弹性力学大纲2014

1 《弹性力学》课程简介和教学大纲 课程代码：26120020 课程名称：弹性力学 学 分： 4 周 学 时：3.0-1.0 面向对象：本科生 预修课程要求：理论力学，材料力学，高等数学

一、课程介绍（100-150字） （一）中文简介

本课程主要内容包括弹性力学的基本假定，应力、应变、面力、体力、位移等基本概念，平衡方程、几何方程和本构方程等的建立，弹性力学问题的提法、分类及基本解法，弹性力学的一般性原理，平面和空间典型问题的分析方法，弹性力学变分原理及应用。同时对笛卡儿张量作简单介绍。

（二）英文简介 The course will introduce the basic assumptions and concepts (e.g. stress, strain, surface force, body force, displacement, etc.) in elasticity; the derivation of equations of equilibrium, geometric equations and constitutive equations; the mathematical description of elasticity problems, the classification, and the solution methods; general theorems in elasticity; typical two-dimensional and three-dimensional problems and the analysis procedures; variational principles and the applications. The tensor analysis will also be briefly introduced.

二、教学目标 （一）学习目标

弹性力学是力学专业的核心学习内容，是在解释自然现象、解决工程问题的过程中逐渐发展成熟起来的，目前已广泛用于指导土木、水利、机械、化工、船舶、航空、传感器等领域中的结构设计和分析，也被用于解释生命过程、地震等复杂现象。通过本课程的学习，学生应熟悉弹性力学的基本概念、重要原理和理论框架，掌握典型问题的求解方法，并能运用弹性力学的理论和方法解决具体问题。特别需要明确了解弹性力学的基本假设及其局限性，从而增强对现有理论体系的开放性和发展性的认识，在夯实学生基本力学理论的基础上，进一步扩展其知识视野、激发创新思维。

（二）可测量结果 1. 能透彻了解弹性理论的基本假设及其局限性，并能从多个方面思考可能的拓展。 2

2. 能清晰把握弹性力学的基本理论框架，在此基础上与具体问题的简化描述联系起来。 3. 能深入掌握弹性力学的基本原理及其重要意义。 4. 能基本了解弹性力学各种问题的求解方法及其步骤，并较熟练地利用所学知识分析和解决实际问题。 5. 能积极参与课堂讨论。 以上结果将通过课堂讨论、课程作业、课余交流以及期末考试等环节进行测量。

三、课程要求 （一）授课方式与要求

授课方式：1）课堂讲授；2）布臵课程作业；3）每周固定时间答疑；4）每隔1周组织一次2学时的讨论与拓展课（共8次，含习题要点析义、课程总结和复习）；5）组织期末闭卷考试。 课程要求：1）课前注意预习，课后加强复习；2）上课要专心听讲，及时提出问题，加深对课程内容的理解；3）认真完成所布臵的课程作业，按时上交；4）在讨论课前对教师布臵的议题进行深入思考，并就学习难点和作业难题进行总结，注意培养合作精神，共同组织背景材料，并在课堂讨论上积极发言；5）尽量了解不同弹性力学教材和其他参考资料之间的区别和联系，对弹性力学的理论体系有较完整的了解。

（二）考试评分与建议 期末闭卷考试成绩占50％，平时作业占20％，课堂讨论准备和发言25%，其它表现5％。

四、教学安排 本课程安排在秋、冬两学季，正常授课24次，每次2学时，共48个学时；安排讨论与拓展课8次，每次2学时，共16学时。主要授课内容包括： （一）绪论，弹性力学基本假定 共2学时 主要介绍弹性的概念，弹性力学与材料力学的区别与联系，工程应用背景，基本假定等内容。将特别介绍弹性力学的发展历史，通过重点突出Navier、Cauchy、Poisson、Green、Kirchhoff、Hertz、Saint-Venant、Rayleigh、Love等主要人物的贡献来大致勾划出弹性力学涉及的主要内容和粗略的理论体系。 （二）笛卡尔张量简介 共2学时 本课程将使用张量记号以便能简洁地推导和描述弹性力学的基本公式和基本理论。张量记号初看起来复杂难懂，但一经学习，很快就能体会到其简单和方便的优点。张量记号目前已广泛用于力学文献中，因此对于一名力学工作者或工程专业人员来说，张量计算的基础知识已经是必不可少的了。本课程将主要介绍三维空间直角坐标系中的笛卡尔张量的理论基础，并复习矢量代数、矢量分析和曲线坐标的要点。 （三）应力状态分析 共3学时 弹性理论的主要问题是研究弹性体在外力等因素的作用下所产生的效应：应力和应变。 3

这是一个超静定问题，解决这种问题，必须从力学、几何学和物理学三方面来分析。应力状态分析是基础，将从力学观点出发，分析弹性体内一点的应力状态，并建立连续介质力学普遍适用的平衡微分方程和应力边界条件。 （四）应变状态分析 共3学时 弹性体在外力、温度变化或其他因素的作用下将发生变形，确定弹性体的变形是弹性理论的重要课题之一。将从几何学的观点研究物体的变形，旨在建立连续介质变形特性的数学公式，推演应变—位移的关系式和应变协调条件等重要方程。对转轴时应变分量的变换和主应变及应变张量不变量等也作简单的讨论。由于是从几何学的观点进行讨论，因此应变分析不涉及产生变形的原因和材料的性质，所得结果适用于所有的连续固体力学问题。 （五）本构关系 共4学时 本构关系是将应力、应变和温度变化等联系起来的一组方程，它反映材料固有的物理特性。由于具体材料物质结构的复杂性和变形机理的多样性，要通过理论分析得出一个对任何连续介质和各种工作条件都适用的本构关系是不可能的。通常的做法是，先根据热力学基本定律确定本构方程的基本框架，再配合适当的材料试验测定必要的材料特性常数，从而得到某类材料在特定工作条件下便于实际应用的本构关系。本课程将按照这一思路给出线弹性材料的本构关系（或广义Hooke定理），介绍热力学第一、第二定律及其对本构关系的约束，引入应变能和应变余能的概念，以及讨论材料的弹性对称性对弹性常数的限制。 （六）弹性力学问题的建立和一般原理 共3学时 这一部分内容是前面各部分的综合，主要讨论如何把弹性力学问题正确地描述为一个数学问题，并对解决这些问题的方法、途径作原则性的阐述。主要给出弹性力学问题的基本方程和定解条件，两类主要的解法即位移解法和应力解法，以及三个一般性原理，包括叠加原理、解的唯一性原理和Saint-Venant（圣维南）原理。也将适当关注最近发展起来的混合解法，并就具体问题进行相应的讨论。 （七）平面问题 共5学时 对于某些问题，弹性力学的基本方程可以得到化简，其中平面应变问题和平面应力问题是最为典型的。将介绍这两类问题的主要特征及其列式的区别与联系，首先针对典型问题给出直角坐标下的求解方法，然后给出极坐标下的基本方程并讨论具体问题的求解，最后也对普遍适用的复变函数方法进行简单的介绍。 （八）柱形杆的扭转和弯曲 共4学时 在工程中，常常遇到这样一类问题：作用在杆件上的部分外力的分布情况是不清楚的，而仅知道其等效的主矢量和主矩。事实上，即使知道分布情况，也难以得到能够严格满足这部分边界条件的精确解。但是，我们可以根据Saint-Venant原理，放松边界条件而求得问题的解答。在一定意义上，这种解答仍然可视为精确解。针对柱形杆的扭转，将引入位移解法和应力函数解法这两种典型的半逆解法，讨论扭转问题的若干普遍性质，给出若干典型截面杆件扭转问题的解答，以及介绍薄膜比拟法这一有效求解方法。还针对薄壁杆的扭转及柱形杆的弯曲等问题进行简单的讨论。 （九）弹性力学空间问题 共6学时 弹性力学问题本质上是三维的，即位移和应力与三个坐标有关，其求解还要满足特定的 4

定解条件，通常十分困难。本课程将首先给出弹性力学基本方程的两个一般解，即Boussinesq-Galerkin通解和Papkovich-Neuber通解，分别用双调和函数和调和函数表示。然后，利用通解，给出了无限体内一点作用集中力的Kelvin解，半无限体表面作用集中力的Boussinesq解和Cerruti解等。还将考察具有重要工程背景的接触问题，给出Hertz接触理论及提供若干具有实用价值的计算公式。 （十）热应力分析 共2学时 将考察由于温度变化而在弹性体内产生的应力，称为热应力。在各类机器（例如电动机的热交换器、锅炉、化工机械中的高温高压容器）、大型水利工程和土木工程结构、航空结构乃至交通工程中的路面、轨道等的设计中，无不遇到热应力计算问题。温度的变化将引起变形，而变形将产生热量，因此严格说来变形和温度是相互耦合的，其求解将十分困难。对于某些工程实际问题，变形对温度的影响可以忽略不计，从而可以实现解耦，首先单独求解热传导问题，然后再决定热应力场。本课程将侧重于介绍非耦合的线性热弹性理论，给出热传导问题的基本方程和定解条件、热弹性问题的若干解法以及典型问题的具体求解过程。 （十一）固体中的弹性波 共4学时 本课程大部分内容都针对弹性静力学问题，即设载荷不随时间而变，或者变化得非常缓慢从而惯性力可以忽略。在弹性波动问题中，惯性力不可忽略，物体局部受到变化较快的荷载作用后，局部产生的扰动将会以波的形式向未受扰动的区域传播开去。弹性波动理论有广泛的工程应用背景，如地震研究、超声波无损探测、声波器件设计等。本课程将主要介绍无限体中的纵波和横波、表面波（包括Rayleigh波与Love波）、平面波及其与边界的相互作用（反射与折射）等内容。 （十二）弹性薄板的弯曲 共4学时 一般三维问题的控制微分方程十分复杂，还需要考虑满足定解条件，因此很难直接进行求解。同时，在工程中经常会碰见厚度方向与其它两个方向（即长度和宽度）相比尺寸很小的平板型结构。对于板，通常可以预先假设沿厚度方向的变形模式，并忽略平面外的应力分量，从而可以得到简化的结构理论，这样可以将原来的三维问题转化为二维问题，大大地简化了问题的求解。本课程将介绍薄板弯曲分析中用到的基本概念和基本假设，给出控制微分方程的推导和边界条件的适当提法，以及展示四边简支板的Navier解法和对边简支板的Levy解法。 （十三）变分原理及其应用 共6学时 前面我们将弹性力学问题归结为三组基本微分方程以及相应的边界条件和初始条件，这属于微分方程提法。还可以有变分提法，即将弹性力学问题表述为某种泛函的极值或驻值问题。可以严格证明这两种提法是等价的，因此变分原理可被用于推导弹性力学具体问题的控制微分方程和定解条件。变分原理还提供了非常有效的近似解法，并构成了目前工程和科学计算中广泛使用的有限单元法的理论基础。我们将介绍几个基本原理（定理），包括虚功原理、功的互等定理、最小势能原理、最小余能原理、卡斯蒂利亚诺定理、Hellinger-Reissner二类变量广义变分原理和胡－鹫三类变量广义变分原理。也将给出变分原理的具体应用，包括弹性力学具体问题控制方程和定解条件的推导以及基于变分格式的近似求解方法。