Maxwell equation, Shroedinger equation, Dirac equation, Einstein equation defined on the mu
论麦克斯韦方程组
论麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组（ Maxwell's equations）是物理学中电磁力学的本征方程式，它描述电磁场的基本性质。
这些方程是在19世纪50年代由英国物理学家爱德华·麦克斯韦提出的，并发表在他的论文《磁力学的基本原理》中。
它们准确描述了电磁力学现象，包括电磁波传播、相互作用和电流及电电场之间的关系。
麦克斯韦方程组包括四个基本方程：耦合方程、Faraday-Lenz定律、Ampere-Maxwell定律以及Gauss定律。
耦合方程是麦克斯韦方程组中新近提出的一个，它介绍了电磁场与电磁能之间的关系。
它由四个基本方程（分别由Faraday-Lenz定律、Ampere-Maxwell定律、Gauss定律以及耦合方程组成）组成，说明了如何建立电场和磁场、以及怎样通过耦合方程式决定其中的能量流动，从而让物理实验得以正确表达。
麦克斯韦方程组提供了物理定律依据，让电磁现象可以用定量的数学方法和公式来描述和解释。
通过解这些方程组，科学家可以更加精确地探索和描述电磁现象。
从理论上讲，麦克斯韦方程组能够提供明确而准确的答案，但大多数情况下，科学家们没有太多计算能力来解决这些方程。
因此，它们仍受到相当多的限制。
除此之外，麦克斯韦方程组也被广泛应用于广义相对论中，用于描述引力场的电磁行为。
这些方程也可以在气体动力学中得到应用，其中包括用于描述不同物质间复杂但光滑的流动行为，以及用于解释不同变量之间的压强、流速和能量关系。
它们也可以被用来描述不同物理系统，包括激光、超声波和电磁感应等，从而获得精确的数学解。
总的来说，麦克斯韦方程组是一套非常强大且有用的物理方程，它们对于科学家来说非常重要，因为它们能够帮助我们更加完整地阐明电磁现象的特性，从而更好的理解电磁学和相关理论。
麦克斯韦方程组的微分形式及其物理意义
麦克斯韦方程组的微分形式及其物理意义麦克斯韦方程组（Maxwell's Equations）是解释电磁学理论的基本概念。
它描述了电磁学行为的微分形式，由四个基本方程组成，如下所示：1. 互磁定律（Faraday's Law）：$\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$2. 量子磁感应定律（Ampère-Maxwell 定律）：$\nabla\times\mathbf{H}=\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{D}}{\partialt}+\frac{1}{c} \mathbf{J}$3. 电导定律（Gauss's Law）：$\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho$4. 磁导定律（Gauss's Law for Magnetism）：$\nabla\cdot\mathbf{B}=0$这四个方程式构成的集合可用来描述在不同的区域内电磁场的变化。
麦克斯韦方程组的物理意义如下：（1）互磁定律（Faraday's Law）：表明静电场和旋转磁场是相互联系的，它表明当静电场中电荷数量发生变化时，会在旋转磁场中产生磁通量，磁通量随时间的变化以反比于电荷变化的速度而变化。
（2）量子磁感应定律（Ampère-Maxwell 定律）：将前一定律和电流的作用结合起来，它表明当电流在磁场中流动时，它会产生磁通量和静电场，这就是磁电感的作用原理。
（3）电导定律（Gauss's Law）：电流的密度和方向受外界静电场的作用，它表明静电场在特定区域内扩散，且其强度与特定区域内电荷数量成正比。
（4）磁导定律（Gauss's Law for Magnetism）：表明磁场在特定区域内扩散，而且当这个区域内没有磁源时，磁场和电场密度对任何一个区域都是零，即磁通量不能从一个区域流入另一个区域。
最伟大的10个公式
史上最伟大的十个公式No.10圆的周长公式（The Length of the Circumference of a Circle）C=2πr目前，人类已经能得到圆周率的2061亿位精度。
还是挺无聊的。
现代科技领域使用的-圆周率值，有十几位已经足够了。
如果用35位精度的-圆周率值，来计算一个能把太阳系包起来的一个圆的周长，误差还不到质子直径的百万分之一。
现在的人计算圆周率，多数是为了验证计算机的计算能力，还有就是为了兴趣。
No.9傅立叶变换（The Fourier Transform）F^(ξ):=∫+∞−∞f(x)e−2πixξdxNo.8德布罗意方程组（The de Broglie Relations）P=ℏkE=ℏω简要地说德布罗意这人觉得电子不仅是一个粒子，也是一种波，它还有“波长”。
于是搞啊搞就有了这个物质波方程，表达了波长、能量等等之间的关系。
同时他获得了1929年诺贝尔物理学奖。
No.71+1=2这个公式不需要名称，不需要翻译，不需要解释。
No.6薛定谔方程（The Schrödinger Equation）Iℏ∂∂tΨ(r,t)=H^Ψ(r,t)薛定谔方程是世界原子物理学文献中应用最广泛、影响最大的公式。
由于对量子力学的杰出贡献，薛定谔获得1933年诺贝尔物理奖。
No.5质能方程（Mass–energy Equivalence）E0=mc2好像从来没有一个科学界的公式有如此广泛的意义。
在物理学“奇迹年”1905年，由一个叫做爱因斯坦的年轻人提出。
同年他还发表了《论动体的电动力学》——俗称狭义相对论。
这个公式告诉我们，能量和质量是可以互换的。
副产品：原子弹。
No.4勾股定理/毕达哥拉斯定理（Pythagorean Theorem）A2+b2=c2No.3牛顿第二定律（Newton’s Second Law of Motion）F=ma有史以来最伟大的没有之一的科学家在有史以来最伟大没有之一的科学巨作《自然哲学的数学原理》当中的被认为是经典物理学中最伟大的没有之一的核心定律。
世界第一公式：麦克斯韦方程组
世界第一公式：麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组，是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程。
从麦克斯韦方程组，可以推论出光波是电磁波。
麦克斯韦方程组和洛伦兹力方程是经典电磁学的基础方程。
从这些基础方程的相关理论，发展出现代的电力科技与电子科技。
麦克斯韦1865年提出的最初形式的方程组由20个等式和20个变量组成。
他在1873年尝试用四元数来表达，但未成功。
现在所使用的数学形式是奥利弗·赫维赛德和约西亚·吉布斯于1884年以矢量分析的形式重新表达的。
在英国科学期刊《物理世界》发起的“最伟大公式”中，麦克斯韦方程组力压勾股定理，质能转换公式，名列第一。
这里，不细谈任何具体的推导和数学关系，纯粹挥挥手扯扯淡地说一说电磁学里的概念和思想。
1力、能、场、势经典物理研究的一个重要对象就是力force。
比如牛顿力学的核心就是F=ma这个公式，剩下的什么平抛圆周简谐运动都可以用这货加上微积分推出来。
但是力有一点不好，它是个向量vector（既有大小又有方向），所以即便是简单的受力分析，想解出运动方程却难得要死。
很多时候，从能量的角度出发反而问题会变得简单很多。
能量energy说到底就是力在空间上的积分（能量=功=力×距离），所以和力是有紧密联系的，而且能量是个标量scalar，加减乘除十分方便。
分析力学中的拉格朗日力学和哈密顿力学就绕开了力，从能量出发，算运动方程比牛顿力学要简便得多。
在电磁学里，我们通过力定义出了场field的概念。
我们注意到洛仑兹力总有着F=q(E+v×B)的形式，具体不谈，单看这个公式就会发现力和电荷（或电荷×速度）程正比。
那么我们便可以刨去电荷（或电荷×速度）的部分，仅仅看剩下的这个“系数”有着怎样的动力学性质。
也就是说，场是某种遍布在空间中的东西，当电荷置于场中时便会受力。
麦克斯韦方程
麦克斯韦方程麦克斯韦方程是19世纪英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦为描述电场、磁场和电荷密度与电流密度之间的关系而创建的一组偏微分方程。
它由四个方程组成：高斯定律描述电荷如何产生电场;高斯磁定律在磁单极中不存在;麦克斯韦-安培定律描述电流和时变电场如何产生磁场;法哈迪感应定律描述时变磁场如何产生电场。
从麦克斯韦的方程系统中可以推断出电磁波在真空中以光速传播，然后猜测光是电磁波。
麦克斯韦方程和洛伦茨力方程是经典电磁学的基本方程。
从这些基本方程的相关理论，发展几代电力技术和电子技术。
麦克斯韦在1865年提出的原始方程形式由20个方程和20个变量组成。
1873年，他试图用四重奏，但没有成功。
现在使用的数学形式在1884年由奥利弗·赫维赛德和约西亚·吉布斯以矢量分析的形式重新表达。
历史背景：在麦克斯韦诞生前半个多世纪，对电磁现象的认识已经取得重大进展。
1785年，法国物理学家Char charles A. Coulomb根据扭曲尺度实验的结果，建立了库仑定律，说明了两个点电荷之间的相互作用。
1820年，汉斯·克里斯蒂安·欧斯特德发现电流偏转磁针，将电与磁性联系起来。
后来，A.M.安培研究了电流之间的相互作用力，提出了许多重要概念和安培环定律。
Michael Faraday在很多方面做出了杰出的贡献，特别是1831年出版的电磁感应定律，它是电机和变压器等设备的重要理论基础。
1845年，《库仑定律》（1785年）、《生物萨瓦尔定律》（1820年）、法拉第电磁感应定律（1831-1845年）和法拉第的"电线"和"电磁线"概念被概括为"电磁场概念"。
从1855年到1865年，麦克斯韦在全面研究库仑定律、生物萨法尔定律和法拉第定律的基础上，将数学分析引入电磁学领域，从而催生了麦克斯韦的电磁理论。
在麦克斯韦之前，电磁现象理论是以超距离作用的概念为基础的，认为带电、磁力或载波导体之间的相互作用可以直接直接和直接在中间介质之外进行，即电磁干扰的传播速度被认为是无限的。
物理数学中10个最伟大公式
10个最伟大公式10 Greatest Formulae英国科学期刊《物理世界》曾让读者投票评选了“最伟大的公式”，最终榜上有名的十个公式既有无人不知的1+1=2，又有著名的E=mc2；既有简单的圆周公式，又有复杂的欧拉公式……这些公式美丽而精妙，这个地球上有多少伟大的智慧曾耗尽一生，才最终写下一个等号。
每当你解不开方程的时候，不妨换一个角度想，你正在见证的，是科学的美丽与人类的尊严。
让我们一起来看看这十个公式，你认识几个呢?No.10 圆的周长公式The Length of the Circumference of a CircleCπ=2r这个公式虽然简单，但却蕴含着深刻的智慧。
任何圆——不论大小——用它的周长比上直径，一定得到一个常数π。
你别小看圆周率π。
众所π是一个无限不循环小数，也是数学中最重要的常数周知，...=1415926.3之一。
许多数学家终其一生, 才能将圆周率计算到小数点后几十位. 而目前人类制造的超级计算机已经能得到圆周率的30万亿位，却仍然没有找到任何循环的迹象。
No.9 傅立叶变换The Fourier Transform[]dte tf t f F F t i ωω-∞∞-⎰== )()()(傅里叶变换是一种特殊的积分变换。
虽然这个公式复杂难懂，但是它在物理学、电子类科学、信号处理、统计学、密码学、声学、光学、海洋学等领域都有着广泛的应用。
另外，没有这个公式，就没有今天的电子计算机。
因此，你今天能够享受网上冲浪带来的乐趣，除了要感谢党和政府, 还要感谢傅里叶。
No.8德布罗意方程组The de Broglie Relationsp=ħk=h/λE=ħw=hv'这个方程组不仅指出了微观粒子波长和动量的关系，频率和能量的关系，还表明了粒子具有“波粒二象性”，彻底颠覆了牛顿的光粒子说，还否定了光的波动说。
德布罗意凭借这一发现荣获了1929年诺贝尔物理学奖。
No.71+1=2是不是感觉这个公式很简单? 然而，这个式子也有着深刻的含义。
麦克斯韦方程
麦克斯韦方程麦克斯韦方程是电磁场理论的基本方程组，由苏格兰物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦于1861年至1865年间发表。
该方程组描述了电磁场的运动规律和相互作用，对电磁学的发展产生了深远的影响。
本文将对麦克斯韦方程的基本内容进行介绍。
一、电场和磁场麦克斯韦方程涉及到两个基本的物理量，即电场和磁场。
电场是由电荷产生的力场，用来描述电荷间的相互作用。
磁场是由磁荷或电流产生的力场，用来描述磁荷或电流间的相互作用。
二、麦克斯韦方程的表述麦克斯韦方程包括四个基本方程：1. 麦克斯韦第一方程（高斯定律）该方程描述了电场的产生和分布与电荷分布之间的关系。
它表明电场通量与包围电荷的总电荷成正比，且与电场强度的散度呈正比；2. 麦克斯韦第二方程（高斯磁定律）该方程描述了磁场的产生和分布与磁荷分布之间的关系。
它表明磁场通量的闭合与包围磁荷的总磁荷成正比，且与磁场强度的散度为零；3. 麦克斯韦第三方程（法拉第电磁感应定律）该方程描述了磁场与电场的相互作用。
它表明磁场变化产生感应电场，感应电场的闭合线圈绕过的磁场通量为负磁场变化率；4. 麦克斯韦第四方程（安培环路定律）该方程描述了电场与电流的相互作用。
它表明电场变化产生感应磁场，感应磁场的闭合线圈绕过的电场通量为正电场变化率与恒定电流的代数和；三、麦克斯韦方程的应用麦克斯韦方程在电磁场的理论研究和应用中起到了重要的作用。
通过麦克斯韦方程的运算和求解，可以得到电磁场的分布和变化规律，从而推导出许多电磁学的基本定律和现象。
麦克斯韦方程的应用涉及电磁波、电磁感应、电磁势、电磁辐射等众多领域。
例如，通过麦克斯韦方程可以推导出电磁波的存在和传播，这对于无线通信和雷达等技术起到了重要的支撑作用。
此外，麦克斯韦方程还为电磁场和物质之间的相互作用提供了理论基础，对材料的电磁性质和电磁感应现象进行解释和研究具有重要的意义。
四、总结麦克斯韦方程是电磁场理论的核心内容，它描述了电磁场的运动规律和相互作用。
麦克斯韦方程组是什么？为什么被称为人类历史上最伟大的公式？
麦克斯韦方程组是什么？为什么被称为人类历史上最伟大的公式？麦克斯韦方程组（英语：Maxwell\\\'s equations），是英国物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在19世纪建立的一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程。
从麦克斯韦方程组，可以推论出电磁波在真空中以光速传播，并进而做出光是电磁波的猜想。
麦克斯韦方程组和洛伦兹力方程是经典电磁学的基础方程。
从这些基础方程的相关理论，发展出现代的电力科技与电子科技。
麦克斯韦诞生前的半个多世纪，人类对电磁现象的认识取得了很大的进展。
1785年，法国物理学家C. A.库仑（Charles A. Coulomb）在扭秤实验结果的基础上，建立了说明两个点电荷之间相互作用力的库仑定律。
1820年，H. C.奥斯特（Hans Christian Oersted）发现电流能使磁针偏转，从而把电与磁联系起来。
其后，A. M.安培（Andre Marie Ampère）研究了电流之间的相互作用力，提出了许多重要概念和安培环路定律。
M.法拉第（Michael Faraday）在很多方面有杰出贡献，特别是1831年发表的电磁感应定律，是电机、变压器等设备的重要理论基础。
1845年，关于电磁现象的三个最基本的实验定律：库仑定律（1785年）、毕奥-萨伐尔定律（1820年）、法拉第电磁感应定律（1831 ~ 1845年）已被总结出来，法拉第的“电力线”和“磁力线”（现在也叫做“电场线”与“磁感线”）概念已发展成“电磁场概念”。
1855年至1865年，麦克斯韦在全面地审视了库仑定律、毕奥—萨伐尔定律和法拉第定律的基础上，把数学分析方法带进了电磁学的研究领域，由此导致麦克斯韦电磁理论的诞生。
在麦克斯韦之前，关于电磁现象的学说都以超距作用观念为基础，认为带电体、磁化体或载流导体之间的相互作用，都是可以超越中间媒质而直接进行并立即完成的，即认为电磁扰动的传播速度无限大。
麦克斯韦总结
★麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组（英语：Maxwell's equations），是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程。
它由四个方程组成：描述电荷如何产生电场的高斯定律、论述磁单极子不存在的高斯磁定律、描述电流和时变电场怎样产生磁场的麦克斯韦-安培定律、描述时变磁场如何产生电场的法拉第感应定律。
从麦克斯韦方程组，可以推论出电磁波在真空中以光速传播，并进而做出光是电磁波的猜想。
麦克斯韦方程组和洛伦兹力方程是经典电磁学的基础方程。
从这些基础方程的相关理论，发展出现代的电力科技与电子科技。
麦克斯韦1865年提出的最初形式的方程组由20个等式和20个变量组成。
他在1873年尝试用四元数来表达，但未成功。
现在所使用的数学形式是奥利弗·赫维赛德和约西亚·吉布斯于1884年以矢量分析的形式重新表达的。
历史背景麦克斯韦诞生以前的半个多世纪中，人类对电磁现象的认识取得了很大的进展。
1785年，C．A．库仑（Charles A．Coulomb）在扭秤实验结果的基础上，建立了说明两个点电荷之间相互作用力的库仑定律。
1820年H．C．奥斯特（Hans Christian Oersted）发现电流能使磁针偏转，从而把电与磁联系起来。
其后，A．M．安培（Andre Marie Ampere）研究了电流之间的相互作用力，提出了许多重要概念和安培环路定律。
M．法拉第（Michael Faraday）的工作在很多方面有杰出贡献，特别是1831年发表的电磁感应定律，是电机，变压器等设备的重要理论基础。
在麦克斯韦之前，关于电磁现象的学说都以超距作用观念为基础。
认为带电体、磁化体或载流导体之间的相互作用，都是可以超越中间媒质而直接进行，并立即完成的。
即认为电磁扰动的传播速度是无限大。
在那个时期，持不同意见的只有法拉第。
他认为上述这些相互作用与中间媒质有关，是通过中间媒质的传递而进行的，即主张间递学说。
薛定谔方程式
薛定谔方程式概述薛定谔方程式（Schrödinger equation）是量子力学的核心方程之一，描述了量子系统的时间演化。
由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，被誉为量子力学的基石之一。
薛定谔方程式的发现极大地推动了量子力学的发展，为人们理解微观世界的性质提供了重要工具。
薛定谔方程式在波动力学（wave mechanics）中得到了严格推导和解释。
它描述了一个不含外部力和电磁场的短程自由粒子或由简单势场所引起的粒子的行为。
对于多粒子系统，薛定谔方程式可以将多个粒子的波函数妥善地描述为一个整体波函数。
方程式的形式薛定谔方程式的一般形式如下所示：iℏ∂Ψ∂t=ĤΨ其中，i是虚数单位，ℏ是约化普朗克常数（等于普朗克常数除以2π），∂Ψ∂t表示波函数Ψ对时间t的偏导数，Ĥ是哈密顿算符（Hamiltonian operator），描述了系统的总能量。
薛定谔方程式是一个偏微分方程，描述了波函数随时间的演化。
根据方程式的形式，可以看出波函数的时间导数与波函数自身之间存在一种深刻的关系，通过求解薛定谔方程式，我们可以获得系统的波函数，并从中得到系统的物理性质。
波函数的解释根据波函数的解释，波函数Ψ(x,t)是位置x和时间t的一个函数，它描述了粒子存在于不同位置时的概率振幅。
波函数的模方|Ψ(x,t)|2表示了在位置x处寻找粒子的概率密度。
量子力学的一般规则告诉我们，波函数的平方和在整个空间上积分应该等于1，即：∫|Ψ(x,t)|2∞−∞dx=1这表示粒子总是处于一定的状态中，而且它的位置在真实性上是不确定的，只有一定的概率存在于某个特定位置。
哈密顿算符在薛定谔方程式中，哈密顿算符Ĥ起着关键的作用，它对应着系统的总能量。
哈密顿算符的具体形式取决于所研究的系统的性质。
对于一个自由粒子，哈密顿算符可以写为：Ĥ=−ℏ22m∂2∂x2其中，m是粒子的质量。
对于一个粒子受势场影响的情况，哈密顿算符则需要加入相应的势能项。
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arXiv:gr-qc/0002003v1 1 Feb 2000Maxwellequation,Shroedingerequation,Diracequation,Einsteinequationdefinedonthemultifractalsetsofthetimeandthespace
L.Ya.KobelevDepartmentofPhysics,UralsStateUniversityLeninaAve.,51,Ekaterinburg620083,Russia
pacs:01.30.Tt,05.45,64.60.A;00.89.98.02.90.+p.
1abstractWhatformswillhaveanequationsofmodernphysicsifthedimensionsofourtimeandspacearefractional?ThegeneralizedequationsenumeratedbytitlearepresentedbyhelpthegeneralizedfractionalderivativesofRiemann-Liouville.
2IntroductionInthearticles[1]-[6]thegeneralizedfractionalRiemann-Liouvillederivatives(GFD)aredeterminedandthefractaltheoryoftimeandspace(andsomeothersphysicalquestions)basingontheusingGFDforfunctionsdefinedonamultifractalsetsarepresented.Themultifractaltimeandspacesetsarecharacterizedbyfractaldimensionsdt(r(t),t)anddr(t(r),r).Inthispaperthegeneralizationofmainequationsofthemodernphysicsarepresentedforthemultifractaltimeandspaceintheframeofmultifractalmodeloftimeandspacepresentedin[1]-[6].Theseequationsgivesinalittlecorrections
1fortheknownequationsforthecasewhenthefractaldimensions(FD)oftimedtandspacedraredt=1+ε(r(t),t)(andsoondr)andtheFDareslightlydiffersfromunity,i.e.|ε|<<1,thatisvalidforsmalldensitiesofLagrangiansinpointst,r,i.e.forweakforcesinthedomainofspaceandtimenearr,t.Alltheequationsmaybereceivedbymeansoftheprincipleofminimumoffractaldimensionsfunctional(see[1])andfromthisprinciplethegeneralizedEuler’sequationsmaybewritedown.Weusemoresimplemethodinthisarticle,consistinginthereplacingtheordinaryderivativesintheknownequationsbyGFD(itmaybegroundbycomparisonwiththegeneralizedEulerequations).Beforereceivingtheequationsweremindthemaindefinitionsanddesignationsofthetheory[1]-[4]:Generalizedfractionalderivatives(GFD):WebeginfromrememberingofthefractionalRiemann-Liouvillederivativesdefinitions[7]:
Dd+,tf(t)=dΓ(n−d)(t−t′)d−n+1(1)
Dd−,tf(t)=(−1)nd
Γ(n−d)(t′−t)d−n+1
(2)
Letafunctionf(t)ofvariabletisdefinedonmultifractalsetStwhichconsistfrommultifractalsubsetssi(ti).Weshallseesubsetssi(ti)asthe”points”ti(withacontinuousdistributionfordifferentmultifractalsubsetssi(ti)ofmultifractalsetStorderedbyvaluesoft.Letthefunctiond(ti)=d(t)iscontinuousanddescribestheirfractionaldimensions(insomecasescoincidingwithlocalfractaldimensionsofsetStasfunctiont.Fortheelementarygeneralizationthedefinitions(1)-(2)areusedphysicalreasonsandvariabletisinterpretedasatime.Foracontinuousfunctionsf(t)(thegeneralizedfunctionsdefinedontheclassofthefinitaryfunctions(see[8]),thefractionalderivativesoftheRiemann-Liouvillearecontinuousalso.Soforinfinitesimalintervalsoftimethefunctionals(1)-(2)willvaryonaninfinitesimalquantity.Forthecontinuousfunctiond(t)thechangesitthusalsowillbeinfinitesimal.Itallows,astheelementarygeneralization(1)thatissuitablefordescribethechangesthefunctionf(t)definedonmultifractalsubsetss(t)(aswellasinthe(1)-(2)),totakeintoaccountthesummaryinfluenceofakernelofintegral(t−t′)−d(t)−n+1Γ−1(n−d(t)),dependingfrom
2d(t),onthef(t)inallpointsofintegrationand,insteadof(1)-(2)towritetheintegralwhichtakesintoaccountallthisinfluences.Thus,weenterthefollowingdefinitions(generalizedfractionalderivativesandintegrals(GFD)),thataccountalsodependenced(t)fromtimeandvectorparameterr(t)(i.e.dt≡dt(r,t)):
Ddt+,tf(t)=d
Γ(n−dt(t′))(t−t′)dt(t′)−n+1
(3)
Ddt−,tf(t)=(−1)n××dΓ(n−dt(t′))(t′−t)dt(t′)−n+1(4)In(3)-(4),aswellasin(1)-(2),aandbstationaryvaluesdefinedonaninfi-niteaxis(from−∞to∞),aintegerpartofdt≥0,n=0fordt<0.Theonlydifferencethe(3)-(4)fromthe(1)-(2)is:dt=dt(r(t),t)-fractionaldimensions(furtherwillbeusedforitterms”fractaldimensions”(FD)or”theglobalfractaldimension(FD)”ofsubsetst)isthefunctionoftimeandcoordinates,insteadofstationaryvaluesinthe(1)-(2).Similarto(1)-(2),itispossibletodefinetheGFD,(thatcoincidesforintegervaluesoffractionaldimensionsdr(r,t)withderivativesrespecttovectorvariabler)Ddr+,rf(r,t)respecttovectorr(t)variables(spa-tialcoordinates).Wepayattention,thatdefinitions(1)-(2)areaspecialcaseofHadamardderivatives[9].
2.Theconnectionbetweenthefractionaldimensions(FD)oftimeandspacewithLagrangianfunctionsofenergydensitiesread:
dt=1+i,αβi,αLi,α(t,r,Φi,ψi)(5)
In(5)αtakesvalue:α=t,r.MorecomplicateddependenciesofdαatLα,i
areconsideredin[1].Notethatrelation(5)(andsimilarexpressionfordr
doesnotcontainanylimitationsonthevalueofβiLi,α(t,r,Φi,ψi)unlesssuch
limitationsareimposedonthecorrespondingLagrangians,andthereforedt
canreachanywhateverhighorsmallvalue.
3