一道高三复习题的教学功能

２０１５年第７期　福建中学数学　２９　一道高三复习题的教学功能　朱蓉　江苏省苏州实验中学（２１５０１１）　高三年的课堂教学基本以复习课、讲评课为主　要形式，在高三课堂上，既要再现高一、二年学过　的基础知识基本方法，又要培养学生的发散性思维　和创新意识，还要能适时的激发学生探究欲望和创　造潜能．这意味着，把学过的知识梳理一遍、讲几　道经典例题、体现一些一般性的思想方法即“通性通　法”，应该只是高三课堂必须的“规定性动作”．虽然　也基本已经完成“双基”的知识性教学目标．但这样训　练下来的学生往往沉迷于“一般”和“经典”的问题，缺　少发散思维和创新，也难于产生探究的欲望！能力　培养的目标远远没有达到，这样当然也不能适应高　考选拔的要求．　那么，在高三课堂教学中，如何既能注重双基　的教学又能有利于学生探究能力和发散思维的培养　呢？笔者认为选好例题前提，用好才是关键！本文　将结合课堂实例来阐释笔者的实践与认识．　例题（源自南京师范大学主办的　数学之友　）　已知函数Ｙ＝　一√　一１，求该函数的最大值．　１合理体现例题的“双基教学”功能　本题是笔者给学生布置的预习题，所以学生应　该都有过自己思考．于是讲题之前笔者先给出三个　体现“双基”的问题：　（１）求函数最值的一般方法有哪些？　在提问几个学生后得到了这些基本方法：单调　性法，图象法，基本不等式法，等等．说明对函数　求最值问题已经形成了系统化方法，这也是在高三　数学第一轮复习中重视双基的结果！　紧接着笔者给出了第二个问题．　（２）适合这道题的方法是什么？　和笔者预设想法一样，在提问到学生中基本倾　向于本题适合“单调性法”．因为这个函数不是基本初　等函数，没有好的办法作出其图象，当然也不符合　基本不等式法求最值的一般特征．　（３）判断函数的单调性的基本方法是什么？　这个问题学生已经非常熟悉，无非就是定义法，　导数法，图象法．接下来课堂上把学生分成两大组　分别用定义和导数判断这个函数的单调性，选取两　个学生的解法进行实物投影．展示如下：　

方法１（定义判断单调性）函数的定义域为ｒ　，　一１］ｕ［１，＋Ｏ０），考查函数的单调性，设１　Ｘ　＜Ｘ２，则　ｒ—＝＿～ｒ——一ｒ——一　一　＝Ｘ２一√　一１一（＿－＠１　－１）＝［　１－－Ｘ２）＋（４Ｘ２－１　

一√　；一１）］／【　２＋√）ｃ；一１）（ｘ１＋√　一１）］，因为ｘ　一Ｘ２＜０，　

，／Ｘｌ　～１一　一１＜０，而分母恒大于零，所以Ｙ２一　１　＜０．从而此函数在Ⅱ，＋∞）上单调递减，且恒有Ｙ＞　０；同理可证函数在Ｘ∈（＿∞，一１１时也递减且恒有Ｙ＜　０．综上，当Ｘ＝１时，ｙ　＝１．　方法２（导数判断单调性）　因为函数的定义域　为（＿ｏ。，一１］ｕ［１，＋Ｏ０），当Ｘ≥１时，Ｙ＞０；当ｘ　一１时，　Ｙ＜０．　故求函数的最大值只需考查当Ｘ＞１时函数的单　１．　，．　调性．此时ｙ　＝１－ｘ（ｘ　一１１　：　；　．　

４ｘ　一１　

・．・４ｘ　一１＜Ｘ，４ｘ　一１＞０，．・．Ｙ　＜０恒成立，故　此函数在［１，＋Ｏ０）单调递减，所以当Ｘ＝１时，．ｙ　＝１．　

这两种方法的本质是一样，即利用函数的单调　性求最大值，只是判断单调性的手段不同．定义法　和单调性法都是基本方法，也是高三学生需要掌握　的基本技能．课堂上借助这道题为载体，通过层层　发问的方式再现了函数最值的求法以及判断单调性　的基本方法，起到滚动复习的效果．这是本题“双基　教学“功能在教学中的体现．　作为一节高三复习课，系统性的双基教学必须　做到扎实有效，既要有方法总结又要让学生动手感　受，理论和实践必须紧密相连才能学而有效．一般　来说，这道题在教师的引导下确定方法，动手解答，　小结一下方法后本题的教学可以到此为止了．但是　笔者认为这道例题的教学功能还没有充分发挥出　来，还可以作为一个很好的探究素材来培养学生的　创新意识和能力．　２适时激发学生的创新思维和探究意识　在展示了两位学生不同的判断单调性的方法之　后，笔者认为可以利用这个例题让学生探究一下灵　活多样的最值求法，说不定会有意外的收获！因为　在备课时笔者预设了几种学生可能会想到的做法，　３０　福建中学数学　２０１５年第７期　但还不能确定学生是否还能想出一些别致的求最值　方法，这时最好的办法就是放手让学生探究，探究　的过程也是培养其创造性思维的过程．　学生的思维是灵活多样的，不可能所有学生都　用定义法或者导数法判断单调性后求最值，毕竟这　个函数也不是单调性法的典型代表．所以必然有学　生不拘泥于所谓的经典，定会想出一些妙招来．于　是，笔者给学生留出十分钟时间来继续研究本题是　否有其他解法，可以就近互相讨论．　为了减少盲目性，此时还可以适当给出一些方　向性提示：这是一个无理函数，无理式你会怎么处　理呢？　十分钟后，笔者问学生有没有不同于以上两种　单调性法，率先用不同方法解出的两个同学到黑板　上写出了自己方法－　方法３（有理化法）将函数分子有理化可化可　１　得：Ｙ＝——　，　∈（一０（３，一１］ｕ［１，＋∞），因为函　

Ｘ＋４ｘ　一１　

数ｔ＝ｘ＋ｘ［ｘ　一１在［１，＋Ｏ０）上显然单调递增，所以原　函数在［１，＋Ｏ０）上单调递减，故Ｘ＝１时，Ｙ最大值为　１．又因为当Ｘ　一１时Ｙ＜０，不可能取得最大值．故　函数的最大值为１．　１　，方法４（数形结合法）函数可化为　＝—＿＿≠＝　，　

＋Ｖｘ　一１　

因为当Ｘ≤一ｌ时Ｙ＜０，故只需考虑Ｘ∈［１，＋∞）时的情　

形，分别画出函数Ｙ＝　与Ｙ＝４ｘ　１，（双曲线一部　分）Ｘ　１，Ｙ　０的图象（如图１），在ｘ＝ｌ时函数Ｙ＝Ｘ　与Ｙ＝ｘ［ｘ　一１同时取得最小值，所以函数ｔ＝ｘ＋ｘ／ｘ　一１　在Ｘ＝１时取得最小值１，从而Ｙ＝　

—　在　：１时取得最大值１．　ｘ＋√ｘ　一１　

点评以上两种方法都是采取了有理化的方法，　可以说这是对函数中的“无理式”采取的正确应对办　法．因为有理化后把函数原来“差”的结构变成了分母　上“和”的结构，而“和”的结构便于观察函数的单调　性！第二个学生的数形结合用法很特殊，但必须强　调“同时取到最小”才行，本例正好满足！　为了鼓励学生的探究积极性，笔者对这位学生　解题过程中体现出来的数形结合的数学思想提出表　扬．　这两种有理化的方法做完，笔者本以为这道题　

应该是已经充分利用了它的价值，然而学生的聪明　才智不止于此！笔者象征性的问了一下还有不同的　做法，准备下一题的教学了．然而在前面两个学生　到黑板上用有理化法解答的时候，下面的学生并没　有停止他们的探究活动，而且又有了新的优美的解　法．　方法５（构造不等式法）　函数可变形为：　ｒＸ＞１，　｛二　第二个式子平方得：Ｘ　２—１：　一　）　，　【４

ｘ　１＝Ｘ—Ｙ，　’　

２．．　２．．　解出　：　，由　≥Ｙ得　≥Ｙ＝＝＞ｙ　２　１，所以Ｙ　

￡ｙ　ｚｙ　最大值为１．　

点评这个方法非常巧妙，这个学生通过两边同　时平方达到了“分离变量”的效果，再结合　Ｙ解出　Ｙ的范围，从而求出最大值１．这种先移项再平方再　分离变量的方法非常高效！这就是创新，这是探究　的结果．其实这种超凡脱俗的做法也是来自于通性　通法的教学，如对无理式通常平方去根号，分离变　量等．关键在于这些手段在这里能想起来用上，这　就需要一定创造性，还需要教学时给学生表现的机　会！　方法６（换元法）函数的定义域为Ｘ∈（一，一１］　ｕ［１，＋ｏ。），容易推得Ｙ的最大值必在Ｘ　１时取得，　

一一　，＇　令ｔ＝４ｘ＋１—４ｘ—ｌ（ｘ　１），贝０ｔ＝—７：＝＝＝－＝—产在［１，　

４ｘ＋ｌ＋　ｘ一１　

＋∞）上单调减，故ｔ∈（０，４２］，所以函数Ｙ：　—Ｘ［ｘ　一１　

１　ｔ　，所以当ｔ＝√２即　＝１时，此时函数Ｙ＝Ｌ　ｔ　取　

得最大值１．　点评如此绝妙的方法真让人惊叹不已！笔者在　备课时没有想到的，虽然换元法在函数最值值域问　题中多见，但这里换元是非典型的，是构造新函数　的思想方法，最终转化为二次函数求最值！精美至　极！　以上四种方法都来至学生探究的结果，尤其是　方法五和六，让下面的学生都非常惊讶，惊叹在他　们的同学中竟然有人能想出如此美妙之法．　３教学反思　这道例题可能多数教师在处理的时候会采取单　调性的方法或者分子有理化后再判断单调性求最　值，然后小结一下求最值的一般性方法即开始下一　２０１５年第７期　福建中学数学　３１　道例题的教学．这样学生就没有机会进行合作探究，　也就不可能产生灵活多样的精彩方法，学生对这道　题的认识仅仅停留在判断单调性上．长此以往，学　生的思维模式势必僵化，缺乏活力和创新．遇到题　目总是靠回忆以前的方法去解答，以后在遇到用通　性通法不好解答的新题目时可能会束手无策，更不　

利于学生能力的培养．这就要求高三复习课的教学　中，要适时的抓住机会，充分利用好的例题，挖掘　其在一般性方法和问题探究两个方面的教学功能，　达到既复习“双基”又培养学生探究能力和创新意识　的目的．　

有心插柳，用心成荫　让学生深度体验数学的“再发现”与“再创造”　

叶泽军　福建厦门市第三中学（３６１００６）　课堂是开展数学研究性学习的主阵地，把教学　的内容问题化，让教学的过程探索化．但功利化的　课堂却让思维拓展虚无化，教学被演变为公式与技　巧的记忆与操练．在信息与技术与时日新的当下，　数学思维能力被认为是透视未来和把握未来的“神　器”．掌握了数学思维方法的精髓，更易透过现象看　本质，或将领先一步，预测“世界”和创造“未来”．数　学教学应当基于问题的解决，竭力发展学生的数学　思维能力，着力培养学生逐渐掌握观察、实验、归　纳、类比、联想、猜测、检验、限定ｔ（特殊化）、推　广（一般化）、抽象、概括、演绎和证明等数学思维　的方法．　１有心插柳，因势利导，让“再发现”水到渠成　茶叶包装问题闽南地区茶文化早已闻名遐迩，　茶叶商铺早已遍布街头巷尾．好友营销茶叶多年，　闲聊时偶然提及店中有一款茶品备受欢迎，但多数　顾客的购买量都在３斤以内．店里目前都按１两进　行小包装，但如果顾客购买３斤得携带３Ｏ包，略显　不便．从数学的角度考虑：店主至少要准备几种重　量（以“整数两”为单位）的包装，既能满足顾客随机　的重量需求，又可以让包数最少呢？是按１两、２两、　３两、……、３０两分别包装吗？（当然不是，例如，　如果已经有了５两和１０两的包装，就无需准备１５　两的包装．）　“包装问题”看似平淡，却是一个贴近生活实际的　研究性学习课题，某日课堂上，有意将其抛了出来：　“同学，此事您怎么办？”同学们的笔尖开始在纸上飞　舞，一番演算与讨论之后他们有了答案：至少要准　备５种重量的包装，分别是１两，２两，４两，８两，　１６两，就可以满足顾客购买１－３０两的任意需求．具　体如下：　１＝１，２＝２，３＝１十２（所以不提供３两的包装）；　４＝４，５＝４＋１（所以不提供５两的包装，以下同理），　６＝４＋２，７＝４＋２＋１；８＝８，９＝８＋１，１０＝８＋２，　１１＝８＋２＋１，１２＝８＋４，１３＝８＋４＋１，１４＝８＋４十２，　１５＝８＋４＋２＋ｌ；１６＝１６，ｌ７＝１６＋ｌ，１８＝ｌ６＋２，　１９＝１６＋２＋ｌ，２０＝１６＋４，２１＝１６＋４＋ｌ，２２＝１６＋　４＋２，２３＝１６＋４＋２＋１，２４＝１６＋８，２５＝１６＋８＋１，　２６＝１６＋８＋２，２７＝１６＋８＋２＋１，２８＝１６＋８＋４，２９＝　１６＋８＋４＋１，３０＝１６＋８＋４＋２，即使顾客要买３１两，　也是可以的．（３１＝１６＋８＋４＋２＋１）　林同学是个“好问者”，他脱口而出：“如果要买　４０两（甚至”两），又该咋办呢？”．这似乎在同学　心中产生了共鸣（肯定能解，但有规律吗，？如果能　找到公式就更好了！）　在数学的探索与发现历程中，有时“提出一个问　题要远比解决一个问题来得更重要”．问题背后的秘　密总是令人驰往（最好有公式或者通解方法）！　为了寻求破解之术，笔者引导同学和自己试着　从“特殊”向“一般”靠拢：　若准备１，２两的包装，可满足购买１，２，３两　的需求．　若准备１，２，４两的包装，可满足购买１，２，　３，……，６，７两的需求．　若准备１，２，４，８两的包装，可满足购买１，２，　３，……，１４，１５两的需求．　若准备１，２，４，８，ｌ６两的包装，可满足购买　１，２，３，……，３０，３１两的需求．