(全国通用)2020版高考数学二轮复习第四层热身篇专题检测(十八)函数的图象与性质
2020高三二轮数学模拟卷理(18)答案
2020年普通高等学校招生全国统一考试高考仿真模拟卷(十八)(时间：120分钟；满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ＝log 2x ，12≤x ≤4，B ＝{x |x ≤2}，，则A ∩B ＝( )A ．[－1，2]B ．[0，2]C ．[－1，4]D ．[0，4]2．已知复数z ＝4＋2i（1＋i ）2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上，则m 的值为( )A ．－3B ．－4C ．－5D ．－63．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，M (2，2)为其终边上一点，则cos 2α＝( )A ．－23B.23 C ．－13D.134．已知直角坐标原点O 为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的中心，F 1，F 2为左、右焦点，在区间(0，2)上任取一个数e ，则事件“以e 为离心率的椭圆C 与圆O ：x 2＋y 2＝a 2－b 2没有交点”的概率为( )A.24B.4－24C.22D.2－225．为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，(x 4，y 4)，(x 5，y 5)．根据收集到的数据可知x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝150，由最小二乘法求得回归直线方程为y ^＝0.67x ＋54.9，则y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5的值为( )A ．75B ．155.4C ．375D ．466.26．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )的图象，则g (x )具有性质( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称B ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减，为奇函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数D ．周期为π，图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0对称7．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3π＋2，则它的表面积是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3132＋3π＋22＋2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3134＋32π＋22＋2 C.132π＋22D.134π＋228．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ln |x |图象的大致形状为( )9．已知一次函数f (x )＝kx ＋b 的图象经过点P (1，2)和Q (－2，－4)，令a n ＝f (n )f (n ＋1)，n ∈N *，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，当S n ＝625时，n 的值等于( )A ．24B ．25C ．23D ．2610．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2 2 ≥0，x ≤22，y ≤22表示平面区域Ω，过区域Ω中的任意一个点P ，作圆x 2＋y 2＝1的两条切线且切点分别为A ，B ，当△PAB 的面积最小时，cos ∠APB 的值为( )A.78B.12C.34D.3211．设F 1，F 2为双曲线x 2a2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P (x 0，2a )为双曲线上一点，若△PF 1F 2的重心和内心的连线与x 轴垂直，则双曲线的离心率为( )A.62B.52C.6D.512．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0＜x ＜3，sin π6x ，3≤x ≤15.若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，满足x 1＜x 2＜x 3＜x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则（x 3－2）（x 4－2）x 1x 2的取值范围是( )A ．(10，52)B ．(13，40)C ．(11，17)D ．(15，25)第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2－2n 展开式中的常数项是70，则n ＝________.14．如图所示的程序框图中，x ∈[－2，2]，则能输出x 的概率为________．第14题图 第15题图15．如图所示，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n …分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等，OA n ＝a n ，若a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是________．16．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线l 1，l 2与抛物线y 2＝－4x 的准线l 围成区域Ω(包含边界)，对于区域Ω内任意一点(x ，y )，若y －x －2x ＋3的最大值小于0，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos 2C －cos 2A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋C ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C .(1)求角A 的值； (2)若a ＝3且b ≥a ，求2b －c 的取值范围．18．(本小题满分12分)微信是腾讯公司推出的一款手机通讯软件，它支持发送语音、视频、图片和文字等，一推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信朋友圈销售商品的人(被称为微商)．经调查，年龄在40岁以下(不包括40岁)的微信用户每天使用微信的时间不低于8小时的概率为35，年龄在40岁以上(包括40岁)的微信用户每天使用微信的时间不低于8小时的概率为p ，将每天使用微信的时间不低于8小时的微信用户称为“微信狂”．若甲(21岁)、乙(36岁)、丙(48岁)三人中有且仅有一人是“微信狂”的概率为2875.(1)求甲、乙、丙三人中至少有两人是“微信狂”的概率；(2)记甲、乙、丙三人中是“微信狂”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．19．(本小题满分12分)某几何体ABC A 1B 1C 1的三视图和直观图如图所示．(1)求证：A1C⊥平面AB1C1；(2)求二面角C1AB1C的余弦值．20．(本小题满分12分)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1的右焦点为F(c，0)且a＞b＞c＞0，设短轴的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为32，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且|GF→|＋|CF→|＝4.(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在过点P(2，1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得OP→2＝4PA→·PB→成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝m (x －1)e x ＋x 2(m ∈R)． (1)若m ＝－1，求函数f (x )的单调区间；(2)若对任意的x <0，不等式x 2＋(m ＋2)x >f ′(x )恒成立，求m 的取值范围； (3)当m ≤－1时，求函数f (x )在[m ，1]上的最小值．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3.(1)求曲线C 2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；(2)若曲线C1和曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．23．(本小题满分10分)选修45：不等式选讲设函数f(x)＝2|x＋a|－|x＋b|.(1)当a＝1，b＝－1时，求使f(x)≥22的x的取值范围；(2)若f(x)≥132恒成立，求a－b的取值范围．高考仿真模拟卷(十八)1．解析：选B.由题意得A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪log 212≤y ≤log 24＝{y |－1≤y ≤2}＝[－1，2]，又B ＝{x |x ≤2}＝[0，4]， 所以A ∩B ＝[0，2]．故选B.2．解析：选C.z ＝4＋2i（1＋i ）2＝4＋2i 2i ＝（4＋2i ）i2i 2＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5.故选C.3．解析：选D.因为M (2，2)为角α终边上一点， 所以cos α＝222＋（2）2＝26＝63，所以cos 2α＝2cos 2 α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫632－1＝13. 故选D.4．解析：选A.满足题意时，椭圆上的点P (a cos θ，b sin θ)到圆心O (0，0)的距离：d 2＝(a cos θ－0)2＋(b sin θ－0)2＞r 2＝a 2－b 2，整理可得，b 2a 2＞sin 2θ1＋sin 2θ，所以e 2＝1－b 2a 2＜1－sin 2θ1＋sin 2θ＝11＋sin 2θ，又因为⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋sin 2θmin ＝12， 据此有e 2＜12，0＜e ＜22， 题中事件的概率p ＝22－02－0＝24.故本题选择A 选项．5．解析：选C.由x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝150，得x ＝30，代入回归直线方程y ^＝0.67x ＋54.9，得y ＝75，则y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＝375.6．解析：选B.由题意得，g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－π2＝sin(2x －π)＝－sin 2x ，对于A ，最大值为1正确，而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，图象不关于直线x ＝π2对称，故A 错误；对于B ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，满足单调递减，显然g (x )也是奇函数，故B 正确；C 显然错误；对于D ，周期T ＝2π2＝π，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝－22，故图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0对称．7．解析：选A.由三视图可知，该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体，其中：V 圆锥＝34×13×πa 2×3＝34πa 2，V 三棱锥＝12a 2×3×13＝12a 2，由题意：34πa 2＋12a 2＝3π＋2，所以a ＝2，据此可知：S 底＝2×2×π×34＋12×2×2＝3π＋2，S 圆锥侧＝34π×13×2＝3132π，S 棱锥侧＝12×22×11＝22，它的表面积是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3132＋3π＋22＋2.本题选择A 选项．8．解析：选D.因为f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1－x ln |－x |＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ln |x |＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，关于(0，0)对称，排除A ，B ； 当x ＝2时，f (2)＝52ln 2＞0，故选D.9．解析：选A.因为一次函数f (x )＝kx ＋b 的图象经过点P (1，2)和Q (－2，－4)，可得⎩⎪⎨⎪⎧2＝k ＋b ，－4＝－2k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝0，所以f (x )＝2x ，a n ＝f (n )f (n ＋1)＝2n ×2(n ＋1)＝4n (n ＋1)， 1a n ＝14n （n ＋1）＝14⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， S n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝14×n n ＋1＝625， 得n ＝24.10．解析：选B.设点P (x ，y )，|PO |＝x 2＋y 2，sin ∠APO＝1|PO |，cos ∠APO ＝|PO |2－1|PO |，sin ∠APB ＝2|PO |2－1|PO |2，故S△APB＝12|PA |·|PB |sin ∠APB ＝12(|PO |2－1)2·2|PO |2－1|PO |2＝(|PO |2－1)2·|PO |2－1|PO |2，令t ＝|PO |2－1，则(|PO |2－1)2·|PO |2－1|PO |2＝t ·tt ＋1，令f (t )＝t t t ＋1，则f ′(t )＝t （t ＋3）2（t ＋1）2，又|PO |≥|0＋0－22|12＋12＝2，所以t ≥3，f ′(t )＞0，f (t )在[3，＋∞)上单调递增，即|PO |＝x 2＋y 2取最小值时，△PAB 的面积最小，此时sin ∠APB ＝2|PO |2－1|PO |2＝32，cos ∠APB ＝12.11．解析：选A.画出图形如图所示，设△PF 1F 2的重心和内心分别为G ，I ，且圆I 与△PF 1F 2的三边F 1F 2，PF 1，PF 2分别切于点M ，Q ，N ，由切线的性质可得|PN |＝|PQ |，|F 1Q |＝|F 1M |，|F 2N |＝|F 2M |.不妨设点P (x 0，2a )在第一象限内，因为G 是△PF 1F 2的重心，O 为F 1F 2的中点， 所以|OG |＝13|OP |，所以G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 03，2a 3.由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝|F 1Q |－|F 2N |＝|F 1M |－|F 2M |， 又|F 1M |＋|F 2M |＝2c ，所以|F 1M |＝c ＋a ，|F 2M |＝c －a ， 所以M 为双曲线的右顶点．又I 是△PF 1F 2的内心，所以IM ⊥F 1F 2. 设点I 的坐标为(x I ，y I )，则x I ＝a . 由题意得GI ⊥x 轴， 所以x 03＝a ，故x 0＝3a ，所以点P 坐标为(3a ，2a )． 因为点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，所以9a 2a 2－4a 2b 2＝9－4a 2b2＝1，整理得b 2a 2＝12，所以e ＝ca＝1＋b 2a 2＝1＋12＝62.故选A.12．解析：选B.作出函数f (x )的图象，如图所示，易知，0＜x 1＜x 2＜3，且x 1x 2＝1，3＜x3＜6，12＜x4＜15，且x3，x4所对应的图象上的点关于直线x＝9对称，设x3＝9－t，x4＝9＋t，t∈(3，6)，所以（x3－2）（x4－2）x1x2＝(7－t)(7＋t)＝49－t2∈(13，40)．13．解析：因为⎝⎛⎭⎪⎫x2＋1x2－2n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x－1x2n＝⎝⎛⎭⎪⎫x－1x2n，所以T r＋1＝C r2n(－1)r x2n－r－r，所以C n2n(－1)n＝70，又C48＝70，所以n＝4.答案：414．解析：因为－2≤x≤2，所以当－2≤x≤0时，不等式|x|＋|x－1|≤2可化为－x－(x －1)≤2，得－12≤x≤0；当0<x≤1时，不等式|x|＋|x－1|≤2可化为x－(x－1)≤2恒成立；当1<x≤2时，不等式|x|＋|x－1|≤2可化为x＋(x－1)≤2，得1<x≤32.综上，满足不等式|x|＋|x－1|≤2的x的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32，所以能输出x的概率为32＋122＋2＝12.答案：1215．解析：如图，由题意可知：S0S0＋S＝⎝⎛⎭⎪⎫a n－1a n2，①S 0＋2S S 0＋S＝⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 2，②①②两式相加得2＝a 2n －1a 2n＋a 2n ＋1a 2n，所以2a 2n ＝a 2n －1＋a 2n ＋1，所以数列{a 2n }是首项为a 21、公差为a 22－a 21＝3的等差数列．故a 2n ＝a 21＋3(n －1)＝3n －2，即a n ＝3n －2.答案：a n ＝3n －216．解析：抛物线y 2＝－4x的准线为x ＝1，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝±b ax ，令x ＝1，得y ＝±ba ，所以抛物线的准线与双曲线的渐近线的两个交点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，b a 和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－b a ，设t ＝y －x －2x ＋3，整理得y ＝(t ＋1)x ＋3t ＋2，由于直线y ＝(t ＋1)x ＋3t ＋2过定点(－3，－1)，所以当直线y ＝(t ＋1)x ＋3t ＋2过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，b a 时，t 达到最大，最大值为t＝ba－1－21＋3<0，所以b a<3，b 2a 2<9，所以e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2<10，所以1<e <10，即离心率e 的取值范围为(1，10)．答案：(1，10)17．解：(1)由已知得2sin 2A －2sin 2C＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫34cos 2 C －14sin 2C ，化简得sin A ＝32，故A ＝π3或2π3.(2)由正弦定理b sin B ＝c sin C ＝asin A ＝2，得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，故2b －c ＝4sin B －2sin C ＝4sin B －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝3sin B －3cos B ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6.因为b ≥a ， 所以π3≤B <2π3，π6≤B －π6<π2，所以2b －c ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6∈[3，23)．18．解：(1)根据题意知，甲为“微信狂”，乙、丙都不是“微信狂”的概率为35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×(1－p )＝625(1－p )，乙为“微信狂”，甲、丙都不是“微信狂”的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×35×(1－p )＝625(1－p )．丙为“微信狂”，甲、乙都不是“微信狂”的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×p ＝425p .又甲、乙、丙三人中有且仅有一人是“微信狂”的概率为2875，所以625(1－p )＋625(1－p )＋425p ＝2875，解得p ＝13.故甲、乙、丙三人中至少有两人是“微信狂”的概率为1－2875－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝1325. (2)由题意知X 的所有可能取值为0，1，2，3，则P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝875，P (X ＝1)＝2875，P (X ＝2)＝35×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×35×13＝3075＝25，P (X ＝3)＝35×35×13＝975＝325，所以随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 P875 287525325 数学期望E (X )＝0×75＋1×75＋2×5＋3×25＝15.19．解：(1)证明：由三视图可知，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面A 1B 1C 1，B 1C 1⊥A 1C 1，且AA 1＝AC ＝4，BC ＝3.以点C 为原点，分别以CA 、CB 、CC 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．由已知可得A (4，0，0)，B (0，3，0)，C (0，0，0)，A 1(4，0，4)，B 1(0，3，4)，C 1(0，0，4)．所以A 1C →＝(－4，0，－4)，C 1A →＝(4，0，－4)，C 1B 1→＝(0，3，0)．所以A 1C →·C 1A →＝0，A 1C →·C 1B 1→＝0. 所以A 1C ⊥C 1A ，A 1C ⊥C 1B 1. 又C 1A ∩C 1B 1＝C 1， 所以A 1C ⊥平面AB 1C 1.(2)由(1)得，CA →＝(4，0，0)，CB 1→＝(0，3，4)．设平面AB 1C 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则CB 1→⊥n ，CA →⊥n .所以⎩⎨⎧CB 1→·n ＝0CA →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y ＋4z ＝04x ＝0.令y ＝4，得平面AB 1C 的一个法向量为n ＝(0，4，－3)． 由(1)知，A 1C →是平面AB 1C 1的一个法向量．所以cos 〈n ，A 1C →〉＝n ·A 1C→|n |·|A 1C →|＝12202＝3210.故二面角C 1AB 1C 的余弦值为3210.20．解：(1)由椭圆的对称性知|GF →|＋|CF →|＝2a ＝4，所以a ＝2. 又原点O 到直线DF 的距离为32，所以bc a ＝32，所以bc ＝3，又a 2＝b 2＋c 2＝4，a ＞b ＞c ＞0，所以b ＝3，c ＝1.故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 与x 轴垂直时不满足条件．故可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1，代入椭圆方程得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0，所以x 1＋x 2＝8k （2k －1）3＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－16k －83＋4k 2，Δ＝32(6k ＋3)＞0，所以k ＞－12.因为OP →2＝4PA →·PB →，即4[(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)]＝5， 所以4(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝5， 即4[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝5，所以4⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 2－16k －83＋4k 2－2×8k （2k －1）3＋4k 2＋4(1＋k 2)＝4×4＋4k 23＋4k 2＝5， 解得k ＝±12，k ＝－12不符合题意，舍去．所以存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝12x .21．解：(1)当m ＝－1时，f (x )＝(1－x )e x ＋x 2，则f ′(x )＝x (2－e x )，由f ′(x )>0得，0<x <ln 2，由f ′(x )<0得x <0或x >ln 2，故函数的增区间为(0，ln 2)，减区间为(－∞，0)，(ln 2，＋∞)． (2)依题意，f ′(x )＝mx (e x ＋2m)<x 2＋(m ＋2)x ，x <0，因为x <0，所以m e x －x －m >0，令h (x )＝m e x －x －m ，则h ′(x )＝m e x －1，当m ≤1时，h ′(x )≤e x －1<0，则h (x )在(－∞，0)上单调递减，所以h (x )>h (0)＝0，符合题意；当m >1时，h (x )在(－∞，－ln m )上单调递减，在(－ln m ，0)上单调递增，所以h (x )min＝h (－ln m )<h (0)＝0，不合题意．综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]． (3)f ′(x )＝mx e x ＋2x ＝mx (e x ＋2m)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln(－2m)，令g (m )＝ln(－2m )－m ，则g ′(m )＝－1m－1≤0，g (m )在m ＝－1时取最小值g (－1)＝1＋ln 2>0，所以x 2＝ln(－2m)>m .即m ≤－1时，x 2＝ln(－2m)>m .(ⅰ)当－2<m ≤－1时，x 2＝ln(－2m)>0，f (x )min ＝min{f (0)，f (1)}＝min{－m ，1}＝1.(ⅱ)当m ＝－2时，函数f (x )在区间[m ，1]上为减函数，f (x )min ＝f (1)＝1. (ⅲ)当m <－2时，f (x )min ＝min{f (x 2)，f (1)}，f (x 2)＝－2[ln(－2m )－1]＋[ln(－2m)]2＝x 22－2x 2＋2>1，f (1)＝1，此时f (x )min ＝1. 综上：f (x )min ＝1.22．解：(1)对于曲线C 2有ρ＝8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，即ρ2＝4ρcos θ＋43ρsin θ，因此曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －43y ＝0，其表示一个圆．(2)联立曲线C 1与曲线C 2的方程可得t 2－23sin α·t －13＝0，|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2 ＝（23sin α）2－4×（－13）＝12sin 2α＋52，因此|AB |的最小值为213，最大值为8.23．解：(1)由于y ＝2x 是增函数，所以f (x )≥22等价于|x ＋1|－|x －1|≥32.①(i)当x ≥1时，|x ＋1|－|x －1|＝2，则①式恒成立．(ii)当－1＜x ＜1时，|x ＋1|－|x －1|＝2x ，①式化为2x ≥32，即34≤x ＜1. (iii)当x ≤－1时，|x ＋1|－|x －1|＝－2，①式无解．综上，x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. (2)由f (x )≥132， 得|x ＋a |－|x ＋b |≥－5，而由||x ＋a |－|x ＋b ||≤|x ＋a －x －b |＝|a －b |，得－|a －b |≤|x ＋a |－|x ＋b |≤|a －b |，② 要使②恒成立，只需－|a －b |≥－5，可得a －b 的取值范围是[－5，5]．。
(全国通用)2020版高考数学二轮复习专题提分教程第二编专题一函数与导数第1讲函数的图象与性质练习理
第1讲 函数的图象与性质「考情研析」 1.对函数图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决有关函数性质的问题． 2.求函数零点所在的区间、零点的个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选填的形式出现.核心知识回顾1.函数的单调性单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，那么(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔□01f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔□02f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2．函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称)，都有□01f (－x )＝－f (x )成立，则f (x )为奇函数(都有□02f (－x )＝f (x )成立，则f (x )为偶函数)．(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f (x )，如果对于定义域内的任意一个x 的值，若f (x ＋T )＝□03f (x )(T ≠0)，则f (x )是周期函数，T 是它的一个周期． 3．关于函数的周期性、对称性的结论 (1)函数的周期性①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )为周期函数，□012a 是它的一个周期． ②设f (x )是R 上的偶函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，□022a 是它的一个周期．③设f (x )是R 上的奇函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，□034a 是它的一个周期．(2)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线□04x ＝a 对称． ②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )， 即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点□05(a,0)对称． ③若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )， 则函数f (x )的图象关于直线□06x ＝a ＋b 2对称．4．函数与方程(1)零点定义：x0为函数f(x)的零点⇔□01f(x0)＝0⇔(x0,0)为f(x)的图象与x轴的交点．(2)确定函数零点的三种常用方法①解方程判定法：解方程f(x)＝0.②零点定理法：根据连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)＜0，判定函数在区间(a，b)内存在零点．③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解.热点考向探究考向1 函数的性质例1 (1)定义在R上的函数f(x)在区间(－∞，2)上是增函数，且函数f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称，则( )A．f(1)＞f(3)＞f(－1) B．f(1)＞f(－1)＞f(3)C．f(3)＝f(1)＞f(－1) D．f(0)＞f(3)＞f(－1)答案 C解析∵f(x＋2)的图象关于y轴对称，∴y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(2＋x)＝f(2－x)，∴f(3)＝f(1)，而函数f(x)在区间(－∞，2)上是增函数，∴f(－1)＜f(0)＜f(1)＝f(3)．(2)(2019·鞍山一中高三三模)奇函数f(x) 的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(－1)＝－1，则f(2018)＋f(2019)＝( )A．－2 B．－1C．0 D．1答案 B解析由题意，奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，则f(－x＋1)＝f(x＋1)，即f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数，f(2018)＝f(504×4＋2)＝f(2)＝－f(0)＝0，f(2019)＝f(504×5－1)＝f(－1)＝－1，则f(2018)＋f(2019)＝0－1＝－1，故选B.(3)(2019·永州市高三摸底考试)已知函数f(x)＝e x－e－x－2x(x∈R)，则不等式f(1＋x)＋f(1－x2)≥0的解集是( )A．[－1,2]B．[－2,1]C．(－∞，－1]∪[2，＋∞)D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)答案 A解析因为函数f(x)＝e x－e－x－2x(x∈R)，所以f(－x)＝e－x－e x＋2x＝－f(x)，因此函数f(x)为奇函数，所以f(1＋x)＋f(1－x2)≥0化为f(1＋x)≥f(x2－1)，又f′(x)＝e x＋e－x －2≥0在R上恒成立，因此函数f(x)＝e x－e－x－2x在R上为增函数，所以1＋x≥x2－1，即x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2.故选A.(1)函数奇偶性的判断主要是根据定义，涉及奇偶性与单调性相结合的问题应明确奇、偶函数的单调性特征，将所研究的问题转化为同一个单调区间，涉及偶函数的单调性应注意f(x)＝f(－x)＝f(|x|)的应用．(2)含参数奇、偶函数问题，应根据奇偶函数的定义列出关于参数的方程，而对原点处有定义的奇函数，可直接用f(0)＝0列式求参数．1．(2019·永州市高三第三次模拟)已知f(x)满足∀x∈R，f(x＋2)＝f(x)，且x∈[1,3)时，f(x)＝log2x＋1，则f(2019)的值为( )A．－1 B．0C．1 D．2答案 C解析因为f(x)满足∀x∈R，f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的最小正周期为2，又x∈[1,3)时，f(x)＝log2x＋1，因此f(2019)＝f(1)＝log21＋1＝1.故选C.2．奇函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，且x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2，则f(2018)＋f(2019)＋f(2020)的值为________．答案－1解析函数f(x)是奇函数，则f(0)＝0，由f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]知f(1)＝1，f(2)＝0，又f(x－2)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x－2)＝－[－f(x－4)]＝f(x－4)，所以f(x)的周期为4，所以f(2018)＋f(2019)＋f(2020)＝f(2)＋f(3)＋f(0)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.3．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x.那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．答案(－7,3)解析∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．又x≥0时，f(x)＝x2－4x，∴不等式f(x＋2)<5⇒f(|x＋2|)<5⇒|x＋2|2－4|x＋2|<5⇒(|x＋2|－5)(|x＋2|＋1)<0⇒|x＋2|－5<0⇒|x ＋2|<5⇒－5<x＋2<5⇒－7<x<3.故解集为(－7，3)．考向2 函数的图象例2 (1)(2019·吕梁市高三模拟)函数f(x)＝|x|·sin x的图象大致是( )答案 A解析函数f(x)＝|x|sin x为奇函数，图象关于原点中心对称，可排除B，C；又f(π)＝|π|sinπ＝0，故排除D，故选A.(2) (2019·广州市高中毕业班综合测试(一))如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是( )答案 B解析函数h＝f(t)是关于t的减函数，故排除C，D，则一开始，h随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B，故选B.知式选图问题的求解方法：根据图象与坐标轴的交点及图象的左、右、上、下分布特征、变化趋势，再结合函数的单调性、奇偶性等性质分析解析式与图象的对应关系，同时要注意特殊点的应用．1. 下列四个函数中，图象如图所示的只能是( )A．y＝x＋lg xB．y＝x－lg xC．y＝－x＋lg xD．y＝－x－lg x答案 B解析特殊值法：当x＝1时，由图象可知y＞0，而C，D中，y＜0，故排除C，D.又当x＝110时，由图象可知y＞0，而A中y＝110＋lg110＝－910＜0，排除A，故选B.2．函数y＝e|x|－x3的大致图象是( )答案 A解析易知函数y＝e|x|－x3为非奇非偶函数，排除B；当x＜0时，y＞0，排除C；当x＝2时，y＝e2－8＜0，排除D，故选A.考向3 函数的零点例3 (1)(2019·宣城市高三第二次调研测试)已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d.若f(x)＝2019＋(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是( ) A．a>c>d>b B．a>d>c>bC ．c >d >a >bD ．c >a >b >d答案 A解析 由题意，设g (x )＝(x －a )(x －b )，则f (x )＝2019＋g (x )，所以g (x )＝0的两个根是a ，b ，由题意知，f (x )＝0的两根c ，d ，也就是g (x )＝－2019的两根，画出g (x )(开口向上)以及直线y ＝－2019的大致图象，则两函数图象的交点的横坐标就是c ，d ，g (x )与x 轴的交点的横坐标就是a ，b ，又a ＞b ，c ＞d ，则c ，d 在a ，b 内，由图得，a >c >d >b ，故选A.(2)函数y ＝lg x －sin x 在(0，＋∞)上的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 画出函数y ＝lg x 与y ＝sin x 的图象，如图，易知两函数图象在(0，＋∞)上有3个交点，即函数y ＝lg x －sin x 在(0，＋∞)上有3个零点，故选C.(3)(2019·天津九校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x 2－4x (x ＜0)，f (x －2)(x ≥0)，且函数y ＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－4，＋∞)B ．[－8，＋∞)C ．[－4,0]D ．(0，＋∞)答案 A解析 方程f (x )－2x ＝0⇔f (x )＝2x ⇔f (x )－a ＝2x －a ，所以函数y ＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点等价于y ＝f (x )－a 与y ＝2x －a 有三个不同的交点．记g (x )＝f (x )－a ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x (x ＜0)，g (x －2)(x ≥0)，画出函数简图如下，画出函数y ＝2x 如图中过原点的虚线l ，平移l 要保证图象有三个交点，向上最多平移到l ′位置，向下平移一直会有三个交点，所以－a ≤4，即a ≥－4，故选A.判断函数零点的方法(1)解方程法，即解方程f (x )＝0，方程有几个解，函数f (x )就有几个零点．(2)图象法，画出函数f (x )的图象，图象与x 轴的交点个数即为函数f (x )的零点个数． (3)数形结合法，即把函数等价转化为两个函数，通过判断两个函数图象交点的个数得出函数零点的个数．(4)利用零点存在性定理判断．1．(2019·广西桂林市高三综合能力检测)下列函数中是奇函数且有零点的是( ) A ．f (x )＝x ＋|x | B ．f (x )＝x －1＋xC ．f (x )＝1x＋tan xD ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2答案 C解析 因为f (x )＝x ＋|x |，所以f (－x )＝－x ＋|x |，而－f (x )＝－x －|x |，所以不是奇函数，排除A ；因为f (x )＝x －1＋x ，所以f (－x )＝－x －1－x ＝－f (x )，所以函数f (x ) 是奇函数，但令f (x )＝0，可知方程无解，即f (x ) 没有零点，排除B ；因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，所以f (－x )＝cos x ＝f (x )，即f (x )为偶函数，排除D ；因为f (x )＝1x＋tan x ，所以f (－x )＝－1x－tan x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，又由正切函数的图象和反比例函数的图象易知，y＝－1x 与y ＝tan x 必然有交点，因此函数f (x )＝1x＋tan x 必有零点．故选C.2．(2019·马鞍山市一模)若函数f (x )＝ln (x －1)＋2x－ax (a >0)恰有一个零点，则实数a 的值为( )A.12 B ．2 C ．1e D ．e答案 A解析 函数f (x )的定义域为(1，＋∞)，若函数f (x )＝ln (x －1)＋2x－ax (a >0)恰有一个零点，等价为f (x )＝ln (x －1)＋2x －ax ＝0恰有一个根，即ln (x －1)＋2x＝ax 恰有一个根，即函数y ＝ln (x－1)＋2x 和y ＝ax 的图象恰有一个交点，即当a >0时，y ＝ax 是函数y ＝ln (x －1)＋2x的切线．设g (x )＝ln (x －1)＋2x ，切点为(m ，n )，则ln (m －1)＋2m ＝n ，因为g ′(x )＝1x －1－2x 2＝x 2－2x ＋2x 2(x －1)>0，切线斜率k ＝g ′(m )＝1m －1－2m 2＝a ，则切线方程为y －n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m －1－2m 2(x －m )，因为切线过原点，所以－m ⎝⎛⎭⎪⎫1m －1－2m 2＋ln (m －1)＋2m ＝0，即ln (m －1)＋4m －m m －1＝0，所以m ＝2，此时a ＝1m －1－2m 2＝12－1－24＝1－12＝12，故选A.3．已知函数f (x )＝|x |＋a －x 2－2(a ＞0)没有零点，则实数a 的取值范围是________． 答案 (0,1)∪(2，＋∞)解析 函数f (x )＝|x |＋a －x 2－2(a ＞0)没有零点，即方程|x |＋a －x 2－2＝0没有实根，转化为函数y ＝a －x 2与函数y ＝2－|x |的图象没有交点，画出图象如图所示，找到两个临界位置，易得实数a 的取值范围是(0,1)∪(2，＋∞)．真题押题『真题模拟』1．(2019·温州高三检测)函数f (x )＝e x＋12x －2的零点所在的区间是( )A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1,2)D ．(2,3)答案 B解析 ∵f ′(x )＝e x＋12＞0，∴f (x )在R 上单调递增，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e －74＜3－74＜0，f (1)＝e －32＞0，∴函数f (x )的零点在区间(12，1)上．2．(2019·新疆维吾尔族自治区第二次检测)已知函数f (x )＝－1x ＋0.5，g (x )＝2cos πx ，当x ∈(－3,2)时，方程f (x )＝g (x )的所有实根之和为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2答案 A解析 作出函数f (x )，g (x )的大致图象如图所示．由反比例函数及三角函数的性质可知，函数f (x )，g (x )的图象都关于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0对称，所以它们图象的交点关于点P 对称．由图可知，x 1＋x 4＝－1，x 2＋x 3＝－1，所有实根之和为x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－2.故选A.3．(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin x ＋xcos x ＋x2在[－π，π]的图象大致为( )答案 D解析 ∵f (－x )＝sin (－x )－x cos (－x )＋(－x )2＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除A.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1＋π2⎝ ⎛⎭⎪⎫π22＝4＋2ππ2>1，f (π)＝π－1＋π2>0，排除B ，C.故选D. 4．(2019·上海市交大附中高三一模)已知定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧31－[x －(2k －1)]2，x ∈(2k －2，2k ]，k ∈N *，25x －15，x ≤0，则此函数图象上关于原点对称的点有( )A ．7对B ．8对C ．9对D ．以上都不对答案 B解析 当x ＝0时，f (x )＝－15，此时⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－15关于原点对称的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15，此点不在函数f (x )上．当x <0时，函数y ＝25x －15关于原点对称的函数为－y ＝－25x －15，即y ＝25x ＋15(x >0)，若函数图象上存在关于原点对称的点，则问题转化为求当x >0时，f (x )＝31－[x －(2k －1)]2与y ＝25x ＋15(x >0)的交点个数．作出函数f (x )在x >0时的图象如图，由图象，知函数y ＝31－[x －(2k －1)]2，x ∈[2k －2,2k ]，k ∈N *的图象分别关于x ＝1，x ＝3，x ＝5，x ＝7，x ＝9对称，且函数的最大值为f (2k －1)＝3，当y ＝25x ＋15＝3时，得25x ＝145，即x ＝7，故当x >0时，f (x )＝31－[x －(2k －1)]2与y ＝25x ＋15(x >0)的交点个数有8个，即函数图象上关于原点对称的点有8对，故选B.『金版押题』5．函数f (x )＝x 2＋ln |x |的大致图象是( )答案 A解析 解法一：∵f (x )＝x 2＋ln |x |，∴f (－x )＝(－x )2＋ln |－x |＝f (x )．∴f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B ，C.当x ∈(0，＋∞)时，函数f (x )＝x 2＋ln x ，则f ′(x )＝2x ＋1x＞0，即函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，故选A.解法二：∵f (x )＝x 2＋ln |x |，∴f (－x )＝(－x )2＋ln |－x |＝f (x )．∴f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B ，C.又当x 无限接近于0时，x 2→0，ln |x |→－∞.因此排除D ，故选A.6．设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，若关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)在区间(－2,6]内恰有三个不同实根，则实数a 的取值范围是( )A ．(43，48)B ．(34，2) C ．(43，2] D ．(34，2]答案 B解析 因为f (x )为偶函数，故f (2－x )＝f (x －2)，所以f (x ＋2)＝f (x －2)，故f (x )是周期函数且周期为4，因x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，故f (x )在(－2,6]上的图象如图所示，因为f (x )－log a (x ＋2)＝0在区间(－2,6]内恰有三个不同实根，所以f (x )的图象与y ＝log a (x＋2)的图象有3个不同的交点，故⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＞log a (2＋2)，f (6)＜log a (6＋2)，即⎩⎪⎨⎪⎧3＞log a 4，3＜log a 8，解得4 13<a <2，故选B.配套作业一、选择题1．(2019·新疆乌鲁木齐高三第二次质量检测)图象关于原点对称且在定义域内单调递增的函数是( )A ．f (x )＝cos x －1B ．f (x )＝x 2＋2 C ．f (x )＝－1xD ．f (x )＝x 3答案 D解析 根据题意，函数的图象关于原点对称，则该函数为奇函数，据此分析选项．对于A ，f (x )＝cos x －1为偶函数，不符合题意；对于B ，f (x )＝x 2＋2为偶函数，不符合题意；对于C ，f (x )＝－1x是奇函数，但在其定义域内不是单调函数，不符合题意；对于D ，f (x )＝x 3是奇函数即其图象关于原点对称且在定义域内单调递增，符合题意．故选D.2．(2019·永州市高三第三次模拟)已知函数f (x )＝－3x ＋2sin x ，若a ＝f (32)，b ＝－f (－2)，c ＝f (log 27)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <c <a答案 B解析 由题意得，f (－x )＝3x －2sin x ＝－f (x )，可知f (x )为R 上的奇函数．∴b ＝－f (－2)＝f (2)．f ′(x )＝－3＋2cos x .又－1≤cos x ≤1，可得－5≤－3＋2cos x ≤－1，即f ′(x )<0，∴f (x )在R 上单调递减．又32>31＝3,2＝log 24<log 27<log 28＝3，可知2<log 27<32，∴f (32)<f (log 27)<f (2)，即a <c <b ，故选B.3．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f (13)的x 的取值范围是( )答案 A解析 由于函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，且f (x )为偶函数，则由f (2x －1)＜f 13得－13＜2x －1＜13，解得13＜x ＜23.故x 的取值范围是(13，23).4．(2019·靖远县高三第四次联考)函数y ＝ln x4x的图象大致是( )答案 A解析 因为函数y ＝ln x 4x 为奇函数，排除B ，C ；又函数y ＝ln x 4x的零点为－1和1，排除D ，故选A.5．若方程ln (x ＋1)＝2x的根在区间(k ，k ＋1)(k ∈Z )上，则k 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－1或1答案 D解析 在同一坐标系中作出函数y ＝ln (x ＋1)，y ＝2x的图象(图略)，可知有2个交点，一个在区间(－1,0)上，又x ＝1时，ln 2＜2，x ＝2时，ln 3＞1，所以另一个在区间(1,2)上，即k ＝－1或k ＝1，故选D.6．函数f (x )＝3·4x －2x在x ∈[0，＋∞)上的最小值是( ) A ．－112B ．0C ．2D ．10答案 C解析 设2x ＝t ，∵x ≥0，∴t ≥1，y ＝3t 2－t (t ≥1)的最小值为2，故选C.7．(2019·巢湖市高三3月份联考)与函数f (x )＝sin x 2＋cos x 的部分图象符合的是( )答案 B解析 ∵f (x )＝sin x 2＋cos x ＝f (－x )＝sin x 2＋cos(－x )，故得到函数f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，f (0)＝sin0＋cos0＝1，排除C ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin π24＋cos π2＝sin π24>0，排除A ，D ，故选B.8．若a ＞b ＞1,0＜c ＜1，则( ) A ．a c＜b cB ．ab c ＜ba cC ．a log b c ＜b log a cD ．log a c ＜log b c答案 C解析 考虑幂函数y ＝x c，因为c ＞0，所以y ＝x c为增函数，又a ＞b ＞1，所以a c＞b c，A 错误．ab c＜ba c⇔(b a)c＜b a ，又y ＝(b a)x是减函数，所以B 错误．由对数函数的性质可知D 错误，选C.9．已知函数f (x )＝x 2＋cos x x2，则y ＝f (x )的图象大致为( )答案 B解析 函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f (－x )＝(－x )2＋cos (－x )(－x )2＝x 2＋cos xx2＝f (x )，所以该函数为偶函数，故可排除A ，当x →＋∞时，函数f (x )→＋∞，故可排除C ，D ，故选B.10．(2019·江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中学高三联考)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足x >0时，f (x )＝2πx －ln x ＋ln π2，则函数g (x )＝f (x )－sin x (e 为自然对数的底数)的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．5答案 C解析 当x >0时，f ′(x )＝2π－1x ，故函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞上单调递增，在x ＝π2处有最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，此时g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－sin π2＝1－1＝0.根据f (x )的单调性和|sin x |≤1可知，当x >0时，x ＝π2是g (x )的唯一零点．由于f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (0)＝0，故g (0)＝f (0)－sin0＝0，所以x ＝0是函数g (x )的零点．由于f (x )和sin x 都是奇函数，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1，且根据奇函数图象的对称性可知，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－π2上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0上单调递减，当x ＝－π2时，f (x )在(－∞，0)上取得最大值，故x ＝－π2是g (x )在区间(－∞，0)上的唯一零点．综上所述，g (x )的零点个数是3，故选C.11．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，|ln x |，x ＞0，则方程f [f (x )]＝3的根的个数是( )A ．6B ．5C ．4D ．3答案 B解析 令f (x )＝t ，则方程f [f (x )]＝3即为f (t )＝3，解得t ＝e －3或e 3，作出函数f (x )的图象，由图象可知方程f (x )＝e －3有3个解，f (x )＝e 3有2个解，则方程f [f (x )]＝3有5个实根，故选B.12．(2019·武邑中学高三上学期第二次调研)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1(x ≥0)，f (x ＋1)(x ＜0)，若方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)答案 C解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1(x ≥0)，f (x ＋1)(x ＜0)的图象如图所示，作出直线l ：y ＝a －x ，向左平移直线l 观察可得函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝－x ＋a 的图象有两个交点，即方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，即有a <1，故选C.二、填空题13．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≥0的解集是________．答案 {x |x ≥3或x ≤1}解析 因为偶函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，f (1)＝0，所以不等式f (x －2)≥0等价为f (|x －2|)≥f (1)，即|x －2|≥1，解得x ≥3或x ≤1，故不等式的解集为{x |x ≥3或x ≤1}．14．(2019·张家口模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12＋x 2＋2x ，x <0，f (x －1)，x ≥0，且函数y ＝f (x )＋ax 恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． 答案 －12，－14∪12，＋∞解析 当x <0时，f (x )＝(x ＋1)2－12，把函数f (x )在[－1,0)上的图象向右平移一个单位，即得函数y ＝f (x )在[0,1)上的图象，继续右移可得函数f (x )在[0，＋∞)上的图象．如果函数y ＝f (x )＋ax 恰有3个不同的零点，即函数y ＝f (x )，y ＝－ax 的图象有三个不同的公共点，实数a 应满足－a <－12，即a >12，或14≤－a <12，即－12<a ≤－14.。
2020版高考数学二轮复习分层设计(全国通用)第四层热身篇：专题检测(十九) 基本初等函数、函数与方程
专题检测（十九） 基本初等函数、函数与方程A 组——“12＋4”满分练一、选择题1.幂函数的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，14，则它的单调递增区间是( ) A.(0，＋∞) B.[)0，＋∞ C.(－∞，＋∞)D.(－∞，0)解析：选D 设f (x )＝x a ，则2a ＝14，所以a ＝－2，所以f (x )＝x －2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0).故选D.2.(2019·全国卷Ⅰ)已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A.a <b <c B.a <c <b C.c <a <bD.b <c <a解析：选B 由对数函数的单调性可得a ＝log 20.2<log 21＝0，由指数函数的单调性可得b ＝20.2>20＝1，0<c ＝0.20.3<0.20＝1，所以a <c <b .故选B.3.函数f (x )＝－|x |－x ＋3的零点所在区间为( ) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3)D.(3，4)解析：选B 函数f (x )＝－|x |－x ＋3是单调减函数，因为f (1)＝1＞0，f (2)＝1－2＜0，所以f (1)f (2)＜0，可知函数f (x )＝－|x |－x ＋3的零点所在区间为(1，2).4.(2019·广州市综合检测(一))如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T .若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t ，则函数h ＝f (t )的图象大致是( )解析：选B 水位由高变低，排除C 、D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B.5.若函数y ＝a －a x (a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( )A.1B.2C.3D.4解析：选C ∵当a >1时，函数y ＝a －a x 在[0，1]上单调递减，∴a －1＝1且a －a ＝0，解得a ＝2；当0<a <1时，函数y ＝a －a x 在[0，1]上单调递增，∴a －1＝0且a －a ＝1，此时无解.∴a ＝2，因此log a 56＋log a 485＝log 2⎝⎛⎭⎫56×485＝log 28＝3.故选C. 6.若函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )的解析式为( )A.f (x )＝e x ＋1B.f (x )＝e x －1C.f (x )＝e－x ＋1D.f (x )＝e－x －1解析：选D 与y ＝e x 的图象关于y 轴对称的图象对应的函数为y ＝e －x .依题意，f (x )的图象向右平移1个单位长度，得y ＝e －x 的图象，∴f (x )的图象是由y ＝e －x 的图象向左平移1个单位长度得到的，∴f (x )＝e－(x ＋1)＝e－x －1.7.某商场为了解商品的销售情况，对某种电器今年一至五月份的月销售量Q (x )(台)进行统计，得数据如下：根据表中的数据，你认为能较好地描述月销售量Q (x )(台)与时间x (月份)变化关系的模拟函数是( )A.Q (x )＝ax ＋b (a ≠0)B.Q (x )＝a |x －4|＋b (a ≠0)C.Q (x )＝a (x －3)2＋b (a ≠0)D.Q (x )＝a ·b x (a ≠0，b >0且b ≠1)解析：选C 观察数据可知，当x 增大时，Q (x )的值先增大后减小，且大约是关于Q (3)对称，故月销售量Q (x )(台)与时间x (月份)变化关系的模拟函数的图象是关于x ＝3对称的，显然只有选项C 满足题意，故选C.8.已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为( )A.(－∞，＋∞)上的减函数B.(－∞，＋∞)上的增函数C.(－1，1)上的减函数D.(－1，1)上的增函数解析：选D 由题意知，f (0)＝lg(2＋a )＝0，∴a ＝－1，∴f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x －1＝lg x ＋11－x ，令x ＋11－x >0，则－1<x <1，排除A 、B ，又y ＝21－x －1在(－1，1)上是增函数，∴f (x )在(－1，1)上是增函数.选D.9.设函数f (x )＝a x －k －1(a >0，且a ≠1)过定点(2，0)，且f (x )在定义域R 上是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )解析：选A 由题意可知a 2－k －1＝0，解得k ＝2，所以f (x )＝a x －2－1，又f (x )在定义域R上是减函数，所以0<a <1.此时g (x )＝log a (x ＋2)在定义域上单调递减，且恒过点(－1，0)，故选A.10.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A.[－1，0)B.[0，＋∞)C.[－1，＋∞)D.[1，＋∞)解析：选C 令h (x )＝－x －a ，则g (x )＝f (x )－h (x ).在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )的示意图，如图所示.若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象，可知当直线y ＝－x －a 过点(0，1)时，有2个交点，此时1＝－0－a ，a ＝－1.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a <－1时，仅有1个交点，不符合题意.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a >－1时，有2个交点，符合题意.综上，a 的取值范围为[－1，＋∞).故选C.11.(2019·贵阳市第一学期监测)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，若a ＝f ⎝⎛⎭⎫log 215，b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.5)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a ＜b ＜c B.b ＜a ＜c C.c ＜a ＜bD.c ＜b ＜a解析：选D 由题意，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫log 215＝f (－log 25)＝f (log 25)，因为log 25＞log 24.1＞2＞20.5＞0，所以f (log 25)＞f (log 24.1)＞f (20.5)，即c ＜b ＜a ，故选D.12.(2019·福州市质量检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x＋4，x ≤0，－x 3－x ＋5，x ＞0，当x ∈[m ，m ＋1]时，不等式f (2m －x )＜f (x ＋m )恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.(－∞，－4)B.(－∞，－2)C.(－2，2)D.(－∞，0)解析：选B 易知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x＋4，x ≤0，－x 3－x ＋5，x ＞0在x ∈R 上单调递减，又f (2m －x )＜f (x ＋m )在x ∈[m ，m ＋1]上恒成立，所以2m －x ＞x ＋m ，即2x ＜m 在x ∈[m ，m ＋1]上恒成立，所以2(m ＋1)＜m ，解得m ＜－2，故选B.二、填空题13.(2019·广州市综合检测(一))已知函数f (x )＝x 3＋a log 3x ，若f (2)＝6，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________. 解析：由f (2)＝8＋a log 32＝6，解得a ＝－2log 32，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝18＋a log 312＝18－a log 32＝18＋2log 32×log 32＝178.答案：17814.(2019·河北模拟调研改编)已知函数f (x )＝log a (－x ＋1)(a ＞0，且a ≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]，则实数a ＝________；若函数g (x )＝a x ＋m －3的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围为________.解析：函数f (x )＝log a (－x ＋1)(a ＞0且a ≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0].当a ＞1时，f (x )＝log a (－x ＋1)在[－2，0]上单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＝log a 3＝0，f （0）＝log a 1＝－1，无解；当0＜a ＜1时，f (x )＝log a (－x ＋1)在[－2，0]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＝log a 3＝－1，f （0）＝log a1＝0，解得a ＝13.∵g (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ＋m －3的图象不经过第一象限，∴g (0)＝⎝⎛⎭⎫13m－3≤0，解得m ≥－1，即实数m 的取值范围是[－1，＋∞).答案：13[－1，＋∞)15.已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租.设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为________元.解析：设利润为y 元，租金定为3 000＋50x (0≤x ≤70，x ∈N )元.则y ＝(3 000＋50x )(70－x )－100(70－x )＝(2 900＋50x )(70－x )＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝⎛⎭⎫58＋x ＋70－x 22＝204 800，当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故每月租金定为3 000＋300＝3 300(元)时，公司获得最大利润.答案：3 30016.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x－1，x ≤0，x 12，x >0在区间[－1，m ]上的最大值是2，则m 的取值范围是________.解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x－1，x ≤0，x 12，x >0，作出函数的图象，如图所示，因为函数f (x )在[－1，m ]上的最大值为2，又f (－1)＝f (4)＝2，所以－1<m ≤4，即m ∈(－1，4].答案：(－1，4]B 组——“5＋3”提速练1.定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12（x ＋1），x ∈[)0，1，1－|x －3|，x ∈[)1，＋∞，则关于x 的函数F (x )＝f (x )－a (0＜a ＜1)的零点个数为( )A.2B.3C.4D.5解析：选D 因为f (x )为奇函数， 所以x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 12（－x ＋1），x ∈(]－1，0，－1＋|－x －3|，x ∈(]－∞，－1， 画出y ＝f (x )和y ＝a (0＜a ＜1)的图象，如图共有5个交点，所以F (x )有5个零点.2.已知函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，且a ≠1)，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 B.(0，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－∞，－14 D.⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 解析：选A 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，2x 2＋x ∈(0，1)，因为当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，恒有f (x )>0，所以0<a <1，由2x 2＋x >0得x >0或x <－12.又2x 2＋x ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋142－18，由复合函数的单调性可知，函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－12. 3.如图，四棱锥P -ABCD 的底面是边长为2的正方形，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝4，M 是PB 上(P ，B 点除外)的一个动点，过点M 作平面α∥平面P AD ，截棱锥所得截面面积为y ，若平面α与平面P AD 之间的距离为x ，则函数y ＝f (x )的大致图象是( )解析：选D 法一：如图，过点M 作MT ∥P A 交AB 于点T ，过点M作MN ∥BC 交PC 于点N ，过点N 作NS ∥PD 交CD 于点S ，连接TS ，则平面MTSN ∥平面P AD ，所以y ＝S四边形MTSN .由P A ⊥平面ABCD ，可得MT ⊥平面ABCD ，所以平面α与平面P AD 之间的距离x ＝AT ，且四边形MTSN 为直角梯形.由MT ∥P A ，MN ∥BC ，得MT P A ＝2－x 2，MN BC ＝x 2，所以MT ＝2－x 2×4＝2(2－x )，MN ＝x2×2＝x ，所以y ＝S 四边形MTSN ＝MT2·(MN ＋ST )＝(2－x )(x ＋2)＝4－x 2(0＜x ＜2).故选D.法二：设M ，N ，S ，T 分别为棱PB ，PC ，CD ，AB 的中点，连接MN ，NS ，ST ，MT ，则易知四边形MTSN 为直角梯形.易证CD ⊥平面P AD ，平面MTSN ∥平面P AD ，所以此时x ＝1，y ＝12(MN ＋ST )×MT ＝12×(1＋2)×2＝3，即函数y ＝f (x )的图象过点(1，3)，排除A 、C ；又当x →0时，y →S △P AD ＝12×2×4＝4，所以排除B.故选D.4.(2019·河北省九校第二次联考)若函数f (x )＝kx －|x －e －x |有两个正实数零点，则k 的取值范围是( )A.(0，＋∞)B.⎝⎛⎭⎫0，1e C.(0，1)D.(0，e)解析：选C 令f (x )＝kx －|x －e －x |＝0，得kx ＝|x －e －x |，当x ＞0时，k＝⎪⎪⎪⎪x －e －xx ＝⎪⎪⎪⎪1－1x e x ，令g (x )＝1－1x e x ，x ＞0，则g ′(x )＝1＋x x 2e x ＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为g ⎝⎛⎭⎫12＝1－2e＜0，g (1)＝1－1e ＞0，所以在⎝⎛⎭⎫12，1上存在一个a ，使得g (a )＝0，所以y ＝|g (x )|的图象如图所示.由题意知，直线y ＝k 与y ＝|g (x )|的图象有两个交点，所以0＜k ＜1，故选C.5.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 019x ，x ＞1，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b＋c 的取值范围是( )A.(1，2 019)B.(1，2 020)C.[2，2 020]D.(2，2 020)解析：选D 法一：由于函数y ＝sin πx 的周期为2，0≤x ≤1，故它的图象关于直线x ＝12对称.不妨设0＜a ＜b ＜c ，则a ＋b ＝1，c ＞1，故有a ＋b ＋c ＞2，再由正弦函数的定义域和值域可得f (a )＝f (b )＝f (c )∈[0，1]，故有0≤log 2 019c ＜1，解得c ＜2 019.综上可得，2＜a ＋b ＋c ＜2 020，故选D.法二：作出函数f (x )的图象与直线y ＝m ，如图所示，不妨设a ＜b ＜c ，当0≤x ≤1时，函数f (x )的图象与直线y ＝m 的交点分别为A ，B ，由正弦曲线的对称性，可得A (a ，m )与B (b ，m )关于直线x ＝12对称，因此a ＋b ＝1，当直线y ＝m ＝1时，由log 2 019x ＝1，解得x ＝2 019.若满足f (a )＝f (b )＝f (c )，且a ，b ，c 互不相等，由a ＜b ＜c 可得1＜c ＜2 019，因此可得2＜a ＋b ＋c ＜2 020，即a ＋b ＋c ∈(2，2 020).故选D.6.已知在(0，＋∞)上函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，0＜x ＜1，1，x ≥1，则不等式log 2x －[log 14(4x )－1]·f (log 3x ＋1)≤5的解集为________.解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋1≥1，log 2x －⎣⎡⎦⎤log 14（4x ）－1≤5 或⎩⎪⎨⎪⎧0＜log 3x ＋1＜1，log 2x ＋2⎣⎡⎦⎤log 14（4x ）－1≤5， 解得1≤x ≤4或13＜x ＜1，所以原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤13，4. 答案：⎝⎛⎦⎤13，47.某工厂常年生产红木家具，根据预测可知，该产品近10年的产量平稳增长.记2016年为第1年，且前4年中，第x 年与年产量f (x )(单位：万件)之间的关系如下表所示：若f (x )近似符合以下三种函数模型之一：①f (x )＝ax ＋b ，②f (x )＝2x ＋a ，③f (x )＝log 12x ＋a .则你认为最适合的函数模型的序号为________.解析：若模型为f (x )＝2x ＋a ，则由f (1)＝21＋a ＝4，得a ＝2，即f (x )＝2x ＋2，此时f (2)＝6，f (3)＝10，f (4)＝18，与表格数据相差太大，不符合；若模型为f (x )＝log 12x ＋a ，则f (x )是减函数，与表格数据相差太大，不符合；若模型为f (x )＝ax ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4，3a ＋b ＝7，解得⎩⎨⎧a ＝32，b ＝52.所以f (x )＝32x ＋52，x ∈N ，所以最适合的函数模型的序号为①.答案：①8.(2019·吉林长春四校5月联考)已知g (x )为偶函数，h (x )为奇函数，且满足g (x )－h (x )＝2x .若存在x ∈[－1，1]，使得不等式m ·g (x )＋h (x )≤0有解，则实数m 的最大值为________.解析：因为g (x )－h (x )＝2x ，① 所以g (－x )－h (－x )＝2－x .又g (x )为偶函数，h (x )为奇函数，所以g (x )＋h (x )＝2－x ，②联立①②，得g (x )＝2x ＋2－x 2，h (x )＝2－x －2x2.由m ·g (x )＋h (x )≤0，得m ≤2x －2－x 2x ＋2－x ＝4x －14x＋1＝1－24x ＋1. 因为y ＝1－24x ＋1为增函数，所以当x ∈[－1，1]时，⎝⎛⎭⎫1－24x ＋1max ＝1－24＋1＝35，所以m ≤35，即实数m 的最大值为35.答案：35。
2020年高考数学二轮提升专题训练考点8 三角函数的图像与性质(含答案解析)
考点08 三角函数的图像与性质【知识框图】【自主热身，归纳总结】1、(2019苏州期末）已知3sin (α－π)＝cos α，则tan (π－α)的值是________． 【答案】 13【解析】思路分析 先设π－α＝β，则即求tan β的值．设π－α＝β，则3sin (－β)＝cos (π－β)，得－3sin β＝－cos β，所以tan β＝13.2、(2018苏北四市期末） 若函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图像与直线y ＝m 的三个相邻交点的横坐标分别是π6，π3，2π3，则实数ω的值为________．【答案】 4【解析】由题意得函数f(x)的最小正周期T ＝2π3－π6＝2πω，从而ω＝4.3、(2018镇江期末） 函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像两相邻对称轴的距离为________．【答案】π2【解析】由题知函数最小正周期T ＝2π2＝π.图像两相邻对称轴间的距离是最小正周期π的一半即π2.4、（2016苏州期末） 已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝________.【答案】 －3125【解析】思路分析 首先试试能否猜出答案，猜出的答案是否正确．观察得sin θ＝45，cos θ＝35满足方程，但此时θ是第一象限角，不合题意．由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－2cos θ＝－25，sin 2θ＋cos 2θ＝1，得5cos 2θ－85cos θ－2125＝0，解得cos θ＝35或－725.因为θ是第三象限角，所以cos θ＝－725，从而sin θ＝－2425，所以sin θ＋cos θ＝－3125.5、(2018镇江期末） 已知锐角θ满足tan θ＝6cos θ，则sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝________．【答案】 3＋22【解析】由tan θ＝6cos θ得sin θ＝6cos 2θ，即sin θ＝6(1－sin 2θ)，解得sin θ＝63(负值已舍去)，cos θ＝33，代入sin θ＋cos θsin θ－cos θ，可得结果为3＋2 2.6、（2016南通一调） 已知sin(x ＋π6)＝13，则sin(x －5π6)＋sin 2(π3－x)的值为________．【答案】 59【解析】sin ⎝⎛⎭⎫x －5π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π＝－sin(x ＋π6)＝－13，sin 2⎝⎛⎭⎫π3－x ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝1－sin 2(x ＋π6)＝1－19＝89，所以sin ⎝⎛⎭⎫x －5π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫π3－x ＝－13＋89＝59.7、(2017徐州、连云港、宿迁三检）若函数π()2sin(2)(0)2f x x ϕϕ=+<<的图象过点，则函数()f x 在[0,]π上的单调减区间是 ． 【答案】]127,12[ππ（或)127,12(ππ）【解析】将点)3,0(代入得：23sin =ϕ，因为20πϕ<<，所以3πϕ=，所以)32sin(2)(π+=x x f ，由πππππ2323222+≤+≤+k x k 得：12712ππππ+≤≤+k x k ，Z k ∈，即函数)(x f 的单调减区间为]127,12[ππππ++k k （Z k ∈），所以数)(x f 在],0[π上的单调减区间是]127,12[ππ．8、(2019无锡期末）已知直线y ＝a(x ＋2)(a>0) 与函数 y ＝|cos x|的图像恰有四个公共点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4), 其中 x 1<x 2<x 3<x 4，则x 4＋1tan x 4＝________． 【答案】－2【解析】 根据图形可得直线y ＝a(x ＋2)与函数y ＝－cos x 的图像相切于点(x 4，－cos x 4)，其中x 4∈⎝⎛⎭⎫π4，π.因为y ＝sin x ，由导数的几何意义可得a ＝sin x 4＝－cos x 4－0x 4＋2，化简得x 4＋1tan x 4＝－2.【问题探究，开拓思维】 题型一 三角函数图像的变化知识点拨：图像的平移变换要按照“左加右减”的原则，若x 前面有系数，需要提取系数．由y ＝sin x 的图像变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图像，两种变换的区别：先相位变换再伸缩变换，平移的量是|φ|个单位长度；而先伸缩变换再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位长度．原因在于相位变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值例1、(2019苏州三市、苏北四市二调）将函数y ＝2sin 3x 的图像向左平移π12个单位长度得到y ＝f(x)的图像，则f ⎝⎛⎭⎫π3的值为________． 【答案】 －2【解析】解法1 由题意可知：y ＝f(x)＝2sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫3×π3＋π4＝－2sinπ4＝－ 2.解法2 根据图像平移前后的关系，f ⎝⎛⎭⎫π3的值应和y ＝2sin 3x 中x ＝π3＋π12时y 值相等，所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin 3⎝⎛⎭⎫π3＋π12＝－ 2.【变式1】(2019常州期末） 已知函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)(ω>0，φ∈R )是偶函数，点(1，0)是函数y ＝f (x )图像的对称中心，则ω的最小值为________．【答案】π2解法1 令ωx ＋φ＝π2＋k 1π，k 1∈Z ，得x ＝π2－φ＋k 1πω.因为函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ∈R )是偶函数，则x ＝π2－φ＋k 1πω＝0得φ＝π2＋k 1π.因为点(1，0)是函数y ＝f (x )图像的对称中心，所以f (1)＝0，即sin(ω＋φ)＝0，故ω＋φ＝k 2π，k 2∈Z ，则ω＝k 2π－φ＝k 2π－⎝⎛⎭⎫π2＋k 1π＝－π2＋(k 2－k 1)π.又因为ω>0，所以当k 2－k 1＝1时，ω取最小值为π2.解法2 函数f(x)是偶函数，所以图像关于x ＝0对称．又(1，0)是函数f(x)的对称中心，所以T 4＋k2T ＝2k ＋14·2πω＝1，得ω＝2k ＋12π，k ∈Z .又ω>0，所以ωmin ＝π2.【变式2】(2019苏北三市期末）将函数f(x)＝sin 2x 的图像向右平移π6个单位长度得到函数g(x)的图像，则以函数f(x)与g(x)的图像的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为________．【答案】3π2【解析】平移后的函数g(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.令f(x)＝g(x)，得sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.解法 1 2x －π3＝π－2x ＋2k π(k ∈Z )，即x ＝π3＋k π2(k ∈Z )，相邻的三个交点为⎝⎛⎭⎫π3，32，(－π6，－32)，⎝⎛⎭⎫5π6，－32.故所求面积为S ＝12×π×3＝32π.解法2 sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝sin 2x cos π3－cos 2x ·sin π3＝12sin 2x －32cos 2x ，即sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝0，则有2x ＋π3＝kπ(k ∈Z )，x ＝－π6＋k π2(k ∈Z )，相邻的三个交点为⎝⎛⎭⎫π3，32，⎝⎛⎭⎫－π6，－32，⎝⎛⎭⎫5π6，－32.则所求面积S ＝12×π×3＝32π.【变式3】(2018无锡期末）函数y ＝cos (2x ＋φ)(0<φ<π)的图像向右平移π2个单位长度后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像重合，则φ＝________．【答案】π6【解析】函数y ＝cos (2x ＋φ)的图像向右平移π2个单位长度后所得图像的函数是y ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋φ＝cos (2x－π＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋φ，由题意可得－π2＋φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，故φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π，所以当k ＝0时，φ＝π6.【变式4】(2018苏州暑假测试）将函数y ＝sin (2x ＋φ)(0<φ<π)的图像沿x 轴向左平移π8个单位长度，得到函数y ＝f(x)的图像，若函数y ＝f(x)的图像过原点，则φ的值是________．【答案】 34π【解析】 由题意，f(x)＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ，进而f(0)＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝0，又因为0<φ<π，所以φ＝34π.【变式5】(2018南通、泰州一调） 在平面直角坐标系xOy 中，将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度．若平移后得到的图像经过坐标原点，则φ的值为________．【答案】π6【解析】解法1(代入特殊点) 平移后的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2（x －φ）＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－2φ，因为函数图像过原点，则sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫2φ－π3＝0，所以2φ－π3＝k π(k ∈Z )，则φ＝k π2＋π6，又0<φ<π2，所以φ＝π6. 解法2(函数的性质) 平移后的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2（x －φ）＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－2φ.因为函数图像过原点，则函数为奇函数，所以π3－2φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝－k π2＋π6，又0<φ<π2，所以φ＝π6.【变式8】(2017南京、盐城二模） 将函数f (x )＝sin x 的图像向右平移π3个单位长度后得到函数y ＝g (x )的图像，则函数y ＝f (x )＋g (x )的最大值为________．【答案】 3【解析】化简，y ＝f (x )＋g (x )＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋π6＋sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π6－π6＝3sin x －π6，故y ∈[－3，3]． 【变式7】(2017南京、盐城一模） 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位长度后，所得函数为偶函数，则φ＝________.【答案】5π12【解析】将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移φ0＜φ＜π2个单位长度后，所得函数为y ＝3sin2(x －φ)＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－2φ.因为所得的函数为偶函数，所以π3－2φ＝k π＋π2，解得φ＝－k π2－π12(k ∈Z )，因为0＜φ＜π2，所以k ＝－1，得φ＝5π12.【变式1】(2017镇江期末） 将函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像向左平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位长度后，所得函数图像关于y 轴对称，则φ＝________.【答案】 π8【解析】 向左平移φ个单位长度后所得函数解析式为y ＝5sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋φ)＋π4.因为其图像关于y 轴对称，所以2φ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝π8＋k π2，k ∈Z .又因为0＜φ＜π2，所以φ＝π8. 题型二 讨论三角函数的对称性知识点拨：正弦型和余弦型函数的对称轴，就是函数取最大值或最小值时x 的值，体现了整体的思想，如本题是ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，而不是2k π＋π2，解题时一定要注意这一点．利用整体思想，结合三角函数的图像及性质是解决这类问题的关键！例2、(2019南京学情调研） 已知函数f(x)＝2sin (2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2的图像关于直线x ＝π6对称，则f(0)的值为________．【答案】 1【解析】由题意，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝±2，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1，又因为－π2＜φ＜π2， －π6<π3＋φ<5π6，所以π3＋φ＝π2，即φ＝π6，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，f(0)＝1.【变式1】(2019苏锡常镇调研（二））函数()cos()(0)3f x x πωω=->的图像关于直线2x π=对称，则ω的最小值为 ．【答案】.32解法1：根据余弦函数的图像及性质，令ππωk x =-3，Z k ∈得ωππk x +=3，令23πωππ=+k 得k 232+=ω，Z k ∈，又因为0>ω，所以当0=k 时ω取得最小值为.32解法2：由条件可得1)2(±=πf ，即1)32c o s (±=-πωπ，则ππωπk =-32，Z k ∈，解得k 232+=ω，Z k ∈，又因为0>ω，所以当0=k 时ω取得最小值为.32【变式2】(2019苏州期初调查） 已知函数f(x)＝sin (2x ＋φ)(0≤φ<π)的一条对称轴是x ＝－512π，则φ＝________．【答案】π3【解析】因为函数f(x)的一条对称轴是x ＝－512π，所以2×⎝⎛⎭⎫－5π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π＋4π3，k∈Z ，又因为0≤φ<π，所以φ＝π3.题型三 三角函数的图像与性质知识点拨：解决此题的关键就是熟练掌握三角函数的图像和性质，运用专题的思想解决对称轴单调性等问题。
【高考复习】2020年高考数学(文数) 函数的图象与性质 小题练(含答案解析)
【高考复习】2020年高考数学(文数)函数的图象与性质 小题练一、选择题1.已知函数f(x)=x|x|－2x ，则下列结论正确的是( )A ．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B ．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)C ．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)D ．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)2.使log 2(－x)＜x ＋1成立的x 的取值范围是( )A ．(－1，0)B ．[－1，0)C ．(－2，0)D ．[－2，0)3.下列函数f(x)的图象中，满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＞f(3)＞f(2)的只可能是( )4.已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，2x ，x ≤0，若关于x 的方程f(x)=k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(0，1]5.方程x 2+ax-2=0在区间[1,5]上有解,则实数a 的取值范围为( )A.B.(1,+∞)C.D.6.若函数f(x)=(1-x 2)(x 2+ax-5)的图象关于直线x=0对称,则f(x)的最大值是( ) A.-4 B.4 C.4或-4 D.不存在7.已知实数a≠0，函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f(1－a)=f(1＋a)，则a 的值为( )A ．－32B ．－34C ．－32或－34D ．32或－348.y=x+xx ||的图象是（ ）9.已知函数f(x)=－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．210.已知二次函数f(x)的二次项系数为a ，且不等式f(x)>－2x 的解集为(1，3)．若方程f(x)＋6a=0有两个相等的根，则实数a=( )A ．－0.2B ．1C ．1或－0.2D ．－1或－0.211.设函数f(x)=mx 2－mx －1，若对于x ∈[1，3]，f(x)<－m ＋4恒成立，则实数m 取值范围为( )A ．(－∞，0]B ．0，57C ．(－∞，0)∪0，57D ．－∞，5712.对二次函数f(x)=ax 2＋bx ＋c(a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( )A ．－1是f(x)的零点B ．1是f(x)的极值点C ．3是f(x)的极值D ．点(2，8)在曲线y=f(x)上二、填空题13.如图，函数f(x)的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f （3）的值等于________．14.已知点P 1(x 1,2 015)和P 2(x 2,2 015)在二次函数f(x)=ax 2+bx+9(a ≠0)的图象上,则f(x 1+x 2)的值为 . 15.已知函数⎩⎨⎧<-≥-=3,313,12)(x x x x x f ，则f[f(-1)]的值是________.16.已知f(x-1)的定义域为[-3,3]，则f(x)的定义域为____________． 17.已知函数f(x)=x 2－2tx ＋1，在区间[2，5]上单调且有最大值为8，则实数t 的值为______．18.若函数y=x 2－3x －4的定义域为[0，m]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则实数m 的取值范围是________．答案解析1.答案为：C ；解析：选C.将函数f(x)=x|x|－2x 去掉绝对值得f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0，画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．2.答案为：A ；解析：选A.在同一坐标系内作出y=log 2(－x)，y=x ＋1的图象，知满足条件的x∈(－1，0)．3.答案为：D.4.答案为：D ；解析：选D.作出函数y=f(x)与y=k 的图象，如图所示：由图可知k∈(0，1]，故选D.5.C 方程x 2+ax-2=0在区间[1,5]上有解转化为方程a=在区间[1,5]上有解,即y=a 与y=的图象有交点,又因为y==-x 在[1,5]上是减函数,所以其值域为,故选C.6.B 依题意,知函数f(x)是偶函数,则y=x 2+ax-5是偶函数,故a=0,则f(x)=(1-x 2)(x 2-5)=-x 4+6x 2-5=-(x 2-3)2+4,当x 2=3时, f(x)取最大值,为4. 7.答案为：B.解析：当a ＞0时，1－a ＜1，1＋a ＞1.由f(1－a)=f(1＋a)得2－2a ＋a=－1－a －2a ，解得a=－32，不合题意；当a ＜0时，1－a ＞1，1＋a ＜1，由f(1－a)=f(1＋a)得－1＋a －2a=2＋2a ＋a ，解得a=－34，所以a 的值为－34，故选B.8.答案：C9.答案为：A ；解析：f(x)=－x 2＋4x ＋a=－(x －2)2＋a ＋4，∴函数f(x)=－x 2＋4x ＋a 在[0，1]上单调递增， ∴当x=0时，f(x)取得最小值，当x=1时，f(x)取得最大值， ∴f(0)=a=－2，f(1)=3＋a=3－2=1，故选A ．10.答案为：A ；解析：因为f(x)＋2x>0的解集为(1，3)，设f(x)＋2x=a(x －1)(x －3)，且a<0，所以f(x)=a(x －1)(x －3)－2x=ax 2－(2＋4a)x ＋3a ．由方程f(x)＋6a=0得ax 2－(2＋4a)x ＋9a=0．因为方程有两个相等的根，所以Δ=[－(2＋4a)]2－4a·9a =0，解得a=1或a=－15．由于a<0，则a=－15．故选A ．11.答案为：D ；解析：由题意，f(x)<－m ＋4对于x ∈[1，3]恒成立，即m(x 2－x ＋1)<5对于x ∈[1，3]恒成立．∵当x ∈[1，3]时，x 2－x ＋1∈[1，7]，∴不等式f(x)<－m ＋4等价于m<5x 2－x ＋1．∵当x=3时，5x 2－x ＋1取最小值57，∴若要不等式m<5x 2－x ＋1对于x ∈[1，3]恒成立，则必须满足m<57，因此，实数m 的取值范围为－∞，57，故选D ．12.答案为：A ；解析：由已知得，f′(x)=2ax ＋b ，则f(x)只有一个极值点，若A ，B 正确，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，2a ＋b ＝0，解得b=－2a ，c=－3a ，则f(x)=ax 2－2ax －3a ．由于a 为非零整数，所以f(1)=－4a≠3，则C 错误．而f(2)=－3a≠8，则D 也错误，与题意不符， 故A ，B 中有一个错误，C ，D 都正确． 若A ，C ，D 正确，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0， ①4a ＋2b ＋c ＝8，②4ac －b 24a ＝3，③由①②得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝83－a ，c ＝83－2a ，代入③中并整理得9a 2－4a ＋649=0，又a 为非零整数，则9a 2－4a 为整数，故方程9a 2－4a ＋649=0无整数解，故A 错误．若B ，C ，D 正确，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，a ＋b ＋c ＝3，4a ＋2b ＋c ＝8，解得a=5，b=－10，c=8，则f(x)=5x 2－10x ＋8，此时f(－1)=23≠0，符合题意．故选A ．一、填空题13.答案为：2；解析：由题中图象知f(3)=1，∴1f （3）=1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f （3）=f(1)=2.14.答案9解析 依题意得x 1+x 2=-,则f(x 1+x 2)=f=a+b+9=9.15.答案为：7[解析]：∵x<3时，f(x)=1-3x ，∴f(-1)=1-3×(-1)=4.又∵x ≥3时，f(x)=2x-1，∴f(4)=2×4-1=7.∴f[f(-1)]=f(4)=7.16. [答案][-4,2][解析] ∵-3≤x ≤3，∴-4≤x-1≤2，∴f(x)的定义域为[-4,2]．17.答案为：1.8；解析：函数f(x)=x 2－2tx ＋1图象的对称轴是x=t ，函数在区间[2，5]上单调，故t≤2或t≥5. 若t≤2，则函数f(x)在区间[2，5]上是增函数， 故f(x)max =f(5)=25－10t ＋1=8，解得t=1.8；若t≥5，函数f(x)在区间[2，5]上是减函数，此时f(x)max =f(2)=4－4t ＋1=8， 解得t=－0.75，与t≥5矛盾． 综上所述，t=1.8.18.答案为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3； 解析：因为y=x 2－3x －4=⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－254，且f(0)=－4，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，所以32∈[0，m]，即m≥32．又f(m)≤－4，则0≤m≤3，所以32≤m≤3．。
2020高考数学(理科)二轮总复习课时跟踪检测(四)基本初等函数、函数与方程Word版含解析
第一部分 高考层级专题打破层级二 7 个能力专题 师生共研专题一 函数与导数第二讲基本初等函数、函数与方程课时追踪检测 (四)基本初等函数、函数与方程一、选择题1．(2019 ·北监测河 ) 设 ＝ 3 ， ＝ln 2 ， ＝ －1，则( )a log 2bc 5 2A ．a<b<cB ． b<c<aC ．c<a<bD ． c<b<a1 ＝ 1 1 ，＝32＝ ln 2 <ln 2 ＝b ，a ＝log 32>log 3 3分析：选 C 由于 c ＝5－< ln 32 5 2 a log1＝2，所以 c<a<b ，应选 C ．2．(2019 四·川双流中学必得分训练 )函数 f(x)＝ 2x ＋2x 的零点所处的区间是 ()A ．(－2，－1)B ． (－1,0)C ．(0,1)D ． (1,2) 分析：选 B f(－2)＝2－2＋ × － 2)<0 ， － 1) ＝ －1＋ ×－， f(0) ＝ 02 ( f( 2 2 ( 1)<02 ＋ 0>0，由零点存在性定理知，函数 f(x)的零点在区间 (－1,0)上，应选 B ．3．(2019 ·云南大理州统测 )函数 f(x)＝ ln x ，x>0，的零点个数是 ()－x x ＋2 ， x ≤ 0 A ．0 B ． 1 C ．2D ． 3分析：选 D 当 x>0 时，令 f(x)＝0，可得 x ＝ 1；当 x ≤0 时，令 f(x)＝0，可得 x ＝－ 2 或 x ＝ 0.所以函数的零点个数为 3.应选 D ．． (2019 安·徽省第二次联考 ) 若函数 f(x) ＝ 1 x－a 的图象经过一、二、四象4 2限，则 f(a)的取值范围为 ()A ．(0,0)B ． － 1， 12 C ．(－1,1)D ． －1，＋∞2分析：选B 依题意可得 f(0)＝ 1－ a ，则 0<1－ a<1，解得 0<a<1，所以 f(a)1 a1 x＝ 2 －a.设函数 g(x)＝ 2 －x ，x ∈(0,1)，则 g(x)在(0,1)上为减函数，故 f(a)∈ 1 .应选 B ． － ，12．若 x，b ＝ log 1 ，则 “ ”是“ ”的5 a ＝22xa>bx>1 ( )A ．充分不用要条件B ．必需不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不用要条件分析：选 B 如图， x ＝x 0，则获得时， a ＝b ，∴ 若 a>bx>x 0 ，且 x 0<1，∴ a>b 不必定获得 x>1，充分性不建立；若 x>1，则由图象获得 a>b ，必需性建立， ∴“a>b ”是“x>1”的必需不充分条件．应选 B ．6．(2019 ·广东省广州市高三测试 ) 已知函数a 2＋x －1)在区间 [1,2]f(x)＝log (x上的最大值比最小值大 2，则 a 的值为 ()A ．2B ． 5C ．5D ． 5或 555分析：选 D由于 y ＝x 2＋x －1 在 [1,2] 上单一递加，所以函数 f(x)＝log a (x 2＋ x －1)在区间 [1,2] 上的最大值与最小值是 f(1)或 f(2)．由于函数 f(x) ＝log a (x 2 ＋x－ 1)在区间 [1,2] 上的最大值比最小值大 2，所以 |f(1)－f(2)|＝2，即 |log a 5|＝2，解5得 a ＝ 5或 5 ，应选 D ．7．(2019 ·宁五校联考辽 ) 已知a>0 且≠ ，函数f(x) ＝a ＋2＋b)在区a 1 log (xx 间 (－∞，＋∞ )上既是奇函数又是增函数， 则函数 g(x)＝log － 的图象是()a分析：选 D 由选项中的图象得 f(0)＝ 0，所以 log a＝ ，所以 ＝ ，所以b 0 b 1f(x)＝log a (x ＋x 2＋ 1)．由于 u(x)＝x ＋ x 2＋1>0，且 u(x)在(－∞，＋ ∞)上单一 递加， f(x)＝log a (x ＋ x 2＋1)在 (－ ∞，＋ ∞)上单一递加，所以 a>1.由于 g(x)＝log a |x － 1|，x ∈ [0，1 ∪ 1，＋ ∞ ，1 ＝alog ||x|－ 1|，所以 g(x)＝由于 g 2log a |x ＋ 1|，x ∈ － ∞，－ 1 ∪ － 1， 0 .a1－1 ＝a1，所以清除 、 ；＝a － ＝a，清除 ，选 ．log 2log 2<0A C g(5) log |5 1| log 4>0BD8．(2019 孝·感模拟 )若函数 f(x)＝ (m －2)x 2 ＋mx ＋ (2m ＋1)的两个零点分别在区间 (－ 1,0)和区间 (1,2)内，则实数 m 的取值范围是 ()A ． －1，1B ． －1， 1 2 44 21 11 1C ． 4， 2D ． －4， 2m ≠2，分析：选 C依题意并联合函数 f(x)的图象可知， f －1 ·f0 <0，f 1 ·f2 <0，m ≠2，即 [m －2－m ＋ 2m ＋1 ] 2m ＋1 <0，[m －2＋m ＋ 2m ＋1 ][4 m － 2 ＋2m ＋ 2m ＋1 ]<0，1 1解得 4<m<2.．已知函数a ·e x ， x ≤ 0， 此中 e 为自然对数的底数，若对于 x 的f(x)＝9－ ln x ，x>0，方程 f[f(x)] ＝ 0 有且只有一个实数解， 则实数 a 的取值范围为 ()A ．(－∞， 0)B ． (－∞， 0)∪ (0,1)C ．(0,1)D ． (0,1)∪ (1，＋∞ )分析：选 B由 f[f(x)]＝ 0 得 f(x)＝ 1，作出函数 f(x)的图象，如下图，当a<0,0<a<1 时，直线 y ＝1 与函数f(x)的图象有且只有一个交点， 所以实数 a 的取值范围是(－∞， 0)∪(0,1)，应选 B ．10． (2019 ·西三市联考广ex ， x ≤4，)已知函数 f(x)＝e |x|，函数 g(x)＝－对4e 5 x ，x>4，随意的 x ∈[1 ，m](m>1)，都有 f(x －2)≤ g(x)，则 m 的取值范围是 ()A ．(1,2＋ ln 2)B ． 2，7＋ln 227C ．(ln 2,2)D ． 1，2＋ln 2分析：选 D 作出函数 y 1 ＝f(x － 2)＝e |x －2|和 ＝g(x) 的图象，如下图，由 y|x － 2|1177ex －2≤4e5－x，得 e2x －7≤4，即 2x － 7≤ ln 4，解得 x ≤2＋ln 2.由于 m>1 ，所以 1<m ≤ 2＋ ln 2.应选 D ．sin πx，0≤x≤1，．已知函数f(x)＝若 a，b，c 互不相等，且 f(a)＝ f(b)11 2 017log x，x>1，＝ f(c)，则 a＋b＋c 的取值范围是 ()A．(1,2 017) B． (1,2 018)C．[2,2 018] D． (2,2 018)分析：选D 作出函数 f(x)的图象与直线 y＝m，如下图，不如设 a<b<c，当 0≤x≤ 1 时，函数 f(x)的图象与直线 y＝m 的交点分别为A，B，由正弦曲线的1对称性，可得A(a，m)与 B(b，m)对于直线 x＝2对称，所以 a＋ b＝ 1，当直线 y＝m＝1 时，由 log2 017x＝1，解得 x＝2 017.若知足 f(a)＝f(b)＝f(c)，且 a，b，c互不相等，由a<b<c 可得 1<c<2 017，所以可得 2<a＋ b＋ c<2 018，即 a＋b＋c ∈ (2,2 018)．应选 D．．福·州四校联考已知函数ln x，x≥1，(2019 ) f(x) ＝x 若 F(x)＝ f[f(x)＋ 1]121－2， x<1，＋ m 有两个零点 x1 ， 2 ，则 1 2)x x ·x 的取值范围是 (A．[4 － 2ln 2，＋∞ ) B． ( e，＋∞ )C．(－∞， 4－2ln 2] D． (－∞， e)ln x，x≥1，分析：选 D 由于函数f(x) ＝x 所以F(x) ＝1－2， x<1，ln ln x＋1 ＋m， x≥1，－m－m，由2－x 由 F(x)＝ 0 得， x1＝－ 1 ， x2＝－ln ＋，，ee 4 2e2 m x<1x 1 ≥1，23得 m<ln3，设 t ＝e －m ，则 t>2，所以 x 1·x 2＝2e t －1(2－t)，设 g(t)＝2etx <12－1(2－t)，则 g ′(t)＝2et － 1(1－t)，由于 t>3，所以 g ′(t)＝2et －1(1－t)<0，即函数 g(t) 233＝ 2et －1(2－ t)在区间 2，＋ ∞ 上是减函数，所以 g(t)<g 2 ＝ e ，应选 D ．二、填空题log 2 x －1 ，x>1，13．(2019 ·昆明模拟 )已知函数 f(x)＝x 3－3x ＋1，x ≤ 1， 则函数f(x)的零点个数为 ________．分析：当 x>1 时，令 f(x)＝0，则 log 2(x －1)＝0，得 x － 1＝ 1，即 x ＝2，知足题意；当 x ≤1 时， f ′(x)＝ 3x 2－3，令 f ′(x)＝ 0，则 x ＝±1.当 x<－1 时， f ′(x)>0.f(x)是增函数，当－ 1<x<1 时，f ′(x)<0，f(x)是减函数，所以当 x ＝－ 1 时，f(x)有极大值，为 3.又 f(－ 2)＝－ 1，f(1)＝－ 1，所以函数 f(x)在 (－2，－ 1)，(－1,1)上各有 1 个零点．综上，函数 f(x)有 3 个零点．答案： 314．(2019 ·绵阳诊疗 )用 min{ a ，b ，c} 表示 a ，b ，c 中的最小值．设 f(x)＝min{2 x ，x ＋2,10－ x}( x ≥0)，则 f(x)的最大值为 ________．分析： f(x)＝min{2 x ， ＋ － ≥ 0) 的图象如图中实线所示．令 ＋ ＝x 2,10 x}( xx 210－x ，得 x ＝4.故当 x ＝4 时， f(x)取最大值，又 f(4)＝6，所以 f(x)的最大值为 6.答案： 615． (易错题 )若函数 f(x)＝a x －1(a>0 且 a ≠ 1)的定义域和值域都是 [0,2] ，则实数 a 的值为 ________．分析：当 0<a<1 时， f(x)＝a x－1 在 [0,2]上为减函数，故f(x)max＝f(0)＝ a0－1 ＝0，这与已知条件函数 f(x)的值域是 [0,2] 相矛盾；当 a>1 时， f(x)＝ a x－1 在[0,2] 上为增函数，又函数 f(x)的定义域和值域都是[0,2] ，f 0 ＝ 0，2所以 f 2 ＝ a －1＝2，解得a＝ 3.答案： 3|2x－ 1|，x<2，16．已知函数 f(x)＝ 3 ，x≥2.若方程 f(x)－a＝0 有三个不一样的实数x－1根，则实数 a 的取值范围是 __________________．分析：画出函数 f(x)的图象如下图，察看图象可知，若方程 f(x)－a＝0 有三个不一样的实数根，即函数 y＝f(x)的图象与直线 y＝ a 有 3 个不一样的交点，此时需知足0<a<1.答案： (0,1)。
2020届高考数学(理)二轮复习全程方略课件：专题4 函数与方程及函数的应用 Word版含答案
当 x＝14时，g(x)max＝－4176； 当 x>1 时，g(x)＝－(x＋2x)－2x ＝－(32x＋2x)≤－2 3， 当且仅当32x＝2x，且 x>1， 即 x＝233时，“＝”成立， 故 g(x)max＝－2 3． 综上，g(x)max＝－4176．
令 h(x)＝f(x)－2x， 当 x≤1 时，h(x)＝x2－x＋3－2x＝x2－32x＋3 ＝(x－34)2＋3196， 当 x＝34时，h(x)min＝3196； 当 x>1 时，h(x)＝x＋2x－2x＝2x＋2x≥2，
• (2)零点存在性定理
• 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连
续不断的一条曲线，并且有_____________， 那么f(函a)·数f(by)<＝0 f(x)在区间(a，b)内有零点，即 存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是 方程f(x)＝0的一个根．
• (3)思想与方法
公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比
上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是
(B)
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
A．2018 年
B．2019 年
C．2020 年
D．2021 年
当 x<0 时，f(x)＝－x＋2，g(x)＝x－2－2x＝2x－2， 即 g(x)<－2． 当 x≥1 时，f(x)＝x＋2x， g(x)＝－x－2x－2x＝－32x－2x≤－2 3， 即 g(x)max＝－2 3． ∴a≥－2． 令 h(x)＝f(x)－2x．
当 0≤x<1 时，f(x)＝x＋2，h(x)＝x＋2－2x＝2x＋2≥2， 即 h(x)min＝2． 当 x<0 时，f(x)＝－x＋2，h(x)＝－x＋2－2x＝－32x＋2>2， 即 h(x)>2． 当 x≥1 时，f(x)＝x＋2x，h(x)＝x＋2x－2x＝2x＋2x≥2， 即 h(x)min＝2． ∴a≤2． 综上可知，－2≤a≤2． 故选 A．
2020高考二轮复习三角函数与解三角形
第1讲 三角函数的图象与性质[全国卷3年考情分析]函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题．(2)高考对此部分内容主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在第6～12或14～16题位置上．考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系1.[三角函数的定义及应用](2019·昆明市诊断测试)在平面直角坐标系中，角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫－35，45，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A ．210B ．－210C ．7210D ．－72102.[同角三角函数的关系式及应用]若tan α＝12，则sin 4α－cos 4α的值为( )A ．－15B ．－35C ．15D ．353.[诱导公式及应用]设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( )A.12 B ．32 C ．0 D ．－121.[与数列交汇]设a n ＝1n sin n π25，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个A ．25B ．50C ．75D ．1002.[与算法交汇]某一算法程序框图如图所示，则输出的S 的值为( )A.32B ．－32C.3D ．03.[借助数学文化考查]《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3，半径等于4 m 的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )A ．6 m 2B ．9 m 2C ．12 m 2D ．15 m 2考点二 三角函数的图象与解析式题型一 由“图”定“式”[例1] (1)(2019·成都市第二次诊断性检测)将函数f (x )的图象上所有点向右平移π4个单位长度，得到函数g (x )的图象．若函数g (x )＝A sin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12B ．f (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π12 (2)(2019·长沙市统一模拟考试)已知P⎝⎛⎭⎫12，2是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)图象的一个最高点，B ，C 是与P 相邻的两个最低点．若|BC |＝6，则f (x )的图象的对称中心可A ．(0,0)B ．(1,0)C ．(2,0)D ．(3,0)题型二 三角函数的图象变换[例2] (1)(2019·福建五校第二次联考)为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向右平移5π12个单位长度B ．向左平移5π12个单位长度C ．向右平移5π6个单位长度D ．向左平移5π6个单位长度(2)(2019·开封模拟)将函数y ＝sin 2x －cos 2x 的图象向左平移m (m >0)个单位长度以后得到的图象与函数y ＝k sin x cos x (k >0)的图象重合，则k ＋m 的最小值是( )A ．2＋π4B ．2＋3π4C ．2＋5π12D ．2＋7π12考点三 三角函数的性质[例3] (1)(2019·武昌区调研考试)已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为2π，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z )(2)(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论： ①f (x )是偶函数；②f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π单调递增； ③f (x )在[－π，π]有4个零点；④f (x )的最大值为2.其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③(3)(2019·江西省五校协作体试题)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，112∪⎣⎡⎦⎤14，23 B ．⎝⎛⎦⎤0，16∪⎣⎡⎦⎤13，23 C.⎣⎡⎦⎤14，23 D ．⎣⎡⎦⎤13，231．(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2单调递增的是( ) A ．f (x )＝|cos 2x | B ．f (x )＝|sin 2x | C ．f (x )＝cos|x | D ．f (x )＝sin|x |2．(2019·广东六校第一次联考)将函数f (x )＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则g (x )具有性质( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称B ．为奇函数，在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增 C ．为偶函数，在⎝⎛⎭⎫－3π8，π8上单调递增 D ．周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎫3π8，0对称3．已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)在区间[2,4]上单调，且f (2)＝1，f (4)＝－1，则ω＝________，f (x )在区间⎣⎡⎭⎫12，3上的值域是________．考点四 三角函数图象与性质的综合应用[例4] (2019·浙江高考)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R . (1)已知θ∈[0,2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π122＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π42的值域．1．已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值．2．已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值．3. (2019·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π5(ω>0)，已知f (x )在[0,2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f (x )在(0,2π)有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0,2π)有且仅有2个极小值点； ③f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π10单调递增； ④ ω的取值范围是⎣⎡⎭⎫125，2910. 其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④【课后专项练习】A 组一、选择题1．(2019·广东省七校联考)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π6的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈ZC.⎣⎡⎦⎤4k π－2π3，4k π＋4π3，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎫4k π－2π3，4k π＋4π3，k ∈Z2．(2019·全国卷Ⅱ)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( )A ．2B ．32C ．1D ．123．(2019·江西七校第一次联考)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象与函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象( ) A ．有相同的对称轴但无相同的对称中心 B ．有相同的对称中心但无相同的对称轴 C ．既有相同的对称轴也有相同的对称中心 D ．既无相同的对称中心也无相同的对称轴4．(2019·蓉城名校第一次联考)若将函数g (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位长度得到f (x )的图象，已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则( )A ．g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3 B ．g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3 C ．g (x )＝sin 4xD ．g (x )＝cos x5．(2019·湖南省湘东六校联考)已知函数f (x )＝|sin x |·|cos x |，则下列说法不正确的是( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝π2对称B ．f (x )的最小正周期为π2C ．(π，0)是f (x )图象的一个对称中心D ．f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递减6．(2019·昆明市质量检测)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向左平移π4个单位长度，所得图象对应的函数在区间[－m ，m ]上单调递增，则m 的最大值为( )A.π8 B.π4 C.3π8 D.π2二、填空题7．(2019·广东揭阳检测改编)已知f (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤π3(x ＋1)－3cos ⎣⎡⎦⎤π3(x ＋1)，则f (x )的最小正周期为________，f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝________.8．(2019·天津高考改编)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝⎛⎭⎫π4＝2，则f ⎝⎛⎭⎫3π8＝________.9．(2019·福州模拟)已知函数f (x )＝sin 2x ＋2sin 2x －1在[0，m ]上单调递增，则m 的最大值是________．三、解答题10．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0<ω<3.已知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值．11．已知m ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，1，n ＝(cos x,1)． (1)若m ∥n ，求tan x 的值；(2)若函数f (x )＝m ·n ，x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间．12．已知函数f (x )＝cos x (23sin x ＋cos x )－sin 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，不等式f (x )≥m 有解，求实数m 的取值范围．B 组1．已知向量m ＝(2sin ωx ，sin ωx )，n ＝(cos ωx ，－23sin ωx )(ω>0)，函数f (x )＝m ·n ＋3，直线x ＝x 1，x ＝x 2是函数y ＝f (x )的图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π2.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间．2．已知函数f (x )＝3sin 2ωx ＋cos 4ωx －sin 4ωx ＋1(0<ω<1)，若点⎝⎛⎭⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心．(1)求f (x )的解析式，并求距y 轴最近的一条对称轴的方程； (2)先列表，再作出函数f (x )在区间[－π，π]上的图象．3．函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最小值为－1，其图象相邻两个最高点之间的距离为π.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f ⎝⎛⎭⎫α2＝2，求α的值．4．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0≤φ≤π2图象的相邻两对称轴之间的距离为π2，且在x ＝π8时取得最大值1. (1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，9π8时，若方程f (x )＝a 恰好有三个根，分别为x 1，x 2，x 3，求x 1＋x 2＋x 3的取值范围．第2讲 三角恒等变换与解三角形[全国卷3年考情分析](2)若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～9或第13～15题位置上．(3)若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题(或18题)位置上，难度中等．考点一 三角恒等变换1.[化简求值]2sin 47°－ 3sin 17°cos 17°＝( )A ．－3B ．－1C ．3D ．12.[条件求值](2019·全国卷Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( ) A.15 B ．55C.33D ．2553.[给值求角]已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12 B ．π3 C.π4D ．π64.[与三角函数结合](2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________．1.[与复数交汇](2019·洛阳尖子生第二次联考)若复数z ＝⎝⎛⎭⎫cos θ－45＋⎝⎛⎭⎫sin θ－35i 是纯虚数(i 为虚数单位)，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4的值为( ) A ．－7 B ．－17C ．7D ．－7或－172.[与不等式交汇]已知tan 2α＝34，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，函数f (x )＝sin(x ＋α)－sin(x －α)－2sin α，且对任意的实数x ，不等式f (x )≥0恒成立，则sin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为( ) A ．－255B ．－55C ．－235D ．－353.[与向量交汇]设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a ⊥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________.考点二 利用正、余弦定理解三角形 题型一 利用正、余弦定理进行边、角计算[例1] (2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A－sin B sin C . (1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .题型二 利用正、余弦定理进行面积计算[例2] (2019·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围．题型三 正、余弦定理的实际应用[例3] 如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A ，B 两点处进行测量，在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A ，B 两点相距130 m ，则塔的高度CD ＝________m.1．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．32．(2019·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a,3c sinB ＝4a sinC .(1)求cos B 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6的值．3．(2019·广东六校第一次联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b 2＋c 2－a 2＝ac cos C ＋c 2cos A .(1)求A ；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝2534，且a ＝5，求sin B ＋sin C .考点三 解三角形的综合问题题型一 与平面几何的综合问题[例4] (2019·洛阳尖子生第二次联考)如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC 为锐角，AD ⊥BD ，AC 平分∠BAD ，BC ＝23，BD ＝3＋6，△BCD 的面积S ＝3(2＋3)2.(1)求CD ； (2)求∠ABC .题型二 与三角函数的交汇问题[例5] 如图，在△ABC 中，三个内角B ，A ，C 成等差数列，且AC ＝10，BC ＝15.(1)求△ABC 的面积；(2)已知平面直角坐标系xOy 中点D (10,0)，若函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫M >0，ω>0，|φ|<π2的图象经过A ，C ，D 三点，且A ，D 为f (x )的图象与x 轴相邻的两个交点，求f (x )的解析式．1．(2019·福州模拟)如图，在△ABC 中，M 是边BC 的中点，cos ∠BAM ＝5714，cos ∠AMC＝－277.(1)求B ；(2)若AM ＝21，求△AMC 的面积．2．已知函数f (x )＝cos 2x ＋3sin(π－x )cos(π＋x )－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，b sin C ＝a sin A ，求△ABC 的面积．3.为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测．如图所示，A ，B ，C 三地位于同一水平面上，这种仪器在C 地进行弹射实验，观测点A ，B 两地相距100 m ，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217s ，在A 地测得该仪器至最高点H 处的仰角为30°.(1)求A ，C 两地间的距离；(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC .(已知声音的传播速度为340 m/s)【课后通关练习】A 组一、选择题1．(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝( ) A ．－23 B ．－2＋3 C ．2－3 D ．2＋32．(2019·重庆市学业质量调研)已知15sin θ＝cos(2π－θ)，则tan 2θ＝( ) A ．－157 B ．157 C ．－158D ．1583．(2019·湖北省5月冲刺)已知α为锐角，β为第二象限角，且cos(α－β)＝12，sin(α＋β)＝12，则sin(3α－β)＝( )A ．－12B ．12C ．－32D ．324．(2019·湖南省湘东六校联考)若△ABC 的三个内角满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能5．(2019·长春市质量监测(一))在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝a cos C ＋12c ，则角A 等于( )A ．60°B ．120°C ．45°D ．135°6．已知台风中心位于城市A 东偏北α(α为锐角)的150千米处，以v 千米/时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A 西偏北β(β为锐角)的200千米处，若cos α＝34cos β，则v ＝( )A ．60B ．80C ．100D ．125二、填空题7．(2019·浙江高考)在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，点D 在线段AC 上．若∠BDC ＝45°，则BD ＝________，cos ∠ABD ＝________.8．(2019·开封市定位考试)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为43，且2b cos A ＋a ＝2c ，a ＋c ＝8，则其周长为________．9.(2019·安徽五校联盟第二次质检)如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝2，sin ∠CAD ＝2114，3AC sin ∠BAC ＋BC cos B ＝2BC ，且B ＋D ＝π，则△ABC 的面积的最大值为________．三、解答题10．(2019·北京高考)在△ABC 中，a ＝3，b －c ＝2，cos B ＝－12.(1)求b ，c 的值； (2)求sin(B －C )的值．11．(2019·长沙模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos B .(1)求B ；(2)若b ＝27，tan C ＝32，求△ABC 的面积．12．(2019·武汉部分学校调研)已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C －3sin A sin C .(1)求B ；(2)求sin A ＋cos C 的取值范围．B 组1．(2019·重庆市七校联合考试)如图，在平面四边形ABCD 中，E 为AB 边上一点，连接CE ，DE .CB ＝2，BE ＝1，∠B ＝∠CED ＝2π3.(1)求sin ∠AED 的值； (2)若AB ∥CD ，求CD 的长．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A sin B ＝cos 2C2，(c －3b )sin C＝(a ＋b )(sin A －sin B )．(1)求A和B；(2)若△ABC的面积为3，求BC边上的中线AM的长．3．(2019·昆明质量检测)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2(c－a cos B)＝3b.(1)求A；(2)若a＝2，求△ABC面积的取值范围．4．(2019·福州市质量检测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若角A，B，C成等差数列，且b＝3 2.(1)求△ABC的外接圆直径；(2)求a＋c的取值范围．。
(全国通用)2020版高考数学第四层热身篇专题检测(六)三角函数的图象与性质
专题检测（六） 三角函数的图象与性质 A组——“6＋3＋3”考点落实练 一、选择题
1.(2019·合肥市第一次质检)已知cos α－sin α＝15，则cos2α－π2＝( )
A.－2425 B.－45 C.2425 D.45 解析：选C 由cos α－sin α＝15，得1－sin 2α＝125，所以sin 2α＝2425，所以cos2α－π2＝sin 2α＝2425，故选C. 2.(2019·湖南省五市十校联考)已知函数f(x)＝23sin xcos x＋2cos2x＋1，则( ) A.f(x)的最小正周期为π，最大值为3 B.f(x)的最小正周期为π，最大值为4 C.f(x)的最小正周期为2π，最大值为3 D.f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
解析：选B f(x)＝23sin xcos x＋2cos2x＋1＝3sin 2x＋cos 2x＋2＝2sin2x＋π6＋
2，则f(x)的最小正周期为2π2＝π，最大值为2＋2＝4.故选B. 3.(2019·四川攀枝花模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，现将此图象向右平移π12个单位长度得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为( )
A.g(x)＝2sin 2x B.g(x)＝2sin2x－π6
C.g(x)＝2sin2x－π4 D.g(x)＝2sin2x－π3 解析：选D 根据函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象可得A＝2，12·2πω＝π3＋π6，∴ω＝2.
再根据五点法作图可得2×π3＋φ＝π2，∴φ＝－π6， ∴函数f(x)＝2sin2x－π6＝2sin 2x－π12. 把f(x)的图象向右平移π12个单位长度得到函数g(x)＝2sin 2x－π12－π12＝2sin
2020版高考理科数学大二轮专题复习新方略课时作业： 3函数的图象与性质
课时作业 3 函数的图象与性质 1．[2019·江西南昌模拟]下列所给图象是函数图象的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4 解析：①中当 x>0 时，每一个 x 的值对应两个不同的 y 值，因此 不是函数图象；②中当 x＝x0 时，y 的值有两个，因此不是函数图象； ③④中每一个 x 的值对应唯一的 y 值，因此是函数图象，故选 B. 答案：B
( )1
当 x>0 时，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，所以 f(ln 2)＝e－aln 2＝ 2 a＝8，所以 a＝－3.
答案：－3 15．[2019·贵州六盘水期末]设函数 f(x)＝Error! 若 f(t＋1)>f(2t－4)，则 t 的取值范围是________． 解析：如图，画出函数 f(x)＝Error!的大致图象，可知函数 f(x)是 增函数，若 f(t＋1)>f(2t－4)，则只需要 t＋1>2t－4，解得 t<5.
排除 A，B 选项．对于 C 选项，f(1)＝e＋cos 1>1，不符合函数 f(x)的
图象，排除 C 选项，故选 D.
答案：D
12．[2019·陕西宝鸡检测]定义在 R 上的函数 y＝f(x)满足以下三个
条件：
①对于任意的 x∈R，都有 f(x＋1)＝f(x－1)；
②函数 y＝f(x＋1)的图象关于 y 轴对称；
x2ex 6．[2019·湖北武汉武昌调研]函数 f(x)＝ |x| 的图象大致为( )
x2ex 解析：因为 x<0 时，f(x)＝ －x ＝－xex>0，所以排除选项 C，D.因
x2ex 为 x>0 时，f(x)＝ x ＝xex，所以 f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)>0，所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，排除选项 B.故选 A.
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专题检测（十八） 函数的图象与性质 A组——“12＋4”满分练 一、选择题 1.函数y＝log2(2x－4)＋1x－3的定义域是( ) A.(2，3) B.(2，＋∞) C.(3，＋∞) D.(2，3)∪(3，＋∞)
解析：选D 由题意得2x－4＞0，x－3≠0，解得x＞2且x≠3， 所以函数y＝log2(2x－4)＋1x－3的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)，故选D. 2.若函数f(x)满足f(1－ln x)＝1x，则f(2)＝( ) A.12 B.e C.1e D.－1 解析：选B 法一：令1－ln x＝t，则x＝e1－t， 于是f(t)＝1e1－t，即f(x)＝1e1－x，故f(2)＝e. 法二：由1－ln x＝2，得x＝1e，这时1x＝11e＝e，
即f(2)＝e. 3.(2019·长沙市统一模拟考试)下列函数中，图象关于原点对称且在定义域内单调递增的是( ) A.f(x)＝sin x－x B.f(x)＝ln(x－1)－ln(x＋1) C.f(x)＝ex＋e－x2 D.f(x)＝ex－e－x2 解析：选D 由题意，f(x)＝sin x－x，该函数是奇函数，满足图象关于原点对称的条件，而f′(x)＝cos x－1≤0，即在定义域内f(x)＝sin x－x单调递减，故A不满足；对于B，
研究定义域可得x－1>0，x＋1>0，即该函数的定义域为(1，＋∞)，所以该函数是非奇非偶函数，故B不满足；对于C，函数的定义域为R，f(－x)＝f(x)，所以该函数是偶函数，不满足图象关于原点对称的条件，故C不满足；对于D，函数的定义域为R，f(－x)＝－f(x)，所以该函数是奇函数，满足图象关于原点对称的条件，又f′(x)＝ex＋e－x2>0，所以该函数在其定义域内单调递增，满足题目中的条件，故选D. 4.(2019·江西九江两校3月联考)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象过坐标原点，且满足f(－x)＝f(－1＋x)，则函数f(x)在[－1，3]上的值域为( )
A.[0，12] B.－14，12 C.－12，12 D.34，12 解析：选B 因为函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象过坐标原点， 所以f(0)＝0，则b＝0. 由f(－x)＝f(－1＋x)，可知函数的图象的对称轴为直线x＝－12，即－a2×1＝－12，所以a＝1，
则f(x)＝x2＋x＝x＋122－14， 所以当x＝－12时，f(x)取得最小值，且最小值为－14. 又f(－1)＝0，f(3)＝12， 所以f(x)在[－1，3]上的值域为－14，12.故选B. 5.函数f(x)＝ln|x|＋1ex的图象大致为( )
解析：选C 函数f(x)＝ln|x|＋1ex是非奇非偶函数，排除A、B；函数f(x)＝ln|x|＋1ex的零点是x＝±e－1，当x＝e时，f(e)＝2ee<1e，排除选项D. 6.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则( ) A.f(－25)B.f(80)C.f(11)D.f(－25)解析：选D 因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)， 所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数， 则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3). 由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1). 因为f(x)在区间[0，2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2，2]上是增函数， 所以f(－1)7.设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(]－2，1上的图象，则f(2 019)＋f(2 020)＝( ) A.2 B.1 C.－1 D.0 解析：选B 因为函数f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(2 019)＝f(2 019－673×3)＝f(0)，f(2 020)＝f(2 020－673×3)＝f(1)，由题中图象知f(0)＝0，f(1)＝1，所以f(2 019)＋f(2 020)＝f(0)＋f(1)＝0＋1＝1，故选B.
8.(2019·湖北武汉3月联考)设函数f(x)＝1，x＞0，0，x＝0，－1，x＜0，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是( ) A.(－∞，0] B.[0，1) C.[1，＋∞) D.[－1，0]
解析：选B 由题意知g(x)＝x2f(x－1)＝x2，x＞1，0，x＝1，－x2，x＜1，画出函数g(x)的图象(图略)，由图可得函数g(x)的单调递减区间为[0，1).故选B. 9.(2019·湖北省部分重点中学4月联考)已知函数f(x)＝x2，x≥0，1x，x＜0，g(x)＝－f(－x)，则函数g(x)的图象大致是( )
解析：选D 先画出函数f(x)＝x2，x≥0，1x，x＜0的图象，如图(1)所示，再根据函数f(x)与－f(－x)的图象关于坐标原点对称，即可画出函数－f(－x)的图象，即g(x)的图象，如图(2)所示，故选D.
10.(2019·湖北武汉部分重点中学3月联考)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(1)＝－1，若f(2x－1)≥－1，则x的取值范围为( )
A.(－∞，－1] B.[1，＋∞) C.[0，1] D.(－∞，0]∪[1，＋∞) 解析：选C 由题意，得f(x)在(－∞，0]上单调递增，且f(1)＝－1，所以f(2x－1)≥f(1)，则|2x－1|≤1，解得0≤x≤1.故选C.
11.已知函数f(x)＝3（a－3）x＋2，x≤1，－4a－ln x，x＞1，对于任意的x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]＞0成立，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，3] B.(－∞，3) C.(3，＋∞) D.[1，3) 解析：选D 由(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]＞0，得函数f(x)为R上的单调递减函数，则
a－3＜0，
3（a－3）＋2≥－4a，解得1≤a＜3.故选D.
12.已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|＜g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)( ) A.有最小值－1，最大值1 B.有最大值1，无最小值 C.有最小值－1，无最大值 D.有最大值－1，无最小值 解析：选C 作出函数g(x)＝1－x2和函数|f(x)|＝|2x－1|的图象如图①所示，得到函数h(x)的图象如图②所示，由图象得函数h(x)有最小值－1，无最大值.
二、填空题 13.(2019·山东济宁期末改编)已知函数f(x)＝ln x＋b，x＞1，ex－2，x≤1，若f(e)＝－3f(0)，则b＝________，函数f(x)的值域为________________.
解析：由f(e)＝－3f(0)得1＋b＝－3×(－1)，即b＝2，即函数f(x)＝
ln x＋2，x＞1，
ex－2，x≤1.
当x＞1时，y＝ln x＋2＞2；当x≤1时，y＝ex－2∈(－2，e－2].故函数f(x)的值域为(－2，e－2]∪(2，＋∞). 答案：2 (－2，e－2]∪(2，＋∞) 14.(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax，若f(ln 2)＝8，则a＝________. 解析：设x>0，则－x<0. ∵ 当x<0时，f(x)＝－eax，∴ f(－x)＝－e－ax. ∵ f(x)是奇函数，∴ f(x)＝－f(－x)＝e－ax， ∴ f(ln 2)＝e－aln 2＝(eln 2)－a＝2－a. 又∵ f(ln 2)＝8，∴ 2－a＝8，∴ a＝－3. 答案：－3 15.已知定义在R上的偶函数f(x)满足当x≥0时，f(x)＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1)，则当－1解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数， 所以f(－1)＝f(1)＝loga2. 因为－1所以loga1a
①当a>1时，原不等式等价于1a<2，a>2，解得a>2； ②当02，a<2，解得0(2，＋∞). 答案：0，12∪(2，＋∞) 16.(2019·河北保定两校3月联考)对于函数y＝f(x)，若存在x0，使f(x0)＋f(－x0)＝0，
则称点(x0，f(x0))是曲线f(x)的“优美点”.已知f(x)＝x2＋2x，x＜0，kx＋2，x≥0，若曲线f(x)存在“优美点”，则实数k的取值范围为________. 解析：由“优美点”的定义，可知若点(x0，f(x0))是曲线y＝f(x)的“优美点”，则点(－x0，－f(x0))也在曲线y＝f(x)上.如图，作出函数y＝x2＋2x(x＜0)的图象，然后作出其关于原点对称的图象，此图象对应的函数解析式为y＝－x2＋2x(x＞0). 设过定点(0，2)的直线y＝k1x＋2与曲线y＝f(x)＝－x2＋2x(x＞0)切于点A(x1，f(x1))，则k1＝y′|x＝x1＝－2x1＋2＝－x21＋2x1－2x1－0，解得x1＝2或x1＝－2(舍去)，所以k1＝－22＋2. 由图可知，若曲线y＝f(x)存在“优美点”，则k≤2－22. 答案：(－∞，2－22] B组——“5＋3”提速练 1.设y＝f(x)是R上的奇函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上递减，f(2)＝0，则f(x)＞0的解集是( ) A.(－∞，－2) B.(0，2) C.(－∞，－2)∪(0，2) D.(－2，0)∪(0，2) 解析：选C 根据题意，函数f(x)是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝0， 则函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(－2)＝－f(2)＝0. 当x＞0时，若f(x)＞0，即f(x)＞f(2)，必有0＜x＜2，