2012年湘潭大学高等代数考研真题
【华侨大学2012年考研专业课真题】高等代数2012
设行列式 D =
−2 3 1 3 2 −4 −1 −3
， D 的第 i 行第 j 列元素的余子式和代数余子式分别
记为 M ij 和 Aij ．求 (1) A11 + A12 + 5 A14 ；(2) M 11 + M 12 + M 13 + M 14 ． 三、 （本题满分 20 分）
⎛ 0 −1 1 ⎞ 设矩阵 A = ⎜ −1 0 1 ⎟ ，求正交矩阵 P 和对角矩阵 B ，使得 P −1 AP = B ． ⎜ ⎟ ⎜ 1 1 0⎟ ⎝ ⎠
（3）存在正整数 m ，使得 V = Im σ ⊕ ker σ ．
m m
； ；
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华侨大学 2012 年硕士研究生入学考试专业课试卷
（答案必须写在答题纸上）
招生专业 科目名称
基 础 数 学 高等代数(A)
科目代码
825
一、 （本题满分 15 分） 设多项式 f ( x) = x 4 + 2 x3 − x 2 − 4 x − 2 ， g ( x) = x 4 + x3 − x 2 − 2 x − 2 ．求 f ( x) 与 g ( x) 的 最大公因式 ( f ( x), g ( x)) ． 二、 （本题满分 15 分） 3 1 −5 1 2 0 1 5
招生专业 科目名称
基 础 数 学 高等代数(A)
科目代码
Байду номын сангаас825
六、 （本题满分 20 分） 设W 是
n
的一个非零子空间，而对于 W 的每一个向量 (a1 , a2 ,
, an )T 来说，或者
a1 = a2 =
= an = 0 ，或者每一个 ai 都不等于零．证明： dim W = 1 ．
2012年青岛科技大学860高等代数考研试题
λ −1 0 0
求
3
0
−1 λ+2
的不变因子。
二（20 分） 设 A 是数域 P 上 n × m 矩阵, B 是数域 P 上 m × s 矩阵，试证：
r( AB) ≤ min[r( A), r(B)].
三（20 分）
A , B 分别是 n × m 和 m × n 矩阵,若 λ ≠ 0 ，证明：
当块。证明
1) V 中包含ε1 的 A 不变子空间只有V 自身； 2) V 中任一非零 A 不变子空间都包含εn ； 3) V 不能分解成两个非平凡的 A 不变子空间的直和。
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| λEn − AB |= λn−m | λEm − BA | .
四（20 分）
证明：秩等于 r 的对称矩阵可以表成 r 个秩等于 1 的对称矩阵之和.
五（20 分）
设 f1(x) = af (x) + bg(x), g1(x) = cf (x) + dg(x) ，且 ad − bc ≠ 0 ，证明：
六（20 分）
( f (x), g(x)) = ( f1(x), g1(x)) .
假设向量 β 可以由向量组α1,α2,L,αr 线性表出，证明：表示法是唯一的充分必要条件是
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α1,α2,L,αr 线性无关.
七（30 分）
设V 是复数域上的 n 维线性空间，而线性变换 A 在基 ε1 ,ε2 ,L,εn 下的矩阵是一若尔
青岛科技大学
二○一二年硕士研究生入学考试试题
考试科目：高等代数
注意事项：1．本试卷共 七 道大题，满分 150 分； 2．本卷属试题卷，答题另有答题卷，答案一律写在答题卷上，写在该试题卷 上或草纸上均无效。要注意试卷清洁，不要在试卷上涂划； 3．必须用蓝、黑钢笔或签字笔答题，其它均无效。
广西民族大学2012年812高等代数考研真题
广 西 民 族 大 学2012年812高等代数考研真题一、（20分）设,A B 分别是n m ⨯和m n ⨯矩阵，k I 是k 阶单位矩阵.（1）证明：||||;n m I AB I BA -=-（2）计算行列式：1112121222121111.11n n n n n n n a b a b a b a b a b a b D a b a b a b ++++=++二、（15分）设n 为正整数，12(),(),,()n f x f x f x 都是多项式，并且 11111121()()(),n n n n n n n x x x f x xf x x f x -++-++++++++ 证明：12(1)()()().n n x f x f x f x -三、（20分）设A 是3阶对称矩阵，且A 的各行元素之和都是3，向量(0,1,1),(1,2,1)T T αβ=-=--是方程0Ax =的解。
（1）求矩阵A 的特征值和特征向量；（2）求正交矩阵Q 和矩阵B ，使得.TQ BQ A = 四、（20分）已知线性空间2(K)M 的线性变换()T T X B X X B ψ=-，2(K),X M ∀∈ 其中1101B ⎛⎫= ⎪⎝⎭与线性子空间1112112221220,K ij x x W x x x x x ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=+=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭（1）求W 的一个基；（2）证明W 是ψ的不变子空间； （3）将ψ看成W 上的线性变换，求W 在(1)的基下的矩阵．五、（15分）已知123,,ααα是3个四维欧氏空间4R 中线性无关的向量，412,ββ∈R 且与123,,ααα均正交，证明：12,ββ线性相关．六、（20分）设,A B 是两个n 阶方阵，且满足矩阵方程：AX XB =，若,A B 没有相同的特征值，证明该方程只有零解．七、（20分）设σ是数域P 上的n 维向量空间V 的一个线性变换，2σσ=，证明：（1）1(0){()|};V σασαα-=-∈（2）1(0)()V V σσ-=⊕;（3）如果τ是V 的线性变换，1(0)()V σσ-,都是τ的不变子空间，则有.σττσ=八、（20分）设n 维线性空间V 上的线性变换Α的最小多项式与特征多项式相同，求证V α∃∈，使得21,,,,n αααα-A A A 是V 的一个基．。
考研数学二解析2012
2012年数学(二)真题解析一、选择题(1) 【答案】(C).【解】由limy=1,得》=1为曲线夕=务匚半的水平渐近线；oo X—12由limy=°°9得乂=1为曲线丿=的铅直渐近线；工-*1x一12|12由lim岂--—=lim―^―-=万，得z=—1不是曲线y=—----吕的铅直渐近线，1—1乞一1工一12x且曲线没有斜渐近线，故曲线y=务匸寸有两条渐近线，应选(C).x一1方法点评：渐近线是频繁考点，曲线的渐近线共有三种，即水平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线.若lim/()—A,称;y=A为曲线y=f(.x)的水平渐近线；X-*°°若)=oo,称工=q为曲线》=/(%)的铅直渐近线；若lim=a(H0900)9)—ax~\—b称为曲线y=f｛x)的斜渐近线.(2)【答案】(A).［解］方法一由/''(■Z)=e"(e"—2)…(e“一/?)+2(e T一l)e2r(e3j一3)…(e'"―”)十…+n(e x—1)(孑一2)…(e("T“-n+l)e",得厂(0)=(―I)""—1)!,应选(A).方法二由导数的定义得/z(0)=lim)--八°)=lim--------(e2j—2)…(e"*—n)=(—1)"1(n—1)!, x->0X LO x应选(A).(3)【答案】(B).【解】由a”>05=1,2,…)得数列｛S”｝单调增加，若数列｛S”｝有上界，由极限存在准则得limS”存在.8令limS”=S，则lima”=limS…—=S—S=0,于是｛a”｝收敛；fl——►OO fl——►OO JJ—>OO fl—►oo反之，若｛a”｝收敛，则｛S n｝不一定有上界，如取a”=2,lima”=2,但limS…=+00,即fl——►-OO fj——►-OO ｛S”｝没有上界，故｛S”｝有上界是｛a”｝收敛的充分非必要条件，应选(B).(4)【答案】(D).f2x2【解】由I2—h=sin z d_z V0,得八>/?；J TC「3兀2由13—12=\e"sin x dx〉0,得12<113；J2n而3k 2X 一 7te r sin jc djr ” —2n‘3兀 2e r sin x dr =n*f2x2= e G+x) sin(z + 7t)d^'2tt 2e° sin jc djr +■3k 2e" sin x dx 92x'2tt?(工+兀)•」e sin x dj? 913 — 11 =由【3 一【1"[e ，—e«4]sin_zdz > 0 得八 V 人，于是 I 2<h< 4,应选(D).（5）【答案】（D ）.【解】呻〉。
考研线代2012真题
2012考研线性代数真题1. 设12341234123400110,1,1,1,,,,c c c c c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭均为任意常数, 则下列数列组相关的是( )(A) 123,,ααα (B) 124,,ααα (C) 134,,ααα (D) 234,,ααα2. 设A 为3阶矩阵, P 为3阶可逆矩阵, 且1100010002P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 若()123,,P ααα=,()1223,,Q αααα=+, 则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B) 100010002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭(C)200010002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(D) 100010002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3. 下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是( )(A) 1101⎛⎫⎪⎝⎭(B) 1102⎛⎫ ⎪⎝⎭(C) 1112⎛⎫ ⎪⎝⎭(D) 1212⎛⎫ ⎪⎝⎭4. 设X 为3维单位向量, E 为3阶单位矩阵, 则矩阵T E XX -的秩为________.5. 设A 为3阶矩阵, 3A =, *A 为A 的伴随矩阵. 若交换A 的第1行与第2行得矩阵B , 则*BA 为________.6. 设1112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭, *A 为A 的伴随矩阵. 将A 的第2列加到第1列得矩阵B , 则*A B 为________.7. 设10010101,00100010aaAaaβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (1) 计算行列式A;(2) 当实数a为何值时, 方程组Axβ=有无穷多解, 并求其通解.8. 已知1010111001Aaa⎛⎫⎪⎪=⎪-⎪-⎝⎭, 二次型()()123,,T Tf x x x X A A X=的秩为2.(1) 求实数a的值; (2) 求正交变换X QY=将f化为标准形.9. 设111101,1101a A b α--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为A 的属于特征值2-的特征向量.(1) 求,a b 的值; (2) 求可逆矩阵P 和对角矩阵Q , 使得1P AP Q -=.参考解答1. 分析 行变换:()341243134124312110011001100,,,110100010000001c c c c c c c c cc c αααα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=-→→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 因为初等行变换不改变列向量组的相关性, 可知134,,ααα总是线性相关的. 选[C] 特殊值法: 令12341c c c c ====, 易知123,,ααα无关, 124,,ααα无关, 排除选项(A)(B);令12340,1c c c c ====, 知234,,ααα无关, 排除(D), 此时再计算134113401111,,011011c c c c ααα--=-==-,故选项[C]正确.标准方法 逐一计算如下4个行列式, 恒为0者对应选项为正确答案:(A) 1231,,c ααα= (B) 1241,,c ααα=- (C) 134,,0ααα=(D) 23434,,c c ααα=--选[C]2. 分析 标准方法 ()()1223123100100,,,,110110001001Q P ααααααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 又1100100110110001001-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故111100100100110011011011011100010010012001Q AQ P AP ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎪==- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,根据初等矩阵与初等行(列)变换的关系知应该选[B].特殊值法 令P E =是单位矩阵, 则100110001Q ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 100010002A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭,1100110011101110100120012Q AQ -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.3. 分析 (A) ()21E A λλ-=-1λ⇒=, ()11R E A -=, 不能对角化; (B) ()()12121,2E A λλλλλ-=--⇒==, 有两个不同特征值, 可以对角化; (C) 231E A λλλ-=-+, 有两个不同的实特征值, 可以对角化;(D) 23E A λλλ-=-, 有两个不同的实特征值, 可以对角化;选[A].4. 特殊值法 由题设知X 是列向量, 令()1,0,0T X =, 则000010001T E XX ⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭, 秩为2.标准方法()()()31T TT T T R E R E XX XX R E XX R XX R E XX ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==-+≤-+=-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 因此2TR E XX ⎡⎤-≥⎣⎦;另一方面, ()()()T T T E XX X X XX X X X X X X X -=-=-=-=0, 所以齐次方程组()T E XX Y -=0有非零解X ⇒3T R E XX ⎡⎤-<⎣⎦. 综上知2TR E XX ⎡⎤-=⎣⎦.5. 特殊值法 令311A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 则*133A ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭, 010300001B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 此时*01090027003BA ==-.标准方法 ()23**27BA B A A A A ==-=-=-.6. 标准方法 ()2**9A B A B A A A ====.直接计算 ***212130,,9111233A B A B A B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.7. 解 4100100001010110100100101001a a a a A a a a a aa a==-=-;(2) 210011*********01001000100010001a aa a A a a a aa ⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪=→⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭32100101010010001a a a a a a ⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭42100110100100001a aaa a a ⎛⎫⎪- ⎪→⎪⎪⎪---⎝⎭. 因此, 方程组Ax β=有无穷多解()()31R A R A a ⇔==⇔=-,此时 1100110010011010101100110001100000000000A ⎛-⎫⎛-⎫⎪ ⎪----⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,方程组的通解为01110101k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 其中k 为任意常数.8. 解 (1) 二次型()()123,,T T f x x x X A A X =的秩为2()()22T R A A R A ⇔=⇔=,而 1011011010110110111000100101001000A aa a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪-++ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以1a =-. (2) 2210110102010*********011111301T a A A a a a a a a a a a ⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪==+- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪---+ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭. 又1a =-, 故 10110102020110100221011122401T A A a a a a ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭, ()()()20212022212226224024T E A A λλλλλλλλλλ----=--=----=-------. 所以A 的3个特征值为1230,2,6λλλ===.下面分别计算特征向量.10λ=: ()2021010022011224000T E A A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭,得特征值0的一个特征向量()11,1,1Tα=--;22λ=: ()0021102002001222000T E A A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭,得特征值2的一个特征向量()21,1,0Tα=-;36λ=: ()4021106042021222000T E A A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,得特征值6的一个特征向量()31,1,2Tα=;将这些已经正交的向量单位化, 得1111γ-⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭, 2110γ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭, 3112γ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭, 令()1231,,102Q γγγ⎛⎫⎪==⎪⎪⎪⎝⎭, 则Q 是正交矩阵, 经正交变换X QY =后,()222326f X y y =+.9. 解 (1) 由题设知2A αα=-, 即111211011221,10111a a A b b α----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪=--==-- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以0,1a b ==.(2) 由(1)知011101110A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭, 此时()()211111211E A λλλλλλ--=-=-+--,所以11λ=是A 的2重特征值, 22λ=-是A 的1重特征值.11λ=: 1111111111000111000E A λ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,得到11λ=的两个线性无关的特征向量12111,001αα-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令()12111,,101011P ααα--⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭, 则1112P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.。
湘潭大学旅游管理学院《824管理学》历年考研真题专业课考试试题
2015年湘潭大学旅4年湘潭大学旅游管理学院823管理学考 研真题
2013年湘潭大学旅游管理学院821管理学 （二）考研真题
2012年湘潭大学旅游管理学院811管理学 （一）考研真题
2012年湘潭大学旅游管理学院820管理学 （二）考研真题
2011年湘潭大学旅游管理学院808管理学 （一）考研真题
目 录
2015年湘潭大学旅游管理学院824管理学考研真题 2014年湘潭大学旅游管理学院823管理学考研真题 2013年湘潭大学旅游管理学院821管理学（二）考研真题 2012年湘潭大学旅游管理学院811管理学（一）考研真题 2012年湘潭大学旅游管理学院820管理学（二）考研真题 2011年湘潭大学旅游管理学院808管理学（一）考研真题
全国名校高等代数考研真题汇编
2012年
601 代数考
2012年攻读
位
入试
考试 ： 代数（601）
考 意：
1 本试 分为150 分 共计10道 分 考试时 总计180 分钟；
分15
2 案必 写 上 无效。
上 写 试 上或草
一、设 是 阶 位 阵 证明 行列 于 .
阵足
二、设 是 阶
阵足
.证明所有 都 似于一个 角 阵
征值之 于 阵
.
三、设 是 维欧 表为 个
正交 换 证明 最 可以 .
、设 是 阶 阵 证明存 数 于
使得 是可以 角化 阵
是
阵且
.
五、设
.
当 为何值时 存 使得
出这样 阵
角 阵；
为角阵
时阵
标准 .
六、令二次
.
次二次 方阵；
当 为 数 出次二次 为正
七、令
是上 性
到 所有 性映 组成 性 .证明：
若
则
中是 性无关 .
2011年 中 技
代数考
中技
2011年
招 考试
考试 ： 代数
适 范 ：基 数 与数 计
数 计数
概论
一、计 行列
.
二、 次 性方 组、
一组基 解 .
三、设A,B都是
阵,C是
阵,且
A=BC.rankB=n.证明： rankA=rankC.
、设T是维 性 V 换.
(1)证明：V=ImT kerT.
2011年802代数考2012年825代数考2012年东范817代数考2011年中技代数考中技2011年招考试考试
2011年
802 代数考
2012年
2012年考研数学一真题解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 曲线221x xy x +=-渐进线的条数（A ）0 (B)1 (C)2 (D)3【考点分析】：曲线的渐近线条数。
【求解过程】：C⏹ 方法一：利用函数图像的平移，将已知的函数的渐近线条数转化为简单的基本函数的渐进线条数。
由于22(1)111(1)(1)11x x x x x y x x x x x ++====+--+--， 可知，221x x y x +=- 的图像是由1y x=的图像向由右平移一个单位，再向上平移一个单位所得。
由于图像平移并不改变其渐进线的条数。
1y x=有两条渐进线，其中一条为水平渐近线0y =，一条为垂直渐近线0x =。
所以221x xy x +=-也有两条渐近线，选择C 。
【相关补充】：函数平移口诀：上加下减，左加右减。
例如，把函数()y f x =依次做以下四次的平移：（1）向上平移1个单位，（2）向下平移2个单位（3）向左平移1个单位（4）向右平移2个单位。
则新函数的解析式为(12)12(1)1y f x f x =+-+-=--。
⏹ 方法二：直接求解函数的渐近线。
因为 22lim 1,1x x xx →∞+=- 所以1y = 为水平渐进线。
又由于有水平渐进线，所以一定不存在同一趋向下的斜渐进线。
又因为221lim ,1x x xx →+=∞-所以1x =为垂直渐进线。
综上所述，221x xy x +=-也有两条渐近线，选择C 。
【相关补充】：斜渐进线的求解步骤：1) 考察是否有lim ()x f x →±∞=∞？若是，则转2）2) 考察是否有()limx f x a x→±∞=（常数）？，若是，则转3） 3) 是否有lim[()]x f x ax b →±∞-=存在？若是，则()y f x =有斜渐进线y ax b =+，上述任何一个步骤中，若否，则无斜渐进线。