点.2a m =-m ()y f x =3
y =
10.设函数.(I)求的最小值;
22
()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ,()f x ()h t (II)若对恒成立,求实数的取值范围.()2h t t m <-+(02)t ∈,
m 11.设函数).
,(4)1(3)(23
R b a b ax x a x x f ∈+++-=
(I)若函数在处取得极小值求的值;(II)求函数的单调递增区间;)
(x f 3=x ,
21
b a ,)(x f (III) 若函数在上有且只有一个极值点,求实数的取值范围.)(x f )1,1(-a
12.已知二次函数满足:对任意,都有≥且当时,有≤成立.(I)试求
的值;(II)若求的表达式;
),,()(2
R c b a c bx ax x f ∈++=R x ∈)(x f ,x )3,1(∈x )(x f 2
)2(8
1
+x )2(f ,0)2(=-f )(x f
(III)在(II)的条件下,若时,>恒成立,求实数的取值范围.[)
+∞∈,0x )(x f 412+
x m m
13.已知函数
).,(4)(,6)23(21
3)(223R m a m x ax x g x x a x a x f ∈-+-=++-=
(I)当时,求的最大值和最小值;[]3,0,1∈=x a ()f x
(II)当<2且时,无论如何变化,关于的方程总有三个不同实根,求的取值范围.a 0≠a a x )()(x g x f =m
例题参考答案
例 1 3;例 2 3;例 3 ;例 4 (1) 增区间为;减区间为,
?
?? ??--=83,23,41x y ,4,3=-=b a ()()+∞∞-,2,1,
(2) ;例5 (1) (2);
例 6 (1)
(2) ;
.
0,12,2=-==c b a ()().28)2()(,18)3()
(;,2,2,min max
-====+∞-∞-f x f f x f
例7解:(Ⅰ),由已知,2
()32f x ax bx c '=++(0)(1)0f f ''== 即解得0320c a b c =??++=?,,032c b a =??
?=-??,
.
2
()33f x ax ax '∴=-,,,.133324
22a a f ??'∴=-= ???2a ∴=-32()23f x x x ∴=-+ (Ⅱ)令,即,,或.()f x x ≤32
230x x x -+-≤(21)(1)0
x x x ∴--≥1
02x ∴≤≤
1x ≥
又在区间上恒成立,.
()f x x ≤[]0m ,1
02
m ∴<≤
例8解:(Ⅰ)当时,,得,且
1a =232
()(1)2f x x x x x x =--=-+-(2)2f =-
2()341f x x x '=-+-,.(2)5f '=-
所以,曲线在点处的切线方程是,整理得.
2
(1)y x x =--(22)-,25(2)y x +=--580x y +-=
(Ⅱ)解:,.
2322()()2f x x x a x ax a x
=--=-+-22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+-=--- 令,解得或.()0
f x '=3a x =
x a = 由于,以下分两种情况讨论.0a ≠
(1)若,当变化时,的正负如下表:0a >x ()f x '
x
3a ??- ?
?
?∞, 3a
3a a ?? ???, a
()a +,∞
()f x '
-
0 +
-
因此,函数在处取得极小值,且;
()f x 3a x =3a f ?? ???3
4327a f a ??=- ??? 函数在处取得极大值,且.()f x x a =()f a ()0f a =
(2)若,当变化时,的正负如下表:0a x
()
a -∞,
a
3a a ?? ???, 3a
3a ??
+ ???,∞
()f x '
-
0 +
-
因此,函数在处取得极小值,且;()f x x a =()f a ()0f a = 函数在处取得极大值,且.()
f x 3a x =
3a f ?? ???3
4327a f a ??=- ?
??
(Ⅲ)证明:由,得,当时,,.
3a >13a
>[]10k ∈-,cos 1k x -≤22cos 1k x -≤
由(Ⅱ)知,在上是减函数,要使,
()f x (]1-∞,22(cos )(cos )f k x f k x --≥x ∈R
只要 即 ①22
cos cos ()
k x k x x --∈R ≤22cos cos ()x x k k x --∈R ≤
设,则函数在上的最大值为.
2
2
11()cos cos cos 24g x x x x ?
?=-=--
???()g x R 2 要使①式恒成立,必须,即或.2
2k k -≥2k ≥1k -≤
所以,在区间上存在,使得对任意的恒成立.[
]10-,1
k =-22(cos )(cos )f k x f k x --≥x ∈R
例9解:(1)在上是增函数,在上是减函数,
)(,23)(2
/x f b x ax x f +-= ()0,∞-[]3,0
所以当时,取得极小值,0=x )(x f 又方程有三 实根,的两根分别为
0)(=x f 023)(.02
/=+-=∴≠∴b x ax x f a .
32
,021a x x ==
又在上是增函数,在上是减函数,>0在上恒成立,<0在上恒成
立.
)(x f ()0,∞-[]3,0)(/x f ∴()0,∞-)(/
x f []3,0
由二次函数的性质知,>0且≥<≤ 故实数的取值范围为a a
320,3∴a .
92
a .92,0??? ??
(2) 是方程的三个实根,βα,2, 0)(=x f
则可设
.2)22()2())(2)(()(23αβαββαβαβαa x a x a ax x x x a x f -+++++-=---=
又有),,()(2
3R c b a c bx x ax x f ∈++-=,21
,1)2(-=+∴=++a a βαβα
0 <≤≥a ∴,92βα+.
25
强化训练答案:
6.解:.
b ax x x f ++=23)(2/ 据题意,-1,3是方程的两个根,由韦达定理得
0232
=++b ax x ∴,
c x x x x f b a +--=∴-=-=93)(,9,32
32,7)1(=∴=-c f ∴极小值
25239333)3(2
3-=+?-?-=f 7.解:(1)∵,∴。从而=是一个奇函数,所以得,由奇函数定义得;
()32f x x bx cx =++()232f x x bx c '=++322()()()(32)
g x f x f x x bx cx x bx c '=-=++-++32(3)(2)x b x c b x c +-+--(0)0g =
(2)由(Ⅰ)知,从而,由此可知,
和是函数是单调递增区间; 是函数是单调递减区间;
在时,取得极大值,极大值为,在时,取得极小值,极小值为。2x =-42()g x 2x =42-
8.解:设长方体的宽为(m ),则长为 (m),高为.x x
2?
?? ?
?
-=-=
230(m)35.44
1218<<x x x
h 故长方体的体积为
()()()
?
?? ?
?
<<-=-=2306935.423
322x m x x x x x V 从而
).1(18)35.4(1818)(2
x x x x x x V -=--=' 令,解得(舍去)或,因此.()0'=x V 0=x 1=x 1=x 当时,;当时,,10<'>x V 23
1<
故在处取得极大值,并且这个极大值就是的最大值。1=x ()x V ()x V
从而最大体积,此时长方体的长为2 m ,高为1.5 m.()()
3321619'm x V V ?-?==
答:当长方体的长为2 m 时,宽为1 m ,高为1.5 m 时,体积最大,最大
体积为.3
3m
9.解:(Ⅰ)由题意,令,
()2335g x x ax a =-+-()()2335
x x a x ?=-+-11a -≤≤
对,恒有,即11a -≤≤()0g x <()0a ?<
∴ 即 解得()()1010????-?22320380x x x x ?--+-213x -<<
故时,对满足的一切的值,都有2,13x ??
∈- ?
??11a -≤≤a ()0g x <
(Ⅱ)
()'22
33f x x m =-
①当时,的图象与直线只有一个公共点0m =()3
1f x x =-3y =
②当时,列表: 0m ≠
x
()||,m -∞-
m
-
(),m m -
m
(),m +∞
()'f x + 0 - 0 + ()
f x
极大
极小
∴<,
1||2|)(||)(2--==m m m f x f 极小1
-
又∵的值域是,且在上单调递增()f x
R (),m +∞
∴当时函数的图象与直线只有一个公共点。x m >()y f x =3
y =
当时,恒有
x m <()()
f x f m ≤-
由题意得 即 解得
()3f m -<3221213m m m -=-<(
)()33
2,0
0,2m ∈-
综上,的取值范围是.
m ()3
32,2
-
10.解:(Ⅰ),
23()()1(0)f x t x t t t x t =+-+-∈>R ,
∴当时,取最小值,即.x t =-()f x 3()1f t t t -=-+-3
()1h t t t =-+-
(Ⅱ)令,3
()()(2)31g t h t t m t t m =--+=-+--
由得,(不合题意,舍去).
2
()330g t t '=-+=1t =1t =- 当变化时,的变化情况如下表:t ()g t '()g t
t
(01),
1
(12),
()g t ' + 0 - ()g t
递增
极大值1m -
递减
()g t ∴在内有最大值.(02),(1)1g m =-
()2h t t m <-+在内恒成立等价于在内恒成立,即等价于,(02),
()0g t <(02),10m -<
所以的取值范围为.m 1m >
11.解:(I)
.
4,21
)3(,23,04)1(69)3(,4)1(2)(/2/-=∴==∴=++-=∴++-=b f a a a f a x a x x f
(II) 令),2)(2(4)1(2)(2/--=++-=x a x a x a x x f .0)(/
=x f 2,2a x =∴
当>1时,由>0得的单调递增区间为;
a )(/x f )(x f ()()+∞∞-,2,2,a 当=1时,≥0,即的单调递增区间为;a 2
/)2()(-=x x f )(x f ()+∞∞-, 当<1时,由>0得的单调递增区间为.
a )(/x f )(x f ()()+∞∞-,2,2,a (III)由题意知<1且<0,解得<<即实数的取值范围为
a )1()1(/
/f f -21-
a
,21a ).21,21(-
12.(Ⅰ)由条件知≥2,≤ )2(f )2(f .
2)2(,)22(81
2=∴+f
(Ⅱ)由得又≥恒成立,即≥0恒成立,,0)2(=-f ,
2)2(=f .
41,2
1
a c
b -==
)(x f x c x b ax +-+)1(2 a
∴>0,且≤≤
)
41(4)12
1
(2a a ---=?2
)18(,0-?a .
21
2181)(.21,21,81,02++=∴===?x x x f c b a
(III )>在恒成立,即>0在恒成立
21)221(81)(2+
-+=x m x x g 41[)+∞∈,0x 2)1(42+-+x m x [)+∞∈,0x
①由<0,解得<<;②{ ,解出≤?221-m 221+m 221-
故的取值范围为.
m ???? ??+∞-221, 13.解:(Ⅰ)
]3,0[),3)(2()(,1),3)(2(6)23()(/2/∈--=∴=--=++-=x x x x f a x ax x a ax x f
[])(,2,0/x f x ∈∴≥单调递增;≤单调递减;)(,0x f [])(,3,2/x f x ∈)(,0x f
,3
14)2()(max ==∴f x f min )(x f 为和的最小者,
)0(=f 2
9)3(=
f .0)0()(min ==∴f x f
(Ⅱ)令则
),
()()(x g x f x h -=)
1)(2(2)2()(,2)12(3)(2/23--=++-=∴+++-=x ax x a ax x h m x x a
x a x h
?≥0
2)0(=f >0 )1(2m --≤0
因总有三个不同实根,即的图象与轴总有三个不同的交点,)
()(x g x f =)(x h y =x
① 当<0时,<1,的极大值为的极小值为a a 2)
(x h ,
61)1(m a
h +-=)(x h ,346)2(2m a a a h +-=
要使的图象与轴总有三个不同的交点,只需>0且<0在<0时恒成立,易
有)(x h y =x )1(h )
2
(a h a
m ≥≥且≤>≤0,m a
∴-,|)16(max ,1-m 43)431(34346,|)346(22
min
2--=+-+-a a a a a m ∴,0
1-∴≤≤0.m
②当0<<2时,
a ),1)(2(2)2()(2/--=++-=x ax x a ax x h )(x h 的极大值为的极小值为
,61)1(m a h +-
=)(x h ,
34
6)2(2m a a a h +-=
由题意有>0且<0,此时.)1(h )
2
(a h φ∈m