(江西版)高考数学总复习 第七章7.3 空间图形的基本关系与公理 理 北师大版(含详解)

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第七章7.3 空间图形的
基本关系与公理练习
一、选择题
1．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平
面记作γ，则γ与β的交线必通过( )．

A．点A B．点B
C．点C但不过点M D．点C和点M
2．如下图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，AA1＝
2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )．

A．15 B．25 C．35 D．45
3．平面α∥平面β，直线a⊂α，给出下列四个命题：
①a与β内的所有直线平行；
②a与β内的无数条直线平行；
③a只与β内的一条直线平行；
④a与β无公共点．
其中正确的命题有( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )．
A．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β
B．若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线
C．若α∩β＝m，n∥m，且nα，nβ，则n∥α且n∥β
D．若α⊥β，m∥n，n⊥β，则m∥α
5．已知直线l，m，平面α，β，则下列命题中假命题是( )．
A．若α∥β，l⊂α，则l∥β
B．若α∥β，l⊥α，则l⊥β
C．若l∥α，m⊂α，则l∥m
D．若α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β

6．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝12，则
下列结论中错误的是( )．
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A－BEF的体积为定值
D．△AEF的面积与△BEF的面积相等
二、填空题
7．如图，G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面
直线的图形有__________．

8．关于直线m，n和平面α，β，有以下四个命题：
①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；
②若m∥n，m⊂α，n⊥β，则α⊥β；
③若α∩β＝m，m∥n，则n∥α且n∥β；
④若m⊥n，α∩β＝m，则n⊥α或n⊥β.
其中假命题的序号是__________．
9．在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝BC，则直线PC与AB所成角的
大小是________．
三、解答题
10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为CC1，AA1的中点，画出平面
BED1F
与平面ABCD的交线．

11．如图，在几何体P－ABCD中，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝PA＝2.
(1)当AD＝2时，求证：平面PBD⊥平面PAC；
(2)若PC与AD所成的角为45°，求几何体P－ABCD的体积．
12．如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．
(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；
(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．
参考答案
一、选择题
1．D 解析：∵AB⊂γ，M∈AB，
∴M∈γ.
又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.
根据公理3可知，M在γ与β的交线上．
同理可知，点C也在γ与β的交线上．
2．D 解析：连接D1C，AC，易证A1B∥D1C，
∴∠AD1C即为异面直线A1B与AD1所成的角．

设AB＝1，则AA1＝2，AD1＝D1C＝5，AC＝2，
∴cos ∠AD1C＝5＋5－22×5×5＝45.
3．B 解析：①③错误，②④正确．
4．C 解析：∵n∥m，m⊂α，n⊄α，
∴n∥α；同理可知n∥β.故C正确．
5．C 解析：若l∥α，m⊂α，则l∥m或l与m异面，故C是假命题．
6．D 解析：由AC⊥平面DBB1D1，可知AC⊥BE，故A正确．
由EF∥BD，EF⊄平面ABCD，知EF∥平面ABCD，故B正确．

A到平面BEF的距离即A到平面DBB1D
1
的距离为22，

且S△BEF＝12BB1×EF＝定值，
故VA－BEF为定值，即C正确．
二、填空题
7．②④ 解析：①③中，GM∥HN，所以G，M，N，H四点共面，从而GH与MN共面；
②④中，根据异面直线的判定定理，易知GH与MN异面．
8．①③④ 解析：①中的m，n可以平行、相交或异面，是假命题；②是真命题；③中
n
可以在α或β内，假命题；④中n可以不与α，β垂直，假命题．
9．60° 解析：分别取PA，AC，CB的中点F，D，E，连接FD，DE，EF，AE，则∠FDE是
直线PC与AB所成角或其补角．
设PA＝AC＝BC＝2a，在△FDE中，易求得FD＝2a，DE＝2a，FE＝6a，
根据余弦定理，得cos∠FDE＝2a2＋2a2－6a22×2a×2a＝－12，
所以∠FDE＝120°.
所以PC与AB所成角的大小是60°.
三、解答题
10．解：在平面AA1D1D内，延长D1F，
∵D1F与DA不平行，
∴D1F与DA必相交于一点，设为P，
则P∈FD1，P∈DA.
又∵FD1⊂平面BED1F，AD⊂平面ABCD，
∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD.
又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，连接PB，
∴PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线．
如图所示．

11．(1)证明：当AD＝2时，四边形ABCD是正方形，则BD⊥AC.
∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴PA⊥BD.
又∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.
∵BD⊂平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC.
(2)解：PC与AD成45°角，AD∥BC，则∠PCB＝45°.
∵BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAB，PB⊂平面PAB.
∴BC⊥PB.
∴∠CPB＝90°－45°＝45°.
∴BC＝PB＝22.
∴几何体P－ABCD的体积为
13×(2×22)×2＝82
3
.

12．(1)解：取CD的中点G，连接MG，NG.因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以
MG⊥CD，MG＝2，NG
＝2.
因为平面ABCD⊥平面DCEF，
所以MG⊥平面DCEF.可得MG⊥NG.
所以MN＝MG2＋NG2＝6.
(2)证明：假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN.
由已知，两正方形不共面，故AB⊄平面DCEF.
又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF，而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB∥EN.
又AB∥CD∥EF，
所以EN∥EF，这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立．
所以ME与BN不共面，它们是异面直线．