高三数学解题思维与方法的教学实践

高三数学解题思维与方法的教学实践 舒志福发表于：2010-9-7 20:18:15，点击：142，评论（0） 高三数学解题思维与方法的教学实践

【摘要】 本文结合实例说明在高三数学复习教学中教师要引导学生跳出题海战术，把握解题规律。按照新课标理念和要求，针对学生普遍存在的问题，精心设计教学过程，把视点放在通过精选的典型例题、习题来达到对知识的回顾、巩固，再学习、再认识的动态过程中，并侧重思维切入点和排除思维障碍两个方面，多在学习策略和思维方法上下功夫。

【关键词】 切入 联系 判断 评价 设计 一、在课堂教学结构上，更新教育观念，始终坚持以学生为主体，教师为主导的教学原则 教育家苏霍姆林斯基曾经告诫我们：“希望你们要警惕，在课堂上不要总是教师在讲，这种做法不好……让学生通过自己的努力去理解的东西，才能成为自己的东西，才是他真正掌握的东西.”数学课堂教学必须废除“注入式”“满堂灌”的教法。复习课也不能由教师包讲，更不能成为教师展示自己解题“高难动作”的“绝活表演”，而要让学生成为学习的主人，作为教师的任务是点拨、启发、诱导、调控，而这些都应以学生为中心。复习课上有一个突出的矛盾，就是时间太紧，既要处理足量的题目，又要充分展示学生的思维过程，二者似乎是很难兼顾。我们可采用“焦点访谈”法较好地解决这个问题，因大多数题目是“入口宽，上手易”，但在连续探究的过程中，常在某一点或某几点上搁浅受阻，这些点被称为“焦点”，其余的则被称为“外围”.我们大可不必在外围处花精力去进行浅表性的启发诱导，而只要在焦点处发动学生探寻突破口，通过访谈，收集学生的智慧，让学生的思维在关键处闪光，能力在要害处增长，弱点在隐蔽处暴露，意志在细微处磨砺，在教学中，我们应该在学生对解题规律的把握以及对解题策略的理解上找原因。先看一个例子：

例1、已知函数 ，设方程 的两根为 和 如果 ，函数 的图象的对称轴是 ，求证 题目的背景是二次函数，学生容易想到从它的图象切入，解题方向就定下来了。对于方程 即 的根 、 满足 ，我们从中可得到什么？必须要做的是画出满足条件的草图。便可从图中分析出一些关系： ； 至此，我们便可从这些关系找出对称轴 的范围： 由 得 从而 ∴ 当手上有较多的条件，一时之间又理不清各条件的联系时，不要忘了从反面去分析：

如果 ，有 (多一个假设条件用) 由 得 ∴ 又由 得 ∴ ① 又由 得

由 得 ∴ 与 ① 矛盾。 数学问题虽然千变万化，但都隐含着一定的解题规律，我在上数学复习课时就是注重引领学生去把握住这些规律性的东西。在教学设计中注重了以下四点：

1．培养学生注重审题的习惯； 2．注意条件与知识的联系； 3．注重对知识方法的再认识； 4．重视对解题过程的反思。 审题能力的强弱决定了学生对问题的认识深度和思维的敏锐性。对于审题，大部分学生都知道它的重要性，但在教学中会发现，学生的解题习惯往往使他们容易忽略这一重要环节，缺少审题这一环节，就难以找到条件与知识的联系，这是解题速度慢的主要原因。因此，提高学生的审题能力要从习惯的养成、意识的培养开始。同时，只有善于总结、善于反思，才能做到对知识、方法在认识上的不断提高，最终形成数学能力。

二、情深趣浓，提高复习课解题教学的艺术性 在复习时，由于解题的量很大，就更要求我们将解题活动组织得生动活泼、情趣盎然.让学生领略到数学的优美、奇异和魅力，这样才能变苦役为享受，有效地防止智力疲劳，保持解题的“好胃口”。

1．从审题到知识联系 一道好的数学题，即便具有相当的难度，它却像一段引人入胜的故事，又像一部情节曲折的电视剧，那迭起的悬念、丛生的疑窦正是它的诱人之处.“山重水覆”的困惑被“柳暗花明”的喜悦取代之后，学生又怎能不赞叹自己智能的威力？创设情境，激发热情，在学法上教给学生“点金术”。

例2、已知 是减函数，且 ， 的反函数 的定义域为 ，求 的定义域。 审题：（1） –––––增函数 （2） 是减函数 –––––

（3）区间 ––––– （4） 的定义域为 ––– 的值域是 。 思维切入点：求 的表达式 审题中的（2）、（3）虽然结论一样，但寻求结论的途径不同，两者都要留意。如：将区间改为 ，就只能从（1）、（2）去寻求结论。

此例涉及的知识：区间概念，反函数概念，复合函数单调性，函数定义域与值域的对应关系，不等式性质。涉及的方法：换元法，不等式解法。通过探究点评，使学生清楚要用的知识，联系这些知识确认解题方案和使用的方法。

例3、 是函数 的图象上的点列， 是 轴正半轴上的点列， 都是正三角形，它们的边长分别为 . 是数列 的前 项和。

（Ⅰ）求 推测 的表达式，并证明你的结论；

（Ⅱ）设 的面积分别为 ，求 审题：（1）正三角形–––––––要联系正三角形有关性质

（2）正三角形有一个顶点在函数 的图象上–––– 建立关于 的方程 此题综合性教强，但只要在审题中抓住“正三角形”这一重要条件，就能找到思维切入点，从而产生有效的知识联系。

2．从目标确立到建立联系 思维能力强的学生在解题时有两个特点：一是有目标导向；二是能建立有效的知识联系。具备这两个特点，就会有清晰的解题思路，有合理的判断及严密的推理过程。

例4、集合 ， 到坐标平面 上的点集 的映射为 设集合 ，求满足 的正实数 的最大值。

分析：由 ，有 . 即当 时， 的任何值都不小于 . 故目标为：当 时，求 的最小值。 知识联系：（1）由 知 ，结合 的形式联想到不等式性质； （2）通过分拆 使 变为 . 在认真审题，理解题意，初步分析的基础上确定解题目标，有助于建立有效的知识联系，同时也使问题转化成熟悉的和更为简单的问题。解题目标可以是求解目标，也可以是阶段目标，目标的确立能使思维有序以及分析指向得以明确，使解题过程合理和更有效率。

例5、求函数 的值域. 所给函数不是常见类型，必须对函数解析式转化才能求得它的值域。于是要考虑一个目标：将函数解析式作怎样的变形转化才有效？这个目标就是一个阶段目标。目标的确立是建立在观察、联想、分析、合理判断的基础上的，问题转化的方式方法随着问题的变异而有所不同。此题在学生熟知的题型：求 的值域的基础上，向求 的值域的做法进行迁移： 若能注意到 与 的区别，我们就会发现题目所呈现的实际上是一个二元（ 和 ）问题，因此目标是：把它变成一个一元问题。有了这个目标，知识的联系就会更加丰富：

联系一：三角变形即

通过等价变形，把原来的问题变为学生熟悉的求二次函数值域的问题。在这个转化过程中，也许一开始不清楚转化的具体目标是什么，但方向（二元问题化为一元问题）是十分明确的。

联系二：从函数的解析式联想到直线斜率公式，把问题转化为：求点 与点 的连线的斜率的取值范围。

联系三：从函数的解析式联系到复数 的辐角的正切值，把问题转化为：求复数 的辐角的正切值的取值范围。为方便求解，将复数 变形为 ，再利用复数减法运算的几何意义将问题转化为求点 与点 的连线的斜率的取值范围。

三、讲究讲评试卷的方法和技巧. 高三数学复习通常分阶段进行，肯定要做很多试卷，但试卷并不是做得越多越好，关键在于做题的质量好坏和收益的多少。怎样才能取得好的讲评效果，要做好以下几点：

1、照顾一般，突出重点 在讲评试卷时，不应该也不必要平均使用时间，有些试题只要点到为止， 有些试题则需要仔细剖析，对那些涉及重难点知识且能力要求比较高的试题要特别照顾；对于学生错误率较高的试题，则要对症下药。为此教师必须认真批阅试卷，对每道题的得分率应细致地进行统计，对每道题的错误原因准确地分析，对每道题的评讲思路精心设计，只有做到评讲前心中有数，才会做到评讲时有的放矢。

2、贵在方法，重在思维 方法是关键，思维是核心，渗透科学方法，培养思维能力是贯穿数学教学全过程的首要任务。通过试卷的评讲过程，应该使学生的思维能力得到发展，分析与解决问题的悟性得到提高，对问题的化归意识得到加强。训练“多题一解”和“一题多解”，不在于方法的罗列，而在于思路的分析和解法的对比，从而揭示最简或最佳的解法。绕开它是换一个角度看（分析）问题，改变解题方向，选择另一解题途径。

如：前面的例3中，要用数学归纳法证明 ，从假设 时等式成立到证明 时等式也成立的过程：

假设 时等式成立，即 那么 在这一步，遇到 的障碍，在前面的推导中已知道 ，但这是推测而未经证明的结果，不能直接使用，另外再证也没必要，怎么办？ 我们回到开始的分析，从图中第 个正三角形看，存在着 的关系：

∴ 从而 ∴ 当 时，等式也成立。 善于观察，善于建立元素间的关系，是分析问题从而解决问题的关键。从观察到分析到判断，确定正确的解题方向和找到好的解题思路，体现出思维的深度和良好思维品质。

3、分类化归，集中讲评 涉及相同知识点的题，集中讲评；形异质同的题，集中评讲；形似质异的题，集中评讲。

例6、设数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，数列 是首项为，公差为的等差数列，由这两个数列中相同的项依次组成一个新数列 ，求数列 的所有项的和。 分析：一般会想到 的首项。 ， 或许还会找 的第二、三项，但这样做思路不明确。这时，要考虑其规律性的东西。 设 ，则 通常到这里就做不下去了，原因是不定方程 误导学生去考虑 的取值情况，