−32) 或M 2（ 114， 34 ） （4）解：如图，作射线AQ 与x 轴正半轴的夹角为45°，过点B 作x 轴的垂线交射线AQ 于点Q ，作 EK ⊥AQ 于点K ，作 BT ⊥AQ 于点T ，∵∠CAQ=45°BG ⊥x 轴，B （2，3）∴AG=4，∴AQ=4 √2 ，BQ=7，t=BE 1+√2 =BE+EK≥BT ，由面积法可得： 12AQ ⋅BT =12BQ ⋅AG ∴ 12 ×4 √2 ×BT= 12 ×7×4，∴BT= 72√2 因此t 最小值为 72√2 . 21.【答案】 （1）解：∵直线 l 1 ： y 1=−x +n 与y 轴交于A (0,6)， ∴n =6， ∴直线 l 1 ： y 1=x +6 ，∵ y 2=kx +1 分别与x 轴交于点B (−2,0)，∴−2k +1=0， ∴k = 12 ，直线 l 2 ： y 2=12x +1（2）解：设 l 1 与 x 轴交于点 E ，令 y 1=−x +6=0 ，得 x =6 ， ∴点 E 坐标为 (6,0) ， BE =8 . 由 {y =−x +6y =12x +1解得 x =103 ， y =83 ，∴点 D 的坐标为 (103,83) ， ∴ S ΔABD =S ΔABE −S ΔBDE =12×8×6−12×8×83=403.（3）解：在 RtΔAOB 中，由勾股定理可得 AB =√22+62=2√10 ，①当 BP =BA 时，满足条件的点 P 有两个，分别为 P 1(−2−2√10,0) ， P 2(−2+2√10,0) ； ②当 AP =AB 时，由等腰三角形的三线合一可得 OP =OB ，于是满足条件的点 P 为 P 3(2,0) ； ③当 AP =AB 时，如图，设 OP =t ，则 AP =BP =t +2 ，在RtΔAOP中，AP2=AO2+OP2，∴(t+2)2=62+t2，解得t=8，∴P4(8,0).综上，满足条件的点P为P1(−2−2√10,0)，P2(−2+2√10,0)，P3(2,0)，P4(8,0).22.【答案】（1）（3，0）；5（2）解：∠BPQ=∠CAP.理由如下：∵点C与点B关于x轴对称，∴AB=AC，∴∠1=∠2，∵∠APQ=∠1，∴∠2=∠APQ，∵∠BPA=∠2+∠3，即∠BPQ+∠APQ=∠2+∠3，∴∠BPQ=∠3；（3）解：当PA=PQ，如图1，则∠PQA=∠PAQ，∵∠PQA=∠1+∠BPQ=∠APQ+∠BPQ=∠BPA，∴BP=BA=5，∴OP=BP﹣OB=1，∴P（0，﹣1）；当AQ=AP，则∠AQP=∠APQ，而∠AQP=∠BPA，所以此情况不存在；当QA=QP，如图2，则∠APQ=∠PAQ，而∠1=∠APQ，∴∠1=∠PAQ，∴PA=PB，设P（0，t），则PB=4﹣t，∴PA=4﹣t，在Rt△OPA中，∵OP2+O A2=PA2，∴t2+32=（4﹣t）2，解得t= 78，∴P（0，78），综上所述，满足条件的P点坐标为（0，﹣1），（0，78）.六、综合题23.【答案】（1）（4，0）（2）解：当点Q与原点O重合时，即OA=6, ∴AP= 12AO=3=3t, ∴t=1，①当0<t≤1时（如图1），∵一次函数与y轴交于B点，令x=0，∴y=4，∴B（0,4），即OB=4由（1）知OA=6，在Rt△AOB中，∴tan∠OAB= OBOA= 46= 23,∵AP=3t，∴OP=OA-PA=6-3t，∴P（6-3t，0），又∵点A关于点P的对称点为点Q，∴AP=PQ=3t，∴OQ=OA-AP-PQ=6-3t-3t=6-6t，∴Q（6-6t，0），∵四边形PQMN是正方形，∴PN=PQ=3t,MN∥AO，在Rt△APD中，∴tan∠PAD= PDPA= PD3t= 23,∴PD=2t，∴DN=PN-PD=3t-2t=t，∵MN∥AO，∴∠PAD=∠DCN，在Rt△DCN中，∴tan∠DCN= DNCN= tCN= 23,∴CN= 32t，∴S=S正方形PQMN-S△CDN，=（PQ）2- 12·DN·CN，=（3t）2- 12·t·32t，= 334t2,②当1<t≤ 43时（如图2），由①可知：DN=t，CN= 32t，OP=6-3t，PN=3t,∴S=S矩形POEN-S△CDN，=PO·PN-12·DN·CN，=（6-3t）×3t- 12·t·32t，=18t- 394t2,③当43<t≤2时（如图3），由①可知：PD=2t，OP=6-3t，OB=4,∴S=S四边形POBD，= 12·（PD+OB）·OP,= 12×（2t+4）×（6-3t），=-3t2+12t，综上所述：S={334t2,0≤t<1−394t2+18t,1≤t≤43−3t2+12,43<t≤2（3）解：解：如图4，由（2）中①可知：P（6-3t，0），Q（6-6t，0），PN=PQ=3t,A（6,0），∴M（6-6t，3t），N（6-3t，3t），∵T是正方形PQMN对角线的交点，∴T（6- 92t，32t）,设直线AT解析式为：y=kx+b，∴{6k+b=0(6−92t)k+b=32t，解得：{k=−13b=2，∴AT解析式为：y=- 13x+2，∴点T是直线y=- 13x+2上一段线段上的点（-3≤x<6），同理可得直线AN解析式为：y=-x+6, ∴点N是直线y=-x+6上一段线段上的点（0≤x≤6），∴G（0,6），∴OG=6,∵OA=6,在Rt△AOG中，∴AG=6 √2,又∵T是正方形PQMN对角线的交点，∴PT=TN，∴OT+PT=OT+TN,∴当O、T、N在同一条直线上，且ON⊥AG时，OT+TN最小,即OT+PT最小, ∵S△AOG= 12·AO·GO= 12·AG·NO,∴NO= AO×GOAG =6√2=3 √2,∴OT+PT=OT+TN=ON=3 √2, 即OT+PT最小值为3 √2.。
初二：一次函数综合题(与几何、方程、不等式综合)
一次函数与方程和不等式
重难点易错点辨析
一次函数与一元一次方程
题一：直线 y=2x+b 与 x 轴的交点坐标是(2，0)，则关于 x 的方程 2x+b=0 的解是( )
A．x=2
B．x= 4
C．x=8
D．x=10
一次函数与一元一次不等式
题二：已知一次函数 y=ax+b 的图象如图所示，则 ax+b＞0 的解集为
金题精讲
题一：如图，一次函数 y 3 x 3 的图像分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B，以线段 AB 为边在第一象限内 4
作等腰 Rt△ABC，∠BAC=90°，则过 B、C 两点直线的解析式为( ) A. y 1 x 3
7 B. y 1 x 3
5 C. y 1 x 3
答案见微信公众号：绿爱生活
题四：某花农要将规格相同的 800 件水仙花运往 A，B，C 三地销售，要求运往 C 地的件数是运往 A 地件
数的 3 倍，各地的运费如下表所示：
A地 B地 C地
运费(元/件) 20
10
15
(1)设运往 A 地的水仙花 x(件)，总运费为 y(元)，试写出 y 与 x 的函数关系式和 x 的取值范围；
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初二一次函数与几何题（附答案）
1、 平面直角坐标系中，点A 的坐标为（4，0），点P 在直线y=-x-m 上，且AP=OP=4，则m
的值是多少？
2、如图，已知点A 的坐标为（1，0），点B 在直线y=-x 上运动，当线段AB 最短时，试求点B 的坐标。
3、如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为（15，6），直线y=1/3x+b 恰好将矩形OABC 分为面积相等的两部分，试求b 的值。
4、如图，在平面直角坐标系中，直线y= 2x —6与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，点C 在
x 轴上，若△ABC 是等腰三角形，试求点C 的坐标。
5、在平面直角坐标系中，已知A （1，4）、B （3，1），P 是坐标轴上一点，（1）当P 的坐标为多少时，AP+BP 取最小值，最小值为多少? 当P 的坐标为多少时，AP-BP 取最大值，最大值为多少？
A B C O x y x
y
A B O
6、如图，已知一次函数图像交正比例函数图像于第二象限的A点，交x轴于点B（-6，0），△AOB的面积为15，且AB=AO，求正比例函数和一次函数的解析式。
7、已知一次函数的图象经过点（2，20），它与两坐标轴所围成的三角形的面积等于1，求这个一次函数的表达式。
8、已经正比例函数Y=k1x的图像与一次函数y=k2x-9的图像相交于点P(3,-6)
求k1,k2的值
如果一次函数y=k2x-9的图象与x轴交于点A 求点A坐标
9、正方形ABCD的边长是4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB在x轴负半轴上，A 点的坐标是（-1，0），
（1）经过点C的直线y=-4x-16与x轴交于点E，求四边形AECD的面积；
（2）若直线L经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线L的解析式。
10、在平面直角坐标系中，一次函数y=Kx+b(b小于0）的图像分别与x轴、y轴和直线x=4交于A、B、C，直线x=4与x轴交于点D，四边形OBCD的面积为10，若A的横坐标为-1/2，求此一次函数的关系式
11、在平面直角坐标系中,一个一次函数的图像过点B(-3,4),与y 轴交于点A ，且OA=OB ：求这个一次函数解析式
12、如图，A 、B 分别是x 轴上位于原点左右两侧的点，点P （2，m ）在第一象限，直线PA 交y 轴于点C （0，2），直线PB 交y 轴于点D ，S AOP =6.
求：（1）△COP 的面积
（2）求点A 的坐标及m 的值；
（3）若S BOP =S DOP ，求直线BD 的解析式
13、一次函数y=-3
3x+1的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以AB 为边在第一象限内做等边△ABC
（1）求△ABC 的面积和点C 的坐标；
（2）如果在第二象限内有一点P （a ，2
1），试用含a 的代数式表示四边形ABPO 的面积。
（3）在x 轴上是否存在点M ，使△MAB 为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。
14、已知正比例函数y=k 1x 和一次函数y=k 2x+b 的图像如图，它们的交点A （-3,4），且OB=5
3OA 。
（1）求正比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB 的面积和周长；
（3）在平面直角坐标系中是否存在点P ，使P 、O 、A 、B 成为直角梯形的四个顶点？若存在，请直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。
15、如图，已知一次函数y=x+2的图像与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，
（1）求∠CAO 的度数；
（2）若将直线y=x+2沿x 轴向左平移两个单位，试求出平移后的直线的解析式；
（3）若正比例函数y=kx (k ≠0)的图像与y=x+2得图像交于点B ，且∠ABO=30°，求：AB 的长及点B 的坐标 。
答案
3、点到线的最短距离是点向该线做垂线因为直线与x夹角45度所以ABO为等腰直角三角形AB=BO=2分之根号2倍的AO AO=1 BO=2分之根号2
在B分别向xy做垂线垂线与轴交点就是B的坐标
由于做完还是等腰直角三角形所以议案用上面的共识可知B点坐标是（0.5，-0.5）
7、一次函数的解析式为y=8x+4或y=(25/2)x-5.设一次函数为y=kx+b,则它与两坐标轴的交点是（-ｂ/ｋ，0）（0，ｂ），所以有20=2x+b,|-b/k×b|×1/2=1,解之得k1=8,b1=4;k2=25/2,b2=-5.所以,一次函数的解析式为y=8x+4或y=(25/2)x-5
8、因为正比例函数和一次函数都经过（3，-6）
所以这点在两函数图像上
所以，当x=3 y=-6 分别代入得
k1= -2 k2=1
若一次函数图像与x轴交于点A 说明A的纵坐标为0
把y=0代入到y=x-9中得x=9
所以A（9，0）
例4、A的横坐标=-1/2，纵坐标=0
0=-k/2+b,k=2b
C点横坐标=4，纵坐标y=4k+b=9b
B点横坐标=0，纵坐标y=b
Sobcd=(\9b\+\b\)*4/2=10
10\b\=5
\b\=1/2
b=1/2,k=2b=1 y=x+1/2
b=-1/2,k=-1 y=-x-1/2
\b\表示b的绝对值
11、解：设这个一次函数解析式为y=kx+b
∵y=kx+b经过点B（－3，4）,与y轴交与点A,且OA=OB
∴{－3k+b=4
{3k+b=0
∴{k=－2/3
{b=2
∴这个函数解析式为y=－2/3x+2
解2根据勾股定理求出OA=OB=5,
所以，分为两种情况：
当A(0,5)时，将B(-3,4)代入y=kx+b中,y=x/3+5,
当A(0,-5),将B(-3,4)代入y=kx+b中y=3x+5,
12、做辅助线PF，垂直y轴于点F。
做辅助线PE垂直x轴于点E。
（1）求S三角形COP
解：S三角形COP = 1/2 * OC * PF = 1/2 * 2 * 2 = 2
（2）求点A的坐标及P的值
解：可证明三角形CFP全等于三角形COA，于是有
PF/OA = FC/OC.代入PF=2和OC=2，于是有FC * OA = 4.（1式）
又因为S三角形AOP=6，根据三角形面积公式有S = 1/2 * AO * PE = 6，于是得到AO * PE = 12.（2式）
其中PE = OC + FC = 2 + FC，所以（2）式等于AO * (2 + FC) = 12.（3式）
通过（1）式和（3）式组成的方程组就解，可以得到AO = 4，FC = 1.
p = FC + OC = 1 + 2 = 3.
所以得到A点的坐标为（-4，0），P点坐标为（2，3), p值为3.
（3）若S三角形BOP=S三角形DOP，求直线BD的解析式
解：因为S三角形BOP=S三角形DOP，就有（1/2)*OB*PE = (1/2)*PF*OD,即
(1/2)*(OE+BE)*PE = (1/2)*PF*(OF+FD),将上面求得的值代入有
(1/2)*(2+BE)*3 = (1/2)*2*(3+FD)即3BE = 2FD。
又因为：FD：DO = PF：OB 即FD:(3+FD) = 2:(2+BE),可知BE=2.B坐标为（4，0）
将BE=2代入上式3BE=2FD，可得FD = 3. D坐标为（0，6）
因此可以得到直线BD的解析式为：
y = (-3/2)x + 6。