中国振动工程学会模态分析高级研修班讲课资料(第五章)多输入多输出系统的模态参数识别
第五章(第6,7,8节)多自由度系统的振动
将上式代入(5.6-14)，得
sin t m 0.325057
0
F0 1 t 1 t 0.627963 sin sin 1 t d m 1 0
F0 1 0.627963 2 sin t sin 1t 2 2 ω1 m 1 1 1
F q2 t 0 m 2 1 2 1 0.627963 2 1 cos1t 0.325057 2 1 cos 2 t 1 2
F0 k k 1 cos0.796226 t 0.044658 1 cos1.538188 t 0.621945 k m m
r t
1
t
(r 1,2,, n) (5.6-12)
任意激励Nr(t)的特解可以由卷积积分给出，即
r
N r sin r t d 0 (r 1,2,, n)
(5.6-13)
自由振动初始条件的响应 多自由度无阻尼系统对任意激振的响应求解推导 ——振型分析
也可以在坐标变换式(5.6-4)两边同时左乘uTM，得 T T 0 (5.6-11) 0 u Mq0 , η0 u Mq 由初始条件引起方程(5.6-8)的齐次解为
式中 r 0和 r阶模态在正则坐标中的初始条件。 r为第 0
r 0 r t r 0 cos r t sin r t r
T T
(5.6-5) (5.6-6)
方程(5.6-5)左乘以uT，有
T
t u Kuη t u F t u Muη
t ω η t N t η
(5.6-7) 式中N(t)=uTF(t)是与广义坐标向量(t)相应的n维广义力 向量，即正则激励。
第五章(第4,5节)多自由度系统的振动
t kuξ t 0 Muξ
由正交性得解耦的方程为
t uT kuξ t 0 uT Muξ
t K ξ t 0 Mr ξ r
(5.4-3)
式Mr为模态质量矩阵，Kr为模态刚度矩阵，它们都是对 角矩阵。
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
mv0 1 0.459701 k q t 0.577350 sin 0.796226 t m m 0.627693 k mv0 1 0.888074 k 0.577350 sin1.538188 t m m 0.325057 k 0.265408 m k v0 sin 0.796226 t m 0.362555 k 0.512730 m k v0 sin1.53818 8 t m 0.187672 k
q t uη t
代入系统的运动微分方程，并用正则振型矩阵的转置 uT 左乘方程两边，由正交性条件得解耦方程为 t Λη t 0 η
r t r2r t 0
r 1, 2, , n
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
r0 u
r T r T 0 Mq0 ,r0 u Mq
(r 1,2,, n) (5.4-11)
由式(5.5-4)求出原坐标q(t)的普遍表达式为
q t uη t
n
u r t u
r
r 1 n r 1
n
r
r0 sin r t r0 cos r t r
5.5 瑞利(Rayleigh)商
瑞利商法的提出意义
《多自由度系统振动》课件
课程目的
理解多自由度系统振动的 特性，包括固有频率、模 态振型等。
掌握多自由度系统振动的 基本原理和数学模型。
学习多自由度系统振动的 分析方法，包括直接法、 模态法和传递矩阵法等。
控制算法则是实现控制策略的具体计算方法。常见的控制算法包 括PID控制、状态反馈控制、最优反馈控制等。这些算法可以根 据系统的特性和要求进行选择和优化。
05
多自由度系统振动应用
机械系统振动控制
机械系统中的多自由度振动问题广泛存在，如旋转机械、往复机械和柔性机械等 。控制这些振动可以提高机械系统的稳定性和可靠性，减少磨损和疲劳，延长使 用寿命。
多自由度系统振动
CONTENTS
• 引言 • 多自由度系统振动基础 • 多自由度系统振动特性 • 多自由度系统振动控制 • 多自由度系统振动应用 • 课程总结与展望
01
引言
课程背景
机械系统振动是工程领域中常见的问题，多自由度系统振动 更是其中的重要分支。随着科技的发展，多自由度系统在许 多领域如航空航天、交通运输、能源等都得到了广泛应用， 因此对多自由度系统振动的研究具有重要意义。
多自由度系统振动与多个学科领域密切相关，如结构力学、流体力学 和声学等，需要加强这些交叉学科领域的应用研究。
多自由度系统振动实验平台的搭建与验证
为了验证多自由度系统振动理论和方法的有效性，需要搭建更加先进 的实验平台，并开展更加系统的实验研究。
谢谢您的聆听
THANKS
被动控制技术
被动控制技术是通过改变系 统的刚度、阻尼和/或质量分 布来减小系统的振动。被动 控制技术不需要外部能源， 而是利用自然现象或物理效 应来减小系统的振动。
振动力学 第5章
第五章 多自由度系统的振动5.1解：用Newton 第二定律或Dalembert 原理分别建立五个质点的动平衡方程1121314413213144131()()()()m xc x c x x c x x k x k x x k x x F ++-+-++-+-= 2272823728232()()m xc x c x x k x k x x F ++-++-= 33431534693832103543153469383210353()()()()()()()()()()m x c x x c x x c c x c x x c x x k x x k x x k k x k x x k x x F +-+-+++-+-+-+-+++-+-=4414341543143415434()()()()m xc x c x x c x x k x k x x k x x F ++-+-++-+-= 55105310535()()m xc x x k x x F +-+-= 整理得1123414334234143341()()m xc c c x c x c x k k k x k x k x F +++--+++--= 2278283782832()()m x c c x c x k k x k x F ++-++-= 3341824568910354105418245689103541053()()m x c x c x c c c c c c x c x c x k x k x k k k k k k x k x k x F --++++++----++++++--=44315335431533544()()m xc x c x c c x k x k x k k x F --++--++= 551031051031055m xc x c x k x k x F -+-+= 写成矩阵形式为MX+CX+KX =F 其中{}T12345F F F F F F = {}T12345X x x x x x =[]12345M diag m m m m m =234437884845689105103535101000000C 0000c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c ++--⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥=--+++++--⎢⎥--+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦2344378848456891051035351010000000000k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++--⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥=--+++++--⎢⎥--+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦K5.2解：（一）板和地基有四个立柱连接（1）取广义坐标B x 、C x 和D y 质心处的位移为:,,222B c B C B C O O D D x x x x x x lx y y y lθθ+--==+=+= 系统的势能为()222222222222211112222222222222222B C B C D D BCDBCDB C B D C D B C D B C B D C Dx x U kx kx ky k y l l kx kx ky k x x y x x x y x y kx kx ky kx x kx y kx y ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+++++-+-=++-+-其中, 312EI k l =系统的动能为2222222221112221112222211122222O O B C B C B C D B C B C B C D T mx my J xx x x x x m m y J l xx x x x x m m y J l θ=+++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 其中, 22211()126J a b ml =+= 拉格朗日函数22222211122222222222B C B C B C D B C D B C B D C Dxx x x x x L T U m m y J l kx kx ky kx x kx y kx y +--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭---+-+当系统发生位移B x 、C x 和D y 时，外力()F t 所做的功为111()()()()()222B C o D D B C x x W F t y F t y l F t y F t x F t x l -⎡⎤=⋅=+=⋅+⋅-⋅⎢⎥⎣⎦因此，等效结点力向量为T11Q ()()()22F t F t F t ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭代入Lagrange 方程d d i i i L LQ t qq ⎛⎫∂∂-= ⎪∂∂⎝⎭ (1,2,,)i n = 得 3332114824241()3622B C D B C D EI EI EI mx mx my x x y F t l l l -++-+= 3331212448241()6322B C D B C D EI EI EI mx mx my x x y F t l l l -+--+-=- 33311242448()22B C D B C D EI EI EI mx mx my x x y F t l l l-++-+= （2）取质心坐标o x 、o y 和θ为广义坐标 系统的势能为2222222211112222222222222222O O O O O O O O l l l l U k x k x k y k y l l l l k x k x k y k y θθθθθθθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中, 312EI k l =系统的动能为222111222O O T mx my J θ=++ ， 其中, 22211()126J a b ml =+= 拉格朗日函数22222221112222222O O O O O O L T U mx my J l l l l k x k x k y k y θθθθθ=-=++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+---+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭当系统发生位移o x 、o y 和θ时，外力()F t 所做的功为: ()o W F t y =⋅ 因此，等效结点力向量为:{}TQ 0()0F t =代入Lagrange d d i i i L LQ t qq ⎛⎫∂∂-= ⎪∂∂⎝⎭ (1,2,,)i n = 方程得 3480O O EImxx l += 348()O O EImyy F t l+= 212406EI ml l θθ+=（3）取质心坐标BD x 、AC y 和θ为广义坐标 系统的势能为2222222211112222221111222222AC AC AC AC BD BD BD BD U kx kx k x k x ky ky k y k y θθθθ⎛⎫⎛⎫=++++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+++++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中, 312EI k l =系统的动能为222111222AC BD T mx my J θ=++ ， 其中, 22211()126J a b ml =+= 拉格朗日函数22222222211122211112222AC BD AC BD AC AC BD BD L T U mx my J kx ky k x k x k y k y θ=-=++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭当系统发生位移BD x 、AC y 和θ时，外力()F t 所做的功为()()()AC BD AC BD W F t x y F t x t y ⎤=⋅+=⋅+⋅⎥⎣⎦因此，等效结点力向量为:TQ ()()022F t F t ⎫⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭代入Lagrange d d i i i L LQ t qq ⎛⎫∂∂-= ⎪∂∂⎝⎭ (1,2,,)i n = 方程得348()AC AC EI mxx F t l +=348()BD BD EI myy F t l += 212406EI ml lθθ+= （二）板和地基有三个立柱连接 （1）取广义坐标B x 、C x 和D y质心处的位移为,,222B c B C B C O O D D x x x x x x lx y y y lθθ+--==+=+= 系统的势能为()22222222222221111222222112222233222222B CB C D D B C D B C D B C B D C D B C D B C B D C Dx x U kx kx ky k y l l kx kx ky k x x y x x x y x y kx kx ky kx x kx y kx y ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+++++-+-=++-+-其中，312EIk l=。
模态分析
2. 测量
频率响应函数 力锤或者激振器激励 定义相干函数,自谱等用于验证
3. 曲线拟合
频率 阻尼 留数 (模态振型)
4. 验证
MAC (模态置信准则) 模态置信因子 相位分布 模态参与因子 ........
BA 7679-16, 15
频率响应函数
[m/s瞉 80 40 0 -40 -80 0 40m 80m 120m [s] 160m 200m 240m Time(Response) - Input Working : Input : Input : FFT Analyzer
设置和测量 显示器上的几何模型指导传感 器的安装 参量参数的图形化设置 测量状态的声音和视觉通知 自动的标签DOF – 当测量时可以标签 双击探测….
屏幕上的几何模型 安装传感器
时间计权
过载指示
BA 7679-16, 27
智能型传感器使得设置极其方便
内置的TEDS（ 读/写 传感器电子数据表 ） 芯片,
故障诊断
– 降低过大的振动水平 – 确保共振远离激励频率
仿真“假如。则。。”
– 确定载荷 – 复杂激励下结构的响应 – 结构动力学修改
结构综合分析
– 预测组装子部件或总成的动力学行为
模态测试
首先利用在飞机工业 今天也广泛的应用于汽车工业和许多其他工业
BA 7679-16, 11
故障诊断
频率响应函数
模态分析
BA 7679-16, 1
引言 2
当今需求： 运行的速度越来越快 对燃油经济性要求越来越高 结构越来越轻量化 这些需求要求降低结构重量 结果： 结构变得越来越“弱” 共振频率向激励频率范围内移动 由于动态载荷的存在，结构将更容易“失效”
机械振动-第五章多自由度系统的振动
x1 A1(1) sin p1t 1
(1) x2 A2 sin p1t 1 (1) xn An sin p1t 1
每个坐标均以同一圆频率p1及同一相位角 1作简谐振动，称为 系统第一阶主振动。
1 类似的，当系统在某些特殊的初始条件下，还可以产生系统的 第二阶、第三阶、…一直到第n阶主振动，具有与第一阶主振动 完全类似的性质。
2 2 2 m p A k m p A k m p 21 21 j 1 22 22 j 2 2 n 1 2 n 1 j An 1
k1n m1n p 2 j An k 2 n m2 n p 2 j An
y1 11 P 1 m1 y1 12 P 2 m2 y 2 1n P n mn y n y2 21 P 1 m1 y1 22 P 2 m2 y 2 2 n P n mn yn yn n1 P 1 m1 y1 n 2 P 2 m2 y2 nn P n mn y n
化简后得
1 K1 K 2 x1 K 2 x2 P m1 x 1 2 K 2 x1 K 2 K 3 x2 K 3 x3 P2 m2 x 3 K 3 x2 K 3 x3 P3 m3 x
此式可用矩阵形式表达式
K x P M x
11 12 1n 2n 21 22 , n1 n 2 nn
m1 0 0 m 2 M 0 0
0 0 mn
模态分析入门教程ppt课件
定义
图解
是一种坐标变换。目的在于把原在物理坐标系统中描述的响应向 量，放到所谓“模态坐标系统”中来描述。运用这一坐标的好处是：利用各特征向量之间的正交特性，可使描述响应向量的各个坐标互相独立而无耦合。换句话讲，在这一坐标系统中，振动方程是一组互无耦合的方程，每一个坐标均可单独求解。
实验梁的力锤敲击信号：
(5）数据预处理 调节采样数据 采样完成后，对采样数据重新检查并再次回放计算频响函数数据。一通道的力信号加力窗，在力窗窗宽调整合适。对响应信号加指数窗。设置完成后，回放数据重新计算频响函数数据。
力信号加力窗
响应信号加指数窗
启动回放
（6）模态分析 l 几何建模：自动创建矩形模型，输入模型的长宽参数以及分段数；打开结点信息窗口，编写测点号；
DHMA模态软件分析方法及应用领域
应用
大型建筑物：
大型桥梁：
DHMA模态分析软件功能
几何建模 读入CAD平面图形、ANSYS有限元模型文件；可以直接在界面上完成部件、结点、连线的填加、删除、移动、复制、粘贴以及参数修改等；可自动生成规则模型；为了更接近实际结构，测点之间可插入非测量结点，软件自动根据周围测点数据编写非测点的约束方程。对模型可以进行平移、旋转、放大缩小、线条颜色修改、背景颜色修改、四视图单独或同时显示；
（2）仪器连接 仪器连接如下图所示，其中力锤上的力传感器接动态采集分析仪的第一通道，DH201加速度传感器接第二通道。
（3）打开仪器电源，启动DHDAS控制分析软件， 选择分析/频响函数分析功能。
实验梁平面图
在菜单“ 分析(N) ”选择分析模式“单输入频响”。 在新建的四个窗口内，分别单击右键，在“信号选择”对话框中设定四个窗口依次为：频响函数数据、1-1通道的时间波形、相干函数数据和1-2通道的时间波形,如下图。
《多自由度系统振动》PPT课件教案资料
2022/2/12 《振动力学》
代入，得： (FM I)φ 0 特征方程： FMI 0 18
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态
• 多自由度系统的模态（主振型）
正定系统： M X KX 0
主振动： X φ asi nt ()
XRn M、 KRnn
0 φRn
特征值问题： (K2M)φ0
7
《振动力学》
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
• 多自由度系统的固有频率
作用力方程： MXKXP(t) XRn
自由振动方程： MXKX0
和单自由度系统一样，自 由振动时系统将以固有频 率为振动频率。
在考虑系统的固有振动时，最感兴趣的是系统的同 步振动，即系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外， 随时间变化的规律都相同的运动 。
则有：(TTAT)T＝TTAT(TT)T＝TTAT 正定性质：若原来的刚度矩阵K 正定，则（TTKT）仍正定。
因此坐标变换X ＝TY 不改变系统的正定性质。 对于质量矩阵也如此。
2022/2/12
5
《振动力学》
回顾：单自由度系统自由振动－无阻尼自由振动
小结：
单自由度系统自由振动分析的一般过程：
1、由工程装置建立自由振动的一般方程，并写出振动的标准方程； 2、根据标准方程，建立本征方程并计算得到本征值； 3、根据本征值，写出标准方程的通解； 4、根据初始条件，计算标准方程的特解。
f(t)asint(), 0
f(t)a tb,
0
主振动
（1）正定系统 0
只可能出现形如 X φ asi nt ()的同步运动。
系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动。
（2）半正定系统 0