高中数学《函数的单调性与导数》教案
导数与函数的单调性教学设计
《导数与函数的单调性》教学设计【课题】导数与函数的单调性【课时】1课时【教材分析】导数与函数的单调性是人教版选修2-2第三章第一节的内容。
函数单调性是高中阶段刻划函数变化的一个最基本的性质。
在高中数学课程中，对于函数单调性的研究分成两个阶段：第一个阶段是用定义研究单调性，知道它的变化趋势,是高一需要了解的知识点；第二阶段用导数的性质研究单调性，知道它的变化快慢，是高二需要掌握的知识内容。
在学习本节课之前学生已经学习了导数、函数及函数单调性等概念，对单调性有了一定的感性和理性的认识，同时在第二章中已经学习了导数的概念，对导数有了一定的知识储备。
函数的单调性是高中数学中极为重要的一个知识点。
以前学习了利用函数单调性的定义、函数的图象来研究函数的单调性，学习了导数以后，利用导数来研究函数的单调性，是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用。
同时，在本章第二节要学习利用导数研究函数的极值，学习了导数研究函数的单调性，对于研究利用导数求函数的极值有重要的帮助。
因此，学习本节内容具有承上启下的作用。
【学情分析】课堂学生为高二年级的的学生，学生基础一般，高一阶段对于单调性概念的理解不够准确且现在早已忘记；同时导数是高中学生新接触的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点。
在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算，初步接触了导数在几何中的简单应用，但对导数的应用还仅停留在表面上。
本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单调性。
【教学目标】知识与能力：一是能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；二是掌握判断函数单调性的方法；三是能由导数信息绘制函数大致图象。
过程与方法：通过利用导数研究单调性问题的研究过程,体会从特殊到一般的、数形结合的研究方法。
情感态度与价值观：（1）通过导数方法研究单调性问题，体会到不同数学知识间的内在联系，认识到数学是一个有机整体。
2）通过导数研究单调性的基本步骤（即算法）的形成和使用，使得学生认识到导数使得一些复杂的问题就变得有矩可循，因而认识到导数的实用价值。
函数的单调性与导数教案
函数的单调性与导数教案一、引入：1.很多初学者对于函数的单调性以及导数的概念有些混淆和不清楚，导致在学习相关知识时存在一定的困惑。
2.本教案旨在通过简明扼要地介绍函数的单调性和导数的概念，结合实际例子和练习，帮助学生更好地理解和掌握相关知识。
二、函数的单调性：1.单调函数的定义：设函数f(x)在区间I上有定义，若对于任意的x1、x2∈I，若x1<x2，则f(x1)<f(x2)，即函数在区间I上是单调递增的。
2.一般而言，单调函数在其定义域内满足下面两个条件之一：a.在定义域上恒大于零或恒小于零，即f'(x)≥0或f'(x)≤0；b.在定义域上的导函数的符号不变，即f'(x)单调递增或单调递减。
3.通过实例说明和分析函数的特点，加深学生对单调性的理解。
三、导数的概念：1.导数的定义：函数f(x)在x=a处的导数定义为：f'(a)=lim┬(x→a)(f(x)-f(a))/(x-a)2.导数的几何意义：函数在一点处的导数等于函数曲线在该点的切线斜率。
3.导数的物理意义：函数在一点处的导数等于在该点的瞬时变化率，表示函数在其中一点的瞬时速率。
4.通过上述两个导数的概念和意义，学生可以从不同视角理解导数，并且感受到导数在不同学科中的应用。
四、如何判断函数的单调性：1.根据导数的定义和性质，可以通过求导来判断函数的单调性。
2.若函数f(x)在(a,b)上连续，在(a,b)内可导，且当x∈(a,b)时，f'(a)>0，则f(x)在(a,b)上是严格单调递增的。
3.同时，可以通过求导数的符号表并分析函数的增减情况，判断函数的单调性。
五、导数的计算方法：1.根据导数的定义和性质，介绍常见函数的导数计算方法，如：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。
2.导数的四则运算法则：和、差、积、商的导数计算方法。
3.注意一阶导数和n阶导数的概念。
六、例题分析与讲解：1.运用上述概念和方法，结合典型的例题进行分析和讲解，加深学生对函数单调性和导数的理解和运用能力。
高中数学《1.3.1函数的单调性与导数》教案 新人教A版选修221
§1.3.1函数的单调性与导数（2课时）教学目标：1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次； 教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程：一．创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．二．新课讲授1．问题：图 3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增；在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数．3．求解函数()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．三．典例分析例1．已知导函数'()f x 的下列信息：当14x <<时，'()0f x >；当4x >，或1x <时，'()0f x <；当4x =，或1x =时，'()0f x =试画出函数()y f x =图像的大致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增；当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减；当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数()y f x =图像的大致形状如图3.3-4所示．例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =--（3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+解：（1）因为3()3f x x x =+，所以，'22()333(1)0f x x x =+=+>因此，3()3f x x x =+在R 上单调递增，如图3.3-5（1）所示．（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=- 当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增；当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减；函数2()23f x x x =--的图像如图3.3-5（2）所示．（3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()cos 10f x x =-<因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，如图3.3-5（3）所示．（4）因为32()23241f x x x x =+-+，所以 ．当'()0f x >，即 时，函数2()23f x x x =-- ；当'()0f x <，即 时，函数2()23f x x x =-- ；函数32()23241f x x x x =+-+的图像如图3.3-5（4）所示．注：（3）、（4）生练例3 如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像．分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A ）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：()()()()()()()()1,2,3,4B A D C →→→→思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数()y f x =在()0,b 或(),0a 内的图像“陡峭”，在(),b +∞或(),a -∞内的图像“平缓”．例4 求证：函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数． 证明：因为()()()'22661262612y x x x x x x =+-=+-=-+当()2,1x ∈-即21x -<<时，'0y <，所以函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．说明：证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性步骤：（1）求导函数()'fx ； （2）判断()'f x 在(),a b 内的符号；（3）做出结论：()'0fx >为增函数，()'0f x <为减函数． 例5 已知函数 232()4()3f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数，求实数a 的取值范围． 解：'2()422f x ax x =+-，因为()f x 在区间[]1,1-上是增函数，所以'()0f x ≥对[]1,1x ∈-恒成立，即220x ax --≤对[]1,1x ∈-恒成立，解之得：11a -≤≤ 所以实数a 的取值范围为[]1,1-．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则'()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．四．课堂练习1．求下列函数的单调区间1.f (x )=2x 3－6x 2+72.f (x )=x 1+2x 3. f (x )=sin x , x ]2,0[π∈ 4. y=xlnx2．课本 练习五．回顾总结（1）函数的单调性与导数的关系（2）求解函数()y f x =单调区间（3）证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性六．布置作业。
人教版高中数学优质教案5：3.3.1 函数的单调性与导数 教学设计
3.3.1 函数的单调性与导数一、教学设计： 内容和内容[解析]该部分的内容主要讲述的是函数的单调性与导数之间的关系，为函数的单调性研究提供了一个更为便捷的方法.在学习本节课之前，学生在必修1的《函数性质》内容中学习了函数单调性的定义以及利用图像得出单调区间的方法，另外还学习了导数的几何意义就是函数图象上的点所在的切线斜率.在函数单调性定义中提到：在定义域中的某个区间内任取两个不相等的自变量12,x x ，通过求1()f x 与2()f x 的大小关系可以判断函数的单调性.同时注意到导数的定义中的描述：000()()'()limx x f x f x f x x x →-=-.将导数的定义结合1212()()0f x f x x x ->-时，()f x 为增函数；1212()()0f x f x x x -<-时，()f x 为减函数.可以判定()f x 在某个区间上如果满足'()0f x >，则()f x 在该区间上为增函数；反之，如果'()0f x <，则()f x 在该区间上为减函数.另外，相比于利用单调性定义判定1()f x 与2()f x 的大小关系来确定函数单调性的繁琐运算，求导函数的过程要简洁许多，这就为学生判断一些相对比较复杂的函数的单调性提供一个有力的方法.目标和目标[解析] 1．知识与技能目标：（1）了解函数的单调性与导函数之间的关系；（2）能利用导数研究简单函数的单调性，并掌握原函数与导函数之间的关系； （3）掌握函数单调性的求法，用以解决一些简单的问题. 2．过程与方法目标： （1）利用函数1()f x x x=+回顾单调性的定义和利用图象求单调区间的方法； （2）利用一个函数作为引入，让学生明确本节课学习之后将要达到的学习效果； （3）借助一个函数图象和几何画板让学生体验单调区间与导函数之间的关系；（4）利用所得的结论，让学生研究三个函数的单调区间；（5）利用三个函数图像，作出相应的原函数与导函数的图像草图，让学生体会原函数与导函数之间的图象联系；（6）利用引入中的例题，对本节课所学的内容进行应用并作适当的拓展、总结.3．情感、态度与价值观目标：通过例题的设计培养学生的阅读与理解能力，在图象的研究中培养学生的观察能力，鼓励学生之间的相互协作，培养学生友善的社会主义核心价值观.教学过程由图可得，()f x 的增区间为(,1)-∞-，(1,)+∞，减区间为(1,0)-，(0,1)例2：已知函数()f x 的图象如图所示，且'()f x 是()f x 的导函数.（1）写出()f x 的单调增区间； （2）在你所写出的单调增区间中任选五点作切线.观察所得切线的斜率，归纳出相应的规律，并与你的组员分享你的结论；（3）写出()f x 的单调减区间； （4）在你所写出的单调减区间中任选五点作切线.观察所得切线的斜率，归纳出相应的规律，并与你的组员分享你的 结论；（5）结合切线的斜率与导数的关系，求'()0f x >与'()0f x <的解集；（6）观察单调区间与（5）的解集之间的关系，并总结单调区间和导函数之间的关系.解：（1）增区间是：(1,1)-；如果出于教学进度的考虑，教师可以直接用几何画板向学生演示()f x 图象中各个点的切线斜率特征，并给出相应的结论.但是这样只能使学生成为课堂教学的旁观者.通过让学生自己在纸上作出几条切线观察，进行归纳后与其他组员分享，能极大的提高 学生课堂的参与度，即使自己不会也会被其他组员感染而参与研究.若其他同学与他教师一条条的放映处题目，让学生依序解答每道题，切忌一次性将所有的问题投影出来，使学生产生畏难心理.然后观察学生的活动情况，根据学生的反应作出是否放映下一个问题的判断.同时对学生学习过程中存在的问题及时给予点拨.在学生得出猜想之后，教师再利用几何画板多次演示切点所在的单调区间对斜线斜率的符号的影响. 最后再总结函数的单调区间与导函数之间的关系，让学生对所给出的结论有更好的理解.学生通过阅读题目要求，对图象进行独立研究，将所得到的结果与其他组员分享，并根据所得结论的异同进行及时的纠正或讨论.学情预设：学生在此处会出现端点处作切线，得到导函数在单调区间上可以等于0的结论，对于这个问题可以放到后续的图象中一句话带过，教师不必纠缠.教学实践心得《函数的单调性与导数》的教学价值的挖掘与思考导数部分的内容在高中数学教学中占据着举足轻重的地位，这从对导数时常作为压轴题进行考察就可见一斑.而在压轴题中时常都是以探究式的出题方式要求学生在摸索中找到解题的方法，这既要求学生对相关知识点有较为熟练的基本解题能力，还需要有较为扎实的探究问题的技能.这就要求在本阶段的教学绝对不能依靠以教师为主体的精英化教育时代留下的经验，用绝对量的题目和不断加大的题目难度进行教学，并要求学生如法炮制的在解题过程中应用.它可以综合应用高中阶段所有的知识点进行命题，同时内容本身的解题步骤就比较复杂，如果教师在课堂上以讲为主，时常会发现学生心不在焉，甚至在课堂上睡觉.那么应该用怎样的方法来启发学生对问题进行探究呢？在解答这个问题之前，先分析一下当前时代下人们学习方式的转变.在工业时代，人们的学习方式主要还是以口口相传或者经验传授的方式进行学习.而在网络时代，人们在学习的过程中更加注重主体参与、体验式的学习方式，因为所有的信息都能够信手拈来为我所用.那么面对杂乱无章的海量信息，教师更多的应该扮演引导者的角色，把探究过程中的操作步骤留给学生，让学生在合作探究的过程中慢慢去体会知识的形成与应用的过程.以软件为例，现在的软件首先会用step by step的方式对你进行指导，让你能够尽快了解软件的基本功能和操作方式.客户在了解了产品的基本功能之后，就可以在熟练操作的基础上对该软件的功能进行进一步的开发，另外对于复杂的软件则可以不断通过搜索引擎找到相关的案例进行手把手的操作，提升自我的应用能力，让软件更好的为我服务.这给导数的探究式教学提供了宝贵的借鉴.1．设置问题必须低起点.将导数应用在函数的研究中，学生之前从来没有使用过.所以在课程学习的最初阶段，教师应当努力维护学生对新鲜事物所拥有的本能的好奇，努力避免用复杂的问题瞬间将学生的学习热情扼杀在萌芽的状态.华罗庚先生曾经说过：“（数学教育）要尽可能的退，退到数学最本质的内容.”而这种“退”主要是要让学生能够在学习的最初阶段能够较好的抓住所学内容的本质.图象作为函数研究中的重要工具有着直观与便捷的特点，在《导数与函数单调性》的例题中先用图象作为探究的切入点，可以让学生直接开始对所给的图象作切线，尽可能靠近学生的“最近发展区”，可操作性比较强.2．一步一步引导最初学习.学生刚开始接触将导数作为方法研究函数的内容，教师不能要求学生一下就直接懂得探究的方法，应当对探究中的每一步都进行指点，让学生将自己的“最近发展区”在教师的指导下不断的向前推进并逐步形成自己的方法.另外结合心理学研究的结果：相比于耳朵听到的内容，眼睛看到的内容在记忆中留下的印象要更为深刻.教师可以在课堂的一开始将学生的基础定位定位尽可能低，以便于让尽可能多的学生能够参与到课堂的学习.3．便捷化的操作.操作越简单越能激起学习者的探究热情.在最初的引入阶段利用单调性的定义探究函数的单调性需要的步骤和技巧极多.而在学习导数的内容之后，学生可以对比两种解法，导数所具备的的明显的便捷性与普适性将会引导学生不断深入的学习下去.在得到导数与函数单调性的代数上的意义之后，紧接着又能够得到导数与函数单调性在图象上的相互关系.4．建立学生智能的概念.学生是一个具有主观能动性的人，教师其实并不需要一开始就将复杂的题目向学生进行传授，而更应该回归到本源，将原本复杂的题目进行分解，让学生通过自主探究完成简单的问题，接着再慢慢的熟练掌握知识的内涵与作用.这时他就能对这些知识和技能进行重构，最终完成复杂的任务，这是大脑进行思考的基本顺序.所以在设置《导数和函数单调性》的问题时，在文字或者语言提示中不断的为学生铺路，尽可能让学生自主的解答学习过程中所存在的问题，不断挖掘知识的潜在价值，这甚至可以为后续的研究提供借鉴.当教师在后续的课程中设置同样的语言可以触发学生相同的思考，为后续的学习铺路.本节课由于是第一课时，所以教学的过程中依然停留在课堂内的学习.在网络化的时代，甚至可以鼓励学生在课堂上使用手机搜索自己存在的问题，还可以将自己在学习过程中的体会发布到网络上与其他同学进行分享，将课堂内的学习延伸到网络上，提高学生的学习乐趣和应用手机解决实际问题的能力.。
函数的单调性与导数教案
函数的单调性与导数教案教案标题：函数的单调性与导数教案教案目标：1. 理解函数的单调性的概念及其在数学中的应用。
2. 掌握使用导数判断函数的单调性的方法。
3. 能够应用函数的单调性和导数的概念解决实际问题。
教案步骤：引入：1. 引导学生回顾函数的概念，并提醒他们函数图像上的一些特征，如上升、下降、水平等。
2. 引出函数的单调性的概念，解释函数在特定区间上的单调性表示函数值的增减趋势。
探究：1. 提供一个简单的函数图像，让学生观察并讨论函数在不同区间上的单调性。
2. 引导学生思考如何使用导数来判断函数的单调性。
3. 解释导数的概念，以及导数与函数单调性之间的关系。
4. 通过几个例子，演示如何使用导数来判断函数的单调性。
实践：1. 提供一些函数的导数表达式，让学生根据导数的正负判断函数的单调性。
2. 给学生一些函数图像，让他们通过观察图像判断函数的单调性，并用导数来验证他们的结论。
3. 给学生一些实际问题，让他们应用函数的单调性和导数的概念解决问题。
总结：1. 总结函数的单调性的概念及其判断方法。
2. 强调导数与函数单调性之间的关系。
3. 鼓励学生在实际问题中运用所学知识。
拓展：1. 提供更复杂的函数图像和问题，让学生进一步应用函数的单调性和导数解决问题。
2. 引导学生思考如何使用函数的单调性和导数来优化问题的解决方案。
评估：1. 设计一些练习题，考察学生对函数的单调性和导数的理解和应用能力。
2. 给学生一些实际问题，让他们运用所学知识解决问题，并评估他们的解决方案的合理性和准确性。
教案扩展：1. 引导学生探究函数的凹凸性与导数的关系。
2. 拓展教案内容，介绍更高级的函数性质和导数应用。
注意事项：1. 根据学生的学习水平和理解能力，适当调整教案的难度和深度。
2. 鼓励学生积极参与讨论和实践，培养他们的数学思维和问题解决能力。
3. 提供足够的练习和实践机会，巩固学生对函数单调性和导数的掌握程度。
高三数学函数的单调性与导数教案
城东蜊市阳光实验学校§1.3.1函数的单调性与导数【教学目的】1．正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2．掌握利用导数判断函数单调性的方法。
【教学重点】利用导数判断函数单调性。
【教学难点】利用导数判断函数单调性。
【内容分析】以前，我们用定义来判断函数的单调性．对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就是区间I 上的增函数．对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就是区间I 上的减函数。
在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易．假设利用导数来判断函数的单调性就比较简单。
【教学过程】 一、复习引入1．常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=．2．法那么1)()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法那么2[()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+,[()]'()Cu x Cu x '=．法那么3'2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭．3．复合函数的导数：设函数u=ϕ(x)在点x 处有导数u′x=ϕ′(x)，函数y=f(u)在点x 的对应点u 处有导数y′u=f′(u)，那么复合函数y=f(ϕ(x))在点x 处也有导数，且xu x u y y '''⋅=或者者f′x(ϕ(x))=f′(u)ϕ′(x)．4．复合函数求导的根本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 5．对数函数的导数：x )'(ln =e xx a a log 1)'=． 6．指数函数的导数：x xe e =)'(；a a a x x ln )'(=．二、讲解新课1．函数的导数与函数的单调性的关系： 我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数．从函数342+-=x x y 的图像可以看到：在区间〔2，∞+〕内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即/y >0时，函数y=f(x)在区间〔2，∞+〕内为增函数；在区间〔∞-，2〕内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即/y <0时，函数y=f(x)在区间〔∞-，2〕内为减函数定义：一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，假设在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数；假设在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数2．用导数求函数单调区间的步骤： ①求函数f(x)的导数f′(x)．②令f′(x)＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间。
高中数学复习教案：导数与函数的单调性
第十一节导数与函数的单调性[考纲传真]了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导,则(1)若f′(x)＞0,则f(x)在这个区间内单调递增;(2)若f′(x)＜0,则f(x)在这个区间内单调递减;(3)若f′(x)＝0,则f(x)在这个区间内是常数函数．[常用结论]1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a,b)上是增(减)函数的充要条件是：对∀x∈(a,b),都有f′(x)≥0(f′(x)≤0),且f′(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒为零．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,那么在区间(a,b)上一定有f′(x)>0. ()(2)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0,则函数f(x)在此区间上没有单调性．()(3)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件．()(4)若函数f(x)在区间(a,b)上满足f′(x)≤0,则函数f(x)在区间(a,b)上是减函数．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×2．f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为()A．(0,4)B．(0,2)C．(4,＋∞) D．(－∞,0)A[f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4),由f′(x)<0,得0<x<4,∴递减区间为(0,4)．]3．(教材改编)如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象,则下列判断中正确的是()A ．函数f (x )在区间(－3,0)上是减函数B ．函数f (x )在区间(1,3)上是减函数C ．函数f (x )在区间(0,2)上是减函数D ．函数f (x )在区间(3,4)上是增函数A [当x ∈(－3,0)时,f ′(x )＜0,则f (x )在(－3,0)上是减函数．其他判断均不正确．] 4．(教材改编)函数f (x )＝cos x －x 在(0,π)上的单调性是( ) A ．先增后减B ．先减后增C ．增函数D ．减函数D [f ′(x )＝－sin x －1,又x ∈(0,π),所以f ′(x )＜0,因此f (x )在(0,π)上是减函数,故选D.] 5．已知f (x )＝x 3－ax 在[1,＋∞)上是增函数,则a 的取值范围是________． (－∞,3] [f ′(x )＝3x 2－a ,由题意知f ′(x )≥0,即a ≤3x 2对x ∈[1,＋∞)恒成立． 又当x ∈[1,＋∞)时,3x 2≥3,所以a ≤3.]不含参数的函数的单调性1．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(1,＋∞)D ．(0,＋∞)B [函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0,＋∞), y ′＝x －1x ＝x 2－1x ＝(x －1)(x ＋1)x ,令y ′＜0,得0＜x ＜1,所以单调递减区间为(0,1),故选B.] 2．已知函数f (x )＝x ln x ,则f (x )( ) A ．在(0,＋∞)上递增 B ．在(0,＋∞)上递减 C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递增D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递减D [因为函数f (x )＝x ln x ,定义域为(0,＋∞),所以f ′(x )＝ln x ＋1(x ＞0), 当f ′(x )＞0时,解得x ＞1e ,即函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞;当f ′(x )＜0时,解得0＜x ＜1e ,即函数的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ,故选D.]3．已知定义在区间(－π,π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ,则f (x )的单调递增区间是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 [f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x , 令f ′(x )＝x cos x ＞0,则其在区间(－π,π)上的解集为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2, 即f (x )的单调递增区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.] [规律方法] 求函数单调区间的步骤 (1)确定函数f (x )的定义域; (2)求f ′(x );(3)在定义域内解不等式f ′(x )＞0,得单调递增区间; (4)在定义域内解不等式f ′(x )＜0,得单调递减区间.易错警示：(1)求函数的单调区间时,一定要先确定函数的定义域,否则极易出错(2)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性,如函数f (x )＝x 3,f ′(x )＝3x 2≥0(x ＝0时,f ′(x )＝0),但f (x )＝x 3在R 上是增函数.含参数的函数的单调性【例1】 讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性． [解] f (x )的定义域为(0,＋∞), f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x.①当a ≥1时,f ′(x )＞0,故f (x )在(0,＋∞)上单调递增;②当a ≤0时,f ′(x )＜0,故f (x )在(0,＋∞)上单调递减; ③当0＜a ＜1时,令f ′(x )＝0,解得x ＝1－a 2a ,则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 时,f ′(x )＜0;当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a2a ，＋∞时,f ′(x )＞0,故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 上单调递减,在⎝⎛⎭⎪⎫1－a2a ，＋∞上单调递增．[规律方法] 解决含参数的函数单调性问题应注意两点(1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点.(1)已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax ＋1(a ∈R ),求函数f (x )的单调区间．[解] f ′(x )＝x 2＋2x ＋a 开口向上,Δ＝4－4a ＝4(1－a )． ①当1－a ≤0,即a ≥1时,f ′(x )≥0恒成立, f (x )在R 上单调递增．②当1－a ＞0,即a ＜1时,令f ′(x )＝0,解得x 1＝－1－1－a ,x 2＝－1＋1－a ,令f ′(x )＞0,解得x ＜－1－1－a 或x ＞－1＋1－a ;令f ′(x )＜0,解得－1－1－a ＜x ＜－1＋1－a ,所以f (x )的单调递增区间为(－∞,－1－1－a )和(－1＋1－a ,＋∞); f (x )的单调递减区间为(－1－1－a ,－1＋1－a )． 综上所述：当a ≥1时,f (x )在R 上单调递增;当a ＜1时,f (x )的单调递增区间为(－∞,－1－1－a )和(－1＋1－a ,＋∞), f (x )的单调递减区间为(－1－1－a ,－1＋1－a )．(2)已知函数f (x )＝e x (ax 2－2x ＋2)(a ＞0)．求f (x )的单调区间． [解] 由题意得f ′(x )＝e x [ax 2＋(2a －2)x ](a ＞0), 令f ′(x )＝0,解得x 1＝0,x 2＝2－2a a .①当0＜a ＜1时,f (x )的单调递增区间为(－∞,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a a ，＋∞,单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，2－2a a ;②当a ＝1时,f (x )在(－∞,＋∞)内单调递增;③当a ＞1时,f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2－2a a 和(0,＋∞),单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a a ，0. 函数单调性的应用►考法1 【例2】 (2019·莆田模拟)设函数f ′(x )是定义在(0,2π)上的函数f (x )的导函数,f (x )＝f (2π－x ),当0＜x ＜π时,若f (x )sin x －f ′(x )cos x ＜0,a ＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,b ＝0,c ＝－32f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6,则( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜bA [由f (x )＝f (2π－x ),得函数f (x )的图象关于直线x ＝π对称,令g (x )＝f (x )cos x ,则g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )·sin x ＞0,所以当0＜x ＜π时,g (x )在(0,π)内递增,所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6,即a ＜b ＜c ,故选A.]►考法2 根据函数的单调性求参数【例3】 (1)(2017·江苏高考)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ,其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0,则实数a 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 [因为f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x －1e －x ＝－x 3＋2x －e x ＋1e x ＝－f (x ), 所以f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x 是奇函数． 因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0,所以f (2a 2)≤－f (a －1),即f (2a 2)≤f (1－a )．因为f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋e －x ≥3x 2－2＋2e x ·e －x ＝3x 2≥0, 所以f (x )在R 上单调递增, 所以2a 2≤1－a ,即2a 2＋a －1≤0, 所以－1≤a ≤12.](2)已知函数f (x )＝ln x ,g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)．①若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间,求a 的取值范围;②若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减,求a 的取值范围．[解] ①h (x )＝ln x －12ax 2－2x ,x ∈(0,＋∞),所以h ′(x )＝1x －ax －2,由于h (x )在(0,＋∞)上存在单调递减区间,所以当x ∈(0,＋∞)时,1x －ax －2＜0有解, 即a ＞1x 2－2x 有解．设G (x )＝1x 2－2x ,所以只要a ＞G (x )min 即可． 而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1,所以G (x )min ＝－1,所以a ＞－1,即a 的取值范围为(－1,＋∞)． ②由h (x )在[1,4]上单调递减得,当x ∈[1,4]时,h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立, 即a ≥1x 2－2x 恒成立．所以a ≥G (x )ma x ,而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1,因为x ∈[1,4],所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1,所以G (x )ma x ＝－716(此时x ＝4),所以a ≥－716,即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.[规律方法] 根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ,b )上单调,则区间(a ,b )是相应单调区间的子集. (2)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ,b )都有f ′(x )≥0且在(a ,b )内的任一非空子区间上,f ′(x )不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.(1)已知函数y ＝f (x )对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＞0(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数),则下列不等式成立的是( )A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4B.2f⎝⎛⎭⎪⎫π3＜f⎝⎛⎭⎪⎫π4C．f(0)＞2f ⎝⎛⎭⎪⎫π3D．f(0)＞2f⎝⎛⎭⎪⎫π4(2)已知a≥0,函数f(x)＝(x2－2ax)e x,若f(x)在[－1,1]上是减函数,则a的取值范围是()A.⎝⎛⎭⎪⎫0，34 B.⎝⎛⎭⎪⎫12，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫0，12(1)A(2)C[(1)令g(x)＝f(x)cos x,则g′(x)＝f′(x)cos x＋f(x)sin xcos2x＞0,即g(x)在区间⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数,则有g⎝⎛⎭⎪⎫－π3＜g⎝⎛⎭⎪⎫－π4,即f⎝⎛⎭⎪⎫－π3cos⎝⎛⎭⎪⎫－π3＜f⎝⎛⎭⎪⎫－π4cos⎝⎛⎭⎪⎫－π4,即2f⎝⎛⎭⎪⎫－π3＜2f⎝⎛⎭⎪⎫－π4.即2f⎝⎛⎭⎪⎫－π3＜f⎝⎛⎭⎪⎫－π4,故选A.(2)f′(x)＝(2x－2a)e x＋(x2－2ax)e x＝[x2＋(2－2a)x－2a]e x,由题意知当x∈[－1,1]时,f′(x)≤0恒成立,即x2＋(2－2a)x－2a≤0恒成立．令g(x)＝x2＋(2－2a)x－2a,则有⎩⎨⎧g(－1)≤0，g(1)≤0，即⎩⎨⎧(－1)2＋(2－2a)·(－1)－2a≤0，12＋2－2a－2a≤0，解得a≥34,故选C.]1．(2016·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝x－13sin 2x＋a sin x在(－∞,＋∞)单调递增,则a的取值范围是()A．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13 C [取a ＝－1,则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ,f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ,但f ′(0)＝1－23－1＝－23＜0,不具备在(－∞,＋∞)单调递增的条件,故排除A,B,D.故选C.]2．(2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数f (x )＝a e x －ln x －1. 设x ＝2是f (x )的极值点,求a ,并求f (x )的单调区间． [解] f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝a e x －1x . 由题设知,f ′(2)＝0,所以a ＝12e 2.从而f (x )＝12e 2e x －ln x －1,f ′(x )＝12e 2e x －1x . 当0<x <2时,f ′(x )<0; 当x >2时,f ′(x )>0.所以f (x )在(0,2)上单调递减,在(2,＋∞)上单调递增．3．(2017·全国卷Ⅰ节选)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x .讨论f (x )的单调性． [解] 函数f (x )的定义域为(－∞,＋∞), f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a )． ①若a ＝0,则f (x )＝e 2x 在(－∞,＋∞)上单调递增． ②若a ＞0,则由f ′(x )＝0得x ＝ln a . 当x ∈(－∞,ln a )时,f ′(x )＜0; 当x ∈(ln a ,＋∞)时,f ′(x )＞0. 故f (x )在(－∞,ln a )上单调递减, 在(ln a ,＋∞)上单调递增．③若a <0,则由f ′(x )＝0得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时,f ′(x )＜0;当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时,f ′(x )＞0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增．综上所述,若a ＝0时,f (x )在(－∞,＋∞)上单调递增．若a ＞0时,f (x )在(－∞,ln a )上单调递减,在(ln a ,＋∞)上单调递增．若a ＜0时,f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增．。
函数的单调性与导数教学设计
《函数的单调性与导数》教学设计教材分析1、内容分析导数是微积分的核心概念之一，是高中数学教材新增知识，在研究函数性质时有独到之处，体现了现代数学思想.本节的教学内容属导数的应用，是在学习了导数的概念、运算和几何意义的基础上学习的内容.学好它既可加深对导数的理解，又为研究函数的极值和最值打下了基础.由于学生在高一已经掌握了函数单调性的定义，并会用定义判定函数在给定区间上的单调性.通过本节课的学习应使学生体验到，用导数判断函数的单调性比用定义要简捷的多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图像难以画出的函数而言），充分展示了导数的优越性.2、学情分析在必修一中，学生学习了单调函数的定义，并会用定义判断或证明函数在给定区间上的单调性，在前几节，学生学习了导数的概念、几何意义及运算法则，已经掌握了利用导数研究函数单调性的必备知识.用定义证明函数在给定区间的单调性的方法是作差、变形、判断符号.而对大部分函数而言，变形环节是非常繁琐，甚至是无法做到的，并且不清楚“给定区间”是如何给出的，这就要求同学们积极探索更好的方法来判断函数的单调性和探求函数的单调区间，以此来激发学生的学习兴趣.教学目标依据新课标纲要和学生已有的认知基础和本节的知识特点，我制定了以下教学目标：1、知识与技能目标：借助于函数的图象了解函数的单调性与导数的关系；培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识.2、过程与方法目标：会判断具体函数在给定区间上的单调性；会求具体函数的单调区间.3、情感、态度与价值观目标：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。
教学重点、难点教学重点：1、利用导数判断函数的单调性.2、会求不超过三次的多项式的单调区间。
教学难点：1、函数的单调性与导数的关系2、提高灵活应用导数法解决有关函数单调性问题的能力.教学重难点的解决方法通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题；通过几何画板的动态演示，使抽象的知识直观化、形象化，以促进学生的理解.教法设计：1、自主探究法：让学生自己发现问题，自己归纳总结，自己评析解题对错，从而提高学生的参与意识和数学表达能力.2、比较法：对同一个问题，采用不同的方法，从中体会导数法的优越性.教学媒体根据本节课的教学要求及学生学习的需要,我对本节课的教学媒体设计如下1:多媒体辅助教学:制作直观,有效地多媒体课件,可以节省课堂时间,也给学生直观认识和感觉;2:投影仪的辅助教学:利用投影把学生的解题过程及方法及时展示,可以提高学生学习数学的兴趣.课型：新授课教学过程教学过程设计意图 创 设 情境 复 习 1、回顾函数单调性的定义； 2、判断函数 的单调性.解法一：单调性的定义：设x 1x 2引导学生回顾判断函数单调性的基本方法： （1）“定义法” （2）“图象法”引入则=因为x1x2，，当时；当时所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增解法二：图像法探求新知形成概念问题：如何确定函数f(x)=2x3－6x2＋7的单调区间？导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么能否用导数来研究函数的单调性呢?前面我们用定义和图像已经知道二次函数的单调性及单调区间，下面我用几何画板来展示曲线上任何一点的导数的变化。