二次函数课件1
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二次函数_课件_第1课时
y a( x x1)( x x2 )
x1、x2 是抛物线与x轴交点的横坐标
初中数学
例1：将二次函数 y x2 2x 3 的图象向左
向下
3个单位后得到的函数表达式 为
表达式 a
顶点
平移前
平移后
y ( x 1)2 4 y ( x 1)2 1
a=-1
a=-1
（1,4）
（-1,1）
点(-1,y1),(2,y2),试比较y1和y2的大小:y1 > y2.
数形结合
初中数学
课堂小结
1. 梳理一下二次函数图象和性质有哪些？ 2. 体会数形结合思想在解决二次函数问题中的重要性.
初中数学
• 完成课后作业中的题目
作业
初中数学
谢谢
配方 法
b 4ac b2 ( 2a , 4a )
顶点式 y a( x h)2 k
(h, k)
函数最值
初中数学
4.二次函数的增减性 由开口方向和对称轴决定 当a>0时，左减右增 当a<0时，左增右减
初中数学
一般式
顶点式
交点式 （存在的情况下）
y ax2 bx c
y a(x h)2 k
2个单位， .
初中数学
练习：二次函数 y x2 2x 3 关于
y=3
函数表达式为
.
对称前
表达式 y ( x 1)2 4
a 顶点
a=-1 （1,4）
对称后
y = (x-1)2+2
a=1 （1,2）
的
数形结合
初中数学
（1）先将表达式化为顶点式 y a( x h)2 k 2 确定图象变换后的a和顶点坐标（h,k） 3 按顶点式写出变换后的函数表达式
x1、x2 是抛物线与x轴交点的横坐标
初中数学
例1：将二次函数 y x2 2x 3 的图象向左
向下
3个单位后得到的函数表达式 为
表达式 a
顶点
平移前
平移后
y ( x 1)2 4 y ( x 1)2 1
a=-1
a=-1
（1,4）
（-1,1）
点(-1,y1),(2,y2),试比较y1和y2的大小:y1 > y2.
数形结合
初中数学
课堂小结
1. 梳理一下二次函数图象和性质有哪些？ 2. 体会数形结合思想在解决二次函数问题中的重要性.
初中数学
• 完成课后作业中的题目
作业
初中数学
谢谢
配方 法
b 4ac b2 ( 2a , 4a )
顶点式 y a( x h)2 k
(h, k)
函数最值
初中数学
4.二次函数的增减性 由开口方向和对称轴决定 当a>0时，左减右增 当a<0时，左增右减
初中数学
一般式
顶点式
交点式 （存在的情况下）
y ax2 bx c
y a(x h)2 k
2个单位， .
初中数学
练习：二次函数 y x2 2x 3 关于
y=3
函数表达式为
.
对称前
表达式 y ( x 1)2 4
a 顶点
a=-1 （1,4）
对称后
y = (x-1)2+2
a=1 （1,2）
的
数形结合
初中数学
（1）先将表达式化为顶点式 y a( x h)2 k 2 确定图象变换后的a和顶点坐标（h,k） 3 按顶点式写出变换后的函数表达式
【中考一轮复习】二次函数的图象与性质课件(1)
当堂训练---二次函数的图象的变换
1.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=0.5x2经过平移得到抛物
线y=0.5x2-2x,其对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面
积为( B )
A.2
B.4
C.8
D.16
2.将抛物线y=0.5x2-6x+21向左平移2个
单位后,得到抛物线的解析式为( D )
A.y=0.5(x-8)2+5 B.y=0.5(x-4)2+5
人教版中考数学第一轮总复习
第三单元 函数及其图象
•§3.6 二次函数图象与性质(2)
目录
01 二次函数的图象的变换
02 二次函数与一元二次方程
03 二次函数图象的最值问题
考点聚焦---二次函数的图象的变换
二次函数图 平 移 ①先求出原抛物线的顶点；
象的平移
规
律
②后求出变换后的抛物线的顶点； ③写出变换的抛物线的解析式。
【例1】将抛物线y=x2+2x-3,化成顶点式为_y_=_(_x_+_1_)_2_-_4__; (1)该抛物线是由y=x2_向__左__1_个__单__位__,_再__向__下__4_个___单__位__平移得到的；
(2)写出该抛物线关于x轴,y轴,原点和(1,1)对称的抛物线解析式: 关于 x 轴对称：_y_=_-_x_2_-_2_x_+_3___；_y_=_-_(_x_+_1_)_2_+_4___。 关于 y 轴对称：_y_=__x_2_-_2_x_-_3___；_y_=__(_x_-_1_)_2_-_4___。 关于 x=2 对称：_y_=_x_2_-_1_0_x_+_2_1__；_y_=_(_x_-_5_)_2_-_4____。 关于原 点对称：_y_=_-_x_2_+_2_x_+_3___；_y_=_-_(_x_-_1_)_2_+_4___。 关于(1,1)对称：_y_=_-_x_2_+_6_x_-_9___；_y_=_-_(_x_-_3_)_2_+_6___。
九年级数学人教版(上册)22.1.1二次函数教学课件
人教版《义务教育教科书》
22.1.1二次函数
什么叫函数?
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某 个范围内取一个确定的值，另一个变量y总有唯一 的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关 系。（刻画变化规律的数学工具）
对于上述两个变量， x叫自变量， 我们把y叫x 的函数。（运动变化与联系对应的思想）
提炼方法 明确路径
一次函数研究路径：
认识函数
图像与性质
与方程、不等式的联系
数学思想：归纳思想、建模思想、 解决实际问题 数形结合思想
请用适当的函数解析式表示下列问题情境中 的两个变量 y 与 x 之间的关系：
(1)正方体的表面积 为y 与棱长为x y =6x2
(2)n个球队参加比赛，每两队之间进行一场 比赛。比赛的场次数m与球队n之间有什么
解（1）由题意得
y x2 (x 0) 4
其中y是x的二次函数
（2 ）由题意得 S 1 x(26 x) 1 x2 13x(0 x 26)
其中S是x的二次函数 2
2
例2: 关于x的函数 y (m 得 m2 m 2 m1 0
解得，m 2 当m 2时，函数为二次函数。
当a,b,c满足 什么 条件时
（1）它是二次函数 （2）它是一次函数
（1）a 0 (2)a 0,b 0
（3）它是正比例函数 (3)a 0,b 0,c 0
分类讨论思想
3、m取何值时，函数是 y= (m+1)xm2 2m 1
+(m-3)x+m 是二次函数？ 4、若函数 y (m2 1)xm2m 为二次函数，
上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的 特征?
经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式. (a,b,c是常数, a≠0 )
22.1.1二次函数
什么叫函数?
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某 个范围内取一个确定的值，另一个变量y总有唯一 的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关 系。（刻画变化规律的数学工具）
对于上述两个变量， x叫自变量， 我们把y叫x 的函数。（运动变化与联系对应的思想）
提炼方法 明确路径
一次函数研究路径：
认识函数
图像与性质
与方程、不等式的联系
数学思想：归纳思想、建模思想、 解决实际问题 数形结合思想
请用适当的函数解析式表示下列问题情境中 的两个变量 y 与 x 之间的关系：
(1)正方体的表面积 为y 与棱长为x y =6x2
(2)n个球队参加比赛，每两队之间进行一场 比赛。比赛的场次数m与球队n之间有什么
解（1）由题意得
y x2 (x 0) 4
其中y是x的二次函数
（2 ）由题意得 S 1 x(26 x) 1 x2 13x(0 x 26)
其中S是x的二次函数 2
2
例2: 关于x的函数 y (m 得 m2 m 2 m1 0
解得，m 2 当m 2时，函数为二次函数。
当a,b,c满足 什么 条件时
（1）它是二次函数 （2）它是一次函数
（1）a 0 (2)a 0,b 0
（3）它是正比例函数 (3)a 0,b 0,c 0
分类讨论思想
3、m取何值时，函数是 y= (m+1)xm2 2m 1
+(m-3)x+m 是二次函数？ 4、若函数 y (m2 1)xm2m 为二次函数，
上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的 特征?
经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式. (a,b,c是常数, a≠0 )
(课件1)20.1二次函数
一切实数
x≠0
一切实数 一切实数
y= kx+b（k≠0）
二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0)
例.已知:如图,一个边长为8cm的正方形, 把它的边长延长pcm后得到一个新的正方 形,那么,周长增大的部分C(cm)和面积增 大的部分Q(cm2)分别是p(cm)的函数.求出 这两个函数的解析式,并判断它们的类型, 如果是二次函数,写出解析式中a、b、c的 值.如何讲呢 p 8 1.本题等式左边的变量C表
示增大的周长； 2.右边是用变量P表示增大 周长的代数式。 3.联立等式左边和右边即 为关系式
例. 用20米的篱笆围一个矩形的花圃 （如图），设连墙的一边为x,矩形的面 积为y,求：(1)写出y关于x的函数关系式. 并写出自变量的取值范围。(2)当x=3时, 矩形的面积为多少?
解：) y x(20 2 x) (1
喷泉(1)
喷泉（2）
焰火
做一做:
(1)列出下列函数的解析式;
(2)观察所列出的解析式,它们有什么共 同的特点?这些解析式可以用怎样的
式子来概括?
(1)圆的面积A是它半径r的函数; (2)如图,利用成直角的墙角,用20m长的栅栏围 成一个矩形的小花园,花园面积S(m2)是它一边 长a(m)的函数; a S (3)正方形中圆的半径是4cm,阴影 面积Q(cm2)是正方形的边长x(cm)的函数; (4)某种药品现价每盒26元,计划两年内每年的 降价率为p,那么,两年后这种药品每盒的价格 M(元)是年降价率p的函数.
（2）当圆的半径分别增加1cm,
2cm ,
2cm时,圆的面积增加多少？
小结
拓展
定义中应该注意的几个问题:
1.定义：一般地,形如y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数. y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式: (1)y=ax² (a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax² +c(a≠0,b=0,c≠0). (3)y=ax² +bx(a≠0,b≠0,c=0). 2.定义的实质是：ax² +bx+c是整式,自变量x的最高 次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.
二次函数复习(1) 课件
上的最 高 点.
3.抛物线
y 2( x 3) 4
2
可看做是抛物线
y 2x ,
2
先向 右 平移 3 个单位,再向 上 平移 4 个单位得到
4.二次函数 条 抛物线 是
y ax bx c(a 0)
2
的图象是一 ,顶点坐标
b 4ac b ( , ) 2a 4a
b 直线x ,它的对称轴是 2a 2
2
2.二次函数 的图象如图,试根据图 象所给的信息,确定a,b,c的正负性，并说明理由． y y
y ax2 bx c
Ｏ
3.函数
2
x
-1 Ｏ
1
P
x
y x ax b
的图象如图所示.
(1)求a,b的值；（２）求图象与x轴的另一个交点p.
例2.已知抛物线
(3)说出该函数的对称轴,顶点坐标,最值情况.
例3.已知二次函数
y x 2kx k k 2
2 2
(1)当k为何值时，函数图象经过原点？ (2)当k在什么范围取值时，图象的顶点在第四象限？
1.将二次函数 y x 2 x 3 的图象向左平移1个单位, 再向下平移2个单位,求平移后抛物线解析式.
x 4x 的对称轴是(
2
2
A )
A.直线x=2
B.直线x=-2 C.直线4
D.直线x=-4
5.函数 y x px q 的图象是以(3,2)为顶点的抛物 线,则这个函数的关系式是( Ｃ ）
A. y x 6 x 11 C. y x 2 6 x 11
2
B. y x 2 6 x 11 2 D. y x 6 x 7
公开课《22.3实际问题与二次函数(1)》ppt课件
y 4ac b2 ． 4a
2．列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际
意义，确定自变量的取值范围.
3．在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大
值或最小值.
公开课《22.3实际问题与二次函数（1）》ppt课件
5．运用新知，拓展训练
为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙
（墙长 32 m）的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿
1、求下列二次函数的最大值或最小值：
⑴ y=－x2＋2x－3;
⑵ y=－x2＋4x
最大值是 - 2
最大值是4
y
2、图中所示的二次函数图像的解析式
为：y 2x2 8x 13
⑴若－3≤x≤3， 该函数的最小值为
（ 5 ）。
⑵又若0≤x≤3，该函数的最小值为
（ 13）。
求函数的最值问题，应注意什么?
6
4
2
0
x
-4 -2
2
2．结合问题，拓展一般
从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位： m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是
h= 30t - 5t2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小
球最高？小球运动中的最大高度是多少？
t
b 2a
2
30 （
5）
3，
h
4ac b2 4a
4 （3025）
45．
小球运动的时间是 3 s 时，小球最高． 小球运动中的最大高度是 45 m．
3．类比引入，探究问题
用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化．当 l 是多少米时，场地 的面积 S 最大？
解： S （60 l）l ， 2
二次函数的课件1
5
5
y = 2(x-2)2+8x 2 0 8
当堂训练
1．下列函数中,哪些是二次函数?
(1)y=3x-1，
(2)y=3x2+2;
(3)y=3x3+2x2 ;
(4)y=2x2-2x+1;
(5)y=x2-x(1+x);
(6)y=x2+x.
2.分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项
系数和常数项：
（1） y x 2 1
22.1.1二次函数（1）
学习目标
1.能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关 系式，并求出函数的自变量的取值范围
2.理解二次函数的定义
观察下列函数：
(1)y = 2x+1 (2)y = -x-4
(3)y = 5x-4 (4)y = 5x2 (5)y = -4x (6)y = ax+1
驶向胜利的 彼岸
数，求m的值。
解：因为该函数为二次函数，
则 m 2 3m 2 2(1) m 1 0(2)
解（1）得：m=4或-1
解（2）得： m 1
所以m=4
驶向胜利的 彼岸
你认为今天这节课最需要 掌握的是 ________________ 。
作业
祝你成功！
• 数学课本第41页习题22.1 第 1、2.题
其中，一次函数有_____,那么一次函数的一般 形式是_____
自学指导
• 阅读课本P1-3内容，完成下列问题.
• 1.章前引言中正方体表面积问题.
• 2.课本第2页问题1.
• 3.课本第3页问题2.
• 4. 观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式 有什么特点?
• 经过化简后都具有
【课件一】2.4.1二次函数的应用上课课件
N
何时窗户通过的光线最多
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下 半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线 的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最 多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少? 15 7 x x x x 解 : 1. 由4 y 7 x x 15. 得, y . 4 2 2 x 15 7 x x x
30cm
12 设AB bcm, 易得b x 24. 12 2 12 25 12 2 2. y xb x x 24 x 24 x x 25 300. 25 25 25 2 b 4ac b 或用公式 : 当x 25时, y最大值 300. 2a 4a
4.做数学求解; 5.检验结果的合理性,拓展等.
N
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD， 其中AB和AD分别在两直角边上. M (1).如果设矩形的一边AD=xcm,那 C 么AB边的长度如何表示？ D (2).设矩形的面积为ym2,当x取何 ┐bcm 值时,y的最大值是多少?
xcm
30cm
4 A B 40cm 解 : 1.设AB bcm, 易得b x 40. 3 4 2 4 4 2. y xb x x 40 x 40 x x 152 300. 3 3 3 b 4ac b 2 或用公式 : 当x 15时, y最大值 300. 2a 4a
N
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD， 其中点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上. M (1).设矩形的一边BC=xcm,那么 C H AB边的长度如何表示？ B (2).设矩形的面积为ym2,当x取何 D G 值时,y的最大值是多少? P┐ A 解 : 1.由勾股定理得MN 50cm, PH 24cm. 40cm
第1章 二次函数 浙教版九年级数学上册复习课件(共17张PPT)
（1）已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示， 图象经过（1，0），从中你能得到哪些结论？
（2）m满足什么条件时方程ax2+bx+c=m，①有两个不 相等的实数根？②有两个相等的实数根？③没有实 数根？
y
4
-1
o
1
x
图1
• 若把图1的函数图象绕着顶点旋转180度，则能得
到函数的表达式是
4ac 4a
b2
直线x b 2a
向上
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b 2a
向下
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的 增大而减小 在对称轴的右侧, y随着x的 增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的 增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的 增大而减小.
最值
得到y=2 x2 －4x－1则a＝ ，b＝ ，c＝
.
3与.如分图别，经两过条点抛（物-2线,0）y,1（2,012）x且2 平1行、于y2y轴的12两x 2条1
平行线围成的阴影部分的面积为（ ） Ａ．8 Ｂ．6 Ｃ．10 Ｄ．4
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方 程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
1、二次函数的定义
如果函数 y k 1 xk2k2 kx 1 是关于x的二次函
数，则k＝
?
一般地， 如果y=ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a≠0)， 那么，y叫做x的二次函数。
2、二次函数的图像和性质(画两幅图)
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向
1.2二次函数的图象与性质(第1课时)课件(共13张ppt)
图象的开口向 上 ； 图象是轴对称图形，对称轴是_y轴____x_=_0 对称轴与图象的交点是 O(0，0) ；
图象在对称轴左边的部分，函数值随
自变量取值的增大而 减小 ，
简称为“左降”；
图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取
值的增大而 增大 ， 简称为“右升”； 当x= 0 时，函数值最 小 .
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
当x= 0 时，函数值最 小 .
类似地，当a＞0时，y=ax2的图象也具 有上述性质.
于是我们在画y=ax2(a＞0)的图象时，可以先画出图象在y轴 右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分.
在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤 就可以了(因为我们知道了图象的性质).
例1 画二次函数y=x2的图象. 列表： x 0 0.5 1 1.5 2 3
，简称为“右升”.
观察
我们已经正确地画出了y =
现在可以从图象看出
y
=
1 2
x
2
的12 x其2 的他图一象些，性因质此(除，
了上面已经知道的关于y轴对称和“右升”外)：
对称轴与图象的交点是 O(0，0) ；图象的开口向 上 ；
图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的
增大而 减小 ， 简称为“左降”；
解：（1）把A（2，8）代人y=ax2 ∴ a=2 ∴ y=2x2
（2） 当x=1时，y=2 ≠ 4 ∴ B(1，4)不在y=2x2的图像上。
（3） 当y=18时，即2x2=18，x=3或x=-3 ∴ 纵坐标是18的点是：（3,18）和（-3,18）
对于y=ax2（当a＞0时）的图象也具有上述性质.
图象在对称轴左边的部分，函数值随
自变量取值的增大而 减小 ，
简称为“左降”；
图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取
值的增大而 增大 ， 简称为“右升”； 当x= 0 时，函数值最 小 .
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
当x= 0 时，函数值最 小 .
类似地，当a＞0时，y=ax2的图象也具 有上述性质.
于是我们在画y=ax2(a＞0)的图象时，可以先画出图象在y轴 右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分.
在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤 就可以了(因为我们知道了图象的性质).
例1 画二次函数y=x2的图象. 列表： x 0 0.5 1 1.5 2 3
，简称为“右升”.
观察
我们已经正确地画出了y =
现在可以从图象看出
y
=
1 2
x
2
的12 x其2 的他图一象些，性因质此(除，
了上面已经知道的关于y轴对称和“右升”外)：
对称轴与图象的交点是 O(0，0) ；图象的开口向 上 ；
图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的
增大而 减小 ， 简称为“左降”；
解：（1）把A（2，8）代人y=ax2 ∴ a=2 ∴ y=2x2
（2） 当x=1时，y=2 ≠ 4 ∴ B(1，4)不在y=2x2的图像上。
（3） 当y=18时，即2x2=18，x=3或x=-3 ∴ 纵坐标是18的点是：（3,18）和（-3,18）
对于y=ax2（当a＞0时）的图象也具有上述性质.