全国中学生物理竞赛实验指导书思考题参考答案-力学
第27届全国中学生物理竞赛决赛试题参考答案及评分标准
第27届全国中学生物理竞赛决赛试题参考答案及评分标准一、填空题（25分）1．（6分）2224/(4)kR k M ππω- 2．（4分）fV/（V+u ），fV/（V －u ） 3．（6分）11/00(1)Mg T p Aγ--4．（9分）7.3×106m ·s -1，2.8×108m ·s -1，8.4×105V 二、（20分）1．令m 表示物块的质量，物块在斜面上滑动的加速度11sin cos (sin cos )mg mg a g mθμθθμθ-==- （1）物块滑到斜面底端的速度0 4.0/v m s === （2）以传输带为参照系，物块滑到传输带的初速度大小0 5.0/v m s '== （3）运动方向与传输带边缘的夹角α满足4tan 3α=（4） 物块在传输带上作减速运动，其加速度大小22mga g mμμ'== （5）当物块与传输带相对静止时在传输带上运动的距离2200222v v s a gμ'''==' （6） 物块不超过传输带宽的边缘对应的最小摩擦系数μ2应满足202sin sin 2v s d gααμ''== （7）因此可得202sin 0.52v gdαμ'== （8）2．物块对传输带的摩擦力大小202gF v v gημημ''== （9） 方向与0v '的方向相同。
从地面参照系来看，传输带速度为V ，单位时间内物块对传输带所做的功cos W FV α=- （10）因此负载所引起的附加功率2640P W V W η∆=-== （11）考虑到无负载时电机的输出功率2000360P I E I R W =-= （12） 有负载时电机的输出功率为01000P P P W =+∆= （13） 设有负载时的工作电流为I ，则2P IE I R =- （14）解之得10I A = （15）评分标准：（2）式2分，（3）、（4）式共2分，（6）式2分，（7）式3分，（8）式1分，（9）式4分，（10）式2分，（13）式2分，（15）式2分。
第20届全国中学生物理竞赛预赛题参考答案文档
第二十届全国中学生物理竞赛预赛题参考答案、评分标准一、参考解答（1） 右 f 实 倒 1 。
（2） 左 2f 实 倒 1 。
评分标准：本题20分，每空2分。
二、参考解答波长λ与频率ν的关系为 cνλ=， （1）光子的能量为 E h νν=， （2） 由式（1）、（2）可求得产生波长74.8610λ-=⨯m 谱线的光子的能量194.0910E ν-=⨯J （3）氢原子的能级能量为负值并与量子数n 的平方成反比： 21n E kn=-，n =1，2，3，… （4） 式中k 为正的比例常数。
氢原子基态的量子数n =1，基态能量1E 已知，由式（4）可得出1k E =- （5）把式（5）代入式（4），便可求得氢原子的n =2，3，4，5，… 各能级的能量，它们是19221 5.45102E k -=-=-⨯J ， 193212.42103E k -=-=-⨯J ，194211.36104E k -=-=-⨯J ，205218.72105E k -=-=-⨯J 。
比较以上数据，发现1942 4.0910E E E ν-=-=⨯J 。
（6）所以，这条谱线是电子从4n =的能级跃迁到2n =的能级时发出的。
评分标准：本题20分。
式（3）4分，式（4）4分，式（5）4分，式（6）及结论共8分。
三、参考解答1. 操作方案：将保温瓶中90.0t =℃的热水分若干次倒出来。
第一次先倒出一部分，与温度为010.0t =℃的构件充分接触，并达到热平衡，构件温度已升高到1t ，将这部分温度为1t 的水倒掉。
再从保温瓶倒出一部分热水，再次与温度为t 的构件充分接触，并达到热平衡，此时构件温度已升高到2t ，再将这些温度为2t 的水倒掉。
然后再从保温瓶中倒出一部分热水来使温度为2t 的构件升温……直到最后一次，将剩余的热水全部倒出来与构件接触，达到热平衡。
只要每部分水的质量足够小，最终就可使构件的温度达到所要求的值。
2. 验证计算：例如，将1.200kg 热水分5次倒出来，每次倒出0m ＝0.240kg ，在第一次使热水与构件达到热平衡的过程中，水放热为1001()Q c m t t =- （1）构件吸热为110()Q cm t t '=- （2） 由11Q Q '=及题给的数据，可得1t ＝27.1℃ （3）同理，第二次倒出0.240kg 热水后，可使构件升温到2t ＝40.6℃ （4）依次计算出1t ～5t 的数值，分别列在下表中。
第24届全国中学生物理竞赛决赛试题及详细解答
第24届全国中学生物理竞赛决赛试题★ 理论部分一、A ，B ，C 三个刚性小球静止在光滑的水平面上．它们的质量皆为m ，用不可伸长的长度皆为l 的柔软轻线相连，AB 的延长线与BC 的夹角α = π / 3 ，如图所示．在此平面内取正交坐标系Oxy ，原点O 与B 球所在处重合，x 轴正方向和y 轴正方向如图．另一质量也是m 的刚性小球D 位于y 轴上，沿y 轴负方向以速度v 0（如图）与B 球发生弹性正碰，碰撞时间极短．设刚碰完后，连接A ，B ，C 的连线都立即断了．求碰后经多少时间，D 球距A ，B ，C 三球组成的系统的质心最近．二、为了近距离探测太阳并让探测器能回到地球附近，可发射一艘以椭圆轨道绕太阳运行的携带探测器的宇宙飞船，要求其轨道与地球绕太阳的运动轨道在同一平面内，轨道的近日点到太阳的距离为0.01AU （AU 为距离的天文单位，表示太阳和地球之间的平均距离：1AU = 1.495 ×1011 m ），并与地球具有相同的绕日运行周期（为简单计，设地球以圆轨道绕太阳运动）．试问从地球表面应以多大的相对于地球的发射速度u 0（发射速度是指在关闭火箭发动机，停止对飞船加速时飞船的速度）发射此飞船，才能使飞船在克服地球引力作用后仍在地球绕太阳运行轨道附近（也就是说克服了地球引力作用的飞船仍可看做在地球轨道上）进入符合要求的椭圆轨道绕日运行？已知地球半径R e = 6.37 ×106 m ，地面处的重力加速度g = 9.80 m / s 2 ，不考虑空气的阻力．三、如图所示，在一个竖直放置的封闭的高为H 、内壁横截面积为S 的绝热气缸内，有一质量为m 的绝热活塞A 把缸内分成上、下两部分．活塞可在缸内贴缸壁无摩擦地上下滑动．缸内顶部与A 之间串联着两个劲度系数分别为k 1和k 2（k 1≠k 2）的轻质弹簧．A 的上方为真空；A 的下方盛有一定质量的理想气体．已知系统处于平衡状态，A所在处的高度（其下表面与yC缸内底部的距离）与两弹簧总共的压缩量相等皆为h 1 = H / 4 ．现给电炉丝R 通电流对气体加热，使A 从高度h 1开始上升，停止加热后系统达到平衡时活塞的高度为h 2 = 3H / 4 ．求此过程中气体吸收的热量△Q ．已知当体积不变时，每摩尔该气体温度每升高1 K 吸收的热量为3R / 2 ，R 为普适气体恒量．在整个过程中假设弹簧始终遵从胡克定律．四、为了减少线路的输电损耗，电力的远距离输送一般采用高电压的交流电传输方式．在传输线路上建造一系列接地的铁塔，把若干绝缘子连成串（称为绝缘子串，见图甲），其上端A 挂在铁塔的横臂上，高压输电线悬挂在其下端B ．绝缘子的结构如图乙所示：在半径为R 1的导体球外紧包一层耐高压的半球形陶瓷绝缘介质，介质外是一内半径为R 2的半球形导体球壳．已知当导体球与导体球壳间的电压为U 时，介质中离球心O 的距离为r 处的场强为E =R 1R 2R 2－R 1 Ur2 ，场强方向沿径向．1．已知绝缘子导体球壳的内半径R 2 = 4.6 cm ，陶瓷介质的击穿强度E k = 135 kV / cm ．当介质中任一点的场强E ＞E k 时，介质即被击穿，失去绝缘性能．为使绝缘子所能承受的电压（即加在绝缘子的导体球和导体球壳间的电压）为最大，导体球的半径R 1应取什么数值？此时，对应的交流电压的有效值是多少？AB 图甲半球形导体球壳绝缘层导体球图乙2．一个铁塔下挂有由四个绝缘子组成的绝缘子串（如图甲），每个绝缘子的两导体间有电容C 0 ．每个绝缘子的下部导体（即导体球）对于铁塔（即对地）有分布电容C 1（导体球与铁塔相当于电容器的两个导体极板，它们之间有一定的电容，这种电容称为分布电容）；每个绝缘子的上部导体（即导体球壳）对高压输电线有分布电容C 2 ．若高压输电线对地电压的有效值为U 0 ．试画出该系统等效电路图．3．若C 0 = 70 pF = 7 × 10－11F ，C 1 = 5 pF ，C 2 = 1 pF ，试计算该系统所能承受的最大电压（指有效值）．五、如图所示，G 为一竖直放置的细长玻璃管，以其底端O 为原点，建立一直角坐标系Oxy ，y 轴与玻璃管的轴线重合．在x 轴上与原点O 的距离为d 处固定放置一电荷量为Q 的正点电荷A ，一个电荷量为q （q ＞0）的粒子P 位于管内，可沿y 轴无摩擦地运动．设两电荷之间的库仑相互作用力不受玻璃管的影响．1．求放在管内的带电粒子P 的质量m 满足什么条件时，可以在y ＞0的区域内存在平衡位置．2．上述平衡状态可以是稳定的，也可能是不稳定的；它依赖于粒子的质量m ．以y （m ）表示质量为m 的粒子P 处于平衡位置时的y 坐标．当粒子P 处于稳定平衡状态时，y （m ）的取值区间是_________________；当粒子P 处于不稳定平衡状态时，y （m ）的取值区间是_________________（请将填空答案写在答题纸上）．3．已知质量为m 1的粒子P 处于稳定平衡位置，其y 坐标为y 1 ．现给P 沿y 轴一微小扰动．试证明以后的运动为简谐运动，并求此简谐运动的周期．4．已知质量为m 2的粒子P 的不稳定平衡位置的y 坐标为y 2 ，现设想把P 放在坐标y 3 处，然后从静止开始释放P ．求释放后P 能到达玻璃管底部的所有可能的y 3（只要列出y 3满足的关系式，不必求解）．六、yG POdAx如图所示，一半径为R 、折射率为n g 的透明球体置于折射率n 0 =1的空气中，其球心位于图中光轴的O 处，左、右球面与光轴的交点为O 1与O 2 ．球体右半球面为一球面反射镜，组成球形反射器．光轴上O 1点左侧有一发光物点P ，P 点到球面顶点O 1的距离为s ．由P 点发出的光线满足傍轴条件，不考虑在折射面上发生的反射．1．问发光物点P 经此反射器，最后的像点位于何处？2．当P 点沿光轴以大小为v 的速度由左向右匀速运动时，试问最后的像点将以怎样的速度运动？并说明当球体的折射率n g 取何值时像点亦做匀速运动．七、已知钠原子从激发态（记做 P 3 / 2）跃迁到基态（记做 S 1 / 2）所发出的光谱线波长 λ0=588.9965 nm ．现有一团钠原子气，其中的钠原子做无规的热运动（钠原子的运动不必考虑相对论效应），被一束沿z 轴负方向传播的波长为 λ = 589.0080 nm 的激光照射．以 θ 表示钠原子运动方向与z 轴正方向之间的夹角（如图所示）．问在 30° ＜ θ ＜45° 角度区间内的钠原子中速率u 在什么范围内能产生共振吸收，从S 1 / 2 态激发到P 3 / 2 态？并求共振吸收前后钠原子速度（矢量）变化的大小．已知钠原子质量为M = 3.79 × 10－26kg ，普朗克常量h = 6.626069 × 10－34J • s ，真空中的光速c = 2.997925 × 108 m • s －1 ．第24届全国中学生物理竞赛决赛参考解答一、1．分析刚碰后各球速度的方向．由于D 与B 球发生弹性正碰，所以碰后D球的速度激光束方向仍在y 轴上；设其方向沿y 轴正方向，大小为v ．由于线不可伸长，所以在D ，B 两球相碰的过程中，A ，C 两球都将受到线给它们的冲量；又由于线是柔软的，线对A ，C 两球均无垂直于线方向的作用力，因此刚碰后，A 球的速度沿AB 方向，C 球的速度沿CB 方向．用θ表示B 球的速度方向与x 轴的夹角，则各球速度方向将如图所示．因为此时连接A ，B ，C 三球的两根线立即断了，所以此后各球将做匀速直线运动．2．研究碰撞后各球速度的大小．以v 1 ，v 2 ，v 3 分别表示刚碰后A ，B ，C 三球速度的大小，如图所示．因为碰撞过程中动量守恒，所以沿x 方向有mv 1－mv 3 cos α + mv 2 cos θ = 0 ； （1）沿y 方向有－mv 0 = mv － mv 2 sin θ －mv 3 sin α ． （2）根据能量守恒有12mv 20 = 12mv 21 + 12mv 22 + 12mv 23 + 12mv 2． （3） 因为碰撞过程中线不可伸长，B ，C 两球沿BC 方向的速度分量相等，A ，B 两球沿AB 方向的速度分量相等，有v 2 cos θ = v 1 ， （4） v 2 cos [ π － ( α + θ ) ] = v 3 ． （5）将α = π / 3代入，由以上各式可解得v 1 = 312v 0， （6） v 2 = 216v 0， （7） v 3 =33v 0， （8） v = 14v 0 ． （9）3．确定刚碰完后，A ，B ，C 三球组成的系统质心的位置和速度．由于碰撞时间极短，刚碰后A ，B ，C 三球组成的系统，其质心位置就是碰撞前质心的位置，以（x c ，y c ）表示此时质心的坐标，根据质心的定义，有x c = ml cos α－ml3m ， （10）y c =ml sin α3m． （11） 代入数据，得x c = －16l，（12）y c = 36l．（13）根据质心速度的定义，可求得碰后质心速度v c的分量为v c x = mv1 + mv2 cosθ－mv3 cosα3m，（14）v c y = －mv2 sinθ－mv3sinα3m．（15）由（4）～（7）和（14），（15）各式及α值可得v c x = 0 ，（16）v c y =－512v0．（17）4．讨论碰后A，B，C三球组成的系统的质心和D球的运动．刚碰后A，B，C三球组成的系统的质心将从坐标（x c =－l / 6，y c = 3l / 6）处出发，沿y轴负方向以大小为5 v0/ 12的速度做匀速直线运动；而D球则从坐标原点O出发，沿y轴正方向以大小为v0/ 4的速度做匀速直线运动．A，B，C三球组成系统的质心与D球是平行反向运动，只要D球与C球不发生碰撞，则v C，v D不变，质心与D球之间的距离逐渐减少．到y坐标相同处时，它们相距最近．用t表示所求的时间，则有vt = y c+ v c y t（18）将v c y ，v，y c的值代入，得t =3l4v0．（19）此时，D球与A，B，C三球组成系统的质心两者相距l / 6 ．在求出（19）式的过程中，假设了在t = 3l / 4v0时间内C球未与D球发生碰撞．下面说明此假设是正确的；因为v3 = 3v0/ 3 ，它在x方向分量的大小为3v0/ 6．经过t时间，它沿x轴负方向经过的距离为l / 8 ．而C球的起始位置的x坐标为l / 2 ．经t时间后，C球尚未到达y轴，不会与D球相碰．二、从地球表面发射宇宙飞船时，必须给飞船以足够大的动能，使它在克服地球引力作用后，仍具有合适的速度进入绕太阳运行的椭圆轨道．此时，飞船离地球已足够远，但到太阳的Ar sePv距离可视为不变，仍为日地距离．飞船在地球绕太阳运动的轨道上进入它的椭圆轨道，用E 表示两轨道的交点，如图1所示．图中半径为r se 的圆A 是地球绕太阳运行的轨道，太阳S 位于圆心．设椭圆B 是飞船绕日运行的轨道，P 为椭圆轨道的近日点．由于飞船绕日运行的周期与地球绕日运行的周期相等，根据开普勒第三定律，椭圆的半长轴a 应与日地距离r se 相等，即有a = r se （1）根据椭圆的性质，轨道上任一点到椭圆两焦点的距离之和为2a ，由此可以断定，两轨道的交点E 必为椭圆短轴的一个顶点，E 与椭圆长轴和短轴的交点Q （即椭圆的中心）的连线垂直于椭圆的长轴．由△ESQ ，可以求出半短轴b =r 2se － ( a － SP )2 ． （2）由（1），（2）两式，并将a = r se = 1AU ，SP = 0.01 AU 代入，得b = 0.141AU ． （3）在飞船以椭圆轨道绕太阳运行过程中，若以太阳为参考系，飞船的角动量和机械能是守恒的．设飞船在E 点的速度为v ，在近日点的速度为v p ，飞船的质量为m ，太阳的质量为M s ，则有mva sin θ = mv p SP ， （4）式中θ为速度v 的方向与E ，S 两点连线间的夹角：sin θ = ba． （5）由机械能守恒，得12mv 2 －G M s m a = 12mv 2p － GmM s SP． （6） 因地球绕太阳运行的周期T 是已知的（T = 365 d ），若地球的质量为M e ，则有GM s M e a 2 = M e ( 2πT)2a ． （7） 解（3）～（7）式，并代入有关数据，得v = 29.8 km / s ． （8）（8）式给出的v 是飞船在E 点相对于太阳的速度的大小，即飞船在克服地球引力作用后从E 点进入椭圆轨道时所必须具有的相对于太阳的速度．若在E 点飞船相对地球的速度为u ，因地球相对于太阳的公转速度为v e =2πaT= 29.8 km / s ， （9） 方向如图1所示．由速度合成公式，可知v = u + v e ， （10）速度合成的矢量图如图2所示，注意到v e 与ES 垂直，有u =v 2 + v 2e －2vv e cos (π2－θ ) ， （11） 代入数据，得u = 39.1 km / s ． （12）u 是飞船在E 点相对于地球的速度，但不是所要求的发射速度u 0 ．为了求得u 0 ，可以从与地心固定连接在一起的参考系来考察飞船的运动．因飞船相对于地球的发射速度为u 0时，飞船离地心的距离等于地球半径R e ．当飞船相对于地球的速度为u 时，地球引力作用可以忽略．由能量守恒，有12mu 20 －G M e m R e = 12mu 2 ． （13） 地面处的重力加速度为g = GM eR 2e， （14） 解（13），（14）两式，得u 0 = u 2 + 2gR e ． （15）由（15）式及有关数据，得u 0 = 40.7 km / s ． （16）如果飞船在E 点处以与图示相反的方向进入椭圆轨道，则（11）式要做相应的改变．此时，它应为图2u = v2 + v2e －2vv e cos (π2+ θ) ，（17）相应计算，可得另一解u = 45.0 km / s ，u0 = 46.4 km / s ．（18）如果飞船进入椭圆轨道的地点改在E点的对称点处（即地球绕日轨道与飞船绕日轨道的另一个交点上），则计算过程相同，结果不变．三、两个弹簧串联时，作为一个弹簧来看，其劲度系数k =k1k2k1 + k2．（1）设活塞A下面有νmol气体．当A的高度为h1时，气体的压强为p1，温度为T1．由理想气体状态方程和平衡条件，可知p1Sh1 = vRT1，（2）p1S= kh1 + mg．（3）对气体加热后，当A的高度为h2时，设气体压强为p2，温度为T2．由理想气体状态方程和平衡条件，可知p2Sh2 = vRT2，（4）p2S= kh2 + mg．（5）在A从高度h1上升到h2的过程中，气体内能的增量△U= v 32R ( T2－T1 ) ．（6）气体对弹簧、活塞系统做的功W等于弹簧弹性势能的增加和活塞重力势能的增加，即W= 12k ( h22－h21) + mg (h2－h1 ) ．（7）根据热力学第一定律，有△Q=△U + W．（8）由以上各式及已知数据可求得△Q=k1k2k1 + k2H2 +54mgH．（9）四、1．根据题意，当导体球与导体球壳间的电压为U时，在距球心r（R1＜r＜R2）处，电场强度的大小为E =R 1R 2R 2－R 1 Ur2 ． （1） 在r = R 1 ，即导体球表面处，电场强度最大．以E （R 1）表示此场强，有E ( R 1) =R 2U(R 2－R 1) R 1． （2）因为根据题意，E （R 1）的最大值不得超过E k ，R 2为已知，故（2）式可写为E k =R 2U(R 2－R 1) R 1（3）或U = E k(R 2－R 1) R 1R 2 ． （4） 由此可知，选择适当的R 1值，使(R 2－R 1) R 1最大，就可使绝缘子的耐压U 为最大．不难看出，当R 1 =R 22（5） 时，U 便是绝缘子能承受的电压的最大值U k ．由（4），（5）两式得U k =E k R 24， （6） 代入有关数据，得U k = 155 kV ． （7）当交流电压的峰值等于U k 时，绝缘介质即被击穿．这时，对应的交流电压的有效值U e =U k2110 kV ． （8） 2．系统的等效电路如图所示．3．设绝缘子串中间三点的电势分别为U 1 ，U 2 ，U 3 ，如图所示．由等效电路可知，与每个中间点相连的四块电容极板上的电荷量代数和都应为零，即有U 0 C 2C 2 C 2C 2C 1C 1 C 1 C 1C 0 C 0 C 0 C 012011010012230211200223031230032()()()0,()()()0,()()0.U U C U C U U C U U C U U C U C U U C U U C U C U C U U C U U C -+----=⎧⎪-+----=⎨⎪+----=⎩ （9）四个绝缘子上的电压之和应等于U 0 ，即( U 0－U 1 ) + ( U 1－U 2 ) + ( U 2－U 3 ) + U 3 = U 0 ． （10）设△U 1 = U 0－U 1 ， △U 2 = U 1－U 2 ，△U 3 = U 2－U 3 ，△U 4 = U 3 ， （11） 则可由（9）式整理得1012200111220123001101220123012001()0,()()0,()()(2)()0;U C C C U C U C U C C U C C C U C U C U C C C U C C C U C C C U C C ++--=⎧⎪++++--=⎨⎪++++++++-+=⎩△△△△△△△△ 代入数据，得120123012307050,767050,76146750.U U U U U U U U U U U --=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩76△△6△△△76△△△ （12） 解（12）式，可得△U 1 = 0.298 U 0 ， △U 2 = 0.252 U 0 ，△U 3 =0.228 U 0 ． （13）由（10）～（12）式可得△U 4 =U 3 = 0.222 U 0 ． （14）以上结果表明，各个绝缘子承受的电压不是均匀的；最靠近输电线的绝缘子承受的电压最大，此绝缘子最容易被击穿．当最靠近输电线的绝缘子承受的电压有效值△U 1 =U e （15）时，此绝缘子被击穿，整个绝缘子串损坏．由（8），（13）和（15）三式可知，绝缘子串承受的最大电压U 0 C 2C 2 C 2C 2C 1C 1 C 1 C 1C 0 C 0 C 0 C 0U 1U 2 U 3U 0max =U e0.298= 369 kV ． （16） 五、1．如图所示，位于坐标y 处的带电粒子P 受到库仑力F E 为斥力，其y 分量为F Ey = kQq r 2 sin θ = k Qqy( d 2+ y 2)3 / 2， （1） 式中r 为P 到A 的距离，θ为r 与x 轴的夹角．可以看出，F Ey 与y 有关：当y 较小时，（1）式分子中的y 起主要作用，F Ey 随y 的增大而增大；当y 较大时，（1）式分母中的y 起主要作用，F Ey 随y 的增大而减小．可见，F Ey 在随y 由小变大的过程中会出现一个极大值．通过数值计算法，可求得F Ey 随y 变化的情况．令τ= y / d ，得F Ey = kQqd 2 τ( 1 +τ2)3 / 2． （2） 当τ取不同数值时，对应的τ( 1 +τ2)－3 / 2的值不同．经数值计算，整理出的数据如表1所示．表1由表中的数据可知，当τ= 0.707，即y = y 0 = 0.707d （3）时，库仑力的y 分量有极大值，此极大值为F Ey max = 0.385kqQd 2． （4） 由于带电粒子P 在竖直方向除了受到竖直向上的F Ey 作用外，还受到竖直向下的重力mg 作用．只有当重力的大小mg 与库仑力的y 分量相等时，P 才能平衡．当P 所受的重力mg 大于F Ey max 时，P 不可能达到平衡．故质量为m 的粒子存在平衡位置的条件是mg ≤F Ey max ．由（4）式得m ≤0.385g k qQ d2 ． （5）y GPmgrOdxAF Ey2．y (m )＞ 0.707d ；0＜y (m )≤0.707d ．3．根据题意，当粒子P 静止在y = y 1处时，处于稳定平衡位置，故有132221()Qqy kd y －m 1g = 0 ． （6）设想给粒子P 沿y 轴的一小扰动△y ，则P 在y 方向所受的合力为F y = F Ey －m 1g = kQq ( y 1 +△y )[ d 2+ ( y 1 +△y )2 ]3 / 2－m 1g ． （7）由于△y 为一小量，可进行近似处理，忽略高阶小量，有F y = kQq ( y 1 +△y )[ d 2+ y 21 + 2y 1△y]3 / 2 －m 1g = kQq ( y 1 +△y )(d 2 + y 21 )3 / 2( 1 － 3y 1△yd 2 + y 21)－m 1g = k Qqy 1(d 2 + y 21 )3 / 2 + k Qq △y (d 2 + y 21 )3 / 2 － k 3qQy 21△y (d 2 + y 21 )5 / 2 － m 1g ．注意到（6）式，得F y = － m 1g (2y 21－d 2 )(d 2 + y 21) y 1△y ． （8）因y = y 1是粒子P 的稳定平衡位置，故y 1＞0.707d ，2y 21－d 2＞0 ．由（8）式可知，粒子P 在y 方向受到合力具有恢复力的性质，故在其稳定平衡位置附近的微小振动是简谐运动；其圆频率为ω=(2y 21－d 2 )(d 2 + y 21) y 1g ， （9） 周期为T = 2πω=2π(d 2 + y 21 ) y 1(2y 21－d 2 ) g． （10）4．粒子P 处在重力场中，具有重力势能；它又处在点电荷A 的静电场中，具有静电势能．当P 的坐标为y 时，其重力势能W g = m 2gy ，式中取坐标原点O 处的重力势能为零；静电势能W E = kqQd2 +y2．粒子的总势能W = W g + W E = m2gy + kqQd2 +y2．（11）势能也与P的y坐标有关：当y较小时，静电势能起主要作用，当y较大时，重力势能起主要作用．在P的稳定平衡位置处，势能具有极小值；在P的不稳定平衡位置处，势能具有极大值．根据题意，y = y2处是质量为m2的粒子的不稳定平衡位置，故y = y2处，势能具有极大值，即W ( y2 )= W max= m2gy2 + k qQd2 +y22．（12）当粒子P的坐标为y3时，粒子的势能为W ( y3 )= m2gy3 + k qQd2 +y23．当y3 ＜y2时，不论y3取何值，粒子从静止释放都能到达管底．若y3 ＞y2 ，粒子从静止释放能够到达管底，则有W ( y3 ) ＞W ( y2 ) ．所以，y3满足的关系式为y3 ＜y2；（13）或者y3 ＞y2 且m2gy3 + k qQd2 +y23＞m2gy2 + kqQd2 +y22．（14）附：（1）式可表示为F Ey= k Qqr2sinθ= kQqd2cos2θsinθ，式中θ为P，A之间的连线和x轴的夹角．由上式可知，带电粒子P在θ= 0 ，π/ 2时，F Ey= 0 ．在0≤θ≤π/ 2区间，随着θ的增大，sinθ是递增函数，cos2θ是递减函数．在此区间内，F Ey必存在一个极大值F Ey max ；用数值法求解，可求得极大值所对应得角度θ0．经数个计算整理出的数据如表2所示．表2由表中数值可知，当θ= θ0≈0.615 rad（即35.26°）时，F Ey取极大值F Ey max= k Qqd2cos2θsinθ0 = 0.385 kQqd2．带电粒子P在竖直方向上还受到重力G的作用，其方向与F Ey相反．故带电粒子P受到的合力F = F Ey －G = k Qqd2cos2θsinθ－mg ．当F = 0 ，即F Ey= G 时，P处于平衡状态．由此可见，当带电粒子的质量m≤F Ey maxg=k ( qQ / d2 ) cos2θ0sinθ0g时，可以在y轴上找到平衡点．六、1．单球面折射成像公式可写成n′s′+ ns=n′－nr，（1）式中s为物距，s′为像距，r为球面半径，n和n′分别为入射光和折射光所在介质的折射率．在本题中，物点P经反射器的成像过程是：先经过左球面折射成像（第一次成像）；再经右球面反射成像（第二次成像）；最后再经左球面折射成像（第三次成像）．（1）第一次成像．令s1和s′1分别表示物距和像距．因s1 = s ，n = n0 = 1，n′ = n g，r = R ，有n gs′1+ 1s1=n g－1R，（2）即s′1 =n g Rs( n g－1 ) s－R．（3）（2）第二次成像．用s2 表示物距，s′2 表示像距，有1 s′2+ 1s2=2r．（4）因s2 = 2R－s′1 ，r= R，由（3），（4）两式得s′2 = ( 2s + 2R－n g s )R3R + 3s－n g s．（5）（3）第三次成像．用s3 表示物距，s′3 表示像距，有s ′3s 3r因s 3 = 2R －s ′2 ，n 0 = 1 ，r = －R ，由（5），（6）两式得s ′3 =( 4s －n g s + 4R )R2n g s －4s + n g R －4R． （7）2．以 v ′ 表示像的速度，则3222[4()()4](44)12()4()4244/.(244)(24)(244)g g g g g g g g g g g g s s n s s R R s n s R R s v t t n s s s s n R R n s s n R R n R s tn s s n R R s n n s s n R R ⎧⎫+-++-+'⎪⎪'==-⎨⎬+-++--+-⎪⎪⎩⎭-=-+-+--+-△△△△△△△△△△ （8）由于△s 很小，分母中含有△s 的项可以略去，因而有v ′ =－n 2g R 2(2n g s－4s +n g R－4R )2△s△t． （9）根据题意，P 从左向右运动，速度大小为 v ，则有v = －△s△t． （10） 由此可得，像的速度v ′ =n 2g R 2v(2n g s －4s + n g R －4R )2． （11）可见，像的速度与 s 有关，一般不做匀速直线运动，而做变速直线运动．当n =2 （12）时，（11）式分母括号中的头两项相消，v ′ 将与 s 无关．这表明像也将做匀速直线运动；而且（11）式变为 v ′ = v ，即像的速度和P 的速度大小相等．七、解法一．根据已知条件，射向钠原子的激光的频率v =cλ． （1） 对运动方向与 z 轴正方向的夹角为 θ 、速率为 u 的钠原子，由于多普勒效应，它接收的激光频率v ′ = v ( 1 +uccos θ )； （2） 改用波长表示，有1 + uc cosθ发生共振吸收时，应有λ′ = λ0 ，即λ1 + uc cosθ= λ0 ．（4）解（4）式，得u cosθ= c λ－λ0λ0；（5）代入有关数据，得u cosθ= 5.85 × 103 m •s－1 ．（6）由（6）式，对θ=30°的钠原子，其速率u1= 6.76 × 103 m •s－1 ；对θ= 45°的钠原子，其速率u2= 8.28 × 103 m •s－1 ．运动方向与z 轴的夹角在30°～45°区域内的原子中，能发生共振吸收的钠原子的速率范围为6.76 × 103 m •s－1 ＜u＜8.28 × 103 m •s－1 ．（7）共振吸收前后，动量守恒．设钠原子的反冲速率为V ，则有Mu－hλe z= MV ．（8）其中e z 为z 轴方向的单位矢量．由（8）式得u－V =hMλe z．（9）钠原子速度（矢量）变化的大小为| u－V |=hMλ；（10）代入数据，得| u－V |= 2.9 × 10－2 m •s－1．（11）解法二．根据已知条件，钠原子从激发态P3 / 2 跃迁到基态S1 / 2 发出的光谱线的频率v0 = cλ0；（1）入射激光的频率v =cλ． （2） 考查运动方向与 z 轴的正方向成 θ 角的某个钠原子．它在共振吸收过程中动量守恒，能量守恒．以 u 表示该钠原子在共振吸收前的速度，V 表示该钠原子共振吸收后的速度，则有Mu －hvc e z= MV ， （3） 12Mu 2 + hv = 12MV 2 + hv 0 ． （4）把（3）式写成分量形式，并注意到共振吸收前后钠原子在垂直于 z 轴方向的动量不变，有Mu sin θ = MV sin θ′ ， （5） Mu cos θ －hvc= MV cos θ′ ， （6） 式中θ′ 为激发态钠原子速度方向与 z 轴正方向的夹角．从（5），（6）两式中消去θ′ ，得M 2u 2 －M 2V 2 = － ( hv c ) 2 + 2Mu hvccos θ ． （7）由（4），（7）两式可得2hv 0 －2hv = －1 M ( hv c )2 + 2hv u ccos θ ． （8） 注意到( hv / c )2M ，得 v 0 = v ( 1 +uccos θ )； （9） 改用波长表示，有λ0 =λ1 + u ccos θ． （10）解（10）式，得u cos θ = cλ－λ0λ0； （11）代入有关数据，得u cos θ = 5.85 × 103 m • s－1． （12）由（12）式，对 θ =30° 的钠原子，其速率u 1 = 6.76 × 103 m • s－1；对 θ = 45° 的钠原子，其速率u 2 = 8.28 × 103 m • s－1 ．运动方向与z 轴的夹角在30°～45°区域内的原子中，能发生共振吸收的钠原子的速率范围为6.76 × 103 m •s－1 ＜u＜8.28 × 103 m •s－1 ．（13）由（3）式可知，钠原子共振吸收前后速度（矢量）的变化为u－V =hMλe z，（14）速度（矢量）大小的变化为| u－V |=hMλ；（15）代入数据，得| u－V |= 2.9 × 10－2 m •s－1．（16）。
2023年全国初中应用物理竞赛试题及参考答案版
2023年全国初中应用物理竞赛试题一、本题共10小题，毎小题2分，共20分。
以下各小题给出的四个选项中只有一个选项中只有一个是对的的，把对的选项前面的字母填在题后的括号内。
1．我国有句谚语说：“下雪不冷化雪冷”。
你认为以下几个说法中一定错误．．．．的是（）A．冷与不冷是将下雪过程中与下雪过后的温度进行对比来说的B．冷气流的北上导致气温的减少C．雪的熔化、熔化后水的蒸发以及雪的升华都需要吸热导致气温的减少D．人们感觉的“冷”与“不冷”除与温度有关之外，还受空气湿度的影响2．公路交通标志由基板和附着其上的反光膜组成，夜晚它可以反射汽车射来的灯光，使司机看清交通标志。
图1所示的反光膜横截面的结构示意图中，设计最合理的是（）3．如图2所示，生活中有很多方法都可以将斧头安紧在斧柄上，下面四种方法能更好地运用斧头惯性的是( )图2 4．将一根直木棒放在一装有水的长方体形状的玻璃水槽中的偏左侧的位置，直木棒静止后从其正前方观测到的现象是下面四种情况中的哪一种（）5．用手提起如图4甲所示长细金属链的一端，使金属链的另一端接触玻璃杯底部，然后逐渐将长金属链顺序地盘入玻璃杯中，直到金属链几乎能装满玻璃杯。
将玻璃杯放置在水平桌面的最左端，使金属链的另一端伸出玻璃杯外，然后用手指按住金属链，如图4乙所示。
若将手指放开，将会出现下列哪种现象（）A．没有变化B．金属链会回到玻璃杯中C．金属链会下落一段距离后停止滑出杯子D．金属链会下落直到玻璃杯清空6．如图5所示为双金属片温度计的内部结构示意图，双金属片一般是由形状相同的铜片和铁片铆合在一起制成的，其中铜的热膨胀限度比铁的大。
当温度变化时，由于内外两层金属片的膨胀限度不同样而引起指针偏转，同时在弹力的平衡下，指针便指在刻度盘上相应的温度值位置上，从而显示出被测的温度。
下面关于双金属片温度计的结识中，错误的是( )A．双金属片温度计是根据固体热胀冷缩的原理制成的B．被测温度越高，双金属片温度计内弹簧的弹力越大C．双金属片温度计的指针做得比较长，是为了能起到将微小形变放大的作用D．要使温度升高时指针顺时针偏转，双金属片的外层（图中较粗线所示）应是铁，内层（图中较细线所示）应是铜7．有经验的面点师傅在用手从蒸笼里拿刚蒸熟的馒头之前，总是先用手蘸上少许凉水。
第24届全国中学生物理竞赛复赛试卷及参考答案
第24届全国中学生物理竞赛复赛试卷（本题共七大题，满分160分）一、（20分）如图所示，一块长为的光滑平板PQ固定在轻质弹簧上端，弹簧的下端与地面固定连接。
平板被限制在两条竖直光滑的平行导轨之间（图中未画出竖直导轨），从而只能地竖直方向运动。
平板与弹簧构成的振动系统的振动周期。
一小球B放在光滑的水平台面上，台面的右侧边缘正好在平板P端的正上方，到P端的距离为。
平板静止在其平衡位置。
水球B与平板PQ的质量相等。
现给小球一水平向右的速度，使它从水平台面抛出。
已知小球B与平板发生弹性碰撞，碰撞时间极短，且碰撞过程中重力可以忽略不计。
要使小球与平板PQ发生一次碰撞而且只发生一次碰撞，的值应在什么范围内？取二、（25分）图中所示为用三角形刚性细杆AB、BC、CD连成的平面连杆结构图。
AB和CD杆可分别绕过A、D的垂直于纸面的固定轴转动，A、D两点位于同一水平线上。
BC杆的两端分别与AB杆和CD杆相连，可绕连接处转动（类似铰链）。
当AB杆绕A轴以恒定的角速度转到图中所示的位置时，AB杆处于竖直位置。
BC杆与CD杆都与水平方向成45°角，已知AB杆的长度为，BC杆和CD杆的长度由图给定。
求此时C点加速度的大小和方向（用与CD杆之间的夹角表示）三、（20分）如图所示，一容器左侧装有活门，右侧装有活塞B，一厚度可以忽略的隔板M将容器隔成a、b两室，M上装有活门。
容器、隔板、活塞及活门都是绝热的。
隔板和活塞可用销钉固定，拔掉销钉即可在容器内左右平移，移动时不受摩擦作用且不漏气。
整个容器置于压强为P0、温度为T0的大气中。
初始时将活塞B用销钉固定在图示的位置，隔板M固定在容器PQ处，使a、b两室体积都等于V0；、关闭。
此时，b室真空，a室装有一定量的空气（容器内外气体种类相同，且均可视为理想气体），其压强为4P0/5，温度为T0。
已知1mol空气温度升高1K时内能的增量为C V，普适气体常量为R。
1.现在打开，待容器内外压强相等时迅速关闭（假定此过程中处在容器内的气体与处在容器外的气体之间无热量交换），求达到平衡时，a室中气体的温度。
上海初中物理竞赛汇编力学板块(3)弹簧问题(含答案)
上海初中物理竞赛汇编：弹簧问题一、单项选择题1、轻质弹簧S 的上端固定在天花板上，下端悬挂一质量为m 的物体，平衡时弹簧的长度为L 1，现将一根与S 完全相同的弹簧剪为S 1和S 2两部分；将质量分别为m 1和m 2的两物体分别与S 1和S 2相连并悬挂在天花板上（m 1+m 2=m ）如图所示．平衡时S 1和S 2的长度之和为L 2，则（）A ．L 2一定等于L 1B ．L 2一定大于L 1，且m 1越大、S 1原长越长，L 2就越长C ．L 2一定小于L 1，且m 1越大、S 2原长越长，L 2就越短D ．L 2一定小于L 1，且m 2越大、S 1原长越长，L 2就越短2、如图所示，劲度系数为k 1的轻质弹簧A 一端固定在地面上并竖直放置，质量为m 的物块压在弹簧A 上，用一细绳跨过定滑轮，一端与m 相连，另一端与劲度系数为k 2的轻质弹簧B 相连．现用手握住弹簧B 的右端使其位于c 点时，弹簧B 恰好呈水平且没有形变，将弹簧B 的右端水平拉到d 点时，弹簧A 恰好没有形变．已知：k 2＜k 1，则c 、d 之间的距离为（）A ．1212k k mg k k +B ．1212k k mg k k -C ．12mg k k +D ．12mg k k -3、现有长度均为0.1米的两根弹簧A 和B ，已知弹簧A 和B 的劲度系数分别为100牛/米和200牛/米．为了制成一个长度也是0.1米，劲度系数却为150牛/米的新弹簧，可以分别在弹簧A 和B 上截取一段，然后将这两段串联成一个弹簧即可．则在弹簧A 和B 上截取的长度分别为（）A ．0.025米和0.075米B ．0.033米和0.067米C ．0.050米和0.050米D ．0.075米和0.025米4、如图所示，劲度系数均为k 的甲、乙两轻质弹簧，甲弹簧一端固定在天花板上，乙弹簧一端固定在水平地面上．当在甲的另一端挂一重物G ，乙的另一端压一重物G 时，两弹簧的长度均为L ，现将两弹簧并联，并在其下方系一重物G ，此时弹簧的长度应为（）A ．2GL k +B ．GL k +C ．2GL k -D ．GL k-5、在弹性限度内．当弹簧的长度为16厘米时．它产生的弹力大小为20牛；弹簧的长度变为7厘米时．它产生的弹力大小为10牛．则弹簧的劲度系数为（）A ．1.25牛/厘米B ．1.43牛/厘米C ．3.33牛/厘米D ．1.11牛/厘米6、原长相同，劲度系数分别是k 1、k 2、k 3的三个轻质弹簧（已知k 1＞k 2＞k 3）分别如图（a ）、（b ）、（c ）三种方式组成弹簧组，每个钩子与悬点的距离相等，当在每个钩子上挂上相同质量的物体后（）A ．（a ）图中弹簧组的伸长量最大B ．（b ）图中弹簧组的伸长量最大C ．（c ）图中弹簧组的伸长量最大D ．三图中弹簧组伸长量一样大7、一个弹簧秤，将其弹簧截去原长的五分之一，然后再调好零点，用此弹簧秤去称同一物体的重力，则弹簧秤的示数跟原来相比（）A ．偏大B ．偏小C ．不变D ．无法确定8、S 1和S 2表示劲度系数分别为k 1和k 2的两根弹簧，k 1＞k 2；a 和b 表示质量分别为m a 和m b 的两个小物块，m a ＞m b ，将弹簧与物块按如图所示方式悬挂起来，现要求两根弹簧的总长度最大，则应使（）A ．S 1在上，a 在上B ．S 1在上，b 在上C ．S 2在上，a 在上D ．S 2在上，b 在上9、弹簧秤的弹簧断了，拆去断掉的较短部分，把剩下的较长部分弹簧仍装在原来的弹簧秤上，零点校正后，用它测力，结果（）A ．测量值比实际值大B ．测量值比实际值小C ．测量值和实际值相等D ．以上情况都有可能10、用大小为2牛的力分别拉弹簧秤的两端，弹簧秤指示的读数为（）A ．2牛B ．4牛C ．0D ．1牛三、填空题11、有一根长度为L 的弹簧，它能承受的最大拉力为F ，在最大拉力F 的作用下，弹簧伸长了ΔL ．现用剪刀将弹簧剪成长度为3L 和23L 的两段，则长度为23L 的弹簧能承受的最大拉力为_______F ，在这个最大拉力作用下，弹簧伸长了_______ΔL ．12、如图所示，两根竖直悬挂的劲度系数分别为k 1、k 2的轻弹簧下端用绕过轻滑轮的细绳相连，若在滑轮下挂一重为G 的物体，则平衡后滑轮下降的距离为________．13、甲、乙两根弹簧的劲度系数分别为k 1和k 2，且k 1＞k 2，两根弹簧的一端都固定在水平地面上，另一端各自被重力为G 的物块压着，平衡时两根弹簧的长度正好相等，如图所示，现将这两根弹簧并排放在一起，一端仍固定在地面上，另一端共同被重力为G 的物块压着，平衡后，甲、乙两根弹簧相对各自原长（即无弹力时弹簧的自然长），甲弹簧的长度压缩量x 1为_________，乙弹簧的长度压缩量x 2为_________．14、一根长度为10厘米的弹簧受到2牛的拉力作用后，长度变为11厘米．如果这根弹簧受到3牛拉力的作用，弹簧长度比不受拉力时的长度增加了_________厘米；当弹簧长度变为13厘米时，它受到的拉力是_________牛．参考答案1、C。
第39届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题(含解答)
一、（40分）如图1a ，一段抛物线形状的刚性金属丝固定在竖直平面内，抛物线方程为y = ax 2（y 轴竖直向上，a 为待定常量）；一长度为2l 的匀质刚性细杆的两端A 、B 各有一个小圆孔，两圆孔都套在金属丝上。
圆孔和金属丝之间非常光滑，摩擦力非常小，在问题（1）、（2）和（3）中可忽略。
若给细杆一个冲量，使其运动；经过足够长的时间，细杆静止于平衡位置，此时细杆和水平方向之间的夹角=︒θ30。
已知重力加速度大小为g 。
（1）求待定常量a ；（2）若杆在上述平衡位置附近小幅振动，求振动的频率；（3）细杆静止在上述平衡位置。
现有一只小白鼠，从静止开始由杆底端沿杆往上爬。
在爬杆的过程中，细杆始终保持静止；假设小白鼠可视为质点，且小白鼠在杆端不接触金属丝。
求小白鼠在时刻t （以小白鼠开始爬杆的时刻为时刻零点）沿细杆的位移s t ()，小白鼠是否可以爬到细杆顶端？如果可以，小白鼠爬到细杆顶端，最少用时多少？解答：（1）设细杆的质心的坐标为（x c ，y c ），细杆的长度为2l ，则杆的A 和B 端的坐标为：① 2分代入抛物线方程得：② ③联立②③式得：④ 1分⑤ 1分细杆重力势能为：⑥ 2分平衡点为势能极值点：⑦ 2分解为：I 、 sin θ =0，即θ =0，不符题意，舍去。
⑧ II 、⑨得：⑩已知θ=30°，所以：⑪图1a B 第39届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题⑫ 2分（2）细杆在平衡位置附近小幅振动，由机械能守恒得：⑬ 4分即：⑭ 2分令：θ=θ0+∆θ（|∆θ|≪θ0），θ0=30°为平衡位置，于是⑭式在θ0附近做小量∆θ展开，并且质心动能、相对质心转动动能和势能三部分都保留至（不是常量的）最大一项，得到近似式：⑮ 6分两边对时间求导得：⑯ 2分或小幅振动可以近似为简谐运动，角频率为：⑰振动频率：⑱ 2分（3）设白鼠的质量为m s，沿细杆的位移为s，B点s=0，加速度为d2s/dt2，则白鼠对细杆的作用力：，竖直向下；2 22sd sF mdt=，沿细杆。
第28届全国中学生物理竞赛复赛试题及参考答案
第28届全国中学生物理竞赛复赛试题一、（20分）如图所示，哈雷彗星绕太阳S 沿椭圆轨道逆时针方向运动，其周期T 为76.1年，1986年它过近日点P 0时与太阳S 的距离r 0=0.590AU ，AU 是天文单位，它等于地球与太阳的平均距离，经过一段时间，彗星到达轨道上的P 点，SP 与SP 0的夹角θP =72.0°。
已知：1AU=1.50×1011m ，引力常量G=6.67×10－11Nm 2/kg 2，太阳质量m S =1.99×1030kg ，试求P 到太阳S 的距离r P 及彗星过P 点时速度的大小及方向（用速度方向与SP 0的夹角表示）。
二、（20分）质量均匀分布的刚性杆AB 、CD如图放置，A 点与水平地面接触，与地面间的静摩擦系数为μA ，B 、D 两点与光滑竖直墙面接触，杆AB 和CD 接触处的静摩擦系数为μC ，两杆的质量均为m ，长度均为l 。
1、已知系统平衡时AB 杆与墙面夹角为θ，求CD 杆与墙面夹角α应该满足的条件（用α及已知量满足的方程式表示）。
2、若μA =1.00，μC =0.866，θ=60.0°。
求系统平衡时α的取值范围（用数值计算求出）。
三、（25分）在人造卫星绕星球运行的过程中，为了保持其对称转轴稳定在规定指向，一种最简单的办法就是让卫星在其运行过程中同时绕自身的对称轴转，但有时为了改变卫星的指向，又要求减慢或者消除卫星的旋转，减慢或者消除卫星旋转的一种方法就是所谓消旋法，其原理如图所示。
一半径为R ，质量为M 的薄壁圆筒，，其横截面如图所示，图中O 是圆筒的对称轴，两条足够长的不可伸长的结实的长度相等的轻绳的一端分别固定在圆筒表面上的Q 、Q ′（位于圆筒直径两端）处，另一端各拴有一个质量为2m的小球，正常情况下，绳绕在圆筒外表面上，两小球用插销分别锁定在圆筒表面上的P 0、P 0′处，与卫星形成一体，绕卫星的对称轴旋转，卫星自转的角速度为ω0。
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全国中学生物理竞赛实验指导书思考题参考答案-力学 2
实验二 在气轨上研究瞬时速度 【思考题参考答案】 1．试测量气轨倾斜角度，并把实验中所求得的加速度a和gsin相比较。 答：测量的方法：先用匀速法把气垫导轨调节水平，然后，测出两个支点沿气轨
的长度L，测出垫块的高度h，Lhsin。 测量加速度的方法：（1）将两个光电门安放在一定距离的适中位置，读出距离s，（2）滑块装上U型挡光片，将光电计时器调节到测两个速度状态，让滑块静止下滑测
量经过两个光电门的速度v1、v2。（3）计算加速度a并与Lhggsin比较，其中
svva22122
。
注：为消除粘滞阻力影响，可以通过测量四个速度分别计算下滑和上升的加速度。道理如下：faaa下svv22122，svvaaaf22423上，所以svvvva421242322 2．使用平板型挡光片和两个光电门，如何测量滑块通过倾斜气轨上一点A的瞬时速度。 答：将光电计时器调到测量一个时间间隔状态，在滑块上装平板型挡光片，控制滑块从气轨上一个固定点P由静止滑下，从挡光片前沿挡第一光电门开始计时，挡第二光电门停止计时，测出时间t，
根据匀变速运动公式，有atvvvBA，而tlatvvvvB22
选择不同的l，测出t，计算出tlv，在坐标纸上画出v—t曲线，确定斜率和截距，其斜率的绝对值为a/2，截距为A点的瞬时速度v。 【补充思考题】测量气轨的阻尼因数。滑块在气轨上运动，由于内摩擦和气轨平
整度问题，也会有较小的阻力，一般认为阻力与速度方向相反，大小成正比。即bvf。设计一个实验，测量b值。 测量依据和测量公式：将气轨调节水平，放一质量为m的滑块，气轨上两光电门之间距离为s。轻推滑块是
它向右运动，由于阻尼ABvv，同理，向左运动BAvv。
由于阻力很小，滑块接近匀速运动 vbf 利用牛顿第二定律 mbstmvbvvvAB，smvb
P B
A l
A B 3
测量方案：在滑块上装一个挡光距离为S（很小）的U型挡光片，测出经过两个挡光片的速度，在沿相反方向测量一次，用两次测量的速度差的平均值计算。
smvvb2
实验三 测量金属的杨氏模量（伸长法） 【思考题参考答案】 1．用光杠杆测量微小长度变化的原理是什么？用DldMgLRE28测定杨氏模量要满足哪些条件？ 答：第一问，利用光的反射规律将微小长度变化转化为微小角度变化，进而转化
为远处明显的位置变化，lRDl2，放大倍数为2R/D。第二问，测定杨氏模量要满足两个条件：（1）即使加最大载量，金属丝的伸长要在弹性限度内；（2）光杠杆转角要小。另外，装置的初状态尽量保证光杠杆三个足尖在同一水平面，平面镜竖直，直尺竖直。
2．在增减砝码，从望远镜中读取ir和ir时，如何判断所得的数据是否合理。
答：第一，ir和ir读数基本相同；第二，增减一个砝码，读数的变化量基本相同。 3．如果金属丝稍有弯曲，可能给实验结果带来什么影响？为了减小实验误差，应该采取什么措施？ 答：如果金属丝弯曲，加一定的力金属丝由于弯曲部分被拉直使l过大，测出的杨氏模量比真实值偏小。为了减小误差，应选取金属丝的无弯曲部分，或者将弯曲的金属丝擀直。 4．在本实验中，用不同的仪器来测量各个长度量，这是怎样考虑的？为什么？
答：根据测量公式E的相对标准偏差为22222ldRLEldRLE。从误差等分的原则出发，数值较大的长度量可以用精确度低的测长仪器，数值小的长度量要用精确度高的测长仪器或经放大后测量。据此本实验用毫米尺和游标卡尺测量L、R，用螺旋测径器测量d，用光杠杆将l放大后测量。
[补充思考题]在增减砝码，从望远镜中读取的ir和ir差别较大的可能原因。 答：读数差别较大或者不随载荷按比例增减的可能原因有：（1）金属丝本身不直，且初始砝码较小，导致加在到一定载荷时金属丝被突然拉直；（2）杨氏模量仪支柱未调垂直，导致金属丝下端夹头在圆孔内摩擦力过大；（3）光杠杆主杆脚尖与金属丝相碰，导致角度变化不正常；（4）增减砝码时有明显碰撞，导致光杠杆脚尖发生位移；（5）金属丝夹头没夹紧，导致增加载荷时金属丝下滑。 4
实验四 研究单摆的运动特性 【思考题参考答案】 1．请想出一种用摆锤为不规则形状的重物（如一把挂锁）制成“单摆”，并测定重力加速度的方法。
答：假设作为摆锤的不规则形状重物长度为d。因为2102102TlgTlg，从误差均分看，我们可以用长度为l的刚性轻线，将重物悬起，只要dl（例如20倍以上），就可以近似认为摆长是l+d/2。测量10个周期的时间，计算出周期，测量出g。 2．假设单摆的摆动不在竖直平面内，而是作圆锥运动（即“锥摆”）。若不加修正，在同样的摆角条件下，所测的g值将会偏大还是偏小？为什么？ 答：锥摆的运动也是周期运动，这时测量的周期是圆周运动周期。
根据牛顿第二定律，有 mgFcos，2sinmrF
由于， sinlr，T2
可以求出 cos422Tlg 如果测量者误认为是单摆，而按224Tlg计算重力加速度，由于1cos0，测得的重力加速度将比实际值大 实验五 气轨上研究碰撞过程中动量和能量的变化 【思考题参考答案】 1．为什么要求挡光片与滑块运动方向平行，而且挡光边与滑块运动方向垂直？如果不平行或不垂直会带来什么影响？ 答：只有挡光片与滑块运动方向平行，而且挡光边与滑块运动方向垂直时，测量的挡光时间才是挡光宽度s对应的挡光时间。如果挡光片与滑块运动方向不平行，挡光边与滑块运动方向就不会垂直。如图，实际挡光宽度l将大于设计的挡光宽度s，造成测量的挡光时间长，而计算速度是按s与挡光时间之比进行，测量速度小于实际速度，实验误差明显。 2．碰撞前滑块A的速度vA过大或过小有什么不好？ 答：碰撞前滑块A的速度vA过小时，一方面滑块运动不平稳（左右振动明显），另一方面，阻尼的影响明显，甚至不碰，造成误差明显。碰撞前滑块A的速度vA过大时，其一，冲撞激烈，碰簧形变严重，造成碰撞后两滑块侧向振动或鼓起，偏离正碰，
F mg
l
r
l s 5
且速度不稳；其二，如果mA>mB，B滑块运动过快，致使碰到气轨一端的碰簧后脱离气轨；其三，如果mA>mB，B滑块运动过快，致使碰到气轨一端后快速返回，在A滑块还没有运动到第二个光电门时，B滑块再次与A滑块碰簧，致使A滑块的碰后速度无法测量。碰撞前滑块A的速度一般取20-30cm/s。 【补充思考题】两个物体对心碰撞的恢复系数定义为：碰撞后两物体相对远离速度与碰撞前两物体的相对接近速度之比。怎么测定两滑块对心碰撞的恢复系数 答：假设气轨上两滑块A、B，A接近B并发生对心碰撞，则
BAABvvvve
这四个量是代数量。利用滑块上的U型挡光片和光电计时器测出相应速率。 保持0Bv，对于BAmm的情况，碰撞后A继续向前运动。
AABv
vve
对于BAmm的情况，碰撞后A返回。
AABv
vve
实验六 测量空气中的声速 【思考题参考答案】 1．为什么不测量单个的/2或，而要测量多个？在计算/2或时，将所测数据首尾相减，再除以/2或的个数。这种计算方法与逐差法比较，哪一种较好？ 答：超声波的波长数值较小，测量一个/2或时偶然误差过大。测量多个进行平均，削弱偶然误差的影响。对第二个问题，当然逐差法较好，第一种求平均的方法只使用了首尾两个数据，增加了大误差机会，逐差法求平均利用了所有测量数据，出现大偶然误差的机会极其微小。 2．用第一种方法（极值法），为什么要在正弦波振幅为极大时进行测量？用第二种方法（相位法），为什么在利萨如图形呈直线时进行测量？ 答：用第一种方法即极值法测量时，要在正弦波振幅为极大时进行测量。因为信号源发射的信号不是理想正弦信号，带有一定的谐波成份，但基波最强谐波一般都比较弱，谐波的能量达到一定强度时，也会产生驻波。当接收端和发射端的距离满足基波信号成分的驻波条件nx2时，驻波振幅极大值最大（称为谐振），当接收端的位置微小变化时，基波信号不再满足驻波条件，而个别谐波信号可能满足驻波条件nxx2，振幅就明显减小。所以利用基波进行测量灵敏度高，易于测准待测位 6
置。 在相位法测量时，出现斜直线代表发射端和接收端信号的相位差是2整倍数，这时接收端位置的微小变化将引起相位变化，直线就往闭合曲线变化，直线变曲线容易看出来。如果采用利萨如图形为正椭圆进行测量，尽管出现正椭圆也代表发射端和接收端信号的相位差是2整倍数，这时接收端位置的微小变化将引起相位变化，正椭圆向斜椭圆变化，这不容易判断。 【补充思考题】在测量空气中的声速的实验中，怎样测量谐振频率？ 答：使两个换能器之间有适当距离，信号发射器有适当输出，调节示波器，使荧光屏上出现稳定的、适当大小的正弦波形。改变信号源频率，并略微调整接收端位置，使正弦波振幅尽可能大，反复这样调节，直到在一定距离上不管改变信号频率还是改变距离正弦波幅度都减小，此时的信号频率即换能器的谐振频率。 [补充思考题]在测量空气中的声速的实验中，为什么波节处振幅一般不为零？ 答：因为信号源发射的信号不是理想正弦信号，带有一定的谐波成份，其中基波最强，当基波在接收端位置满足波节条件时，而个别谐波信号并不满足波节条件，振幅并不为零。
实验七 弦线上的驻波实验 【思考题参考答案】 1．弦线上出现驻波的条件是什么？
答： nL2，),3,2,1(n。 2．如果要确定弦线作受迫振动时共振频率与弦线有效长度L之间的关系，应如何安排实验？ 答：固定T，改变L，测出n=1的共振频率f。
根据nL2，fv，Tv 得LTf121 令fyln，Lxln，则xby0 其中Tb21ln0 根据实验数据作xy图线，用最小二乘法计算斜率和截距，将斜率与“1”比较。 [补充思考题]弦振动实验中，如何寻找弦振动的基频，为什么在驱动信号频率较低的情况下也能产生共振？ 答：弦振动的基频是只有一个波腹时弦振动出现共振（稳定的驻波）时弦振动频率。对固定的弦长和拉力，连接好信号源和示波器，接收线圈安放在两个支点的正中间