指数函数与对数函数的函数逼近与插值理论
函数逼近的插值法
分段三次Hermite插值
三次Hermite插值 x [x j1, x j ]时
H3 (x) j1(x) y j1 j (x) y j j1(x) f j1 j (x) f j
令
A1
j 1 (u )
(1
2
u
x j1 hj
u )(
xj hj
M
n1
2M n
6
f
[ xn1 ,
xn ,
xn ]
三次样条插值
第二类边界条件 s'' (x0 ) f '' (x0 ) M 0 , s'' (xn ) f '' (xn ) M n 同理可得
i
2M1 M i1
1M
2M i
2 6 f [x0 , x1, x2 ]
三次多项式； (3) 在开区间（a,b）上s(x)有连续的二阶导数,
则称s( x)为区间[a, b]对应于划分的三次样条函数。
三次样条插值
设三次样条函数s(x)在每个子区间[x j1, x j ]上有表达式
s(x) s j (x) a j x3 bj x2 c j x d j x (x j1, x j ), j 1,2...n
算法： 1.输入x j , f j , f j （j 0,1,...,n）； 2.计算插值
(1)输入插值点u;
(2)对于j 1,2,...,n做
如果u x j则计算A1, A2 , B1, B2; v A1 f j1 A2 f j B1 f j1 B2 f j; 3.输出u, v。
常用函数的逼近和曲线拟合
常用函数的逼近和曲线拟合在数学中，函数逼近和曲线拟合都是常见的问题。
函数逼近是指找到一个已知函数，尽可能地接近另一个函数。
而曲线拟合则是给定一组数据点，找到一条曲线来描述这些数据点的分布。
本文将讨论常用的函数逼近和曲线拟合方法。
一、函数逼近1. 插值法插值法是最简单的函数逼近方法之一。
它的基本思想是：给定一组已知点，通过构造一个多项式，使得该多项式在这些点处的函数值与已知函数值相等。
插值法的优点是精度高，缺点是易产生龙格现象。
常用的插值多项式有拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式。
拉格朗日插值多项式的形式为：$f(x)=\sum_{i=0}^{n}y_{i}\prod_{j=i,j\neq i}^{n}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}$其中，$x_{i}$是已知点的横坐标，$y_{i}$是已知点的纵坐标，$n$是已知点的数量。
牛顿插值多项式的形式为：$f(x)=\sum_{i=0}^{n}f[x_{0},x_{1},...,x_{i}]\prod_{j=0}^{i-1}(x-x_{j})$其中，$f[x_{0},x_{1},...,x_{i}]$是已知点$(x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),...,(x_{i},y_{i})$的差商。
2. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的函数逼近方法。
它的基本思想是：给定一组数据点，找到一个函数，在这些数据点上的误差平方和最小。
通常采用线性模型，例如多项式模型、指数模型等。
最小二乘法的优点是适用性广泛，缺点是对于非线性模型要求比较高。
最小二乘法的一般形式为：$F(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}\varphi_{i}(x)$其中，$a_{i}$是待求的系数，$\varphi_{i}(x)$是一组已知的基函数，$n$是基函数的数量。
最小二乘法的目标是使得$\sum_{i=1}^{m}[f(x_{i})-F(x_{i})]^{2}$最小，其中$m$是数据点的数量。
函数的插值与最佳平方逼近PPT课件
(2) 令
n
pn(x)
i0
n
fili(x)
i0
fi
n j0
xxj xi xj
ji
(5.1-8)
则易知(5.1-8)所示的pn(x)为次数不大于n的多项式，且满足
插值条件(5.1-1)
n
pn(xj) fili(xj)fj
i0
(j = 0，1，...，n)
称pn(x)为Lagrange插值多项式。
a0 a1(5)a2 (5)2 a3(5)3 35
解之得：a0 = 10，a1 = 5，a2 = – 5，a3 = 2
即有p3(x) = 10 + 5x – 5x2 +2x3
注：(1) 范德蒙矩阵的条件数很大 —— 误差大计算量大
(2) 选择适当基函数使插值多项式具有特殊形式
10
1. Lagrange插值
1 x0
1 Vn(x0,x1,...x,n)
x1
1 xn
x0n
x1n
n
i1
i1
(xi xj)
j0
xnn
(5.1-3)
8
(5.1-3)的系数行列式为范德蒙行列式：
1 x0
1 Vn(x0,x1,...x,n)
x1
1 xn
x0n
x1n
n
i1
i1
(xi xj)
j0
xnn
因为x0，x1，…，xn互异，所以Vn ≠ 0 即(5.1-3)存在唯一解，从而存在唯一的pn(x) Pn[x] 满足插 值条件(5.1-1)。
证明：取Pn[x]的一组基{1，x，x2，…，xn }，则pn(x) Pn[x] 表为
由(5.1-1)知
函数逼近
第七章 函数逼近用简单的函数p (x )近似地代替函数f (x )，是计算数学中最基本的概念和方法之一。
近似代替又称为逼近，函数f (x )称为被逼近的函数，p (x )称为逼近函数，两者之差)()()(x p x f x R -=称为逼近的误差或余项在计算数学里，所谓简单的函数主要是指可以用加、减、乘、除四则运算进行计算的函数，如有理分式函数、多项式等。
由于多项式最简单，计算其值只需用到加、减与乘三种运算，且求其微分和积分都很方便，所以常用它来作为逼近函数，而被逼近的函数f (x )一般是一个比较复杂的不易计算的函数或以表格形式给出的函数。
第六章介绍的插值法实际上也是函数逼近的一种方法。
不过，它要求函数p (x )与f (x )在节点处具有相同的函数值 (甚至要求有相同的导数值)，但在非节点处，p (x ) 虽然有可能很好地逼f (x )，但也可能使逼近f (x ) 的误差很大，如果实际问题要求p (x )在区间[a , b ] 上每一点都“很好”地逼近的话，用插值多项式p (x ) 去逼近f (x )有时就要失败，所谓龙格现象，就是典型一例。
大家知道，用f (x )的泰勒(Taylor)展开式)()()!1()()(!)()(!2)())(()()(010)1(00)(200000之间与在x x x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n n ξξ++-++-++-''+-'+=Λ的部分和去逼近函数f (x )，也是常用的方法。
这种方法的特点是：x 越接近于x 0，误差就越小，x 越偏离x 0，误差就越大。
若要使这种逼近在整个所讨论的区间上都达到精度要求，则需取很多项，这样，计算工作量就大大增加。
因此，如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是函数逼近要解决的问题，这个问题的一般提法是：对于函数类A 中给定的函数f (x )，要求在另一类较简单的且便于计算的函数类B (⊂ A )中寻找一个函数p (x )，使p (x )与f (x )之差在某种度量意义下最小。
第二章 插值、拟合、逼近(1)
,x(a,b)
作为误差估计上限。
x0
1 0
x1
0 1
x2
0 0
也有li x j
1,i = j = ij = 0,i j
0
0
1
n 次Lagrange插值多项式
基函数法（n=1,2情形的推广）
希望找到li(x)，i = 0, …, n 使得 li(xj)=ij ；然后令
Pn ( x ) =
l ( x )y
0.0000773265 R3 x 0.000618612
实际误差sin500-L3(500) 0.000125385
注：
1.通常不能确定 x ,而是估计
将
M n 1 n | x - xi | n 1 ! i =0
f ( n 1 )( x ) M n1
x0 - x1 x0 - x2
1
x - x1 x - x2 从而,l0 x = x0 - x1 x0 - x2
同理,l1 x =
x - x0 x - x2 x1 - x0 x1 - x2 x - x0 x - x1 l2 x = x2 - x0 x2 - x1
L2 (x0)=y0 , L2 (x1)=y1, L2 (x2)=y2
设 L2 (x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，
令
x = x0 ,有l0 x0 = A x0 - x1 x0 - x2 = 1
得A =
l0 x = A x - x1 x - x2
使得
Pn ( x i ) = y i ,
i = 0 , ... , n
指数函数与对数函数知识点
指数函数与对数函数1、n 次方根与分数指数幂、指数幂运算性质(1)若nx a =，则))n x n =⎪⎩为奇数为偶数；()()a n a n ⎧⎪⎨⎪⎩为奇数为偶数；(3)n a =；(4)*0,,,1)m na a m n N n =>∈>且；(5)*0,,1)mn a a m n N n -=>∈>,且；(6)0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义.(7)()0,,r s r s a a a a r s R +⋅=>∈；(8)()()0,,r s rs a a a r s R =>∈；(9)()()0,0,,r r r ab a b a b r s R =⋅>>∈.2、对数、对数运算性质(1)()log 0,1x a a N x N a a =⇔=>≠；(2)()log 100,1a a a =>≠；(3)()log 10,1a a a a =>≠；(4)；()log0,1a N a N a a =>≠；(5)()log 0,1m a a m a a =>≠；(6)()log ()log log 0,1,0,0a a a MN M N a a =+>≠M >N >； (7)()log log log 0,1,0,0a a a M M N a a N=->≠M >N >； (8)()log log 0,1,0n a a M n M a a =⋅>≠M >； (9)换底公式()log log 0,1,0,0,1log c a c b b a a b c c a =>≠>>≠； (10)()log log 0,1,,*m n a a n b b a a n m N m=>≠∈；(11)()1log log 0,1,0,a a M a a M n R n=>≠>∈； (12)()log log log 10,1,0,1,0,1a b c b c a a a b b c c ⋅⋅=>≠>≠>≠.3、指数函数)1,0(≠>=a a a y x 且及其性质：①定义域为(),-∞+∞； ②值域为()0,+∞；③过定点()0,1；④单调性：当1a >时，函数()f x 在R 上是增函数；当01a <<时，函数()f x 在R 上是减函数； ⑤在y 轴右侧，指数函数的图象“底大图高”．4、对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且及其性质：①定义域为()0,+∞；②值域为(),-∞+∞；③过定点()1,0；④单调性：当1a >时，函数()f x 在()0,+∞上是增函数；当01a <<时，函数()f x 在()0,+∞上是减函数；⑤在直线1=x 的右侧，对数函数的图象“底大图低”．5指数函数x a y =与对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且互为反函数，它们的图象关于直线x y =对称．6不同函数增长的差异：线性函数模型)0(>+=k b kx y 的增长特点是直线上升，其增长速度不变；指数函数模型)1(>=a a y x 的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，呈“指数爆炸”状态；对数函数模型)1(log >=a x y a 的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大速度越来越慢，即增长速度平缓；幂函数模型)0(>=n x y n 的增长速度介于指数函数和对数函数之间．7函数的零点：在函数)(x f y =的定义域内，使得0)(=x f 的实数x 叫做函数的零点．8零点存在性定理：如果函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线，且有()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内至少有一个零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根.9二分法：对于区间],[b a 上图象连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数)(x f y =，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法．10给定精确度ε，用二分法求函数)(x f y =零点0x 近似值的步骤：⑴确定零点0x 的初始区间[],a b ，验证()()0f a f b ⋅<；⑵求区间[],a b 的中点c ；⑶计算)(c f ，并进一步确定零点所在的区间；①若0)(=c f ，则c 就是函数的零点；②若0)()(<c f a f (此时),(0c a x ∈)，则令c b =；③若0)()(<b f c f (此时),(0b c x ∈)，则令c a =；⑷判断是否达到精确度ε：若a b ε-<，则得到零点的近似值a (或b )；否则重复上面的⑵至⑷.。
数值分析06函数逼近
函数逼近的历史与发展
早期发展
早在古希腊时期，数学家就开始研究用简单的几何图形来近 似表示复杂的曲线。随着数学的发展，函数逼近的理论和方 法不断完善和丰富。
现代进展
随着计算机科学和数值分析的兴起，函数逼近在数值计算、 信号处理、图像处理等领域的应用越来越广泛。现代的逼近 方法不仅追求形式简单，还注重逼近的精度和计算效率。
数据拟合
在数据分析和机器学习中，利用数值逼近方法对数据进行拟合， 以提高预测精度。
图像处理
在图像处理中，利用数值逼近方法对图像进行平滑、去噪等处理， 以提高图像质量。
工程计算
在工程计算中，利用数值逼近方法对复杂函数进行近似计算，以简 化计算过程和提高计算效率。
05
结论与展望
总结与评价
总结
数值分析06函数逼近课程是一门重要的数学课程，它涉及到许多实际问题的求解，如插值、拟合、最小二乘法等。 通过学习这门课程，学生可以掌握如何使用数学工具来近似描述和分析函数，从而更好地理解和解决实际问题。
数。
稳定性分析
稳定性定义
稳定性是指在逼近过程中，对于小的扰动或误差，逼近结果的变 化程度。
不稳定性影响
不稳定的逼近可能导致结果出现较大的偏差，影响数值计算的精 度和可靠性。
稳定性判据
根据稳定性判据，判断逼近函数的稳定性以及如何提高稳定性。
04
数值实例与应用
一元函数逼近实例
01
线性逼近
通过多项式逼近方法，将一元函 数在某点附近展开成线性形式， 如泰勒级数展开。
评价
这门课程的内容非常实用，对于数学专业的学生来说是一门必修课程。它不仅有助于提高学生的数学素养，还可 以为学生提供解决实际问题的能力。然而，该课程难度较大，需要学生具备较高的数学基础和思维能力。
《指数函数》PPT课件
商的乘方
商的乘方等于乘方的商。 如：$(a/b)^n = a^n div b^n$。
指数函数的极限与连续
极限性质
当底数大于1时，指数函数随着指 数的增大而趋于无穷大；当底数 在0到1之间时，指数函数随着指 数的增大而趋于0。
连续性
指数函数在其定义域内是连续的， 即对于任意两个相邻的点，函数值 之间的差可以无限小。
。
工程学
在工程学中，指数函数可用于 描述材料疲劳、信号处理等问
题。
计算机科学
在计算机科学中，指数函数可 用于算法分析、图像处理等领
域。
THANKS
感谢观看
02 指数函数的运算 性质
指数函数的四则运算
加法运算
同底数指数相加，指数 不变，底数相乘。如：
$a^m + a^m = 2a^m$。
减法运算
同底数指数相减，指数 不变，底数相除。如： $a^m - a^m = 0$。
乘法运算
同底数指数相乘，指数 相加，底数不变。如：
$a^m times a^n = a^{m+n}$。
级数展开的定义
将指数函数表示为无穷级数的形式，便于分析和 计算。
泰勒级数展开
通过泰勒公式将指数函数展开为幂级数，适用于 函数在某点的局部逼近。
麦克劳林级数展开
特殊形式的泰勒级数，用于在原点处展开指数函 数。
指数函数的傅里叶变换
傅里叶变换的概念
01
将时间域的函数转换为频域的函数，便于分析信号的频率特性
指数函数在生物学中的应用
细菌增长模型
指数函数可以描述细菌在适宜环 境下的增长情况，用于预测细菌
数量。
药物代谢动力学
指数函数可以模拟药物在体内的 代谢过程，用于计算药物浓度随
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指数函数与对数函数的函数逼近与插值理论指数函数与对数函数是数学中常见的两类基本函数。
它们在数学建模、数据拟合和函数逼近等领域中扮演着重要的角色。
本文将探讨指数函数与对数函数的函数逼近与插值理论。
一、指数函数的函数逼近与插值
指数函数可表示为f(x) = a^x，其中a为常数，x为自变量。
指数函数具有单调递增的特点，且在x轴上存在一个水平渐近线。
要进行指数函数的逼近与插值，常用的方法之一是最小二乘逼近。
最小二乘逼近是通过最小化函数残差的平方和来确定逼近函数的系数。
对于指数函数的逼近，我们可以选择一组离散点(x1, y1), (x2,
y2), …, (xn, yn)，其中y = a^x。
然后，通过最小二乘法计算出使得残差平方和最小的a值，进而得到逼近的指数函数。
此外，我们还可以使用拉格朗日插值法进行指数函数的插值逼近。
拉格朗日插值法是通过构造满足离散点上函数值和导数连续的多项式来逼近原函数。
在指数函数的插值逼近中，我们可以根据离散点构造拉格朗日多项式，从而得到插值逼近的指数函数。
二、对数函数的函数逼近与插值
对数函数可表示为f(x) = loga(x)，其中a为常数，x为自变量。
对数函数具有单调递增的特点，且在x轴上存在一个垂直渐近线。
与指数函数类似，对于对数函数的逼近与插值，我们同样可以采用最小二乘逼近法和拉格朗日插值法。
在最小二乘逼近中，我们可以选择一组离散点(x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn)，其中y = loga(x)。
通过最小二乘法计算出使得残差平方和最小的a值，从而得到对数函数的逼近。
对于对数函数的插值逼近，我们可以使用拉格朗日插值法。
根据离散点构造拉格朗日多项式，从而得到插值逼近的对数函数。
三、函数逼近与插值的应用
指数函数与对数函数的函数逼近与插值在实际应用中具有广泛的应用。
以下是一些典型的应用场景：
1. 数据拟合：在某些实验或调查中，得到的数据可能符合指数函数或对数函数的规律。
通过进行逼近与插值，可以更好地理解数据的规律，并预测未知数据点的取值。
2. 经济预测：在经济领域，指数函数和对数函数常用于描述经济增长或衰退的趋势。
通过函数逼近与插值，可以基于过去的数据预测未来的经济发展趋势。
3. 生物学建模：在生物学研究中，指数函数和对数函数常用于描述生物种群的增长或衰退。
通过函数逼近与插值，可以对种群的发展进行模拟和预测。
总结：
本文讨论了指数函数与对数函数的函数逼近与插值理论。
通过最小二乘法和拉格朗日插值法，可以得到逼近与插值的指数函数和对数函数。
这些方法在数据拟合、经济预测和生物学建模等领域具有重要的
应用。
通过理解和应用这些函数逼近与插值方法，可以更好地分析和预测各种现象，为科学研究和实际应用提供支持。