数列-2014各地高考模拟压轴题大全

1、已知，且对任意的，，且（1）求的解析式；（2）设，求证：；（3）若，是否存在实数x，使得，说明理由。

2、设，圆：与轴正半轴的交点为，与曲线的交点为，直线与轴的交点为．（1）用表示和;（2）求证:;（3）设,,求证:．3、函数的定义域为R，数列满足（且）．（Ⅰ）若数列是等差数列，，且（k为非零常数，且），求k的值；（Ⅱ）若，，，数列的前n项和为，对于给定的正整数，如果的值与n无关，求k的值．4、数列，（）由下列条件确定：①；②当时，与满足：当时，,；当时，，.（Ⅰ）若，，求，，，并猜想数列的通项公式（不需要证明）；（Ⅱ）在数列中，若(,且)，试用表示，；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设数列满足，， (其中为给定的不小于2的整数)，求证：当时，恒有.5、如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它的前一项的平方差是同一个常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差．（Ⅰ）若数列既是等方差数列，又是等差数列，求证：该数列是常数列；（Ⅱ）已知数列是首项为，公方差为的等方差数列，数列的前项和为，且满足．若不等式对恒成立，求的取值范围．6、（理）对数列和，若对任意正整数，恒有，则称数列是数列的“下界数列”.（1）设数列，请写出一个公比不为1的等比数列，使数列是数列的“下界数列”；（2）设数列，求证数列是数列的“下界数列”；（3）设数列，构造，，求使对恒成立的的最小值.7、函数，数列和满足：，，函数的图像在点处的切线在轴上的截距为.（1）求数列{}的通项公式；（2）若数列的项中仅最小,求的取值范围；（3）若函数，令函数数列满足:且其中.证明:.8、定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列．对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”，.(1)已知是首项为2，公差为1的等差数列，若是数列的“保三角形函数”，求k的取值范围；(2)已知数列的首项为2010，是数列的前n项和，且满足，证明是“三角形”数列；(3) 若是(2)中数列的“保三角形函数”，问数列最多有多少项．9、已知点P n(a n,b n)都在直线：y=2x+2上，P1为直线与x轴的交点，数列成等差数列，公差为1.（n∈N+）（1）求数列，的通项公式；（2）若f(n)=问是否存在k,使得f(k+5)=2f(k)－2成立；若存在，求出k的值，若不存在，说明理由。

（3）求证：（n≥2，n∈N+）10、设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为（1）求的值及的表达式；（2）记，试比较的大小；若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围；（3）设为数列的前项的和，其中，问是否存在正整数，使成立？若存在，求出正整数；若不存在，说明理由。

11、已知数列与满足：， ，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，证明：是等比数列；（III ）设证明：．12、有个首项都是1的等差数列，设第个数列的第项为，公差为，并且成等差数列．（Ⅰ）证明 （，是的多项式），并求的值；（Ⅱ）当时，将数列分组如下：(每组数的个数构成等差数列)．设前组中所有数之和为，求数列的前项和．（Ⅲ）设是不超过20的正整数，当时，对于（Ⅱ）中的，求使得不等式成立的所有的值．13、己知数列满足：，(1) 求a2，a3；(2) 设，求证是等比数列，并求其通项公式；(3) 在(2)条件下，求数列前100项中的所有偶数项的和S。

14、（本题满分16分，第1小题 4分，第2小题6分，第3小题6分）设函数，数列满足．⑴求数列的通项公式；⑵设，若对恒成立，求实数的取值范围；⑶是否存在以为首项，公比为的数列，，使得数列中每一项都是数列中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列的通项公式；若不存在，说明理由．15、 (本小题满分14分)已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足，．数列满足，为数列的前n项和．（1）求、和；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．16、已知数列首项，公比为的等比数列，又，常数，数列满足，（1）、求证为等差数列；（2）、若是递减数列，求的最小值；（参考数据：）（3）、是否存在正整数，使重新排列后成等比数列，若存在，求的值，若不存在，说明理由。

17、对于给定数列，如果存在实常数，使得对于任意都成立，我们称数列是“M类数列”．（I）若，，，数列、是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数，若不是，请说明理由；（II）若数列满足，．(1)求数列前项的和．(2)已知数列是“M类数列”，求.18、已知定义在上的奇函数满足，且对任意有．（Ⅰ）判断在上的奇偶性，并加以证明．（Ⅱ）令，，求数列的通项公式．（Ⅲ）设为的前项和，若对恒成立，求的最大值．19、（本小题14分）设函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，若对任意x，y∈(0，＋∞)都有：f(xy)＝f(x)＋f(y)成立，数列{a n}满足：a1＝f(1)＋1，（1）求数列{a n}的通项公式，并求S n关于n的表达式；（2）设函数g(x)对任意x、y都有：g(x＋y)＝g(x)＋g(y)＋2xy，若g(1)＝1，正项数列{b n}满足：，T n 为数列{b n}的前n项和，试比较4S n与T n的大小。

20、 (本小题共13分)对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中N*)．对正整数k，规定为的k阶差分数列，其中．（Ⅰ）若数列的首项，且满足，求数列的通项公式；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的数列，若数列是等差数列，使得对一切正整数N*都成立，求；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，令设若成立，求最小正整数的值．21、已知点，，，都在函数的图像上.（1）若数列是等差数列，求证：数列是等比数列；（2）若数列的前项和是，设过点的直线与坐标轴所围成的三角形面积为，求的最大值;（3）若存在一个常数，使得对任意的正整数都有且，则称为“左逼近”数列，为该数列的“左逼近”值. 若数列的前项和是设数列的前项和是，且，，试判断数列是否为“左逼近”数列，如果是，求出“左逼近”值；如果不是，说明理由.22、设二次函数，对任意实数，有恒成立；数列满足.（1）求函数的解析式和值域；（2）证明：当时，数列在该区间上是递增数列；（3）已知，是否存在非零整数，使得对任意，都有恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由.23、已知等比数列的公比为，是的前项和．（1）若，，求的值；（2）若，，有无最值？并说明理由；（3）设，若首项和都是正整数，满足不等式：，且对于任意正整数有成立，问：这样的数列有几个？24、设项数均为（）的数列、、前项的和分别为、、. 已知集合=.（1）已知，求数列的通项公式；（2）若，试研究和时是否存在符合条件的数列对（，），并说明理由；（3）若，对于固定的，求证：符合条件的数列对（，）有偶数对.25、如图，在轴的正半轴上依次有点,其中点、,且,在射线上依次有点,点的坐标为，且.（1）求点、的坐标；（2）设四边形面积为，解答下列问题：①问中是否存在连续的三项,,（）恰好成等差数列？若存在，求出所有这样的三项；若不存在，请说明理由；②求满足不等式的所有自然数.26、已知函数（其中且），是的反函数.（1）已知关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围；（2）当时，讨论函数的奇偶性和增减性；（3）设，其中.记，数列的前项的和为（），求证：.27、设数列的前项和为，（1）求的值（2）求的通项公式（3）证明：对一切正整数有28、设数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n满足关系式：3tS n﹣（2t+3）S n﹣1=3t（t＞0，n=2，3，4，…）（1）求证：数列{a n}是等比数列；（2）设数列{a n}是公比为f（t），作数列{b n}，使（n=2，3，4，…），求和：b1b2﹣b2b3+b3b4﹣…+b2n﹣1b2n﹣b2n b2n+1；（3）若t=﹣3，设c n=log3a2+log3a3+log3a4+…+log3a n+1，T n=++…+，求使k≥（7﹣2n）T n（n∈N+）恒成立的实数k的范围．29、（ 理科生做）、设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为（1）求的值及的表达式；( 4分)（2）记，试比较的大小；若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围；（ 4分 ）（3）设为数列的前项的和，其中，问是否存在正整数，使成立？若存在，求出正整数；若不存在，说明理由(4分 )30、已知数列的前n 项和为,且(1)求证：数列是等比数列；(2)设恰有5个元素,求实数的取值范围.31、若数列满足：对于，都有（常数），则称数列是公差为的准等差数列．如：若 则是公差为的准等差数列．（1）求上述准等差数列的前项的和；（2）设数列满足：，对于，都有．求证：为准等差数列，并求其通项公式；（3）设（2）中的数列的前项和为，试研究：是否存在实数，使得数列有连续的两项都等于．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．32、对于数列：，若不改变，仅改变中部分项的符号，得到的新数列称为数列的一个生成数列．如仅改变数列的第二、三项的符号可以得到一个生成数列．已知数列为数列的生成数列，为数列的前项和．⑴写出的所有可能值；⑵若生成数列满足：，求的通项公式；⑶证明：对于给定的，的所有可能值组成的集合为：．33、已知以a1为首项的数列{a n}满足：a n＋1＝⑴当a1＝1，c＝1，d＝3时，求数列{a n}的通项公式⑵当0＜a1＜1，c＝1，d＝3时，试用a1表示数列{a n}的前100项的和S100⑶当0＜a1＜（m是正整数），c＝，d≥3m时，求证：数列a2－，a3m+2－，a6m+2－，a9m+2－成等比数列当且仅当d＝3m34、若无穷数列满足：①对任意，；②存在常数，对任意，，则称数列为“数列”.（Ⅰ）若数列的通项为，证明：数列为“数列”；（Ⅱ）若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，证明：对任意，；（Ⅲ）若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，证明：存在，数列为等差数列.35、已知函数定义在区间，对任意，恒有成立，又数列满足（I）在（-1，1）内求一个实数t，使得（II）求证：数列是等比数列，并求的表达式；（III）设，是否存在，使得对任意，恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由。

参考答案一、计算题1、解：（1），即，令，上式可化为，，（2），（3）==设则…①…②① -②得不在实数x，使得2、解：（1）由点在曲线上可得, …………1分又点在圆上，则, ……………2分从而直线的方程为, ………………4分由点在直线上得: ,将代入化简得: ．……………………6分（2）,…………7分又,……………9分（3）先证:当时,．事实上, 不等式后一个不等式显然成立,而前一个不等式．故当时, 不等式成立．, ……………………11分（等号仅在n=1时成立）求和得:……………………14分3、解：（Ⅰ）当时，因为，，所以．因为数列是等差数列，所以．因为，所以．……………6分（Ⅱ）因为，，且，所以．所以数列是首项为2，公比为的等比数列，所以．所以．因为，所以是首项为，公差为的等差数列．所以．因为，又因为的值是一个与n无关的量，所以，解得．……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）4、（Ⅰ）解：因为，所以,. ……1分因为,则,. ………………2分. ……………………………………………………3分猜想当时，. 则…………………………………………………………4分（Ⅱ）解：当时，假设，根据已知条件则有，与矛盾，因此不成立，……………………5分所以有，从而有，所以. ……………………6分当时，，,所以; …………………………8分当时，总有成立.又，所以()是首项为，公比为的等比数列，……9分，,又因为，所以. …………………………10分（Ⅲ）证明：由题意得.因为，所以.所以数列是单调递增数列. ………………………………………………11分因此要证，只须证.由，则<，即. …12分因此.所以.故当,恒有. …………………………………14分5、（1）解：依题又为等差数列，设公差为，则故是常数列. 4分（2）由是首项为2，公方差为2的等方差数列.即为首项为4，公差为2的的等差数列， 6分由得①②10分不等式即也即，即恒成立由于时，；时，；假设时，，那么，由归纳法原理知：时，，所以，故的取值范围为 14分6、（1）等，答案不唯一；……………4分（2），当时最小值为9,；……………6分，则,因此，时，最大值为6，……………9分所以，，数列是数列的“下界数列”；……………10分（3），…11分，……………12分不等式为，，，…13分设，则，…………15分当时，单调递增，时，取得最小值，因此，……………17分的最小值为……………18分7、解:(1) ，得是以2为首项，1为公差的等差数列，故…………3分(2) ，，在点处的切线方程为令得仅当时取得最小值，∴的取值范围为………6分(3)所以又因则显然…………8分………12分…………14分8、解：(1)显然，对任意正整数都成立，即是三角形数列．因为k>1，显然有，由得，解得.所以当时，是数列的“保三角形函数”.(2) 由得,两式相减得所以，，经检验，此通项公式满足显然，因为，所以是“三角形”数列．(3) 因为是单调递减函数，所以，由得化简得，解得，即数列最多有26项．9、解:(1) P∴∴(2) 若k为奇数若k为偶数则f(k)=则f(k)=2k－2f(k+5)=b f(k+5)=k+32k+8=2k－4－2 k+3=4k－4－2无解： 9=3k这样的k不存在 k=3(舍去)无解（3）= n10、解：⑴ ------------------2分当时，取值为1，2，3，…，共有个格点当时，取值为1，2，3，…，共有个格点∴- ------------------4分（2）记，试比较的大小；若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围；解：由则-------------------5分当时，当时，-------------------6分∴时，时，时，∴中的最大值为-------------------8分要使对于一切的正整数恒成立，只需∴-------------------9分（3）设为数列的前项的和，其中，问是否存在正整数，使成立？若存在，求出正整数；若不存在，说明理由。